(共21张PPT)
（华师大版）九年级
上
22.2.4 一元二次方程根的判别式
二次根式
第22章
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1. 了解一元二次方程根的判别式； (重点)
2. 会判断一元二次方程根的情况； (难点)
3. 掌握一元二次方程根的判别式的应用. (难点)
新知导入
配方法
ax2 + bx + c = 0
(a ≠ 0)
公式法
公式
注意
步骤
a ≠ 0
Δ = b2 4ac≥0
1. 变形
2. 定数
3. 判定
4. 计算：
新知讲解
试一试：阅读下面的内容，试着解答这个问题.
老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小红突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道她是如何判断的吗？
新知讲解
我们在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到
①
观察上面的式子，思考b2 - 4ac 的值会怎样影响方程的根呢？
新知讲解
思考1：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况
思考2：一元二次方程根的情况有几种？
新知讲解
b2 - 4ac 的值会怎样影响方程的根？
思考
∵a ≠0， ∴4a2>0.
式子 b2 - 4ac 的值有以下三种情况：
方程有两个不等的实数根
(1) b2 - 4ac > 0
这时 > 0，由①得
新知讲解
(2) b2 - 4ac = 0
这时 = 0，由①可知，方程有两个相等的实数根 x1 =x2= -
(3) b2 - 4ac < 0
这时 < 0，由①可知 < 0 ，而x取任何实数都不能使
< 0 ，因此方程无实数根.
新知讲解
两个相等的实数根
归纳
这里的 b2－4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号Δ表示，即Δ＝b2－4ac. 并且有：
ax2 + bx + c = 0(a≠0)
b2 - 4ac ＞ 0
b2 - 4ac = 0
b2 - 4ac ＜ 0
两个不相等的实数根
无实数根
典例精析
例1 不解方程，判断下列方程的根的情况
（1）3x 2 =5x - 2 （2）
解：(1)原方程可变形为3x2-5x+2=0
因为 =(-5)2-4×3×2=1>0,
所以方程有两个不相等的实数根.
(2)因为 =
所以方程有两个相等的实数根.
（3）4(y2+1)-y=0
(3)原方程可变形为4y2-y+4=0
因为 =(-1)2-4×4=-15<0
所以方程没有实数根.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.一元二次方程x2－2x＋3＝0的根的情况是( )
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．有两个实数根
A
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
2.不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）2x2 + 3x 4 = 0
解：（1）a = 2，b = 3，c = 4，
∴ Δ = b2 4ac = 32 4×2×( 4) = 41＞0.
∴ 方程有两个不等的实数根．
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
（2） x2 x =-1.
解：（2）x2 x + 1 = 0，a = 1，b = 1，c = 1，
∴ Δ = b2 4ac = ( 1)2 4×1×1 = 3 < 0.
∴ 方程无实数根．
【综合拓展类作业】
课堂练习
3.小明告诉同学，他发现了判断一类方程有无实数根的简易方法：若一元二次方程ax +bx +c=0 (a≠0) 的系数a、c异号(即两数为一正一负)，那么这个方程一定有两个不相等的实数根，他的说法是否正确？为什么？
解：他的说法正确。∵ a、c异号，∴ ac＜0∴ －4ac＞0
又∵ b ≥ 0，∴b －4ac＞0
∴当系数a、c异号时，方程ax +bx +c=0 (a≠0)一定有两个不相等
的实数根.
课堂总结
根的判别式的运用
（1）当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根
（2）当Δ=0时，方程有两个相等的实数根
（3）当Δ<0时，方程无实数根。
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1. 若一元二次方程 kx ＋2x－1 = 0有两个实数根，则 k 的取值范围是 ( )
A. k > -1 B. k ≥ -1
C. k ≤ -1 D. k ≥ -1且 k ≠ 0
D
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
根的情况
2.按要求完成下列表格：
Δ 的值
0
4
有两个相等的实数根
没有实数根
有两个不相等的实数根
作业布置
【综合拓展类作业】
3.已知关于x的方程x2－2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若x＝k＋1是方程x2－2x＋k－1＝4的一个解，求k的值．
解：(1)∵关于x的方程x2－2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(－2)2－4(k－1)＞0，解得k＜2.
(2)把x＝k＋1代入方程，得(k＋1)2－2(k＋1)＋k－1＝4，
整理，得k2＋k－6＝0，解得k1＝2，k2＝－3.
∵k＜2，∴k的值为－3.
Thanks!
2
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学习任务单
课程基本信息
学科 数学 年级 九年级 学期 秋季
课题 22.2.4 一元二次方程根的判别式
教科书 书 名：义务教育教科书数学九年级上册 出版社：华东师范大学出版社
学生信息
姓名 学校 班级 学号
学习目标
1．能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证； 2．会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围.
课前学习任务
复习引入 复习引入 情境导入，初步认识 用公式法解下列一元二次方程。 （1）x2+5x+6=0； （2）9x2-6x+1=0； （3）x2-2x+3=0。
课上学习任务
【学习任务一】 思考探究，获取新知 观察解题过程，可以发现：在把系数代入求根公式之前，需先确定a，b，c的值，然后求出b2-4ac的值，它能决定方程是否有解，我们把b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ=b2-4ac。 我们回顾一元二次方程求根公式的推导过程发现： 。 归纳结论： （1）当Δ＞0时，方程有 的实数根： ，； （2）当Δ=0时，方程 的实数根，x1=x2=-； （3）当Δ＜0时，方程 。 反过来，当一元二次方程有两个不相等 的实数根时，b2-4ac； 当一元二次方程有两个相等的实数根时， ； 当一元二次方程没有实数根时， ； 当一元二次方程有实数根时， . 【学习任务二】 【学习任务三】 例1 不解方程，判断下列方程的根的情况. （1）3x2＝5x-2； （2） （3）4(y2+1)-y=0 【学习任务四】课堂练习 必做题： 1.一元二次方程x2－2x＋3＝0的根的情况是( ) A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根 选做题： 2.不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）2x2 + 3x 4 = 0 （2） x2 x =-1. 【综合拓展类作业】 3.小明告诉同学，他发现了判断一类方程有无实数根的简易方法：若一元二次方程ax +bx +c=0 (a≠0) 的系数a、c异号(即两数为一正一负)，那么这个方程一定有两个不相等的实数根，他的说法是否正确？为什么？ 【知识技能类作业】 必做题： 1. 若一元二次方程 kx ＋2x－1 = 0有两个实数根，则 k 的取值范围是 ( ) A. k > -1 B. k ≥ -1 C. k ≤ -1 D. k ≥ -1且 k ≠ 0 选做题： 2.按要求完成下列表格： 【综合拓展类作业】 3.已知关于x的方程x2－2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若x＝k＋1是方程x2－2x＋k－1＝4的一个解，求k的值．
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 华师大版 册、章 上册第二十二章
课标要求 1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程.2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等.3.了解一元二次方程的根与系数的关系.4.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.
内容分析 本章主要内容有一元二次方程的概念、解法和应用.本单元首先以具体问题情境为导入探究一元二次方程的概念，让学生经历一元二次方程概念的发生过程，了解一元二次方程的一般形式，要求学生会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。再通过合作学习体验并掌握一元二次方程的解法。一元二次方程是今后继续学习方程的重要基础.一元二次方程与图形的面积、物体的运动、量的平均变化率等都有着密切的联系,在日常生活和生产实践中有着许多应用，在教学过程中让学生经历一元二次方程的实际应用,体验一元二次方程的应用价值.经过本章的学习，有助于学生初步形成抽象能力、推理能力，是学生感悟数学的语言、表达现实世界的重要载体，有利于提升运算能力.
学情分析 《一元二次方程》这一章是是初中数学中最重要的数学模型之一，有助于提高学生的抽象能力、推理能力和运算能力，在教材中有着重要的地位。教师应该在传授知识的过程中注重联系实际，从实际问题中引出引导学生学习一元二次方程的有关知识，并最终回归到建立一元二次方程模型解决实际问题中去.同时教师需加强学生对知识之间内在联系的认识，体会相关的数学思想方法，提高学生的基本能力，在日常教学中注重培养学生发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的能力.
单元目标 教学目标1.进一步理解一元二次方程的定义，一般形式以及各项系数.?2.进一步深化理解一元二次方程的四种解法，能灵活运用四种解法解一元二次方程.?3.进一步理解根的判别式及其应用、根与系数的关系及其应用，能够运用它们去解决实际问题，综合性问题.?4.进一步加强列方程解应用题的能力，特别是增长率问题、几何图形问题.（二）教学重点、难点教学重点：对一元二次方程的理解，掌握一元二次方程的四种解法以及一元二次方程解决实际应用问题.教学难点：一元二次方程根的判别式的应用和根与系数的关系的应用.
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数 22.1 一元二次方程122.2.1直接开平方法和因式分解法122.2.2 配方法122.2.3用公式法解一元二次方程122.2.4一元二次方程根的判别式122.2.5一元二次方程根与系数的关系 122.3.1 图形的面积问题122.3.2 增长（降低）率问题1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务22.1 一元二次方程1.理解一元二次方程的概念.?2.掌握一元二次方程的一般形式，能分清一元二次方程的二次项及系数、一次项及系数、常数项.1.进一步感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义.2.正确认识一元二次方程中二次项系数、一次项系数，常数项和列一元二次方程.任务一：情境导入，根据数量关系列方程.任务二：探究新知，理解一元二次方程的概念，了解一元二次方程的一般形式.任务三：例题精讲，辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.活动任务四：针对训练，请学生回答问题..22.2.1直接开平方法和因式分解法1．会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b（a≠0，ab≥0）的方程； 2．灵活应用因式分解法解一元二次方程。3．使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法1.合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.2.理解一元二次方程无实根的解题过程.任务一：复习导入，回顾因式分解法解一元二次方程的基本步骤.任务二：探究新知，理解开平方法，配方法.任务3：例题精讲，用开平方法，因式分解法解一元二次方程.22.2.2 配方法1.了解配方法的概念，掌握用配方法解简单的一元二次方程。2.让学生参与对一元二次方程解法的探索，体验数学发展的过程，培养学生运算技巧和能力，发展数学思维3.通过降次与转化的数学思想的渗透，激发学生的学习兴趣，鼓励学生积极思考，发展学生合作意识.1.让学生用配方法解简单的一元二次方程.2.让学生从特殊的例子中发现规律、归纳方法.任务1：复习导入，回顾因式分解法解一元二次方程的基本步骤.任务2：例题精讲，用开平方法，配方法解一元二次方程..22.2.3用公式法解一元二次方程1.理解求根公式的推导过程和判别公式； 2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程.3．在推导求根公式过程中，强化推理技能训练，进一步发展演绎推理能力．1.熟练地用求根公式解一元二次方程．2.理解求根公式的推导过程及判别公式的应用．任务1：温故知新，回顾如何用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程.任务2：合作学习，一元二次方程求根公式.任务3：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题.22.2.4一元二次方程根的判别式1．能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证；2．会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围．1.根的判别式的正确理解与运用．2.会掌握含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用．任务1：利用配方法推导一元二次方程的求根公式．任务2：掌握用根的判别式判断一元二次方程根的情况．任务3：巩固例题，掌握由Δ确定方程根的情况的一般步骤．22.2.5一元二次方程根与系数的关系 1．能说出根与系数的关系；2．会利用根与系数的关系解有关的问题。1.根的判别式和韦达定理的学习．2.通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程，养成独立思考的习惯．任务1：经历观察、归纳、猜想、验证的这个探索发现过程任务2：掌握根的判别式和韦达定理任务3：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题.22.3.1 图形的面积问题1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.3.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程求解，并检验方程的解是否合理。1.掌握用一元二次方程解应用题的一般步骤.2.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.任务1：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型任务2：归纳一元二次方程解应用题的一般步骤.22.3.2 增长（降低）率问题1.掌握建立数学模型解决增长率与降低率问题.2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型。1.掌握建立数学模型解决增长率与降低率问题.2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.任务1：解决“变化率问题”的关键步骤：找出变化前的数量、变化后的数量及相应的等量关系.2. 掌握“变化率问题”的基本特征：平均变化率保持不变.任务3：例题精讲，巩固练习，请学生回答问题.
《一元二次方程》单元教学设计
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分课时教学设计
第5课时《22.2.4 一元二次方程根的判别式》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 经历一元二次方程根的判别式的产生过程；向学生渗透分类讨论的数学思想；培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力．
学习者分析 了解根的判别式，掌握由根的判别式符号判断一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的实数根的情况.根的判别式的正确理解与运用．
教学目标 1．能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证； 2．会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围．
教学重点 会用根的判别式判断一元二次方程根的情况.
教学难点 会根据一元二次方程根的情况确定字母的取值范围.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课复习引入 情境导入，初步认识 用公式法解下列一元二次方程。 （1）x2+5x+6=0； （2）9x2-6x+1=0； （3）x2-2x+3=0。 解： （1）x1=-2，x2=-3； （2）x1=x2=； （3）无解。 学生活动1： 教师鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评，引出新课. 先自主探究,再小组合作,分析,总结. 活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题，通过复习，引出新问题，教师提出与本节课有关的思考问题，经历一元二次方程根的判别式的产生过程. 环节二：新知探究教师活动2： 思考探究，获取新知 观察解题过程，可以发现：在把系数代入求根公式之前，需先确定a，b，c的值，然后求出b2-4ac的值，它能决定方程是否有解，我们把b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ=b2-4ac。 我们回顾一元二次方程求根公式的推导过程发现： 。 归纳结论： （1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根： ，； （2）当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，x1=x2=-； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根。 反过来，当一元二次方程有两个不相等 的实数根时，b2-4ac； 当一元二次方程有两个相等的实数根时，b2-4ac＝； 当一元二次方程没有实数根时，b2-4ac； 当一元二次方程有实数根时，b2-4ac≥. 【注意】（1）此判别式只适用于一元二次方程，当无法判断方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论； （2）当b2-4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根. 学生活动2： 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想、发现结论． 学生思考 教师提出问题让学生思考后回答．让学生分组讨论交流，达成共识： 活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生归纳问题的能力.能运用根的判别式，判断方程根的情况和进行有关的推理论证. 环节三：典例精析 例1 不解方程，判断下列方程的根的情况. （1）3x2＝5x-2； （2） （3）4(y2+1)-y=0 【探索思路】(引发学生思考)不解方程，要判断方程的根的情况，结合一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)中Δ的符号与根的关系，各方程的Δ与0的大小关系是什么？相应的方程根的情况是怎样的？ 解：(1)原方程可变形为3x2-5x+2=0 因为 =(-5)2-4×3×2=1>0, 所以方程有两个不相等的实数根. (2)因为 = 所以方程有两个相等的实数根. (3)原方程可变形为4y2-y+4=0 因为 =(-1)2-4×4=-15<0 所以方程没有实数根. 学生活动3： 参与教师分析和讲例题． 在学生自主、合作、探究后，学生解答，师生归纳出 活动意图说明：熟练掌握.巩固学的知识，学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，通过例题的示范作用，掌握由根的判别式符号判断一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的实数根的情况．
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.一元二次方程x2－2x＋3＝0的根的情况是( ) A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个实数根 选做题： 2.不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）2x2 + 3x 4 = 0 （2） x2 x =-1. 【综合拓展类作业】 3.小明告诉同学，他发现了判断一类方程有无实数根的简易方法：若一元二次方程ax +bx +c=0 (a≠0) 的系数a、c异号(即两数为一正一负)，那么这个方程一定有两个不相等的实数根，他的说法是否正确？为什么？
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 若一元二次方程 kx ＋2x－1 = 0有两个实数根，则 k 的取值范围是 ( ) A. k > -1 B. k ≥ -1 C. k ≤ -1 D. k ≥ -1且 k ≠ 0 选做题： 2.按要求完成下列表格： 【综合拓展类作业】 3.已知关于x的方程x2－2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若x＝k＋1是方程x2－2x＋k－1＝4的一个解，求k的值．
教学反思 (学生总结，老师点评) ．
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