4.2 提公因式法 教案（含答案）

教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 八年级 学期 春季
课题 提公因式法
课标要求
内容要求： 能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）. 学业要求： 能用提公因式法、公式法（对二次式直接利用平方差公式或完全平方公式）进行因式分解（指数为正整数）. 教学提示： 数与式的教学,教师应把握数与式的整体性和一致性。本节通过代数式和代数式的恒等变形教学，让学生进一步理解字母表示数的意义，通过基于符号的运算和推理，建立符号意识，感悟数学结论的一般性，理解运算方法与运算律的关系，提升运算能力.
内容分析
《提公因式法》是北师大版八年级下册第四章因式分解的第二节，共两个课时，本节课是第一课时，学习因式分解的第一种方法——提公因式法，内容属于数与代数领域中代数式的恒等变形.主要让学生经历从逆用乘法分配律到提公因式的过程，让学生进一步理解因式分解的意义，培养直觉思维，体会由特殊到一般的数学思想.运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的学习过程中，可以使学生易于理解和掌握．
学情分析
学生在小学阶段已掌握了乘法分配律，并能逆用其进行简单的简便运算；在七年级学习了整式乘法，能进行简单的代数推理；在上一节了解了因式分解与整式的乘法之间的互逆关系，这些都为今天提公因式法的学习提供了必要的知识储备．学生在以前的学习过程中已经积累了一定的活动经验，学生能够轻松学会，并会学.
教学目标
1.经历探索、认识多项式各项公因式的过程，并在具体问题中，能确定多项式各项的公因式，发展抽象能力; 2.明确提公因式法因式分解的依据，会用提公因式法把多项式因式分解，养成“言之有理，落笔有据”的数学习惯，发展代数推理能力; 3.进一步理解因式分解的意义，培养直觉思维．
教学内容
教学重点： 会用提公因式法把多项式因式分解.
教学难点： 能准确地找出多项式中各项的公因式.
教学过程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
情 境 导 入 一、美术课上，小颖想制作两把美丽的圆扇，半径分别为6cm和8cm，请聪明的你帮小颖计算一下需要准备的扇面的总面积.（π取3.14） 3.14×6 +3.14×8 你能又快又准地得到答案吗？ 答：314. 你是如何得到的呢？ 思考：3.14×36＋3.14×64 =3.14×（36+64） （ ） 这一步的依据是什么？ 逆用乘法分配律. 二、用代数式表示右侧图形的面积. 左到右由多项式到整式乘积的变形是我们上节课学习的因式分解；右到左由整式乘积到多项式的变形是我们学过的整式乘法，属于整式乘法中单项式×多项式. 思考：因式分解和整式乘法是什么关系呢？ 互逆. 教师提出问题，学生思考并回答问题，教师引导学生明确提公因式法因式分解的依据. 教师提出问题，学生思考并回答问题，教师引导学生明确因式分解和整式乘法的互逆关系. 用贴近生活的实际情境引入新课，激发学生的学习兴趣. 教师引导学生明确提公因式法因式分解的依据是逆用乘法分配律. 通过数形结合，由数到式的转变，让学生进一步理解因式分解和整式乘法的互逆关系，且本节课的提公因式为单项式的因式分解与整式乘法中单项式×多项式为互逆变形.
类 比 探 究 类比ab+ac+ad=a（b+c+d）因式分解的过程，将以下两个多项式因式分解： （1）2x+2y=2（x+y） （2）pa+pb -pc=p（a+b-c） 概念引入： 公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. 提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法. 将多项式4x3y-6x2y2z因式分解. 展示四位同学的结果： 甲： 乙： 丙： 丁： 大家同意哪位同学的想法？与同伴交流. 思考： 多项式各项的最大公因式如何确定？与同伴交流. 【活动一】确定最大公因式 以多项式4x3y-6x2y2z为例，学生总结确定最大公因式的步骤. 总结：确定多项式中各项最大公因式的方法： ①定系数：系数的最大公因数； ②定字母：相同字母； ③定指数：相同字母的指数取最低次. 练一练：找出下列多项式中的公因式. 【活动二】 （一）尝试将练一练中的多项式因式分解. 思考：提公因式法因式分解的步骤.与同伴交流. 总结：提公因式法因式分解的步骤： ①确定最大公因式 ②多项式各项 公因式×整式 ③提出最大公因式 （二）巩固训练 把下列各式因式分解. 学生通过类比的方法，将多项式进行因式分解.教师引出公因式和提公因式法的概念. 学生先自主完成，展示四位同学的答案，再学生交流讨论出丁同学的结果是正确的.其他三位同学提出的公因式都是合理的，但是提完公因式后剩余多项式中仍含有公因式，出现因式分解不彻底的情况，明确确定最大公因式的必要性,在四位同学公因式中，2x y2是最大公因式. 小组合作交流，学生总结归纳.教师在教学中总结好确定公因式的方法，从系数、字母和字母的指数三个方面进行分析. 学生独立思考完成，教师巡回指导，并让同学展示，出现问题同学纠错. 对于第③题，应引导学生关注最后一项，提公因式后不要漏掉“+ 1”．教学时应引导学生规范书写，学会检查是否漏项的方法． 最后学生归纳提取公因式的步骤. 学生独立思考完成，教师巡回指导，并让同学展示，出现问题同学纠错. 旨在使学生通过类比的思想自然地过渡到理解公因式和提公因式法的概念上，从而为提公因式法的掌握埋下伏笔. 通过四位同学答案的对比，让学生交流讨论得到确定最大公因式的必要性，避免出现因式分解不彻底的情况. 通过学生思考交流，能充分的培养学生的初步归纳能力. 通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对确定最大公因式的方法是否到位. 让学生尝试着使用因式分解的意义以及提公因式法的定义进行几个简单的多项式的分解，为过渡到较为复杂的多项式的分解提供必要的准备． 根据用提公因式法进行因式分解时出现的问题，在教师的启发与指导下，学生自己归纳出提公因式的步骤及怎样预防提取公因式时出现类似问题，为提取公因式积累经验．
拓 展 训 练 把下列多项式因式分解. 先观察，这个多项式和刚刚练习的多项式有什么区别？如何处理？ 提示：当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项的系数成为正数. 在提出“-”号时，多项式的各项都要变号. 练一练：把下列多项式因式分解. 对于拓展训练，教师引导学生积极思考首项为负数的情况如何解决？如何将未知化为已学知识进行解决. 引导学生思考如何将未知化为已学知识进行解决.
思 维 训 练 已知ab=7 ,a+b=6 ，求多项式 a2b+ab2 的值. 解： ∵ab=7 ,a+b=6 ， ∴原式=7×6=42 2.把下列式子因式分解. 学生自主完成，教师巡回指导，对有困难的学生给予个别指导. 通过因式分解的应用，发展学生的代数推理能力；让学生通过类比公因式为单项式的因式分解与整式乘法中单项式×多项式互逆，公因式为多项式的因式分解与整式乘法中多项式×多项式互逆，进一步理解因式分解与整式乘法的互逆关系.
善 思 善 结 反思你本节课的收获与困惑？ 学生小结并相互补充，教师升华知识及方法. 通过依据、知识、方法的归纳，使学生形成完整的知识体系，掌握提公因式法因式分解.
素 养 提 升 △ABC的三边长分别为a、b、c，且a+2ab=c+2bc，请判断△ABC的形状，并说明理由. 解：△ABC为等腰三角形. 理由如下： ∵a+2ab=c+2bc， ∴a（1+2b）=c（1+2b）， ∵a、b、c为三角形的三边， ∴1+2b≠0， ∴a=c. 即△ABC为等腰三角形. 提升学生的数学核心素养，提高学生逻辑思维能力和自主学习能力，为学生的成长赋能.
随 堂 小 测 1.因式分解时，应提取的公因式是 . 2.因式分解 ① ② 3.下列因式分解正确的是（ ） 学生自主完成，教师巡回指导，对有困难的学生给予个别指导. 通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对提公因式的方法与步骤是否掌握，以便教师能及时地进行查缺补漏．通过查缺补漏强化学生利用提公因式法分解因式的能力.