2024年北师大版数学七年级第二学期期末模拟试卷三
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·福建）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·兴宾期中）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有左右，0.00003用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·遵义期末）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产作品录．下面四幅作品分别代表“惊蛰”、“谷雨”、“立秋”、“冬至”，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021七下·金平期末）如图，下列条件中能判定AE∥CD的是（ ）
A．∠A=∠C B．∠A+∠ABC=180°
C．∠C=∠CBE D．∠A=∠CBE
5．（2024九下·深圳开学考）我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，当∠MAC为（ ）度时，AM∥BE．
A．15 B．65 C．70 D．115
6．（2022七下·大埔期中）小明家有一本200页的故事书，已知他每小时能看50页，星期天上午小明先看了故事书的一半后又做了一个小时的作业，然后他才继续看完这本书．下列能体现这本书剩下的页数y（页）与时间t（时）之间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·新邵模拟）县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，统计银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
移植的棵数 100 300 600 1000 7000 15000
成活的棵数 84 279 505 847 6337 13581
成活的频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）
A．0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.8
8．（2024八上·黔西南期末）如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
9．（2020八上·秀洲月考）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
10．（2023七下·宣化期末）如图，D，E，F分别是边BC，AD，AC上的中点，若S阴影的面积为3，则△ABC的面积是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2018八上·渝北月考）若2x＝3，2y＝5，则22x+y＝ .
12．（2022七下·宁波开学考）若4y2+my+9是一个完全平方式，那么m的值应为 ．
13．（2024八上·讷河期末）如图所示，要测量河岸相对的两点A、B之间的距离．已知AB垂直于河岸BF，在BF上取两点C、D，使CD＝CB，过点D作BF的垂线ED，使A、C、E在一条直线上，若ED＝90米，则AB的长是 米．
14．（2024九上·宁江期末）如图，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是 ．
15．（2024九下·浙江期中）如图，已知在和中，点在同一条直线上，．请你添加一个条件 ，使得．
16．（2024八下·哈尔滨开学考）如图，在△ABC中，，AB的垂直平分线DE交AC于D，连结BD，若△DBC的周长为27，则BC的长为 ．
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2024七下·西安期中）．
18．（2024七下·潜山期中） 先化简，再求值：，其中，
19．（2024·长沙模拟） 先化简，再求值：，其中，．
20．（2024七下·临平期中）如图，在中，于点，点是BC上一点，过点作于点，点是AC上一点，且．
（1）请说明的理由．
（2）若平分，求的度数．
21．（2022七下·晋中期末）小明听到弟弟诵读诗句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”时，他想借助图象大致刻画出诗句中儿童从学校放学回家，再到田野这段时间内，离家距离的变化情况．
（1）下列图象中能大致刻画这段时间儿童离家距离与时间关系的是（ ）；
A． B．
C． D．
（2）根据符合题意图象中的相关数据可知儿童家到学校的距离是 米，儿童从家出发到田野所用时间为 分；
（3）小明想自己动手制作风筝和弟弟一起去放，他画出了如下风筝示意图，其中，，他认为根据示意图，不用测量就能知道．你同意他的观点吗？请说明理由．
22．（2022七下·宝鸡期末）如图，端午节期间，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定顾客每购买200元商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针对准红、黄、绿的区域，顾客就可以分别获得50元、20元、10元的奖金，对准无色区域则无奖金（转盘被等分成16个扇形）．
（1）王老师购物210元，他获得奖金的概率是多少？
（2）张老师购物370元，他获得20元奖金的概率是多少？
（3）现商场想调整获得10元奖金的概率为 ，其他金额的获奖率不变，则需要将多少个无色区域涂上绿色？
23．（2024八上·老河口期末）由小正方形组成的3×3的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图（每小题只画一种即可）：
图① 图② 图③
（1）在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点．
（2）在图②中，画一条不与AB重合的线段PQ，使PQ与AB关于某条直线对称，且P，Q为格点．
（3）在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点．
24．（2023七下·崂山期末）已知是的平分线，点P是射线上一点，点C，D分别在射线，上，连接，．
（1）【发现问题】
如图①，当，时，则与的数量关系是 ．
（2）【探究问题】
如图②，点C，D在射线，上滑动，且，当时，与在【发现问题】中的数量关系还成立吗？说明理由．
25．（2024七下·临平期中）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师将一副直角三角板摆放在直线MN上（如图1，）．保持三角板EDC不动，老师将三角板ABC绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．各小组解决老师给出的问题，又提出新的数学问题，请你解决这些问题.
深入探究：
（1）老师提出，如图2，当AC转到与∠DCE的角平分线重合时，∠ECB-∠DCA=15°，当AC转到与的角平分线重合时，，当AC在内部的其他位置时，结论是否依然成立 请说明理由．
（2）勤学小组提出：若AC旋转至的外部，与是否还存在如上数量关系 若存在，请说明理由；若不存在，请写出与的数量关系，并说明理由．
（3）拓展提升：
智慧小组提出：若AC旋转到与射线CM重合时停止旋转．在旋转过程中，直线DE与直线AC是否存在平行的位置关系 若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；同类项的概念；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、(a2)3=a6，故正确；
B、a6÷a2=a4，故错误；
C、a3·a4=a7，故错误；
D、a2与a不是同类项，不能合并，故错误.
故答案为：A.
【分析】幂的乘方：底数不变，指数相乘，据此判断A；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断B；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断C；根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同的项可判断D.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】根据用科学记数法表示小于1的正数时，表示为，其中n为原数左起第1个不为0的数字前面所有0的个数 （包含小数点前的那个0），1
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A、∵该图形不是轴对称图形，∴A不符合题意；
B、∵该图形是轴对称图形，∴B符合题意；
C、∵该图形不是轴对称图形，∴C不符合题意；
D、∵该图形不是轴对称图形，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形的定义逐项分析判断即可。
4．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A.∠A=∠C不能判断CD∥AE
B.∠A+∠ABC=180°得出AD∥BC
C. ∠C=∠CBE得出CD∥AE
D. ∠C=∠CBE得出AD∥BC
故答案为：C．
【分析】根据平行线的判定逐项判定即可。
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：AB∥L，CD∥L，
AB∥CD，
∠BCD＝∠ABC=60°，
∠BAC＝50°，
∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=70°，
当∠MAC=∠ACB=70°时，AM∥BE．
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质可得∠BCD＝∠ABC=60°，再利用三角形的内角和定理求得∠ACB=70°，最后根据两直线平行的判定定理即可求解.
6．【答案】A
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：因为剩下的页数越来越少，故可排除B、C；
做作业的过程，剩下的页数不变，故可排除D．
故答案为：A．
【分析】利用排除法求解即可。
7．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在0.905，
∴银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.9，
故答案为：C
【分析】根据用频率估计概率结合表格数据即可求解。
8．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】，
BC=DE，AB=CD，
，，
BC=4，
CD=BD-BC=13-4=9，
故答案为：C.
【分析】根据三角形全等的性质得到BC=DE，AB=CD，再结合已知条件即可求解.
9．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，
∴EC=DE，
∴AE+DE=AE+EC=3cm.
故答案为：B.
【分析】直接利用角平分线的性质得出DE=EC，进而得出答案.
10．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵D为BC的中点，
∴S△BDE= S△ABD，S△ADF= S△ADC，S△DEF= S△ADF，
∴S△BDE=S△ABC，S△DEF= S△ABC，
∴S△BDE+S△DEF= S△ABC+ S△ABC= S△ABC，
∴S△ABC= S阴影部分=×3=8，
故答案为：D.
【分析】利用三角形中线将三角形分成面积相等的两部分，得出S△BDE=S△ABC，S△DEF= S△ABC，进而可得S△ABC= S阴影部分，即可求解．
11．【答案】15
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：22x+y＝22x 2y＝（2x）2 2y＝32×5＝45，
故答案为：45
【分析】根据同底数幂的乘法可知22x+y＝22x 2y，利用幂的乘方可得22x 2y＝（2x）2 2y再根据已知条件即可求出答案.
12．【答案】12或-12
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵ 4y2+my+9是一个完全平方式 ，
∴4y2+my+9=（2y±3）2=4y2±12y+9
∴m=±12.
∴m的值为12或-12.
故答案为：12或-12.
【分析】利用完全平方公式有两个，可得到4y2+my+9=4y2±12y+9，由此可得到m的值.
13．【答案】90
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∵ CD＝CB ，∠ACB=∠DCE，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB=ED=90米.
故答案为：90.
【分析】证明△ABC≌△EDC（ASA），可得AB=ED=90米.
14．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】设小正方形的边长为1，
∴大正方形的面积为9，阴影部分的面积=1×2××4=4，
∴P（这个点取在阴影部分）=，
故答案为：.
【分析】先求出大正方形的面积和阴影部分的面积，再利用几何概率公式求解即可.
15．【答案】∠A＝∠D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴∠B=∠DEF，
∵BE=CF，
∴BC=EF，
∴添加∠A＝∠D可根据AAS判定．
故答案为：∠A＝∠D（答案不唯一）.
【分析】根据平行线的性质可得∠B=∠DEF，根据线段的和差关系可得BC=EF，再根据全等三角形的判定定理进行添加条件即可.
16．【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AB的垂直平分线DE交AC于D，
∴AD=BD，
∴AD+CD=BD+CD=AC，
又∵ △DBC的周长为27，
∴BC+BD+CD=27，
即BC+AC=27，
∴BC=12
故答案为：12.
【分析】根据垂直平分线的性质得到AD=BD，再根据△DBC的周长为27，等量代换即可得到答案。
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】先根据负整数指数幂与零指数幂的性质化简，再根据有理数混合运算的法则计算即可.
18．【答案】解：原式，
，
，
，
当时，
原式，
，
．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简可得，再将x、y的值代入计算即可.
19．【答案】解：原式
．
当，时，
原式
．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用完全平方公式、平方差公、多项式除以单项式的法则进行化简，再将x，y的值代入计算即可求解.
20．【答案】（1）解：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠2＝∠BCD.
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD.
∴DG∥BC.
（2）解：∵DG∥BC，∠3＝70°，
∴∠ACB＝∠3＝70°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACB＝35°
又∵CD∥EF，
∴∠2＝∠BCD＝35°.
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用条件中的垂直关系得到平行，利用平行线的性质得到角度关系即可得到新的平行关系.而(2)中结合(1)中的结论对角度进行推导.
21．【答案】（1）D
（2）1200；10
（3）解：同意，理由如下：
在△ABC和△ADC中，
∵，
∴．
∴（全等三角形的对应角相等）．
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】（1）解：∵儿童的运动过程为先从学校放学回家，然后再从家到田野，
∴儿童离家的距离先从大慢慢变小直到0，然后再慢慢变大直到一个固定值，
观察图象，选项D符合题意，
故答案为：D
（2）解：由图象得：儿童用15分钟从学校回到家，所走路程为1200米，
∴儿童家到学校的距离是1200米，
从家到田野所用时间为25-15=10分
故答案为：1200；10；
【分析】（1）由于图象刻画的是离家距离与时间的函数关系，应该是分段函数，且在中间某一时刻，距离应该为0；
（2）直接观察图象即可；
（3）由线段垂直平分线的判定定理可知该图形是一个轴对称图形，且AC所在直线就是对称轴，显然结论成立。
22．【答案】（1）解：王老师购物210元，能获得一次转动转盘的机会，
他获得奖金的概率为 ．
（2）解：张老师购物370元，能获得一次转动转盘的机会，
他获得20元奖金的概率为 ．
（3）解：设需要将x个无色区域涂上绿色，
则有 ，解得 ，
所以需要将1个无色区域涂上绿色．
【知识点】几何概率；概率的简单应用
【解析】【分析】(1)因为消费210元，获得一次转动转盘的机会，结合题意，根据概率公式计算获得奖金的概率即可；
(2)因为消费370元，获得一次转动转盘的机会，根据概率公式计算获得20元奖金的概率即可；
(3)设需要将x个无色区域涂上绿色，根据获得10元奖金的概率为列方程求解，即可解答.
23．【答案】（1）解：如图，线段MN即为所求作的图形．
（2）解：如图，线段PQ即为所求作的图形．
（3）解：如图，△DEF即为所求作的图形．
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质及网格特点作图即可；
（2）利用轴对称的性质网格特点作图即可；
（3）利用轴对称的性质网格特点作图即可.
24．【答案】（1）
（2）解：点P点作于E，于F，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
由（1）知：，
在和中
，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵OM平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD；
【分析】（1）根据角平分线的性质可得PC=PD；
（2）仍然成立。如图，可根据AAS证明△PCE≌△PDF，从而得到PC=PD.
25．【答案】（1）解：设三角板旋转α度，即∠ACE＝α，
∵∠DCE＝30°，∠ACB＝45°，
∴∠DCA＝∠DCE－∠ACE＝30°－α，
∠ECB＝∠ACB－∠ACE＝45°－α．
∴∠ECB－∠DCA＝(45°－α)－(30°－α)＝15°.
（2）解：解：当BC在CE下方时，
∠DCA＝∠ACE－∠DCE＝α－30°，
∠ECB＝∠ACB－∠ACE＝45°－α．
∴∠ECB＋∠DCA＝(45°－α)＋(α－30°)＝15°.
当BC在CE上方时，
或
∠DCA＝∠ACE－∠DCE＝α－30°，
∠ECB＝∠ACE－∠ACB＝α－45°．
∴∠DCA－∠ECB＝(α－30°)－(α－45°)＝15°.
综上：∠ECB＋∠DCA＝15°或∠DCA－∠ECB＝15°.
（3）解：t＝24s或t＝60s
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）如下图有以下两种情况
①线段AC在直线MN上方时，
AC||DE，∠DEC=60°，得∠ACE=120°，
旋转时间为t=120÷5=24s
②当线段AC在直线MN下方时，
AC||DE，∠ACE=∠CED=60°，旋转的角度为360°-60°=300°，
旋转的时间为300÷5=60s
综上所述：t为24s或60秒时，DE||AC
【分析】在变化过程中，不变的是角度的表达式，利用此点，第(1)问中直接利用角度的代数表达式进行推导；而(2)中需对旋转的情况进行分类讨论，本质仍然是利用角度的代数式进行推导；第（3）问，也是对平行时的情况进行分类讨论，需结合作图进行解答.
1 / 12024年北师大版数学七年级第二学期期末模拟试卷三
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023·福建）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；同类项的概念；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、(a2)3=a6，故正确；
B、a6÷a2=a4，故错误；
C、a3·a4=a7，故错误；
D、a2与a不是同类项，不能合并，故错误.
故答案为：A.
【分析】幂的乘方：底数不变，指数相乘，据此判断A；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断B；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断C；根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同的项可判断D.
2．（2023八上·兴宾期中）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有左右，0.00003用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：
故答案为：A.
【分析】根据用科学记数法表示小于1的正数时，表示为，其中n为原数左起第1个不为0的数字前面所有0的个数 （包含小数点前的那个0），13．（2024八上·遵义期末）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产作品录．下面四幅作品分别代表“惊蛰”、“谷雨”、“立秋”、“冬至”，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A、∵该图形不是轴对称图形，∴A不符合题意；
B、∵该图形是轴对称图形，∴B符合题意；
C、∵该图形不是轴对称图形，∴C不符合题意；
D、∵该图形不是轴对称图形，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形的定义逐项分析判断即可。
4．（2021七下·金平期末）如图，下列条件中能判定AE∥CD的是（ ）
A．∠A=∠C B．∠A+∠ABC=180°
C．∠C=∠CBE D．∠A=∠CBE
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A.∠A=∠C不能判断CD∥AE
B.∠A+∠ABC=180°得出AD∥BC
C. ∠C=∠CBE得出CD∥AE
D. ∠C=∠CBE得出AD∥BC
故答案为：C．
【分析】根据平行线的判定逐项判定即可。
5．（2024九下·深圳开学考）我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，当∠MAC为（ ）度时，AM∥BE．
A．15 B．65 C．70 D．115
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：AB∥L，CD∥L，
AB∥CD，
∠BCD＝∠ABC=60°，
∠BAC＝50°，
∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=70°，
当∠MAC=∠ACB=70°时，AM∥BE．
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质可得∠BCD＝∠ABC=60°，再利用三角形的内角和定理求得∠ACB=70°，最后根据两直线平行的判定定理即可求解.
6．（2022七下·大埔期中）小明家有一本200页的故事书，已知他每小时能看50页，星期天上午小明先看了故事书的一半后又做了一个小时的作业，然后他才继续看完这本书．下列能体现这本书剩下的页数y（页）与时间t（时）之间关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：因为剩下的页数越来越少，故可排除B、C；
做作业的过程，剩下的页数不变，故可排除D．
故答案为：A．
【分析】利用排除法求解即可。
7．（2024·新邵模拟）县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，统计银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
移植的棵数 100 300 600 1000 7000 15000
成活的棵数 84 279 505 847 6337 13581
成活的频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）
A．0.905 B．0.90 C．0.9 D．0.8
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在0.905，
∴银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.9，
故答案为：C
【分析】根据用频率估计概率结合表格数据即可求解。
8．（2024八上·黔西南期末）如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】，
BC=DE，AB=CD，
，，
BC=4，
CD=BD-BC=13-4=9，
故答案为：C.
【分析】根据三角形全等的性质得到BC=DE，AB=CD，再结合已知条件即可求解.
9．（2020八上·秀洲月考）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，
∴EC=DE，
∴AE+DE=AE+EC=3cm.
故答案为：B.
【分析】直接利用角平分线的性质得出DE=EC，进而得出答案.
10．（2023七下·宣化期末）如图，D，E，F分别是边BC，AD，AC上的中点，若S阴影的面积为3，则△ABC的面积是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵D为BC的中点，
∴S△BDE= S△ABD，S△ADF= S△ADC，S△DEF= S△ADF，
∴S△BDE=S△ABC，S△DEF= S△ABC，
∴S△BDE+S△DEF= S△ABC+ S△ABC= S△ABC，
∴S△ABC= S阴影部分=×3=8，
故答案为：D.
【分析】利用三角形中线将三角形分成面积相等的两部分，得出S△BDE=S△ABC，S△DEF= S△ABC，进而可得S△ABC= S阴影部分，即可求解．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2018八上·渝北月考）若2x＝3，2y＝5，则22x+y＝ .
【答案】15
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：22x+y＝22x 2y＝（2x）2 2y＝32×5＝45，
故答案为：45
【分析】根据同底数幂的乘法可知22x+y＝22x 2y，利用幂的乘方可得22x 2y＝（2x）2 2y再根据已知条件即可求出答案.
12．（2022七下·宁波开学考）若4y2+my+9是一个完全平方式，那么m的值应为 ．
【答案】12或-12
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵ 4y2+my+9是一个完全平方式 ，
∴4y2+my+9=（2y±3）2=4y2±12y+9
∴m=±12.
∴m的值为12或-12.
故答案为：12或-12.
【分析】利用完全平方公式有两个，可得到4y2+my+9=4y2±12y+9，由此可得到m的值.
13．（2024八上·讷河期末）如图所示，要测量河岸相对的两点A、B之间的距离．已知AB垂直于河岸BF，在BF上取两点C、D，使CD＝CB，过点D作BF的垂线ED，使A、C、E在一条直线上，若ED＝90米，则AB的长是 米．
【答案】90
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∵ CD＝CB ，∠ACB=∠DCE，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB=ED=90米.
故答案为：90.
【分析】证明△ABC≌△EDC（ASA），可得AB=ED=90米.
14．（2024九上·宁江期末）如图，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是 ．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】设小正方形的边长为1，
∴大正方形的面积为9，阴影部分的面积=1×2××4=4，
∴P（这个点取在阴影部分）=，
故答案为：.
【分析】先求出大正方形的面积和阴影部分的面积，再利用几何概率公式求解即可.
15．（2024九下·浙江期中）如图，已知在和中，点在同一条直线上，．请你添加一个条件 ，使得．
【答案】∠A＝∠D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴∠B=∠DEF，
∵BE=CF，
∴BC=EF，
∴添加∠A＝∠D可根据AAS判定．
故答案为：∠A＝∠D（答案不唯一）.
【分析】根据平行线的性质可得∠B=∠DEF，根据线段的和差关系可得BC=EF，再根据全等三角形的判定定理进行添加条件即可.
16．（2024八下·哈尔滨开学考）如图，在△ABC中，，AB的垂直平分线DE交AC于D，连结BD，若△DBC的周长为27，则BC的长为 ．
【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AB的垂直平分线DE交AC于D，
∴AD=BD，
∴AD+CD=BD+CD=AC，
又∵ △DBC的周长为27，
∴BC+BD+CD=27，
即BC+AC=27，
∴BC=12
故答案为：12.
【分析】根据垂直平分线的性质得到AD=BD，再根据△DBC的周长为27，等量代换即可得到答案。
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2024七下·西安期中）．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】先根据负整数指数幂与零指数幂的性质化简，再根据有理数混合运算的法则计算即可.
18．（2024七下·潜山期中） 先化简，再求值：，其中，
【答案】解：原式，
，
，
，
当时，
原式，
，
．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简可得，再将x、y的值代入计算即可.
19．（2024·长沙模拟） 先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式
．
当，时，
原式
．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用完全平方公式、平方差公、多项式除以单项式的法则进行化简，再将x，y的值代入计算即可求解.
20．（2024七下·临平期中）如图，在中，于点，点是BC上一点，过点作于点，点是AC上一点，且．
（1）请说明的理由．
（2）若平分，求的度数．
【答案】（1）解：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠2＝∠BCD.
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD.
∴DG∥BC.
（2）解：∵DG∥BC，∠3＝70°，
∴∠ACB＝∠3＝70°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACB＝35°
又∵CD∥EF，
∴∠2＝∠BCD＝35°.
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用条件中的垂直关系得到平行，利用平行线的性质得到角度关系即可得到新的平行关系.而(2)中结合(1)中的结论对角度进行推导.
21．（2022七下·晋中期末）小明听到弟弟诵读诗句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”时，他想借助图象大致刻画出诗句中儿童从学校放学回家，再到田野这段时间内，离家距离的变化情况．
（1）下列图象中能大致刻画这段时间儿童离家距离与时间关系的是（ ）；
A． B．
C． D．
（2）根据符合题意图象中的相关数据可知儿童家到学校的距离是 米，儿童从家出发到田野所用时间为 分；
（3）小明想自己动手制作风筝和弟弟一起去放，他画出了如下风筝示意图，其中，，他认为根据示意图，不用测量就能知道．你同意他的观点吗？请说明理由．
【答案】（1）D
（2）1200；10
（3）解：同意，理由如下：
在△ABC和△ADC中，
∵，
∴．
∴（全等三角形的对应角相等）．
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】（1）解：∵儿童的运动过程为先从学校放学回家，然后再从家到田野，
∴儿童离家的距离先从大慢慢变小直到0，然后再慢慢变大直到一个固定值，
观察图象，选项D符合题意，
故答案为：D
（2）解：由图象得：儿童用15分钟从学校回到家，所走路程为1200米，
∴儿童家到学校的距离是1200米，
从家到田野所用时间为25-15=10分
故答案为：1200；10；
【分析】（1）由于图象刻画的是离家距离与时间的函数关系，应该是分段函数，且在中间某一时刻，距离应该为0；
（2）直接观察图象即可；
（3）由线段垂直平分线的判定定理可知该图形是一个轴对称图形，且AC所在直线就是对称轴，显然结论成立。
22．（2022七下·宝鸡期末）如图，端午节期间，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定顾客每购买200元商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针对准红、黄、绿的区域，顾客就可以分别获得50元、20元、10元的奖金，对准无色区域则无奖金（转盘被等分成16个扇形）．
（1）王老师购物210元，他获得奖金的概率是多少？
（2）张老师购物370元，他获得20元奖金的概率是多少？
（3）现商场想调整获得10元奖金的概率为 ，其他金额的获奖率不变，则需要将多少个无色区域涂上绿色？
【答案】（1）解：王老师购物210元，能获得一次转动转盘的机会，
他获得奖金的概率为 ．
（2）解：张老师购物370元，能获得一次转动转盘的机会，
他获得20元奖金的概率为 ．
（3）解：设需要将x个无色区域涂上绿色，
则有 ，解得 ，
所以需要将1个无色区域涂上绿色．
【知识点】几何概率；概率的简单应用
【解析】【分析】(1)因为消费210元，获得一次转动转盘的机会，结合题意，根据概率公式计算获得奖金的概率即可；
(2)因为消费370元，获得一次转动转盘的机会，根据概率公式计算获得20元奖金的概率即可；
(3)设需要将x个无色区域涂上绿色，根据获得10元奖金的概率为列方程求解，即可解答.
23．（2024八上·老河口期末）由小正方形组成的3×3的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图（每小题只画一种即可）：
图① 图② 图③
（1）在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点．
（2）在图②中，画一条不与AB重合的线段PQ，使PQ与AB关于某条直线对称，且P，Q为格点．
（3）在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点．
【答案】（1）解：如图，线段MN即为所求作的图形．
（2）解：如图，线段PQ即为所求作的图形．
（3）解：如图，△DEF即为所求作的图形．
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质及网格特点作图即可；
（2）利用轴对称的性质网格特点作图即可；
（3）利用轴对称的性质网格特点作图即可.
24．（2023七下·崂山期末）已知是的平分线，点P是射线上一点，点C，D分别在射线，上，连接，．
（1）【发现问题】
如图①，当，时，则与的数量关系是 ．
（2）【探究问题】
如图②，点C，D在射线，上滑动，且，当时，与在【发现问题】中的数量关系还成立吗？说明理由．
【答案】（1）
（2）解：点P点作于E，于F，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
由（1）知：，
在和中
，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵OM平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD；
【分析】（1）根据角平分线的性质可得PC=PD；
（2）仍然成立。如图，可根据AAS证明△PCE≌△PDF，从而得到PC=PD.
25．（2024七下·临平期中）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师将一副直角三角板摆放在直线MN上（如图1，）．保持三角板EDC不动，老师将三角板ABC绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．各小组解决老师给出的问题，又提出新的数学问题，请你解决这些问题.
深入探究：
（1）老师提出，如图2，当AC转到与∠DCE的角平分线重合时，∠ECB-∠DCA=15°，当AC转到与的角平分线重合时，，当AC在内部的其他位置时，结论是否依然成立 请说明理由．
（2）勤学小组提出：若AC旋转至的外部，与是否还存在如上数量关系 若存在，请说明理由；若不存在，请写出与的数量关系，并说明理由．
（3）拓展提升：
智慧小组提出：若AC旋转到与射线CM重合时停止旋转．在旋转过程中，直线DE与直线AC是否存在平行的位置关系 若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设三角板旋转α度，即∠ACE＝α，
∵∠DCE＝30°，∠ACB＝45°，
∴∠DCA＝∠DCE－∠ACE＝30°－α，
∠ECB＝∠ACB－∠ACE＝45°－α．
∴∠ECB－∠DCA＝(45°－α)－(30°－α)＝15°.
（2）解：解：当BC在CE下方时，
∠DCA＝∠ACE－∠DCE＝α－30°，
∠ECB＝∠ACB－∠ACE＝45°－α．
∴∠ECB＋∠DCA＝(45°－α)＋(α－30°)＝15°.
当BC在CE上方时，
或
∠DCA＝∠ACE－∠DCE＝α－30°，
∠ECB＝∠ACE－∠ACB＝α－45°．
∴∠DCA－∠ECB＝(α－30°)－(α－45°)＝15°.
综上：∠ECB＋∠DCA＝15°或∠DCA－∠ECB＝15°.
（3）解：t＝24s或t＝60s
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）如下图有以下两种情况
①线段AC在直线MN上方时，
AC||DE，∠DEC=60°，得∠ACE=120°，
旋转时间为t=120÷5=24s
②当线段AC在直线MN下方时，
AC||DE，∠ACE=∠CED=60°，旋转的角度为360°-60°=300°，
旋转的时间为300÷5=60s
综上所述：t为24s或60秒时，DE||AC
【分析】在变化过程中，不变的是角度的表达式，利用此点，第(1)问中直接利用角度的代数表达式进行推导；而(2)中需对旋转的情况进行分类讨论，本质仍然是利用角度的代数式进行推导；第（3）问，也是对平行时的情况进行分类讨论，需结合作图进行解答.
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