初中数学同步训练必刷提高卷（北师大版七年级下册 5.2探索轴对称的性质）
一、选择题
1．将一张长方形纸条按如图方式折叠，始终使得边AB∥CD，则下列关于翻折角∠1与∠2的判断正确的是（ ）
A．∠1=∠2
B．∠1=2∠2
C．无论怎么折叠，∠1与∠2不可能相等
D．若∠1=50°，则∠2=40°
2．（2023七下·盐湖期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（ ）．
A． B．
C． D．
3．如图，把一张长方形的纸片ABCD沿EF折叠，若∠AED'=40° ，则∠EFC的度数为（ ）
A．70° B．110° C．130° D．150°
4．如图，四边形纸片ABCD中，∠B=120°，C D=40°．现将其右下角向内折出OPC'R，恰使C'P∥AB，RC'∥AD，则∠C的度数是（ ）
A．105° B．100° C．95° D．90°
5．如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF 折叠.若∠1=70°，则∠2的度数为（ ）
A．115° B．125° C．135° D．145°
6．如图，在一条长方形纸带ABCD中，∠DEF=α，将纸带先沿EF折叠，再沿BF折叠，则沿BF折叠后的∠CFE的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021七下·孝义期中）折纸是我国的传统文化，折纸不仅和自然科学结合在一起，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，折纸过程中既要动脑又要动手．如图，将一长方形纸条首先沿着 进行第一次折叠，使得 ， 两点落在 、 的位置，再将纸条沿着 折叠（ 与 在同一直线上），使得 、 分别落在 、 的位置．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（轴对称的性质++++++++++）如图，△ABE、△ADC和△ABC分别是关于AB，AC边所在直线的轴对称图形，若∠1：∠2：∠3=7：2：1，则∠α的度数为（ ）
A．90° B．108° C．110° D．126°
二、填空题
9．如图，将长方形纸片 ABCD沿EF折叠后，点A，B分别落在A'，B'的位置，再沿AD边将∠A'折叠到∠H处，若∠1=52°，则∠AEF= ，∠FEH= .
10．有一条直的宽纸带按如图所示的方式折叠，则∠α的度数为 °.
11．（2023七下·梅州期末）如图1，已知长方形纸带，，，，点E、F分别在边、上，，如图2，将纸带先沿直线折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图3，将纸带再沿折叠一次，使点H落在线段EF上点M的位置，那么 °．
12．（2023七下·郫都期末）如图，在四边形中，，，点、分别在、上，当的周长最小时，用的代数式表示，则 ．
三、解答题
13．如图1，将一条两边互相平行的纸带折叠．
（1）若图中a=70°，则β= °．
（2）探求图中a与β的数量关系．
（3）在图1的基础上继续折叠，使得图1中的CD边与CB边重合(如图2)，若继续沿CB边折叠，CE边恰好平分∠ACB，直接写出此时β的大小．
四、作图题
14．（初中数学北师大版七年级下册5.2探索轴对称的性质练习题）要在燃气管道L上修建一个泵站P，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？在图上画出P点位置，不写作法，保留痕迹．
五、综合题
15．（2023七下·榆树期末）如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B＝50°，∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F．
（1）求∠AFC的度数；
（2）求∠EDF的度数．
16．（2023七下·宣化期末）如图，直线AB∥CD，直线l与直线AB、CD相交于点E、F，点P是射线EA上的一个动点（不包括端点E），将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处．
（1）若∠PEF＝48°，点Q恰好落在其中的一条平行线上，求则∠EFP的度数；
（2）若∠PEF＝75°，2∠CFQ＝∠PFC，求∠EFP的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
由折叠得：
∴
∵
∴
∴
∴
只有当时，则A项和C项错误，
只有当时，则B项错误，
当时，则D项正确.
故答案为：D.
【分析】由折叠得：进而得到：然后根据平行线的性质得到：据此逐项分析即可求解.
2．【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：利用轴对称的性质可得，C选项中AC+BC的长最小，
故答案为：C.
【分析】利用“将军饮马”的方法求解即可.
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】由已知可得AD∥BC，
∴∠DEF+∠EFC=180°，
∵∠AED'=40°，
∴∠DED'=140°，
由折叠可知：∠DEF=∠D'EF=∠DED'=70°，
∴∠EFC=110°.
故答案选：B.
【分析】由已知可得AD∥BC，由平行线的性质可知：∠DEF+∠EFC=180°。结合已知∠AED'=40°，
所以知道∠DED'=140°。由折叠可知：∠DEF=∠D'EF=∠DED'=70°，所以∠EFC=110°.
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵C'P∥AB，RC'∥AD，
∴∠CPC'=∠B=120°，∠CRC'=40°，
由折叠可知，∠CPR=60°，∠CRP=20°，
∴∠C=180°-60°-20°=100°.
故答案选：B.
【分析】根据平行线的性质可得∠CPC'=∠B=120°，∠CRC'=40°，再根据折叠的性质可知∠CPR=60°，∠CRP=20°，然后根据三角形内角和180°，进而求出∠C的度数.
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形DEFC折叠得到四边形MEFN，
∴∠DEF=∠FEM.
∵∠1+∠DEF+∠FEM=180°，∠1=70°，
∴
∵四边形ABCE是矩形，
∴AD//BC.
∴∠DEF+∠2=180°.
∴∠2=180°－∠DEF=125°.
故答案为：B.
【分析】根据折叠和∠1度数可求出∠DEF的度数，根据矩形得到平行，根据平行线性质"l两直线平行，同旁内角互补"即可得∠2的度数.
6．【答案】A
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴
∴
由折叠得：
∴
故答案为：A.
【分析】根据长方形的性质和平行线的性质得到进而根据折叠的性质得到即可求解.
7．【答案】A
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵AD//BC
∴∠DEF=∠EFB．
由折叠可知∠GEF=∠DEF，∠GFG1=∠GFC2
∴∠EFB=∠GEF．
∠FGD1=2∠BFE，又
∴∠FGD1+∠GFC1=180°
∵∠BFC2+∠C2FC=180°．
∴∠FGD1=∠G2FC．
即∠C2FC=2∠BFE．
又∵3∠EFB=∠EFC2．
∵∠BFE+∠EFC2+∠C2FC=180°
∴ ∠BFE+3∠EFB+2∠BFE=180°
即6∠EFB=180°
∴∠EFB=30°
故答案为：A
【分析】由折叠可知∠GEF=∠DEF，∠GFG1=∠GFC2，得∠EFB=∠GEF，由，得∠FGD1+∠GFC1=180°，由∠BFC2+∠C2FC=180°，得∠FGD1=∠G2FC．即∠C2FC=2∠BFE．由3∠EFB=∠EFC2，∠BFE+∠EFC2+∠C2FC=180°，得∠BFE+3∠EFB+2∠BFE=180°，即6∠EFB=180°，∠EFB=30°。
8．【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵∠1：∠2：∠3=7：2：1，
∴设∠1=7x，∠2=2x，∠3=x，
由∠1+∠2+∠3=180°得：
7x+2x+x=180°，
解得x=18，
故∠1=7×18=126°，∠2=2×18=36°，∠3=1×18=18°，
∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，
∴∠DCA=∠E=∠3=18°，∠2=∠EBA=∠D=36°，∠4=∠EBA+∠E=36°+18°=54°，
∠5=∠2+∠3=18°+36°=54°，
故∠EAC=∠4+∠5=54°+54°=108°，
在△EGF与△CAF中，∠E=∠DCA，∠DFE=∠CFA，
∴△EGF∽△CAF，
∴α=∠EAC=108°．
故选B．
【分析】根据三角形的内角和定理和折叠的性质计算即可．
9．【答案】116°；12°
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】由折叠可知∠BFE=∠EFB’，∠AEF=∠A'EF，∠GEH=∠A'EG
∵∠1=52°，
∴∠BFB'=180°-∠1=128°，
∴∠BFE=∠EFB’=64°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF+∠BFE=180°，∠DEF=∠BFE=64°，
∴∠AEF=∠A'EF=116°，
∴A'EG=∠A'EF-∠DEF=116°-64°=52°，
∴∠GEH=∠A'EG=52°，
∴∠FEH=∠DEF-∠GEH=64°-52°=12°.
故答案为：116°；12°.
【分析】根据折叠性质可得∠BFE=∠EFB’，∠AEF=∠A'EF，∠GEH=∠A'EG，由邻补角互补求出∠BFB'，进而得到∠BFE=∠EFB’=64°，再根据两直线平行，同旁内角互补，内错角相等得到∠AEF+∠BFE=180°，∠DEF=∠BFE=64°，求得∠AEF，等量代换得到∠GEH=∠A'EG=52°，即可求解∠FEH.
10．【答案】75
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如下图进行标注：
由题意可得AE∥BC，∠EDF=30°；
∵AE∥BC
∴∠CBD=∠EDF=30°，∠α=∠ABM
∵翻折的性质
∴∠ABF=∠ABM=∠FBM=75°
∴∠α=∠ABM=75°
故答案为：75.
【分析】根据平行线的形状可得∠CDB=∠EDF=30°，∠α=∠ABM，根据翻折的性质，可得∠ABF=∠ABM=∠FBM=75°，从而即可得出答案.
11．【答案】
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AD//BC
∴∠EFK=∠1=20°
∴∠EFC=180°-20°=160°，
纸带第一次沿直线EF折叠，可得∠EFH=∠EFC=160°；
纸带第二次沿直线FS折叠，可得∠MFS=∠HFS=∠EFH=80°；
∴∠2=∠MFS-∠EFK=80°-20°=60°
故答案为：60.
【分析】根据两直线平行，内错角相等，可得∠EFK=∠1；再根据翻转的性质，可得∠EFH=∠EFC和∠MFS=∠HFS，即可解题.
12．【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作关于BC、CD点的对称点A'、A''，连接A'A''交BC于点E，交CD于点F，则A'A''为△AEF周长的最小值，作DA的延长线AH，
∵∠ADC = ∠ABC=90°，
∴∠DAB+∠C = 180°，
∵∠C= ，
∴∠DAB=180°-∠C=180°-，
∴∠HAA'= ，
∴∠AA'E + ∠A''= ∠HAA'= ，
∵∠AEF=∠EA'A+∠EAA'，∠AFE=∠FAD+∠A''，
∴∠AEF+∠AFE=∠EA'A+∠EAA'+∠FAD+∠A''=2（∠AA'E+∠A''）=2，
∴∠EAF=180°-2，
故答案为： .
【分析】根据题意先作图求出A'A''为△AEF周长的最小值，再求出∠HAA'= ，最后计算求解即可。
13．【答案】（1）55
（2）解：根据上下边互相平行可知，α=∠OAD(两直线平行，同位角相等)，又因为∠OAD+2β=180°，所以α+2β=180°.故答案为α+2β=180°.
（3）解：β=45°.
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）根据上下边互相平行可知，α=∠OAD(两直线平行，同位角相等)，因为α=70°，所以∠OAD=70°，又因为所以β=55°.故答案为β=55°.
（3）根据折叠的性质可知，折叠两次后形成的三个角都相等，根据题意可知，折叠两次后形成的三个角与折叠后的∠ACE都相等，而这四个角的和为180°，故每个角为45°，从而可知，∠ACB=90°，从而α=90°，再由(2)中的得到β=45°.故答案为β=45°.
【分析】（1）根据纸带上下边互相平行根据两直线平行，同位角相等可知：α=∠OAD，因为α=70°，所以∠OAD=70°，又根据折叠和平角的定义可知∠OAD+2=180°，所以β=55°.
（2）根据纸带上下边互相平行可知，α=∠OAD，又因为∠OAD+2β=180°，所以α+2β=180°.
（3）根据折叠的性质可知，折叠两次后形成的三个角都相等，根据题意可知，折叠两次后形成的三个角与折叠后的∠ACE都相等，而这四个角的和为180°，故每个角为45°，从而可知，∠ACB=90°，从而α=90°，再由(2)中的 α+2β=180°得到β=45°.故答案为β=45°.
14．【答案】解：作点A关于燃气管道L的对称点A′，连接A′B交L于点P，即点P即为所求．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】作出A镇关于燃气管道的对称点A′，连接A′B，根据轴对称确定最短路线问题，A′B与燃气管道的交点即为所求的点P的位置．
15．【答案】（1）解：∵△ABD沿AD折叠得到△AED，
∴∠BAD＝∠DAF，
∵∠B＝50°，∠BAD＝30°，
∴∠AFC＝∠B+∠BAD+∠DAF＝110°
（2）解：∵∠B＝50°，∠BAD＝30°，
∴∠ADB＝180°-50°-30°＝100°，
∠ADC＝50°+30°＝80°，
∵△ABD沿AD折叠得到△AED，
∴∠ADE＝∠ADB＝100°，
∴∠EDF＝∠ADE-∠ADC
＝100°-80°＝20°．
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质求出 ∠BAD＝∠DAF， 再根据 ∠B＝50°，∠BAD＝30°， 计算求解即可；
（2）根据折叠的性质求出 ∠ADE＝∠ADB＝100°， 再计算求解即可。
16．【答案】（1）解：①当点落在上时，
∵折叠，∴，
∴，
．
②当点落在上时，，
，
，
，
，
，
．
综上所述，满足条件的的值为或．
（2）解：①当点在平行线，之间时．
设，由折叠可知，
，
，
，
，
．
②当点在下方时，
设，由折叠可知，
，
，
，
解得，
．
综上所述，的度数为或．
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）分两种情况讨论，①当点Q落在AB上时，②当点Q落在CD上时，∠PQF=∠PEF=48°，利用平行线的性质，三角形的内角和定理计算即可．
（2）分两种情形况讨论，①当点Q在平行线AB，CD之间时．②当点Q在CD下方时，根据折叠的性质构造方程即可求解．
1 / 1初中数学同步训练必刷提高卷（北师大版七年级下册 5.2探索轴对称的性质）
一、选择题
1．将一张长方形纸条按如图方式折叠，始终使得边AB∥CD，则下列关于翻折角∠1与∠2的判断正确的是（ ）
A．∠1=∠2
B．∠1=2∠2
C．无论怎么折叠，∠1与∠2不可能相等
D．若∠1=50°，则∠2=40°
【答案】D
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
由折叠得：
∴
∵
∴
∴
∴
只有当时，则A项和C项错误，
只有当时，则B项错误，
当时，则D项正确.
故答案为：D.
【分析】由折叠得：进而得到：然后根据平行线的性质得到：据此逐项分析即可求解.
2．（2023七下·盐湖期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：利用轴对称的性质可得，C选项中AC+BC的长最小，
故答案为：C.
【分析】利用“将军饮马”的方法求解即可.
3．如图，把一张长方形的纸片ABCD沿EF折叠，若∠AED'=40° ，则∠EFC的度数为（ ）
A．70° B．110° C．130° D．150°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】由已知可得AD∥BC，
∴∠DEF+∠EFC=180°，
∵∠AED'=40°，
∴∠DED'=140°，
由折叠可知：∠DEF=∠D'EF=∠DED'=70°，
∴∠EFC=110°.
故答案选：B.
【分析】由已知可得AD∥BC，由平行线的性质可知：∠DEF+∠EFC=180°。结合已知∠AED'=40°，
所以知道∠DED'=140°。由折叠可知：∠DEF=∠D'EF=∠DED'=70°，所以∠EFC=110°.
4．如图，四边形纸片ABCD中，∠B=120°，C D=40°．现将其右下角向内折出OPC'R，恰使C'P∥AB，RC'∥AD，则∠C的度数是（ ）
A．105° B．100° C．95° D．90°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵C'P∥AB，RC'∥AD，
∴∠CPC'=∠B=120°，∠CRC'=40°，
由折叠可知，∠CPR=60°，∠CRP=20°，
∴∠C=180°-60°-20°=100°.
故答案选：B.
【分析】根据平行线的性质可得∠CPC'=∠B=120°，∠CRC'=40°，再根据折叠的性质可知∠CPR=60°，∠CRP=20°，然后根据三角形内角和180°，进而求出∠C的度数.
5．如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF 折叠.若∠1=70°，则∠2的度数为（ ）
A．115° B．125° C．135° D．145°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形DEFC折叠得到四边形MEFN，
∴∠DEF=∠FEM.
∵∠1+∠DEF+∠FEM=180°，∠1=70°，
∴
∵四边形ABCE是矩形，
∴AD//BC.
∴∠DEF+∠2=180°.
∴∠2=180°－∠DEF=125°.
故答案为：B.
【分析】根据折叠和∠1度数可求出∠DEF的度数，根据矩形得到平行，根据平行线性质"l两直线平行，同旁内角互补"即可得∠2的度数.
6．如图，在一条长方形纸带ABCD中，∠DEF=α，将纸带先沿EF折叠，再沿BF折叠，则沿BF折叠后的∠CFE的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴
∴
由折叠得：
∴
故答案为：A.
【分析】根据长方形的性质和平行线的性质得到进而根据折叠的性质得到即可求解.
7．（2021七下·孝义期中）折纸是我国的传统文化，折纸不仅和自然科学结合在一起，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，折纸过程中既要动脑又要动手．如图，将一长方形纸条首先沿着 进行第一次折叠，使得 ， 两点落在 、 的位置，再将纸条沿着 折叠（ 与 在同一直线上），使得 、 分别落在 、 的位置．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵AD//BC
∴∠DEF=∠EFB．
由折叠可知∠GEF=∠DEF，∠GFG1=∠GFC2
∴∠EFB=∠GEF．
∠FGD1=2∠BFE，又
∴∠FGD1+∠GFC1=180°
∵∠BFC2+∠C2FC=180°．
∴∠FGD1=∠G2FC．
即∠C2FC=2∠BFE．
又∵3∠EFB=∠EFC2．
∵∠BFE+∠EFC2+∠C2FC=180°
∴ ∠BFE+3∠EFB+2∠BFE=180°
即6∠EFB=180°
∴∠EFB=30°
故答案为：A
【分析】由折叠可知∠GEF=∠DEF，∠GFG1=∠GFC2，得∠EFB=∠GEF，由，得∠FGD1+∠GFC1=180°，由∠BFC2+∠C2FC=180°，得∠FGD1=∠G2FC．即∠C2FC=2∠BFE．由3∠EFB=∠EFC2，∠BFE+∠EFC2+∠C2FC=180°，得∠BFE+3∠EFB+2∠BFE=180°，即6∠EFB=180°，∠EFB=30°。
8．（轴对称的性质++++++++++）如图，△ABE、△ADC和△ABC分别是关于AB，AC边所在直线的轴对称图形，若∠1：∠2：∠3=7：2：1，则∠α的度数为（ ）
A．90° B．108° C．110° D．126°
【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵∠1：∠2：∠3=7：2：1，
∴设∠1=7x，∠2=2x，∠3=x，
由∠1+∠2+∠3=180°得：
7x+2x+x=180°，
解得x=18，
故∠1=7×18=126°，∠2=2×18=36°，∠3=1×18=18°，
∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，
∴∠DCA=∠E=∠3=18°，∠2=∠EBA=∠D=36°，∠4=∠EBA+∠E=36°+18°=54°，
∠5=∠2+∠3=18°+36°=54°，
故∠EAC=∠4+∠5=54°+54°=108°，
在△EGF与△CAF中，∠E=∠DCA，∠DFE=∠CFA，
∴△EGF∽△CAF，
∴α=∠EAC=108°．
故选B．
【分析】根据三角形的内角和定理和折叠的性质计算即可．
二、填空题
9．如图，将长方形纸片 ABCD沿EF折叠后，点A，B分别落在A'，B'的位置，再沿AD边将∠A'折叠到∠H处，若∠1=52°，则∠AEF= ，∠FEH= .
【答案】116°；12°
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】由折叠可知∠BFE=∠EFB’，∠AEF=∠A'EF，∠GEH=∠A'EG
∵∠1=52°，
∴∠BFB'=180°-∠1=128°，
∴∠BFE=∠EFB’=64°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF+∠BFE=180°，∠DEF=∠BFE=64°，
∴∠AEF=∠A'EF=116°，
∴A'EG=∠A'EF-∠DEF=116°-64°=52°，
∴∠GEH=∠A'EG=52°，
∴∠FEH=∠DEF-∠GEH=64°-52°=12°.
故答案为：116°；12°.
【分析】根据折叠性质可得∠BFE=∠EFB’，∠AEF=∠A'EF，∠GEH=∠A'EG，由邻补角互补求出∠BFB'，进而得到∠BFE=∠EFB’=64°，再根据两直线平行，同旁内角互补，内错角相等得到∠AEF+∠BFE=180°，∠DEF=∠BFE=64°，求得∠AEF，等量代换得到∠GEH=∠A'EG=52°，即可求解∠FEH.
10．有一条直的宽纸带按如图所示的方式折叠，则∠α的度数为 °.
【答案】75
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如下图进行标注：
由题意可得AE∥BC，∠EDF=30°；
∵AE∥BC
∴∠CBD=∠EDF=30°，∠α=∠ABM
∵翻折的性质
∴∠ABF=∠ABM=∠FBM=75°
∴∠α=∠ABM=75°
故答案为：75.
【分析】根据平行线的形状可得∠CDB=∠EDF=30°，∠α=∠ABM，根据翻折的性质，可得∠ABF=∠ABM=∠FBM=75°，从而即可得出答案.
11．（2023七下·梅州期末）如图1，已知长方形纸带，，，，点E、F分别在边、上，，如图2，将纸带先沿直线折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图3，将纸带再沿折叠一次，使点H落在线段EF上点M的位置，那么 °．
【答案】
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AD//BC
∴∠EFK=∠1=20°
∴∠EFC=180°-20°=160°，
纸带第一次沿直线EF折叠，可得∠EFH=∠EFC=160°；
纸带第二次沿直线FS折叠，可得∠MFS=∠HFS=∠EFH=80°；
∴∠2=∠MFS-∠EFK=80°-20°=60°
故答案为：60.
【分析】根据两直线平行，内错角相等，可得∠EFK=∠1；再根据翻转的性质，可得∠EFH=∠EFC和∠MFS=∠HFS，即可解题.
12．（2023七下·郫都期末）如图，在四边形中，，，点、分别在、上，当的周长最小时，用的代数式表示，则 ．
【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作关于BC、CD点的对称点A'、A''，连接A'A''交BC于点E，交CD于点F，则A'A''为△AEF周长的最小值，作DA的延长线AH，
∵∠ADC = ∠ABC=90°，
∴∠DAB+∠C = 180°，
∵∠C= ，
∴∠DAB=180°-∠C=180°-，
∴∠HAA'= ，
∴∠AA'E + ∠A''= ∠HAA'= ，
∵∠AEF=∠EA'A+∠EAA'，∠AFE=∠FAD+∠A''，
∴∠AEF+∠AFE=∠EA'A+∠EAA'+∠FAD+∠A''=2（∠AA'E+∠A''）=2，
∴∠EAF=180°-2，
故答案为： .
【分析】根据题意先作图求出A'A''为△AEF周长的最小值，再求出∠HAA'= ，最后计算求解即可。
三、解答题
13．如图1，将一条两边互相平行的纸带折叠．
（1）若图中a=70°，则β= °．
（2）探求图中a与β的数量关系．
（3）在图1的基础上继续折叠，使得图1中的CD边与CB边重合(如图2)，若继续沿CB边折叠，CE边恰好平分∠ACB，直接写出此时β的大小．
【答案】（1）55
（2）解：根据上下边互相平行可知，α=∠OAD(两直线平行，同位角相等)，又因为∠OAD+2β=180°，所以α+2β=180°.故答案为α+2β=180°.
（3）解：β=45°.
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）根据上下边互相平行可知，α=∠OAD(两直线平行，同位角相等)，因为α=70°，所以∠OAD=70°，又因为所以β=55°.故答案为β=55°.
（3）根据折叠的性质可知，折叠两次后形成的三个角都相等，根据题意可知，折叠两次后形成的三个角与折叠后的∠ACE都相等，而这四个角的和为180°，故每个角为45°，从而可知，∠ACB=90°，从而α=90°，再由(2)中的得到β=45°.故答案为β=45°.
【分析】（1）根据纸带上下边互相平行根据两直线平行，同位角相等可知：α=∠OAD，因为α=70°，所以∠OAD=70°，又根据折叠和平角的定义可知∠OAD+2=180°，所以β=55°.
（2）根据纸带上下边互相平行可知，α=∠OAD，又因为∠OAD+2β=180°，所以α+2β=180°.
（3）根据折叠的性质可知，折叠两次后形成的三个角都相等，根据题意可知，折叠两次后形成的三个角与折叠后的∠ACE都相等，而这四个角的和为180°，故每个角为45°，从而可知，∠ACB=90°，从而α=90°，再由(2)中的 α+2β=180°得到β=45°.故答案为β=45°.
四、作图题
14．（初中数学北师大版七年级下册5.2探索轴对称的性质练习题）要在燃气管道L上修建一个泵站P，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？在图上画出P点位置，不写作法，保留痕迹．
【答案】解：作点A关于燃气管道L的对称点A′，连接A′B交L于点P，即点P即为所求．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】作出A镇关于燃气管道的对称点A′，连接A′B，根据轴对称确定最短路线问题，A′B与燃气管道的交点即为所求的点P的位置．
五、综合题
15．（2023七下·榆树期末）如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B＝50°，∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F．
（1）求∠AFC的度数；
（2）求∠EDF的度数．
【答案】（1）解：∵△ABD沿AD折叠得到△AED，
∴∠BAD＝∠DAF，
∵∠B＝50°，∠BAD＝30°，
∴∠AFC＝∠B+∠BAD+∠DAF＝110°
（2）解：∵∠B＝50°，∠BAD＝30°，
∴∠ADB＝180°-50°-30°＝100°，
∠ADC＝50°+30°＝80°，
∵△ABD沿AD折叠得到△AED，
∴∠ADE＝∠ADB＝100°，
∴∠EDF＝∠ADE-∠ADC
＝100°-80°＝20°．
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质求出 ∠BAD＝∠DAF， 再根据 ∠B＝50°，∠BAD＝30°， 计算求解即可；
（2）根据折叠的性质求出 ∠ADE＝∠ADB＝100°， 再计算求解即可。
16．（2023七下·宣化期末）如图，直线AB∥CD，直线l与直线AB、CD相交于点E、F，点P是射线EA上的一个动点（不包括端点E），将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处．
（1）若∠PEF＝48°，点Q恰好落在其中的一条平行线上，求则∠EFP的度数；
（2）若∠PEF＝75°，2∠CFQ＝∠PFC，求∠EFP的度数．
【答案】（1）解：①当点落在上时，
∵折叠，∴，
∴，
．
②当点落在上时，，
，
，
，
，
，
．
综上所述，满足条件的的值为或．
（2）解：①当点在平行线，之间时．
设，由折叠可知，
，
，
，
，
．
②当点在下方时，
设，由折叠可知，
，
，
，
解得，
．
综上所述，的度数为或．
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）分两种情况讨论，①当点Q落在AB上时，②当点Q落在CD上时，∠PQF=∠PEF=48°，利用平行线的性质，三角形的内角和定理计算即可．
（2）分两种情形况讨论，①当点Q在平行线AB，CD之间时．②当点Q在CD下方时，根据折叠的性质构造方程即可求解．
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