初中数学同步训练必刷培优卷（北师大版七年级下册6.3等可能事件的概率）
一、选择题
1．（2021七下·顺德期末）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：观察这个图可知：黑色区域（5块）的面积占总面积（9块）的 ，
则它最终停留在黑砖上的概率是 ．
故答案为：B．
【分析】根据几何概率的求法即可得出。
2．（2021七下·垦利期末）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的编号1－5的小正方形中任意一个涂黑，则所得图案是一个轴对称图形的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用轴对称设计图案；概率公式
【解析】【解答】解：选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，
选择的位置有以下几种：1处，2处，4处，5处，选择的位置共有4处，
其概率 ．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称的概念即可作答。
3．（2021七下·武侯期末）掷一枚质地均匀的骰子，前3次都是6点朝上，掷第4次时6点朝上的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：掷一枚质地均匀的骰子，前3次都是6点朝上，
掷第4次时，不会受前3次的影响，
掷第4次时仍有6种等可能出现的结果，其中6点朝上的有1种，
所以掷第4次时6点朝上的概率是 ，
故答案为：D.
【分析】掷第4次时有6种等可能出现的结果，其中6点朝上的有1种，然后根据概率公式进行计算.
4．（2021七下·龙泉驿期末）如图，现有若干个边长相等的小等边三角形组成的图形，其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），在空白的三角形中只涂黑一个小三角形，使整个图案成轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；概率公式
【解析】【解答】解：如图所示：
空白的三角形一共有9个，在空白的三角形中只涂黑一个小三角形，使整个图案成轴对称图形的情况有2个，则概率是 ，
故答案为：B.
【分析】找出能形成轴对称图形的情况数，然后根据概率公式进行计算.
5．（2021七下·光明期末）如图是一个4×4的方格，若在这个方格内投掷飞镖，则飞镖恰好落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：如图：正方形的面积为4×4＝16，阴影部分占5份，飞镖落在阴影区域的概率是 ；
故答案为：C．
【分析】本题要理解等可能事件的概率，注意飞镖落到每个方格的概率都是相同的
6．（2019七下·郑州期末）某小组作“用频率估计概率的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：A、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为 ≈0.17，故A符合题意；
B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是： ；故B不符合题意；
C.暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为 ，故C不符合题意；
D.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀“的概率为 ，故D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据折线统计图可知：试验结果在0.17附近波动，故概率，是0.17，根据简单概率的计算方法算出各个事件的概率，再比较即可得出答案。
7．（2019七下·定边期末）如图把一个圆形转盘按 的比例分成A，B，C，D四个扇形区域，自由转动转盘，停止后指针落在B区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵一个圆形转盘按1：2：3：4的比例分成A、B、C、D四个扇形区域，
∴圆被等分成10份，其中B区域占2份，
∴落在B区域的概率= = ；
故答案为：B.
【分析】首先确定在图中B区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向B区域的概率.
8．（2019七下·永寿期末）正方形地板由9块边长均相等的小正方形组成，米粒随机地撒在如图所示的正方形地板上，那么米粒最终停留在黑色区城的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】∵由图可知，黑色方砖2块，共有9块方砖，
∴黑色方砖在整个地板中所占的面积的比值＝ ，
∴米粒停在黑色区域的概率是 .
故答案为：B.
【分析】求出黑色方砖在整个地板中所占的面积的比值即可解决问题；
9．（2019七下·江汉期末）某同学为了估算瓶子中有多少颗豆子，首先从瓶中取出60颗并做上记号，接着将所有做好记号的豆子放回瓶中充分摇匀.当再从瓶中取出100颗豆子时，发现其中有12颗豆子标有记号，根据实验估计该瓶装有豆子大约（ ）
A．800颗 B．500颗 C．300颗 D．150颗
【答案】B
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：该瓶装有豆子大约为x颗，根据题意得，
，
解得：x=500
经检验：x=500是原方程的解，
∴该瓶装有豆子大约为500颗.
故答案为：B.
【分析】根据100颗豆子中有12颗带标记，计算取得带标记的实验频率，再根据取得60颗带标记的豆子的概率近似等于实验频率，列式求解.
10．（2019七下·台州月考）为估计鱼塘中鱼的数量，先从鱼塘中随机打捞50条鱼并在每条鱼上做上标记，然后等这50条鱼完全混合在鱼群中时再从鱼群中随机打捞50条，发现其中有2条鱼身上有前面做过的标记，则鱼塘中鱼的数量约有（ ）条.
A．1200 B．1250 C．1300 D．1350
【答案】B
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：50÷(2÷50)=1250(条)，
即鱼塘里大约有鱼1250条。
故答案为：B。
【分析】用第二次打捞起来的鱼中打过记号的鱼的数量除以第二次打捞起来的鱼的数量得出样本中做过标记的鱼的概率，再用池塘中打过标记的鱼的总数量除以样本中打过标记的鱼的概率，即可算出鱼塘中鱼的数量 。
二、填空题
11．（2023七下·盐湖期末）七巧板起源于我国宋代，后流传于世界各国．在“综合与实践”课堂上，兴趣小组同学用一张正方形纸板依据图1，经过折叠、剪切，制作了如图2所示的七巧板，再拼成如图3所示的作品，最后在作品上随机钉一枚图钉，将其固定在桌面上，则图钉的钉尖恰好落在①区域的概率是 ．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵①是平行四边形BEGH，
∴①的面积=S△BIC=S正方形ABCD=S正方形ABCD，
∴P（图钉的钉尖恰好落在①区域）=，
故答案为：.
【分析】先求出①的面积=S△BIC=S正方形ABCD=S正方形ABCD，再利用几何概率公式求解即可.
12．（2021七下·城阳期末）提出问题：在不透明口袋中放入16种颜色的小球（小球除颜色外完全相同）各50个，现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需要摸出多少个小球？
建立模型：为解决上面的“问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：
（1）在不透明的口袋中装有红、黄、蓝三种颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现在要确保从口袋中随机摸出的小球至少有4个是同色的，则最少需要摸出多少个小球？为了找到解决问题的办法，我们可以把上述问题简单化：
①我们首先考虑最简单的情况：既要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需要再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需要摸出小数的个数是：1+3=4；
②若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？
我们只需要在①的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可以确保至少有3个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×2=7
③若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个小球同色，即最少需要摸出小球的个数是：1+3×3=10
④若要确保从口袋中摸出的小球至少有a个是同色的呢？即最少需要摸出小球的个数是 ．
（2）模型拓展一：在不透明的口袋中装有红、黄、蓝、白、绿、紫六种颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现在从袋中随机摸球：
①若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是 ；
②若要确保摸出的小球至少有12个同色，则最少需摸出小球的个数是 ；
③若要确保摸出的小球至少有a个同色（a<50），则最少需摸出小球的个数是 ；
（3）模型拓展二：在不透明口袋中装有n中颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现从袋中随机魔球：
①若要确保摸出的小球至少有3个同色，则最少需摸出小球的个数是
②若要确保摸出的小球至少有a个同色（a<50），则最少需摸出小球的个数是 ．
（4）问题解决：在不透明口袋中放入16种颜色的小球（小球除颜色外完全相同）各50个，现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出小球的个数是 ．
【答案】（1）1+3（a-1）
（2）1+6=7；1+6×11=67；1+6（a-1）
（3）1+2n；1+n（a-1）
（4）145
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：建立模型：为解决上面的“问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：
在不透明的口袋中装有红、黄、蓝三种颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现在要确保从口袋中随机摸出的小球至少有4个是同色的，则最少需要摸出多少个小球？为了找到解决问题的办法，我们可以把上述问题简单化：
①我们首先考虑最简单的情况：既要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需要再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需要摸出小数的个数是：1+3=4；
②若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？
我们只需要在①的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可以确保至少有3个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×2=7．
③若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个小球同色，即最少需要摸出小球的个数是：1+3×3=10；…
④若要确保从口袋中摸出的小球至少有a个是同色的呢？
即最少需要摸出小球的个数是1+3（a-1）．
故答案为：1+3（a-1）
模型拓展一：在不透明的口袋中装有红、光、蓝、白、绿、紫六种颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现在从袋中随机摸球：
①若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是1+6=7；
②若要确保摸出的小球至少有12个同色，则最少需摸出小球的个数是1+6×11=67；
③若要确保摸出的小球至少有a个同色（a＜50），则最少需摸出小球的个数是1+6（a-1）；
故答案为：1+6=7；1+6×11；1+6（a-1）；
模型拓展二：在不透明口袋中装有n种颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现从袋中随机魔球：
①若要确保摸出的小球至少有3个同色，则最少需摸出小球的个数是1+2n；
②若要确保摸出的小球至少有a个同色（a＜50），则最少需摸出小球的个数是1+n（a-1）；
故答案为：1+2n；1+n（a-1）
问题解决：1+9×16=145．
故最少需摸出小球的个数是145．
故答案为：145．
【分析】（1）利用类比和转化的思想结合活动中获得的数学经验与知识解决实际问题；
（2）利用类比和转化的思想结合活动中获得的数学经验与知识解决实际问题；
（3）利用类比和转化的思想结合活动中获得的数学经验与知识解决实际问题；
（4）根据模型拓展得到的规律，列出算式计算即可求解。
13．（2022七下·泾阳期末）有7张纸签，分别标有数字1，1，2，2，3，4，5，从中随机地抽出一张．抽出标有数字1的纸签的概率是 ．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵共有7个数字，其中有两个数字是1，
∴抽出标有数字1的纸签的概率=.
故答案为：.
【分析】根据题意，得出共有7个数字，其中有两个数字是1，然后利用概率公式计算即可.
14．（2022七下·历下期末）如图是一个寻宝游戏的戴宝图，分别有“花朵”，“太阳”，“月亮”三种图案，宝物（只有一个）藏在“月亮”下的概率是 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵共有12个方格，其中月亮占5个方格，
∴宝物（只有一个）藏在“月亮”下的概率是：，
故答案为：
【分析】利用概率公式求解即可。
15．（2022七下·宁阳期末）长度分别为3cm，4cm，5cm，9cm的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；概率公式
【解析】【解答】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．因此，
∵长度为3cm、4cm、5cm、9cm的四条线段，从中任取三条线段共有3，4，5；4，5，9；3，5，9；3，4，9四种情况，而能组成三角形的有3、4、5；共有1种情况，
∴能组成三角形的概率是．
【分析】利用三角形的三边关系和概率公式计算求解即可。
三、解答题
16．（2023七下·崂山期末）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：顾客消费100元以上（不包括100元），就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准打折区域顾客就可以获得此项待遇（转盘等分成8份，指针停在每个区域的机会相等）．
（1）甲顾客消费150元，求获得打折待遇的概率；
（2）乙顾客消费120元，求获得五折待遇的概率．
【答案】（1）解：∵转盘等分成8份，有5个打折的区域，
∴甲顾客消费150元，获得打折待遇的概率为；
（2）解：∵转盘等分成8份，有2个打五折的区域，
∴乙顾客消费120元，获得五折待遇的概率为．
【知识点】概率公式
【解析】【分析】（1）根据概率计算公式，求得打折的概率即可；
（2）根据概率计算公式，求得打五折的概率即可。
17．（2023七下·市南区期末）（1）材料一：甲、乙两个人做游戏：在一个不透明的口袋中装有张纸牌除数字外完全相同，它们分别标有数字，，，，，，，，从中随机摸出一张纸牌，若摸出纸牌上的数字是的倍数，则甲胜；若摸出纸牌上的数字是的倍数，则乙胜，请比较甲和乙谁获胜的概率大？
填，=或
（2）材料二：如图，某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘转盘被等分成个扇形，并规定：顾客每购买元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，若转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券，则顾客转动一次转盘获得元购物券的概率是 ．
（3）材料三：图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，停止后指针落在区域的概是 ．
【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
2的倍数有3个，其概率为：，则
3的倍数有4个，其概率为：，则
∴
故答案为：
（2）共20个扇形，其中绿色的有3个，则 则顾客转动一次转盘获得元购物券的概率是
故答案为：
（3）由图形可知，B区域的圆心角为：360°-90°=150°=120°
∴停止后指针落在区域的概为：
故答案为：
【分析】（1）根据简单事件的概率计算即可。
（2）根据简单事件的概率计算即可。
（3）根据简单事件的概率计算即可。
四、综合题
18．（2022七下·宝鸡期末）如图，端午节期间，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定顾客每购买200元商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针对准红、黄、绿的区域，顾客就可以分别获得50元、20元、10元的奖金，对准无色区域则无奖金（转盘被等分成16个扇形）．
（1）王老师购物210元，他获得奖金的概率是多少？
（2）张老师购物370元，他获得20元奖金的概率是多少？
（3）现商场想调整获得10元奖金的概率为 ，其他金额的获奖率不变，则需要将多少个无色区域涂上绿色？
【答案】（1）解：王老师购物210元，能获得一次转动转盘的机会，
他获得奖金的概率为 ．
（2）解：张老师购物370元，能获得一次转动转盘的机会，
他获得20元奖金的概率为 ．
（3）解：设需要将x个无色区域涂上绿色，
则有 ，解得 ，
所以需要将1个无色区域涂上绿色．
【知识点】几何概率；概率的简单应用
【解析】【分析】(1)因为消费210元，获得一次转动转盘的机会，结合题意，根据概率公式计算获得奖金的概率即可；
(2)因为消费370元，获得一次转动转盘的机会，根据概率公式计算获得20元奖金的概率即可；
(3)设需要将x个无色区域涂上绿色，根据获得10元奖金的概率为列方程求解，即可解答.
19．（2018-2019学年初中数学北师大版七年级下册第六章 概率初步 达标检测卷）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．由于该十字路口右拐弯处是通往新建经济开发区的，因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为 ，向左转和直行的频率均为 .
（1）假设平均每天通过该路口的汽车为5000辆，求汽车在此左转、右转、直行的车辆各是多少辆；
（2）目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，在绿灯总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你利用概率的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．
【答案】（1）解：汽车在此左转的车辆数为5000× ＝1500(辆)，(2分)在此右转的车辆数为5000× ＝2000(辆)，(4分)在此直行的车辆数为5000× ＝1500(辆)．
（2）解：根据频率估计概率的知识，得P(汽车向左转)＝ ，P(汽车向右转)＝ ，P(汽车直行)＝ .(9分)∴可调整绿灯亮的时间如下：左转绿灯亮的时间为90× ＝27(秒)，右转绿灯亮的时间为90× ＝36(秒)，直行绿灯亮的时间为90× ＝27(秒)
【知识点】概率的简单应用
【解析】【分析】（1）分别用5000乘以汽车在此十字路口向右转的频率、向左转和直行的频率，分别列式计算，就可求出答案。
（2）由汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，据此可分别求出调整绿灯亮的时间，分别用90乘以 汽车在此十字路口向右转的频率、向左转和直行的频率，分别列式计算，就可求出答案。
五、实践探究题
20．（2023七下·深圳期末）某商场进行“6·18”促销活动，设计了如下两种摇奖方式：
方式一：如图1，有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖；
方式二：如图2，一个均匀的转盘被等分成12份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这12个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为3的倍数则获奖．
（1）若采用方式一，骰子掷出后，“5”朝上的概率为 ；
（2）若采用方式二，当转盘停止后，指针指向的数字为“5”的概率为 ；
（3）小明想增加获奖机会，应选择哪种摇奖方式？请通过相关计算，应用概率相关知识说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）解：应选择方式二，理由如下：
采用方式一，（“6”朝上），
采用方式二，指针指向的数字为3的倍数有3，6，9，12，共4个，
∴（指针指向的数字为3的倍数），
∵，
∴方式二获奖机会大，
∴选方式二．
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1） "5"朝上的概率为；
故答案为：.
（2） "5"朝上的概率为；
故答案为：.
【分析】（1）利用标有5的面数除以总面数即得结论；
（2）利用标有5的份数除以总份数即得结论；
（3）分别计算出两种方式获奖的概率，再比较即可.
1 / 1初中数学同步训练必刷培优卷（北师大版七年级下册6.3等可能事件的概率）
一、选择题
1．（2021七下·顺德期末）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021七下·垦利期末）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的编号1－5的小正方形中任意一个涂黑，则所得图案是一个轴对称图形的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2021七下·武侯期末）掷一枚质地均匀的骰子，前3次都是6点朝上，掷第4次时6点朝上的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2021七下·龙泉驿期末）如图，现有若干个边长相等的小等边三角形组成的图形，其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），在空白的三角形中只涂黑一个小三角形，使整个图案成轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021七下·光明期末）如图是一个4×4的方格，若在这个方格内投掷飞镖，则飞镖恰好落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2019七下·郑州期末）某小组作“用频率估计概率的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
7．（2019七下·定边期末）如图把一个圆形转盘按 的比例分成A，B，C，D四个扇形区域，自由转动转盘，停止后指针落在B区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2019七下·永寿期末）正方形地板由9块边长均相等的小正方形组成，米粒随机地撒在如图所示的正方形地板上，那么米粒最终停留在黑色区城的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2019七下·江汉期末）某同学为了估算瓶子中有多少颗豆子，首先从瓶中取出60颗并做上记号，接着将所有做好记号的豆子放回瓶中充分摇匀.当再从瓶中取出100颗豆子时，发现其中有12颗豆子标有记号，根据实验估计该瓶装有豆子大约（ ）
A．800颗 B．500颗 C．300颗 D．150颗
10．（2019七下·台州月考）为估计鱼塘中鱼的数量，先从鱼塘中随机打捞50条鱼并在每条鱼上做上标记，然后等这50条鱼完全混合在鱼群中时再从鱼群中随机打捞50条，发现其中有2条鱼身上有前面做过的标记，则鱼塘中鱼的数量约有（ ）条.
A．1200 B．1250 C．1300 D．1350
二、填空题
11．（2023七下·盐湖期末）七巧板起源于我国宋代，后流传于世界各国．在“综合与实践”课堂上，兴趣小组同学用一张正方形纸板依据图1，经过折叠、剪切，制作了如图2所示的七巧板，再拼成如图3所示的作品，最后在作品上随机钉一枚图钉，将其固定在桌面上，则图钉的钉尖恰好落在①区域的概率是 ．
12．（2021七下·城阳期末）提出问题：在不透明口袋中放入16种颜色的小球（小球除颜色外完全相同）各50个，现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需要摸出多少个小球？
建立模型：为解决上面的“问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：
（1）在不透明的口袋中装有红、黄、蓝三种颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现在要确保从口袋中随机摸出的小球至少有4个是同色的，则最少需要摸出多少个小球？为了找到解决问题的办法，我们可以把上述问题简单化：
①我们首先考虑最简单的情况：既要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需要再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需要摸出小数的个数是：1+3=4；
②若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？
我们只需要在①的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可以确保至少有3个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×2=7
③若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个小球同色，即最少需要摸出小球的个数是：1+3×3=10
④若要确保从口袋中摸出的小球至少有a个是同色的呢？即最少需要摸出小球的个数是 ．
（2）模型拓展一：在不透明的口袋中装有红、黄、蓝、白、绿、紫六种颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现在从袋中随机摸球：
①若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是 ；
②若要确保摸出的小球至少有12个同色，则最少需摸出小球的个数是 ；
③若要确保摸出的小球至少有a个同色（a<50），则最少需摸出小球的个数是 ；
（3）模型拓展二：在不透明口袋中装有n中颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现从袋中随机魔球：
①若要确保摸出的小球至少有3个同色，则最少需摸出小球的个数是
②若要确保摸出的小球至少有a个同色（a<50），则最少需摸出小球的个数是 ．
（4）问题解决：在不透明口袋中放入16种颜色的小球（小球除颜色外完全相同）各50个，现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出小球的个数是 ．
13．（2022七下·泾阳期末）有7张纸签，分别标有数字1，1，2，2，3，4，5，从中随机地抽出一张．抽出标有数字1的纸签的概率是 ．
14．（2022七下·历下期末）如图是一个寻宝游戏的戴宝图，分别有“花朵”，“太阳”，“月亮”三种图案，宝物（只有一个）藏在“月亮”下的概率是 ．
15．（2022七下·宁阳期末）长度分别为3cm，4cm，5cm，9cm的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是 ．
三、解答题
16．（2023七下·崂山期末）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：顾客消费100元以上（不包括100元），就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准打折区域顾客就可以获得此项待遇（转盘等分成8份，指针停在每个区域的机会相等）．
（1）甲顾客消费150元，求获得打折待遇的概率；
（2）乙顾客消费120元，求获得五折待遇的概率．
17．（2023七下·市南区期末）（1）材料一：甲、乙两个人做游戏：在一个不透明的口袋中装有张纸牌除数字外完全相同，它们分别标有数字，，，，，，，，从中随机摸出一张纸牌，若摸出纸牌上的数字是的倍数，则甲胜；若摸出纸牌上的数字是的倍数，则乙胜，请比较甲和乙谁获胜的概率大？
填，=或
（2）材料二：如图，某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘转盘被等分成个扇形，并规定：顾客每购买元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，若转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券，则顾客转动一次转盘获得元购物券的概率是 ．
（3）材料三：图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，停止后指针落在区域的概是 ．
四、综合题
18．（2022七下·宝鸡期末）如图，端午节期间，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定顾客每购买200元商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针对准红、黄、绿的区域，顾客就可以分别获得50元、20元、10元的奖金，对准无色区域则无奖金（转盘被等分成16个扇形）．
（1）王老师购物210元，他获得奖金的概率是多少？
（2）张老师购物370元，他获得20元奖金的概率是多少？
（3）现商场想调整获得10元奖金的概率为 ，其他金额的获奖率不变，则需要将多少个无色区域涂上绿色？
19．（2018-2019学年初中数学北师大版七年级下册第六章 概率初步 达标检测卷）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．由于该十字路口右拐弯处是通往新建经济开发区的，因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为 ，向左转和直行的频率均为 .
（1）假设平均每天通过该路口的汽车为5000辆，求汽车在此左转、右转、直行的车辆各是多少辆；
（2）目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，在绿灯总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你利用概率的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．
五、实践探究题
20．（2023七下·深圳期末）某商场进行“6·18”促销活动，设计了如下两种摇奖方式：
方式一：如图1，有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖；
方式二：如图2，一个均匀的转盘被等分成12份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12这12个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为3的倍数则获奖．
（1）若采用方式一，骰子掷出后，“5”朝上的概率为 ；
（2）若采用方式二，当转盘停止后，指针指向的数字为“5”的概率为 ；
（3）小明想增加获奖机会，应选择哪种摇奖方式？请通过相关计算，应用概率相关知识说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：观察这个图可知：黑色区域（5块）的面积占总面积（9块）的 ，
则它最终停留在黑砖上的概率是 ．
故答案为：B．
【分析】根据几何概率的求法即可得出。
2．【答案】B
【知识点】利用轴对称设计图案；概率公式
【解析】【解答】解：选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，
选择的位置有以下几种：1处，2处，4处，5处，选择的位置共有4处，
其概率 ．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称的概念即可作答。
3．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：掷一枚质地均匀的骰子，前3次都是6点朝上，
掷第4次时，不会受前3次的影响，
掷第4次时仍有6种等可能出现的结果，其中6点朝上的有1种，
所以掷第4次时6点朝上的概率是 ，
故答案为：D.
【分析】掷第4次时有6种等可能出现的结果，其中6点朝上的有1种，然后根据概率公式进行计算.
4．【答案】B
【知识点】轴对称图形；概率公式
【解析】【解答】解：如图所示：
空白的三角形一共有9个，在空白的三角形中只涂黑一个小三角形，使整个图案成轴对称图形的情况有2个，则概率是 ，
故答案为：B.
【分析】找出能形成轴对称图形的情况数，然后根据概率公式进行计算.
5．【答案】C
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：如图：正方形的面积为4×4＝16，阴影部分占5份，飞镖落在阴影区域的概率是 ；
故答案为：C．
【分析】本题要理解等可能事件的概率，注意飞镖落到每个方格的概率都是相同的
6．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：A、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为 ≈0.17，故A符合题意；
B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是： ；故B不符合题意；
C.暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为 ，故C不符合题意；
D.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀“的概率为 ，故D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据折线统计图可知：试验结果在0.17附近波动，故概率，是0.17，根据简单概率的计算方法算出各个事件的概率，再比较即可得出答案。
7．【答案】B
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵一个圆形转盘按1：2：3：4的比例分成A、B、C、D四个扇形区域，
∴圆被等分成10份，其中B区域占2份，
∴落在B区域的概率= = ；
故答案为：B.
【分析】首先确定在图中B区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向B区域的概率.
8．【答案】B
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】∵由图可知，黑色方砖2块，共有9块方砖，
∴黑色方砖在整个地板中所占的面积的比值＝ ，
∴米粒停在黑色区域的概率是 .
故答案为：B.
【分析】求出黑色方砖在整个地板中所占的面积的比值即可解决问题；
9．【答案】B
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：该瓶装有豆子大约为x颗，根据题意得，
，
解得：x=500
经检验：x=500是原方程的解，
∴该瓶装有豆子大约为500颗.
故答案为：B.
【分析】根据100颗豆子中有12颗带标记，计算取得带标记的实验频率，再根据取得60颗带标记的豆子的概率近似等于实验频率，列式求解.
10．【答案】B
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：50÷(2÷50)=1250(条)，
即鱼塘里大约有鱼1250条。
故答案为：B。
【分析】用第二次打捞起来的鱼中打过记号的鱼的数量除以第二次打捞起来的鱼的数量得出样本中做过标记的鱼的概率，再用池塘中打过标记的鱼的总数量除以样本中打过标记的鱼的概率，即可算出鱼塘中鱼的数量 。
11．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵①是平行四边形BEGH，
∴①的面积=S△BIC=S正方形ABCD=S正方形ABCD，
∴P（图钉的钉尖恰好落在①区域）=，
故答案为：.
【分析】先求出①的面积=S△BIC=S正方形ABCD=S正方形ABCD，再利用几何概率公式求解即可.
12．【答案】（1）1+3（a-1）
（2）1+6=7；1+6×11=67；1+6（a-1）
（3）1+2n；1+n（a-1）
（4）145
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：建立模型：为解决上面的“问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：
在不透明的口袋中装有红、黄、蓝三种颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现在要确保从口袋中随机摸出的小球至少有4个是同色的，则最少需要摸出多少个小球？为了找到解决问题的办法，我们可以把上述问题简单化：
①我们首先考虑最简单的情况：既要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需要再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需要摸出小数的个数是：1+3=4；
②若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？
我们只需要在①的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可以确保至少有3个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×2=7．
③若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个小球同色，即最少需要摸出小球的个数是：1+3×3=10；…
④若要确保从口袋中摸出的小球至少有a个是同色的呢？
即最少需要摸出小球的个数是1+3（a-1）．
故答案为：1+3（a-1）
模型拓展一：在不透明的口袋中装有红、光、蓝、白、绿、紫六种颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现在从袋中随机摸球：
①若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是1+6=7；
②若要确保摸出的小球至少有12个同色，则最少需摸出小球的个数是1+6×11=67；
③若要确保摸出的小球至少有a个同色（a＜50），则最少需摸出小球的个数是1+6（a-1）；
故答案为：1+6=7；1+6×11；1+6（a-1）；
模型拓展二：在不透明口袋中装有n种颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现从袋中随机魔球：
①若要确保摸出的小球至少有3个同色，则最少需摸出小球的个数是1+2n；
②若要确保摸出的小球至少有a个同色（a＜50），则最少需摸出小球的个数是1+n（a-1）；
故答案为：1+2n；1+n（a-1）
问题解决：1+9×16=145．
故最少需摸出小球的个数是145．
故答案为：145．
【分析】（1）利用类比和转化的思想结合活动中获得的数学经验与知识解决实际问题；
（2）利用类比和转化的思想结合活动中获得的数学经验与知识解决实际问题；
（3）利用类比和转化的思想结合活动中获得的数学经验与知识解决实际问题；
（4）根据模型拓展得到的规律，列出算式计算即可求解。
13．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵共有7个数字，其中有两个数字是1，
∴抽出标有数字1的纸签的概率=.
故答案为：.
【分析】根据题意，得出共有7个数字，其中有两个数字是1，然后利用概率公式计算即可.
14．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵共有12个方格，其中月亮占5个方格，
∴宝物（只有一个）藏在“月亮”下的概率是：，
故答案为：
【分析】利用概率公式求解即可。
15．【答案】
【知识点】三角形三边关系；概率公式
【解析】【解答】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．因此，
∵长度为3cm、4cm、5cm、9cm的四条线段，从中任取三条线段共有3，4，5；4，5，9；3，5，9；3，4，9四种情况，而能组成三角形的有3、4、5；共有1种情况，
∴能组成三角形的概率是．
【分析】利用三角形的三边关系和概率公式计算求解即可。
16．【答案】（1）解：∵转盘等分成8份，有5个打折的区域，
∴甲顾客消费150元，获得打折待遇的概率为；
（2）解：∵转盘等分成8份，有2个打五折的区域，
∴乙顾客消费120元，获得五折待遇的概率为．
【知识点】概率公式
【解析】【分析】（1）根据概率计算公式，求得打折的概率即可；
（2）根据概率计算公式，求得打五折的概率即可。
17．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
2的倍数有3个，其概率为：，则
3的倍数有4个，其概率为：，则
∴
故答案为：
（2）共20个扇形，其中绿色的有3个，则 则顾客转动一次转盘获得元购物券的概率是
故答案为：
（3）由图形可知，B区域的圆心角为：360°-90°=150°=120°
∴停止后指针落在区域的概为：
故答案为：
【分析】（1）根据简单事件的概率计算即可。
（2）根据简单事件的概率计算即可。
（3）根据简单事件的概率计算即可。
18．【答案】（1）解：王老师购物210元，能获得一次转动转盘的机会，
他获得奖金的概率为 ．
（2）解：张老师购物370元，能获得一次转动转盘的机会，
他获得20元奖金的概率为 ．
（3）解：设需要将x个无色区域涂上绿色，
则有 ，解得 ，
所以需要将1个无色区域涂上绿色．
【知识点】几何概率；概率的简单应用
【解析】【分析】(1)因为消费210元，获得一次转动转盘的机会，结合题意，根据概率公式计算获得奖金的概率即可；
(2)因为消费370元，获得一次转动转盘的机会，根据概率公式计算获得20元奖金的概率即可；
(3)设需要将x个无色区域涂上绿色，根据获得10元奖金的概率为列方程求解，即可解答.
19．【答案】（1）解：汽车在此左转的车辆数为5000× ＝1500(辆)，(2分)在此右转的车辆数为5000× ＝2000(辆)，(4分)在此直行的车辆数为5000× ＝1500(辆)．
（2）解：根据频率估计概率的知识，得P(汽车向左转)＝ ，P(汽车向右转)＝ ，P(汽车直行)＝ .(9分)∴可调整绿灯亮的时间如下：左转绿灯亮的时间为90× ＝27(秒)，右转绿灯亮的时间为90× ＝36(秒)，直行绿灯亮的时间为90× ＝27(秒)
【知识点】概率的简单应用
【解析】【分析】（1）分别用5000乘以汽车在此十字路口向右转的频率、向左转和直行的频率，分别列式计算，就可求出答案。
（2）由汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，据此可分别求出调整绿灯亮的时间，分别用90乘以 汽车在此十字路口向右转的频率、向左转和直行的频率，分别列式计算，就可求出答案。
20．【答案】（1）
（2）
（3）解：应选择方式二，理由如下：
采用方式一，（“6”朝上），
采用方式二，指针指向的数字为3的倍数有3，6，9，12，共4个，
∴（指针指向的数字为3的倍数），
∵，
∴方式二获奖机会大，
∴选方式二．
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1） "5"朝上的概率为；
故答案为：.
（2） "5"朝上的概率为；
故答案为：.
【分析】（1）利用标有5的面数除以总面数即得结论；
（2）利用标有5的份数除以总份数即得结论；
（3）分别计算出两种方式获奖的概率，再比较即可.
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