(共22张PPT)
第一章
1.1.1 空间向量及其线性运算
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A 级 必备知识基础练
1. 下列说法错误的是( )
A.任意向量与它的相反向量不相等
B.和平面向量类似,任意两个空间向量都不能比较大小
C.如果|a|=0,则a=0
D.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同
A
解析 对于A,零向量的相反向量是它本身,故A错误;
对于B,空间向量是有向线段,不能比较大小,故B正确;
对于C,如果|a|=0,则a=0,故C正确;
对于D,两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同,故D正确.故选A.
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2.给出下列命题:
①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点,则它们的终点构成一个圆;
②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;
③在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有
④若空间向量a,b,c满足a=b,b=c,则a=c;
⑤空间中任意两个单位向量必相等.
其中假命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
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解析 ①假命题.若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点,则它们的终点将构成一个球面,而不是一个圆.②假命题.根据向量相等的定义,要保证两向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但②中向量a与b的方向不一定相同.③真命题.根据正方体的定义,上下底面的对角线长度必定相等,结合向量的方向,所以 .④真命题.向量的相等具有传递性.⑤假命题.空间中任意两个单位向量的模均为1,但方向不一定相同,所以不一定相等.故选C.
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3. 如图,在四面体ABCD中,点M,N分别是棱AD,CD的中点,则
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5.(多选题)下列命题中,是真命题的为( )
A.若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同
B.若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=±b
C.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p
CD
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解析 当两个向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个相等向量的起点、终点不一定相同,故A错误;
模相等的两个向量的方向是任意的,即模相等的两个向量的方向不一定相同,也不一定相反,故B错误;
由相等向量的传递性,知若m=n,n=p,则m=p,故C正确;
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6.(多选题)下列说法正确的是( )
AD
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空间向量可以用空间中的一条有向线段表示,但不能说空间向量就是有向线段,故选项C错误;
由相等向量的概念易知选项D正确.故选AD.
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B 级 关键能力提升练
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11.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,
(1)求证:A,F,E三点共线.
(2)若点G是平行四边形B1BCC1的中心,求证:D,F,G三点共线.
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11(共27张PPT)
第一章
1.1.2 空间向量的数量积运算
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A 级 必备知识基础练
1.如图,在三棱锥A-BCD中,DA,DB,DC两两垂直,且DB=DC=3,AD=4,E为棱BC的中点,则 =( )
A.3 B.2 C.1 D.0
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3.已知四面体ABCD的所有棱长都等于2,E是棱AB的中点,F是棱CD靠近C的四等分点,则 =( )
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4.如图,在棱长为1的正四面体ABCD中,M,N分别为棱BC,AD的中点,则直线AM和CN夹角的余弦值为( )
A
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5.(多选题)已知四面体ABCD中,AB,AC,AD两两互相垂直,则下列结论中,一定成立的是( )
ABD
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6.(多选题)已知长方体ABCD-A1B1C1D1,则下列向量的数量积可以为0的
是( )
ABC
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解析 如图所示,若AA1=AD,则AD1⊥B1C,故A正确;
若AB=AD,则AC⊥BD.
又BB1⊥平面ABCD,则BB1⊥AC.
∵BB1∩BD=B,BB1,BD 平面B1BDD1,
∴AC⊥平面B1BDD1.
又BD1 平面B1BDD1,
∴BD1⊥AC,故B正确;
∵AB⊥平面AA1D1D,AD1 平面AA1D1D,∴AB⊥AD1,故C正确;
∵BD1和BC分别为矩形A1D1CB的对角线和边,
∴直线BD1和BC不可能垂直,故D错误.故选ABC.
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8.已知MN是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1内切球的一条直径,则
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9.在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,PA=6,求PC的长.
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B 级 关键能力提升练
10.(多选题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都是1,且它们彼此的夹角都是60°,M为A1C1与B1D1的交点.记
AC
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11.如图,在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°, PA=AB=BC=6,则向量 在向量 上的投影向量为 (用向量
来表示).
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12.如图,在正四面体ABCD中,棱长为a,M,N分别是棱AB,CD上的点,且MB=2AM,CN= ND,求MN的长.
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13. 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=2, AA1=2 ,AD1=2 ,∠BAD=60°,∠BAA1=45°,AC与BD相交于点O.
(2)求∠DAA1;
(3)求OA1的长.
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13(共24张PPT)
第一章
学习单元2 空间向量基本定理
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A 级 必备知识基础练
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5.(多选题) 下列关于空间向量的命题中,是真命题的是( )
A.若三个非零向量能构成空间的一个基底,则它们不共面
B.不相等的两个空间向量的模可能相等
C.模为3的空间向量大于模为1的空间向量
D.若a,b是两个不共线的向量,且c=λa+μb(λ,μ∈R且λ·μ≠0),则{a,b,c}构成空间的一个基底
AB
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解析 因为三个非零向量能构成空间的一个基底,所以三个向量不共面,故A正确;
向量既有大小又有方向,所以不相等的两个空间向量的模可能相等,故B正确;
因为向量既有大小又有方向,所以向量不能比较大小,故C错误;
由a,b是两个不共线的向量,且c=λa+μb(λ,μ∈R且λ·μ≠0)可知,向量c与向量a,b共面,所以{a,b,c}不能构成空间的一个基底,故D错误.故选AB.
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7.在四面体O-ABC中, ,D为棱BC的中点,E为线段AD的中点,则= .(用a,b,c表示)
解析 连接OD,如图所示.
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B 级 关键能力提升练
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12.在棱长为a的正四面体ABCD中,E,F分别为棱AD,BC的中点,求直线EF与AB所成角的余弦值.
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12(共21张PPT)
第一章
学习单元3 空间向量及其运算的坐标表示
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A 级 必备知识基础练
1.已知平行四边形ABCD,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则顶点D的坐标为
( )
A.(1,12,-6) B.(3,7,-5) C.(-1,-12,6) D.(5,13,-3)
D
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C
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3.已知a=(1,0,1),b=(x,1,2),且a·b=3,则向量a与b的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
A
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4.已知向量a=(1,2,3),b=(0,1,2),则2a-b=( )
A.(2,3,4) B.(2,3,3)
C.(2,5,8) D.(2,4,6)
A
解析 因为a=(1,2,3),所以2a=(2,4,6),则2a-b=(2-0,4-1,6-2)=(2,3,4).故选A.
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BD
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对于D,λ(a+b)+μ(a-b)=λ(0,1,2)+μ(2,1,-2)=(2μ,λ+μ,2λ-2μ).因为λ(a+b)+μ(a-b)与向量(0,0,1)垂直,所以2λ-2μ=0,即λ-μ=0,故D正确.故选BD.
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6.(多选题)下面四个结论正确的是( )
A.空间向量a=(1,-1,2)关于x轴对称的向量为(1,1,-2)
C.已知{a,b,c}是空间的一个基底,若m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一个基底
D.任意向量a,b,c,满足(a·b)·c=a·(b·c)
ABC
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解析 对于A,空间向量a=(1,-1,2)关于x轴对称的向量为(1,1,-2),故A正确;
对于C,{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,c不共面,若m=a+c,则向量a,c,m共面,所以向量a,b,m不共面,故{a,b,m}也是空间的一个基底,故C正确;
对于D,(a·b)·c表示与c共线的向量,a·(b·c)表示与a共线的向量,而a,c的方向不确定,所以不成立,故D错误.故选ABC.
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7.已知向量a=(2,0,1),b=(0,2,-1),c=(2,4,m),若向量a,b,c共面,则实数m的值为 .
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解析 因为向量a,b,c共面,所以存在实数x,y使得c=xa+yb,即(2,4,m)=(2x,2y,x-y).
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8.已知向量a=(2,1,0),b=(-1,0,2),若向量a+kb与2a+3b的夹角为锐角,则实数k的取值范围是 .
解析 因为a=(2,1,0),b=(-1,0,2),所以a+kb=(2-k,1,2k),2a+3b=(1,2,6).
因为向量a+kb与2a+3b的夹角为锐角,
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B 级 关键能力提升练
9.(多选题)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=4,AA1=3,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则
( )
A.点B1的坐标为(4,5,3)
B.点B关于点D对称的点为(-4,-5,0)
D.点B1关于x轴对称的点为(-4,5,3)
ABC
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解析 根据题意知,点B1的坐标为(4,5,3),故选项A正确;
点B1关于x轴对称的点为(4,-5,-3),故选项D错误;
点B的坐标为(4,5,0),故点B关于点D对称的点为(-4,-5,0),故选项B正确;
点C的坐标为(0,5,0),点A1的坐标为(4,0,3),所以 =(4,-5,3),故选项C正确.故选ABC.
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11.已知向量a=(2,-1,2),b=(1,4,1).
(1)求|2a-b|的值;
(2)求向量a+2b与a-b夹角的余弦值.
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解 (1)∵a=(2,-1,2),b=(1,4,1),
∴2a=(4,-2,4),2a-b=(3,-6,3),
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12. 已知向量a=(2,-3,-2),b=(-1,5,-3).
(1)当λa+b与3a+2b平行时,求实数λ的值;
(2)当a+μb与3a+b垂直时,求实数μ的值.
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解 (1)因为向量a=(2,-3,-2),b=(-1,5,-3),
所以λa+b=(2λ-1,-3λ+5,-2λ-3),3a+2b=(4,1,-12).因为λa+b与3a+2b平行,
(2)因为向量a=(2,-3,-2),b=(-1,5,-3),
所以a+μb=(2-μ,-3+5μ,-2-3μ),3a+b=(5,-4,-9).
因为a+μb与3a+b垂直,所以5(2-μ)-4(-3+5μ)-9(-2-3μ)=0,解得μ=-20.
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13.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知DA=DC=4,DD1=3,连接A1B,B1C,A1C,建立如图所示的空间直角坐标系.
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13(共20张PPT)
第一章
1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示及空间中直线、平面的平行
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A 级 必备知识基础练
1.如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,CD=CB=1,CC'=2,建立如图所示的空间直角坐标系,则下列向量是平面DBC'的一个法向量的是( )
A.(1,2,1)
B.(2,-2,1)
C.(1,1,1)
D.(2,2,1)
D
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B
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3.已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则直线AB( )
A.与坐标平面xOy平行
B.与坐标平面yOz平行
C.与坐标平面xOz平行
D.与坐标平面yOz相交
B
解析 因为A(9,-3,4),B(9,2,1),所以 =(0,5,-3),而坐标平面yOz的法向量为(1,0,0),显然(0,5,-3)·(1,0,0)=0,故直线AB与坐标平面yOz平行.
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4.(多选题)直线l的方向向量是a=(1,2,0),若l⊥α,则平面α的法向量可以
是( )
A.n=(1,2,0)
B.n=(-2,-4,0)
C.n=(2,-1,0)
D.n=(2,-1,2)
AB
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解析 因为l⊥α,故直线l的方向向量与平面α的法向量平行,
对于A选项,n=(1,2,0)与a=(1,2,0)平行,满足要求,故A正确;
对于B选项,n=-2a,故n=(-2,-4,0)与a=(1,2,0)平行,满足要求,故B正确;
对于C选项,(2,-1,0)·(1,2,0)=2-2=0,故n=(2,-1,0)与a=(1,2,0)垂直,不符合要求,故C错误;
对于D选项,(2,-1,2)·(1,2,0)=2-2=0,故n=(2,-1,2)与a=(1,2,0)垂直,不符合要求,故D错误,故选AB.
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5.(多选题)若平面α⊥β,平面α的法向量为n=(2,1,-4),则平面β的一个法向量可以是( )
A.(2,0,1) B.(-2,-1,4)
C.(1,2,1) D.(1, ,-2)
AC
解析 因为α⊥β,所以n=(2,1,-4)与平面β的法向量也垂直.
对于A,因为(2,1,-4)·(2,0,1)=4-4=0,满足题意,故A正确;
对于B,因为(2,1,-4)·(-2,-1,4)=-4-1-16=-21≠0,故B错误;
对于C,因为(2,1,-4)·(1,2,1)=2+2-4=0,满足题意,故C正确;
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6.(多选题)已知平面α过点M(1, ,2),其法向量m=( ,1,0),则下列点不在平面α内的是( )
A.S(2,0,0) B.Q(2,0,4)
C.R(0,2, ) D.T(-2, ,1)
CD
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7.法向量分别是n=(1,-1,2),m=(-2,0,3)的两个平面的位置关系是 .
相交且不垂直
故向量n,m不平行,即两个平面不平行.
因为n·m=-2+6=4≠0,所以向量n,m不垂直,
所以两个平面的位置关系是相交且不垂直.
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2∶3∶(-4)
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B 级 关键能力提升练
9.(多选题) 已知空间中两条不同的直线l,m,两个不同的平面α,β,则下列说法中错误的是( )
A.若直线l的一个方向向量为a=(1,-1,2),直线m的一个方向向量为
b=(2,-2,4),则l∥m
B.若直线l的方向向量为a=(0,1,-1),平面α的法向量为n=(1,-1,-1),则l∥α
C.若平面α,β的法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则α∥β
D.若平面α经过三个点A(1,0,-1),B(0,-1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的一个法向量,则u+t=1
BCD
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解析 对于A,b=2a,则a∥b,∴l∥m,故A中说法正确;
对于B,a·n=0×1+1×(-1)+(-1)×(-1)=0,则a⊥n,∴l∥α或l α,故B中说法错误;
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10.对空间向量a,b,有如下说法:
①
=;
②若a⊥平面α,b⊥平面α,且|a|=|b|,则a=b;
③若a≠b,则|a|≠|b|;
④若a,b都是直线l的方向向量,则a∥b.
其中说法正确的是 .
①④
解析 由两向量夹角的定义知①正确;
只有a,b同向时才能得出a=b,故②错误;
若两向量不相等,但其模可能相等,故③错误;
由方向向量定义知④正确.
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11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,E为线段B1C1的中点.
(1)求证:AA1⊥D1E;
(2)求平面D1BE的法向量.
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(1)证明 因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,故可得AA1⊥平面A1B1C1D1.
又D1E 平面A1B1C1D1,故AA1⊥D1E.
(2)解 以D为坐标原点,AD,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系.
12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:
(1)FC1∥平面ADE;
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
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又因为FC1 平面ADE,所以FC1∥平面ADE.
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12(共24张PPT)
第一章
1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的垂直
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A 级 必备知识基础练
1.已知直线l的方向向量为a=(1,1,2),平面α的法向量为n=(2,2,4),则( )
A.l∥α B.l⊥α
C.l α D.l与α相交
B
解析 因为n=(2,2,4),a=(1,1,2),故可得n=2a,即n∥a,则直线l⊥α.故选B.
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2. 已知m=(-2,2,5),n=(3,-2,2)分别是平面α,β的法向量,则平面α,β的位置关系为( )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.重合
B
解析 因为m=(-2,2,5),n=(3,-2,2),所以m·n=-2×3+2×(-2)+5×2=0,故m⊥n,所以α⊥β.故选B.
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3.已知直线l的一个方向向量a=(1,2,m),平面α的一个法向量n=(-1,-2,3),若l⊥α,则m=( )
A.-3 B.-1
C.0 D.1
A
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4.若空间两直线l1与l2的方向向量分别为a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3),则两直线l1与l2垂直的充要条件为( )
A.a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)
B.存在实数k,使得a=kb
C.a1b1+a2b2+a3b3=0
D.a·b=±|a||b|
C
解析 由l1⊥l2可得a⊥b,则a·b=0,即a1b1+a2b2+a3b3=0.
同理,由a1b1+a2b2+a3b3=0可得a·b=0,进一步可得l1⊥l2,所以a⊥b,所以a1b1+a2b2+a3b3=0是l1⊥l2的充要条件,C正确.故选C.
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5.(多选题) 已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列说法正确的是( )
A.AB⊥AC
ABD
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ABC
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7.已知三个互不相同的平面α,β,γ的法向量依次是m=(2,-4,6),n=(-1,2,-3), k=(-1,4,3),则α,β两个平面的位置关系是 ,α,γ两个平面的位置关系是 ,γ,β两个平面的位置关系是 .
α∥β
α⊥γ
β⊥γ
解析 三个互不相同的平面α,β,γ的法向量依次是m=(2,-4,6),n=(-1,2,-3), k=(-1,4,3),
所以m=-2n,即m∥n,所以α∥β.又m·k=(2,-4,6)·(-1,4,3)=-2-16+18=0,则m⊥k,所以α⊥γ.
同理,n·k=(-1,2,-3)·(-1,4,3)=1+8-9=0,则n⊥k,所以β⊥γ.
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8.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1= ,AD=2 ,P为棱C1D1的中点,M为棱BC的中点,则直线AM与PM的位置关系是 .
PM⊥AM
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B 级 关键能力提升练
9.(多选题)如图所示,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在棱A1D,AC上,且A1E= A1D,AF= AC,则( )
A.EF⊥A1D
B.EF⊥AD1
C.EF∥BD1
D.EF与BD1是异面直线
AC
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解析 如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
则D(0,0,0),D1(0,0,3),A(3,0,0),A1(3,0,3),B(3,3,0), E(1,0,1),F(2,1,0),
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10.(多选题)给出下列命题,其中是真命题的是( )
A.若a=(-1,1,-2)是直线l的方向向量,b=(-2,-1, )是直线m的方向向量,则直线l与m垂直
B.若a=(1,1,-1)是直线l的方向向量,n=(0,-1,-1)是平面α的法向量,则l⊥α
C.若n1=(1,0,3),n2=(0,1,2)分别为平面α,β的法向量,则α⊥β
AD
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解析 对于A,因为a·b=(-1)×(-2)+1×(-1)+(-2)× =0,可知a⊥b,所以直线l与m垂直,故A正确;
对于B,因为a·n=1×0+1×(-1)+(-1)×(-1)=0,可知a⊥n,所以l α或l∥α,故B错误;
对于C,因为n1·n2=1×0+0×1+3×2=6≠0,所以平面α,β不相互垂直,故C错误;
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11.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠ADC=90°,且AA1=AD=DC=2,M∈平面ABCD,当D1M⊥平面A1C1D时,DM= .
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解析 如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2).
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12. 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,A1C的中点.
(1)求EF的长;
(2)证明:EF⊥平面A1CD.
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(1)解 以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A1(2,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),D(0,0,0).
∵E,F分别为AB,A1C的中点,∴E(2,1,0),F(1,1,1),则
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13.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点.求证:
(1)EF⊥DA1;
(2)DA1⊥平面ABC1.
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13(共30张PPT)
第一章
1.4.2 第1课时 距离问题
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A 级 必备知识基础练
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2. 两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(1,2,3),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是( )
A
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3.已知直线l过点P(1,3,1),且方向向量为m=(1,0,-1),则点A(1,-1,-1)到直线l的距离为( )
A.3 B.4
C.2 D.3
A
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4. 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB= BB1=2,则点C到直线AB1的距离为( )
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解析 如图,建立空间直角坐标系,则
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6.已知平面α内一点P(8,9,5),点Q(1,2,2)在平面α外,若α的一个法向量为n=(4,3,-12),则点Q到平面α的距离为 .
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7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面AB1C与平面A1C1D间的距离是 .
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解析 以点A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为
x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B1(1,0,1),C(1,1,0),D(0,1,0),
A1(0,0,1),C1(1,1,1).
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8.如图所示,四边形ABCD为正方形,ABEF为矩形,且它们所在的平面互相垂直,AB=2BE=4,M为对角线AC上的一个定点,且3AM=MC,则M到直线BF的
距离为 .
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解析 以B为原点,BA,BE,BC所在直线为x轴、y轴、z轴
建立如图所示的空间直角坐标系,则
B(0,0,0),F(4,2,0),
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B 级 关键能力提升练
B
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解析 以底面中心O为坐标原点,建立空间直角坐标系Oxyz,如图,
则O(0,0,0),A(1,1,0),B(-1,1,0),P(0,0,2).
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10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=1,AA1=2,直线AD与A1C1所成的角为 ,E为棱BB1的中点,则点D1到平面ACE的距离为 .
∴△CDA为等腰直角三角形,
∴CD=AD=1.
以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),B1(1,1,2),E(1,1,1),D1(0,0,2),
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11.如图,多面体ABC-A1B1C1是由长方体一分为二得到的,AA1=2, AB=BC=1,∠ABC=90°,点D是棱BB1的中点,则异面直线DA1与B1C1的距离
是 .
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解析 以B为坐标原点,分别以BC,AB,BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,1),A1(0,1,2),B1(0,0,2),C1(1,0,2),
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12. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段A1B1的中点,F为线段AB的中点.
(1)求点B到直线AC1的距离;
(2)求点F到平面AEC1的距离.
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13.如图,在四棱锥A-BCDE中,AB=AC=CD=2BE=4,BE∥CD,CD⊥CB, AB⊥AC,O为BC中点,且AO⊥平面BCDE.
(1)求点B到平面ADE的距离.
(2)线段AC上是否存在一点Q,使OQ∥平面ADE 如果不存在,请说明理由;如果存在,求 的值.
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解 (1)∵AO⊥平面BCDE,BC 平面BCDE,
∴AO⊥BC.
∵O为BC中点,取ED中点M,
∴OM∥CD.
∵CD⊥CB,∴OM⊥CB.
如图,以O为坐标原点建立空间直角坐标系,∵AB⊥AC,且AB=AC,
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13(共36张PPT)
第一章
1.4.2 第2课时 夹角问题
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A 级 必备知识基础练
1.在直三棱柱ABC-A'B'C'中,侧棱长为4,底面是边长为4的正三角形,则异面直线AB'与BC'所成角的余弦值为( )
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2.若正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D是棱A1C1的中点,则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为( )
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3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为棱BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成角的正弦值为( )
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解析 以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
由图可知,平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),
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4.已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,SD⊥平面ABCD,棱AB,SC的中点分别为E,F.若直线EC与BF所成角的余弦值为 ,则SD=( )
A.2 B.
C.4 D.1
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5.已知在菱形ABCD中,∠ABC=60°,将△ABC沿AC折起,使得平面B'AC⊥平面DAC,则二面角B'-CD-A的余弦值为( )
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解析 设菱形ABCD的边长为1,取线段AC的中点O,连接B'O,DO,因为∠AB'C=∠ADC=60°,所以B'O⊥AC,DO⊥AC.
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ABC
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解析 延长AB,过点C作CO⊥AB,交AB的延长线于点O,根据旋转的知识可知PO⊥AB,由于平面ABP⊥平面ABC,且交线为AB,PO 平面ABP,所以PO⊥平面ABC,由于CO 平面ABC,所以PO⊥CO,故AO,CO,PO两两相互垂直,由此建立如图所示空间直角坐标系,BC= ,AB=1,tan∠ABC=-2,
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7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=3,则异面直线AD1和DC1所成角的余弦值是 .
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8. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点,则平面AA1B1B与平面AD1E所成角的正弦值为 .
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解析 以A为坐标原点,AD,AB,AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.
设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2,
则A(0,0,0),D(2,0,0),D1(2,0,2),E(0,2,1),
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B 级 关键能力提升练
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱BC和棱CC1的中点,则异面直线AC和MN所成的角为( )
A.30°
B.45°
C.90°
D.60°
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解析 以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2,
∵M,N分别为棱BC和棱CC1的中点,∴M(1,2,0),N(0,2,1),A(2,0,0),C(0,2,0),
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10.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积是底面积的6 倍,E为四边形ABB1A1的中心,F为棱CC1的中点,则异面直线BF与CE所成角的余弦值
为( )
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解析 (方法1)如图所示,取A1B1的中点G,连接FG,EG.
因为E为四边形ABB1A1的中心,所以EG∥CF,且EG=CF,
所以四边形CFGE为平行四边形,所以FG∥CE,
所以∠BFG或其补角就是异面直线BF与CE所成的角.
设该三棱柱的底面边长为2,正三棱柱ABC-A1B1C1的
侧面积是底面积的6 倍,
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11. 如图所示,在四棱锥P-ABCD中, AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°,若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,则平面APB与平面PBC夹角的余弦值
为 .
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解析 在平面PAD内作PF⊥AD,垂足为F.
因为∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.
由于AB∥CD,故AB⊥PD.
又AP∩PD=P,AP 平面PAD,PD 平面PAD,
从而AB⊥平面PAD.
又PF 平面PAD,故AB⊥PF.
又PF⊥AD,AB∩AD=A,AB 平面ABCD,AD 平面ABCD,
可得PF⊥平面ABCD.
以F为坐标原点,取棱BC中点为E,以FA,FE,FP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
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12.如图所示,四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.
(1)求SC与平面ASD所成角的余弦值;
(2)求平面SAB和平面SCD夹角的余弦值.
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13. 如图,在五面体ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,CC1⊥平面ABC,AA1∥BB1.已知AB=AC=2,AA1=3,A1B1=A1C1,且BB1(1)证明:AA1⊥平面ABC;
(2)求平面A1B1C1与平面AA1C1C的夹角的余弦值的取值范围.
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(1)证明 因为AA1∥BB1,且AA1 平面BB1C1C,BB1 平面BB1C1C,
所以AA1∥平面BB1C1C.
因为AA1 平面AA1C1C,平面AA1C1C∩平面BB1C1C=CC1,
所以AA1∥CC1.又CC1⊥平面ABC,所以AA1⊥平面ABC.
(2)解 由(1)可知,AA1⊥AB,AA1⊥AC.
又AB⊥AC,则以A为原点,AB,AC,AA1所在的直线为x轴、y轴、
z轴,建立空间直角坐标系,设B1(2,0,m),C1(0,2,n).
又A1(0,0,3),且A1B1=A1C1,所以22+(m-3)2=22+(n-3)2,即(m-3)2=(n-3)2.
又BB11
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