【世纪金榜】2016版高中物理 5.6向心力（精讲优练课型）课时自测 新人教版必修2
1.(2015·连云港高一检测)对做圆周运动的物体所受的向心力说法正确的是
( )
A.因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B.因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C.向心力是物体所受的合外力
D.向心力和向心加速度的方向都是不变的
【解析】选B。做匀速圆周运动的物体所受的向心力大小恒定，方向总是指向圆心，是一个变力，A错；向心力只改变线速度方向，不改变线速度大小，B对；只有做匀速圆周运动的物体其向心力是由物体所受合外力提供，C错；向心力与向心加速度的方向总是指向圆心，是时刻变化的，D错。
2.如图所示，一只老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，则关于老鹰受力的说法正确的是( )
A.老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力的作用
B.老鹰受重力和空气对它的作用力
C.老鹰受重力和向心力的作用
D.老鹰受空气对它的作用力和向心力的作用
【解析】选B。老鹰在空中 ( http: / / www.21cnjy.com )做圆周运动，受重力和空气对它的作用力两个力的作用，两个力的合力充当它做圆周运动的向心力。但不能说老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力三个力的作用。选项B正确。
3.(2015·攀枝花高一检测)如 ( http: / / www.21cnjy.com )图所示，在水平转动的圆盘上，两个完全一样的木块A、B一起随圆盘做匀速圆周运动，转动的角速度为ω，已知木块A、B到圆盘中心O的距离为rA和rB，则两木块的向心力之比为( )
A.rA∶rB B.rB∶rA
C.∶ D.∶
【解析】选A。木块A、B在绕O点转动的过程中，是木块与圆盘间的静摩擦力提供了向心力，因两木块旋转的角速度ω等大，质量一样，由向心力公式F=
mrω2得FA=mrAω2，FB=mrBω2，解得FA∶FB=rA∶rB。
4.如图所示，旋转木马被 ( http: / / www.21cnjy.com )水平钢杆拴住，绕转台的中心轴做匀速圆周运动。若相对两个木马间的杆长为6m，木马的质量为30kg，骑木马的儿童质量为40kg，当木马旋转的速度为6m/s时，试求：
(1)此时儿童的向心力由哪个物体提供。
(2)此时儿童受到的向心力是多大。
【解析】(1)儿童受到木马对他的作用力和重力作用，向心力由木马提供。
(2)儿童所受向心力由木马提供且指向圆心，由Fn=m得Fn=40×N=480N。
答案：(1)木马 (2)480N
【总结提升】处理匀速圆周运动问题的基本原则
(1)明白向心力的来源，即什么力来提供向心力，大小等于多少。
(2)准确确定圆周运动的圆心位置、半径大小。
(3)熟记向心力公式的各种表达式，在不同的情况下选用不同的表达式解题。
5.一位链球运动员在水平面内旋转质量为4kg的链球，链球每1s转一圈，转动半径为1.5m，求：
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)链球的线速度。
(2)链球做圆周运动需要的向心力。
【解析】(1)链球的角速度ω=，故线速度
v=rω==3πm/s=9.42m/s
(2)根据向心力公式F=
可得F=N=236.6N
答案：(1)9.42m/s (2)236.6N课时提升作业(五)
向 心 力
一、选择题(本题共5小题,每小题7分,共35分。多选题已在题号后标出)
1.(2014·凯里高一检测)对于做匀速圆周运动的物体,以下说法正确的是( )
A.速度不变
B.受到平衡力作用
C.除受到重力、弹力、摩擦力之外,还受到向心力的作用
D.所受合力大小不变,方向始终与线速度垂直并指向圆心
【解析】选D。做匀速圆周运动的物体速度方向不断变化,A错误。又因为做匀速圆周运动的物体具有向心加速度,所以所受合力不为零,B错误。向心力是效果力,受力分析时不考虑,C错误。做匀速圆周运动的物体,合力充当向心力,所以其大小不变,方向始终与线速度垂直并指向圆心,D正确。
2.如图所示,一只老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动,则关于老鹰受力的说法正确的是( )
A.老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力的作用
B.老鹰受重力和空气对它的作用力
C.老鹰受重力和向心力的作用
D.老鹰受空气对它的作用力和向心力的作用
【解析】选B。老鹰在空中做圆周运动,受重力和空气对它的作用力两个力的作用,两个力的合力充当它做圆周运动的向心力。但不能说老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力三个力的作用。选项B正确。
3.汽车甲和汽车乙质量相等,以相等的速率 ( http: / / www.21cnjy.com )沿同一水平弯道做匀速圆周运动,甲车在乙车的外侧。两车沿半径方向受到的摩擦力分别为Ff甲和Ff乙,以下说法正确的是( )
A.Ff甲小于Ff乙 B.Ff甲等于Ff乙
C.Ff甲大于Ff乙 D.Ff甲和Ff乙大小均与汽车速率无关
【解析】选A。两车做圆周运动的向心力均由摩擦力提供,由于甲车在乙车外侧,故r甲>r乙,而两者质量和速率均相等,据Ff=m可得选项A正确。
4.(2014·西宁高一检测)甲、乙两个物体都做匀速圆周运动,其质量之比为
1∶2,转动半径之比为1∶2,在相同的时间里甲转过60°,乙转过45°,则它们
的向心力之比为( )
A.1∶4 B.2∶3 C.4∶9 D.9∶16
【解析】选C。由匀速圆周运动的向心力公式得,Fn=mω2R=m()2R,所以=。
5.如图所示,天车下吊着两个质量都是m的工 ( http: / / www.21cnjy.com )件A和B,系A的吊绳较短,系B的吊绳较长。若天车运动到P处突然停止,则两吊绳所受的拉力FA和FB的大小关系为( )
A.FA>FB B.FAC.FA=FB=mg D.FA=FB>mg
【解题指南】解答本题应注意以下两点:
(1)天车突然停止时,A、B两工件开始做圆周运动。
(2)吊绳的拉力和重力的合力提供向心力。
【解析】选A。设天车原来的速度大小为v,天车突然停止运动,A、B工件都处于圆周运动的最低点,线速度均为v。由于F-mg=m,故拉力F=mg+m,又由于rAFB,A正确。
二、非选择题(15分)
6.(2014·成都高一检测)有一种叫“飞 ( http: / / www.21cnjy.com )椅”的游乐项目,如图所示。长为L的钢绳一端系着座椅,另一端固定在半径为r的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘以角速度ω匀速转动时,钢绳与转轴在同一竖直平面内,与竖直方向的夹角为θ。不计钢绳的重力,求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系。
【解析】对座椅受力分析,如图所示
y轴上,Fcosθ=mg
x轴上,Fsinθ=mω2(r+Lsinθ)
则由以上两式得
tanθ=
因此ω=
答案:ω=
【总结提升】处理匀速圆周运动问题的基本原则
(1)明白向心力的来源,即什么力来提供向心力,大小等于多少;
(2)准确确定圆周运动的圆心位置、半径大小;
(3)熟记向心力公式的各种表达式,在不同的情况下选用不同的表达式解题。
【变式训练】一位链球运动员在水平面内旋转质量为4kg的链球,链球每1s转一圈,转动半径为1.5m,求:
(1)链球的线速度;
(2)链球做圆周运动需要的向心力。
【解析】(1)链球的角速度ω=,故线速度
v=rω==3πm/s=9.42m/s
(2)根据向心力公式F=
可得F=N=236.6N
答案:(1)9.42m/s (2)236.6N
一、选择题(本题共4小题,每小题7分,共28分。多选题已在题号后标出)
1.(2014·崇文高一检测)关于向心力的说法中错误的是( )
A.向心力总是沿半径指向圆心,且大小不变,向心力是一个恒力
B.向心力是沿着半径指向圆心方向的合力,是根据力的作用效果命名的
C.向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力,也可以是其中某个力的分力
D.向心力只改变物体线速度的方向,不可能改变物体线速度的大小
【解析】选A。向心力是根据 ( http: / / www.21cnjy.com )力的作用效果命名的,可以是某个力或几个力的合力,也可以是某个力的分力,B、C正确;向心力跟线速度方向垂直,只改变线速度的方向,不可能改变线速度的大小,D正确;向心力是变力,A错误。
2.(2013·上海高考)秋千的吊绳有些磨损。在摆动过程中,吊绳最容易断裂的时候是秋千( )
A.在下摆过程中 B.在上摆过程中
C.摆到最高点时 D.摆到最低点时
【解题指南】解答本题时应注意理解以下两点:
(1)重力和吊绳的拉力提供向心力;
(2)拉力最大时,吊绳最容易断裂。
【解析】选D。当秋千摆到最低点时速度最大,由F-mg=m知,吊绳中拉力F最大,吊绳最容易断裂,选项D正确。
3.(2014·徐州高一检测)如图所示 ( http: / / www.21cnjy.com ),在双人花样滑冰运动中,有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面,目测体重为G的女运动员做圆锥摆运动时与水平冰面的夹角约为30°,重力加速度为g,估算知该女运动员( )
A.受到的拉力为G B.受到的拉力为2G
C.向心加速度为3g D.向心加速度为2g
【解析】选B。如图所示,F1=Fcos30°,F2=Fsin30°,F2=G,F1=ma,所以a=g,F=2G。选项B正确。
( http: / / www.21cnjy.com )
4.质量不计的轻质弹性杆P插在桌面上,杆端套有一个质量为m的小球,今使小球沿水平方向做半径为R的匀速圆周运动,角速度为ω,如图所示,则杆的上端受到的作用力大小为( )
A.mω2R B.
C. D.不能确定
【解析】选C。小球在重力和杆的作用力下做匀速圆周运动。这两个力的合力充当向心力必指向圆心,如图所示。用力的合成法可得杆的作用力:F==,根据牛顿第三定律,小球对杆的上端的反作用力F'=F,C正确。
二、非选择题(本题共2小题,共22分)
5.(10分)如图所示,旋转木马被 ( http: / / www.21cnjy.com )水平杠杆拴住,绕转台的中心轴做匀速圆周运动。若相对两个木马间的杆长为6m,木马的质量为30 kg,骑木马的儿童质量为40 kg,当木马旋转的速度为6 m/s时,试问:
(1)此时木马和儿童的向心力由哪个物体提供
(2)此时儿童受到的向心力是多大
【解析】(1)木马受骑在木马上的儿童对它的压力、重力和杠杆对它的作用力做匀速圆周运动。木马受到的向心力由杠杆提供;儿童受到木马对他的作用力和重力作用,向心力由木马提供。(2)儿童所受向心力由木马提供且指向圆心,由Fn=m,得Fn=40×N=480 N
答案:(1)杠杆 木马 (2)480N
6.(12分)如图所示,两根长度相 ( http: / / www.21cnjy.com )同的轻绳,连接着相同的两个小球,让它们穿过光滑的杆在水平面内做匀速圆周运动,其中O为圆心,两段细绳在同一直线上,此时,两段绳子受到的拉力之比为多少
【解析】设每段绳子长为l,对球2有F2=2mlω2
对球1有:F1-F2=mlω2,由以上两式得:F1=3mlω2
故=。
答案:3∶2
【总结提升】处理匀速圆周运动问题的基本方法
(1)明确哪一个物体做匀速圆周运动。
(2)确定物体做匀速圆周运动的圆心和半径。
(3)分析物体的受力情况。
(4)在半径方向上的合力提供向心力。
(5)按照向心力合适的形式列出方程,并求解。课件修订记录表
版本：人教必修二 节： 第五章 第6节 向心力 作者： 贾光东
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6
向 心 力
一、向心力
1.定义：做匀速圆周运动的物体产生向心加速度的原因是它受到了
指向_____的合力，这个力叫作向心力。
圆心
2.方向：始终沿着_____指向_____。
3.表达式：
(1)Fn=_____。
(2)Fn=_____。
4.效果力：向心力是根据力的_________来命名的，凡是产生向心加
速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力。
半径
圆心
mω2r
作用效果
【判一判】(1)向心力既可以改变线速度的大小，也可以改变线速度的方向。( )
(2)物体做圆周运动的线速度越大，向心力一定越大。( )
(3)向心力和重力、弹力一样，是性质力。( )
提示：(1)×。向心力的方向始终与物体的速度方向垂直，不改变线速度的大小，只改变线速度的方向。
(2)×。物体做圆周运动时的向心力与多个因素有关，线速度越大，向心力不一定越大。
(3)×。向心力是效果力，不是性质力。
二、变速圆周运动和一般的曲线运动
1.变速圆周运动的合力：变速圆周运动的合力产生两个方向的效果；
(1)跟圆周相切的分力Ft：产生_____加速度，此加速度描述线速度
_____变化的快慢。
(2)指向圆心的分力Fn：产生_____加速度，此加速度描述速度_____
改变的快慢。
切向
大小
向心
方向
2.一般的曲线运动的处理方法：
(1)定义：运动轨迹既不是_____也不是_____的曲线运动。
(2)处理方法：一般的曲线运动中，可以把曲线分割成许多很短的小
段，每一小段可看作一小段_____，研究质点在这一小段的运动时，
可以采用圆周运动的处理方法进行处理。
直线
圆周
圆弧
一、对向心力的理解
思考探究：
如图所示，汽车正在匀速率转弯，小球正在绳子拉力作用下做匀速圆周运动，请思考：
(1)它们的向心力分别是由什么力提供的？
(2)物体做匀速圆周运动时，它所受的向心力的大小、方向有什么特点？
提示：(1)汽车转弯时，地面对汽车的摩擦力充当向心力；小球圆周运动时，小球所受的绳子拉力与重力的合力充当向心力。
(2)物体做匀速圆周运动时，向心力的方向不断改变，向心力的大小不变。
【归纳总结】
1.向心力的特点：
(1)方向：方向时刻在变化，始终指向圆心，与线速度的方向垂直。
(2)大小：Fn= =mrω2=mωv=m r，在匀速圆周运动中，向心
力大小不变；在非匀速圆周运动中，其大小随速率v的变化而变化。
2.向心力的作用效果：由于向心力的方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小，只改变线速度的方向。
3.向心力的来源：物体做圆周运动时，向心力由物体所受力中沿半径方向的力提供。可以由一个力充当向心力；也可以由几个力的合力充当向心力；还可以是某个力的分力充当向心力。
实例 向心力 示意图
用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时 绳子的拉力和重力的合力提供向心力，F向=F+G
用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动 线的拉力提供向心力，F向=FT
实例 向心力 示意图
物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止 转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向=Ff
小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动 重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向=F合
【典例示范】(多选)(2015·莆田高一检测)如图所示，用细绳拴一小球在光滑桌面上绕一铁钉(系一绳套)做匀速圆周运动，关于小球的受力，下列说法正确的是( )
A.重力、支持力、绳子拉力
B.重力、支持力、绳子拉力和向心力
C.重力、支持力、向心力
D.绳子拉力充当向心力
【解题探究】
(1)受力分析时，是否分析向心力？
提示：不分析，因为向心力是效果力，受力分析时不分析效果力。
(2)一般地，物体受到的力中沿_____方向的力充当向心力。
【正确解答】选A、D。小球受重力、支持力、绳子拉力三个力的作用，A正确，B、C错误；重力和支持力是一对平衡力，绳子的拉力充当向心力，D正确。
半径
【误区警示】向心力与合外力的辨析
(1)“一定”关系：无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，物体所受各力沿半径方向分量的矢量和一定为向心力。
(2)“不一定关系”：匀速圆周运动中，向心力就是合外力；非匀速圆周运动中，向心力不是合外力，向心力是合外力沿半径方向的分力，合外力不指向圆心。
【过关训练】
1.(多选)下列关于向心力的说法中正确的是( )
A.物体受到向心力的作用才可能做圆周运动
B.向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果来命名的，但受力分析时应该画出
C.向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是其中某一种力或某几种力的合力
D.向心力只改变物体运动的方向，不改变物体运动的快慢
【解析】选C、D。向心力是一种效果力，实际中由某种或某几种性质力提供，受力分析时不分析向心力，A、B错，C对。向心力只改变物体线速度的方向，不改变线速度的大小，D对。
2.(2015·通化高一检测)如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物体一起运动，充当向心力的是( )
A.重力
B.弹力
C.静摩擦力
D.滑动摩擦力
【解析】选B。物体在竖直方向上受重力和静摩擦力作用，两力平衡，在水平方向上受弹力作用，弹力充当向心力，B正确。
3.甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶2，在相同的时间里甲转过60°，乙转过45°，则它们的向心力大小之比为( )
A.1∶4 B.2∶3 C.4∶9 D.9∶16
【解析】选C。由于m1∶m2=1∶2，r1∶r2=1∶2，ω1∶ω2=θ1∶θ2= 4∶3，向心力F=mrω2，故F1∶F2=4∶9，C对。
【补偿训练】在水平面上，小猴拉着小滑块做匀速圆周运动，O点为圆心，能正确地表示小滑块受到的牵引力及摩擦力Ff的图是( )
【解析】选A。滑动摩擦力的方向与相对运动的方向相反，故滑动摩擦力的方向沿圆周的切线方向，B、D错误；小滑块做匀速圆周运动，其合外力提供向心力，故A正确，C错误。
二、匀速圆周运动问题的分析思路
思考探究：
如图所示，圆盘上物体随圆盘一起匀速转动；在光滑漏斗内壁上，小球做匀速圆周运动。请思考：
(1)它们运动所需要的向心力分别由什么力提供？
(2)计算圆盘上物体所受的向心力和漏斗内壁上小球的角速度分别需要知道哪些信息？
提示：(1)圆盘上物体所需要的向心力由圆盘对它的指向圆心的静摩擦力提供；光滑漏斗内的小球做圆周运动的向心力由它所受的弹力和重力的合力提供。
(2)计算圆盘上物体所受的向心力需要知道小球做圆周运动的半径、角速度(或线速度)、小球的质量。
计算漏斗内壁上小球的角速度需要知道小球做圆周运动的半径、小球所受的合力以及小球的质量。
【归纳总结】
1.指导思路：
凡是做匀速圆周运动的物体一定需要向心力。物体所受外力的合力充当向心力，这是处理该类问题的理论基础。
2.解题步骤：
(1)明确研究对象：在处理圆周运动问题时，如果涉及两个或两个以上的物体时，首先得明确研究对象，这是研究问题的关键。
(2)运动情况分析：确定研究对象运动的轨道平面和圆心位置，分析物体做圆周运动的半径r和运动快慢(v或ω或T)。
(3)受力分析：对物体进行受力分析，找出沿着轨道半径方向的力(包
括某些力在该方向上的分力)，它或它们的合力充当向心力。
(4)列方程求解：根据牛顿第二定律，即Fn=ma= =mrω2=mωv=
m r列方程并求解。
【典例示范】(2015·潍坊高一检测)如图所示，水平转盘上放有一质
量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转
盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，
求：
(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度。
(2)当角速度为 时，绳子对物体拉力的大小。
【解题探究】
(1)绳子对物体的拉力为零时，物体受几个力的作用？
提示：物体受重力、弹力、摩擦力三个力的作用。
(2)什么力充当物体做圆周运动的向心力？
提示：角速度较小时，圆盘对物体的摩擦力充当向心力；角速度较大时，绳子拉力与摩擦力的合力充当向心力。
【正确解答】(1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零时转速达到最大，设此时转盘转动的角速度为ω0，则μmg=mω02r，得ω0= 。
(2)当ω= 时，ω>ω0，所以绳子的拉力F和最大静摩擦力共同提供向心力，此时，F+μmg=mω2r
即F+μmg=m· ·r，
得F= μmg。
答案：(1) (2) μmg
【过关训练】
1.(拓展延伸)若【典例示范】中转盘的角速度为 时，绳子对物体拉力的大小及物体所受的摩擦力分别是多少？
【解析】当ω= 时，ω<ω0，所以此时绳子拉力为0，
由静摩擦力提供向心力f=mω2r，得f= μmg。
答案：0 μmg
2.(多选)一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直水平面，圆锥筒固定，有质量相同的小球A和B沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，A的运动半径较大，则( )
A.A球的角速度必小于B球的角速度
B.A球的线速度必小于B球的线速度
C.A球的运动周期必大于B球的运动周期
D.A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力
【解析】选A、C。两个小球均受到重力mg和筒壁
对它的弹力FN的作用，其合力必定在水平面内时
刻指向圆心。由图可知，筒壁对球的弹力FN=
向心力Fn=mgcotθ，其中θ为圆锥顶角的一半。
对于A、B两球，因质量相等，θ角也相等，所以A、B两小球受到筒壁
的弹力大小相等，A、B两小球对筒壁的压力大小相等，D错误。由牛
顿第二定律知，mgcotθ= 所以，小球的线速度
角速度 周期T=2π 。由此可见，小球
A的线速度必定大于小球B的线速度，B错误。小球A的角速度必小于小
球B的角速度，小球A的周期必大于小球B的周期，A、C正确。
3.长为L的细线，拴一质量为m的小球，细线上端固定，让小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，求细线与竖直方向成θ角时：
(1)细线中的拉力大小。
(2)小球运动的线速度的大小。
【解析】(1)小球受重力及绳子的拉力两力作用，如图所示，
竖直方向
FTcosθ=mg，
故拉力FT=
(2)小球做圆周运动的半径
r=Lsinθ，
向心力Fn=FTsinθ=mgtanθ，
而
故小球的线速度v=
答案：(1) (2)
【补偿训练】(多选)(2015·马鞍山高一检测)在光滑的水平面上，用长为l的细线拴一质量为m的小球，以角速度ω做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )
A.l、ω不变，m越大线越易被拉断
B.m、ω不变，l越小线越易被拉断
C.m、l不变，ω越大线越易被拉断
D.m不变，l减半且角速度加倍时，线的拉力不变
【解析】选A、C。在光滑水平面上的物体的向心力由绳的拉力提供，由向心力公式F=mω2l，得选项A、C正确。
【误区警示】匀速圆周运动中的“变”与“不变”
(1)做匀速圆周运动的物体，它的角速度、周期、转速是不变的；它的线速度的大小、向心加速度的大小、向心力的大小是不变的。
(2)做匀速圆周运动的物体，它的线速度的方向、向心加速度的方向、向心力的方向是不断改变的。所以匀速圆周运动是变速运动，是变加速曲线运动。
三、匀速圆周运动与变速圆周运动对比
思考探究：
荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，当秋千向下荡时，请思考：
(1)此时小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？
(2)绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？运动过程中，公式Fn=
=mω2r还适用吗？
提示：(1)小朋友做的是变速圆周运动。
(2)小朋友荡到最低点时，绳子拉力与重力的合力指向悬挂点，在其
他位置，合力不指向悬挂点。运动过程中公式Fn= =mω2r仍然适
用。
【归纳总结】两种圆周运动的比较
匀速圆周运动 变速圆周运动
线速度
特点 线速度的方向不断改变、大小不变 线速度的大小、方向都不断改变
加速度
特点 只有向心加速度，方向指向圆心，不断改变，大小不变 既有向心加速度，又有切向加速度。其中向心加速度指向圆心，大小、方向都不断改变
受力特点 合力方向一定指向圆心，充当向心力 合力可分解为与圆周相切的分力和指向圆心的分力，指向圆心的分力充当向心力
匀速圆周运动 变速圆周运动
周期性 有 不一定有
性质 均是非匀变速曲线运动
公式 Fn= =mω2r，an= =ω2r都适用
【典例示范】一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图甲所示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作A点的曲率圆，其半径ρ叫作A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图乙所示。则在其轨迹最高点P处的曲率半径是( )
【解题探究】
(1)斜上抛运动通常可以看作是哪两种运动的合运动？
提示：斜上抛运动通常可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直上抛运动。
(2)物体到达最高点P时具有什么特点？
①受力特点：_____________；
②运动特点：_______________。
只受重力作用
速度沿水平方向
【正确解答】选C。物体做斜上抛运动，最高点速度即为斜上抛的水
平速度vP=v0cosα，最高点重力提供向心力 由两式得
【过关训练】
1.(2015·天水高一检测)如图所示，某物体沿 光滑圆弧轨道由最
高点滑到最低点的过程中，物体的速率逐渐增大，则( )
A.物体的合力为零
B.物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O
C.物体的合力就是向心力
D.物体的合力方向始终与其运动方向不垂直(最低点除外)
【解析】选D。物体做加速曲线运动，合力不为零，A错；物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心，合力沿半径方向的分力提供向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力方向间的夹角为锐角，合力方向与速度方向不垂直，B、C错，D对。
2.(多选)(2015·嘉兴高一检测)上海磁悬浮线路的最大转弯处半径达到8 000m，如图所示，近距离用肉眼看几乎是一条直线，而转弯处最小半径也达到1 300m，一个质量为50kg的乘客坐在以360km/h的不变速率行驶的车里，随车驶过半径为2 500m的弯道，下列说法正确的是( )
A.乘客受到的向心力大小约为200N
B.乘客受到的向心力大小约为539N
C.乘客受到的向心力大小约为300N
D.弯道半径设计的特别大可以使乘客在转弯时更舒适
【解析】选A、D。由Fn=m ，可得Fn=200N，选项A正确。设计半径
越大，转弯时乘客所需要的向心力越小，转弯时就越舒适，D正确。
3.(多选)(2015·赣州高一检测)如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方 处有一钉子C，把悬线另一端的小球m拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的( )
A.线速度突然增大
B.角速度突然增大
C.向心加速度突然增大
D.悬线的拉力突然增大
【解析】选B、C、D。悬线与钉子碰撞前后瞬间，线的拉力始终与小
球的运动方向垂直，不对小球做功，故小球的线速度不变。当半径减
小时，由ω= 知ω变大，再由F向= 知向心加速度突然增
大。而在最低点F向=FT-mg，故悬线的拉力变大。由此可知选项B、
C、D正确。
【补偿训练】(2015·荆州高一检测)如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，且与转盘相对静止，图中c沿半径指向圆心，a与c垂直，下列说法正确的是( )
A.当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向为b方向
B.当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为c方向
C.当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为a方向
D.当转盘减速转动时，P受摩擦力方向可能为d方向
【解析】选D。物块受重力、弹力、摩擦力三个力的作用，合力等于摩擦力。当转盘匀速转动时，摩擦力沿c方向充当向心力，A错误；当转盘加速转动时，摩擦力沿b方向，一个分力为向心力，另一个分力为切向力使物体速率增大，B、C错误；当转盘减速转动时，摩擦力沿d方向，一个分力为向心力，另一个分力为切向力，使物体速率减小，D正确。
【拓展例题】考查内容：匀速圆周运动的综合应用
【典例示范】如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动。现测得转台半径R=0.5m，离水平地面的高度H=0.8m，物块平抛落地过程水平位移的大小s=0.4m。设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g=10m/s2。求：
(1)物块做平抛运动的初速度大小v0。
(2)物块与转台间的动摩擦因数μ。
【正确解答】(1)物块做平抛运动，竖直方向有H= gt2 ①
水平方向有s=v0t ②
联立①②两式得v0=s =1m/s③
(2)物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有
μmg=m ④
联立③④得μ= =0.2
答案：(1)1m/s (2)0.2
圆周运动中的连接体问题处理方法
【案例体验】如图所示，A、B两个小球质量相等，用一根轻绳相连，另有一根轻绳的两端分别连接O点和B点，让两个小球绕O点在光滑水平桌面上以相同的角速度做圆周运动，若OB绳上的拉力为F1，AB绳上的拉力为F2，OB=AB，则( )
A.F1∶F2=2∶3 B.F1∶F2=3∶2
C.F1∶F2=5∶3 D.F1∶F2=2∶1
【解析】选B。小球在光滑水平桌面上做匀速圆周运动，设角速度为
ω，在竖直方向上所受重力与桌面支持力平衡，水平方向不受摩擦
力，绳子的拉力提供向心力。由牛顿第二定律，对A球有F2=mr2ω2，
对B球有F1-F2=mr1ω2，已知r2=2r1，各式联立解得F1= F2，故B对，
A、C、D错。
【方法技巧】圆周运动中的连接体问题处理方法
(1)隔离分析：因系统内的每个物体的速度、加速度不同，即运动状
态不同，所以处理时应隔离每个物体进行分析。
(2)分析依据：分析每个物体时，与分析单个物体做圆周运动的情况
基本相同，根据Fn=m =mrω2列式求解。
【补偿训练】(2015·绍兴高一检测)如图所示，在光滑杆上穿着两个小球m1、m2，有m1=2m2，用细线把两球连起来，当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离r1与r2之比( )
A.1∶1 B.1∶ C.2∶1 D.1∶2
【解析】选D。设两球受绳子的拉力分别为F1、F2。
对m1：F1=m1ω12r1，对m2：F2=m2ω22r2，因为F1=F2，ω1=ω2，解得(共75张PPT)
6
向 心 力
学习
目标 1.了解向心力的概念,知道它是根据力的效果命名的。
2.体验向心力的存在,会分析向心力的来源。
3.掌握向心力的表达式,并能用来进行计算。
4.知道变速圆周运动中向心力是合力的一个分力,知道合力的作用效果。
一、向心力
1.定义:做匀速圆周运动的物体产生向心加速度的原因是它受
到了指向_____的合力。这个力叫作向心力。
2.方向:始终沿着_____指向_____。
圆心
圆心
半径
3.表达式:
(1)Fn= ;
(2)Fn=_____。
4.效果力:向心力是根据力的_________来命名的,凡是产生向心加速度的力,不管属于哪种性质,都是向心力。
mω2r
作用效果
【自我思悟】
1.做匀速圆周运动的物体所受的向心力就是合力吗
提示:是,做匀速圆周运动的物体所受的向心力是由合力提供的。
2.如图所示,物体在圆筒壁上随筒壁一起绕竖直转轴匀速转动,试问:物体受几个力作用 向心力由什么力提供
提示:物体受三个力,分别为重力、弹力和摩擦力。物体做匀速圆周运动,向心力等于以上三个力的合力,由于重力与摩擦力抵消,实际上向心力仅由弹力提供。
二、变速圆周运动和一般的曲线运动
1.变速圆周运动的合力:变速圆周运动所受的合力_______向心
力,合力产生两个方向的效果:
(1)跟圆周相切的分力Ft,只改变线速度的大小,产生_____加速
度,此加速度描述线速度_________的快慢。
(2)跟圆周切线垂直而指向圆心的分力Fn,只改变线速度的方向,
产生_____加速度。
不等于
切向
大小变化
向心
2.一般的曲线运动的处理方法:一般的曲线运动中,可以把曲线
分割成许多很短的小段,每一小段可看作一小段_____,研究质
点在这一小段的运动时,可以采用圆周运动的处理方法进行处
理。
圆弧
【自我思悟】
荡秋千是小朋友很喜欢的游戏,当秋千由上向下荡下时,
(1)此时小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动
(2)绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗
提示:(1)秋千荡下时,速度越来越大,做的是变速圆周运动。
(2)由于秋千做变速圆周运动,合力既有指向圆心的分力,又有沿切向的分力,所以合力不指向悬挂点。
一、对向心力的理解 深化理解
1.作用效果:向心力提供向心加速度,改变线速度的方向。由于向心力始终指向圆心,其方向与物体运动方向始终垂直,故向心力不改变线速度的大小,只改变线速度的方向。
2.大小:Fn=man= =mω2r=mωv。
对于匀速圆周运动,向心力大小始终不变,但对于非匀速圆周运动(如用一根绳拴住小球绕固定圆心在竖直平面内做的圆周运动),其向心力大小随速率v的变化而变化,公式表述的只是瞬时值。
3.方向:无论是否为匀速圆周运动,其向心力总是沿着半径指向圆心,方向时刻改变,故向心力是变力。
4.向心力的来源:物体做圆周运动时,向心力由物体所受力中沿半径方向的力提供。
几种常见的实例如下:
实例 向心力 示意图
用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时 绳子的拉力和重力的合力提供向心力,F向=F+G
用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动 线的拉力提供向心力,F向=FT
实例 向心力 示意图
物体随转盘做匀速圆周运动,且相对转盘静止 转盘对物体的静摩擦力提供向心力,F向=Ff
小球在细线作用下,在水平面内做圆周运动 重力和细线的拉力的合力提供向心力,F向=F合
【微思考】
(1)物体受到的力中的一个力可以作向心力吗 比如重力可以作
向心力吗
提示:可以。比如物体在竖直面内做圆周运动经过最高点时,
若恰好只受到重力作用,则重力作向心力。
(2)根据公式F= 和F=mω2r,请判断向心力究竟与运动半径
r成正比还是成反比。
提示:当物体的线速度v一定时,向心力与r成反比;当物体的角
速度ω一定时,向心力与r成正比。
【题组通关】
【示范题】(多选)(2014·莱芜高一检测)如图,小物体m与圆盘保持相对静止,随盘一起做匀速圆周运动,则物体的受力情况是( )
A.受重力、支持力、静摩擦力和向心力的作用
B.摩擦力的方向始终指向圆心O
C.重力和支持力是一对平衡力
D.摩擦力是使物体做匀速圆周运动的向心力
【解题探究】(1)分析受力时,分析完重力、弹力、摩擦力后是否再添加上向心力 为什么
提示:不添加,因为向心力是效果力,受力分析时不分析向心力。
(2)一般地,物体受到的力中哪些力作向心力
提示:物体受到的力中沿半径方向的力作向心力。
【规范解答】选B、C、D。分析圆盘上小物体的受力情况:沿竖直方向物体处于平衡状态,受重力和支持力两个力作用,两力平衡;沿水平方向,物体随圆盘做圆周运动,摩擦力提供向心力。故选B、C、D。
【通关1+1】
1.(多选)下列关于向心力的说法中正确的是( )
A.物体受到向心力的作用才可能做圆周运动
B.向心力是指向圆心方向的合力,是根据力的作用效果来命名的,但受力分析时应该画出
C.向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力,也可以是其中某一种力或某几种力的合力
D.向心力只改变物体运动的方向,不改变物体运动的快慢
【解析】选C、D。向心力是一种效果力,实际中由某种或某几种性质力提供,受力分析时不分析向心力,A、B错,C对。向心力只改变物体线速度的方向,不改变线速度的大小,D对。
2.(2014·德州高一检测)质量为m的木块从半球形的碗口下滑到碗底的过程中,如果由于摩擦力的作用,使得木块的速率不变,那么( )
A.下滑过程中木块的加速度为零
B.下滑过程中木块所受合力大小不变
C.下滑过程中木块所受合力为零
D.下滑过程中木块所受的合力越来越大
【解析】选B。因木块做匀速圆周运动,故木块受到的合外力即向心力大小不变,向心加速度大小不变,故选项B正确。
【变式训练】1.在水平面上,小猴拉着小滑块做匀速圆周运动,O点为圆心,能正确地表示小滑块受到的牵引力及摩擦力Ff的图是( )
【解析】选A。滑动摩擦力的方向与相对运动的方向相反,故滑动摩擦力的方向沿圆周的切线方向,B、D错误;小滑块做匀速圆周运动,其合外力提供向心力,故A正确,C错误。
2.(2014·合肥高一检测)飞机俯冲拉起时,
飞行员处于超重状态,此时座位对飞行员的
支持力大于所受的重力,这种现象叫过荷。
过荷过重会造成飞行员大脑贫血,四肢沉重,暂时失明,甚至昏厥。受过专门训练的空军飞行员最多可承受9倍重力的支持力影响。g取10m/s2,则当飞机在竖直平面上沿圆弧轨道俯冲速度为100m/s时,圆弧轨道的最小半径为( )
A.100m B.111m C.125m D.250m
【解析】选C。由题意知，8mg= ，代入数值得R=125 m。
【素养升华】
向心力与合外力的判断方法
(1)向心力是按力的作用效果来命名的,它不是某种确定性质的力,可以由某个力来提供,也可以由某个力的分力或几个力的合力来提供。
(2)对于匀速圆周运动,合外力提供物体做圆周运动的向心力,对于非匀速圆周运动,其合外力不指向圆心,它既要改变线速度大小,又要改变线速度方向,向心力是合外力的一个分力。
(3)无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动,物体所受各力沿半径方向分量的矢量和为向心力。
二、匀速圆周运动及其解题方法 规律方法
1.匀速圆周运动的特点:
(1)线速度大小不变、方向时刻改变。
(2)角速度、周期、频率都恒定不变。
(3)向心加速度和向心力的大小都恒定不变,但方向时刻改变。
2.匀速圆周运动的性质:
(1)线速度大小不变而方向时刻改变,是变速运动,不是匀速运动。
(2)加速度大小不变而方向时刻改变,是变加速曲线运动。
3.匀速圆周运动的解题方法:凡是做匀速圆周运动的物体一定需要向心力。而物体所受外力的合力提供向心力,这是处理该类问题的理论基础。
【微思考】
(1)物体受到怎样的力,才能做匀速圆周运动
提示:物体做匀速圆周运动的条件是合力的大小不变,方向始终与速度方向垂直。
(2)匀速圆周运动的向心力是恒力吗
提示:不是,匀速圆周运动的向心力大小不变,方向时刻在变,是变力。
【题组通关】
【示范题】(2014·深圳高一检测)质量
分别为M和m的两个小球,分别用长2l和l
的轻绳拴在同一转轴上,当转轴稳定转
动时,拴质量为M和m的小球的轻绳与竖直方向夹角分别为α和β,如图所示,则( )
A.cosα= cosβ B.cosα=2cosβ
C.tanα= tanβ D.tanα=tanβ
【解题探究】(1)小球受到哪些力的作用 哪些力提供向心力
提示:小球受重力和拉力两个力作用,它们的合力提供小球做圆周运动的向心力。
(2)题目中“转轴稳定转动”的含义是什么
提示:“转轴稳定转动”意味着两球旋转时的角速度相同。
【规范解答】选A。对于球M,受重力和轻绳拉力作用,由两个
力的合力提供向心力,如图。设它们转动的角速度是ω,由
Mgtanα=M·2lsinα·ω2可得cosα= 。同理可得
cosβ= ,则cosα= cosβ,所以选项A正确。
【通关1+1】
1.(2013·江苏高考)如图所示,“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等,通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响,当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时,下列说法正确的是( )
A.A的速度比B的大
B.A与B的向心加速度大小相等
C.悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D.悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
【解析】选D。在转动过程中,A、B两座椅的角速度相等,但由于B座椅的半径比较大,故B座椅的速度比较大,向心加速度也比较大,A、B项错误;A、B两座椅所需向心力不等,而重力相同,故缆绳与竖直方向的夹角不等,C项错误;根据F=mω2r判断A座椅的向心力较小,所受拉力也较小,D项正确。
2.如图所示,小球在半径为R的光滑半球面内贴着内壁在水平面内做匀速圆周运动,小球与半球球心的连线与竖直方向的夹角为θ,求小球的周期T。(已知重力加速度为g)
【解析】小球只受重力和球内壁的支持力的作用,此二力的合力沿水平方向指向圆心,即该二力的合力等于向心力,如图所示,
故向心力F=mg·tanθ ①
小球的圆周运动的半径r=Rsinθ ②
根据向心力公式F=m( )2r ③
解以上①、②、③得T=
答案:
【变式训练】1.(多选)一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直水平面,圆锥筒固定,有质量相同的小球A和B沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动,如图所示,A的运动半径较大,则( )
A.A球的角速度必小于B球的角速度
B.A球的线速度必小于B球的线速度
C.A球的运动周期必大于B球的运动周期
D.A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力
【解析】选A、C。两个小球均受到重力mg和
筒壁对它的弹力FN的作用，其合力必定在水
平面内时刻指向圆心。由图可知，筒壁对球
的弹力FN= ，向心力Fn=mgcotθ，其
中θ为圆锥顶角的一半。对于A、B两球,因质量相等，θ角也
相等，所以A、B两小球受到筒壁的弹力大小相等，A、B两小球
对筒壁的压力大小相等，D错误。由牛顿第二定律知，
所以，小球的线速度
角速度 周期T= 。由此可见，小球A的线速度必定大于小球B的线速度，B错误。小球A的角速度必小于小球B的角速度，小球A的周期必大于小球B的周期，A、C正确。
2.长为L的细线,拴一质量为m的小球,细线上端固定,让小球在水平面内做匀速圆周运动,如图所示,求细线与竖直方向成θ角时:
(1)细线中的拉力大小;
(2)小球运动的线速度的大小。
【解析】(1)小球受重力及绳子的拉力两力作用，如图所示，竖直方向FTcosθ=mg，
故拉力FT=
(2)小球做圆周运动的半径
r=Lsinθ，
向心力Fn=FTsinθ=mgtanθ，
而
故小球的线速度v=
答案：(1) (2)
【素养升华】
匀速圆周运动问题的解题步骤
(1)明确研究对象,对研究对象进行受力分析,画出受力示意
图。
(2)将物体所受外力通过力的正交分解将其分解到沿圆弧切
线方向和沿半径方向。
(3)列方程:沿半径方向满足F合1=mω2r= ,沿圆弧切线方
向F合2=0。
(4)解方程求出结果。
三、变速圆周运动和一般曲线运动的处理方法 拓展延伸
1.变速圆周运动:
(1)定义:速率大小发生变化的圆周运动。
(2)受力特点:变速圆周运动中的合外力并不指向圆心,合力F可以分解为互相垂直的两个力:
(3)向心加速度、向心力公式:变速圆周运动中,某一点的向心
加速度和向心力仍可用an= =ω2r,Fn= =mω2r公式求
解,只不过v、ω都是指那一点的瞬时速度。
2.一般曲线运动的处理方法:一段曲线运动轨迹可以分割成许多不同半径的极短一小段圆弧,这样一般曲线运动可以采用圆周运动的分析方法。
【微思考】
(1)向心力公式F= 或F=mω2r对变速圆周运动成立吗
提示:成立。向心力公式F= 或F=mω2r不仅适用于匀速圆
周运动,也适用于变速圆周运动和一般的曲线运动。
(2)什么情况下质点做速度越来越大的圆周运动,什么情况下
质点做速度越来越小的圆周运动
提示:当合力与速度的夹角为锐角时,质点的速度越来越大;当
合力与速度的夹角为钝角时,质点的速度越来越小。
【题组通关】
【示范题】(2011·安徽高考)一般的曲线运动可以分成很多小段,每小段都可以看成圆周运动的一部分,即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图甲所示,曲线上A点的曲率圆定义为:通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆,在极限情况下,这个圆就叫作A点的曲率圆,其半径ρ叫作A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出,如图乙所示。则在其轨迹最高点P处的曲率半径是( )
【解题探究】(1)斜上抛运动通常可以看作是哪两种运动的合运动
提示:斜上抛运动通常可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直上抛运动。
(2)物体到达最高点P时具有什么特点
①受力特点:_____________;
②运动特点:_______________。
只受重力作用
速度沿水平方向
【规范解答】选C。物体做斜上抛运动，最高点速度即为斜上
抛的水平速度vP=v0cosα，最高点重力提供向心力
由两式得
【通关1+1】
1.(2014·天水高一检测)如图所示,某物体沿 光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点的过程中,物体的速率逐渐增大,则( )
A.物体的合力为零
B.物体的合力大小不变,方向始终指向圆心O
C.物体的合力就是向心力
D.物体的合力方向始终与其运动方向不垂直(最低点除外)
【解析】选D。物体做加速曲线运动,合力不为零,A错;物体做速度大小变化的圆周运动,合力不指向圆心,合力沿半径方向的分力提供向心力,合力沿切线方向的分力使物体速度变大,即除在最低点外,物体的速度方向与合力方向间的夹角为锐角,合力方向与速度方向不垂直,B、C错,D对。
2.(多选)如图所示,一小球用细绳悬挂于O点,将其拉离竖直位置一个角度后释放,则小球以O点为圆心做圆周运动,运动中小球所需的向心力是( )
A.绳的拉力
B.重力和绳的拉力的合力
C.重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D.绳的拉力和重力沿绳方向的合力
【解析】选C、D。小球仅受重力和绳子拉力作用,向心力是指向圆心方向的合力。因此,它可以是小球所受合力沿绳方向的分力,也可以是各力沿绳方向的分力的合力,故C、D正确。
【变式训练】1.(多选)在光滑的水平面上,用长为l的细线拴一质量为m的小球,以角速度ω做匀速圆周运动。下列说法中正确的是( )
A.l、ω不变,m越大线越易被拉断
B.m、ω不变,l越小线越易被拉断
C.m、l不变,ω越大线越易被拉断
D.m不变,l减半且角速度加倍时,线的拉力不变
【解析】选A、C。小球在光滑的水平面上做匀速圆周运动,线的拉力提供向心力,由向心力公式得F=mω2l,当l、ω不变时,F与m成正比,A正确;m、ω不变时,F与l成正比,B错误;当m、l不变时,F与ω2成正比,C正确;m不变,l减半,ω加倍时,线的拉力变为原来的2倍,D错误。
2.如图所示,在匀速转动的圆筒内壁上有一物体随圆筒一起转动而未滑动。若圆筒和物体以更大的角速度做匀速转动,下列说法正确的是( )
A.物体所受弹力增大,摩擦力也增大
B.物体所受弹力增大,摩擦力减小
C.物体所受弹力减小,摩擦力也减小
D.物体所受弹力增大,摩擦力不变
【解析】选D。物体受力如图所示。其中f=G,F提供物体做圆周运动的向心力,根据F=mrω2,当ω增大时,F增大,所以,只有D是正确的。
【资源平台】备选角度:匀速圆周运动的综合应用
【示范题】(2012·福建高考)如图,置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动,当转速达到某一数值时,物块恰好滑离转台开始做平抛运动。现测得转台半径R=0.5m,离水平地面的高度H=0.8m,物块平抛落地过程水平位移的大小s=0.4m。设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,取重力加速度g=10m/s2。求:
(1)物块做平抛运动的初速度大小v0。
(2)物块与转台间的动摩擦因数μ。
【标准解答】(1)物块做平抛运动，竖直方向有
H= gt2 ①
水平方向有s=v0t ②
联立①②两式得
v0= =1 m/s ③
(2)物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有
μmg= ④
联立③④得μ= =0.2 ⑤
答案：(1)1 m/s (2)0.2
匀速圆周运动和变速圆周运动的区别
1.从速度的角度分析:匀速圆周运动的线速度大小不变,方向不断变化;变速圆周运动的线速度大小、方向都变化。
2.从加速度的角度分析:匀速圆周运动中只有向心加速度,向心加速度表示速度方向变化的快慢;变速圆周运动中既有向心加速度又有切向加速度,向心加速度表示速度方向变化的快慢,切向加速度表示速度大小变化的快慢。
3.从受力情况分析:匀速圆周运动中,合力全部用来提供向心力,合力指向圆心;变速圆周运动中,合力沿着半径方向的分量提供向心力,合力通常不指向圆心。
【案例展示】 (多选)如图所示,长为L的悬线固定在O点,在O点
正下方有一钉子C,OC距离为 ,把悬线另一端的小球m拉到跟
悬点在同一水平面上无初速度释放,小球运动到悬点正下方时
悬线碰到钉子,则小球的( )
A.线速度突然增大为原来的2倍
B.角速度突然增大为原来的2倍
C.向心加速度突然增大为原来的2倍
D.悬线拉力突然增大为原来的2倍
【精讲精析】选B、C。悬线与钉子碰撞前后，线的拉力始终与
小球运动方向垂直，小球的线速度不变，A错；当半径减小
时，由ω= 知ω变大为原来的2倍，B对；再由 知向
心加速度突然增大为原来的2倍，C对；而在最低点F-mg=
故碰到钉子后合力变为原来的2倍，悬线拉力变大，但不是原
来的2倍,D错。
【易错分析】本题常见错误选项及错误原因分析如下
易错选项 错误原因
A 误认为悬线碰到钉子时,小球的速度会发生突变,出错原因是对力的作用效果认识不够。碰撞前后,小球水平方向上不受力,水平方向上的运动状态不变
D 没有认真审题,将悬线的拉力误认为是小球的合力
【自我小测】
1.(多选)(2014·无锡高一检测)如图所示,物块P置于水平转盘上随转盘一起运动,图中c沿半径指向圆心,a与c垂直,下列说法正确的是( )
A.当转盘匀速转动时,P受摩擦力方向可能为a方向
B.当转盘加速转动时,P受摩擦力方向可能为b方向
C.当转盘加速转动时,P受摩擦力方向可能为c方向
D.当转盘减速转动时,P受摩擦力方向可能为d方向
【解析】选B、D。物块转动时,其向心力由静摩擦力提供,当它匀速转动时其方向指向圆心,当它加速转动时其方向斜向前方,当它减速转动时,其方向斜向后方。
2.(2014·湛江高一检测)如图所示,将完全相同的两小球A、B用长L=0.8m的细绳悬于以速度v=4m/s向右匀速运动的小车顶部,两球与小车的前、后壁接触,由于某种原因,小车突然停止,试求此时悬线的拉力之比。(g取10m/s2)
【解析】小车突然停止,球B也随之停止,故FB=mg,球A开始从最低点摆动,则
FA-mg=
FA=m(g+ )=3mg
所以FA∶FB=3∶1。
答案:3∶1(共36张PPT)
6 向心力
思考
1、做匀速圆周运动的物体一定有加速度吗？为什么？
2、做匀速圆周运动的物体的加速度有什么特点？写出向心加速度的公式。
3.做匀速圆周运动的物体受力有什么特点？
受力的方向和大小如何确定？
回顾
做匀速圆周运动物体的加速度指向圆心，这个加速度称为向心加速度 an
方向始终指向圆心
an 哪来的？即an 是如何产生的？
根据牛顿第二定律可知物体一定受到了指向圆心的合力，这个合力叫做向心力。
向心力
1、定义：做匀速圆周运动的物体所受到的指向圆心的合力，叫向心力。
4、效果：只改变v 的方向，不改变v的大小。
3、方向：始终指向圆心(与v 垂直);是变力
2、符号：Fn
因为在运动方向上所受的合外力为0,这个方向上的加速度也为0,所以速度大小不变,只改变速度方向。
向心力是不是一种新的性质力？即向心力是不是与重力、弹力、摩擦力一样都是按照某种性质来命名的力？
分析
O
F引
F合＝F引
＝Fn
在匀速圆周运动中，合力提供向心力
O
G
N
T
竖直方向上N＝G，故T即为合力
F合＝T
＝Fn
在匀速圆周运动中，合力提供向心力
分析
轻绳栓一小球,在光滑水平面做匀速圆周运动
小球受到哪些力的作用？
向心力由什么力提供？
r
θ
O
G
F合
T
结论:
向心力由重力G和弹力T的合力提供
思考：
G
f
N
滚筒洗衣机中物体跟着滚筒匀速转动时；
向心力由什么力提供？
分析
在匀速圆周运动中，合力提供向心力
说明
1、向心力是按照效果命名的力，并不是物体额外受到的一个力；受力分析时, 不能多出一个向心力。
F合＝Fn
2、向心力的来源：物体所受的合力提供了物体做匀速圆周运动所需的向心力。（可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质力的合力）
在匀速圆周运动中，合力提供向心力
向心力的大小与哪些物理量有关呢？
体验向心力的大小
猜想：向心力大小可能与
_______________有关
质量、
半径、
角速度
向心力的大小
Fn=m
v2
r
Fn=mω2r
F合＝man
向心力大小与多个物理量有关，在分析向心力与某一物理量的关系时，要注意什么？
当m、v不变时，Fn与r成反比；当m、r不变时，Fn与v2成正比。
当m、ω不变时，Fn与r成正比；当m、r不变时，Fn与ω2成正比.
能否利用实验粗略地验证向心力的表达式？
F合＝Fn
an =
v2
r
1、实验的基本原理？
2、实验需要的器材？
钢球、细线、白纸、
r
O'
O
θ
l
h
FT
G
F合
3、实验需要测量的数据有哪些？如何测量？
F合＝mg tanθ
小球所需向心力
Fn=m
v2
r
秒表、直尺
用圆锥摆验证
从运动的角度求得Fn ；从受力的角度求得F合 ；将Fn 和F合 进行比较
验证：g/h=(2πn/t)2
转n圈数所用时间t、h
实验数据记录
物理量 h n t g/h (2πn/t)2
第一次
第二次
第三次
二 用圆锥摆验证
验证：g/h=(2πn/t)2
注意事项
r
O'
O
θ
l
h
1、h 并不等于纸面距悬点的高度
2、小球与纸面不能接触
3、测 t 时不能太久
4、启动小球时应确保小球做的是匀速圆周运动
小结
大小
作用效果:只改变速度的方向
方向:始终指向圆心(与v 垂直); 是变力
来源:合力提供向心力(匀速圆周运动中)
Fn=m
v2
r
Fn=mω2r
Fn =m r
4π2
T 2
飞机在水平面内盘旋
几种常见的圆周运动
O'
θ
ω
ω
m
O
θ
l
m
F合=Fn=mω2l sinθ
F合=Fn=mω2r
O
r
T
mg
F合
mg
F合
F升
θ
F合＝mg tanθ
几种常见的圆周运动
θ
O'
O
R
ω
θ
ω
θ
m
m
F合=Fn=mω2r
O
r
F合=Fn=mω2 R sinθ
mg
N
F合
mg
N
F合
F合＝mg tanθ
O
几种常见的圆周运动
ω
mg
N
物体相对转盘静止，随盘做匀速圆周运动
r
f静
竖直方向：N＝mg
水平方向：F合=f静=mω2r
f静
v
A
B
F
a
回顾：A、B一起向左加速，分析A的受力情况。
f静
v
谁提供向心力？
静摩擦力指向圆心
向心力的分析思路
3、按序分析受力
指向圆心的合力即向心力
2、确定圆心、半径
确定圆周运动所在的平面、轨迹、圆心、半径
1、确定研究对象
小结
学
会
分
析
实
际
情
况
生活中的圆周运动——
游乐场中做匀速圆周运动的游客
生活中的圆周运动——飞车走壁
学
会
分
析
实
际
情
况
O
O
思考
Fn
Ft
F合
v
Fn
Ft
v
F合
速度增大的圆周运动
变速圆周运动
速度减小的圆周运动
匀速圆周运动所受的合力提供向心力，方向始终指向圆心；如果一个沿圆周运动的物体所受的合力不指向圆心，还能做匀速圆周运动吗？
当沿圆周运动的物体所受的合力不指向圆心时，物体做变速圆周运动。
切向力Ft ：垂直半径方向的合力
向心力Fn ：沿着半径（或指向圆心）的合力
产生切向加速度，改变速度的大小
产生向心加速度，改变速度的方向
匀速圆周运动
G
N
F
变速圆周运动
合力全部 提供向心力
合力部分 提供向心力
O
Fn
Ft
F合
v
一般曲线运动
运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动称为一般曲线运动。
r1
r2
一般曲线运动各个地方的弯曲程度不一样，如何研究？
把一般曲线分割为许多极短的小段，每一段都可以看作一小段圆弧。这些圆弧的弯曲程度不一样，表明它们具有不同的曲率半径。在分析质点经过曲线上某位置的运动时可以采用圆周运动的分析方法进行处理。
小结
大小
作用效果:只改变速度的方向
方向:始终指向圆心(与v 垂直); 是变力
来源:合力提供向心力(匀速圆周运动中)
Fn=m
v2
r
Fn=mω2r
Fn =m r
4π2
T 2
例与练
1.关于圆周运动的合力，下列说法中正确的是
（ ）
A.圆周运动的合力方向一定指向圆心
B.匀速圆周运动的合力方向一定指向圆心
C.匀速圆周运动的合力一定不变
D.匀速圆周运动的合力大小一定不变
匀速圆周运动的物体速度大小不变，速度方向不断变化。匀速圆周运动向心力只改变物体速度方向，不改变物体速度大小。
BD
例与练
2.甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1：2，转动半径之比为1：2，在相等时间里甲转过60°，乙转过45°，则它们的合力之比为 ( )
A. 1：4 B.2：3 C.8：9 D.4：9
D
例与练
3. 质量为m的球用长为L的细绳悬于天花板的O点，并使之在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直线成θ角，则以下正确的是 ( )
A.摆球受重力、拉力和向心力的作用
B.摆球只受重力、拉力的作用
C.摆球做匀速圆周运动的向心力为mg tanθ
D.摆球做匀速圆周运动的向心力为mg sinθ
BC
例与练
4.如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则 ( )
A.球A的线速度一定大于球B的线速度
B.球A的角速度一定小于球B的角速度
C.球A的运动周期一定小于球B的运动周期
D.球A对筒壁的压力一定大于球B对筒壁的压力
mg
N
F
AB
8.质量为m的小球，用长为 l 的线悬挂在O点，在O点正下方处有一光滑的钉子O′，把小球拉到右侧某一位置释放，当小球第一次通过最低点P时：
A、小球速率突然减小
B、小球角速度突然增大
C、小球向心加速度突然增大
D、摆线上的张力突然增大
例与练
BCD
例与练
9. 如图所示，MN为水平放置的光滑圆盘，半径为1.0m，其中心O处有一个小孔，穿过小孔的细绳两端各系一小球A和B，A、B两球的质量相等。圆盘上的小球A作匀速圆周运动。问
（1）当A球的轨道半径为0.10m时，它的角速度是多大才能维持B球静止？
（2）若将前一问求得的角速度减半，怎样做才能使A作圆周运动时B球仍能保持静止？
(1) 10 rad/s
(2) 0.4 m
10.如图所示，A、B、C三个质量相等的小球拴在同一条绳子上，且OA=AB=BC，当三个小球在光滑的水平桌面上绕O点做匀速圆周运动时，O、A、B、C始终保持在同一直线上，设OA、AB、BC段绳中的张力分别为F1、F2、F3，A、B、C三球的向心加速度分别为a1、a2、a3。试求：
(1) a1:a2:a3
(2) F1:F2:F3
O A B C
例与练
=1:2:3
=6:5:3
解析：小橡皮受力如图
小橡皮恰不下落时，有： f=mg 其中：f=μN
由向心力公式：Fn=mω2r
解以上各式得：
G
f
N
例与练
11.如图,半径为r的圆筒绕竖直中心轴转动，小橡皮块紧帖在圆筒内壁上，它与圆筒的摩擦因数为μ，现要使小橡皮不落下，则圆筒的角速度至少多大？
12. 小球做圆锥摆时细绳长L，与竖直方向成θ角，求小球做匀速圆周运动的角速度ω。
O’
O
mg
T
F
θ
L
小球做圆周运动的半径
由牛顿第二定律：
即：
R
例与练
解析：小球的向心力由T和G的合力提供
例与练
13.南通在北纬32°，求南通所在处质量为1Kg的物体绕地轴做圆周运动所需向心力是多大？（设地球半径R=6400km，COS32°=0.85）
A
O
R
r
O’
分析：首先应明确物体做匀速圆周运动； 再确定圆轨迹、圆心、半径。
物体随地球自转的角速度ω=2π/T
半径 r =R cos320
∴F=m rω2
=m R cos320 (2π/T) 2
代数得:F=2.87×10-2N(共31张PPT)
6 向心力
1.小球做圆周运动时，你牵绳的手有什么感觉？
2.如果突然松手，将会发生什么现象？
1.小球在杯中做圆周运动时，你握杯的手有什么感觉？
2.如果突然将杯子提开，将会发生什么现象？
物体能够做匀速圆周运动，必定存在加速度，一定受到力的作用，那么上述的物体受几个力，所受的外力有何特点？
1.知道什么是向心力，理解它是一种效果力。知道向心力大小与哪些因素有关。
2. 理解向心力公式的确切含义，并能分析一些典型圆周运动的受力情况。
3.理解变速圆周运动中，合外力与向心力的关系。
（重点）
（难点）
G
FN
F
O
F
F
F
v
v
v
O
结论：物体做匀速圆周运动，合外力指向圆心，且与______垂直
速度v
FN与G相平衡，
所以合力为F.
小球受哪些力作用？合力沿什么方向？合力方向与速度方向有什么关系？
探究一：探究小球受力情况
一、向心力的特点
1.向心力方向：时刻发生变化（始终指向圆心且与速度方向垂直）
2.向心力的作用：只改变线速度的方向（或产生向心加速度）
做匀速圆周运动的物体一定受到一个指向圆心的合力，这个合力叫作向心力。
向心力是恒力吗？向心力是物体的真实受力吗？
情景1.使转台匀速转动，转台上的物体也随之做匀速圆周运动，转台与物体间没有相对滑动。你可以分析物体受到的力吗？
物体受重力、支持力、静摩擦力。合外力作用效果与静摩擦力作用效果相同，方向指向圆心。
FN
G
Ff
探究二、探究向心力的来源
什么力提供向心力？
G
Ff
FN
竖直方向：Ff＝G
水平方向：F合=FN
FN提供向心力，
即合力提供向心力
情景2.使圆筒匀速转动，圆筒内壁上的物体也随之做匀速圆周运动，圆筒与物体间没有相对滑动。你可以分析物体受到的力吗？
θ
ω
θ
m
竖直方向：FN cosθ＝mg
水平方向：F合=mgtanθ
O
r
mg
FN
F合
什么力提供向心力？
情景3.光滑小球在漏斗状容器内做匀速圆周运动，你可以分析物体受到的力吗？
探究归纳：
⑴向心力是根据效果命名的力，并不是一种新的
性质的力。
⑵向心力的来源：可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是几个力的合力，还可以是某个力的分力。
物体做匀速圆周运动时，由合力提供向心力。
关于向心力的来源，你有什么发现？
二、向心力的来源
1.明确研究对象。
2.确定圆周运动所在的平面，明确圆周运动的轨迹、
半径及圆心位置。
3.进行受力分析，分析指向圆心方向的合力即向心力。
分析圆周运动的受力问题时，你认为应怎样分析？
【方法总结】分析向心力来源的思路
O'
ω
ω
O
θ
l
m
O
r
FT
mg
F合
mg
F合
F
【对点训练1】请分析以下圆周运动的向心力的来源。
拉力FT和重力mg的合力提供向心力
空气的作用力与重力的合力提供向心力
感受向心力
探究三：探究向心力的表达式
1.实验器材有哪些？
2.简述实验原理（怎样达到验证的目的）。
3.实验过程中要注意什么？需测量哪些物理量（记录哪些数据）？
4.实验过程中产生误差的原因主要有哪些？
方案1.用圆锥摆粗略探究
m(kg)
d1(m)
d2(m)
d=d1-d2(m)
T(s)
r(m)
Fn=4mπ2r/T2
F合=mgtanθ
注：d1指悬挂点到纸面的距离,d2指球心到纸面的距离，d指悬挂点到球心的距离。
设计表格，记录数据
请设计表格用来记录数据
方案2.用向心力演示器探究
【探究归纳】
三、向心力的大小:
向心力Fn与物体质量m、圆周半径r和角速度ω都有关系：
Fn＝mrω2
根据 推导出向心力的另一表达式：
【对点训练2】小球做圆锥摆时，细绳长L，与竖直方向成θ角，求小球做匀速圆周运动的角速度ω。
O′
O
mg
FT
F
θ
L
小球做圆周运动的半径
由牛顿第二定律：
即：
R
解析：小球的向心力由FT和G的合力提供
解题关键：1准确分析小球受力情况
2.沿半径方向的合力提供向心力
3.与转动平面垂直方向上合力为零
【对点训练3】如图，半径为r的圆筒绕竖直中心轴转动，小橡皮块紧贴在圆筒内壁上，它与圆筒的摩擦因数为μ，现要使小橡皮不落下，则圆筒的角速度至少多大？
解析：小橡皮受力分析如图。
小橡皮恰不下落时，有：Ff=mg
其中：Ff=μFN
而由向心力公式：FN=mω2r
解以上各式得：
G
Ff
FN
互动探究：增加圆筒转速，
若小橡皮块仍与转筒相对静止，
小橡皮块受到的摩擦力如何变化？
【拓展思考1】力与速度的夹角与速度大小变化之间有什么关系？
①力与速度同向时，力只改变速度大小，不改变速度方向。
②力与速度垂直时，力只改变速度方向，不改变速度大小。
③力与速度成其他任意角度时，根据力的分解与合成将力分解到速度所在直线和与速度垂直的直线上，则力既改变速度大小，同时也改变速度方向。
探究四、变速圆周运动和一般曲线运动
【拓展思考2】
1.变速圆周运动的合外力也指向圆心吗？
变速圆周运动的速度大小是怎么改变的？
2.怎么分析研究一般的曲线运动？
做变速圆周运动的物体所受的力
F
Fn
Ft
结论：同时具有向心加速度和切向加速度的圆周运动就是变速圆周运动 ，匀速圆周运动切向加速度为零。
加速
Ft ——切向分力，它产生切向加速度，改变速度的大小。
Fn ——向心分力，它产生向心加速度，改变速度的方向。
把一般曲线分割为许多极短的小段，每一段都可以看作一小段圆弧，而这些圆弧的弯曲程度不一样，表明它们具有不同的曲率半径。在注意到这点区别之后，分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法对一般曲线运动进行处理了。
r1
r2
【方法总结】处理一般曲线运动的方法
3.向心力的大小
2.向心力的作用效果：
1.向心力的方向：
4.变速圆周运动中的合力并非向心力
Fn=m
v2
r
Fn=m rω2
Fn =m r
4π2
T 2
在匀速圆周运动中合力充当向心力
指向圆心
改变速度的方向
1.下列关于做匀速圆周运动的物体所受的向心力的
说法中，正确的是（ ）
A．物体除受到其他的力外还要受到一个向心力
B．物体所受的合外力提供向心力
C．向心力是一个恒力
D．向心力的大小一直在变化
B
2.做匀速圆周运动的物体，其加速度的数值
必定（ ）
A．跟其角速度的平方成正比
B. 跟其线速度的平方成正比
C．跟其运动的半径成反比
D．跟其运动的线速度和角速度的乘积成正比
解题关键：若成正比，应满足y=kx形式，
其中k为定值，若成反比，应满足y= 其中a为定值。
D
3.甲乙两物体都做匀速圆周运动,其质量之比为1∶2,
转动半径之比为1∶2,在相同时间内甲转过4周，乙转
过3周。则它们的向心力之比为（ ）
A.1∶4 B.2∶3
C.4∶9 D.9∶16
C
4.一个小球在竖直放置的光滑圆环的内侧槽内做圆周
运动，如图所示，则关于小球加速度的方向的说法中
正确的是（ ）
A．一定指向圆心
B．一定不指向圆心
C．只有在最高点和最低点时指向圆心
D．不能确定是否指向圆心
A
v
不灭的信心是通向成功彼岸的灯塔。课时提升作业(五)
向 心 力
(15分钟·50分)
一、选择题(本题共5小题，每小题8分，共40分。多选题已在题号后标出)
1.物体做圆周运动时，下列关于向心力的说法中，不正确的是( )
A.物体做匀速圆周运动时，受到的向心力是恒力
B.向心力的作用是改变速度的方向
C.向心力可以是物体受到的合力
D.向心力是产生向心加速度的力
【解析】选A。做匀速圆周运动的物体，其向心力大小不变，方向时刻指向圆心，不断发生变化，因此向心力为变力，选项A错误；向心力的方向始终与速度方向垂直，其作用只改变速度的方向，不改变速度的大小，选项B正确；当物体做匀速圆周运动时，合力提供向心力，选项C正确；向心加速度是由向心力产生的，选项D正确。
2.汽车甲和汽车乙质量相等，以相等的速率 ( http: / / www.21cnjy.com )沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的外侧。两车沿半径方向受到的摩擦力分别为Ff甲和Ff乙，以下说法正确的是( )
A.Ff甲小于Ff乙
B.Ff甲等于Ff乙
C.Ff甲大于Ff乙
D.Ff甲和Ff乙大小均与汽车速率无关
【解析】选A。两车做圆周运动的向心力均由摩擦力提供，由于甲车在乙车外侧，故r甲>r乙，而两者质量和速率均相等，据Ff=m可得选项A正确。
3.(2015·哈师大高一检测)如图所示，圆 ( http: / / www.21cnjy.com )盘上叠放着两个物块A和B，当圆盘和物块绕竖直轴匀速转动时，物块与圆盘始终保持相对静止，则( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.物块A不受摩擦力作用
B.物块B受5个力作用
C.当转速增大时，A受摩擦力增大，B受摩擦力减小
D.A对B的摩擦力方向沿半径指向转轴
【解析】选B。物块A受到的摩擦力充当 ( http: / / www.21cnjy.com )其向心力，A项错误；物块B受到重力、支持力、A对物块B的压力、A对物块B的沿半径向外的摩擦力和圆盘对物块B的沿半径向里的静摩擦力，共5个力的作用，B项正确；当转速增大时，A、B所受摩擦力都增大，C项错误；A对B的摩擦力方向沿半径向外，D项错误。
4.(2015·临沂高一检测)如图所示，半径为r的圆筒，绕竖直中心轴OO′转动，小物块a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒的动摩擦因数为μ，现要使a不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为( )
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A. B.
C. D.
【解题指南】(1)筒壁对小物块的支持力提供向心力。
(2)要使小物块随筒壁旋转不落下来，筒壁对它的最大静摩擦力应至少等于重力。
【解析】选D。小物块随转筒旋转时受三个 ( http: / / www.21cnjy.com )力：重力mg、筒壁对它的支持力FN和静摩擦力Ff，如图所示。要使小物块随筒壁旋转不落下来，筒壁对它的最大静摩擦力应至少等于重力，小物块做圆周运动的向心力由筒壁对它的支持力FN来提供。
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由牛顿第二定律可得FN=mrω2
Ff=μFN=mg
由以上两式可得ω=。
5.如图所示，天车下吊着两个质量都是m的 ( http: / / www.21cnjy.com )工件A和B，系A的吊绳较短，系B的吊绳较长。若天车运动到P处突然停止，则两吊绳所受的拉力FA和FB的大小关系为( )
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A.FA>FB
B.FAC.FA=FB=mg
D.FA=FB>mg
【解题指南】解答本题应注意以下两点：
(1)天车突然停止时，A、B两工件开始做圆周运动。
(2)吊绳的拉力和重力的合力提供向心力。
【解析】选A。设天车原来的速度大小为v，天车突然停止运动，A、B工件都处于圆周运动的最低点，线速度均为v。由于F-mg=m，故拉力F=mg+m，又由于rAFB， A正确。
二、计算题(10分。要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位)
6.(2015·成都高一检测)有一种叫“飞椅”的游乐项目，如图所示。长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ。不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系。
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【解析】对座椅受力分析，如图所示
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y轴上，Fcosθ=mg
x轴上，Fsinθ=mω2(r+Lsinθ)
则由以上两式得
tanθ=因此ω=
答案：ω=
(25分钟·50分)
一、选择题(本题共4小题，每小题8分，共32分。多选题已在题号后标出)
1.(多选)(2015·常德高一检测)一杂技演员在圆筒状建筑物内表演飞车走壁，最后在直壁上沿水平方向做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )
A.车和演员作为一个整体受重力、竖直壁对车的弹力和摩擦力的作用
B.车和演员做圆周运动所需要的向心力是静摩擦力
C.竖直壁对车的弹力提供向心力，且弹力随车速度的增大而增大
D.竖直壁对车的摩擦力将随车速增加而增加
【解析】选A、C。车和演员受重力、竖直壁的弹力、摩擦力三个力的作用，其中重力与摩擦力二力平衡，弹力提供向心力。根据FN=m，mg=Ff，弹力随车速的增大而增大，摩擦力始终不变。综上可知，选项A、C正确。
2.(2013·上海高考)秋千的吊绳有些磨损。在摆动过程中，吊绳最容易断裂的时候是秋千( )
A.在下摆过程中 B.在上摆过程中
C.摆到最高点时 D.摆到最低点时
【解题指南】解答本题时应注意理解以下两点：
(1)重力和吊绳的拉力提供向心力。
(2)拉力最大时，吊绳最容易断裂。
【解析】选D。当秋千摆到最低点时速度最大，由F-mg=m知，吊绳中拉力F最大，吊绳最容易断裂，选项D正确。
3.(多选)(2015·十堰高一检测)如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，最大静摩擦因数均为μ。已知A的质量为2m，B、C的质量均为m，A、B离轴的距离均为r，C离轴的距离为2r，则当圆台旋转时( )
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A.C的向心加速度最大
B.B的摩擦力最小
C.当圆台转速增加时，C比B先滑动
D.当圆台转速增加时，B比A先滑动
【解析】选A、B、C。三个物体都做匀速圆周运动，合力指向圆心，对任意一个受力分析，如图，支持力与重力平衡，Ff=F向，由于A、B、C三个物体共轴转动，角速度ω相等，根据题意，rC=2rA=2rB=2R，由向心加速度公式an=ω2r，得三物体的向心加速度分别为：aA=ω2R，aB=ω2R，aC=ω2(2R)=2ω2R，故A正确；三物体做圆周运动所需要的向心力由静摩擦力提供，所需要的向心力大，提供的静摩擦力也大，因为FA=2mω2R，FB=mω2R，FC=mω2(2R)=2mω2R，B需要的向心力最小，故B物体受到的摩擦力也最小，故B正确；三物体所受的最大静摩擦力分别为：FfA=2μmg，FfB=μmg，FfC=μmg。对任意一物体，均是由摩擦力提供向心力。当ω变大时，所需要的向心力也变大，当达到最大静摩擦力时，物体开始滑动，当转速增加时，B、C所需向心力同步增加，且保持1∶2关系，而B和C的最大静摩擦力大小相等，故C比B先滑动，故C正确；当转速增加时，A、B所需向心力也都增加，且保持2∶1关系，但因A、B最大静摩擦力也满足
2∶1关系，因此A、B会同时滑动，故D错误。
4.质量不计的轻质弹性杆P插在桌面 ( http: / / www.21cnjy.com )上，杆端套有一个质量为m的小球，今使小球沿水平方向做半径为R的匀速圆周运动，角速度为ω，如图所示，则杆的上端受到的作用力大小为( )
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A.mω2R
B.
C.
D.不能确定
【解析】选C。小球在重力和杆的作用力下做匀速圆周运动。这两个力的合力充当向心力必指向圆心，如图所示。用力的合成法可得杆的作用力：F=
=，根据牛顿第三定律，小球对杆的上端的作用力大小F′=F，C正确。
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【补偿训练】(2015·徐州高一检测 ( http: / / www.21cnjy.com ))如图所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，目测体重为G的女运动员做圆锥摆运动时与水平冰面的夹角约为30°，重力加速度为g，估算知该女运动员( )
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A.受到的拉力为G B.受到的拉力为2G
C.向心加速度为3g D.向心加速度为2g
【解析】选B。如图所示，F1=Fcos30°，F2=Fsin30°，F2=G，F1=ma，所以a=g，F=2G。选项B正确。
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二、计算题(本题共2小题，共18分。要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位)
5.(8分)(2015·德州高一检测) ( http: / / www.21cnjy.com )一质量为m的物体，沿半径为R的向下凹的圆形轨道滑行，如图所示，经过轨道最低点的速度为v，物体与轨道间的动摩擦因数为μ，求物体在最低点时受到的摩擦力。
【解析】在最低点有：FN-mg=m
所以：Ff=μFN=μm(g+)。
答案：μm(g+)
6.(10分)如图所示，在光 ( http: / / www.21cnjy.com )滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角为2θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧锥面，则此时绳的拉力是多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少多大？
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【解析】小球在锥面上受到拉力、支持力、重力的作用，如图所示。建立如图所示的平面直角坐标系。
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对其受力进行正交分解。
在y轴方向，根据平衡条件，得
Fcosθ+FNsinθ=mg，
在x轴方向，根据牛顿第二定律，得
Fsinθ-FNcosθ=mLω2sinθ，
解得F=m(gcosθ+Lω2sin2θ)。
要使球离开锥面，则
FN=0，解得ω=。
答案：m(gcosθ+Lω2sin2θ)
【总结提升】处理匀速圆周运动问题的基本方法
(1)明确哪一个物体做匀速圆周运动。
(2)确定物体做匀速圆周运动的圆心和半径。
(3)分析物体的受力情况。
(4)在半径方向上的合力提供向心力。
(5)按照向心力合适的形式列出方程，并求解。
