初中数学同步训练必刷培优卷（北师大版七年级下册 5.3简单的轴对称图形）
一、选择题
1．（2019七下·方城期末）如图是由11个等边三角形拼成的六边形.若最小等边三角形的边长为 ，最大等边三角形的边长为 ，则 与 的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：设右下角的等边三角形它的边长为x，
则等边三角形的边长依次为x，x+a，x+a，x+2a，x+2a，x+3a，
∴ ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】根据等边三角形的性质，设右下角的等边三角形它的边长为x，则可依次求出等边三角形的边长，进而可得b=x+3a，b=3x，整理可得 与 的关系.
2．（2017七下·晋中期末）如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：
①∠AED=90° ②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD，
四个结论中成立的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③
【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB
∴BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC=EF=BE，所以③错误；
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；
∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；
∴∠AED=∠AEF+∠FED= ∠BEC=90°，所以①正确．
故答案为：A．
【分析】当出现角平分线时，可想到角平分线所谓性质定理，通过作一边的垂线构造出另一个距离，恰可转化BE到EF，EF又转到CE，可判定角平分线.
3．如图，已知∠AOB是直角，∠AOC是锐角，ON平分
∠AOC，OM平分∠BOC，则∠MON是（ ）
A．45 B．45 + ∠AOC
C．60°－ ∠AOC D．不能计算
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】结合图形，根据角的和差，以及角平分线的定义，找到∠MON与∠AOB的关系，即可求出∠MON的度数．
∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
∴∠MOC= ∠BOC，∠NOC= ∠AOC，
∴∠MON=∠MOC-∠NOC= （∠BOC-∠AOC)= （∠BOA+∠AOC-∠AOC)= ∠BOA=45°．
故选A．
二、填空题
4．（2023七下·兴化期中）如图，已知，点在射线上运动，点在射线上运动．和的角平分线交于点，、分别为、上的点，和的角平分线交于点．若点A、B在运动过程中，存在中有一个角是另一个角的2倍，则的度数为 ．
【答案】40°或80°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解： ，
AE平分∠MAB，BE平分∠NBA
同理可得
△CDF中有一个角是另一个角的2倍，分情况讨论：
①若∠DCF=2∠F=120°，
则 的内角和为
这与三角形的内角和定理矛盾，故
②若∠DCF=2∠CDF，则
又
③若∠CDF=2∠DCF，则
又
④若∠CDF=2∠F =120°，
则 的内角和为
这与三角形的内角和定理矛盾，故
⑤若∠F=2∠DCF，则
平分
，不符合题意．
⑥若∠F=2∠FDC，则
平分
，不符合题意．
综上所述： 或
故答案为：40°或80°.
【分析】由三角形外角性质得∠MAB+∠NBA=240°，由角平分线的定义得∠EAB+∠EBA=120°，由三角形的内角和定理得∠E=60°；同理得∠F=60°；△CDF中有一个角是另一个角的2倍，分情况讨论：①若∠DCF=2∠F=120° ，②若∠DCF=2∠CDF ，③若∠CDF=2∠DCF，④若∠CDF=2∠F =120°，⑤若∠F=2∠DCF，⑥若∠F=2∠FDC，从而即可得出答案.
5．（2023七下·瓯海期中）有一副直角三角板和，其中，，如图所示叠放，边点边交于点，过点作平分，若，则 度．
【答案】15
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ G作GH平分∠AGC，
∴ ∠AGH=∠AGC，
∵ GH//BC，∠B=45°，∠D=60°，
∴ ∠AGH=∠B=45°，∠DCE=30°，
∴ ∠AGC=90°，
∴ ∠BCG=45°，
在BCG中，∠BCG=180°-∠BGC-∠B=180°-90°-45°=45°，
∵ ∠DCE=30°，
∴ ∠ECA=∠ACB-∠BCG-∠DCE=90°-45°-30°=15°.
故答案为：15°.
【分析】根据GH//BC得出∠AGH=∠B=45°，再根据角平分线定义计算出∠AGC=90°，利用∠ECA=∠ACB-∠BCG-∠DCE解答即可.
6．（2022七下·南阳开学考）如图，已知等边三角形的边长为12cm，甲，乙两动点同时从顶点出发，甲以1厘米/秒的速度沿等边三角形的边按顺时针方向移动，乙以3厘米/秒的速度沿等边三角形的边按逆时针方向移动，相遇后甲乙的速度均增加1厘米/秒且都改变原方向移动.则第二次相遇时乙与最近顶点的距离是 厘米.
【答案】3
【知识点】等边三角形的性质；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设出发x秒后甲乙第一次相遇，根据题意得：
x+3x=12×3，
解得：x=9，
此时甲的路程：
，
∴相遇地点在线段AC上，距离点C的距离为：
；
∴第二次相遇的时间为：9+12×3÷（2+4）=15（秒），
∴乙第二次运动的时间为：
（秒），
∴乙第二次的路程为：
，
∴第二次相遇的地点在线段AB上，距离点A的距离为
，
∴第二次相遇时乙与最近顶点A的距离是3cm.
故答案为：3.
【分析】根据第一次相遇所走的路程和为36cm，求出第一次相遇的时间为9秒，从而求出此时甲的路程为9cm，相遇地点在线段AC上，距离点C的距离为3cm，再求出第二次相遇的时间为15秒，从而求出乙第二次的路程24cm，可得第二次相遇的地点在线段AB上，距离点A的距离为3cm，据此即可得解.
7．（2020七下·沈河期末）已知：如图，∠ABC＝40°，点P是射线BC上一动点，把△ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D，当直线AD垂直于BC时，∠ABD＝ °.
【答案】65或25
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图1，当点P在BC上时，
∵∠ABC＝40°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝50°，
∵把△ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝ （180°﹣∠BAD）＝ （180°﹣50°）＝65°；
如图2，当点P在线段BC的延长线上时，
延长DA交BC于E，
∵把△ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D，
∴∠ADP＝∠ABC＝40°，PB＝PD，
∵AD⊥BC，
∴∠BPD＝50°，
∵PB＝PD，
∴∠PBD＝∠PDB＝ （180°﹣50°）＝65°，
∴∠ABD＝∠PBD﹣∠ABC＝65°﹣40°＝25°，
综上所述，当直线AD垂直于BC时，∠ABD＝65°或25°，
故答案为：65或25.
【分析】如图1，当点P在BC上时，根据三角形的内角和定理得到∠BAD＝50°，根据折叠的性质得到AB＝AD，根据等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠ADB＝ （180°﹣∠BAD）＝ （180°﹣50°）＝65°；如图2，当点P在线段BC的延长线上时，延长DA交BC于E，根据折叠的性质得到PB＝PD，求得∠ADP＝∠ABC＝40°，于是得到∠ABD＝∠PBD﹣∠ABC＝65°﹣40°＝25°.
8．（2020七下·姜堰期末）如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠ABC= （20°< <120°），AE平分△ABC的外角∠BAD，CF将∠ACB分成1：2两部分.若AE、CF交于点G，则∠AGC的度数为 （用含 的代数式表示）.
【答案】 或
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图： 在 中， ， ，
，
平分 ，
，
，
① ，当 时，则 ，
所以 ；
② ，当 时， 则 ，
所以 ；
综上所述： 的度数是 或 .
故答案为： 或 .
【分析】先求出 的度数，再分为两种情况，求出 的度数，再根据三角形的内角和定理求出即可.
9．（2020七下·新城期末）如图，在等腰三角形ABC中，BC=3cm，△ABC的面积是18cm ，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若点D为BC边上的中点，M为EF上的动点，则△BDM周长的最小值为 。
【答案】13.5
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：
连接AD，∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD为等腰三角形的高
∴S△ABC=×BC×h=×3×h=18
∴h=12
∵EF为线段AB的垂直平分线
∴BM+DM的最小值为线段AD的长度，即12
∴△BDM周长的最小值为12+1.5=13.5
【分析】连接AD，根据等腰三角形的性质，即可得到AD为等腰三角形的高，结合EF为AB的线段垂直平分线，∴BM+DM为一条线段时和最小，此时即线段AD的长度，继而得到△BDM的周长的最小值。
10．（2019七下·杨浦期末）在△ABC中，AB=AC，把△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕交AB于点M，交BC于点N．如果△CAN是等腰三角形，则∠B的度数为 ．
【答案】45°或36°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵把△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕交AB于点M，交BC于点N，
∴MN是AB的中垂线．
∴NB=NA．
∴∠B=∠BAN，
∵AB=AC
∴∠B=∠C．
设∠B=x°，则∠C=∠BAN=x°．
1）当AN=NC时，∠CAN=∠C=x°．
则在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：4x=180，
解得：x=45°则∠B=45°；
2）当AN=AC时，∠ANC=∠C=x°，而∠ANC=∠B+∠BAN，故此时不成立；
3）当CA=CN时，∠NAC=∠ANC= ．
在△ABC中，根据三角形内角和定理得到：x+x+x+ =180，
解得：x=36°．
故∠B的度数为 45°或36°．
【分析】MN是AB的中垂线，则△ABN是等腰三角形，且NA=NB，即可得到∠B=∠BAN=∠C．然后对△ANC中的边进行讨论，然后在△ABC中，利用三角形内角和定理即可求得∠B的度数．
11．（2019七下·长沙期末）在△ABC 中， AB = AC ， ∠BAC=100°，点 D 在 BC 上， △ABD 和△AFD 关于直线 AD 对称， ∠FAC 的平分线交 BC 于点 G，连接 FG 当∠BAD = .时，△DFG为等腰三角形.
【答案】10°，25°或40°
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=40°．
∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，
∴△ADB≌△ADF，
∴∠B=∠AFD=40°，AB=AF，∠BAD=∠FAD=θ，
∴AF=AC．
∵AG平分∠FAC，
∴∠FAG=∠CAG．
在△AGF和△AGC中，
，
∴△AGF≌△AGC（SAS），
∴∠AFG=∠C．
∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，
∴∠DFG=∠B+∠C=40°+40°=80°．
当GD=GF时，
∴∠GDF=∠GFD=80°．
∵∠ADG=40°+θ，
∴40°+80°+40°+θ+θ=180°，
∴θ=10°．
当DF=GF时，
∴∠FDG=∠FGD．
∵∠DFG=80°，
∴∠FDG=∠FGD=50°．
∴40°+50°+40°+2θ=180°，
∴θ=25°．
当DF=DG时，
∴∠DFG=∠DGF=80°，
∴∠GDF=20°，
∴40°+20°+40°+2θ=180°，
∴θ=40°．
∴当θ=10°，25°或40°时，△DFG为等腰三角形
【分析】由轴对称可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B=∠AFD，AB=AF，在证明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG=∠C，就可以求出∠DFG=80°，当GD=GF时，就可以得出∠GDF═80°，根据∠ADG=40+θ，就有40°+80°+40°+θ+θ=180°就可以求出结论；当DF=GF时，就可以得出∠GDF=50°，就有40°+50°+40°+2θ=180°，当DF=DG时，∠GDF=20°，就有40°+20°+40°+2θ=180°，从而求出结论.
三、作图题
12．（2018-2019学年初中数学北师大版七年级下册2.4 用尺规作角 同步练习）仅用无刻度的直尺作出符合下列要求的图形.
（1）如图甲，在射线OP、OQ上已截取OA＝OB，OE＝OF.试过点O作射线OM，使得OM将∠POQ平分；
（2）如图乙，在射线OP、OQ、OR上已截取OA＝OB＝OC，OE＝OF＝OG（其中OP、OR在同一根直线上）. 试过点O作一对射线OM、ON，使得OM⊥ON.
【答案】（1）解：首先根据题意画出图形，然后再利用SSS定理证明△ACO≌△BCO，根据全等三角形的性质可得∠AOC=∠BOC，进而得到射线OC就是∠MON的平分线
（2）解：．由（1）可知OM、ON分别是∠POQ、∠QOG的平分线，则∠MON=90°。
【知识点】角平分线的定义；尺规作图-作一个角的平分线
【解析】【分析】（1）由题意可知，连接AF、BE，交于点C，过点C作射线OM即可。
（2）利用同样的方法作射线ON平分∠QOG，OM平分∠POQ，利用角平分线的定义及平角的定义，可证得∠MON=90°，再利用垂直的定义，可证得结论。
四、解答题
13．（2023七下·中江月考）已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度数．
【答案】（1）证明：如图1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF．
∴∠BGF+∠DHE＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图2，过点M作MR∥AB，
又∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MR．
∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．
∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．
（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，
∵射线GH是∠BGM的平分线，
∴，
∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，
∵，
∴，
∴∠FGN＝2β，
过点H作HT∥GN，
则∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，
∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，
∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，
∵AB∥CD，
∴∠AGH+∠CHG＝180°，
∴90°+α+2α+3β＝180°，
∴α+β＝30°，
∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据题意，∠AGE与∠BGF为对顶角，若∠AGE+∠DHE=180°，则∠BGF+∠DHE=180°，即可证明AB∥CD，同旁内角互补，两直线平行；
（2） 过点M作MR∥AB ，根据两直线平行，内错角相等，即可得到 ∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM，即可证明；
（3）令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β ，根据角平分线的性质，即可得到∠FGM=90°-α，∠AGH=90°+α，过点H作HT∥GN，则∠MHT=∠N=2α，∠GHT=∠FGN=2β，即可得到∠CHG=2α+3β，进而求出∠MHG的度数。
14．（2024七下·廉江月考）如图1，已知直线，点为直线AB，ED之间（不在直线上）的一个动点，连接CB，CD，BE平分平分和DA交于点．
（1）证明：，
（2）如图2，连接CF，则在点的运动过程中，当满足时：
①若，求的度数；
②若，求的度数．
【答案】（1）证明：平分，
（2）解：①，
②设，则，
的平分线交直线ED于点，
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】(1)根据平分， ，内错角相等证明即可；
（2） ① 由题意得，由有又因为，所以即；
②设，则，由
有又由有根据得
即则所以
五、实践探究题
15．（2023七下·铁锋期末）综合与实践
如图，直线，直线与，分别交于点，，将一个含角的直角三角板按如图放置，使点，分别在直线，上，，，．
（1）的度数为 ；
（2）若的平分线交直线于点，如图．
当，时，求的度数；
将三角板保持并向左平移，求在平移的过程中 ▲ 用含的式子表示．
【答案】（1）
（2）解：①，，
∴NO∥PM，
，
，
，
平分，
，
，
，
∵EF∥ON，
；
②或
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠PMN=60°，∠PNM=30°，
∴∠PMN+∠PNM=90°，
∵AB∥CD，
∴∠BNM+∠DMN=180°，即∠BNP+∠PNM+∠NMP+∠PMD=180°，
∴∠BNM+90°+∠PMD=180°，
∴∠BNP+∠PMD=90°；
故答案为：90°；
（2）②分类讨论：当点N在点G的右侧时，如图（2），
∵PM∥EF，
∴∠PMD=∠GHD= ，
∴∠NMD=∠NMP+∠PMD=60°+ ，
∵AB∥CD，
∴∠ANM=∠NMD=60°+ ，
∵ON平分∠ANM，
∴∠ANO=∠ANM=30°+ ，
∵AB∥CD，
∴∠NOM=∠ANO= 30°+ ；
当点N在点G的左侧时，如图，
∵PM∥EF，
∴∠PMD=∠EHD=，
∴∠NMD=∠NMP+∠PMD=60°+ ，
∵AB∥CD，∴∠BNM+∠NMD=180°，∠BNO=∠MON，
∴∠BNM=180°-∠NMD=120°-，
∵NO平分∠MNG，
∴∠BNO=∠BNM=60-，
综上∠MON的度数为：或.
故答案为：或.
【分析】（1）由题意易得∠PMN+∠PNM=90°，由二直线平行，同旁内角互补可得∠BNM+∠DMN=180°，即∠BNP+∠PNM+∠NMP+∠PMD=180°，据此可求出答案了；
（2）①由平行于同一直线的两条直线互相平行得NO∥PM，由二直线平行，内错角相等得∠ONM=∠PMN=60°，由角平分线定义得∠ANO=∠ONM，再由二直线平行，内错角相等得∠ANO=∠NOM=60°，最后根据二直线平行，同位角相等得∠GHD=∠NOM=60°，从而得出答案；
②分类讨论：当点N在点G的右侧时，当点N在点G的左侧时，分别利用平行线的性质及角平分线的定义计算可得答案.
16．（2023七下·晋安期末）阅读材料：两个三角形各有一个角互为对顶角，这两个三角形叫做对顶三角形.
解决问题：如图，与是对顶三角形.
（1）试说明：；
（2）试利用上述结论解决下列问题：
若、分别平分与，，，
①求的度数（用含m、n的代数式表示）；
②若、分别平分与，，求的取值范围.
【答案】（1）解：在中，，
在中，，
又，
.
（2）解：①、分别平分与，
，.
与是对顶三角形，
①.
与是对顶三角形，
②
由①+②，得
，
，
②、分别平分与，
，，
同理可求得
在四边形中，
，，.
由（1）①证得，则
，
，解得.
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）由内角和定理可得∠DAO+∠D+∠AOD=180°，∠OBC+∠C+∠BOC=180°，由对顶角的性质可得∠AOD=∠BOC，据此证明；
（2）①由角平分线的概念可得∠DAG=∠GAH，∠GBP=∠HBC，由对顶三角形的概念可得∠DAG+∠D=∠GBP+∠P，∠HBC+∠C=∠GAH+∠P，两式相加并化简可得∠D+∠C=2∠P，据此解答；
②由角平分线的概念可得∠PAC=∠DAC，∠CAQ=∠CAE，则∠PAQ=∠PAC+∠CAQ=(∠DAC+∠CAE)=90°，同理可得∠PBQ=90°， 结合四边形内角和为360°可得∠Q=180°-∠P，由①可得∠P，代入可得∠Q，然后结合120°≤∠Q≤150°就可求出m+n的范围.
六、综合题
17．（2023七下·钢城期末）在中，，点是直线上一点不与、重合，以为一边在的右侧作，使，，连接E．
（1）如图1，当点在线段上，如果．
①则与全等吗？请说明理由；
②求的度数；
（2）如图2，如果，当点在线段上移动，则的度数是 ；
（3）如图2，当点在线段上，如果，点为中边上的一个动点与、均不重合，当点运动到什么位置时，的周长最小？
【答案】（1）解：①与全等
证明：，
，即．
在与中，
，
②，
，
，
，
，
，
，
（2）
（3）解：当点运动到中点时，的周长最小．
，
，
为等边三角形
，
的周长
；
当最小时，即当点运动到中点时，的周长最小．
【知识点】垂线段最短；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（2），
，即．
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）①根据SAS即可证明 与全等 ；②由①知 与全等 ，可以得出对应角 ， 再根据等腰三角形的性质，可得 ， 根据∠BAC=90°，即可得出，从而得出∠BCE；
（2）由（1）知，再根据等腰三角形的性质，可得 ， 根据∠BAC=60°，即可得出，从而得出∠BCE；
（3）首先可得出 △ ADE是等边三角形，可得出DE=AD，然后可求出 △ DCE的周长=BC+DE=BC+AD，其中BC为定值，所以当AD最小时， △ DCE的周长最小，故而可得出当AD⊥BC，即点D是BC中点时， △ DCE的周长最小。
18．（2023七下·西青期末）已知直线分别与直线，交于点，，平分交直线于点，且，点是射线上的一个动点（不与点，重合），平分，交直线于点，过点作，交于点，设，．
（1）如图①，求证；
（2）如图②，当点H在点F的右侧时，，求的度数．
【答案】（1）证明：平分，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
的度数为．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【分析】本题考查角平分线的性质和平行线的性质。
（1）根据平分得，根据 得，可知；
（2） 由（1）得 ，得 ，结合平分，平分，得，，可得 ，根据，得.
1 / 1初中数学同步训练必刷培优卷（北师大版七年级下册 5.3简单的轴对称图形）
一、选择题
1．（2019七下·方城期末）如图是由11个等边三角形拼成的六边形.若最小等边三角形的边长为 ，最大等边三角形的边长为 ，则 与 的关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2017七下·晋中期末）如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：
①∠AED=90° ②∠ADE=∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD，
四个结论中成立的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③
3．如图，已知∠AOB是直角，∠AOC是锐角，ON平分
∠AOC，OM平分∠BOC，则∠MON是（ ）
A．45 B．45 + ∠AOC
C．60°－ ∠AOC D．不能计算
二、填空题
4．（2023七下·兴化期中）如图，已知，点在射线上运动，点在射线上运动．和的角平分线交于点，、分别为、上的点，和的角平分线交于点．若点A、B在运动过程中，存在中有一个角是另一个角的2倍，则的度数为 ．
5．（2023七下·瓯海期中）有一副直角三角板和，其中，，如图所示叠放，边点边交于点，过点作平分，若，则 度．
6．（2022七下·南阳开学考）如图，已知等边三角形的边长为12cm，甲，乙两动点同时从顶点出发，甲以1厘米/秒的速度沿等边三角形的边按顺时针方向移动，乙以3厘米/秒的速度沿等边三角形的边按逆时针方向移动，相遇后甲乙的速度均增加1厘米/秒且都改变原方向移动.则第二次相遇时乙与最近顶点的距离是 厘米.
7．（2020七下·沈河期末）已知：如图，∠ABC＝40°，点P是射线BC上一动点，把△ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D，当直线AD垂直于BC时，∠ABD＝ °.
8．（2020七下·姜堰期末）如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠ABC= （20°< <120°），AE平分△ABC的外角∠BAD，CF将∠ACB分成1：2两部分.若AE、CF交于点G，则∠AGC的度数为 （用含 的代数式表示）.
9．（2020七下·新城期末）如图，在等腰三角形ABC中，BC=3cm，△ABC的面积是18cm ，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若点D为BC边上的中点，M为EF上的动点，则△BDM周长的最小值为 。
10．（2019七下·杨浦期末）在△ABC中，AB=AC，把△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕交AB于点M，交BC于点N．如果△CAN是等腰三角形，则∠B的度数为 ．
11．（2019七下·长沙期末）在△ABC 中， AB = AC ， ∠BAC=100°，点 D 在 BC 上， △ABD 和△AFD 关于直线 AD 对称， ∠FAC 的平分线交 BC 于点 G，连接 FG 当∠BAD = .时，△DFG为等腰三角形.
三、作图题
12．（2018-2019学年初中数学北师大版七年级下册2.4 用尺规作角 同步练习）仅用无刻度的直尺作出符合下列要求的图形.
（1）如图甲，在射线OP、OQ上已截取OA＝OB，OE＝OF.试过点O作射线OM，使得OM将∠POQ平分；
（2）如图乙，在射线OP、OQ、OR上已截取OA＝OB＝OC，OE＝OF＝OG（其中OP、OR在同一根直线上）. 试过点O作一对射线OM、ON，使得OM⊥ON.
四、解答题
13．（2023七下·中江月考）已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度数．
14．（2024七下·廉江月考）如图1，已知直线，点为直线AB，ED之间（不在直线上）的一个动点，连接CB，CD，BE平分平分和DA交于点．
（1）证明：，
（2）如图2，连接CF，则在点的运动过程中，当满足时：
①若，求的度数；
②若，求的度数．
五、实践探究题
15．（2023七下·铁锋期末）综合与实践
如图，直线，直线与，分别交于点，，将一个含角的直角三角板按如图放置，使点，分别在直线，上，，，．
（1）的度数为 ；
（2）若的平分线交直线于点，如图．
当，时，求的度数；
将三角板保持并向左平移，求在平移的过程中 ▲ 用含的式子表示．
16．（2023七下·晋安期末）阅读材料：两个三角形各有一个角互为对顶角，这两个三角形叫做对顶三角形.
解决问题：如图，与是对顶三角形.
（1）试说明：；
（2）试利用上述结论解决下列问题：
若、分别平分与，，，
①求的度数（用含m、n的代数式表示）；
②若、分别平分与，，求的取值范围.
六、综合题
17．（2023七下·钢城期末）在中，，点是直线上一点不与、重合，以为一边在的右侧作，使，，连接E．
（1）如图1，当点在线段上，如果．
①则与全等吗？请说明理由；
②求的度数；
（2）如图2，如果，当点在线段上移动，则的度数是 ；
（3）如图2，当点在线段上，如果，点为中边上的一个动点与、均不重合，当点运动到什么位置时，的周长最小？
18．（2023七下·西青期末）已知直线分别与直线，交于点，，平分交直线于点，且，点是射线上的一个动点（不与点，重合），平分，交直线于点，过点作，交于点，设，．
（1）如图①，求证；
（2）如图②，当点H在点F的右侧时，，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：设右下角的等边三角形它的边长为x，
则等边三角形的边长依次为x，x+a，x+a，x+2a，x+2a，x+3a，
∴ ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】根据等边三角形的性质，设右下角的等边三角形它的边长为x，则可依次求出等边三角形的边长，进而可得b=x+3a，b=3x，整理可得 与 的关系.
2．【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB
∴BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC=EF=BE，所以③错误；
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；
∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；
∴∠AED=∠AEF+∠FED= ∠BEC=90°，所以①正确．
故答案为：A．
【分析】当出现角平分线时，可想到角平分线所谓性质定理，通过作一边的垂线构造出另一个距离，恰可转化BE到EF，EF又转到CE，可判定角平分线.
3．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】结合图形，根据角的和差，以及角平分线的定义，找到∠MON与∠AOB的关系，即可求出∠MON的度数．
∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
∴∠MOC= ∠BOC，∠NOC= ∠AOC，
∴∠MON=∠MOC-∠NOC= （∠BOC-∠AOC)= （∠BOA+∠AOC-∠AOC)= ∠BOA=45°．
故选A．
4．【答案】40°或80°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解： ，
AE平分∠MAB，BE平分∠NBA
同理可得
△CDF中有一个角是另一个角的2倍，分情况讨论：
①若∠DCF=2∠F=120°，
则 的内角和为
这与三角形的内角和定理矛盾，故
②若∠DCF=2∠CDF，则
又
③若∠CDF=2∠DCF，则
又
④若∠CDF=2∠F =120°，
则 的内角和为
这与三角形的内角和定理矛盾，故
⑤若∠F=2∠DCF，则
平分
，不符合题意．
⑥若∠F=2∠FDC，则
平分
，不符合题意．
综上所述： 或
故答案为：40°或80°.
【分析】由三角形外角性质得∠MAB+∠NBA=240°，由角平分线的定义得∠EAB+∠EBA=120°，由三角形的内角和定理得∠E=60°；同理得∠F=60°；△CDF中有一个角是另一个角的2倍，分情况讨论：①若∠DCF=2∠F=120° ，②若∠DCF=2∠CDF ，③若∠CDF=2∠DCF，④若∠CDF=2∠F =120°，⑤若∠F=2∠DCF，⑥若∠F=2∠FDC，从而即可得出答案.
5．【答案】15
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ G作GH平分∠AGC，
∴ ∠AGH=∠AGC，
∵ GH//BC，∠B=45°，∠D=60°，
∴ ∠AGH=∠B=45°，∠DCE=30°，
∴ ∠AGC=90°，
∴ ∠BCG=45°，
在BCG中，∠BCG=180°-∠BGC-∠B=180°-90°-45°=45°，
∵ ∠DCE=30°，
∴ ∠ECA=∠ACB-∠BCG-∠DCE=90°-45°-30°=15°.
故答案为：15°.
【分析】根据GH//BC得出∠AGH=∠B=45°，再根据角平分线定义计算出∠AGC=90°，利用∠ECA=∠ACB-∠BCG-∠DCE解答即可.
6．【答案】3
【知识点】等边三角形的性质；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设出发x秒后甲乙第一次相遇，根据题意得：
x+3x=12×3，
解得：x=9，
此时甲的路程：
，
∴相遇地点在线段AC上，距离点C的距离为：
；
∴第二次相遇的时间为：9+12×3÷（2+4）=15（秒），
∴乙第二次运动的时间为：
（秒），
∴乙第二次的路程为：
，
∴第二次相遇的地点在线段AB上，距离点A的距离为
，
∴第二次相遇时乙与最近顶点A的距离是3cm.
故答案为：3.
【分析】根据第一次相遇所走的路程和为36cm，求出第一次相遇的时间为9秒，从而求出此时甲的路程为9cm，相遇地点在线段AC上，距离点C的距离为3cm，再求出第二次相遇的时间为15秒，从而求出乙第二次的路程24cm，可得第二次相遇的地点在线段AB上，距离点A的距离为3cm，据此即可得解.
7．【答案】65或25
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图1，当点P在BC上时，
∵∠ABC＝40°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝50°，
∵把△ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝ （180°﹣∠BAD）＝ （180°﹣50°）＝65°；
如图2，当点P在线段BC的延长线上时，
延长DA交BC于E，
∵把△ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D，
∴∠ADP＝∠ABC＝40°，PB＝PD，
∵AD⊥BC，
∴∠BPD＝50°，
∵PB＝PD，
∴∠PBD＝∠PDB＝ （180°﹣50°）＝65°，
∴∠ABD＝∠PBD﹣∠ABC＝65°﹣40°＝25°，
综上所述，当直线AD垂直于BC时，∠ABD＝65°或25°，
故答案为：65或25.
【分析】如图1，当点P在BC上时，根据三角形的内角和定理得到∠BAD＝50°，根据折叠的性质得到AB＝AD，根据等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠ADB＝ （180°﹣∠BAD）＝ （180°﹣50°）＝65°；如图2，当点P在线段BC的延长线上时，延长DA交BC于E，根据折叠的性质得到PB＝PD，求得∠ADP＝∠ABC＝40°，于是得到∠ABD＝∠PBD﹣∠ABC＝65°﹣40°＝25°.
8．【答案】 或
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图： 在 中， ， ，
，
平分 ，
，
，
① ，当 时，则 ，
所以 ；
② ，当 时， 则 ，
所以 ；
综上所述： 的度数是 或 .
故答案为： 或 .
【分析】先求出 的度数，再分为两种情况，求出 的度数，再根据三角形的内角和定理求出即可.
9．【答案】13.5
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：
连接AD，∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD为等腰三角形的高
∴S△ABC=×BC×h=×3×h=18
∴h=12
∵EF为线段AB的垂直平分线
∴BM+DM的最小值为线段AD的长度，即12
∴△BDM周长的最小值为12+1.5=13.5
【分析】连接AD，根据等腰三角形的性质，即可得到AD为等腰三角形的高，结合EF为AB的线段垂直平分线，∴BM+DM为一条线段时和最小，此时即线段AD的长度，继而得到△BDM的周长的最小值。
10．【答案】45°或36°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵把△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕交AB于点M，交BC于点N，
∴MN是AB的中垂线．
∴NB=NA．
∴∠B=∠BAN，
∵AB=AC
∴∠B=∠C．
设∠B=x°，则∠C=∠BAN=x°．
1）当AN=NC时，∠CAN=∠C=x°．
则在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：4x=180，
解得：x=45°则∠B=45°；
2）当AN=AC时，∠ANC=∠C=x°，而∠ANC=∠B+∠BAN，故此时不成立；
3）当CA=CN时，∠NAC=∠ANC= ．
在△ABC中，根据三角形内角和定理得到：x+x+x+ =180，
解得：x=36°．
故∠B的度数为 45°或36°．
【分析】MN是AB的中垂线，则△ABN是等腰三角形，且NA=NB，即可得到∠B=∠BAN=∠C．然后对△ANC中的边进行讨论，然后在△ABC中，利用三角形内角和定理即可求得∠B的度数．
11．【答案】10°，25°或40°
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=40°．
∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，
∴△ADB≌△ADF，
∴∠B=∠AFD=40°，AB=AF，∠BAD=∠FAD=θ，
∴AF=AC．
∵AG平分∠FAC，
∴∠FAG=∠CAG．
在△AGF和△AGC中，
，
∴△AGF≌△AGC（SAS），
∴∠AFG=∠C．
∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，
∴∠DFG=∠B+∠C=40°+40°=80°．
当GD=GF时，
∴∠GDF=∠GFD=80°．
∵∠ADG=40°+θ，
∴40°+80°+40°+θ+θ=180°，
∴θ=10°．
当DF=GF时，
∴∠FDG=∠FGD．
∵∠DFG=80°，
∴∠FDG=∠FGD=50°．
∴40°+50°+40°+2θ=180°，
∴θ=25°．
当DF=DG时，
∴∠DFG=∠DGF=80°，
∴∠GDF=20°，
∴40°+20°+40°+2θ=180°，
∴θ=40°．
∴当θ=10°，25°或40°时，△DFG为等腰三角形
【分析】由轴对称可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B=∠AFD，AB=AF，在证明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG=∠C，就可以求出∠DFG=80°，当GD=GF时，就可以得出∠GDF═80°，根据∠ADG=40+θ，就有40°+80°+40°+θ+θ=180°就可以求出结论；当DF=GF时，就可以得出∠GDF=50°，就有40°+50°+40°+2θ=180°，当DF=DG时，∠GDF=20°，就有40°+20°+40°+2θ=180°，从而求出结论.
12．【答案】（1）解：首先根据题意画出图形，然后再利用SSS定理证明△ACO≌△BCO，根据全等三角形的性质可得∠AOC=∠BOC，进而得到射线OC就是∠MON的平分线
（2）解：．由（1）可知OM、ON分别是∠POQ、∠QOG的平分线，则∠MON=90°。
【知识点】角平分线的定义；尺规作图-作一个角的平分线
【解析】【分析】（1）由题意可知，连接AF、BE，交于点C，过点C作射线OM即可。
（2）利用同样的方法作射线ON平分∠QOG，OM平分∠POQ，利用角平分线的定义及平角的定义，可证得∠MON=90°，再利用垂直的定义，可证得结论。
13．【答案】（1）证明：如图1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF．
∴∠BGF+∠DHE＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图2，过点M作MR∥AB，
又∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MR．
∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．
∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．
（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，
∵射线GH是∠BGM的平分线，
∴，
∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，
∵，
∴，
∴∠FGN＝2β，
过点H作HT∥GN，
则∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，
∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，
∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，
∵AB∥CD，
∴∠AGH+∠CHG＝180°，
∴90°+α+2α+3β＝180°，
∴α+β＝30°，
∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据题意，∠AGE与∠BGF为对顶角，若∠AGE+∠DHE=180°，则∠BGF+∠DHE=180°，即可证明AB∥CD，同旁内角互补，两直线平行；
（2） 过点M作MR∥AB ，根据两直线平行，内错角相等，即可得到 ∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM，即可证明；
（3）令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β ，根据角平分线的性质，即可得到∠FGM=90°-α，∠AGH=90°+α，过点H作HT∥GN，则∠MHT=∠N=2α，∠GHT=∠FGN=2β，即可得到∠CHG=2α+3β，进而求出∠MHG的度数。
14．【答案】（1）证明：平分，
（2）解：①，
②设，则，
的平分线交直线ED于点，
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】(1)根据平分， ，内错角相等证明即可；
（2） ① 由题意得，由有又因为，所以即；
②设，则，由
有又由有根据得
即则所以
15．【答案】（1）
（2）解：①，，
∴NO∥PM，
，
，
，
平分，
，
，
，
∵EF∥ON，
；
②或
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠PMN=60°，∠PNM=30°，
∴∠PMN+∠PNM=90°，
∵AB∥CD，
∴∠BNM+∠DMN=180°，即∠BNP+∠PNM+∠NMP+∠PMD=180°，
∴∠BNM+90°+∠PMD=180°，
∴∠BNP+∠PMD=90°；
故答案为：90°；
（2）②分类讨论：当点N在点G的右侧时，如图（2），
∵PM∥EF，
∴∠PMD=∠GHD= ，
∴∠NMD=∠NMP+∠PMD=60°+ ，
∵AB∥CD，
∴∠ANM=∠NMD=60°+ ，
∵ON平分∠ANM，
∴∠ANO=∠ANM=30°+ ，
∵AB∥CD，
∴∠NOM=∠ANO= 30°+ ；
当点N在点G的左侧时，如图，
∵PM∥EF，
∴∠PMD=∠EHD=，
∴∠NMD=∠NMP+∠PMD=60°+ ，
∵AB∥CD，∴∠BNM+∠NMD=180°，∠BNO=∠MON，
∴∠BNM=180°-∠NMD=120°-，
∵NO平分∠MNG，
∴∠BNO=∠BNM=60-，
综上∠MON的度数为：或.
故答案为：或.
【分析】（1）由题意易得∠PMN+∠PNM=90°，由二直线平行，同旁内角互补可得∠BNM+∠DMN=180°，即∠BNP+∠PNM+∠NMP+∠PMD=180°，据此可求出答案了；
（2）①由平行于同一直线的两条直线互相平行得NO∥PM，由二直线平行，内错角相等得∠ONM=∠PMN=60°，由角平分线定义得∠ANO=∠ONM，再由二直线平行，内错角相等得∠ANO=∠NOM=60°，最后根据二直线平行，同位角相等得∠GHD=∠NOM=60°，从而得出答案；
②分类讨论：当点N在点G的右侧时，当点N在点G的左侧时，分别利用平行线的性质及角平分线的定义计算可得答案.
16．【答案】（1）解：在中，，
在中，，
又，
.
（2）解：①、分别平分与，
，.
与是对顶三角形，
①.
与是对顶三角形，
②
由①+②，得
，
，
②、分别平分与，
，，
同理可求得
在四边形中，
，，.
由（1）①证得，则
，
，解得.
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）由内角和定理可得∠DAO+∠D+∠AOD=180°，∠OBC+∠C+∠BOC=180°，由对顶角的性质可得∠AOD=∠BOC，据此证明；
（2）①由角平分线的概念可得∠DAG=∠GAH，∠GBP=∠HBC，由对顶三角形的概念可得∠DAG+∠D=∠GBP+∠P，∠HBC+∠C=∠GAH+∠P，两式相加并化简可得∠D+∠C=2∠P，据此解答；
②由角平分线的概念可得∠PAC=∠DAC，∠CAQ=∠CAE，则∠PAQ=∠PAC+∠CAQ=(∠DAC+∠CAE)=90°，同理可得∠PBQ=90°， 结合四边形内角和为360°可得∠Q=180°-∠P，由①可得∠P，代入可得∠Q，然后结合120°≤∠Q≤150°就可求出m+n的范围.
17．【答案】（1）解：①与全等
证明：，
，即．
在与中，
，
②，
，
，
，
，
，
，
（2）
（3）解：当点运动到中点时，的周长最小．
，
，
为等边三角形
，
的周长
；
当最小时，即当点运动到中点时，的周长最小．
【知识点】垂线段最短；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：（2），
，即．
在与中，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）①根据SAS即可证明 与全等 ；②由①知 与全等 ，可以得出对应角 ， 再根据等腰三角形的性质，可得 ， 根据∠BAC=90°，即可得出，从而得出∠BCE；
（2）由（1）知，再根据等腰三角形的性质，可得 ， 根据∠BAC=60°，即可得出，从而得出∠BCE；
（3）首先可得出 △ ADE是等边三角形，可得出DE=AD，然后可求出 △ DCE的周长=BC+DE=BC+AD，其中BC为定值，所以当AD最小时， △ DCE的周长最小，故而可得出当AD⊥BC，即点D是BC中点时， △ DCE的周长最小。
18．【答案】（1）证明：平分，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
的度数为．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【分析】本题考查角平分线的性质和平行线的性质。
（1）根据平分得，根据 得，可知；
（2） 由（1）得 ，得 ，结合平分，平分，得，，可得 ，根据，得.
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