初中数学同步训练必刷提高卷（北师大版七年级下册 5.3简单的轴对称图形）
一、选择题
1．（2015七下·深圳期中）等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长（ ）
A．17 B．22 C．17或22 D．21
2．（2023七下·嘉定期末）如图，用直尺和圆规作出的角平分线，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023七下·泰山期末）如图，在中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于，两点，作直线，分别交线段，于点，．若，的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023七下·崂山期末）如图，由作图痕迹做出如下判断，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023七下·南山期末）如图，在中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E，若的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022七下·新城期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若平分，则图中与全等的三角形有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．（2023七下·南川期中）如图，，交于点P，平分，，，有以下结论：
①；②；
③；④．其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
8．（2023七下·峡江期末）如图，在中，，的角平分线交于点D，于点E，若与的周长分别为13和3，则的长为（ ）
A．10 B．16 C．8 D．5
9．（2022七下·宝鸡期末）如图，在 中， ，点D是BC边的中点，连接AD，点P在AD上，连接BP，CP，过点D作 ， ，垂足分别为E、F，则下列结论：① ；② ；③ ；④ 是等腰三角形．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2023七下·紫金期末）如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2019七下·普宁期末）如图，AB∥CD，∠BAC与∠ACD的平分线交于点P，过P作PE⊥AB于E，交CD于F，EF＝10，则点P到AC的距离为 ．
12．（2021七下·普陀期中）如果等腰三角形的顶角为60°，底边长为5，则它的腰长＝ ．
13．（2015七下·南山期中）如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是 cm．
14．（2022七下·洪泽期中）等腰三角形的两边长分别为3cm和6cm，这个等腰三角形的周长为 cm.
15．（2022七下·祥符期末）如图，BO平分于点D，点E为射线BA上一动点，若，则OE的最小值为 .
三、作图题
16．（2017-2018学年北师大版数学七年级下册同步训练：5.4 利用轴对称进行设计）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置。（保留作图痕迹）。
17．（2023七下·于洪期末）如图，在四边形中，，．
（1）用直尺和圆规作的角平分线，交于点保留作图痕迹，不写作法；
（2）求的度数补全下列推理过程．
解：已知
（ ）
已知
平分已知
▲ 角平分线的定义
已知
▲ °（ ）
四、解答题
18．（2019七下·江城期末）如图，DE∥BC，DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC，求证：∠FDE=∠DEB。
五、实践探究题
19．
（1）如图1，AB，CD，EF是三条公路，且AB⊥EF，CD⊥EF.判断AB与CD的位置关系，并说明理由.
（2）如图2，在(1)的条件下，若小路OM平分∠EOB，通往加油站N的岔道O'N平分∠CO'F，试判断OM与O'N的位置关系，并说明理由.
六、综合题
20．（2018-2019学年初中数学北师大版七年级下册第五章 生活中的轴对称 达标检测卷）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：9为腰长时，三角形的周长为9+9+4=22，
9为底边长时，4+4＜9，不能组成三角形，
故选：B．
【分析】分类讨论：9为腰长，9为底边长，根据三角形的周长公式，可得答案．
2．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；尺规作图-作一个角的平分线
【解析】【解答】解：由作图过程知：OC=OD，CE=DE，又OE=OE，所以△OCE≌△ODE（SSS）。
故答案为：A.
【分析】根据作图过程知道，满足了两个三角形的三边对应相等，即可得出答案。
3．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-作一条线段的垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图过程知，MN是AC的垂直平分线，∴AD=DC，AC=2AE=2×2=4，∵△ABD的周长为=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC∴AB+BC=△ABC的周长-AC=15-4=11，∴△ABD的周长为：11.
故答案为：A。
【分析】根据垂直平分线的性质得AD=DC，所以就可得出△ABD的周长就是AB+BC，即△ABC的周长-AC，由AE的长度2，得出AC的长度4，就可得出△ABD的周长。
4．【答案】A
【知识点】垂线段最短；角平分线的性质；尺规作图-过一点作已知直线的垂线；尺规作图-作一个角的平分线
【解析】【解答】解：由作图痕迹知：PC平分∠APB，ED⊥PB，过点H作HM⊥PA，垂足为M，
∵PC平分∠APB，HM⊥PA，HG⊥PB，
∴HM=HG，
∵FH＜HM，
∴FH＜HG。
故答案为：A。
【分析】由作图痕迹知：PC平分∠APB，ED⊥PB，过点H作HM⊥PA，垂足为M，根据角平分线的性质可得出HM=HG，再根据垂线段最短，得出FH＞HM，从而得出FH＞HG。
5．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-作一条线段的垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知：MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE=3cm，AD=CD，
∴AC=AE+CE=6cm，
∵△ABD的周长为AB+AD+BD=AB+BD+CD=AB+BC=10cm，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=16cm.
故答案为：D.
【分析】由作图可知：MN是线段AC的垂直平分线，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=CE=3cm，AD=CD，进而根据三角形周长的计算方法、等量代换及线段的和差可得出AB+BC=10cm，最后再根据三角形周长的计算方法即可算出答案.
6．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，DE是BC的垂直平分线，∠A=90°，
∴∠BED=∠A=90°，
∴AD=ED，
在Rt△ABD与Rt△EBD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，BD=CD，
在△EBD与△ECD中，
，
∴△ECD≌△EBD（SSS），
∴Rt△ABD≌Rt△ECD，
故与△ABD全等的三角形有2个．
故答案为：C.
【分析】由垂直平分线的性质得∠BED=90°，则∠BED=∠A=90°，由角平分线的性质得AD=ED，证Rt△ABD≌Rt△EBD，由垂直平分线的性质得BE=CE，BD=CD，证ECD≌△EBD，则△ABD≌△ECD，据此解答.
7．【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】∵AB∥CD，∠COE＝20°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF＝∠DOF，故①正确；
∵OE⊥OF，
∴∠AOE＝90°-∠AOF＝25°，
∴∠COE＝∠COA-∠AOE＝25°，
∴∠AOE＝∠COE，故②正确；
∵OP⊥CD交AB于点P，
∴∠POF＝90°-∠DOF＝25°，
∴∠POF＝∠COE，故③正确；
∵∠AOP＝∠EOF-∠POF-∠AOE
＝90°-25°-25°
＝40°，
2∠COE＝50°，
∴∠AOP≠2∠COE，故④错误．
综上所述，正确的有①②③．
故选：A
【分析】根据平行线的性质可求得∠AOD＝130°，结合OF平分∠AOD，从而得到∠AOF＝65°；由平行线的性质可得∠AOC＝50°，再由∠AOE＝90°-∠AOF＝25°，从而可得∠AOE＝∠COE；从∠DOF＝∠AOF＝65°，可求∠POF＝90°-∠DOF＝25°，从而可判断；∠AOP＝90°-∠POF-∠AOE＝40°，而∠COE＝25°，故可判断。
8．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵的角平分线交于点D，
∴∠ABD=∠EBD，
∵，
∴∠DEB=∠BAC=90°，
在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD（AAS），
∴AB=BE，AD=DE，
∵C△ABC=AB+BC+AC=AB+BE+CE+AC=2AB+CE+AC=13，C△CDE=CD+DE+CE=CD+AD+CE=AC+CE=3，
∴C△ABC-C△CDE=（2AB+CE+AC）-（AC+CE）=2AB=10，
∴AB=5，
故答案为：D.
【分析】先利用“AAS”证出△ABD≌△EBD，可得AB=BE，AD=DE，再利用三角形的周长公式及等量代换求出C△ABC-C△CDE=（2AB+CE+AC）-（AC+CE）=2AB=10，再求出AB的长即可.
9．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ①∵点D是BC边的中点， 即 ，正确 ；
② ∵AB=AC，BD=CD，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB=PC，∴ （HL），正确；
③无法确定DE和PE是否相等，错误；
④ 由②得PB=PC，则 是等腰三角形，正确.
综上所述，正确的有3个.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的三线合一定理得出AD是BC的垂直平分线，利用HL证明，然后再逐项分析判断，即可作答.
10．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图痕迹可得直线是的垂直平分线，
，
，
，，
，，
.
故答案为：A.
【分析】根据作图痕迹可得直线MN是AC的垂直平分线，进而可得的度数，再通过三角形的内角和定理求得的度数，然后得到的度数.
11．【答案】5
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作PH⊥AC于H，
∵AP平分∠BAC，PE⊥AB，PH⊥AC，
∴PE＝PH，
∵AB∥CD，PE⊥AB，
∴PF⊥CD，
∵CP平分∠ACD，PF⊥CD，PH⊥AC，
∴PF＝PH，
∴PH＝PE＝PF＝ EF＝5，即点P到AC的距离为5，
故答案为：5．
【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得到PF=PH，根据点到直线的距离公式求出答案即可。
12．【答案】5
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解∵等腰三角形的顶角为60°，
∴底角＝ ＝60°，
∴三角形为等边三角形，
∴腰长＝底边长＝5，
所以它的腰长为5，
故答案为5．
【分析】根据等腰三角形的顶角为60°，可判断三角形是等边三角形，即可得到边长。
13．【答案】15
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当腰为3cm时，3+3=6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．
当腰为6cm时，6﹣3＜6＜6+3，能构成三角形；
此时等腰三角形的周长为6+6+3=15cm．
故填15．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6cm和3cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
14．【答案】15
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意，当腰长为6cm时，周长为：6+6+3=15cm；
当腰长为3cm时，3+3=6，不能构成三角形
故答案为：15.
【分析】利用三角形的三边关系定理，分情况讨论：当腰长为6cm时；当腰长为3cm时，可得到符合题意的等腰三角形的周长.
15．【答案】5
【知识点】垂线段最短；角平分线的性质
【解析】【解答】解：当时，最小，
平分，，，
.
故答案为：5.
【分析】根据垂线段最短，可知当时，最小，由角平分线的性质可得.
16．【答案】解：作出线段AB的垂直平分线，与∠COD的平分线交于P点，则P点为所求。
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-作一个角的平分线；尺规作图-作一条线段的垂直平分线
【解析】【分析】根据线段垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等；作出线段AB的垂直平分线和∠COD的平分线，两直线交于P点.
17．【答案】（1）解：如图：即为所求；
（2）解：已知，
两直线平行，同旁内角互补，
已知，
，
平分已知，
角平分线的定义，
已知，
两直线平行，内错角相等.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义；尺规作图-作一个角的平分线
【解析】【分析】（1）用尺规作图即可；
（2）由两直线平行同旁内角互补可得∠A+∠ABC=180°，根据角平分线定义得∠EBC=∠ABC求出∠EBC的度数，再根据两直线平行内错角相等得∠AEB=∠EBC可求解.
18．【答案】证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC．
∵DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC，
∴∠ADF= ∠ADE，∠ABE= ∠ABC，
∴∠ADF=∠ABE
∴DF∥BE，
∴∠FDE=∠DEB
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】根据直线平行的性质，得到∠ADE=∠ABC，由角的平分线定理，即可证明∠ADF=∠ABE，根据直线平行的判定定理得到DF∥BE，根据直线平行的性质作答即可。
19．【答案】（1）解：AB∥CD，理由如下：
如图：
∵AB⊥EF（已知），
∴∠1=90°（垂直的定义），
∵CD⊥EF（已知），
∴∠2=90°（垂直的定义），
∴∠1=∠2（等量代换），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；
（2）解：OM∥ON，理由如下：
如图：
∵OM平方∠EOB（已知），
∴∠3=∠EOB（角平分线的定义），
∵O'N平方∠CO'F（已知），
∴∠FO'N=∠CO'F（角平分线的定义），
∵∠EOB=∠COF=90°（垂直定义），
∴∠3=∠FO'N（等量代换），
∵∠4=∠FO'N（对顶角相等），
∴∠3=∠4（等量代换），
∴OM∥O'N（同位角相等，两直线平行）.
【知识点】垂线；平行线的判定；角平分线的性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）由每两直线垂直可以得到四个角都是90°，再找到一组同位角或内错角，就可以得到两直线平行；
（2）由角平分线的定义可以得到分得到角是原来大角的一半，再从图中可以得到分得的角是同位角就可以得到两直线平行.
20．【答案】（1）解：∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，BN=CN，
∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，
∵△CMN的周长为15cm，
∴AB=15cm
（2）解：∵∠MFN=70°，
∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，
∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，
∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，
∵AM=CM，BN=CN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出 AM=CM，BN=CN， 根据三角形周长的计算方法及线段的和差等量代换即可，由 CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB， 即可算出答案；
（2）根据三角形的内角和得出 ∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°， 根据对顶角相等得出 ∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF， 故 ∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°， 根据直角三角形两锐角互余及角的和差，得出 ∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°， 根据等边对等角得出 ∠A=∠ACM，∠B=∠BCN， 最后根据三角形的内角和，由 ∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B） 即可算出答案。
1 / 1初中数学同步训练必刷提高卷（北师大版七年级下册 5.3简单的轴对称图形）
一、选择题
1．（2015七下·深圳期中）等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长（ ）
A．17 B．22 C．17或22 D．21
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：9为腰长时，三角形的周长为9+9+4=22，
9为底边长时，4+4＜9，不能组成三角形，
故选：B．
【分析】分类讨论：9为腰长，9为底边长，根据三角形的周长公式，可得答案．
2．（2023七下·嘉定期末）如图，用直尺和圆规作出的角平分线，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；尺规作图-作一个角的平分线
【解析】【解答】解：由作图过程知：OC=OD，CE=DE，又OE=OE，所以△OCE≌△ODE（SSS）。
故答案为：A.
【分析】根据作图过程知道，满足了两个三角形的三边对应相等，即可得出答案。
3．（2023七下·泰山期末）如图，在中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于，两点，作直线，分别交线段，于点，．若，的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-作一条线段的垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图过程知，MN是AC的垂直平分线，∴AD=DC，AC=2AE=2×2=4，∵△ABD的周长为=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC∴AB+BC=△ABC的周长-AC=15-4=11，∴△ABD的周长为：11.
故答案为：A。
【分析】根据垂直平分线的性质得AD=DC，所以就可得出△ABD的周长就是AB+BC，即△ABC的周长-AC，由AE的长度2，得出AC的长度4，就可得出△ABD的周长。
4．（2023七下·崂山期末）如图，由作图痕迹做出如下判断，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线段最短；角平分线的性质；尺规作图-过一点作已知直线的垂线；尺规作图-作一个角的平分线
【解析】【解答】解：由作图痕迹知：PC平分∠APB，ED⊥PB，过点H作HM⊥PA，垂足为M，
∵PC平分∠APB，HM⊥PA，HG⊥PB，
∴HM=HG，
∵FH＜HM，
∴FH＜HG。
故答案为：A。
【分析】由作图痕迹知：PC平分∠APB，ED⊥PB，过点H作HM⊥PA，垂足为M，根据角平分线的性质可得出HM=HG，再根据垂线段最短，得出FH＞HM，从而得出FH＞HG。
5．（2023七下·南山期末）如图，在中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E，若的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-作一条线段的垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知：MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE=3cm，AD=CD，
∴AC=AE+CE=6cm，
∵△ABD的周长为AB+AD+BD=AB+BD+CD=AB+BC=10cm，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=16cm.
故答案为：D.
【分析】由作图可知：MN是线段AC的垂直平分线，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=CE=3cm，AD=CD，进而根据三角形周长的计算方法、等量代换及线段的和差可得出AB+BC=10cm，最后再根据三角形周长的计算方法即可算出答案.
6．（2022七下·新城期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若平分，则图中与全等的三角形有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，DE是BC的垂直平分线，∠A=90°，
∴∠BED=∠A=90°，
∴AD=ED，
在Rt△ABD与Rt△EBD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，BD=CD，
在△EBD与△ECD中，
，
∴△ECD≌△EBD（SSS），
∴Rt△ABD≌Rt△ECD，
故与△ABD全等的三角形有2个．
故答案为：C.
【分析】由垂直平分线的性质得∠BED=90°，则∠BED=∠A=90°，由角平分线的性质得AD=ED，证Rt△ABD≌Rt△EBD，由垂直平分线的性质得BE=CE，BD=CD，证ECD≌△EBD，则△ABD≌△ECD，据此解答.
7．（2023七下·南川期中）如图，，交于点P，平分，，，有以下结论：
①；②；
③；④．其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】∵AB∥CD，∠COE＝20°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF＝∠DOF，故①正确；
∵OE⊥OF，
∴∠AOE＝90°-∠AOF＝25°，
∴∠COE＝∠COA-∠AOE＝25°，
∴∠AOE＝∠COE，故②正确；
∵OP⊥CD交AB于点P，
∴∠POF＝90°-∠DOF＝25°，
∴∠POF＝∠COE，故③正确；
∵∠AOP＝∠EOF-∠POF-∠AOE
＝90°-25°-25°
＝40°，
2∠COE＝50°，
∴∠AOP≠2∠COE，故④错误．
综上所述，正确的有①②③．
故选：A
【分析】根据平行线的性质可求得∠AOD＝130°，结合OF平分∠AOD，从而得到∠AOF＝65°；由平行线的性质可得∠AOC＝50°，再由∠AOE＝90°-∠AOF＝25°，从而可得∠AOE＝∠COE；从∠DOF＝∠AOF＝65°，可求∠POF＝90°-∠DOF＝25°，从而可判断；∠AOP＝90°-∠POF-∠AOE＝40°，而∠COE＝25°，故可判断。
8．（2023七下·峡江期末）如图，在中，，的角平分线交于点D，于点E，若与的周长分别为13和3，则的长为（ ）
A．10 B．16 C．8 D．5
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵的角平分线交于点D，
∴∠ABD=∠EBD，
∵，
∴∠DEB=∠BAC=90°，
在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD（AAS），
∴AB=BE，AD=DE，
∵C△ABC=AB+BC+AC=AB+BE+CE+AC=2AB+CE+AC=13，C△CDE=CD+DE+CE=CD+AD+CE=AC+CE=3，
∴C△ABC-C△CDE=（2AB+CE+AC）-（AC+CE）=2AB=10，
∴AB=5，
故答案为：D.
【分析】先利用“AAS”证出△ABD≌△EBD，可得AB=BE，AD=DE，再利用三角形的周长公式及等量代换求出C△ABC-C△CDE=（2AB+CE+AC）-（AC+CE）=2AB=10，再求出AB的长即可.
9．（2022七下·宝鸡期末）如图，在 中， ，点D是BC边的中点，连接AD，点P在AD上，连接BP，CP，过点D作 ， ，垂足分别为E、F，则下列结论：① ；② ；③ ；④ 是等腰三角形．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ①∵点D是BC边的中点， 即 ，正确 ；
② ∵AB=AC，BD=CD，∴AD是BC的垂直平分线，∴PB=PC，∴ （HL），正确；
③无法确定DE和PE是否相等，错误；
④ 由②得PB=PC，则 是等腰三角形，正确.
综上所述，正确的有3个.
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的三线合一定理得出AD是BC的垂直平分线，利用HL证明，然后再逐项分析判断，即可作答.
10．（2023七下·紫金期末）如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图痕迹可得直线是的垂直平分线，
，
，
，，
，，
.
故答案为：A.
【分析】根据作图痕迹可得直线MN是AC的垂直平分线，进而可得的度数，再通过三角形的内角和定理求得的度数，然后得到的度数.
二、填空题
11．（2019七下·普宁期末）如图，AB∥CD，∠BAC与∠ACD的平分线交于点P，过P作PE⊥AB于E，交CD于F，EF＝10，则点P到AC的距离为 ．
【答案】5
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作PH⊥AC于H，
∵AP平分∠BAC，PE⊥AB，PH⊥AC，
∴PE＝PH，
∵AB∥CD，PE⊥AB，
∴PF⊥CD，
∵CP平分∠ACD，PF⊥CD，PH⊥AC，
∴PF＝PH，
∴PH＝PE＝PF＝ EF＝5，即点P到AC的距离为5，
故答案为：5．
【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得到PF=PH，根据点到直线的距离公式求出答案即可。
12．（2021七下·普陀期中）如果等腰三角形的顶角为60°，底边长为5，则它的腰长＝ ．
【答案】5
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解∵等腰三角形的顶角为60°，
∴底角＝ ＝60°，
∴三角形为等边三角形，
∴腰长＝底边长＝5，
所以它的腰长为5，
故答案为5．
【分析】根据等腰三角形的顶角为60°，可判断三角形是等边三角形，即可得到边长。
13．（2015七下·南山期中）如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是 cm．
【答案】15
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当腰为3cm时，3+3=6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．
当腰为6cm时，6﹣3＜6＜6+3，能构成三角形；
此时等腰三角形的周长为6+6+3=15cm．
故填15．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6cm和3cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
14．（2022七下·洪泽期中）等腰三角形的两边长分别为3cm和6cm，这个等腰三角形的周长为 cm.
【答案】15
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意，当腰长为6cm时，周长为：6+6+3=15cm；
当腰长为3cm时，3+3=6，不能构成三角形
故答案为：15.
【分析】利用三角形的三边关系定理，分情况讨论：当腰长为6cm时；当腰长为3cm时，可得到符合题意的等腰三角形的周长.
15．（2022七下·祥符期末）如图，BO平分于点D，点E为射线BA上一动点，若，则OE的最小值为 .
【答案】5
【知识点】垂线段最短；角平分线的性质
【解析】【解答】解：当时，最小，
平分，，，
.
故答案为：5.
【分析】根据垂线段最短，可知当时，最小，由角平分线的性质可得.
三、作图题
16．（2017-2018学年北师大版数学七年级下册同步训练：5.4 利用轴对称进行设计）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置。（保留作图痕迹）。
【答案】解：作出线段AB的垂直平分线，与∠COD的平分线交于P点，则P点为所求。
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-作一个角的平分线；尺规作图-作一条线段的垂直平分线
【解析】【分析】根据线段垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等；作出线段AB的垂直平分线和∠COD的平分线，两直线交于P点.
17．（2023七下·于洪期末）如图，在四边形中，，．
（1）用直尺和圆规作的角平分线，交于点保留作图痕迹，不写作法；
（2）求的度数补全下列推理过程．
解：已知
（ ）
已知
平分已知
▲ 角平分线的定义
已知
▲ °（ ）
【答案】（1）解：如图：即为所求；
（2）解：已知，
两直线平行，同旁内角互补，
已知，
，
平分已知，
角平分线的定义，
已知，
两直线平行，内错角相等.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义；尺规作图-作一个角的平分线
【解析】【分析】（1）用尺规作图即可；
（2）由两直线平行同旁内角互补可得∠A+∠ABC=180°，根据角平分线定义得∠EBC=∠ABC求出∠EBC的度数，再根据两直线平行内错角相等得∠AEB=∠EBC可求解.
四、解答题
18．（2019七下·江城期末）如图，DE∥BC，DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC，求证：∠FDE=∠DEB。
【答案】证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC．
∵DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC，
∴∠ADF= ∠ADE，∠ABE= ∠ABC，
∴∠ADF=∠ABE
∴DF∥BE，
∴∠FDE=∠DEB
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】根据直线平行的性质，得到∠ADE=∠ABC，由角的平分线定理，即可证明∠ADF=∠ABE，根据直线平行的判定定理得到DF∥BE，根据直线平行的性质作答即可。
五、实践探究题
19．
（1）如图1，AB，CD，EF是三条公路，且AB⊥EF，CD⊥EF.判断AB与CD的位置关系，并说明理由.
（2）如图2，在(1)的条件下，若小路OM平分∠EOB，通往加油站N的岔道O'N平分∠CO'F，试判断OM与O'N的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）解：AB∥CD，理由如下：
如图：
∵AB⊥EF（已知），
∴∠1=90°（垂直的定义），
∵CD⊥EF（已知），
∴∠2=90°（垂直的定义），
∴∠1=∠2（等量代换），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；
（2）解：OM∥ON，理由如下：
如图：
∵OM平方∠EOB（已知），
∴∠3=∠EOB（角平分线的定义），
∵O'N平方∠CO'F（已知），
∴∠FO'N=∠CO'F（角平分线的定义），
∵∠EOB=∠COF=90°（垂直定义），
∴∠3=∠FO'N（等量代换），
∵∠4=∠FO'N（对顶角相等），
∴∠3=∠4（等量代换），
∴OM∥O'N（同位角相等，两直线平行）.
【知识点】垂线；平行线的判定；角平分线的性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）由每两直线垂直可以得到四个角都是90°，再找到一组同位角或内错角，就可以得到两直线平行；
（2）由角平分线的定义可以得到分得到角是原来大角的一半，再从图中可以得到分得的角是同位角就可以得到两直线平行.
六、综合题
20．（2018-2019学年初中数学北师大版七年级下册第五章 生活中的轴对称 达标检测卷）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
【答案】（1）解：∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，BN=CN，
∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，
∵△CMN的周长为15cm，
∴AB=15cm
（2）解：∵∠MFN=70°，
∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，
∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，
∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，
∵AM=CM，BN=CN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出 AM=CM，BN=CN， 根据三角形周长的计算方法及线段的和差等量代换即可，由 CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB， 即可算出答案；
（2）根据三角形的内角和得出 ∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°， 根据对顶角相等得出 ∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF， 故 ∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°， 根据直角三角形两锐角互余及角的和差，得出 ∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°， 根据等边对等角得出 ∠A=∠ACM，∠B=∠BCN， 最后根据三角形的内角和，由 ∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B） 即可算出答案。
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