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第一章
1.1.1 空间向量及其线性运算
学习单元1 空间向量及其运算
在必修第二册“立体几何初步”中,我们用几何方法研究空间几何体的结构特征,研究空间点、直线、平面的位置关系,研究各类角的问题等,但如果对几何图形的直观感觉不够,有时会觉得非常困难.形不够用,数来帮忙.能否用代数方法来解决问题 类比平面向量解决几何问题的基本思路,把平面向量向空间推广,利用空间向量来解决几何问题.
本学习单元类比平面向量的研究过程,学习空间向量的概念、运算;类比平面向量解决几何图形的方法,学会用空间向量解决立体几何问题.即在梳理平面向量及其运算的学习内容、过程和方法的基础上,类比提出空间向量及其运算的学习内容、过程和方法,将平面向量及其运算推广到空间.
在此基础上,我们提出本学习单元的研究内容:空间向量的实际背景→空间向量及其相关概念→空间向量的线性运算→空间向量的数量积运算→简单应用.这是本学习单元的知识明线.具体知识结构如下图所示:
本单元学习的最终目标是能类比平面向量学习空间向量及其相关概念,掌握空间向量的线性运算.空间向量的数量积运算,能用向量方法解决立体几何问题.在这个过程中,蕴含数学抽象和数学运算核心素养的培养.
学习目标 1.了解空间向量的概念.(数学抽象)
2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.
(逻辑推理)
3.掌握空间向量线性运算的法则和运算律.(数学运算)
4.掌握共线向量和共面向量的定义,会证明空间三点共线、四点共面.(逻辑推理、数学运算)
基础落实·必备知识一遍过
知识点1 空间向量的定义及相关概念
1.定义.
在空间,我们把具有 和 的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的 .
2.空间向量及其模的表示方法.
空间向量用字母a,b,c,…表示.若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作 ,其模记为|a|或 .
大小
方向
长度或模
3.空间向量的相关概念.
对于任意向量a,均有0∥a
名称 概念 记法
零向量 长度为0的向量 0
单位向量 模为1的向量 —
相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量,叫做a的相反向量 -a
相等向量 方向相同且模相等的向量 —
微思考
怎么规定零向量的方向 长度为1的向量都是相等向量吗
提示 规定零向量的方向是任意的;长度为1的向量不一定是相等向量,方向可能不同.
知识点2 空间向量的线性运算
空间向量 的加法、 减法 类似平面向量,定义空间向量的加法、减法运算(如图).
空间向量 的数乘
运算律 ①交换律:a+b=b+a;
②结合律:(a+b)+c=a+(b+c),λ(μa)= ;
③分配律:(λ+μ)a= ,λ(a+b)= (其中λ,μ∈R)
0
(λμ)a
λa+μa
λa+λb
知识点3 共线向量与共面向量
1.
类型 共线(平行)向量 共面向量
定义 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 ,那么这些向量叫做共线向量或平行向量 共线向量也叫平行向量,注意与两直线重合和平行的区别 平行于 的向量,叫做共面向量
充要 条件 对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使 如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使
互相平行或重合
同一个平面
a=λb
p=xa+yb
类型 共线(平行)向量 共面向量
推论 如果l为经过点A,且平行于非零向量a的直线,那么对于空间任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使 +ta,①如图所示. 若在直线l上取 =a,则①式可化为 如图,空间一点P位于平面BMA内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使 或对空间任意一点O,有
2.如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数λ,使得 =λa.
我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的 .这样,直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示,也就是说,直线可以由其上一点和它的方向向量确定.
方向向量
微思考
任意两个空间向量是共面向量,则任意三个空间向量是否共面
提示 任意三个空间向量不一定共面,如下图所示.
重难探究·能力素养速提升
问题1类比平面向量的相关概念及其线性运算,能否推出空间向量相应的概念及其线性运算
问题2空间向量线性运算的结果,与向量起点的选择有关系吗
问题3对两个不共线的空间向量a,b,如果p=xa+yb,那么向量p与向量a,b有什么位置关系 反过来,向量p与向量a,b有什么位置关系时,p=xa+yb
探究点一 空间向量及相关概念的理解
问题4向量有大小、有方向.若从大小来分,有哪些特殊的向量 若从方向来看,又会有哪些特殊的向量 若从大小及方向的特殊性来考虑呢
②③
解析 ①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,也可能相反,故它们不一定相等;
②正确,零向量的模为0,模为0的向量只有零向量;
规律方法 空间向量概念的辨析
1 空间向量的两个要素是大小与方向,两者缺一不可
2 单位向量的方向虽然不一定相同,但长度一定为1
3 两个空间向量的模相等,但方向不确定,因此两个空间向量(非零向量)的模相等是两个空间向量相等的必要不充分条件
4 由于方向不能比较大小,因此“大于”“小于”对空间向量来说是没有意义的,但空间向量的模是可以比较大小的
探究点二 空间向量的线性运算
问题5根据已知向量,如何用空间向量的加减运算表示其他向量
规律方法 空间向量线性运算的技巧与思路
(1)空间向量加法、减法运算的两个技巧:
①巧用相反向量:向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键,灵活运用相反向量可使有关向量首尾相接,从而便于运算.
②巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.
(2)化简空间向量的常用思路:
①分组:合理分组,以便灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行化简.
②多边形法则:在空间向量的加法运算中,若是多个向量求和,还可利用多边形法则,若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和.
③走边路:灵活运用空间向量的加法、减法法则,尽量走边路(即沿几何体的边选择途径).
探究点三 空间共线向量定理及其应用
问题6借助空间向量如何证明三点共线 三点共线如何用空间向量运算来表示
规律方法 利用空间共线向量定理可解决的主要问题
(1)判断任意两个空间向量是否共线:判断任意两个空间向量a,b(b≠0)是否共线,即判断是否存在实数λ,使a=λb.
(2)求解参数:已知两个非零向量共线,可求其中参数的值,即利用“若a∥b,则a=λb(b≠0,λ∈R)”.
(3)判断或证明空间中的任意三点(如P,A,B)是否共线:
探究点四 空间共面向量定理及其应用
问题7借助空间向量如何证明四点共面 四点共面如何用空间向量运算来表示
规律方法 证明空间三向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示:设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合,即若p=xa+yb,则向量p,a,b共面.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)空间向量的相关概念;
(2)空间向量的线性运算及运算律;
(3)空间向量共线的充要条件,直线的方向向量;
(4)空间向量共面的充要条件,三点共线、四点共面的证明方法.
2.方法归纳:类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合和转化思想.
3.常见误区:(1)容易忽视向量的“大小”和“方向”两个要素,要注意向量不是一个数;(2)容易混淆向量共线与线段共线、点共线之间的关系.
学以致用·随堂检测促达标
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1.(例1对点题)下列说法正确的是( )
A.若|a|=|b|,则向量a,b的长度相同,方向相同或相反
B.若向量a是向量b的相反向量,则|a|=|b|
C.两个向量相等,若它们的起点相同,则其终点不一定相同
D.若|a|>|b|,|b|>|c|,则a>c
B
解析 两个向量是相反向量时,它们的模必相等,故选项B正确.
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2.(例2对点题)如图所示,已知四面体OABC,M,N分别是棱OA,BC的中点,点G在MN上,且MG=2GN,设
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3.(例3对点题)
如图所示,已知四边形ABCD,ABEF都是平行四边形且不共面,M,N分别是线段AC,BF的中点,判断向量 是否共线.
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解 共线.证明如下:∵M,N分别是线段AC,BF的中点,且四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,
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4.(例4对点题)已知A,B,C三点不共线,点O是平面ABC外的任意一点,若点P分别满足下列关系:
试判断点P是否与点A,B,C共面.
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第一章
1.1.2 空间向量的数量积运算
学习目标 1.理解空间向量夹角的定义.(直观想象)
2.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律,会求空间向量的数量积.(数学运算)
3.能够运用空间向量的数量积解决夹角与距离问题.(数学运算)
基础落实·必备知识一遍过
知识点1 空间向量的夹角
已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作 =a, =b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作 ,向量夹角的取值范围是 .如果
= ,那么向量a,b互相垂直,记作 .
微思考
向量夹角与直线夹角的取值范围有何区别
[0,π]
a⊥b
知识点2 空间向量的数量积
1.定义:已知两个非零向量a,b,则 叫做a,b的数量积,
记作 .
即a·b=|a||b|cos.
特别地,零向量与任意向量的数量积为 .
|a||b|cos
a·b
0
2.数量积的运算性质.
a·e=|a|cos(e为单位向量).
若向量a,b是非零向量,则a⊥b a·b=0;
若向量a与b同向,则a·b=|a||b|;
若向量a与b反向,则a·b=-|a||b|.
特别地,|a|2=a·a或|a|=
若θ为向量a,b的夹角,则
|a·b|≤|a||b|(当且仅当向量a,b共线时,等号成立).
3.向量a在向量b上的投影向量.
在空间,向量a向向量b投影,将它们平移到同一个平面α内,利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,c=|a|cos ,向量c称为向量a在向量b上的投影向量.
4.向量a在平面β上的投影向量.
5.数量积的运算律.
(λa)·b= ,λ∈R;
a·b= (交换律);
(a+b)·c= (分配律).
微思考
若a·b>0,则一定是锐角吗 若a·b<0,则一定是钝角吗 为什么
λ(a·b)
b·a
a·c+b·c
提示 当=0时,也有a·b>0,故当a·b>0时,不一定是锐角,当=π时,也有a·b<0,故当a·b<0时,不一定是钝角.
重难探究·能力素养速提升
问题1类比平面投影向量的概念及几何意义,能否相应得到空间投影向量的概念及其几何意义
问题2对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=ac,则b=c.对于向量a,b,c,由a·b=a·c,是否得到b=c 对于三个均不为0的数a,b,c,有(ab)c=a(bc).对于向量a,b,c,(a·b)c=a(b·c)还成立吗 为什么
探究点一 求空间向量的数量积
问题3根据向量数量积的定义,如何求空间向量的数量积
【例1】 已知三棱锥O-ABC的各个侧面都是等边三角形,
且边长为2,点M,N,P分别为棱AB,BC,CA的中点.试求:
思路分析求出每个向量的模及它们的夹角,然后按照数量积的定义求解,必要时,对向量进行分解.
规律方法 空间向量运算的方法与步骤
方法:(1)利用定义,直接利用a·b=|a||b|cos并结合运算律进行计算.
(2)利用图形,计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算.
(3)利用向量分解,在几何体中进行向量的数量积运算时,要充分利用几何体的性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算.
步骤:(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的线性组合形式;
(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积;
(3)代入a·b=|a||b|cos求解.
探究点二 利用数量积求夹角
问题4向量数量积的运算涉及两个向量的模与夹角,如何利用向量数量积的逆运算求两向量的夹角
【例2】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求向量 的夹角的大小.
规律方法 利用向量数量积求夹角问题的思路
(1)结合图形,平移向量,把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用三角形的知识求解;
(2)先求a·b,再利用公式cos= 求cos,最后确定.
探究点三 利用数量积证明垂直问题
问题5两个非零向量的数量积为0时,则两向量互相垂直.根据立体几何线面垂直的判定定理,如何结合向量数量积运算证明垂直问题
【例3】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是棱DD1的中点,O是底面ABCD的中心.求证:OB1⊥平面PAC.
规律方法 利用数量积证明垂直问题的一般方法
将所证垂直问题转化为证明线线垂直,然后把直线转化为向量,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的线性运算以及数量积运算,证明直线所在向量的数量积等于零,即可证明线线垂直.
探究点四 利用数量积求距离或长度
问题6根据向量数量积的定义,两个相等向量进行数量积运算可间接得到该向量的模.根据向量的线性表示及数量积运算,如何解决距离或长度问题
【例4】 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,AB=AD=AA1=1, ∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°.求AC1的长度.
规律方法 求两点间的距离或线段长度的步骤
一 将此线段用向量表示
二 用其他已知夹角和模的向量表示该向量
三 利用|a|= ,通过计算求出|a|,即得所求距离
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)空间向量的夹角、投影;
(2)空间向量数量积的概念;
(3)空间向量数量积的性质及运算律.
2.方法归纳:转化化归.
3.常见误区:错误理解数量积的符号与夹角之间的关系.
学以致用·随堂检测促达标
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1.(例1对点题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=1,|AD|=2,|AA1|=3,
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2.(例2对点题)如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',则
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4.(例4对点题)正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2,E,F分别是棱AB,A1C1的中点,则线段EF的长是( )
C(共31张PPT)
第一章
学习单元2 空间向量基本定理
本学习单元的主要内容是空间向量基本定理.空间向量基本定理是立体几何问题代数化的基础,有了这个定理,任何一个空间向量都可以由三个不共面的基向量来唯一确定,这样就实现了从无限空间向量到有限基向量的转化,结合向量运算,能表示及解决更多的几何问题.本学习单元,从空间中三个两两垂直的不共面的向量这一特殊情况出发,类比平面向量基本定理,得到空间向量基本定理,并在简单问题中选用基底表示其他向量.由此得出本单元的研究内容:空间向量分解为三个两两垂直的向量→空间向量基本定理→简单应用.这是本学习单元的知识明线.具体知识结构如下图所示:
在知识明线的学习过程中,如何选择合适的基底来表示任一向量,体会无限化有限的思想是一个难点,这依赖于对立体几何图形基本元素及其基本关系的把握,依赖于对空间向量基本定理的应用,能较好地培养空间想象力及化归的数学思想,从而发展直观想象、数学运算、逻辑推理等素养.
学习目标 1.掌握空间向量基本定理.(数学抽象)
2.了解空间向量正交分解的含义.(数学抽象)
3.会用空间向量基本定理解决有关问题.(逻辑推理、数学运算)
基础落实·必备知识一遍过
知识点 空间向量基本定理
1.定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在_______ 有序实数组(x,y,z),使得p= .
2.基底:我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底, a,b,c都叫做 .
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底
唯一的
xa+yb+zc
基向量
3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量 ,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i,j,k}表示.
单位正交基底为建立空间直角坐标系奠定了理论基础
由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使a= .像这样,把一个空间向量分解为三个
的向量,叫做把空间向量进行正交分解.
两两垂直
xi+yj+zk
两两垂直
微思考
1.空间的一个基底中,能否有零向量 为什么
2.空间的基底是否唯一 空间的任意向量用基向量表示是否唯一
提示 不能.因为零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量
共面.
提示 空间的基底不唯一,任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底;但当基底选定时,空间任意向量用基底表示是唯一的.
重难探究·能力素养速提升
问题1平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a,b来表示(平面向量基本定理).类似地,任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量a,b,c来表示呢
问题2三个共面的向量能否表示空间中任意一个向量 为什么
探究点一 基底的判断
问题3已知{a,b,c}是空间的一个基底,则向量a,b,c应满足什么条件 为什么
【例1】 设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间的一个基底的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
规律方法 判断基底的基本思路及方法
(1)基本思路:判断三个空间向量是否共面.若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构成基底.
(2)方法:①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底.
②假设a=λb+μc,运用空间向量基本定理,建立λ,μ的方程组.若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底.
探究点二 用基底表示空间向量
问题4选取空间的一个基底,则空间任意向量均可用这个基底线性表示.根据向量的加减法及数乘运算,如何用基底表示未知向量
规律方法 用基底表示向量的注意事项
(1)空间中,任一向量都可以用一个基底表示,且只要基底确定,则表示形式是唯一的.
(2)用基底表示空间向量时,一般要结合图形,运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示.
(3)在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底.例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.
探究点三 应用空间向量基本定理证明线线位置关系
问题5基底的引入,使得空间不再“杂乱无章”,而是能用基底有序地表示.选取恰当的基底线性表示未知向量,如何根据数量积运算,证明线线位置关系
【例3】 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且CG= CD.
(1)证明:EF⊥B1C;
(2)求EF与C1G所成角的余弦值.
规律方法 应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等.
一般是根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示.
(1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0;
(2)若证明线线平行,只需证明两向量共线;
(3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角).
探究点四 应用空间向量基本定理求距离、夹角
问题6选取适当的基底表示未知向量,根据数量积定义,如何求线段的距离以及直线的夹角
【例4】 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长度都为1,且两两夹角为60°.求:
(1)AC1的长;
(2)BD1与AC所成角的余弦值.
规律方法 利用数量积求夹角或其余弦值的基本步骤
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)空间向量的基底;
(2)空间向量基本定理及其应用;
(3)空间向量共线、共面的充要条件.
2.方法归纳:转化化归.
3.常见误区:(1)基向量理解错误,没有注意到基向量的条件;(2)运算错误,利用基底表示向量时计算要细心;(3)向量夹角和直线间夹角的范围不同,不要混淆;(4)转化目标不清,如表示向量时没有转化目标,不理解空间向量基本定理的意义.
学以致用·随堂检测促达标
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1.(例1对点题)若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为空间的一个基底.
解 假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.
∵{a,b,c}是空间的一个基底,∴a,b,c不共面.
即不存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),
∴a+b,b+c,c+a不共面.
故{a+b,b+c,c+a}能作为空间的一个基底.
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B
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3.(例3对点题)已知三棱柱ABC -A1B1C1的侧棱垂直于底面,∠BAC=90°.求证:AB⊥AC1.
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4.(例4对点题)已知空间四边形ABCD,∠ACD=∠BDC=90°,且AB=2,CD=1,则AB与CD所成的角是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
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第一章
学习单元3 空间向量及其运算的坐标表示
本学习单元包括空间直角坐标系,空间向量运算的坐标表示,向量平行和向量垂直时坐标之间的关系,向量长度公式的坐标表示,两向量夹角公式的坐标表示,以及空间两点间的距离公式等内容.在平面向量中,我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为基底,建立了向量的坐标与点的坐标之间的一一对应关系,从而把平面向量的运算转化为数的运算.类似地,通过建立空间直角坐标系,以与x轴、y轴、z轴方向相同的三个单位向量i,j,k为基底,可以把空间向量的运算转化为数的运算.在此基础上,我们提出本学习单元的研究内容:空间向量基本定理→空间直角坐标系→空间向量运算的坐标表示→简单应用.这是本学习单元的知识明线.具体知识结构如下图所示:
空间向量基本定理→空间直角坐标系→空间向量运算的坐标表示→简单应用
通过本单元的学习,我们应该了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置,掌握空间向量及其运算的坐标表示,并会应用这些知识解决简单的立体几何问题,从中发展数学运算和逻辑推理等素养.
学习目标 1.了解空间直角坐标系,理解空间向量的坐标表示.(数学抽象)
2.掌握空间向量运算的坐标表示.(数学运算)
3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用.(逻辑推理、数学运算)
4.掌握空间向量的模、夹角以及两点间的距离公式,能运用公式解决问题.(数学运算)
基础落实·必备知识一遍过
知识点1 空间直角坐标系与坐标表示
1.空间直角坐标系.
在空间选定一点O和一个单位正交基底 ,以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:
,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.O叫做原点, i,j,k都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面.
x轴、y轴、z轴
2.点的坐标.
3.向量的坐标.
在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作 =a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a=(x,y,z).
当向量的始点为坐标原点时,向量的坐标与向量终点坐标是一致的
微点拨
1.画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.三个坐标平面把空间分成八个部分.
2.在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.
微思考
1.在空间直角坐标系中,O为坐标原点,向量 的坐标与终点P的坐标有何关系
2.在给定的空间直角坐标系下,空间任意一点是否与有序实数组(x,y,z)之间存在唯一的对应关系
提示 向量 的坐标恰好是终点P的坐标,这就使得向量的坐标与点的坐标形成一一对应.
提示 是.在给定空间直角坐标系下,空间给定一点,其坐标是唯一的有序实数组(x,y,z);反之,给定一个有序实数组(x,y,z),空间也有唯一的点与之对应.
知识点2 空间向量运算的坐标表示
1.空间向量的坐标运算法则.
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a+b
减法 a-b
数乘 λa
数量积 a·b
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系.
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 =(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点
坐标
3.空间向量平行与垂直条件的坐标表示.
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
(1)当b≠0时,a∥b a=λb (λ∈R);
(2)a⊥b .
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3
a·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
4.空间向量的模、夹角、距离公式的坐标表示.
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
微思考
重难探究·能力素养速提升
问题1在平面直角坐标系中,每一个点和向量都可以用一对有序实数(即它的坐标)表示.对空间直角坐标系中的每一个点和向量,是否也有类似的表示呢
问题2在空间直角坐标系Oxyz中,对空间任意一点A,或任意一个向量 ,能否借助几何直观确定它们的坐标(x,y,z)
问题3有了空间向量的坐标表示,类比平面向量的坐标运算,能否得到空间向量的坐标运算法则并加以证明
探究点一 空间向量的坐标表示
问题4我们建立了向量的坐标与点的坐标之间的一一对应关系,从而把向量的运算转化为坐标运算,由此将向量从几何往代数的方向过渡.根据向量坐标的定义,如何求空间向量的坐标表示
规律方法 用坐标表示空间向量的步骤如下:
探究点二 空间向量的坐标运算
问题5类比平面向量的坐标运算,能否得到空间向量的坐标运算法则 根据空间向量的坐标运算法则,如何进行空间向量的坐标运算
【例2】 已知在空间直角坐标系中,A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).
(方法1)(p+q)·(p-q)=|p|2-|q|2=82-66=16.
(方法2)p+q=(-5,5,14),p-q=(3,-5,4),所以(p+q)·(p-q)=-15-25+56=16.
规律方法 关于空间向量坐标运算的两类问题
直接计算 类问题 首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量坐标运算公式计算
向量或点 坐标问题 首先把向量用坐标形式设出来,然后通过建立方程(组),解方程(组)求出其坐标
探究点三 空间向量的平行与垂直
问题6根据空间向量的坐标运算法则,结合立体几何线面平行及线面垂直的判定定理,如何证明线面平行以及线面垂直
【例3】 如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB= ,AF=1,M是线段EF的中点.
求证:(1)AM∥平面BDE;
(2)AM⊥平面BDF.
规律方法 判断空间向量垂直或平行的步骤
(1)向量化:将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行.
(2)对于a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据两向量坐标间的数量积是否为0判断两向量是否垂直;根据x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R)或 (x2,y2,z2都不为0)判断两向量是否平行.
探究点四 空间向量夹角与模的计算
问题7根据空间向量的坐标运算法则,结合向量数量积的定义,如何求空间向量的夹角及模
【例4】 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2BC=2,M是棱CC1上的中点.求异面直线AM与BC所成角的余弦值.
解 以A为原点,AB,AD,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则A(0,0,0),M(1,1,1),B(1,0,0),C(1,1,0),
规律方法 向量夹角与模的计算方法
利用坐标运算解决空间向量夹角与长度的计算问题,关键是建立恰当的空间直角坐标系,写出有关点的坐标,然后利用夹角与模的计算公式进行求解.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)空间直角坐标系的概念;
(2)空间点的坐标;
(3)空间向量的坐标及坐标运算;
(4)向量的坐标表示的应用.
2.方法归纳:数形结合、类比、转化.
3.常见误区:(1)混淆空间点的坐标和向量坐标的概念,只有起点在原点的向量的坐标才和终点的坐标相同;(2)求异面直线所成的角时易忽略范围;讨论向量夹角易忽略向量共线的情况.
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3.(例3对点题)已知l为直线l的方向向量,n为平面α的法向量,且l α,判断下面直线l与平面α的位置关系是平行还是垂直.
(1)l=(-1,1,1),n=(1,4,-3);
(2)l=(-1,3,2),n=(2,-6,-4).
解 (1)由题得,l·n=-1+4-3=0,
所以l⊥n.
又l α,所以l∥α.
(2)因为n=-2l,即l∥n,所以l⊥α.
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4.(例4对点题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为A1D1,BB1的中点,则cos∠EAF= ,EF= .
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第一章
学习单元4 1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示及空间中直线、平面的平行
通过前三个单元的学习,我们类比了平面向量,得到空间向量的知识,对空间向量有了基本的认识.本学习单元进一步利用空间向量来解决立体几何问题:借助空间向量表示点、直线和平面等基本要素,建立立体图形与空间向量的联系;然后进行空间向量的运算;最后把空间向量的运算结果“翻译”成几何结论.空间中直线、平面的位置关系主要研究平行、垂直,也就是“方向”问题,而向量表达了方向,于是利用向量及其运算可以解决方向的问题.空间中度量问题主要研究“距离”和“夹角”问题,距离和角度可以用向量的运算表达,于是利用向量的运算可以解决距离和夹角的问题.向量法为解决立体几何问题提供了一种通法,这也是向量法的优势所在.利用空间向量解决立体几何问题是用空间向量表示点、直线和平面等基本要素,因此本学习单元特别关注了直线的方向向量和平面的法向量.在此基础上,我们提出本学习单元的研究内容:空间图形要素的向量表示→空间图形位置关系的向量表示→空间距离的向量表示→空间角度的向量表示.这是本学习单元的知识明线.具体知识结构如下图所示:
本单元学习的最终目标是能形成空间图形基本要素及其关系的向量表示,能用向量方法解决空间图形的位置关系和距离、夹角等度量问题,能将立体几何问题转化为空间向量问题.通过本单元的学习,发展数学抽象、数学运算等核心素养.
学习目标 1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.(数学抽象)
2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.(直观想象)
3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理.(数学抽象、数学运算)
4.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.(数学抽象、数学运算)
基础落实·必备知识一遍过
知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示
1.点的位置向量.
在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量
来表示.我们把向量 称为点P的位置向量,如图.
既包含方向,也包含距离
2.空间直线的向量表示式.
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.
由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
3.空间平面的向量表示式.
如图,取定空间任意一点O,可以得到空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使 我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
4.平面的法向量. 一个平面的法向量不唯一
如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a· =0}.
微思考
1.根据直线方向向量的定义,如何求直线的方向向量
2.根据平面法向量的定义,如何求平面的法向量
提示 l是空间一直线,A,B是直线l上任意两点,则 及与 平行的非零向量均为直线l的方向向量.
提示 设a,b是平面α内两不共线向量,n为平面α的法向量,满足方程组
的向量n均为平面α的法向量.
知识点2 空间中直线、平面平行的向量表示
位置关系 向量表示
线线平行 设μ1,μ2分别是直线l1,l2的方向向量,则l1∥l2 μ1∥μ2 λ∈R,使得μ1=λμ2
线面平行 设μ是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,l α,则l∥α μ⊥n μ·n=0
面面平行 设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则
α∥β n1∥n2 λ∈R,使得n1=λn2
微思考
1.若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量,则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行
2.若两条直线平行,它们的方向向量的方向有什么关系
提示 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直,若垂直,则线面
平行.
提示 若两条直线平行,它们的方向向量的方向相同或相反.
重难探究·能力素养速提升
问题1我们知道,空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.如何用向量表示直线l
问题2一个定点和两个定方向能否确定一个平面 进一步地,一个定点和一个定方向能否确定一个平面 如果能确定,如何用向量表示这个平面
问题3由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系,可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系
探究点一 平面的法向量及其求法
问题4为什么要求平面的法向量 它的作用是什么
问题5根据法向量的定义,如何求平面的法向量 法向量唯一吗
【例1】 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中点,求平面EDB的一个法向量.
规律方法 利用待定系数法求平面的法向量的解题步骤
探究点二 利用向量方法证明线线平行
问题6有了方向向量,空间直线就有了向量表示式.根据向量平行的判定,如何用向量法证明线线平行
【例2】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,P,Q,R,S分别是棱AA1,D1C1,AB,CC1的中点.求证:PQ∥RS.
规律方法 向量法证明两条直线平行的方法
两直线的方向向量共线时,两直线平行或重合;否则两直线相交或异面.
探究点三 利用向量方法证明线面平行
问题7有了方向向量和法向量,空间直线和平面就有了向量表示式.根据方向向量及法向量的定义,结合向量的数量积运算,如何用向量法证明线面平行
【例3】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱C1C,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.
(方法3)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图.
规律方法 利用空间向量证明线面平行的方法
(1)利用共面向量法:证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线向量a,b是共面向量,即满足p=xa+yb(x,y∈R),则p,a,b共面,从而可证直线与平面平行.
(2)利用共线向量法:证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线,再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行.
(3)利用法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,证明方向向量与法向量垂直,从而证明直线与平面平行.
探究点四 利用向量方法证明面面平行
问题8根据平面法向量的定义,结合向量平行的判定,如何用向量法证明面面平行
【例4】 如图,已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是AD1,BD,B1C的中点,利用向量法证明:平面MNP∥平面CC1D1D.
证明 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),A(2,0,0),M(1,0,1),N(1,1,0),P(1,2,1),则
规律方法 利用空间向量证明面面平行的方法
(1)转化为线面平行、线线平行,然后借助向量共线进行证明;
(2)通过证明两个平面的法向量平行证明.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)空间点、直线、平面的向量表示;
(2)直线的方向向量,平面的法向量;
(3)线线平行、线面平行、面面平行的向量表示.
2.方法归纳:待定系数法、坐标法、转化化归.
3.常见误区:(1)不理解直线的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性;(2)通过向量和平面平行直接得到线面平行,忽略直线不在平面内的条件.
学以致用·随堂检测促达标
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1.(例1对点题)
如图所示,已知四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD= ,试建立适当的坐标系.
(1)求平面ABCD的一个法向量;
(2)求平面SAB的一个法向量;
(3)求平面SCD的一个法向量.
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解 以点A为原点,AD,AB,AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
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2.(例2对点题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段A1D上,点Q在线段AC上,线段PQ与直线A1D和AC都垂直,求证:PQ∥BD1.
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证明 以点D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),
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3.(例3对点题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:FC1∥平面ADE.
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4.(例4对点题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分别为棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点.求证:平面AMN∥平面EFBD.
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∵EF∩BF=F,
∴MN∥平面EFBD,AM∥平面EFBD.
又MN∩AM=M,
∴平面AMN∥平面EFBD.(共29张PPT)
第一章
学习单元4 1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的垂直
学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.(直观想象)
2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理.(逻辑推理、数学运算)
3.能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系.(逻辑推理、数学运算)
基础落实·必备知识一遍过
知识点 空间中直线、平面垂直的向量表示
位置关系 向量表示
线线垂直 设直线l1,l2的方向向量分别为μ1,μ2,则l1⊥l2 μ1⊥μ2 μ1·μ2=0
可判定相交垂直,也可判定异面垂直
线面垂直 设直线l的方向向量为μ,平面α的法向量为n,则l⊥α
面面垂直 设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β
μ∥n
λ∈R,使得μ=λn
n1⊥n2
n1·n2=0
微思考
如何利用直线的方向向量与平面的法向量判断垂直关系
提示 (1)若证线线垂直,则证直线的方向向量垂直;
(2)若证线面垂直,则证直线的方向向量与平面的法向量平行;
(3)若证面面垂直,则证两平面的法向量垂直.
重难探究·能力素养速提升
问题1类比空间中直线与平面平行的向量表示,空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中,直线的方向向量、平面的法向量有什么联系 对于几何关系,如何用向量的运算来判断
探究点一 利用向量方法证明线线垂直
问题2根据直线的方向向量,结合向量的数量积运算,如何用向量法证明线线垂直
【例1】 如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,E,F分别是AB,PC的中点.求证:EF⊥CD.
证明 以A为原点,AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,令AB=2a,AD=2b,AP=2c,则
规律方法 利用向量方法证明线线垂直的方法
坐标法 建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直
基向 量法 利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律,结合图形,将两直线所在的向量用基向量表示,然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直
探究点二 利用向量方法证明线面垂直
问题3根据直线方向向量和平面法向量的定义,结合几何直观想象,如何用向量法证明线面垂直
【例2】 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点.求证:D1M⊥平面EFB1.
(方法2)以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
规律方法 利用空间向量证明线面垂直的方法
探究点三 利用向量方法证明面面垂直
问题4根据平面法向量的定义,结合几何直观想象,如何用向量法证明面面垂直
【例3】 如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,点E为棱BB1的中点.证明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.
证明 由题意得AB,BC,B1B两两垂直.以点B为原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
令x1=1,得y1=1,∴n1=(1,1,0).
设平面AEC1的法向量为n2=(x2,y2,z2),
令z2=4,得x2=1,y2=-1,∴n2=(1,-1,4).
∵n1·n2=1×1+1×(-1)+0×4=0,
∴n1⊥n2,∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.
规律方法 证明面面垂直的两种方法
(1)常规法:利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.
(2)向量法:证明两个平面的法向量互相垂直.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)直线与直线垂直的向量表示;
(2)直线与平面垂直的向量表示;
(3)平面与平面垂直的向量表示.
2.方法归纳:转化法、法向量法.
3.常见误区:容易混淆直线的方向向量、平面的法向量之间的关系与线面垂直关系的对应.
学以致用·随堂检测促达标
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1.(例1对点题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AC的中点.求证:
(1)BD1⊥AC;
(2)BD1⊥EB1.
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证明 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
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2.(例2对点题)如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD.
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证明 如图所示,取线段BC的中点O,连接AO.
因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,
且平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AO 平面ABC,
所以AO⊥平面BCC1B1.
取线段B1C1的中点O1,以O为坐标原点,OB,OO1,OA
所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,
则B(1,0,0),D(-1,1,0), A1(0,2, ),A(0,0, ),B1(1,2,0).
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3.(例3对点题)如图,在五面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD, AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE= AD.
求证:平面AMD⊥平面CDE.
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证明 如图,建立空间直角坐标系,点A为坐标原点,AB,AD,AF所在直线分别为x轴、y轴、z轴.
又AM∩AD=A,∴CE⊥平面AMD.
又CE 平面CED,∴平面AMD⊥平面CDE.(共27张PPT)
第一章
学习单元4 1.4.2 第1课时 距离问题
学习目标 能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题.(直观想象、逻辑推理、数学运算)
基础落实·必备知识一遍过
知识点1 点到直线的距离、两条平行直线之间的距离
1.点到直线的距离.
已知直线l的单位方向向量为μ,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.
2.两条平行直线之间的距离.
求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.
切记μ是单位方向向量
微思考
1.点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度.由于直线与直线外一点确定一个平面,所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题.如此,点到直线的距离可以转化为平面几何的什么问题
2.由于平行线上任一点到另一直线的距离都相等,所以平行线的距离可转化为什么问题
提示 可转化为平面几何利用三角形等面积法解决点到直线的距离.
提示 求两平行线的距离,可以在其中一平行线上取点,点到另一平行线的距离即为两平行线的距离,因此,可以转化为点到线的距离.
知识点2 点到平面的距离、两个平行平面之间的距离
点到平面的距离
已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则点P到平面α的距离为
微思考
当线面平行时,线上任一点到平面的距离都相等;当面面平行时,平面上任一点到另一平面的距离也都相等.如此,线面距离与面面距离可转化为什么问题
提示 线面距离、面面距离都需要根据其定义,通过一定的方法转化为点到平面的距离求解.
重难探究·能力素养速提升
问题1已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.利用这些条件,结合投影向量的定义及勾股定理,可否设计求点P到直线l的距离的基本思路
问题2向量的坐标运算,凸显空间几何元素的数量特征.类比向量法求点到直线的距离,根据投影向量的定义、向量的坐标运算、勾股定理等,结合几何直观想象,如何求点到平面的距离
探究点一 利用空间向量求点线距
问题3根据投影向量的定义及勾股定理,结合几何直观想象,如何用向量法求点到直线的距离
【例1】 已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求点B到直线A1C1的距离.
解 以B为坐标原点,BA,BC,BB1分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(4,0,1),C1(0,3,1),B(0,0,0),
规律方法 用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点:
(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段;
(2)在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点;
(3)直线的方向向量可以任取,但必须保证计算正确.
探究点二 利用空间向量求点面距
问题4利用平面法向量及投影向量的定义,结合几何直观想象,如何用向量法求点到平面的距离
【例2】 在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2 ,M,N分别为棱AB,SB的中点,如图所示.求点B到平面CMN的距离.
解 取线段AC的中点O,连接OS,OB.
∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SO,AC⊥BO.
∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,
∴SO⊥平面ABC.
又BO 平面ABC,∴SO⊥BO.
规律方法 求点到平面的距离的三种主要方法
方法一 作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离
方法二 在三棱锥中用等体积法求解
方法三 向量法: (n为平面的法向量,A为平面上一点,MA为过点A的斜线段)
探究点三 转化与化归思想在求空间距离中的应用
问题5如何用向量法求两平行平面的距离 体现了怎样的思想
【例3】 如图,在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点坐标为A(1,0,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1),求平面AB1C与平面A1C1D之间的距离.
x=1,y=1,则n=(1,1,-1)是平面A1C1D的一个法向量.
因为A1C1∥AC,A1C1 平面A1C1D,AC 平面A1C1D,所以AC∥平面A1C1D.
因为C1D∥AB1,C1D 平面A1C1D,AB1 平面A1C1D,所以AB1∥平面A1C1D.
又AC∩AB1=A,AC,AB1 平面AB1C,故平面AB1C∥平面A1C1D.
所以点A到平面A1C1D的距离即为平面AB1C与平面A1C1D之间的距离,
规律方法 求两个平行平面的距离,先在其中一个平面上找到一点,然后转化为该点到另一个平面的距离求解.注意:这个点要选取适当,以方便求解为主.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)点到直线的距离;
(2)点到平面的距离;
(3)直线到平面的距离;
(4)两平行平面间的距离.
2.方法归纳:数形结合法、转化法.
3.常见误区:(1)容易对距离公式理解不到位,在使用时不注意条件的限制;(2)容易对公式推导过程的理解不清晰.
学以致用·随堂检测促达标
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1.(例1对点题)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长均为2,求点B到直线A1C1的距离.
解 以B为坐标原点,分别以BA,过点B垂直于BA的直线,BB1为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),A1(2,0,2),C1(1, ,2),所以直
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2.(例2对点题)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.
(1)求证:B1C∥平面A1BD;
(2)求直线B1C到平面A1BD的距离.
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(2)解 因为B1C∥平面A1BD,所以直线B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离.如图,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),B1(0,2 ,3),
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),
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3.(例3对点题)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M,N,E,F分别为A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点,则平面AMN到平面EFBD的距离为 .
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解析 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(4,0,0),M(2,0,4),D(0,0,0),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4), N(4,2,4),
∴EF∥MN,BF∥AM,EF∩BF=F,MN∩AM=M,EF,BF 平面EFBD,MN,AN 平面AMN,
∴平面AMN∥平面EFBD.
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第一章
学习单元4 1.4.2 第2课时 夹角问题
学习目标 1.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系,会用向量方法求两异面直线所成角.(直观想象、数学运算)
2.理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求直线与平面所成角.(逻辑推理、数学运算)
3.理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系,会用向量方法求二面角的大小.(数学运算)
基础落实·必备知识一遍过
知识点1 利用向量方法求两条异面直线所成的角
若异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别是u,v,则
微思考
两异面直线所成的夹角能否等同于其方向向量的夹角
提示 不等同,两条异面直线所成的夹角的取值范围是(0, ];两向量所成的夹角的范围是[0,π].
知识点2 利用向量方法求直线与平面所成的角
直线与平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的射影所成的角,其范围是
直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ=|cos|
微思考
直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角有怎样的关系
提示 设n为平面α的一个法向量,a为直线a的方向向量,直线a与平面α所成的角为θ,则
知识点3 利用向量方法求两个平面的夹角
1.平面α与平面β的夹角:平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.
2.若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角,设平面α与平面β的夹角为θ,则
微思考
平面与平面所成的夹角与两平面的法向量所成夹角有何关系
提示 两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角,注意两平面夹角的取值范围为[0, ].
重难探究·能力素养速提升
问题1方向向量的引入,使得直线有了向量表示式.基于此,可否利用向量求两异面直线的夹角 夹角的取值范围是什么
问题2法向量的引入,使得平面也有了向量表示式.类比求两异面直线的夹角,结合直线与平面的夹角、平面与平面的夹角的几何概念,可否利用向量来求直线与平面的夹角以及两个平面的夹角
探究点一 利用向量方法求两异面直线所成角
问题3类比平面向量的夹角运算,如何求空间两异面直线的夹角
【例1】 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,E,F分别是棱AB,BB1的中点,试求直线EF和BC1所成的角.
解 以B为原点,分别以直线BC,BA,BB1为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(如图).
规律方法 1.利用空间向量求两异面直线所成角的步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系.
(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标.
(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角.
(4)结合异面直线所成角的取值范围得到两异面直线所成角.
2.求两条异面直线所成的角的两个关注点
(1)余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值,而对应的方向向量的夹角可能为钝角.
(2)取值范围:异面直线所成角的取值范围是 ,故两直线方向向量夹角的余弦值为负时,应取其绝对值.
探究点二 利用向量方法求直线与平面所成角
问题4几何图形中的夹角求解,都是转化为向量的夹角来运算.如何求直线与平面的夹角 转化为什么向量的夹角
【例2】 如图所示,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC, AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为棱PC的中点.
(1)证明MN∥平面PAB;
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
(1)证明 由已知得AM= AD=2.
如图,取棱BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC的中点知TN∥BC,TN= BC=2.
又AD∥BC,故TN∥AM且TN=AM,所以四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.
因为AT 平面PAB,MN 平面PAB,所以MN∥平面PAB.
规律方法 若直线l与平面α的夹角为θ,利用法向量计算θ的步骤如下:
探究点三 利用向量方法求两个平面的夹角
问题5如何求两个平面的夹角 转化为什么向量的夹角
【例3】 如图,在正方体ABEF-DCE'F'中,M,N分别为AC,BF的中点,求平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值.
解 设正方体棱长为1.以B为坐标原点,BA,BE,BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则
规律方法 利用平面的法向量求两个平面的夹角
利用向量方法求两平面夹角大小时,多采用法向量法.即求出两个面的法向量,然后通过法向量的夹角来得到两平面夹角.需注意法向量夹角范围是[0,π],而两相交平面夹角范围是
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)异面直线所成的角;
(2)直线与平面所成的角;
(3)平面与平面所成的角.
2.方法归纳:转化化归法.
3.常见误区:容易混淆两个向量的夹角和空间角的关系.
学以致用·随堂检测促达标
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1.(例1对点题)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=6,点E在线段C1D1上,且2D1E=EC1,M为线段BE的中点,若BE=2 ,则异面直线AD1与CM所
成角的余弦值为 .
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解析 (方法1)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设CC1=a(a>0),则
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2.(例2对点题)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线A1B与平面BDE所成的角为( )
B
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3.(例3对点题)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=BC=AB=2,AB⊥BC,求平面A1B1C与平面A1CC1夹角的大小.
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解 如图,以B为原点,分别以BA,BC,BB1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
则A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(0,0,2),C1(0,2,2),设AC的中点为M,则M(1,1,0),连接BM.
因为BM⊥AC,BM⊥CC1,AC∩CC1=C,所以BM⊥平面A1C1C,即 =(1,1,0)是平面A1CC1的一个法向量.
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