6．3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
一、 单项选择题
1. (2023银川高一阶段练习)设e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )
A. e1＋e2和e1－e2
B. 3e1－4e2和6e1－8e2
C. e1＋2e2和2e1＋e2
D. e1和e1＋e2
2. 设向量e1，e2为一组基底，且a＝e1＋e2，b＝e1－2e2，c＝2e1＋3e2，则用b，c表示a的式子为( )
A. －b＋c B. b－c
C. b＋c D. －b－c
3. 已知在△ABC中，＝2，若＝m＋n，则mn等于( )
A. B. 1 C. D.
4. (2023珠海高一阶段练习)在△ABC中，D是线段BC上任意一点，点P满足＝3，若存在实数m和n，使得＝m＋n，则m＋n等于( )
A. B.
C. － D. －
5. (2023宣城高一统考)已知△ABC是边长为a的等边三角形，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，连接DE并延长到点M，使得DE＝2EM，连接DF并延长到点N，使得DF＝FN，则·的值为( )
A. a2 B. －a2
C. a2 D. －a2
6. (2022宿迁期末)在△ABC中，＝2，过点O的直线分别交直线AB，AC于M，N两个不同的点，若＝m，＝n，其中m，n为实数，则m2＋4n2的最小值为( )
A. 1 B. 4 C. D. 5
二、 多项选择题
7. (2023江苏高一专题练习)下列说法中，正确的有( )
A. 已知a，b是平面内两个非零向量，对于实数m，n，ma＋nb一定在该平面内
B. 已知e1，e2是平面内的一组基底，若实数m，n使me1＋ne2＝0，则m＝n＝0
C. 已知a，b是平面内两个非零向量，若实数m，n，p，q使ma＋nb＝pa＋qb，则m＝p，n＝q
D. 已知e1，e2是平面内的一组基底，对平面内任一向量a，使a＝me1＋ne2的实数m，n有且只有一对
8. 如图，四边形ABCD为梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论中正确的是( )
A. ＝＋
B. ＝＋
C. ＝＋
D. ＝－
三、 填空题
9. (2023遂宁高一期中)在梯形ABCD中， AB∥CD，AB＝4CD，M为AD的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．
10. 在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝2AB＝2，＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，则·的最大值为________．
11. (2023富锦第一中学高一阶段练习)如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为CD上靠近点C的四等分点，G为AE上靠近点A的三等分点，则向量用与表示为______________．
12. 在△ABC中，M是边AB所在直线上的任意一点，若＝－2＋λ，则实数λ的值为________．
四、 解答题
13. 在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD相交于点F.若＝a，＝b，试以a，b为基底表示 .
14. (2023钦州高一期中)如图，在△ABC中，BC＝4BD，AC＝3CE，BE与AD相交于点M.
(1) 用，表示，；
(2) 若＝m＋n，求m＋n的值．
【答案解析】
6．3 平面向量基本定理及坐标表示
6．3.1 平面向量基本定理
1. B 解析：由题意，得e1，e2不共线，所以e1＋e2和e1－e2不共线，e1＋2e2和2e1＋e2不共线，e1和e1＋e2不共线，所以选项A，C，D都可以作为基底；对于B，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，所以3e1－4e2和6e1－8e2共线，不能作为基底．
2. C 解析：由于e1，e2为基底，设a＝λb＋μc(λ，μ∈R)，则e1＋e2＝λ(e1－2e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(λ＋2μ)e1＋(3μ－2λ)e2，所以解得所以a＝b＋c.
3. A 解析：由题意，得R是BC上靠近点B的三等分点，＝－，所以＝＋(－)＝＋，所以m＝，n＝，所以mn＝×＝.
4. D 解析：由题意，得＝λ＋(1－λ)，0<λ<1.因为＝3＝3(＋)，所以3＋3＝λ＋(1－λ)，即＝＋，则故m＋n＝－.
5. B 解析：因为＝＋，＝＋，DE＝2EM，DF＝FN，所以＝＋，＝＋2.因为D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，所以＝，＝，所以＝＋，＝－＋＝－＋－＝－，所以·＝·＝－||2－·＋||2＝－a2－a·a·＋a2＝－a2.
6. C 解析：因为＝2，所以＝＋＝＋.因为M，O，N三点共线，所以＋＝1，即m＝3－2n，所以m2＋4n2＝(3－2n)2＋4n2＝8n2－12n＋9＝8(n－)2＋，故m2＋4n2的最小值为.
7. ABD 解析：对于A，a，b是平面内两个非零向量，对于实数m，n，由向量运算法则得ma＋nb一定在该平面内，故A正确；对于B，e1，e2是平面内的一组基底，若实数m，n使me1＋ne2＝0，则由基底的定义得m＝n＝0，故B正确；对于C，a，b是平面内两个非零向量，若实数m，n，p，q使ma＋nb＝pa＋qb，则由向量相等的定义得m＝p，n＝q不一定成立，故C错误；对于D，已知e1，e2是平面内的一组基底，对平面内任一向量a，由共面向量基本定理得使a＝me1＋ne2的实数m，n有且只有一对，故D正确．故选ABD.
8. ABD 解析：＝＋＝＋，故A正确；＝＋＝＋＝(－)＋＝＋，故B正确；＝＋＋＝－＋＋＝－，故C错误；＝＋＋＝－＋＋＝－，故D正确．故选ABD.
9. 解析：因为M为AD的中点，所以＝＋＝＋(＋)＝＋＋×＝＋，所以λ＝，μ＝，则λ＋μ＝.
10. 1 解析：·＝(＋)·(＋)＝(＋＋λ)·[＋(1－λ)]＝[(1－λ)－]·[λ＋(1－λ)]＝－λ2＋4λ－3＝－(λ－2)2＋1≤1，故当λ＝2时，·取最大值1.
11. ＝－－ 解析：由题意，得＝＋＝＋，＝＋＝－，所以＝＋＝－＝－(＋)＝－－.
12. 3 解析：在△ABC中，M是边AB所在直线上的任意一点，故存在实数μ，使得＝μ，即－＝μ(－)，所以＝＋.又＝－2＋λ，所以解得
13. 因为E是OD的中点，
所以＝＝b.
易得△ABE∽△FDE，所以＝＝，
所以＝3，所以＝.
又＝＋＝a＋b，
所以＝＝a＋b.
14. (1) 因为BC＝4BD，
所以＝＝－，
所以＝＋＝＋－＝＋.
因为AC＝3CE，所以＝，
所以＝－＝－.
(2) 因为A，M，D三点共线，
所以＝λ＝＋.
因为＝m＋n，所以
即m＝3n.
因为B，M，E三点共线，
所以＝k＋(1－k)＝k＋.
因为＝m＋n，所以
因为m＝3n，所以k＝3×(1－k)，解得k＝，所以m＝，n＝，故m＋n＝.6．3.2 平面向量的正交分解及加、减运算的坐标表示
一、 单项选择题
1. 给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应于唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为起点，该点为终点的向量一一对应．
其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. (2023高一课时练习)已知＝(－2，4)，则下列说法中正确的是( )
A. 点A的坐标是(－2，4)
B. 点B的坐标是(－2，4)
C. 当点B是原点时，点A的坐标是(－2，4)
D. 当点A是原点时，点B的坐标是(－2，4)
3. (2023赣州高一联考)已知＝(1，3)，A(－1，4)，则点B的坐标是( )
A. (－2，1) B. (7，0)
C. (2，－1) D. (0，7)
4. 已知点M(3，－2)，N(5，－1)，若＝，则点P的坐标为( )
A. (3，2) B. (3，－1)
C. (7，0) D. (1，0)
5. (2023南充高一期末)已知向量＝，，将向量绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置，则点P′的横坐标为( )
A. －1 B. －
C. 0 D. 1
6. 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若＝(2，4)，＝(1，3)，则等于( )
A. (－2，－4) B. (－3，－5)
C. (3，5) D. (2，4)
二、 多项选择题
7. 下列命题中，不正确的是( )
A. 两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同
B. 当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标
C. 两向量差的坐标与两向量的顺序无关
D. 终点的坐标与向量的坐标相同
8. 若向量a＝(2a－1，x2＋3x－3)与向量相等，且点A(1，3)，B(2，4)，则a，x的值为( )
A. a＝1，x＝1
B. a＝－1，x＝1
C. a＝1，x＝－4
D. a＝－1，x＝－4
三、 填空题
9. (2023全国高一专题练习)已知＝(2－x)i＋(1－x)j，且的坐标所表示的点在第四象限，则x的取值范围是________．
10. 已知点A(－1，4)，B(2，6)，C(3，0)，则满足＋＋＝0的点G的坐标为________．
11. 已知点A(－3，2)，向量＝(8，0)，设线段AB的中点为C，则点C的坐标为________．
12. 在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，点C在第一象限内，∠AOC＝，且OC＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值是________．
四、 解答题
13. 已知点A(－1，2)，B(2，8)，＝，＝，求点C，D的坐标和向量.
14. (2023全国高一专题练习)在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标．
【答案解析】
6．3.2 平面向量的正交分解及
加、减运算的坐标表示
1. C 解析：因为向量平移坐标不变，所以一个坐标可以对应无数个向量，但一个向量对应唯一的坐标，故③错误，①②④均正确．
2. D 解析：由平面向量的坐标表示可知，当点A是原点时，点B的坐标是(－2，4).
3. D 解析：因为＝(1，3)＝(xB＋1，yB－4)，所以xB＋1＝1，yB－4＝3，解得xB＝0，yB＝7，所以点B的坐标是(0，7).
4. C 解析：设点P的坐标为(x，y)，则＝(x－5，y＋1).又＝(2，1)，＝，即(x－5，y＋1)＝(2，1)，所以解得所以点P的坐标为(7，0).
5. C 解析：因为＝，所以向量与x轴正方向的夹角为，向量绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置，则与x轴正方向的夹角为，此时点P′在y轴上，点P′的横坐标为0.
6. B 解析：因为＝＋，所以＝－＝(－1，－1)，所以＝－＝(－3，－5).
7. ACD 解析：对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样，故A错误；根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标之差等于终点坐标，故B正确；根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关，故C错误；当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标等于终点的坐标，故D错误．故选ACD.
8. AC 解析：由点A(1，3)，B(2，4)，得＝(1，1)，则解得或故选AC.
9. (1，2) 解析：由题可得＝(2－x，1－x)，因为的坐标所表示的点在第四象限，所以解得110. 解析：设点G的坐标为(x，y).因为＋＋＝0，所以(－1－x，4－y)＋(2－x，6－y)＋(3－x，－y)＝(0，0)，可得x＝＝，y＝＝，所以点G的坐标为.
11. (1，2) 解析：设点B(x，y)，则＝(x＋3，y－2)＝(8，0)，所以解得所以点B(5，2).又C为线段AB的中点，所以点C的坐标为(1，2).
12. ＋1 解析：因为＝λ＋μ，A(1，0)，B(0，1)，所以C(λ，μ).因为点C在第一象限内，∠AOC＝，且OC＝2，所以λ>0，μ＞0，且＝2，＝tan ，解得λ＝，μ＝1，所以λ＋μ＝＋1.
13. 设点C(x1，y1)，D(x2，y2).
由题意，得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3，6)，＝(x2＋1，y2－2)，＝(－3，－6).
因为＝，＝，
所以(x1＋1，y1－2)＝(3，6)，(x2＋1，y2－2)＝(－3，－6)，
即
解得
所以点C，D的坐标分别为(2，8)和(－4，－4)，
所以＝(－6，－12).
14. 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)，
则a1＝|a|cos 45°＝2×＝，
a2＝|a|sin 45°＝2×＝，
b1＝|b|cos 120°＝3×＝－，
b2＝|b|sin 120°＝3×＝，
c1＝|c|cos (－30°)＝4×＝2，
c2＝|c|sin (－30°)＝4×＝－2，
所以a ＝(，)，b＝，c＝(2，－2).6．3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
一、 单项选择题
1. 下列各组向量中，共线的是( )
A. a＝(－1，2)，b＝(4，2)
B. a＝，b＝(6，－4)
C. a＝，b＝(10，5)
D. a＝(0，－1)，b＝
2. (2023内江高一期末)在下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)
B. e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
C. e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D. e1＝(2，－3)，e2＝
3. 已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4).若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ的值为( )
A. B. C. 1 D. 2
4. 已知在△ABC中，＝，＝(－1，3)，点P在边BC上，且CP＝2PB，则 等于 ( )
A. (－2，5) B. (2，－5)
C. (－2，－5) D. (2，5)
5. 已知O为坐标原点，点A(2，－1)，B(3，2)，且＝＋t，若点P在x轴上，则实数t的值为( )
A. B. 3
C. － D. －3
6. 已知在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，＝，＝，若向量＝x＋y，则x＋y的值为 ( )
A. B. C. D. 7
二、 多项选择题
7. 下列结论中，正确的是( )
A. 若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上
B. 已知直线上有P1，P2，P三点，其中P1(2，－1)，P2(－1，3)，且＝，则点P的坐标为
C. 已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为－2或11
D. 已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，O，A，B三点不共线，且＝x＋y，则x＋y＝1
8. 若A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)三点在一条直线上，则下列结论中正确的是( )
A. 2m－n＝3
B. n－m＝1
C. 当m＝3时，n＝3
D. m－2n＝3
三、 填空题
9. (2023佛山高一期中)已知在四边形ABCD中，∥，＝(k，－4)，＝(－3，k)则k＝________．
10. 已知＝(4，－4)，＝(－3，2)，＝(－1，m)，若A，C，D三点共线，则m＝________．
11. (2023江苏高一专题练习)如图，网格纸上小正方形的边长为1，向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________．
12. 已知在平行四边形ABCD中，＝(4，6)，＝(2，4)，则＝________．
四、 解答题
13. 已知a＝(1，2)，b＝(－2，1)，x＝a＋(t2＋1)b，y＝－a＋b，是否存在正实数k，t，使得x∥y？若存在，求出它们的取值范围；若不存在，请说明理由．
14. (2023黄冈高一联考)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．
(1) 求实数λ的值；
(2) 若e1＝(3，1)，e2＝(－1，－2)，求的坐标；
(3) 已知D(－，3)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
【答案解析】
6．3.3 平面向量数乘运算的坐标表示
1. B 解析：因为－1×2－2×4≠0，所以a，b不共线，故A错误；因为－1×(－4)－×6＝0，所以a与b共线，故B正确；因为×5－(－1)×10≠0，所以a，b不共线，故C错误；因为0×－(－1)×1≠0，所以a，b不共线，故D错误．
2. B 解析：对于A，e1＝()与e2＝()共线，故A错误；对于B，由－1×7≠2×5，知e1＝(－1，2)与e2＝(5，7)不共线，故B正确；对于C，由3×10＝5×6，知e1＝()，e2＝(6，10)共线，故C错误；对于D，由2×＝－3×，知e1＝(2，－3)，e2＝共线，故D错误．
3. B 解析：因为向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，所以a＋λb＝(1＋λ，2).因为(a＋λb)∥c，所以4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝.
4. A 解析：由CP＝2PB，得＋＝2(－)，即3＝2＋＝(－6，15)，故＝(－2，5).
5. A 解析：由题意，得＝(1，3)，则＝＋t＝(t＋2，3t－1).又点P在x轴上，所以3t－1＝0，解得t＝.
6. B 解析：以B为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．由AB＝4，BC＝3，＝，＝，得点D(4，3)，E(4，1)，F(2，3)，所以＝(4，3)，＝(4，1)，＝(2，3).又＝x＋y，所以(4，3)＝x(4，1)＋y(2，3)，即两式相加，得5(x＋y)＝7，则x＋y＝.
7. BCD 解析：对于A，向量与是共线向量，A，B，C，D四点不一定在一条直线上，故A错误；对于B，设P(x，y)，由＝，得(x－2，y＋1)＝(－1－x，3－y)，则解得故B正确；对于C，＝－＝(k，12)－(4，5)＝(k－4，7)，＝－＝(k，12)－(10，k)＝(k－10，12－k).因为A，B，C三点共线，所以∥，所以(k－4)(12－k)－7(k－10)＝0，整理，得k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11，故C正确；对于D，因为A，B，C三点共线，所以存在λ∈R，使＝λ，所以－＝λ(－)，所以＝(1－λ)＋λ，所以x＝1－λ，y＝λ，所以x＋y＝1，故D正确．故选BCD.
8. AC 解析：因为A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)三点在一条直线上，所以＝λ，所以(1，m－3)＝λ(2，n－3)，所以λ＝，所以m－3＝(n－3)，即2m－n＝3.当m＝3时，n＝3.故选AC.
9. 2 解析：因为＝(k，－4)，＝(－3，k)，且∥，所以k2＝12，解得k＝±2.因为ABCD为四边形，所以与反向共线，则k＝2.
10. 2 解析：＝＋＝(1，－2).因为A，C，D三点共线，所以，共线，所以1×m＝(－1)×(－2)，即m＝2.
11. 解析：以a，b的交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，则a＝(1，2)，b＝(2，－1)，c＝(2，－2)，因为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以解得所以λ＋μ＝.
12. (－1，－1) 解析：因为在平行四边形ABCD中，＝＋，＝－，所以＝(－)＝[(2，4)－(4，6)]＝(－1，－1).
13. 不存在，理由如下：
依题意，得x＝a＋(t2＋1)b＝(1，2)＋(t2＋1)·(－2，1)＝(－2t2－1，t2＋3)，
y＝－a＋b＝－(1，2)＋(－2，1)＝.
假设存在正实数k，t，使得x∥y，
则(－2t2－1)－(t2＋3)·＝0，化简，得＋＝0，即t3＋t＋k＝0.
因为k，t为正实数，
所以满足上式的k，t不存在，
故不存在正实数k，t，使得x∥y.
14. (1) ＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2，
因为A，E，C三点共线，
所以存在实数k，使得＝k，
即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，
得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.
因为e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，所以解得
(2) ＝＋＝－e1－e2－2e1＋e2＝－3e1－e2＝－3(3，1)－(－1，－2)＝(－9，－3)＋＝.
(3) 设A(x，y)，
由题意，得＝＝，
所以－－x＝－，3－y＝－2，
解得x＝8，y＝5.
所以A(8，5).6．3.5 平面向量数量积的坐标表示
一、 单项选择题
1. (2023鹤岗一中高一期末)已知向量a＝(－3，4), b＝(2，－2), c＝(5，－1)，若a与λb＋c垂直，则实数λ的值为( )
A. B. － C. D. －
2. 已知平面上三点A(2，1)，B(4，2)，C(0，1)，则·的值为( )
A. 2 B. －2 C. 4 D. －4
3. 已知向量a＝(－2，2)，b＝(5，k)，若|a＋b|≤5，则实数k的取值范围为( )
A. [－4，6] B. [－6，4]
C. [－6，2] D. [－2，6]
4. (2023毕节高一期末)已知向量a＝(λ，1)，b＝(－1，μ)，若2a＋3b＝(－3，8)，则cos 〈a，a＋b〉的值为( )
A. B. －
C. － D.
5. 若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(，)，则|2a－b|的值为( )
A. 2 B.
C. D. 2
6. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝，BC＝9，AB＝5，cos B＝，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为( )
A. B. C. D.
二、 多项选择题
7. (2023云浮高一阶段练习)若向量a＝(1，2)，b＝(λ，1)，则下列说法中正确的是( )
A. 若a⊥b，则λ＝－2
B. 若a∥b，则λ＝
C. 当λ∈(－2，＋∞)时，a，b的夹角为锐角
D. 当λ＝1时，a在b上的投影向量为b
8. 设向量a＝(k，2)，b＝(1，－1)，则下列说法中错误的是( )
A. 若k<－2，则a与b的夹角为钝角
B. |a|的最小值为2
C. 与b共线的单位向量有且只有一个(，－)
D. 若|a|＝2|b|，则k＝2或k＝－2
三、 填空题
9. (2023南阳高一期末)已知向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a－λb)，则λ＝________．
10. 已知向量a＝(1，3)，b＝(2，－4)，则b在a方向上的投影向量的模长是________．
11. 设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|的值为________．
12. 设a＝(4，－3)，b＝(2，1)，若a＋tb与b的夹角为45°，则实数t的值为________．
四、 解答题
13. (2023枣庄高一阶段练习)已知向量a＝(1，2)，b＝(3，k).
(1) 若a∥b，求|b|的值；
(2) 若a⊥(a－2b)，求实数k的值；
(3) 若a与b的夹角是锐角，求实数k的取值范围．
14. 已知在△ABC中，A(2，4)，B(－1，－2)，C(4，3)，边BC上的高为AD.
(1) 求证：AB⊥AC；
(2) 求点D和向量的坐标；
(3) 设∠ABC＝θ，求cos θ的值.
【答案解析】
6．3.4 平面向量数量积的坐标表示
1. D 解析：因为向量a＝(－3，4), b＝(2，－2), c＝(5，－1)，所以λb＋c＝(2λ＋5，－2λ－1).因为a与λb＋c垂直，所以－3(2λ＋5)＋4(－2λ－1)＝0，解得λ＝－.
2. D 解析：由题意，得＝(2，1)，＝(－2，0)，则·＝2×(－2)＋1×0＝－4.
3. C 解析：由|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝22＋22＋52＋k2＋2(－10＋2k)≤52，即(k＋2)2≤42，解得－6≤k≤2.
4. D 解析：因为a＝(λ，1)，b＝(－1，μ)，所以2a＋3b＝(2λ，2)＋(－3，3μ)＝(2λ－3，2＋3μ)，所以解得则a＝(0，1)，b＝(－1，2)，所以a＋b＝(－1，3)，所以cos 〈a，a＋b〉＝＝＝.
5. A 解析：由题意，知|a－b|＝＝，且(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝5－2a·b＝5，所以a·b＝0，所以(2a－b)2＝4a2＋b2－4a·b＝4＋4＝8，则|2a－b|＝2.
6. C 解析：如图，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．因为AD∥BC，AD＝，BC＝9，AB＝5，cos B＝，所以C(9，0)，cos B＝＝，xA＝3，yA＝4，所以A(3，4)，D.设M(x，0)，则N(x＋1，0)，其中0≤x≤8，所以＝，＝，所以·＝＋16＝x2－8x＋＝(x－4)2＋，所以当x＝4时，·取得最小值.
7. ABD 解析：若a⊥b，则λ＋2＝0，解得λ＝－2，故A正确；若a∥b，则1－2λ＝0，解得λ＝，故B正确；当λ＝时，a∥b，此时夹角不是锐角，故C错误；当λ＝1时，a＝(1，2)，b＝(1，1)，a在 b上的投影向量为×＝b＝b，故D正确．故选ABD.
8. CD 解析：对于A，若a与b的夹角为钝角，则a·b<0，且a与b不共线，则解得k<2且k≠－2，故A正确；对于B，|a|＝≥2，当且仅当k＝0时，等号成立，故B正确；对于C，|b|＝，与b共线的单位向量为±，即与b共线的单位向量为(，－)或，故C错误；对于D，若|a|＝2|b|＝2，则＝2，解得k＝±2，故D错误．故选CD.
9. ±3 解析：因为(a＋λb)⊥(a－λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝|a|2－λ2|b|2＝0，又a＝(3，3)，b＝(1，－1)，所以18－2λ2＝0，解得λ＝±3.
10. 解析：因为a＝(1，3)，b＝(2，－4)，所以a·b＝1×2＋3×(－4)＝－10，|a|＝＝，所以b在a方向上的投影向量为·＝×(1，3)＝(－1，－3)，所以其模为＝.
11. 解析：由a⊥c，得a·c＝2x－4＝0，解得x＝2.因为b∥c，所以2y＝－4，解得y＝－2，所以a＋b＝(2，1)＋(1，－2)＝(3，－1)，则|a＋b|＝.
12. 1 解析：由题意，得a＋tb＝(4，－3)＋t(2，1)＝(4＋2t，t－3)，所以(a＋tb)·b＝(4＋2t)×2＋(t－3)×1＝5t＋5，|a＋tb|＝＝.由(a＋tb)·b＝|a＋tb||b|cos 45°，得5t＋5＝·，解得t＝－3或t＝1.经检验t＝－3不合题意，所以t＝1.
13. (1) 因为向量a＝(1，2)，b＝(3，k)，且a∥b，
所以1×k－2×3＝0，解得k＝6，
所以|b|＝＝3.
(2) 因为a－2b＝(－5，2－2k)，a⊥(a－2b)，
所以a·(a－2b)＝0，
即1×(－5)＋2×(2－2k)＝0，
解得k＝－.
(3) 因为a与b的夹角是锐角，
所以a·b>0且a与b不共线同向，
即1×3＋2×k>0且k≠6，
解得k>－且k≠6，
故实数k的取值范围为(－，6)∪(6，＋∞).
14. (1) 由题意，得＝(－3，－6)，＝(2，－1).
因为·＝－3×2＋(－1)×(－6)＝0，
所以AB⊥AC.
(2) 设点D的坐标为(x，y)，
则＝(x－2，y－4)，＝(5，5).
因为AD⊥BC，
所以·＝5(x－2)＋5(y－4)＝0.①
又＝(x＋1，y＋2)，与共线，
所以存在实数λ，使＝λ，
即(5，5)＝λ(x＋1，y＋2)，
所以
消去λ，得(x＋1)－(y＋2)＝0.②
联立①②，解得x＝，y＝，
所以点D的坐标为，＝(，－).
(3) 因为＝(3，6)，＝(5，5)，
所以cos θ＝＝＝.
