第十七章 勾股定理题型归纳总结与跟踪训练（含解析）

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第十七章勾股定理题型归纳总结与跟踪训练-2023-2024学年数学八年级下册人教版
6大题型归纳总结
题型1：勾股定理解三角形
题型2：利网格问题
题型3：折叠问题
题型4：勾股定理的实际应用
题型5：溧阳勾股定理的逆定理求解
题型6：勾股定理的逆定理实际应用
6大题型跟踪训练
题型1：勾股定理解三角形
1．如图，中，，，点D，E分别在，上，过点E作，垂足为F，且．
(1)若，，求的长；
(2)若时，求证：．
2．如图，中，．
(1)直接写出的长度 ．
(2)设点P在上，若．求的长；
(3)设点M在上，若为等腰三角形，直接写出的长．
3．如图，在中，，，过点B作于点E，与交于点F，于点D，，．
(1)求证：；
(2)求的面积．
4．如图，在中，，，，动点D从点A出发以1的速度向点C运动；动点E同时从点C出发以2的速度向点B运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接DE，设运动时间为t秒．
(1)当时，求的面积；
(2)当t为何值时，为直角三角形？
题型2：利网格问题
5．如图，在5×5的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，每一个小正方形的边长都是1，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，分别按下列要求作图．
(1)在图中，画一个格点三角形，使得，；；
(2)在（1）的条件下，直接写出边上的高的值．
6．如图，在下列边长为1的小正方形组成的网格中，利用网格点画图．
(1)画出一条线段，使得；
(2)在（1）的基础上，以为边，画出，使得的三边长都为无理数．
7．问题背景：
问题：在中，三条边，，的长分别为，，，求这个三角形的面积．
小明在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．我们把这种借助网格求三角形面积的方法叫做构图法．
方法应用：
(1)请直接在横线上写出的面积_________；
(2)若的三边长分别为，，，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并直接在横线上写出的面积__________．
(3)若的三边长分别为，，，（，且），请在图3中画出一个符合题意的，并直接在横线上写出的面积__________．
8．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形，请解决下列问题：
(1)已知：如图1，四边形是等对角四边形．，，，则__________°，__________°．
(2)在探究等对角四边形性质时：小红画了一个如图2所示的等对角四边形，其中．，，此时她发现成立，请你证明该结论：
(3)图①、图②均为的正方形网格，线段、的端点均在网点上，按要求在图①、图②中以和为边各画一个等对角四边形．要求：四边形的顶点D在格点上，所画的两个四边形不全等．
题型3：折叠问题
9．如图，将长方形纸片沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上．若，，求的长．
10．如图，将一块直角三角形纸片沿直线折叠，使落在斜边上，且点C与点E重合．已知两直角边，求的长．
11．小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：
(1)如图1，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为，若，，求的长
(2)如图2，小王拿出另一张纸片，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，求：
①的度数；
②若，求的长
12．如图1，将长方形纸片的一边沿着向下折叠，使点落在边上的点处．
(1)试判断线段与的关系，并说明理由；
(2)若，，求的长；
(3)如图2，取的中点，连接，，若，求证：．
题型4：勾股定理的实际应用
13．小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为5米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米；
③牵线放风筝的小明的身高为米．

(1)求风筝的垂直高度；
(2)如果小明想风筝沿方向下降7米，则他应该往回收线多少米？（精确到个位，）
14．如图①，为直立在水平操场上的旗杆，旗绳自然下垂，发现旗绳的长度比旗杆的高度多，现在要测量旗杆的高度（不许将旗杆放倒）．
(1)第一小组的方法是将旗绳的底端从点B滑动到点C，并使旗绳笔直，如图②，此时测量得出，请按此方法求出旗绳的长度；
(2)第二小组的方法是利用高的标杆，将旗绳的底端与标杆顶端D重合，并移动标杆至旗绳笔直，且标杆垂直于地面，如图③，请利用（1）中的结论求出标杆和旗杆的水平距离的长度）．
15．如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．

(1)开始时，小船距岸A的距离为_______；
(2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长．
16．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），求水的深度PN.
题型5：溧阳勾股定理的逆定理求解
17．如图，在四边形中，已知，，，，．
(1)求线段的长；
(2)求证：是直角三角形．
18．如图，四边形中，，过点A作于点E，E恰好是的中点，若．
(1)直接写出四边形的周长；
(2)求四边形的面积．
19．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点，，，都在小正方形的顶点上．
(1)求线段和的长；
(2)若，且，，三条线段首尾顺次相接能构成直角三角形，求m的值．
20．如图，某学校有一块四边形草坪，，，，为方便师生行走，现要修一条小路．
(1)求小路的长（结果保留根号）．
(2)求的度数．
题型6：勾股定理的逆定理实际应用
21．学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，连接，测出，求需要绿化部分的面积．
22．如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A，B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且．
(1)求证：；
(2)求修建的公路的长．
23．为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，且．该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费100元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？
24．随着去年冬天哈尔滨的冰雪旅游火爆出圈后，全国各地旅游局都开始更加重视当地的旅游建设．鸡西市文旅局发现一条笔直的河流一侧有一旅游地，河边有两个漂流点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点（在一条直线上），并新修一条路测得千米，千米，千米．
(1)问是否为从旅游地到河的最近的路线？请通过计算加以说明；
(2)求原来路线的长．
参考答案：
1．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查勾股定理，含30度角的直角三角形，全等三角形的判定和性质：
（1）根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可；
（2）含30度角的直角三角形的性质，推出，证明，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
2．(1)16
(2)
(3)的长为8或10或
【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质的运用，分类讨论是解题的关键．
（1）依据勾股定理进行计算，即可得出的长度；
（2）设，依据勾股定理列方程求解即可得到的长；
（3）依据为等腰三角形，分三种情况讨论即可得到的长．
【详解】（1）解：∵，
，
故答案为：16；
（2）∵，
，
设，
，
，
，
，
解得：，
；
（3）的长为8或10或．
如图1，当时，，
如图2，当时，；
如图3，当时，过作于点，
则，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的长为8或10或．
3．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形性质，平行线性质，三角形全等，角平分线性质，以及勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据，可证得，即是的平分线，又，，即可得到结果；
（2）证明，得到，设，则，在中利用勾股定理即可求解，的面积由此得解；
【详解】（1）证明：
∵，
∴，
又∵，
∴
∴，即是的平分线．
∵，，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
由（1）可知，，又，
∴，
∴
设，则，
∴由勾股定理可得：
，即，
解得：
∴
4．(1)的面积为
(2)或3
【分析】本题考查了含的直角三角形，勾股定理，一元一次方程的应用等知识．熟练掌握含的直角三角形，勾股定理，一元一次方程的应用是解题的关键．
（1）当时，，则，如图，作于，则，，由勾股定理得，，根据，计算求解即可；
（2）由题意知，，，则，当为直角三角形时，分，两种情况，列一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴，
如图，作于，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴的面积为；
（2）解：由题意知，，，
∴，
当为直角三角形时，分，两种情况求解；
①当时，，
∴，即，
解得，；
②当时，，
∴，即，
解得，；
综上所述，当的值为或3时，为直角三角形．
5．(1)见解析
(2)的边上的高为，
【分析】本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的射线解决问题．
（1）利用勾股定理，数形结合的射线画出图形即可；
（2）根据三角形的高的定义判断即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
；
（2）解：如图，的边上的高为，．
6．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查的是作图应用与设计作图，勾股定理和网格，熟知勾股定理是解答此题的关键．
（1）根据，然后利用网格的特点求解即可；
（2）根据勾股定理得到，，，然后画出三角形即可．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
；
（2）如图所示，即为所求；
，，．
7．(1)3.5
(2)图见解析，
(3)图见解析，
【分析】此题考查了勾股定理及收纳教学面积求法，根据题意正确画出是解题的关键．
（1）利用恰好能覆盖的边长为3的小正方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可解答；
（2）根据题目中所给的构图法构造出符合所给数据的三角形，然后用（1）的方法求出格点三角形的面积即可；
（3）根据题目中所给的构图法构造出符合所给数据的三角形，然后用（1）的方法求出格点三角形的面积即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：3.5；
（2）解：∵，
∴可以看作是两直角边长分别为和a的直角三角形斜边长，
同理：可以看作是两直角边长都是的直角三角形斜边长，以看作是两直角边长是和a的直角三角形斜边长，于是可以构造出格点三角形，如图即为所求，
；
（3）解：∵，
∴可以看作是两直角边长分别为m和的直角三角形斜边长，
同理：可以看作是两直角边长分别是和的直角三角形斜边长，以看作是两直角边长是和的直角三角形斜边长，于是可以构造出格点三角形，如图即为所求，

∴．
8．(1)；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】本题考查多边形的内角和，等腰三角形的判定及性质，
（1）根据四边形是“等对角四边形”得出，根据四边形内角和求出即可；
（2）连接，根据等边对等角得出，求出，根据等腰三角形的判定得出即可；
（3）根据“等对角四边形”的定义画出图形，使即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是“等对角四边形”， ，，，
，
；
故答案为：；
（2）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
．
（3）解：如图所示：
在图①中，，符合题意；
在图②中，，符合题意；
∵图①中的不等于图②中的，
∴两个四边形不全等．
9．
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质得到，设，则，由线段中点的定义得到，再由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：由折叠的性质可得，
设，则，
∵是边的中点，
∴，
由长方形的性质可得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴．
10．
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，在中，利用勾股定理得，设，则，由折叠的性质得，，，在中，利用勾股定理即可求解，
熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：在中，，，
，
设，则，
沿折叠得到，
，，，
，
在中，勾股定理得：，
即：，
解得：，
．
11．(1)
(2)①②
【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，直角三角形性质，解题的关键在于熟练掌握折叠的性质，并灵活运用．
（1）设，由折叠的性质可知，利用勾股定理建立方程求解，即可解题；
（2）①利用直角三角形性质得到，由折叠的性质，即可解题；
②利用折叠的性质得到，再利用直角三角形性质即可解题．
【详解】（1）由折叠可知：，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
；
（2）①在中，
，，
，
由折叠可知：，
；
②由折叠可知，
，，
，
在中，
，，
；
12．(1)垂直平分．理由见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了折叠的性质，直角三角形的性质，长方形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）由折叠的性质可得出结论；
（2）由勾股定理可求出答案；
（3）证出，由直角三角形的性质可得出结论．
【详解】（1）垂直平分．
理由如下：将长方形纸片的一边沿着向下折叠，使点落在边上的点处，
，
，，
垂直平分．
（2）四边形是长方形，，
，
，
又，
在中，，
，
，
，
．
（3）证明：设，由折叠的性质可得，
，，．
又点是的中点，
，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．，
，
，
．
13．(1)米
(2)他应该往回收线6米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：由题意可知：米，米，
在中，由勾股定理得，，
∴（负值已舍去)，
米，
答：风筝的垂直高度为米；
（2）∵风筝沿方向下降7米，保持不变，如图，

∴此时的(米)，
即此时在中，米，有(米)，
相比下降之前，缩短长度为(米)，
∴他应该往回收线6米．
14．(1)
(2)
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键将实际问题转化为几何问题．
（1）根据题意可知构成直角三角形，设，根据勾股定理即可求得的长度；
（2）过点D作，垂足为F，于是构成矩形，在直角三角形中利用勾股定理即可求得的长，即为标杆和旗杆的水平距离的长度．
【详解】（1）设旗绳的长度为，则旗杆的长为，
解得：，即．
答：旗绳的长度为．
（2）由题意可知：
过点D作，垂足为F，
则，
答：标杆与旗杆的水平距离为．
15．(1)12
(2)
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是学握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（1）在中，利用勾股定理计算出长；
（2）根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长．
【详解】（1）解：在中，，
，
故答案为：12；
（2）∵琪琪收绳后，船到达处，
，
，
．
16．12尺
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理的问题是解题的关键．
根据题意可得，然后中运用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：，点是AB的中点，
.
，，
.
在中，根据勾股定理可得：.
，解得.
答：水的深度PN为12尺．
17．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理：
（1）先根据含30度角的直角三角形的性质得出，再根据勾股定理得出答案即可；
（2）得出，即，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，，
∴，即，
∴，
∴是直角三角形．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
（1）根据30度的角所对直角边是斜边的一半可得，结合E是的中点即可求解
（2）连接，由勾股定理逆定理可得是直角三角形，根据即可求解．
【详解】（1）解：
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴
∴四边形的周长：
（2）解：连接，如图，
∵，，
∴
∴
∵E是的中点，
∴
∴
∵
∴
∴是直角三角形，，
∴
19．(1)，
(2)或
【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，
（1）根据勾股定理，可以求得和的长；
（2）根据勾股定理的逆定理可以求得m的值．
解答本题的关键是灵活运用分类讨论思想并用勾股定理的逆定理进行计算．
【详解】（1）解：由图可得，
，，
故答案为：，；
（2）∵以、、三条线段为边能构成直角三角形，，，，
当为斜边时，，
；
当为斜边时，，
；
故m的值为或
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理：
（1）先求出，再利用勾股定理求解即可；
（2）根据（1）所求得到，由勾股定理的逆定理可得，再求出即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∵，，
∴，
∴．
21．需要绿化部分的面积为24
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，本题的关键是确定，然后利用面积公式即可求解．
由，则为直角三角形，即可求解．
【详解】解：∵，
，
，
∴为直角三角形，
需要绿化部分的面积，
故需要绿化部分的面积为24．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握这两个定理是解题关键．
（1）根据勾股定理的逆定理，由得到是直角三角形，进而得解；
（2）利用的面积公式可得，，从而求出的长．
【详解】（1）解：证明：∵，，，，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∴．
答：修建的公路的长是．
23．此块空地全部种植花卉共需花费3600元
【分析】本题考查三线合一，勾股定理及其逆定理，过A作于点E，三线合一求出的长，勾股定理逆定理，得到是直角三角形，利用等腰三角形的面积减去直角三角形的面积求出阴影部分的面积，再乘以单价即可．
【详解】解：如图，过A作于点E，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴（元）．
答：此块空地全部种植花卉共需花费3600元．
24．(1)CH是从旅游地C到河的最近的路线，理由见解析
(2)千米
【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用．
（1）由千米，千米，千米，用勾股定理的逆定理可得即可；
（2）设千米，则 千米，用勾股定理得即可解出．
【详解】（1）解：是从旅游地到河的最近的路线，
理由为：
在中，，，
∴是直角三角形且
所以是从旅游地到河的最近的路线；
（2）解：设千米，则 千米
在中，已知千米
由勾股定理得：
解这个方程，得．
答：原来的路线的长为千米．
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