北师大版数学七年级下册 5.3简单的轴对称图形
一、选择题
1．（2023七下·萧县期末）如图，在中，，是角平分线，，，则P到的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023七下·萧县期末）如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，边的垂直平分线交于点F，交于点G，连接，．则的度数（ ）
A． B． C． D．
3．（2021七下·丽水期末）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=100°，点M是射线AB上的一个动点，过点M作MN∥BC交射线AC于点N，连结BN。若△BMN中有两个角相等，则∠MNB的度数不可能是（ ）
A．25° B．30° C．50° D．65°
4．（2020七下·新城期末）如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC=∠EDC=62°，∠AEB=82°，则∠EBD的度数为（ ）
A．108° B．118° C．138° D．144°
5．（2017七下·山西期末）如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：
①∠AED=90° ②∠ADE=∠CDE③DE=BE④AD＝AB＋CD，四个结论中成立的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
6．（2017七下·水城期末）如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（ ）
A．（ ）n 75° B．（ ）n﹣1 65°
C．（ ）n﹣1 75° D．（ ）n 85°
7．（2023七下·瑞金期末）如图，已知，在轴上，点，，，…在射线轴上，点，，，…在射线OF上，，，，…均为等边三角形，若，则的横坐标为（ ）
A．512 B．768 C．1536 D．3072
8．（2021七下·芝罘期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD＝90°；②点M为BC的中点；③AB+CD＝AD；④△ADM的面积是梯形ABCD面积的一半．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2020七下·诸暨期末）如图，直角梯形纸片对边 ， 是直角，将纸片沿着EF折叠，DF的对应边 交AB于点G，FH平分 交AC于点H.则结论：① ；② ；③ ；④若 ，则 .其中正确结论的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（2020七下·槐荫期末）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（ ）
A．（ ）n 75° B．（ ）n﹣1 65°
C．（ ）n﹣1 75° D．（ ）n 85°
二、填空题
11．（2022七下·宁阳期末）如图，已知∠MON=30点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=1，则△A2021B2021A2022的边长为 ．
12．（2022七下·成都期末）如图，在锐角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝3，△ABC的面积为8，P为△ABC内部一点，分别作点P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，连接P1P2，PP3，则2P1P2+PP3的最小值为 ．
13．（2017七下·东营期末）如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推．若OA1=1，则a2017= .
14．（2023七下·盐湖期末）如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点G，连接，当为等腰三角形时，的度数为 ．
15．（2023七下·青羊期末）如图，在三角形中，，，于点，，分别是线段，上的动点，，当最小时， 度．
三、作图题
16．（2020七下·陈仓期末）如图，已知 ，请按步骤用尺规作图并回答下列问题：
第一步：在 和 上分别截取 ， ，使 .
第二步：分别以 为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧在 内交于点E.
第三步：过点 作射线 .（保留作图痕迹）
（1） 与 的关系是什么？请说明理由.
（2）在 上任取一点 ，过点 分别作 于点 ， 于点 ， 与 相等吗？为什么？
17．（2019七下·普陀期中）按下列要求画图并填空：
（1）过点B画出直线AC的垂线，交直线AC于点D ，那么点B到直线AC的距离是线段 的长.
（2）用直尺和圆规作出△ABC的边AB的垂直平分线EF，交边AB、AC于点M、N，联结CM .那么线段CM是△ABC的 .（保留作图痕迹）
四、解答题
18．（2021七下·浦江期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，若AD平分∠BAC交BC于点D，求BD的长．
五、实践探究题
19．（2023七下·锦州期末）
（1）【模型构建】
如图，在等腰中，，点在线段的延长线上，连接，则在和中，边的对角和之间的数量关系为 ；
（2）【模型应用】
如图，在和中，为锐角，，，，试说明：；
（3）【模型拓展】
如图，，，，，和交于点，试探究与之间的数量关系，并说明理由．
六、综合题
20．（2023七下·东城期末）已知：直线被直线截于两点，且，点是直线上一定点，点是射线上一动点，连接，过点作交直线于点．
（1）如图，若点在线段上，和的平分线交于点．
①请写出和的数量关系，并证明；
②的度数为 ；
（2）若点在线段的延长线上，直接写出和的数量关系，不必证明．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】角平分线上的点到角两边距离相等，P到AB的距离=PC=2
【分析】角平分线上的点到角两边距离相等.
2．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】已知E为AB的垂直平分线，∴AE=BE， ∠EAB＝∠B 同理∠CAG＝∠C 两边相加得∠EAB+ ∠CAG=∠B+ ∠C 又 ∠EAB+ ∠CAG =∠BAG+ ∠EAG+∠EAG+ ∠CAE=80°+ ∠EAG 且 ∠B+ ∠C=180°- ∠BAC=100° ∴ 80°+ ∠EAG =100° ∴∠EAG=100°-80°=20°
【分析】熟悉垂直平分线的性质、等边对等角定理，等量代换。
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图1中，当点N在线段AC上时，如果MN=BM，
则∠MNB=∠MBN。
∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠ABC=50°，
∴∠MNB=25°.
如图2中，
当BM=BN时，∠BNM=∠BMN=50°，
当MB=MN时，∠BNM= （180°-50°）=65°，
当NB=MN时，∠BNM=80°，
综上所述，选项B符合题意，
故答案为：B.
【分析】分两种情形：如图1中，当点N在线段AC上时，如果MN= BM，如图2中，当BM= BN时，∠BNM=∠BMN=50°，当MB= MN时，∠BNM= ( 180°-50°) =65°，当NB=MN时，∠BNM=80°，由此即可判断.
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】 解：如图，连接CE，
∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，
∴CA=CB，CE=CD，
∵∠ABC=∠EDC=72°=∠DEC，
∴∠ACB=∠ECD=36°，
∴∠ACE=∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠AEC=∠BDC，
设∠AEC=∠BDC=α，
则∠BDE=62°﹣α，∠CEB=82°﹣α，
∴∠BED=∠DEC﹣∠CEB=62°﹣（82°﹣α）=α﹣20°，
∴△BDE中，∠EBD=180°﹣（62°﹣α）﹣（α﹣20°）=138°，
故答案为：C.
【分析】首先根据线段垂直平分线的性质得到相等的边，再根据等边对等角得到相等的角，结合三角形内角和定理推出∠ACB=∠ECD=36°，进一步证明∠ACE=∠BCD，即可推出△ACE≌△BCD，根据全等三角形的性质可得∠AEC=∠BDC，不妨设∠AEC=∠BDC=α，即可用α表示出∠BDE，∠CEB，进一步将∠BED用α表示，然后在△BED中，利用三角形内角和定理求解.
5．【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：
如图，过E作EF⊥AD于F.
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB，
∴BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC=EF=BE，所以③错误；
∵Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；
∵AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；
.
故选A.
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵在△CBA1中，∠B=30°，A1B=CB，
∴∠BA1C= =75°，
∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1= ∠BA1C= ×75°；
同理可得，
∠EA3A2=（ ）2×75°，∠FA4A3=（ ）3×75°，
∴第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（ ）n﹣1×75°．
故答案为：C．
【分析】首先依据两底角相等、三角形的内角和为180°求出∠BA1C的度数，然后再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，根据计算结果找出其中的规律，最后，依据规律可得出第n个三角形中以An为顶点的底角度数.
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：过 点作 于H点，如图，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的横坐标为： ，
同理可求得：
的横坐标为： ，
的横坐标为： ，
的横坐标为： ，
，
即 的横坐标为： ，
即：当 ， 的横坐标为： ，
故选：C．
【分析】先求出 的横坐标为： ， 的横坐标为： ， 的横坐标为： ， 的横坐标为： ，再求出规律 的横坐标为： ，最后求解即可.
8．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过M作ME⊥AD于E，如图所示：
∵∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，
∴∠MDE= ∠CDA，∠MAD= ∠BAD，
∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD=180°，
∴∠MDA+∠MAD= （∠CDA+∠BAD）= ×180°=90°，
∴∠AMD=180°-90°=90°，故①符合题意；
∵AB∥CD，∠B=90°，
∴MC⊥DC，
∵DM平分∠CDE，ME⊥DA，
∴MC=ME，
同理ME=MB，
∴MC=MB=ME，
∴点M为BC的中点，故②符合题意；
在Rt△DCM和Rt△DEM中，
，
∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），
∴CD=DE，
同理：Rt△ABM≌Rt△AEM（HL），
∴AB=AE，
∴AB+CD=AE+DE=AD，故③符合题意；
∵Rt△DCM≌Rt△DEM，Rt△ABM≌Rt△AEM，
∴S△DEM=S△DCM，S△AEM=S△ABM，
∴S△ADM= S梯形ABCD，故④符合题意；
故答案为：D．
【分析】过M作ME⊥AD于E，如图，由角平分线的定义可得∠MDE= ∠CDA，∠MAD= ∠BAD，
由DC∥AB可得∠CDA+∠BAD=180°，从而求出∠MDA+∠MAD= （∠CDA+∠BAD）=90°，利用三角形内角和求出∠AMD=90°，据此判断①；易求MC⊥DC，由角平分线的性质可得MC=MB=ME，据此判断②；分别证明Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），Rt△ABM≌Rt△AEM（HL），可得CD=DE，AB=AE，从而得出AB+CD=AE+DE=AD，据此判断③；由Rt△DCM≌Rt△DEM，Rt△ABM≌Rt△AEM，
可得S△DEM=S△DCM，S△AEM=S△ABM，从而得出S△ADM= S梯形ABCD，据此判断④.
9．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；角平分线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠GEF=∠EFD，∠AGF=∠GFD，
∵将纸片沿着EF折叠，DF的对应边D'F交AB于点G，
∴∠GFE=∠EFD，
∴∠AGF=2∠GFE，故①正确；
∵∠GEF=∠GFE=∠EFD，
∴GE=GF，
∵无法证明△GEF是等边三角形，
∴GE≠EF，
∴∠EGF≠∠GFE；故②错误；
∵FH平分∠CFD'，
∴∠CFH=∠D'FH，
∵∠D'FC+∠D'FD=180°，
∴∠GFE+∠D'FH=90°，
又∵∠CHF+∠HFC=90°，
∴∠CHF=∠GFE，故③正确；
∵将纸片沿着EF折叠，DF的对应边D'F交AB于点G，
∴∠BEF=∠B'EF，
∴ ，
∴∠GEF=55°=∠GFE，故④正确，
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质可得∠GEF=∠EFD，∠AGF=∠GFD，由折叠可得∠GFE=∠EFD，进而可得∠AGF=2∠GFE，∠GEF=∠GFE=∠EFD，可判断①和②；由角平分线的性质和平角的性质可得∠GFE+∠D'FH=90°，由余角的性质可得∠CHF=∠GFE，可判断③，由折叠的性质可求∠BEF的值，可求∠GFE=∠GEF=55°，可判断④，即可求解.
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，
∴∠BA1C＝ ＝75°，
∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1＝ ∠BA1C＝ ×75°；
同理可得，
∠EA3A2＝（ ）2×75°，∠FA4A3＝（ ）3×75°，
∴第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（ ）n﹣1×75°．
故答案为：C．
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的底角度数．
11．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠A1B1A2=60°，A1B1= A1A2，
∵∠MON=30°，
∴∠A1B1O=30°，
∴△OA1B1为等腰三角形，
∴A1B1= OA1，
∴A1B1= A1A2= OA1，
∵OA1=1 ，
同理可知△OA2B2为等腰三角形，
∴OA2 =A2B2= A2A3=2，
同理可知△OA3B3为等腰三角形，
∴OA3 =A3B3= A3A4=，
同理可知△OA4B4为等腰三角形，
∴OA4 =A4B4= A4A5=，
依次类推：OAn=AnBn= AnAn+1=，
∴△A2021B2021A2022的边长为：=，
故答案为：．
【分析】利用等边三角形的性质，找出规律求出OAn=AnBn= AnAn+1=，再求解即可。
12．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接BP1，BP3，BP，
∵ P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，
∴BP1＝BP＝BP2，OP＝OP3，PP3⊥AC，PP1⊥AB，PP2⊥BC，
∴∠PBA＝∠ABP1，∠CBP＝∠CBP2，
∵∠ABC＝30°，
∴∠P1BP2＝60°，
∴△BP1P2是等边三角形，
∴BP＝P1P2，
∴2P1P2＋PP3＝2BP＋2OP，
∴当B，P，O三点共线时，2P1P2＋PP3有最小值，其最小值是△ABC中AC边上的高OB，
∵AC＝3，△ABC的面积为8，
∴AC OB＝8，
∴×3 OB＝8
∴OB＝，
∴2P1P2＋PP3的最小值是.
故答案为：.
【分析】连接BP1，BP3，BP，利用轴对称的性质可证得BP1＝BP＝BP2，OP＝OP3，PP3⊥AC，PP1⊥AB，PP2⊥BC，利用等腰三角形的性质可推出∠PBA＝∠ABP1，∠CBP＝∠CBP2，结合已知条件求出∠P1BP2的度数，可证得△BP1P2是等边三角形，利用等边三角形的性质去证明2P1P2＋PP3＝2BP＋2OP；可得到当B，P，O三点共线时，2P1P2＋PP3有最小值，其最小值是△ABC中AC边上的高OB，利用三角形的面积公式求出OB的长，然后求出2P1P2＋PP3的最小值.
13．【答案】22016
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A2B2=2B1A2=2，B3A3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=4，
A4B4=8B1A2=8，
A5B5=16B1A2=16，
由此可得：AnBn=2n-1B1A2=2n-1．
所以a2017=A2017B2017=22017-1=22016
【分析】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2进而发现规律是解题关键．
14．【答案】或或
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=130° ，
∴∠B=∠C=25°.
∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，
∴△ADB≌△ADF，
∴∠B=∠AFD=25°，AB=AF，
∴AF=AC，
∵AG平分∠FAC，
∴∠FAG=∠CAG，
在△AGF和△AGC中，
∴△AGF≌△AGC (SAS)，
∴∠AFG=∠C，
∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，
∴∠DFG=∠B+∠C=25°+25°=50°，
①当GD=GF时，
∴∠FDG=∠GFD=50°；
②当DF=GF时，
∴∠FDG=∠FGD.
∵∠DFG=50° ，
∴∠FDG=∠FGD=65°；
③当DF=DG时，
∴∠DFG=∠DGF=50°，
∴∠FDG=80°；
综上，的度数为 或或；
故答案为： 或或 .
【分析】先利用“SAS”证出△AGF≌△AGC，可得∠AFG=∠C，再利用角的运算求出∠DFG=∠B+∠C=25°+25°=50°，再分类讨论：①当GD=GF时，②当DF=GF时，③当DF=DG时，再分别求解即可.
15．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：在CB下方作△A'NC，使得△AMB≌△A'NC，连接A'A，如图所示：
则NA'=MA，∠ABM=∠A'CN，
∴，
∴的最小值为A'A，
∵，，
∴∠CBA=∠BCA=67°，
∴∠DBA=44°，
∴∠A'CN=44°，
∴∠ACA'=111°，
∴∠CA'A=∠CAA'=34.5°=∠ABM，
∴，
故答案为：11.5
【分析】在CB下方作△A'NC，使得△AMB≌△A'NC，连接A'A，则NA'=MA，∠ABM=∠A'CN，进而根据题意得到的最小值为A'A，再结合等腰三角形的性质结合题意求出∠CAB和∠MAB的度数，最后根据∠MAD=∠CAB-∠MAB即可求解。
16．【答案】（1）解：∠MOC=∠NOC，理由如下：
如图：连接CA、CB，
由作图过程可知：OA=OB，AC=BC，OA=OA，
∴△AOC≌△BOC（SSS），
∴∠AOC=∠BOC，即∠MOC=∠NOC.
（2）解：相等，理由如下：
∵FQ⊥OM，FH⊥ON，
∴∠FQO=∠FHO，
∵∠FOQ=∠FOH，OF=OF，
∴△FOQ≌△FOH（AAS），
∴FQ=FH.
【知识点】三角形全等及其性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）按要求作图，根据作图过程，利用边边边定理可证△AOC≌△BOC，则对应边∠AOC=∠BOC，即∠MOC=∠NOC.
（2）利用角角边定理可证△△FOQ≌△FOH，则对应边FQ=FH.
17．【答案】（1）；BD
（2）；边AB的中线
【知识点】垂线的概念；三角形的角平分线、中线和高；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（1）如图所示，BD为所求作的垂线，点B到直线AC的距离是线段BD的长度，
故答案为：BD；（2）如图所示，EF为所求作的线段AB的垂直平分线，
线段CM是△ABC的边AB的中线，
故答案为：边AB的中线．
【分析】（1）以点B为圆心，以任意长为半径画弧，与AC的延长线相交于两点，在以这两点为圆心，以大于它们距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，连接点B与这一点与AC的延长线相交于点D，则点D即为所求，根据点到直线的距离解答；（2）分别以点A、B为圆心，以大于 AB为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线EF即可，根据线段垂直平分线的定义可得点M是AB的中点，然后根据中线的定义解答．
18．【答案】解：DE⊥AC于E，DF垂直AB于F，AG⊥BC于BC，
则
由 得：DE=DF=
由 ，得：
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】 DE⊥AC于E，DF垂直AB于F，AG⊥BC于BC， 先利用等积法求出AG，再利用割补法和等积法及角平分线性质求出 DE=DF= ，接着在Rt△ABD中用等积法即可求出BD.
19．【答案】（1）
（2）解：作，
，
，
，
又，
，
，，
≌，
，
又，
；
（3）解：．
理由：在是截取，连接，
，，
，
又，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1） ，
，
，
.
故答案为：∠ABN+∠ACN=180°.
【分析】（1）利用等边对等角可证得∠ABC=∠ACB，利用邻补角的定义可得到∠ABN和∠ACN之间的数量关系.
（2）作AG=AB，利用等边对等角可证得∠B=∠AGB，可推出∠AGB+∠E=180°，利用补角的性质可推出∠AGC=∠E，再利用AAS证明△AGC≌△DEF，利用全等三角形的性质可证得AG=DE，据此可证得结论.
（3）在BD上截取DM=CF，连接CM，易证∠CDM=90°，利用SAS证明△CFE≌△DMC，利用全等三角形的对应角相等，可证得∠CFE=∠CMD；再证明∠ACF=∠B，利用AAS证明△AFC≌△CMB，利用全等三角形的性质可证得CF=BM；然后根据BD=DM+BM可证得结论.
20．【答案】（1）解：①；
证明如下：过点C作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴
∵，∴，
∴；
②∵，，
∴ ，
∵平分，平分，
∴，，
∴ ，
∴ ．
故答案为：．
（2）解：点在线段的延长线上时，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1） ① 根据平行线的性质可得∠ADC=∠DCF，∠BEC=∠ECF，由垂直的定义可得∠DCE=∠DCF+∠ECF=90°，进而可得∠ADC+∠BEC=90°；
② 根据平角的性质可得∠CDM=180°-∠ADC，∠PEC=180°-∠BEC，进而得到∠CDM+∠PEC=270°，根据角平分线的定义可得∠CDH+∠CEH=（∠CDM+∠PEC）=135°，再根据四边形的内角和即可求解；
（2）根据垂直的定义可得∠DCE=90°，进而得到∠ADC+∠DFC=90°，由平行线的性质可得∠CEB=∠DFC，利用等量代换即可求解。
1 / 1北师大版数学七年级下册 5.3简单的轴对称图形
一、选择题
1．（2023七下·萧县期末）如图，在中，，是角平分线，，，则P到的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】角平分线上的点到角两边距离相等，P到AB的距离=PC=2
【分析】角平分线上的点到角两边距离相等.
2．（2023七下·萧县期末）如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，边的垂直平分线交于点F，交于点G，连接，．则的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】已知E为AB的垂直平分线，∴AE=BE， ∠EAB＝∠B 同理∠CAG＝∠C 两边相加得∠EAB+ ∠CAG=∠B+ ∠C 又 ∠EAB+ ∠CAG =∠BAG+ ∠EAG+∠EAG+ ∠CAE=80°+ ∠EAG 且 ∠B+ ∠C=180°- ∠BAC=100° ∴ 80°+ ∠EAG =100° ∴∠EAG=100°-80°=20°
【分析】熟悉垂直平分线的性质、等边对等角定理，等量代换。
3．（2021七下·丽水期末）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=100°，点M是射线AB上的一个动点，过点M作MN∥BC交射线AC于点N，连结BN。若△BMN中有两个角相等，则∠MNB的度数不可能是（ ）
A．25° B．30° C．50° D．65°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图1中，当点N在线段AC上时，如果MN=BM，
则∠MNB=∠MBN。
∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠ABC=50°，
∴∠MNB=25°.
如图2中，
当BM=BN时，∠BNM=∠BMN=50°，
当MB=MN时，∠BNM= （180°-50°）=65°，
当NB=MN时，∠BNM=80°，
综上所述，选项B符合题意，
故答案为：B.
【分析】分两种情形：如图1中，当点N在线段AC上时，如果MN= BM，如图2中，当BM= BN时，∠BNM=∠BMN=50°，当MB= MN时，∠BNM= ( 180°-50°) =65°，当NB=MN时，∠BNM=80°，由此即可判断.
4．（2020七下·新城期末）如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC=∠EDC=62°，∠AEB=82°，则∠EBD的度数为（ ）
A．108° B．118° C．138° D．144°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】 解：如图，连接CE，
∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，
∴CA=CB，CE=CD，
∵∠ABC=∠EDC=72°=∠DEC，
∴∠ACB=∠ECD=36°，
∴∠ACE=∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠AEC=∠BDC，
设∠AEC=∠BDC=α，
则∠BDE=62°﹣α，∠CEB=82°﹣α，
∴∠BED=∠DEC﹣∠CEB=62°﹣（82°﹣α）=α﹣20°，
∴△BDE中，∠EBD=180°﹣（62°﹣α）﹣（α﹣20°）=138°，
故答案为：C.
【分析】首先根据线段垂直平分线的性质得到相等的边，再根据等边对等角得到相等的角，结合三角形内角和定理推出∠ACB=∠ECD=36°，进一步证明∠ACE=∠BCD，即可推出△ACE≌△BCD，根据全等三角形的性质可得∠AEC=∠BDC，不妨设∠AEC=∠BDC=α，即可用α表示出∠BDE，∠CEB，进一步将∠BED用α表示，然后在△BED中，利用三角形内角和定理求解.
5．（2017七下·山西期末）如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：
①∠AED=90° ②∠ADE=∠CDE③DE=BE④AD＝AB＋CD，四个结论中成立的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：
如图，过E作EF⊥AD于F.
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB，
∴BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC=EF=BE，所以③错误；
∵Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；
∵AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；
.
故选A.
6．（2017七下·水城期末）如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（ ）
A．（ ）n 75° B．（ ）n﹣1 65°
C．（ ）n﹣1 75° D．（ ）n 85°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵在△CBA1中，∠B=30°，A1B=CB，
∴∠BA1C= =75°，
∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1= ∠BA1C= ×75°；
同理可得，
∠EA3A2=（ ）2×75°，∠FA4A3=（ ）3×75°，
∴第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（ ）n﹣1×75°．
故答案为：C．
【分析】首先依据两底角相等、三角形的内角和为180°求出∠BA1C的度数，然后再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，根据计算结果找出其中的规律，最后，依据规律可得出第n个三角形中以An为顶点的底角度数.
7．（2023七下·瑞金期末）如图，已知，在轴上，点，，，…在射线轴上，点，，，…在射线OF上，，，，…均为等边三角形，若，则的横坐标为（ ）
A．512 B．768 C．1536 D．3072
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：过 点作 于H点，如图，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的横坐标为： ，
同理可求得：
的横坐标为： ，
的横坐标为： ，
的横坐标为： ，
，
即 的横坐标为： ，
即：当 ， 的横坐标为： ，
故选：C．
【分析】先求出 的横坐标为： ， 的横坐标为： ， 的横坐标为： ， 的横坐标为： ，再求出规律 的横坐标为： ，最后求解即可.
8．（2021七下·芝罘期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD＝90°；②点M为BC的中点；③AB+CD＝AD；④△ADM的面积是梯形ABCD面积的一半．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过M作ME⊥AD于E，如图所示：
∵∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，
∴∠MDE= ∠CDA，∠MAD= ∠BAD，
∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD=180°，
∴∠MDA+∠MAD= （∠CDA+∠BAD）= ×180°=90°，
∴∠AMD=180°-90°=90°，故①符合题意；
∵AB∥CD，∠B=90°，
∴MC⊥DC，
∵DM平分∠CDE，ME⊥DA，
∴MC=ME，
同理ME=MB，
∴MC=MB=ME，
∴点M为BC的中点，故②符合题意；
在Rt△DCM和Rt△DEM中，
，
∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），
∴CD=DE，
同理：Rt△ABM≌Rt△AEM（HL），
∴AB=AE，
∴AB+CD=AE+DE=AD，故③符合题意；
∵Rt△DCM≌Rt△DEM，Rt△ABM≌Rt△AEM，
∴S△DEM=S△DCM，S△AEM=S△ABM，
∴S△ADM= S梯形ABCD，故④符合题意；
故答案为：D．
【分析】过M作ME⊥AD于E，如图，由角平分线的定义可得∠MDE= ∠CDA，∠MAD= ∠BAD，
由DC∥AB可得∠CDA+∠BAD=180°，从而求出∠MDA+∠MAD= （∠CDA+∠BAD）=90°，利用三角形内角和求出∠AMD=90°，据此判断①；易求MC⊥DC，由角平分线的性质可得MC=MB=ME，据此判断②；分别证明Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），Rt△ABM≌Rt△AEM（HL），可得CD=DE，AB=AE，从而得出AB+CD=AE+DE=AD，据此判断③；由Rt△DCM≌Rt△DEM，Rt△ABM≌Rt△AEM，
可得S△DEM=S△DCM，S△AEM=S△ABM，从而得出S△ADM= S梯形ABCD，据此判断④.
9．（2020七下·诸暨期末）如图，直角梯形纸片对边 ， 是直角，将纸片沿着EF折叠，DF的对应边 交AB于点G，FH平分 交AC于点H.则结论：① ；② ；③ ；④若 ，则 .其中正确结论的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；角平分线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠GEF=∠EFD，∠AGF=∠GFD，
∵将纸片沿着EF折叠，DF的对应边D'F交AB于点G，
∴∠GFE=∠EFD，
∴∠AGF=2∠GFE，故①正确；
∵∠GEF=∠GFE=∠EFD，
∴GE=GF，
∵无法证明△GEF是等边三角形，
∴GE≠EF，
∴∠EGF≠∠GFE；故②错误；
∵FH平分∠CFD'，
∴∠CFH=∠D'FH，
∵∠D'FC+∠D'FD=180°，
∴∠GFE+∠D'FH=90°，
又∵∠CHF+∠HFC=90°，
∴∠CHF=∠GFE，故③正确；
∵将纸片沿着EF折叠，DF的对应边D'F交AB于点G，
∴∠BEF=∠B'EF，
∴ ，
∴∠GEF=55°=∠GFE，故④正确，
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质可得∠GEF=∠EFD，∠AGF=∠GFD，由折叠可得∠GFE=∠EFD，进而可得∠AGF=2∠GFE，∠GEF=∠GFE=∠EFD，可判断①和②；由角平分线的性质和平角的性质可得∠GFE+∠D'FH=90°，由余角的性质可得∠CHF=∠GFE，可判断③，由折叠的性质可求∠BEF的值，可求∠GFE=∠GEF=55°，可判断④，即可求解.
10．（2020七下·槐荫期末）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（ ）
A．（ ）n 75° B．（ ）n﹣1 65°
C．（ ）n﹣1 75° D．（ ）n 85°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，
∴∠BA1C＝ ＝75°，
∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1＝ ∠BA1C＝ ×75°；
同理可得，
∠EA3A2＝（ ）2×75°，∠FA4A3＝（ ）3×75°，
∴第n个三角形中以An为顶点的底角度数是（ ）n﹣1×75°．
故答案为：C．
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的底角度数．
二、填空题
11．（2022七下·宁阳期末）如图，已知∠MON=30点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=1，则△A2021B2021A2022的边长为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠A1B1A2=60°，A1B1= A1A2，
∵∠MON=30°，
∴∠A1B1O=30°，
∴△OA1B1为等腰三角形，
∴A1B1= OA1，
∴A1B1= A1A2= OA1，
∵OA1=1 ，
同理可知△OA2B2为等腰三角形，
∴OA2 =A2B2= A2A3=2，
同理可知△OA3B3为等腰三角形，
∴OA3 =A3B3= A3A4=，
同理可知△OA4B4为等腰三角形，
∴OA4 =A4B4= A4A5=，
依次类推：OAn=AnBn= AnAn+1=，
∴△A2021B2021A2022的边长为：=，
故答案为：．
【分析】利用等边三角形的性质，找出规律求出OAn=AnBn= AnAn+1=，再求解即可。
12．（2022七下·成都期末）如图，在锐角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝3，△ABC的面积为8，P为△ABC内部一点，分别作点P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，连接P1P2，PP3，则2P1P2+PP3的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接BP1，BP3，BP，
∵ P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，
∴BP1＝BP＝BP2，OP＝OP3，PP3⊥AC，PP1⊥AB，PP2⊥BC，
∴∠PBA＝∠ABP1，∠CBP＝∠CBP2，
∵∠ABC＝30°，
∴∠P1BP2＝60°，
∴△BP1P2是等边三角形，
∴BP＝P1P2，
∴2P1P2＋PP3＝2BP＋2OP，
∴当B，P，O三点共线时，2P1P2＋PP3有最小值，其最小值是△ABC中AC边上的高OB，
∵AC＝3，△ABC的面积为8，
∴AC OB＝8，
∴×3 OB＝8
∴OB＝，
∴2P1P2＋PP3的最小值是.
故答案为：.
【分析】连接BP1，BP3，BP，利用轴对称的性质可证得BP1＝BP＝BP2，OP＝OP3，PP3⊥AC，PP1⊥AB，PP2⊥BC，利用等腰三角形的性质可推出∠PBA＝∠ABP1，∠CBP＝∠CBP2，结合已知条件求出∠P1BP2的度数，可证得△BP1P2是等边三角形，利用等边三角形的性质去证明2P1P2＋PP3＝2BP＋2OP；可得到当B，P，O三点共线时，2P1P2＋PP3有最小值，其最小值是△ABC中AC边上的高OB，利用三角形的面积公式求出OB的长，然后求出2P1P2＋PP3的最小值.
13．（2017七下·东营期末）如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推．若OA1=1，则a2017= .
【答案】22016
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A2B2=2B1A2=2，B3A3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=4，
A4B4=8B1A2=8，
A5B5=16B1A2=16，
由此可得：AnBn=2n-1B1A2=2n-1．
所以a2017=A2017B2017=22017-1=22016
【分析】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2进而发现规律是解题关键．
14．（2023七下·盐湖期末）如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点G，连接，当为等腰三角形时，的度数为 ．
【答案】或或
【知识点】等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=130° ，
∴∠B=∠C=25°.
∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，
∴△ADB≌△ADF，
∴∠B=∠AFD=25°，AB=AF，
∴AF=AC，
∵AG平分∠FAC，
∴∠FAG=∠CAG，
在△AGF和△AGC中，
∴△AGF≌△AGC (SAS)，
∴∠AFG=∠C，
∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，
∴∠DFG=∠B+∠C=25°+25°=50°，
①当GD=GF时，
∴∠FDG=∠GFD=50°；
②当DF=GF时，
∴∠FDG=∠FGD.
∵∠DFG=50° ，
∴∠FDG=∠FGD=65°；
③当DF=DG时，
∴∠DFG=∠DGF=50°，
∴∠FDG=80°；
综上，的度数为 或或；
故答案为： 或或 .
【分析】先利用“SAS”证出△AGF≌△AGC，可得∠AFG=∠C，再利用角的运算求出∠DFG=∠B+∠C=25°+25°=50°，再分类讨论：①当GD=GF时，②当DF=GF时，③当DF=DG时，再分别求解即可.
15．（2023七下·青羊期末）如图，在三角形中，，，于点，，分别是线段，上的动点，，当最小时， 度．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：在CB下方作△A'NC，使得△AMB≌△A'NC，连接A'A，如图所示：
则NA'=MA，∠ABM=∠A'CN，
∴，
∴的最小值为A'A，
∵，，
∴∠CBA=∠BCA=67°，
∴∠DBA=44°，
∴∠A'CN=44°，
∴∠ACA'=111°，
∴∠CA'A=∠CAA'=34.5°=∠ABM，
∴，
故答案为：11.5
【分析】在CB下方作△A'NC，使得△AMB≌△A'NC，连接A'A，则NA'=MA，∠ABM=∠A'CN，进而根据题意得到的最小值为A'A，再结合等腰三角形的性质结合题意求出∠CAB和∠MAB的度数，最后根据∠MAD=∠CAB-∠MAB即可求解。
三、作图题
16．（2020七下·陈仓期末）如图，已知 ，请按步骤用尺规作图并回答下列问题：
第一步：在 和 上分别截取 ， ，使 .
第二步：分别以 为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧在 内交于点E.
第三步：过点 作射线 .（保留作图痕迹）
（1） 与 的关系是什么？请说明理由.
（2）在 上任取一点 ，过点 分别作 于点 ， 于点 ， 与 相等吗？为什么？
【答案】（1）解：∠MOC=∠NOC，理由如下：
如图：连接CA、CB，
由作图过程可知：OA=OB，AC=BC，OA=OA，
∴△AOC≌△BOC（SSS），
∴∠AOC=∠BOC，即∠MOC=∠NOC.
（2）解：相等，理由如下：
∵FQ⊥OM，FH⊥ON，
∴∠FQO=∠FHO，
∵∠FOQ=∠FOH，OF=OF，
∴△FOQ≌△FOH（AAS），
∴FQ=FH.
【知识点】三角形全等及其性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）按要求作图，根据作图过程，利用边边边定理可证△AOC≌△BOC，则对应边∠AOC=∠BOC，即∠MOC=∠NOC.
（2）利用角角边定理可证△△FOQ≌△FOH，则对应边FQ=FH.
17．（2019七下·普陀期中）按下列要求画图并填空：
（1）过点B画出直线AC的垂线，交直线AC于点D ，那么点B到直线AC的距离是线段 的长.
（2）用直尺和圆规作出△ABC的边AB的垂直平分线EF，交边AB、AC于点M、N，联结CM .那么线段CM是△ABC的 .（保留作图痕迹）
【答案】（1）；BD
（2）；边AB的中线
【知识点】垂线的概念；三角形的角平分线、中线和高；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（1）如图所示，BD为所求作的垂线，点B到直线AC的距离是线段BD的长度，
故答案为：BD；（2）如图所示，EF为所求作的线段AB的垂直平分线，
线段CM是△ABC的边AB的中线，
故答案为：边AB的中线．
【分析】（1）以点B为圆心，以任意长为半径画弧，与AC的延长线相交于两点，在以这两点为圆心，以大于它们距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，连接点B与这一点与AC的延长线相交于点D，则点D即为所求，根据点到直线的距离解答；（2）分别以点A、B为圆心，以大于 AB为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线EF即可，根据线段垂直平分线的定义可得点M是AB的中点，然后根据中线的定义解答．
四、解答题
18．（2021七下·浦江期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，若AD平分∠BAC交BC于点D，求BD的长．
【答案】解：DE⊥AC于E，DF垂直AB于F，AG⊥BC于BC，
则
由 得：DE=DF=
由 ，得：
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】 DE⊥AC于E，DF垂直AB于F，AG⊥BC于BC， 先利用等积法求出AG，再利用割补法和等积法及角平分线性质求出 DE=DF= ，接着在Rt△ABD中用等积法即可求出BD.
五、实践探究题
19．（2023七下·锦州期末）
（1）【模型构建】
如图，在等腰中，，点在线段的延长线上，连接，则在和中，边的对角和之间的数量关系为 ；
（2）【模型应用】
如图，在和中，为锐角，，，，试说明：；
（3）【模型拓展】
如图，，，，，和交于点，试探究与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：作，
，
，
，
又，
，
，，
≌，
，
又，
；
（3）解：．
理由：在是截取，连接，
，，
，
又，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（1） ，
，
，
.
故答案为：∠ABN+∠ACN=180°.
【分析】（1）利用等边对等角可证得∠ABC=∠ACB，利用邻补角的定义可得到∠ABN和∠ACN之间的数量关系.
（2）作AG=AB，利用等边对等角可证得∠B=∠AGB，可推出∠AGB+∠E=180°，利用补角的性质可推出∠AGC=∠E，再利用AAS证明△AGC≌△DEF，利用全等三角形的性质可证得AG=DE，据此可证得结论.
（3）在BD上截取DM=CF，连接CM，易证∠CDM=90°，利用SAS证明△CFE≌△DMC，利用全等三角形的对应角相等，可证得∠CFE=∠CMD；再证明∠ACF=∠B，利用AAS证明△AFC≌△CMB，利用全等三角形的性质可证得CF=BM；然后根据BD=DM+BM可证得结论.
六、综合题
20．（2023七下·东城期末）已知：直线被直线截于两点，且，点是直线上一定点，点是射线上一动点，连接，过点作交直线于点．
（1）如图，若点在线段上，和的平分线交于点．
①请写出和的数量关系，并证明；
②的度数为 ；
（2）若点在线段的延长线上，直接写出和的数量关系，不必证明．
【答案】（1）解：①；
证明如下：过点C作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴
∵，∴，
∴；
②∵，，
∴ ，
∵平分，平分，
∴，，
∴ ，
∴ ．
故答案为：．
（2）解：点在线段的延长线上时，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1） ① 根据平行线的性质可得∠ADC=∠DCF，∠BEC=∠ECF，由垂直的定义可得∠DCE=∠DCF+∠ECF=90°，进而可得∠ADC+∠BEC=90°；
② 根据平角的性质可得∠CDM=180°-∠ADC，∠PEC=180°-∠BEC，进而得到∠CDM+∠PEC=270°，根据角平分线的定义可得∠CDH+∠CEH=（∠CDM+∠PEC）=135°，再根据四边形的内角和即可求解；
（2）根据垂直的定义可得∠DCE=90°，进而得到∠ADC+∠DFC=90°，由平行线的性质可得∠CEB=∠DFC，利用等量代换即可求解。
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