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2024春北师大版七下数学期末检测卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
考卷信息:
本卷试题共 26 题，单选 12题，填空6题，解答8题，满分 120 分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面题有深度，可衡量学生掌握本册内容的具体情况!
一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．x6÷x3＝x2 B．（x3）2＝x5 C．x3 x4＝x7 D．x3+x3＝x6
3．很多人可能都知道蓝鲸是迄今发现的地球上最大的动物，却都不了解体积最小的动物，世界上体积最小的动物要比蚂蚁小很多倍，它是被命名为H39的原生动物，它的最长直径也不过才0.0000003米．其中数据0.0000003用科学记数法表示为（ ）
A．0.3×10﹣6 B．3×10﹣6 C．3×10﹣7 D．3×107
4．如图，AB∥CD，∠CEF＝85°，则∠A的度数是（ ）
A．85° B．95° C．105° D．115°
5．如图，已知CA＝CD，∠1＝∠2，如果只添加一个条件（不加辅助线）使△ABC≌△DEC，则添加的条件不能为（ ）
A．AB＝DE B．∠B＝∠E C．BC＝EC D．∠A＝∠D
6．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝9，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为30，则△BCD的周长是（ ）
A．20 B．24 C．26 D．28
7．将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，BE⊥AD于点E，CD⊥AD于点D，BE＝11，CD＝5，则DE的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．如图，边长为a的正方形分割成两个正方形和两个长方形，根据图中各部分面积之间的关系能验证的等式是（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．a（a+2b）＝a2+2ab
11．如图，在△ABC中，AD，BE分别为BC，AC边上的高，AD，BE相交于点F，AD＝BD，连接CF，则下列结论：①BF＝AC；②CF⊥AB；③若BF＝2EC，则△FDC周长等于AB的长；④∠FCD＝∠DAC．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
12．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．40°的余角是 °．
14．经过测量，不挂重物时弹簧长度为6厘米，挂上2.5千克的重物时弹簧长度为7.5厘米，那么弹簧长度y（厘米）与所挂重物的质量x（千克）的函数解析式为 ．
15．如图，BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PQ⊥BC于点Q，PQ＝5，O是BA上任意一点，连接OP，则OP的最小值为 ．
16．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△ACE＝3cm2，则S△ABC＝ ．
17．已知，则的值是 ．
18．如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数有 个．
三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）计算：．
20．（8分）先化简，再求值：（a﹣3b）2﹣（a+b）（a﹣b）+（4ab2﹣2b3）÷b，其中，．
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1．
（1）求∠DAB的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．
22．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的各顶点坐标；
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）在x轴上求作一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，请标出P点，并直接写出点P的坐标 ．
23．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF．
（1）求证：CF∥AB
（2）若∠A＝70°，∠F＝35°，BE⊥AC，求∠BED的度数．
24．A、B两地相距50km，甲于某日骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车从A地出发驶往B地，在这个变化过程中，甲和乙所行驶的路程用变量s（km）表示，甲所用的时间用变量t（时）表示，图中折线OPQ和线段MN分别表示甲和乙所行驶的路程s与t的变化关系，请根据图象回答：
（1）直接写出：甲出发后 小时，乙才开始出发；
（2）求乙行驶几小时后追上甲，此时两人距B地还有多少千米？
（3）请分别求出甲、乙的行驶速度？
25．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的大正方形．
（1）用两种不同的方法表示图2中大正方形的面积，可以得到（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系为 ；
（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知x+y＝7，x2+y2＝29，求xy和（x﹣y）2的值；
②已知（2024﹣a）2+（a﹣2023）2＝7，求（2024﹣a）（a﹣2023）的值．
26．如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，B，C，D三点共线，AD 与BE相交于点O，AD与CE交于点F，AC与BE交于点G．
（1）找出图中的一对全等三角形，并说明理由．
（2）求∠BOD的度数．
（3）连接GF，判断△CGF的形状，并说明理由．
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（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
考卷信息:
本卷试题共 26 题，单选 12题，填空6题，解答8题，满分 120 分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面题有深度，可衡量学生掌握本册内容的具体情况!
一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
2．下列运算正确的是（ ）
A．x6÷x3＝x2 B．（x3）2＝x5 C．x3 x4＝x7 D．x3+x3＝x6
【答案】C
【解答】解：A、x6÷x3＝x3≠x2，故错误，不符合题意；
B、（x3）2＝x6≠x5，故错误，不符合题意；
C、x3 x4＝x7，故正确，符合题意；
D、x3+x3＝2x3≠x6，故错误，不符合题意；
故选：C．
3．很多人可能都知道蓝鲸是迄今发现的地球上最大的动物，却都不了解体积最小的动物，世界上体积最小的动物要比蚂蚁小很多倍，它是被命名为H39的原生动物，它的最长直径也不过才0.0000003米．其中数据0.0000003用科学记数法表示为（ ）
A．0.3×10﹣6 B．3×10﹣6 C．3×10﹣7 D．3×107
【答案】C
【解答】解：0.0000003＝3×10﹣7．
故选：C．
4．如图，AB∥CD，∠CEF＝85°，则∠A的度数是（ ）
A．85° B．95° C．105° D．115°
【答案】B
【解答】解：∵∠CEF＝85°，
∴∠DEF＝180°﹣∠CEF＝180°﹣85°＝95°，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠DEF＝95°，
故选：B．
5．如图，已知CA＝CD，∠1＝∠2，如果只添加一个条件（不加辅助线）使△ABC≌△DEC，则添加的条件不能为（ ）
A．AB＝DE B．∠B＝∠E C．BC＝EC D．∠A＝∠D
【答案】A
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠ACE＝∠2+∠ACE，即∠ACB＝∠DCE．
又∵CA＝CD，
∴可以添加BC＝EC，此时满足SAS；
添加条件∠A＝∠D，此时满足ASA；
添加条件∠B＝∠E，此时满足AAS；
添加条件AB＝DE，不能证明△ABC≌△DEC．
故选：A．
6．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝9，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为30，则△BCD的周长是（ ）
A．20 B．24 C．26 D．28
【答案】B
【解答】解：∵BD是AC边上的中线，
∴CD＝AD，
∵△ABD的周长为30，
∴AB+AD+BD＝30，
∴15+CD+BD＝30，
∴CD+BD＝15，
∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝15+9＝24，
故选：B．
7．将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h随t的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h不再变化．
故选：B．
8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【解答】解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴S△ABC＝×4×2+AC×2＝7，
解得AC＝3．
故选：D．
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，BE⊥AD于点E，CD⊥AD于点D，BE＝11，CD＝5，则DE的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解答】解：∵∠BAC＝90°，BE⊥AD，CD⊥AD，
∴∠BEA＝∠CDA＝90°，∠CAD+∠BAE＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠ACD＝∠BAE，
在△CDA和△AEB中，
，
∴△CDA≌△AEB（AAS），
∴CD＝AE，AD＝BE，
∵ED＝AD﹣AE，
∴ED＝BE﹣CD，
∵BE＝11，CD＝5，
∴ED＝11﹣5＝6．
故选：B．
10．如图，边长为a的正方形分割成两个正方形和两个长方形，根据图中各部分面积之间的关系能验证的等式是（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．a（a+2b）＝a2+2ab
【答案】B
【解答】解：边长是（a﹣b）的小正方形的面积是：（a﹣b）2，
同时是：边长是a的正方形的面积﹣2个边长是a与b的矩形的面积+边长是b的正方形的面积，
即：a2﹣2ab+b2，
则：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
故选：B．
11．如图，在△ABC中，AD，BE分别为BC，AC边上的高，AD，BE相交于点F，AD＝BD，连接CF，则下列结论：①BF＝AC；②CF⊥AB；③若BF＝2EC，则△FDC周长等于AB的长；④∠FCD＝∠DAC．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【解答】解：如图，延长CF交AB于H，
∵AD，BE分别为BC，AC边上的高，
∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEA＝∠BEC＝90°，
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝45°＝∠BAD＝45°，
∵∠DAC+∠ACB＝∠DBF+∠ACB＝90°，
∴∠DAC＝∠DBF，
在△DBF和△DAC中，
，
∴△DBF≌△DAC（ASA），
∴BF＝AC，DF＝DC，
故①符合题意；
∵∠ABC＝45°，∠FCD＝45°，
∴∠BHC＝180°﹣∠ABC﹣∠FCD＝90°，
∴CF⊥AB，
故②符合题意；
∵BF＝2EC，BF＝AC，
∴AC＝2EC，
∴AE＝EC，
∵BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，
∴AF＝CF，BA＝BC，
∴△FDC的周长＝FD+FC+DC＝FD+AF+DC＝AD+DC＝BD+DC＝BC＝AB，
故③符合题意；
∵∠FDC＝90°，
∴∠DFC＝∠FCD＝45°，
∵∠DFC＞∠DAC，
∴∠FCD＞∠DAC，
故④不符合题意；
∴正确的有①②③．
故选：A．
12．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，作点N关于直线BD的对称点N′，连接MN′
∵BD平分∠ABC，N，N′关于BD对称，
∴点N′在BA上，MN＝MN′，
∴CM+MN＝CM+MN′≥CE，
∴当点C，M，N′共线，且与CE重合时，CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面积为8，AB＝4，
∴×4 CE＝8，
∴CE＝4．
即CM+MN的最小值为4．
故选：B．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．40°的余角是 50 °．
【答案】50．
【解答】解：∵40°+50°＝90°，
∴40°的余角是50°，
故答案为：50．
14．经过测量，不挂重物时弹簧长度为6厘米，挂上2.5千克的重物时弹簧长度为7.5厘米，那么弹簧长度y（厘米）与所挂重物的质量x（千克）的函数解析式为 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设函数解析式为y＝kx+b，
由题意得：b＝6，
∵挂上2.5千克的重物时弹簧长度为7.5厘米，
∴可得7.5＝2.5x+6，
解得k＝，即y＝x+6．
故答案为：y＝x+6．
15．如图，BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PQ⊥BC于点Q，PQ＝5，O是BA上任意一点，连接OP，则OP的最小值为 5 ．
【答案】5．
【解答】解：∵O是BA上任意一点，
∴当PO⊥BA时，OP的值最小，
又∵BD平分∠ABC，P是BD上一点，PQ⊥BC，PQ＝5
∴OP的最小值为5．
故答案为：5．
16．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△ACE＝3cm2，则S△ABC＝ 12cm2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵CE是△ACD的中线，
∴S△ACD＝2S△ACE＝6cm2．
∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABC＝2S△ACD＝12cm2．
故答案为：12cm2．
17．已知，则的值是 14 ．
【答案】14．
【解答】解：∵，
∴
∴，
∴．
故答案为：14．
18．如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数有 6 个．
【答案】6．
【解答】解：如图所示：
分两种种情况：
当C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC；
当C在C5，C6位置上时，AB＝BC；
即满足点C的个数是6，
故答案为：6．
三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）计算：．
【答案】3．
【解答】解：原式＝1﹣8﹣（﹣1）+9
＝﹣7+1+9
＝3．
20．（8分）先化简，再求值：（a﹣3b）2﹣（a+b）（a﹣b）+（4ab2﹣2b3）÷b，其中，．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝a2﹣6ab+9b2﹣a2+b2+4ab﹣2b2
＝a2﹣a2+9b2+b2﹣2b2+4ab﹣6ab
＝8b2﹣2ab，
当时，
原式＝
＝
＝
＝．
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1．
（1）求∠DAB的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝＝＝2，
∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵CD＝3，DA＝1，
∴AD2+AC2＝12+（2）2＝9，CD2＝32＝9，
∴AD2+AC2＝CD2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠DAC＝90°，
∴∠DAB＝∠BAC+∠DAC＝135°，
∴∠DAB的度数为135°；
（2）由题意得：
四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积
＝AB BC+AD AC
＝×2×2+×1×2
＝2+，
∴四边形ABCD的面积为2+．
22．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的各顶点坐标；
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
（3）在x轴上求作一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，请标出P点，并直接写出点P的坐标 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵△ABC与△A1B1C1关于x轴对称，
∴点A1（1，﹣1），B1（4，﹣2），C1（3，﹣4）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）如图，点P即为所求，
点P的坐标为（2，0）．
故答案为：（2，0）．
23．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF．
（1）求证：CF∥AB
（2）若∠A＝70°，∠F＝35°，BE⊥AC，求∠BED的度数．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）15°．
【解答】（1）证明：∵E为AC中点，
∴AE＝CE，
在△AED和△CEF中，
，
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴∠A＝∠ACF，
∴CF∥AB；
（2）解：∵∠A＝∠ACF＝70°，∠F＝35°，
∴∠AED＝∠CEF＝180°﹣70°﹣35°＝75°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BED＝90°﹣75°＝15°
24．A、B两地相距50km，甲于某日骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车从A地出发驶往B地，在这个变化过程中，甲和乙所行驶的路程用变量s（km）表示，甲所用的时间用变量t（时）表示，图中折线OPQ和线段MN分别表示甲和乙所行驶的路程s与t的变化关系，请根据图象回答：
（1）直接写出：甲出发后 小时，乙才开始出发；
（2）求乙行驶几小时后追上甲，此时两人距B地还有多少千米？
（3）请分别求出甲、乙的行驶速度？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）t＝1时，S＝0，
所以甲出发后1小时，乙才开始出发；
故答案为1；
（2）设乙行驶x小时后追上甲，
根据题意得20+ t＝t ，
解得t＝，
即乙行驶小时后追上甲，此时两人距B地还有50﹣×25＝（千米）；
答：乙行驶小时后追上甲，此时两人距B地还有千米；
（3）乙的速度为：50÷（3﹣1）＝25千米/时，
甲出发1小时之前的速度为：20÷1＝20千米/时，
甲出发1小时后的速度为：（50﹣20）÷（4﹣1）＝10千米/时．
25．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的大正方形．
（1）用两种不同的方法表示图2中大正方形的面积，可以得到（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系为 ；
（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知x+y＝7，x2+y2＝29，求xy和（x﹣y）2的值；
②已知（2024﹣a）2+（a﹣2023）2＝7，求（2024﹣a）（a﹣2023）的值．
【答案】见解析．
【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+b2+2ab；
（2）①∵2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝72﹣29＝20，
∴xy＝20÷2＝10；
（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝29﹣20＝9；
②设2024﹣a＝x，a﹣2023＝y，
∴x+y＝2024﹣a+a﹣2023＝1，
∵（2024﹣a）2+（a﹣2023）2＝7，
∴x2+y2＝7，
∴（x+y）2﹣2xy＝7，
∴12﹣2xy＝7，
∴xy＝﹣3，
∴（2024﹣a）（a﹣2023）＝﹣3．
26．如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，B，C，D三点共线，AD 与BE相交于点O，AD与CE交于点F，AC与BE交于点G．
（1）找出图中的一对全等三角形，并说明理由．
（2）求∠BOD的度数．
（3）连接GF，判断△CGF的形状，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）△BCE≌△ACD
理由：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝∠BAC＝60°，
∴∠BCA+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，
∵∠BCE＝∠ACD．
在△BCE和△ACD中，
∴△BCE≌△ACD（SAS）；
（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠ADC＝∠BEC．
∵∠AOB＝∠EBC+∠ADC，
∴∠AOB＝∠EBC+∠BEC＝∠DCE＝60°．
∵∠AOB+∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝120°；
（3）∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBE＝∠CAD．
∵∠BCA＝∠ECD＝60°
∴∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝∠BCA．
在△BGC和△AFC中，
，
∴△BGC≌△AFC（ASA），
∴GC＝FC．
∵∠GCF＝60°，
∴△GFC是等边三角形．
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