(共30张PPT)
5 向心加速度
这些物体做什么运动？
它们有加速度吗？
为什么？
圆周运动是曲线运动，那么做圆周运动的物体，加速度的大小和方向如何确定呢
做曲线运动的物体速度一定是变化的,因此该物体一定有加速度。
1.理解速度变化量和向心加速度的概念。
2.知道向心加速度和线速度、角速度的关系。
3.能够运用向心加速度公式求解有关问题。
（重点）
（难点）
探究一、圆周运动的加速度沿什么方向？
探究一、圆周运动的加速度沿什么方向？
地球受到什么力的作用
这个力可能沿什么方向
应该受到指向太阳的引力作用
牛顿第二定律告诉我们，物体的加速度方向总是和它的合力方向一致，这个关系不仅对直线运动正确，对曲线运动也同样正确。我们能不能通过分析物体受力确定圆周运动的加速度方向？
水平桌面上的小球受到几个力的作用
这几个力的合力沿什么方向
小球受到重力、支持力和绳子的拉力三个力的作用，其合力即为绳子的拉力，其方向指向圆心
在刚才的研究中，同学们已充分感知了做匀速圆周运动的物体所受的力或合外力指向圆心，所以物体的加速度也指向圆心。是不是由此可以得出结论：“任何物体做匀速圆周运动的加速度都指向圆心”
1.定义：做匀速圆周运动的物体加速度指向圆心，这个加速度称为向心加速度。
4.物理意义：描述速度方向变化的快慢。
2.符号：an
3.方向：始终指向圆心。
5.说明：匀速圆周运动加速度的大小不变，方向时刻改变，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，是变加速运动。
一、向心加速度
1.如果初速度v1和末速度v2在同一方向上，如何表示速度的变化量Δv？Δv是矢量还是标量？
甲
v1
Δv
v2
（1）v1 < v2 （如图甲）
探究二、推导向心加速度的大小
乙
v1
Δv
v2
（2）v1 > v2 （如图乙）
2.如果初速度v1和末速度v2不在同一直线上，如何表示速度的变化量Δv
v1
Δv
v2
类比思考：一物体做平抛运动的初速度为10m/s，则1 s末物体速度多大？2 s末速度多大？1 s末至2 s末这段时间内速度变化量是多大？加速度是多大？
10m/s
10m/s
10m/s
20m/s
10m/s
10m/s
20m/s
Δv
速度的变化量Δv与初速度v1和末速度v2的关系：从同一点作出物体在一段时间的始末两个速度的矢量v1和v2，从初速度矢量v1的末端作一个矢量Δv至末速度矢量v2的末端，矢量Δv就等于速度的变化量。
探究归纳
推导1：推导圆周运动的速度变化量：设质点沿半径为r的圆周运动，某时刻位于A点，速度为vA，经过时间Δt后位于B点，速度为vB，质点速度的变化量沿什么方向？
拓展思考
1.vA ,vB的长度是否一样？
2.vA平移时注意什么？
3.Δv/Δt表示什么？
4.Δv与圆的半径平行吗？在什么条件下，Δv与圆的半径平行？
结论：当Δt很小很小时，Δv指向圆心。
O
B
A
推导2：推导匀速圆周运动的向心加速度大小：设做匀速圆周运动的物体的线速度的大小为v ，轨迹半径为r。经过时间△t，物体从A点运动到B点。尝试用v 、r 写出向心加速度的表达式。
∴ =
AB
Δv
v
r
O
B
A
vA
vB
vA
Δv
vA、vB、△v 组成的三角形与ΔABO相似
∴ Δv =
AB
v
r
∴ an = = ·
AB
v
r
Δv
Δt
Δt
当△t 很小很小时，AB=AB=Δl
∴ an = · v =
v
r
v2
r
= rω2 = vω
Δ
θ
Δ
θ
Δl
∴ = = = v
AB
Δt
Δt
AB
Δt
向心加速度的表达式：
an =
v2
r
an = rω2
an = vω
an = r
4π2
T 2
an = 4π2 f 2r
拓展思考：
从公式 看，向心加速度与半径成反比；从公式 看，向心加速度与半径成正比；这两个结论是否矛盾？
an =
v2
r
an = rω2
v不变时，an与r 成反比
ω不变时，an与r 成正比
解题关键：1.匀速圆周运动的线速度大小不变;
2.加速度描述的是速度变化的快慢。
B
【对点训练1】关于匀速圆周运动的向心加速度的物理
意义，下列说法正确的是（ ）
A.它描述的是线速度大小变化的快慢
B.它描述的是线速度方向变化的快慢
C.它描述的是物体路程变化的快慢
D.它描述的是角速度变化的快慢
【对点训练2】如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d 各点的加速度之比。
互动探究:
其中哪两点向心加速度的关系适用于“向心加速度与半径 成正比”，哪两点适用于“向心加速度与半径 成反比”？
an =
v2
r
an = rω2
1.定义:匀速圆周运动的加速度。
2.意义:描述速度方向变化的快慢。
3.大小:
4.方向:始终指向圆心(时刻改变)
匀速圆周运动是变加速运动
向心加速度
1.在圆周运动中下列关于向心加速度的说法中，正确
的是( )
A.向心加速度的方向始终与速度的方向垂直
B.向心加速度的方向保持不变
C.在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D.在匀速圆周运动中，向心加速度大小不断变化
A
2．下列说法正确的是( )
A．匀速圆周运动是一种匀速运动
B．匀速圆周运动是一种匀变速运动
C．匀速圆周运动是一种变加速运动
D．物体做圆周运动时，其向心加速度方向垂直于速度方向，且不改变线速度的大小
D
3.关于向心加速度的说法正确的是( )
A.向心加速度越大，物体速率变化越快
B.向心加速度的大小与轨道半径成反比
C.向心加速度的方向始终与速度方向垂直
D.在匀速圆周运动中向心加速度是恒量
C
4.（多选）关于北京和广州随地球自转的向心加速度，
下列说法中正确的是 （ ）
A.它们的方向都沿半径指向地心
B.它们的方向都平行于赤道平面指向地轴
C.北京的向心加速度比广州的向心加速度大
D.北京的向心加速度比广州的向心加速度小
BD
5.如图所示,两轮通过皮带传动,皮带不打滑,下列说法正确的是( )
A．两轮角速度相等
B．两轮边缘线速度的大小相等
C．大轮边缘一点的向心加速度大于小轮边缘一点的向心加速度
D．同一轮上各点的向心加速度跟该点到中心的距离成反比
B
不论做什么事，相信自己，别让别人的一句话将你击倒。【世纪金榜】2016版高中物理 5.5向心加速度（精讲优练课型）课时自测 新人教版必修2
1.(多选)(2015·九江高一检测)关于向心加速度，下列说法正确的是( )
A.向心加速度是描述线速度变化的物理量
B.向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C.向心加速度大小恒定，方向时刻改变
D.物体做非匀速圆周运动时，向心加速度的大小也可用an=来计算
【解析】选B、D。加速度是描述速度变化快慢的物理量，向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，因此A项错，B项对；只有匀速圆周运动的向心加速度大小才恒定，故C项错；各类圆周运动的向心加速度都可以用an=来计算，D项对。
2.(多选)(2015·十堰高一检测)关于质点做匀速圆周运动的下列说法中正确的是( )
A.由a=可知，a与r成反比
B.由a=ω2r可知，a与r成正比
C.当v一定时，a与r成反比
D.由ω=2πn可知，角速度ω与转速n成正比
【解析】选C、D。只有当线速度一定时，a与r成反比；只有当角速度一定时，a与r成正比，选项A、B错误，C正确。公式ω=2πn中，2π为常数，所以角速度ω与转速n成正比，选项D正确。
3.(多选)如图所示为摩擦传动装置，B轮转动时带动A轮跟着转动，已知转动过程中轮缘间无打滑现象，下述说法中正确的是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.A、B两轮转动的方向相同
B.A与B转动方向相反
C.A、B转动的角速度之比为1∶3
D.A、B轮缘上点的向心加速度之比为3∶1
【解析】选B、C。A、B两轮属齿轮传动，A、B两轮的转动方向相反，A错，B对。A、B两轮边缘的线速度大小相等，由ω=知，==，C对。根据a=得，==，D错。
【补偿训练】如图所示是自行车的轮盘与车轴上的飞轮之间的链条传动装置。P是轮盘的一个齿，Q是飞轮上的一个齿。下列说法中正确的是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.P、Q两点角速度大小相等
B.P、Q两点向心加速度大小相等
C.P点向心加速度小于Q点向心加速度
D.P点向心加速度大于Q点向心加速度
【解析】选C。P、Q两点线速度大小相等，由ω=知，ω∝，ωP<ωQ，A错；由a=知，a∝，aP
4.如图所示是上海锦江乐园中的“摩天轮 ( http: / / www.21cnjy.com )”，它高108m，直径为98m，每次可乘坐378人，每转一圈25min。摩天轮转动时，某一轿厢内坐有一位游客，计算该游客随轮一起匀速转动的周期和向心加速度的大小。
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【解析】T=25×60s=1500s，a==8.6×10-4m/s2
答案：1500s 8.6×10-4m/s2
【易错提醒】
(1)各物理量应换算为国际单位制单位。
(2)向心加速度与摩天轮的半径、周期有关，与摩天轮的高度无关。(共53张PPT)
5
向心加速度
学习
目标 1.理解匀速圆周运动中的速度变化量和向心加速度的概念。
2.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式。
3.能够运用向心加速度公式求解有关问题。
一、感受圆周运动的向心加速度
1.圆周运动必有加速度:圆周运动是_____运动,_____运动必
有加速度。
2.匀速圆周运动的加速度方向:
实例 地球绕太阳做(近似的)匀速圆周运动 光滑桌面上的小球由于细线的牵引,绕桌面上的图钉做匀速圆周运动
受力
分析 地球受太阳的引力,方向指向_________,即为地球轨迹的_____ 小球受重力、支持力、拉力三个力,合力总是指向_____
加速度
分析 由牛顿第二定律知,加速度方向与其合外力方向相同,指向_____
变速
变速
太阳中心
圆心
圆心
圆心
【自我思悟】
1.匀速圆周运动和匀速直线运动的相同点和不同点是什么
提示:相同点:速度的大小不变。不同点:前者速度的方向时刻变化,后者不变;前者具有加速度,后者没有加速度。
2.圆周运动的向心加速度为什么指向圆心
提示:多个实例证明匀速圆周运动的合外力指向圆心,由牛顿第二定律知其加速度(即向心加速度)也指向圆心。
二、向心加速度
1.定义:做匀速圆周运动的物体具有的指向_____的加速度。
2.大小:(1)an= ;(2)an=____。
3.方向:沿半径方向指向_____,与线速度方向_____。
ω2r
圆心
垂直
圆心
【自我思悟】
1.地球在不停地公转和自转,关于地球的自转,思考以下问题:
(1)地球上各地的角速度大小、线速度大小是否相同
(2)地球上各地的向心加速度大小是否相同
提示:(1)地球上各地自转的周期都是24h,所以地球上各地的角速度大小相同,但由于各地自转的半径不同,根据v=ωr可知各地的线速度大小不同。
(2)地球上各地自转的角速度相同,半径不同,根据an=ω2r可知,各地的向心加速度大小因自转半径的不同而不同。
2.如图所示,小球在拉力作用下做匀速圆周运动,请思考:
(1)小球的向心加速度是恒定的吗 其方向一定指向圆心吗
提示:不恒定。小球的加速度总是沿着绳子方向指向圆心,所以其方向不断变化,加速度时刻发生变化。
(2)若手握绳子的位置不变,增加小球的转速,则它的向心加速度大小如何变化
提示:根据a=ω2r知,当半径不变,角速度变大时,加速度a也变大。
一、对向心加速度方向及意义的理解 深化理解
1.物理意义:描述线速度改变的快慢,只表示线速度的方向变化的快慢,不表示其大小变化的快慢。
2.方向:做匀速圆周运动的物体,其速度的大小(速率)不变,方向不断改变,所以加速度a没有与v同方向的分量,它必然沿半径方向指向圆心,故称之为向心加速度。
3.圆周运动的性质:不论向心加速度an的大小是否变化,an的方向是时刻改变的,所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变,圆周运动一定是非匀变速曲线运动。“匀速圆周运动中”的“匀速”应理解为“匀速率”。
4.变速圆周运动的向心加速度:
做变速圆周运动的物体的加速度有两个分量:一是向心加速度,二是切向加速度。向心加速度表示速度方向变化的快慢,切向加速度表示速度大小变化的快慢。
【微思考】
(1)在匀速圆周运动中,物体的加速度就是向心加速度吗 加速度一定指向圆心吗
提示:在匀速圆周运动中,物体的加速度就是向心加速度,加速度一定指向圆心。
(2)在变速圆周运动中,物体的加速度就是向心加速度吗 加速度一定指向圆心吗
提示:在变速圆周运动中,物体的加速度不是向心加速度,加速度不指向圆心,向心加速度指向圆心。
【题组通关】
【示范题】下列关于向心加速度的说法中正确的是( )
A.向心加速度的方向始终指向圆心
B.向心加速度的方向保持不变
C.在匀速圆周运动中,向心加速度是恒定的
D.在匀速圆周运动中,向心加速度的大小不断变化
【解题探究】(1)向心加速度的物理意义是什么
提示:加速度是表示速度变化快慢的物理量,向心加速度仅表示物体速度方向变化的快慢,不表示物体速度大小变化的快慢。
(2)向心加速度方向为_____________。
始终指向圆心
【规范解答】选A。向心加速度的方向时刻指向圆心,线速度的方向时刻沿圆周的切线方向,故向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直,A正确;向心加速度的大小不变,方向时刻指向圆心,不断变化,故B、C、D错误。
【通关1+1】
1.(多选)(2014·廊坊高一检测)下列说法中正确的是( )
A.匀速圆周运动的速度大小保持不变,所以做匀速圆周运动的物体没有加速度
B.做匀速圆周运动的物体,虽然速度大小不变,但方向时刻都在改变,所以必有加速度
C.做匀速圆周运动的物体,加速度的大小保持不变,所以是匀变速曲线运动
D.匀速圆周运动的加速度大小虽然不变,但方向始终指向圆心,加速度的方向发生了变化,所以匀速圆周运动既不是匀速运动,也不是匀变速运动
【解析】选B、D。做匀速圆周运动的物体,速度的大小不变,但方向时刻改变,所以必有加速度,且加速度大小不变,方向时刻指向圆心,加速度不恒定,因此匀速圆周运动既不是匀速运动,也不是匀变速运动,故A、C错误,B、D正确。
2.关于向心加速度的物理意义,下列说法正确的是( )
A.它描述的是线速度大小变化的快慢
B.它描述的是线速度方向变化的快慢
C.它描述的是物体运动的路程变化的快慢
D.它描述的是角速度变化的快慢
【解析】选B。加速度始终与线速度方向垂直,故向心加速度只表示线速度的方向改变的快慢,不表示线速度的大小改变的快慢,A、D错误,B正确。圆周运动中,线速度是描述物体运动路程变化快慢的物理量,C错误。
3.做匀速圆周运动的两物体甲和乙,它们的向心加速度分别为a1和a2,且a1>a2,下列判断正确的是( )
A.甲的线速度大于乙的线速度
B.甲的角速度比乙的角速度小
C.甲的轨道半径比乙的轨道半径小
D.甲的速度方向比乙的速度方向变化快
【解析】选D。由于不知甲和乙做匀速圆周运动的半径大小关系,故不能确定它们的线速度、角速度的大小关系,A、B、C错。向心加速度是表示线速度方向变化快慢的物理量,a1>a2,表明甲的速度方向比乙的速度方向变化快,D对。
【变式训练】关于向心加速度,下列说法正确的是( )
A.向心加速度是描述线速度变化的物理量
B.向心加速度只改变线速度的方向,不改变线速度的大小
C.向心加速度大小恒定,方向时刻改变
D.向心加速度的大小可用 来计算
【解析】选B。加速度是描述速度变化快慢的物理量,向心加速
度是描述线速度方向变化快慢的物理量,因此A错,B对。只有匀
速圆周运动的向心加速度大小恒定,C错。公式 适用
于匀变速运动,圆周运动是变加速运动,D错。
二、对向心加速度公式的理解 拓展延伸
1.向心加速度公式:
(1)基本式:①an= ;②an=ω2r。
(2)拓展式:①an= ;②an=ωv。
2.推导:设质点沿半径为r的圆周做匀速圆周运动,在某时刻t位于A点的速度为vA,经过很短的时间Δt后运动到B点,速度为vB,把速度矢量vA和vB的始端移至一点,求出速度矢量的改变量Δv=vB-vA,如图甲、乙所示。
图乙中的矢量三角形与图甲中的三角形△OAB是相似三角形,
用v表示vA和vB的大小，用Δl表示弦AB的长度，则有:
所以加速度
而当Δt趋近于零时, 表示线速度的大小v,于是得到
再由v=rω得an=ω2r。
3.向心加速度的大小与半径的关系:
(1)当半径一定时,向心加速度的大小与角速度的平方成正比,也与线速度的平方成正比。随频率的增大或周期的减小而增大。
(2)当角速度一定时,向心加速度与运动半径成正比。
(3)当线速度一定时,向心加速度与运动半径成反比。
(4)an与r的关系图像:如图所示。由an-r图像可以看出:an与r成正比还是反比,要看ω恒定还是v恒定。
【微思考】
(1)向心加速度公式an= 和an=ω2r对变速圆周运动成立吗
提示:成立。公式an= 和an=ω2r不仅适用于匀速圆周运动,
也适用于变速圆周运动。
(2)如何用向心加速度公式求解圆周半径
提示:当向心加速度an、线速度v或角速度ω已知时,可利用向
心加速度公式an= 和an=ω2r计算圆周半径。
【题组通关】
【示范题】(2014·深圳高一检测)如图所示为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线。表示质点P的图线是双曲线的一支,表示质点Q的图线是过原点的一条直线。由图线可知( )
A.质点P的线速度大小不变
B.质点P的角速度大小不变
C.质点Q的角速度随半径变化
D.质点Q的线速度大小不变
【解题探究】(1)写出向心加速度的公式。
提示:向心加速度公式为an= 或an=ω2r。
(2)根据图像判断向心加速度随半径r变化的函数关系。
提示:质点P的向心加速度与半径r成反比;质点Q的向心加速度与半径r成正比。
【规范解答】选A。由an= 知:v一定时,an∝ ,即an与r成反
比;由an=rω2知:ω一定时,an∝r。从图像可知,质点P的图线是
双曲线的一支,即an与r成反比,可得质点P的线速度大小是不变
的。同理可知:质点Q的角速度是不变的。
【通关1+1】
1.一物体以4m/s的线速度做匀速圆周运动,转动周期为2s。则该
物体在运动过程中的任一时刻,速度变化率的大小为( )
A.2m/s2 B.4m/s2 C.0 D.4πm/s2
【解析】选D。速度变化率就是物体的加速度的大小,因为物体
做匀速圆周运动,所以速度的变化率就是物体的向心加速度的大
小。由 可得an=4πm/s2,D项正确。
2.(多选)由于地球自转,比较位于赤道上的物体1与位于北纬60°的物体2,则( )
A.它们的角速度之比ω1∶ω2=2∶1
B.它们的线速度之比v1∶v2=2∶1
C.它们的向心加速度之比a1∶a2=2∶1
D.它们的向心加速度之比a1∶a2=4∶1
【解析】选B、C。同在地球上,物体1与物体2的角速度相等,A错。
设物体1的轨道半径为R,则物体2的轨道半径为Rcos60°,所以v1∶v2=ωR∶ωRcos60°=2∶1,B对。a1∶a2=ω2R∶ω2Rcos60°
=2∶1,C对,D错。
3.(多选)一个小球以大小为a=4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R=1 m，则下列说法正确的是( )
A.小球运动的角速度为2 rad/s
B.小球做圆周运动的周期为π s
C.小球在t= 内通过的位移大小为
D.小球在π s内通过的路程为零
【解析】选A、B。由a=ω2R得角速度ω= =2 rad/s，A
对；周期T= =π s，B对；小球在t= 内通过 圆
周，位移大小为 ，C错；小球在π s内通过的路
程为一个圆周的长度2πR=2π m，D错。
【素养升华】
向心加速度公式的应用技巧
向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系,必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系。在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时,应按以下步骤进行:
(1)先确定各点是线速度大小相等,还是角速度相同。
(2)在线速度大小相等时,向心加速度与半径成反比,在角速度相同时,向心加速度与半径成正比。
【资源平台】备选角度:传动装置中的向心加速度
【示范题】(多选)如图所示,皮带传动装
置中,右边两轮连在一起共轴转动,图中
三轮半径分别为r1=3r,r2=2r,r3=4r;A、
B、C三点为三个轮边缘上的点,皮带不打滑。向心加速度分别为a1、a2、a3,则下列比例关系正确的是( )
【标准解答】选B、D。由于皮带不打滑，v1=v2，a=
故 A错，B对。由于右边两轮共轴转动，ω2=ω3，
a=rω2， C错、D对。
圆周运动的向心加速度与合加速度
在一般圆周运动中,合加速度通常有两个分量:切向加速度和向心加速度。切向加速度表示速度大小变化的快慢;向心加速度表示速度方向变化的快慢。
(1)物体做匀速圆周运动时,向心加速度就是物体的合加速度。
(2)如图所示的变速圆周运动,到达C点时,小球受绳水平拉力T和重力mg,合力斜向右下方,即小球的合加速度斜向右下方。它沿T方向(径向)的加速度即为向心加速度。
【案例展示】(多选)关于向心加速度,以下说法中正确的
是( )
A.物体做匀速圆周运动时,向心加速度就是物体的合加速度
B.物体做圆周运动时,向心加速度就是物体的合加速度
C.物体做圆周运动时的加速度的方向始终指向圆心
D.物体做匀速圆周运动时的加速度的方向始终指向圆心
【精讲精析】选A、D。物体做匀速圆周运动时,向心加速度就是物体的合加速度;物体做变速圆周运动时,向心加速度只是合加速度的一个分量,A正确,B错误。物体做匀速圆周运动时,只具有向心加速度,加速度方向始终指向圆心;物体做变速圆周运动时,圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度不再指向圆心,C错误,D正确。
【易错分析】本题易错选项及错误原因分析如下:
易错选项 错误原因
B 误认为变速圆周运动中向心加速度就是合加速度,导致错选B。实际上变速圆周运动中既有向心加速度,也有切向加速度
C 误将做圆周运动的物体的加速度与向心加速度混为一谈。实际上,物体做变速圆周运动时的合加速度是向心加速度与切向加速度的矢量和
【自我小测】
1.(2014·湛江高一检测)如图所示，圆轨道AB是在竖直平面内的 圆周，在B点轨道的切线是水平的，一质点自A点从静止开始下滑，滑到B点时的速度大小是 ，求：
(1)在质点刚要到达B点时的加速度大小；
(2)滑过B点时的加速度大小。
【解析】质点由A点到B点所做的运动是圆周运动的一部分，因
而质点刚要到达B点时的运动为圆周运动的一部分，其加速度
为向心加速度，大小为a= ，将v= 代入可得a=2g，质
点滑过B点后做平抛运动，只受重力作用，加速度大小为g。
(注：解题时一定要认真审题，充分挖掘题目中所给出的隐含
条件，如本题中的“到达B点时”和“滑过B点时”)
答案：(1)2g (2)g
2.如图所示,定滑轮的半径r=2cm,绕在定滑轮上的细线悬挂着一个重物,重物由静止开始释放,测得重物以加速度a=2m/s2做匀加速运动,在重物由静止下落1m的瞬间,定滑轮边缘上的点的角速度多大 向心加速度多大
【解析】定滑轮边缘点的线速度与物体的速度大小相等，下落1 m时为
由v=ωr得定滑轮边缘点的角速度
向心加速度
答案：100 rad/s 200 m/s2课时提升作业(四)
向心加速度
(15分钟·50分)
一、选择题(本题共5小题，每小题8分，共40分。多选题已在题号后标出)
1.(2015·唐山高一检测)下列各种运动中，不属于匀变速运动的是( )
A.斜抛运动 B.匀速圆周运动
C.平抛运动 D.竖直上抛运动
【解析】选B。抛体运动的加速度都等于g，是恒定不变的，都是匀变速运动；匀速圆周运动的加速度方向是不断改变的，是变加速运动，选项B正确。
2.关于做圆周运动物体的向心加速度的方向，下列说法中正确的是( )
A.与线速度方向始终相同
B.与线速度方向始终相反
C.始终指向圆心
D.始终保持不变
【解析】选C。向心加速度的方向与线速度方 ( http: / / www.21cnjy.com )向垂直，始终指向圆心，A、B错误，C正确；做匀速圆周运动物体的向心加速度的大小不变，而方向时刻变化，D错误。
3.A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动， ( http: / / www.21cnjy.com )A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30r/min，B的转速为15r/min。则两球的向心加速度之比为( )
A.1∶1 B.2∶1 C.4∶1 D.8∶1
【解析】选D。由题意知A、B两小球的角速度之比ωA∶ωB=nA∶nB=2∶1，所以两小球的向心加速度之比aA∶aB=RA∶RB=8∶1，D正确。
【补偿训练】我国发射的绕月探测卫星“嫦娥二号”在距月球表面200km高的圆形轨道上以127 min的周期运行一年，在绕月运行的过程中“嫦娥二号”卫星的向心加速度为(月球的半径为1 738 km)( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.1.32 m/s2 B.2.23 m/s2
C.3.8 m/s2 D.4.2 m/s2
【解析】选A。“嫦娥二号”卫星的向心加速度a=rω2=r()2=(1738+200)×103×()2m/s2=1.32 m/s2。
4.(多选)某同学放飞了一只纸飞机， ( http: / / www.21cnjy.com )恰好在空中盘旋，若近似认为纸飞机以速率v在水平面内做半径为r的匀速圆周运动，则关于纸飞机的向心加速度的说法正确的是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.大小为
B.大小为g-
C.方向在水平面内
D.方向在竖直面内
【解题指南】解答本题应注意以下两点：
(1)纸飞机向心加速度不同于重力加速度。
(2)确定向心加速度的方向时，可先确定纸飞机轨迹的圆心位置，然后确定向心加速度的方向。
【解析】选A、C。根据an=可知选项A正确；由于纸飞机在水平面内运动，向心加速度始终指向圆心，所以向心加速度的方向在水平面内，C正确。
5.(多选)一小球被细线拴着做匀速圆周运动，其半径为R，向心加速度为a，则
( )
A.小球相对于圆心的位移不变
B.小球的线速度大小为
C.小球在时间t内通过的路程s=
D.小球做圆周运动的周期T=2π
【解题指南】解答本题应注意以下三点：
(1)位移是矢量，位移不变指位移的大小、方向都不变。
(2)小球通过的路程为s=vt(v为线速度大小)。
(3)灵活应用公式an=和v=。
【解析】选B、D。小球做匀速圆周运动，各时刻相对圆心的位移大小不变，但方向时刻在变，A错；由a=得v=，B对；在时间t内通过的路程s=vt=t，C错；做圆周运动的周期T===2π，D对。
二、计算题(10分。要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位)
6.(2015·淮安高一检测)飞机由俯冲转为拉起的一段轨迹可以看成圆弧，如图所示，如果这段圆弧的半径r=800m，飞行员承受的加速度为8g。飞机在最低点P的速率不得超过多少？(g=10m/s2)
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】飞机在最低点做圆周运动，其向心加速度最大不得超过8g才能保证飞行员安全，由an=得v==m/s=80m/s。
答案：80m/s
(25分钟·50分)
一、选择题(本题共4小题，每小题8分，共32分。多选题已在题号后标出)
1.(多选)根据a=，在圆周运动中关于向心加速度的说法正确的是( )
A.向心加速度a与Δv成正比
B.向心加速度大小由Δv决定
C.向心加速度方向与Δv方向相同
D.向心加速度的大小等于
【解析】选C、D。a=是加速度的定义式，加速度是由物体所受的合力和物体的质量决定的，既不由Δv决定，也不与Δv成正比，选项A、B错误。根据加速度的定义式a=，加速度的方向与Δv方向相同，大小等于，选项C、D正确。
2.(多选)一小球质量为m，用长为L的悬绳(不可伸长，质量不计)固定于O点，在O点正下方处钉有一颗钉子。如图所示，将悬线沿水平方向拉直无初速度释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间，则( )
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A.小球的角速度突然增大
B.小球的线速度突然减小到零
C.小球的向心加速度突然增大
D.小球的向心加速度不变
【解析】选A、C。由于悬线与钉子接触时小球在水平方向上不受力，故小球的线速度不能发生突变，由于做圆周运动的半径变为原来的一半，由v=ωr知，角速度变为原来的2倍，A正确，B错误；由a=知，小球的向心加速度变为原来的2倍，C正确，D错误。
【补偿训练】如图所示，天车下吊着两个质量都是m的工件A和B，整体一起向左匀速运动。系A的吊绳较短，系B的吊绳较长，若天车运动到某处突然停止，此后A和B两工件的向心加速度aA、aB的大小关系是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.aA=aB B.aA>aB
C.aA【解析】选B。当天车突然停止时，A、B具有相同的速度，并都开始做圆周运动，根据an=可知，线速度一定时，向心加速度与半径成反比，所以A的向心加速度较大。
3.(2015·佛山高一检测)a、b两 ( http: / / www.21cnjy.com )辆玩具车在各自的圆轨道上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路程之比为3∶4，转过的角度之比为2∶3，则它们的向心加速度大小之比为( )
A.2∶1 B.1∶2
C.9∶16 D.4∶9
【解题指南】解答本题应注意以下两点：
(1)由两辆车相同时间内的路程之比可推出它们的线速度之比。
(2)由两辆车相同时间内转过的角度之比可推出它们的角速度之比。
【解析】选B。a、b两玩具车的线速度之比 ( http: / / www.21cnjy.com )va∶vb=sa∶sb=3∶4，角速度之比ωa∶ωb=θa∶θb=2∶3，故它们的向心加速度之比aa∶ab=vaωa∶vbωb=1∶2，B正确。
4.(2015·郑州高一检测)科幻电影《星际穿越》中描述了空间站中模拟地球上重力的装置。这个模型可以简化为如图所示的环形实验装置，外侧壁相当于“地板”。让环形实验装置绕O点旋转，能使“地板”上可视为质点的物体与在地球表面处有同样的“重力”，则旋转角速度应为(地球表面重力加速度为g，装置的外半径为R)( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A. B. C.2 D.
【解析】选A。为使“地板”上可视为质点的物体与在地球表面处有同样的“重力”，则物体的向心加速度应等于g，根据g=ω2R，可得ω=，选项A正确。
二、计算题(本题共2小题，共18分。要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位)
5.(8分)(2015·泉州高一检 ( http: / / www.21cnjy.com )测)某汽车以恒定的速率驶入一个狭长的90°圆弧形水平弯道，弯道两端连接的都是直道。有人在车内测量汽车的向心加速度随时间的变化关系如图乙所示。求：
( http: / / www.21cnjy.com )
(1)汽车转弯所用的时间。
(2)汽车行驶的速率。
【解析】(1)由题图乙可得汽车转弯所用的时间为：t=10s。
(2)汽车在转弯过程中做圆周运动的周期T=4t=40s，由an=r，可得：r=63.7m，由an=，解得v=10m/s
答案：(1)10s (2)10 m/s
6.(10分)一圆柱形小物块放在转盘上，并随着转盘一起绕O点匀速转动。通过频闪照相技术对其进行研究，从转盘的正上方拍照，得到的频闪照片如图所示，已知频闪仪的闪光频率为30Hz，转动半径为2m，该转盘转动的角速度和物块的向心加速度是多少？
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】闪光频率为30Hz，就是说每隔s闪光一次，由频闪照片可知，转一周要用6个时间间隔，即s，所以转盘转动的角速度为ω==10πrad/s
物块的向心加速度为a=ω2r=200π2m/s2
答案：10πrad/s 200π2m/s2(共49张PPT)
5
向心加速度
一、感受圆周运动的向心加速度
1.两个匀速圆周运动的实例：
实例 地球绕太阳做(近似的)匀速圆周运动 光滑桌面上的小球在细线的牵引下，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动
受力
分析 地球受太阳的引力，引力方向指向_________，即地球轨迹的_____ 小球受重力、支持力、拉力三个力，合力总是指向轨迹的
_____
加速度
分析 由牛顿第二定律知，加速度方向与其合外力方向相同，指向_____
太阳中心
圆心
圆心
圆心
2.总结：圆周运动是_____运动，_____运动必有加速度，匀速圆周
运动的加速度指向_____。
变速
变速
圆心
【判一判】(1)匀速圆周运动是加速度不变的曲线运动。( )
(2)匀速圆周运动的向心加速度的方向始终与速度方向垂直。( )
(3)物体做匀速圆周运动时，速度变化量为零。( )
提示：(1)×。匀速圆周运动加速度的方向是不断变化的，所以匀速圆周运动是加速度变化的曲线运动。
(2)√。匀速圆周运动的向心加速度的方向始终指向圆心，与线速度方向垂直。
(3)×。速度变化量是末速度与初速度的矢量差，物体做匀速圆周运动时，速度方向不断变化，速度变化量不为零。
二、向心加速度
1.定义：任何做匀速圆周运动的物体具有的指向_____的加速度。
2.大小：
(1)an=_______。
(2)an=____。
圆心
ω2r
【想一想】地球在不停地公转和自转，关于地球的自转，思考以下问题：
地球上各地的角速度大小、线速度大小、向心加速度大小是否相同？
提示：地球上各地自转的周期都是24h，所以地球上各地的角速度大小相同，但由于各地自转的半径不同，根据v=ωr可知各地的线速度大小不同。地球上各地自转的角速度相同，半径不同，根据an=ω2r可知，各地的向心加速度大小因自转半径的不同而不同。
一、向心加速度的理解
思考探究：
如图所示，地球绕太阳做匀速圆周运动，小球绕细绳的另一端在水平面内做匀速圆周运动，请思考：
(1)在匀速圆周运动过程中，地球、小球的运动状态发生变化吗？若变化，变化的原因是什么？
(2)向心加速度改变物体的速度大小吗？
提示：(1)地球和小球的速度方向不断发生变化，所以运动状态发生变化。运动状态发生变化的原因是受到力的作用。
(2)向心加速度的方向始终与速度方向垂直，所以它只改变速度的方向，不改变速度的大小。
【归纳总结】
1.物理意义：描述线速度改变的快慢，只表示速度方向变化的快慢，不表示速度大小变化的快慢。
2.方向：不论向心加速度an的大小是否变化，an的方向始终指向圆心，是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动是一种变加速曲线运动。
3.无论是匀速圆周运动，还是变速圆周运动都有向心加速度，且方向都指向圆心。
【典例示范】(多选)(2015·和平区高一检测)关于向心加速度，以下说法正确的是( )
A.向心加速度的方向始终与速度方向垂直
B.向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C.物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D.物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
【解题探究】
(1)向心加速度的方向有什么特点？
提示：向心加速度的方向始终指向圆心。
(2)匀速圆周运动与变速圆周运动的加速度有什么区别？
提示：匀速圆周运动只有向心加速度，变速圆周运动既有向心加速度，又有切向加速度。
【正确解答】选A、B、D。向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与速度方向垂直，只改变线速度的方向，选项A、B正确。物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心，选项D正确。物体做变速圆周运动时，物体的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不指向圆心，选项C错误。
【过关训练】
1.(2015·德州高一检测)如图所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在光滑水平面内做匀速圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，下列图中正确的是( )
【解析】选B。做匀速圆周运动的物体的加速度就是向心加速度，其方向指向圆心，B项正确。
2.关于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是( )
A.它描述的是线速度大小变化的快慢
B.它描述的是线速度方向变化的快慢
C.它描述的是物体运动的路程变化的快慢
D.它描述的是角速度变化的快慢
【解析】选B。加速度始终与线速度方向垂直，故向心加速度只表示线速度方向改变的快慢，不表示线速度的大小改变的快慢，也不表示角速度变化的快慢，A、D错误，B正确。圆周运动中，线速度是描述物体运动路程变化快慢的物理量，C错误。
【补偿训练】1.下列关于匀速圆周运动的性质的说法正确的是( )
A.匀速运动 B.匀加速运动
C.加速度不变的曲线运动 D.变加速曲线运动
【解析】选D。匀速圆周运动是变速运动，它的加速度大小不变，方向不断改变，故匀速圆周运动是变加速曲线运动，选项D正确。
2.做匀速圆周运动的两物体甲和乙，它们的向心加速度分别为a1和a2，且a1>a2，下列判断正确的是( )
A.甲的线速度大于乙的线速度
B.甲的角速度比乙的角速度小
C.甲的轨道半径比乙的轨道半径小
D.甲的速度方向比乙的速度方向变化快
【解析】选D。由于不知甲和乙做匀速圆周运动的半径大小关系，故不能确定它们的线速度、角速度的大小关系，A、B、C错。向心加速度是表示线速度方向变化快慢的物理量，a1>a2，表明甲的速度方向比乙的速度方向变化快，D对。
【规律方法】速度变化量的确定方法
(1)速度变化量的计算为矢量运算，速度变化量是末速度与初速度的矢量差。若以Δv、v0为邻边作平行四边形，v是两边所夹的对角线。也可以应用三角形定则确定三者关系。
(2)在匀速圆周运动中，物体由A运动到B，其速度变化量如图所示：
二、向心加速度公式的理解
思考探究：
如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，A、B、C是它们边缘上的三个点，请思考：
(1)哪两个点的向心加速度与半径成正比？
(2)哪两个点的向心加速度与半径成反比？
提示：(1)B、C两个点的角速度相同，向心加速度与半径成正比。
(2)A、B两个点的线速度相同，向心加速度与半径成反比。
【归纳总结】
1.公式的推导：设质点沿半径为r的圆周做匀速圆周运动，在某时刻t位于A点的速度为vA，经过很短的时间Δt后运动到B点，速度为vB，把速度矢量vA和vB的始端移至一点，求出速度矢量的改变量Δv=vB-vA，如图甲、乙所示。
图乙中的矢量三角形与图甲中的三角形△OAB是相似三角形，用v表示
vA和vB的大小，用Δl表示弦AB的长度，则有：
所以加速度
而当Δt趋近于零时， 表示线速度的大小v，于是得到
再由v=rω得an=ω2r。
2.向心加速度公式：
当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比，随频率的增大或周期的减小而增大。
3.向心加速度与半径的关系：
(1)若ω为常数，根据an=ω2r可知，向心加速度与r成正比，如图甲所示。
(2)若v为常数，根据an= 可知，向心加速度与r成反比，如图乙所示。
(3)若无特定条件，则不能确定向心加速度与r是成正比还是反比。
【典例示范】如图所示为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线。表示质点P的图线是双曲线的一支，表示质点Q的图线是过原点的一条直线。由图线可知( )
A.质点P的线速度大小不变
B.质点P的角速度大小不变
C.质点Q的角速度随半径变化
D.质点Q的线速度大小不变
【解题探究】
(1)写出向心加速度的公式。
提示：向心加速度公式为an= 或an=ω2r。
(2)质点P、Q的图像分别表明向心加速度与半径r有什么样的函数关系。
提示：质点P的向心加速度与半径r成反比，质点Q的向心加速度与半径r成正比。
【正确解答】选A。由an= 知：v一定时，an∝ ，即an与r成
反比；由an=rω2知：ω一定时，an∝r。从图像可知，质点P的图线
是双曲线的一支，即an与r成反比，可得质点P的线速度大小是不变
的。同理可知：质点Q的角速度是不变的。
【过关训练】
1.(拓展延伸)在【典例示范】中，若质点P、Q做圆周运动时，质点P的线速度大小不变，质点Q的角速度大小不变。试画出质点P的向心加速度随角速度变化的图像和质点Q的向心加速度随线速度变化的图像。
【解析】质点P的线速度大小不变，根据an=ωv，质点P的向心加速度与角速度成正比，图像如图甲所示。质点Q的角速度大小不变，根据an=ωv，质点Q的向心加速度与线速度成正比，图像如图乙所示。
答案：见解析
2.(2015·蚌埠高一检测)如图所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么( )
A.加速度为零
B.加速度恒定
C.加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心
D.加速度大小不变，方向时刻指向圆心
【解析】选D。由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，选项D正确，A、B、C错误。
【补偿训练】1.(多选)由于地球自转，比较位于赤道上的物体1与位于北纬60°的物体2，则( )
A.它们的角速度之比ω1∶ω2=2∶1
B.它们的线速度之比v1∶v2=2∶1
C.它们的向心加速度之比a1∶a2=2∶1
D.它们的向心加速度之比a1∶a2=4∶1
【解析】选B、C。同在地球上，物体1与物体2的角速度相等，A错。设物体1的轨道半径为R，则物体2的轨道半径为Rcos60°，所以v1∶v2=ωR∶ωRcos60°=2∶1，B对。a1∶a2=ω2R∶ω2Rcos60° =2∶1，C对，D错。
2.(2015·连云港高一检测)一物体以12m/s的线速度做匀速圆周运动，转动周期为3s，则物体在运动过程中的任一时刻，速度变化率的大小为( )
A. m/s2 B.8m/s2
C.0 D.8πm/s2
【解析】选D。由于物体的线速度v=12m/s，角速度ω= rad/s。
所以它的速度变化率an=vω=12× m/s2=8πm/s2，选项D正确。
【规律方法】向心加速度公式的应用
向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系。在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时，应按以下步骤进行：
(1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同。
(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同
时，向心加速度与半径成正比。
(3)向心加速度公式an= 和an=ω2r不仅适用于匀速圆周运动，也适
用于变速圆周运动。
【拓展例题】考查内容：传动装置中的向心加速度
【典例示范】(多选)如图所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一起共轴转动，图中三轮半径分别为r1=3r，r2=2r，r3=4r；A、B、C三点为三个轮边缘上的点，皮带不打滑。向心加速度分别为a1、a2、a3，则下列比例关系正确的是( )
【正确解答】选B、D。由于皮带不打滑，v1=v2，a= 故
A错，B对。由于右边两轮共轴转动，ω2=ω3，a=rω2，
C错、D对。
向心加速度的计算问题
【典例示范】
一质点沿着半径r=1m的圆周以n=2r/s的转速匀速转动，如图所示：试求：
(1)从A点开始计时，经过 s的时间质点速度的变化。
(2)质点的向心加速度的大小。
【现场答案】
【找错·纠错】分析上述解析过程，你知道错在哪里吗？
错因：(1)将矢量运算理解为标量运算，事实上，速度变化量是矢量，遵循矢量运算法则。
(2)概念混乱，将转速当成角速度使用。
正解：(1)ω=2πn=4πrad/s，v=2πrn=4πm/s
经过 s质点转过的角度：θ=ωt=
Δv的大小和方向如图：
由几何知识可得：
Δv= v=4 πm/s，方向与水平方向成45°角斜向下。
(2)由an=ω2r，ω=2πn可得：
an=4π2n2r=16π2m/s2
答案：(1)4 πm/s，方向与水平方向成45°角斜向下 (2)16π2m/s2
【补偿训练】如图所示，定滑轮的半径r=2cm，绕在定滑轮上的细线悬挂着一个重物，重物由静止开始释放，测得重物以加速度a=2m/s2做匀加速运动，在重物由静止下落1m的瞬间，定滑轮边缘上的点的角速度多大？向心加速度多大？
【解析】定滑轮边缘点的线速度与物体的速度大小相等，下落1m时为
由v=ωr得定滑轮边缘点的角速度
向心加速度an= m/s2=200m/s2。
答案：100rad/s 200m/s2课时提升作业(四)
向心加速度
一、选择题(本题共5小题,每小题7分,共35分。多选题已在题号后标出)
1.(2014·德州高一检测)关于做圆周运动物体的向心加速度的方向,下列说法中正确的是( )
A.与线速度方向始终相同 B.与线速度方向始终相反
C.始终指向圆心 D.始终保持不变
【解析】选C。向心加速度的方向与线速度方向垂直,始终指向圆心,A、B错误,C正确;做匀速圆周运动物体的向心加速度的大小不变,而方向时刻变化,D错误。
2.关于匀速圆周运动及向心加速度,下列说法中正确的是( )
A.匀速圆周运动是一种匀速运动
B.匀速圆周运动是一种匀变速曲线运动
C.向心加速度描述线速度大小变化的快慢
D.匀速圆周运动是加速度方向不断改变的变速运动
【解析】选D。向心加速度与线速度方向始终 ( http: / / www.21cnjy.com )垂直,改变线速度的方向,不改变线速度的大小,C错误。向心加速度的方向时刻改变,所以匀速圆周运动是加速度方向不断改变的变加速曲线运动,A、B错误,D正确。
【总结提升】向心加速度与合加速度的关系
(1)物体做匀速圆周运动时,向心加速度就是物体运动的合加速度。
(2)变速圆周运动的合加速度可分解为沿半径 ( http: / / www.21cnjy.com )指向圆心的向心加速度an和沿切线方向的切向加速度at。向心加速度an描述的是速度方向变化的快慢,切向加速度at描述的是速度大小变化的快慢。
(3)物体做匀速圆周运动时,切向加速度为零。
3.A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动 ( http: / / www.21cnjy.com ),A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍,A的转速为30r/min,B的转速为15r/min。则两球的向心加速度之比
为( )
A.1∶1 B.2∶1
C.4∶1 D.8∶1
【解析】选D。由题意知A、B两小球的角速度之比ωA∶ωB=nA∶nB=2∶1,所以两小球的向心加速度之比aA∶aB=RA∶RB=8∶1,D正确。
4.(多选)如图所示为摩擦传动装置,B轮转动时带动A轮跟着转动,已知转动过程中轮缘间无打滑现象,下述说法中正确的是( )
A.A、B两轮转动的方向相同
B.A与B转动方向相反
C.A、B转动的角速度之比为1∶3
D.A、B轮缘上点的向心加速度之比为3∶1
【解析】选B、C。A、B两轮属齿轮传动,A、B两轮的转动方向相反,A错,B对。A、B两轮边缘的线速度大小相等,由ω=知,==,C对。根据a=得,==,D错。
【变式训练】如图所示是自行车的轮盘与车轴上的飞轮之间的链条传动装置。P是轮盘的一个齿,Q是飞轮上的一个齿。下列说法中正确的是( )
( http: / / www.21cnjy.com )
A.P、Q两点角速度大小相等
B.P、Q两点向心加速度大小相等
C.P点向心加速度小于Q点向心加速度
D.P点向心加速度大于Q点向心加速度
【解析】选C。P、Q两点线速度大小相等,由ω=知,ω∝,ωP<ωQ,A错;由a=知,a∝,aP5.(多选)(2014·临沂高一检测)一小球被细线拴着做匀速圆周运动,其半径为R,向心加速度为a,则( )
A.小球相对于圆心的位移不变
B.小球的线速度大小为
C.小球在时间t内通过的路程s=
D.小球做圆周运动的周期T=2π
【解题指南】解答本题应注意以下三点:
(1)位移是矢量,位移不变指位移的大小、方向都不变。
(2)小球通过的路程为s=vt(v为线速度大小)。
(3)灵活应用公式an=和v=。
【解析】选B、D。小球做匀速圆周运动,各时刻相对圆心的位移大小不变,但方向时刻在变,A错;由a=得v=,B对;在时间t内通过的路程s=vt=t,C错;做圆周运动的周期T===2π,D对。
二、非选择题(15分)
6.(2014·厦门高一检 ( http: / / www.21cnjy.com )测)如图所示,甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动,甲沿顺时针方向做匀速圆周运动,圆半径为R;乙做自由落体运动,当乙下落至A点时,甲恰好第一次运动到最高点B,求甲物体做匀速圆周运动的向心加速度。
【解析】设乙下落到A点所用时间为t,则:
对乙:R=gt2,解得:t=
这段时间内甲运动了T,即T=
又有:a=Rω2=R,解得:a=π2g
答案:π2g
一、选择题(本题共4小题,每小题7分,共28分。多选题已在题号后标出)
1.下列关于匀速圆周运动的性质的说法正确的是( )
A.匀速运动 B.匀加速运动
C.加速度不变的曲线运动 D.变加速曲线运动
【解析】选D。匀速圆周运动是变速运动,它的加速度大小不变,方向始终指向圆心,是变量,故匀速圆周运动是变加速曲线运动,A、B、C错,D对。
2.(2014·德州高一检测)物体做半 ( http: / / www.21cnjy.com )径为R的匀速圆周运动,它的向心加速度、角速度、线速度和周期分别为an、ω、v和T。下列关系式不正确的是( )
A.ω=
B.v=
C.an=ωv
D.T=2π
【解析】选D。由an=Rω2,v=Rω可得ω=,v=,an=ωv,即A、B、C正确;又由T=与ω=得T=2π,即D错误。
3.(多选)一小球质量为m,用长为L的悬绳(不可伸长,质量不计)固定于O点,在O点正下方处钉有一颗钉子。如图所示,将悬线沿水平方向拉直无初速度释放后,当悬线碰到钉子后的瞬间,则( )
A.小球的角速度突然增大
B.小球的线速度突然减小到零
C.小球的向心加速度突然增大
D.小球的向心加速度不变
【解析】选A、C。由于悬线与钉子接触时小球在水平方向上不受力,故小球的线速度不能发生突变,由于做圆周运动的半径变为原来的一半,由v=ωr知,角速度变为原来的2倍,A正确,B错误;由a=知,小球的向心加速度变为原来的2倍,C正确,D错误。
4.如图所示,地球绕过球心的轴O1O2以角速度ω旋转,A、B为地球上两点,下列说法中正确的是( )
A.A、B两点具有相同的角速度
B.A、B两点具有相同的线速度
C.A、B两点具有相同的向心加速度
D.A、B两点的向心加速度方向都指向球心
【解题指南】解答该题要明确以下两点:
(1)地球上各点的角速度都一样,都等于地球自转的角速度;
(2)地球表面上某点做圆周运动的平面都与赤道平面平行,圆心是该平面与地球转轴的交点。
【解析】选A。A、B两点随地球自转,角速度等于地球自转的角速度,A正确;A、B两点做圆周运动的半径不同,根据v=ωr可知B错误;根据a=ω2r可知,A、B两点的向心加速度不同,C错误;A、B两点的向心加速度方向都指向各自所在纬度圈的圆心,D错误。
【总结提升】巧比向心加速度
(1)应用向心加速度公式an==ω2r时应注意:
①在线速度v一定的情况下,方可认为物体的向心加速度an与半径r成反比。
②在角速度ω一定的情况下,可认为向心加速度an与半径r成正比。
③因为向心加速度的每个公式都涉及三个物理量的变化关系,所以必须在某一物理量不变时,才可以判断另外两个物理量之间的关系。
(2)在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时,应先确定各点是线速度相同还是角速度相同,然后再选用相应的向心加速度公式进行比较。
二、非选择题(本题共2小题,共22分)
5.(10分)飞行员从俯冲状态往上拉时,会发生黑视,第一是因为血压降低,导致视网膜缺血;第二是因为脑缺血。飞行员要适应这种情况,必须进行严格的训练,故飞行员的选拔是非常严格的。为了使飞行员适应飞行要求,要用如图所示的仪器对飞行员进行训练,飞行员坐在一个在竖直平面内做匀速圆周运动的舱内边缘,要使飞行员的加速度a=6g,则角速度需要多大 ( R=20m,g取10m/s2)
【解析】根据a=ω2R,可得ω==rad/s。
答案:rad/s
【变式训练】甲、乙两物体以大小相等 ( http: / / www.21cnjy.com )的线速度做匀速圆周运动,它们的质量之比为1∶3,轨道半径之比为3∶4,则甲、乙两物体的向心加速度之比为( )
A.1∶3 B.3∶4 C.4∶3 D.3∶1
【解析】选C。甲、乙两物体的线速度大小相等,根据a=得,a甲∶a乙=r乙∶r甲=4∶3,C正确。
6.(12分)一圆柱形小物块放在转盘上,并随着转盘一起绕O点匀速转动。通过频闪照相技术对其进行研究,从转盘的正上方拍照,得到的频闪照片如图所示,已知频闪仪的闪光频率为30Hz,转动半径为2m,该转盘转动的角速度和物块的向心加速度是多少
【解析】闪光频率为30Hz,就是说每隔s闪光一次,由频闪照片可知,转一周要用6个时间间隔,即s,所以转盘转动的角速度为ω==10πrad/s
物块的向心加速度为a=ω2r=200π2m/s2
答案:10πrad/s 200π2m/s2 