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专题01-02 整式的乘除与平行线（压轴必刷14种题型45题）
一．规律型：数字的变化类（共1小题）
1．为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S＝1+2+22+23+…+22011+22012，则2S＝2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S﹣S＝22013﹣1，所以1+22+23+…+22012＝22013﹣1．仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是（ ）
A．52013﹣1 B．52013+1 C． D．
二．幂的乘方与积的乘方（共1小题）
2．（1）若10x＝3，10y＝2，求代数式103x+4y的值．
（2）已知：3m+2n﹣6＝0，求8m 4n的值．
三．多项式乘多项式（共1小题）
3．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片 张．
四．完全平方公式（共6小题）
4．若a+b＝3，则2a2+4ab+2b2﹣6的值是（ ）
A．12 B．6 C．3 D．0
5．观察下列各式及其展开式
（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 ．
请你猜想（2x﹣1）11的展开式中含x2项的系数是 ．
6．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：
（a+b）0＝1
（a+b）1＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a+b）5＝ ，并说出第7排的第三个数是 ．
7．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：
根据前面各式的规律，则（a+b）6＝ ．
8．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2．
例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；
（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；
（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4＝0，求a+b+c的值．
9．阅读理解：
若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．
解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80
解决问题：
（1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2．则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝ ；
（2）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020，求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为 平方单位．
五．完全平方公式的几何背景（共2小题）
10．如图所示，边长分别为a和b的两个正方形拼接在一起，则图中阴影部分的面积为 ．
11．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示）
（2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积．
（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系．
六．平方差公式（共2小题）
12．（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1的个位数字（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
13．计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝ ．
七．平方差公式的几何背景（共2小题）
14．如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为 ．
15．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C、a2+ab＝a（a+b）
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．
②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．
八．整式的混合运算（共3小题）
16．7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（ ）
A．a＝b B．a＝3b C．a＝b D．a＝4b
17．如图，长方形ABCD的边BC＝13，E是边BC上的一点，且BE＝BA＝10．F，G分别是线段AB，CD上的动点，且BF＝DG，现以BE，BF为边作长方形BEHF，以DG为边作正方形DGIJ，点H，I均在长方形ABCD内部．记图中的阴影部分面积分别为S1，S2，长方形BEHF和正方形DGIJ的重叠部分是四边形KILH，当四边形KILH的邻边比为3：4时，S1+S2的值为 ．
18．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，
则：若n＝449，则第449次“F运算”的结果是 ．
九．余角和补角（共3小题）
19．数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，请解决以下问题：
（1）如图（1）：当∠DCE＝30°时，∠ACB+∠DCE＝ ，若∠DCE为任意锐角时，你还能求出∠ACB与∠DCE的数量关系吗？若能，请求出；若不能，请说明理由．
（2）当转动到图（2）情况时，∠ACB与∠DCE有怎样的数量关系？请说明理由．
20．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝2∠AOC，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转45°至图2的位置，此时∠MOC＝ °；
（2）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；
（3）在上述直角三角板从图1逆时针旋转一周的过程中，若三角板绕点O按5°每秒的速度旋转，当直角三角板的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时三角板绕点O的运动时间t的值．
21．如图1，点O为直线AB上点，过点O作射线OC，使∠BOC＝50°．现将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OD与射线OB重合，如图2．
（1）∠EOC＝ ；
（2）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠EOB的角平分线，求∠BOD的度数；
（3）将三角板DOE绕点O逆时针旋转，在OE与OA重合前，是否有某个时刻满足∠DOC＝∠AOE，求此时∠BOD的度数．
一十．相交线（共1小题）
22．观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字．
则n条直线最多有 个交点．
一十一．对顶角、邻补角（共1小题）
23．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．
（1）求∠BOD的度数；
（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．
①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；
②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．
一十二．垂线（共1小题）
24．如图，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．
（1）填空：∠OBC+∠ODC＝ ；
（2）如图1：若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，求证：DE⊥BF：
（3）如图2：若BF、DG分别平分∠CBM、∠NDC，判断BF与DG的位置关系，并说明理由．
一十三．平行线的判定（共3小题）
25．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直
C．平行或垂直 D．无法确定
26．如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD，∠DCF＝60°，∠EAB＝70°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间＝ ．
27．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°．
（1）若∠1＝25°，则∠2的度数为 ；
（2）直接写出∠1与∠3的数量关系： ；
（3）直接写出∠2与∠ACB的数量关系： ；
（4）如图2，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？请直接写出∠ACE角度所有可能的值 ．
一十四．平行线的性质（共18小题）
28．如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
29．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（ ）
A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90°
C．x+y+z＝180° D．y+z﹣x＝90°
30．如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H＝27°，则∠K＝（ ）
A．76° B．78° C．80° D．82°
31．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A＝130°，第二次拐角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C为（ ）
A．170° B．160° C．150° D．140°
32．珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC＝120°，∠BCD＝80°，则∠CDE＝ 度．
33．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝49°，则∠2﹣∠1＝ ．
34．如图，将长方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠FEA″＝105°，则∠CFE＝ 度．
35．如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝ 度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝ 度．
36．如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若∠DEF＝72°，则∠GMN＝ °．
37．如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝a°．则下列结论：①∠BOE＝（180﹣a）°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正确结论 （填编号）．
38．已知直线AB∥CD．
（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为 ；
（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，直线MB、ND交于点F，则＝ ．
39．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝40°，求∠MGN+∠MPN的度数；
（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝102°，求∠AME的度数．（直接写出结果）
40．如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）求∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，∠APB：∠ADB的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；
（3）当点P运动到某处时，∠ACB＝∠ABD，求此时∠ABC的度数．
41．如图1，AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B，过B作BD⊥AM．
（1）求证：∠ABD＝∠C；
（2）如图2，在（1）问的条件下，分别作∠ABD、∠DBC的平分线交DM于E、F，若∠BFC＝1.5∠ABF，∠FCB＝2.5∠BCN，
①求证：∠ABF＝∠AFB；
②求∠CBE的度数．
42．如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．
（1）如图1，若∠1与∠2都是锐角，请写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系并说明理由．
（2）把直角三角形ABC如图2摆放，直角顶点C在两条平行线之间，CB与PQ交于点D，CA与MN交于点E，BA与PQ交于点F，点G在线段CE上，连接DG，有∠BDF＝∠GDF，求的值．
（3）如图3，若点D是MN下方一点，BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，已知∠PBC＝25°，求∠ACB+∠ADB的度数．
43．已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F．
（1）如图①，当∠A＝20°，∠APC＝70°时，求∠C的度数；
（2）如图②，当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点），∠A、∠APC与∠C之间有怎样的数量关系？试证明你的结论；
（3）如图③，当点P在线段EF的延长线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，试探究它们之间新的数量关系并证明．
44．已知：直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．
（1）如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝72°，直接写出∠BED的度数；
（2）如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ADC＝x，∠ABC＝y，求∠BED的度数（用含有x，y的式子表示）．
45．（1）【问题解决】如图1，已知AB∥CD，∠BEP＝36°，∠CFP＝152°，求∠EPF的度数；
（2）【问题迁移】如图2，若AB∥CD，点P在AB的上方，则∠PFC，∠PEA，∠EPF之间有何数量关系？并说明理由；
（3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数（结果用含α的式子表示）．
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专题01-02 整式的乘除与平行线（压轴必刷14种题型45题）
一．规律型：数字的变化类（共1小题）
1．为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S＝1+2+22+23+…+22011+22012，则2S＝2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S﹣S＝22013﹣1，所以1+22+23+…+22012＝22013﹣1．仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是（ ）
A．52013﹣1 B．52013+1 C． D．
【答案】D
【解答】解：令S＝1+5+52+53+…+52012，
则5S＝5+52+53+…+52012+52013，
5S﹣S＝﹣1+52013，
4S＝52013﹣1，
则S＝．
故选：D．
二．幂的乘方与积的乘方（共1小题）
2．（1）若10x＝3，10y＝2，求代数式103x+4y的值．
（2）已知：3m+2n﹣6＝0，求8m 4n的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵10x＝3，10y＝2，
∴代数式103x+4y＝（10x）3×（10y）4
＝33×24
＝432；
（2）∵3m+2n﹣6＝0，
∴3m+2n＝6，
∴8m 4n＝23m 22n＝23m+2n＝26＝64．
三．多项式乘多项式（共1小题）
3．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片 3 张．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
则需要C类卡片3张．
故答案为：3．
四．完全平方公式（共6小题）
4．若a+b＝3，则2a2+4ab+2b2﹣6的值是（ ）
A．12 B．6 C．3 D．0
【答案】A
【解答】解：∵2a2+4ab+2b2﹣6＝2（a+b）2﹣6，
∴原式＝2×32﹣6＝18﹣6＝12．
故选：A．
5．观察下列各式及其展开式
（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 ．
请你猜想（2x﹣1）11的展开式中含x2项的系数是 ﹣220 ．
【答案】﹣220．
【解答】解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，
……
依据规律可得到：
（a+b）2倒数第三项的系数为1，
（a+b）3倒数第三项的系数为3＝1+2，
（a+b）4倒数第三项的系数为6＝1+2+3，
…
∵（2x﹣1）11展开式有12项，其中含有x2的是第10项为：1+2+3+…+9+10＝55，
∴含有x2项的系数为：22×（﹣1）9×55＝﹣220，
故答案为：﹣220．
6．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：
（a+b）0＝1
（a+b）1＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a+b）5＝ a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 ，并说出第7排的第三个数是 15 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
第7排的第三个数是15，
故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；15；
7．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：
根据前面各式的规律，则（a+b）6＝ a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
故本题答案为：a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
8．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2．
例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；
（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；
（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4＝0，求a+b+c的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）x2﹣4x+2的三种配方分别为：
x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，
x2﹣4x+2＝（x+）2﹣（2+4）x，
x2﹣4x+2＝（x﹣）2﹣x2；
（2）a2+ab+b2＝（a+b）2﹣ab，
a2+ab+b2＝（a+b）2+b2；
（3）a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4，
＝（a2﹣ab+b2）+（b2﹣3b+3）+（c2﹣2c+1），
＝（a2﹣ab+b2）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣2c+1），
＝（a﹣b）2+（b﹣2）2+（c﹣1）2＝0，
从而有a﹣b＝0，b﹣2＝0，c﹣1＝0，
即a＝1，b＝2，c＝1，
∴a+b+c＝4．
9．阅读理解：
若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．
解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80
解决问题：
（1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2．则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝ 12 ；
（2）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020，求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为 384 平方单位．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设2020﹣x＝a，x﹣2016＝b，则（2020﹣x）（x﹣2016）＝ab＝2，a+b＝（2020﹣x）+（x﹣2016）＝4，
所以（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×2＝12；
故答案为：12；
（2）设2021﹣x＝a，x﹣2018＝b，则（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝a2+b2＝2020，a+b＝（2021﹣x）+（x﹣2018）＝3，
所以（2021﹣x）（x﹣2018）＝ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝×（32﹣2020）＝﹣；
答：（2021﹣x）（x﹣2018）的值为﹣；
（3）由题意得，FC＝（20﹣x），EC＝（12﹣x），
∵长方形CEPF的面积为160，
∴（20﹣x）（12﹣x）＝160，
∴（20﹣x）（x﹣12）＝﹣160，
∴阴影部分的面积为（20﹣x）2+（12﹣x）2，
设20﹣x＝a，x﹣12＝b，则（20﹣x）（x﹣12）＝ab＝﹣160，a+b＝（20﹣x）+（x﹣12）＝8，
所以（20﹣x）2+（x﹣12）2＝（20﹣x）2+（12﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝82﹣2×（﹣160）＝384；
故答案为：384．
五．完全平方公式的几何背景（共2小题）
10．如图所示，边长分别为a和b的两个正方形拼接在一起，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：图中阴影部分的面积为：
b（a+b）﹣a（b﹣a）﹣a（a+b）﹣b2
＝ab+b2﹣+a2﹣a2﹣﹣b2
＝b2
故答案为：．
11．如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示）
（2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积．
（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）图2的空白部分的边长是2a﹣b
（2）由图21﹣2可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，
∵大正方形的边长＝2a+b＝7，∴大正方形的面积＝（2a+b）2＝49，
又∵4个小长方形的面积之和＝大长方形的面积＝4a×2b＝8ab＝8×3＝24，
∴小正方形的面积＝（2a﹣b）2＝49﹣24＝25
（3）由图2可以看出，大正方形面积＝空白部分的正方形的面积+四个小长方形的面积
即：（2a+b）2﹣（2a﹣b）2＝8ab．
六．平方差公式（共2小题）
12．（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1的个位数字（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解答】解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1
＝（24﹣1）（24+1）…（232+1）﹣1
＝264﹣1﹣1
＝264﹣2，
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，
25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，
∴2n的个位数字为2，4，8，6四个数字的循环．
∵64÷4＝16，
∴264﹣2的个位数字是4．
故选：B．
13．计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+，
＝（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+，
＝（532﹣1）+，
＝．
七．平方差公式的几何背景（共2小题）
14．如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为 2m+4 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设拼成的矩形的另一边长为x，
则4x＝（m+4）2﹣m2＝（m+4+m）（m+4﹣m），
解得x＝2m+4．
故答案为：2m+4．
15．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 B ；（请选择正确的一个）
A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C、a2+ab＝a（a+b）
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．
②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b），
则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案是B；
（2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），
∴12＝4（x﹣2y）
得：x﹣2y＝3；
②原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）
＝××××××…××××
＝×
＝．
八．整式的混合运算（共3小题）
16．7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（ ）
A．a＝b B．a＝3b C．a＝b D．a＝4b
【答案】B
【解答】解：左上角阴影部分的长为AE，宽为AF＝3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，
∵AD＝BC，即AE+ED＝AE+a，BC＝BP+PC＝4b+PC，
∴AE+a＝4b+PC，即AE﹣PC＝4b﹣a，
∴阴影部分面积之差S＝AE AF﹣PC CG＝3bAE﹣aPC＝3b（PC+4b﹣a）﹣aPC＝（3b﹣a）PC+12b2﹣3ab，
则3b﹣a＝0，即a＝3b．
解法二：既然BC是变化的，当点P与点C重合开始，然后BC向右伸展，
设向右伸展长度为X，左上阴影增加的是3bX，右下阴影增加的是aX，因为S不变，
∴增加的面积相等，
∴3bX＝aX，
∴a＝3b．
故选：B．
17．如图，长方形ABCD的边BC＝13，E是边BC上的一点，且BE＝BA＝10．F，G分别是线段AB，CD上的动点，且BF＝DG，现以BE，BF为边作长方形BEHF，以DG为边作正方形DGIJ，点H，I均在长方形ABCD内部．记图中的阴影部分面积分别为S1，S2，长方形BEHF和正方形DGIJ的重叠部分是四边形KILH，当四边形KILH的邻边比为3：4时，S1+S2的值为 7或 ．
【答案】7或．
【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝CD＝10，AD＝BC＝13．
∵四边形DGIJ为正方形，四边形BFHE为矩形，BF＝DG，
∴四边形KILH为矩形，KI＝HL＝2DG﹣AB＝2DG﹣10．
∵BE＝BA＝10，
∴LG＝EC＝3，
∴KH＝IL＝DG﹣LG＝DG﹣3．
当矩形KILH的邻边的比为3：4时，（DG﹣3）：（2DG﹣10）＝3：4，或（2DG﹣10）：（DG﹣3）＝3：4，
解得DG＝9或．
当DG＝9时，AF＝CG＝1，AJ＝4，
∴S1+S2＝AF AJ+CE CG＝1×4+1×3＝7；
当DG＝时，AF＝CG＝，AJ＝，
∴S1+S2＝AF AJ+CE CG
＝
＝．
故答案为7或．
18．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，
则：若n＝449，则第449次“F运算”的结果是 8 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n＝449为奇数应先进行F①运算，
即3×449+5＝1352（偶数），
需再进行F②运算，
即1352÷23＝169（奇数），
再进行F①运算，得到3×169+5＝512（偶数），
再进行F②运算，即512÷29＝1（奇数），
再进行F①运算，得到3×1+5＝8（偶数），
再进行F②运算，即8÷23＝1，
再进行F①运算，得到3×1+5＝8（偶数），…，
即第1次运算结果为1352，…，
第4次运算结果为1，第5次运算结果为8，…，
可以发现第6次运算结果为1，第7次运算结果为8，
从第6次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次为1，而第499次是奇数，
这样循环计算一直到第449次“F运算”，得到的结果为8．
故本题答案为：8．
九．余角和补角（共3小题）
19．数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，请解决以下问题：
（1）如图（1）：当∠DCE＝30°时，∠ACB+∠DCE＝ 30° ，若∠DCE为任意锐角时，你还能求出∠ACB与∠DCE的数量关系吗？若能，请求出；若不能，请说明理由．
（2）当转动到图（2）情况时，∠ACB与∠DCE有怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∠ACB+∠DCE＝180°；
若∠DCE为任意锐角时，∠ACB+∠DCE＝180°，
理由如下：∵∠ACE+∠DCE＝90°，
∠BCD+∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝∠ACE+∠DCE+∠BCD+∠DCE＝90°+90°＝180°；
（2）∠ACB+∠DCE＝180°．
理由如下：∵∠ACD＝90°＝∠ECB，∠ACD+∠ECB+∠ACB+∠DCE＝360°，
∴∠ECD+∠ACB＝360°﹣（∠ACD+∠ECB）＝360°﹣180°＝180°．
故答案为30°．
20．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝2∠AOC，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转45°至图2的位置，此时∠MOC＝ 75 °；
（2）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；
（3）在上述直角三角板从图1逆时针旋转一周的过程中，若三角板绕点O按5°每秒的速度旋转，当直角三角板的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时三角板绕点O的运动时间t的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠BOC+∠AOC＝180°，∠BOC＝2∠AOC，
∴∠AOC＝60°，∠BOC＝120°，
由旋转可知∠BOM＝45°，
∵OB平方∠MON，
∴∠MOC＝120°﹣45°＝75°．
故答案为：75．
（2）由（1）得∠AOC＝60°，
∵∠MON＝90°，
∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°，
∴∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝30°．
（3）由（1）得∠AOC＝60°，
①如图，延长NO，
当直线ON恰好平分锐角∠AOC，
∴∠AOD＝∠COD＝30°，
即逆时针旋转60°时NO延长线平分∠AOC，
由题意得，5t＝60，
∴t＝12；
如图，当NO平分∠AOC，
∴∠AON＝30°，
即逆时针旋转240°时NO平分∠AOC，
∴5t＝240，
∴t＝48，
∴三角板绕点O的运动时间为12秒或48秒．
21．如图1，点O为直线AB上点，过点O作射线OC，使∠BOC＝50°．现将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OD与射线OB重合，如图2．
（1）∠EOC＝ 40° ；
（2）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠EOB的角平分线，求∠BOD的度数；
（3）将三角板DOE绕点O逆时针旋转，在OE与OA重合前，是否有某个时刻满足∠DOC＝∠AOE，求此时∠BOD的度数．
【答案】（1）40°；
（2）10°；
（3）30°或60°．
【解答】解：（1）∵∠DOE＝90°，∠DOC＝50°，
∴∠EOC＝90°﹣50°＝40°，
故答案为：40°；
（2）设∠BOD＝α，
∴∠COD＝50°﹣α，
∵∠DOE＝90°，
∴∠COE＝90°﹣∠COD，
∵OC是∠EOB的角平分线，
∴∠COE＝∠BOC＝50°，
∴90°﹣∠COD＝90°﹣（50°﹣α）＝50°，
∴α＝10°，
∴∠BOD＝10°；
（3）设∠COD＝β，则∠AOE＝3β，
当OD在射线OC的右边，
∵∠BOC＝50°，
∴∠BOD＝50°﹣β，
∵∠DOE＝90°，
∴∠AOE+∠BOD＝90°，
∴3β+50°﹣β＝90°，
∴β＝20°，
∴∠BOD＝50°﹣20°＝30°．
当OD在射线OC的左边，
同理可得∠BOD＝50°+10°＝60°
一十．相交线（共1小题）
22．观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字．
则n条直线最多有 个交点．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵两条直线相交，最多有1个交点，即1＝，
三条直线两条直线相交，最多有3个交点，即3＝
四条直线相交，最多有6个交点，即6＝
5条直线相交，最多有10个交点，即5＝，
∴n条直线相交，最多的交点个数是，
故答案为：．
一十一．对顶角、邻补角（共1小题）
23．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．
（1）求∠BOD的度数；
（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．
①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；
②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠COE＝60°，OA平分∠COE，
∴∠AOC＝30°，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD＝180°﹣30°﹣90°＝60°；
（2）①分两种情况：
①当OE平分∠AOB时，∠AOE＝45°，
即9°t+30°﹣3°t＝45°，
解得t＝2.5；
②当OF平分∠AOB时，∠AOF＝45°，
即9°t﹣150°﹣3°t＝45°，
解得t＝32.5；
综上所述，当t＝2.5s或32.5s时，直线EF平分∠AOB；
②t的值为12s或36s．
分两种情况：
①当OE平分∠BOD时，∠BOE＝∠BOD，
即9°t﹣60°﹣3°t＝（60°﹣3°t），
解得t＝12；
②当OF平分∠BOD时，∠DOF＝∠BOD，
即9°t﹣300°＝（3°t﹣60°），
解得t＝36；
综上所述，若直线EF平分∠BOD，t的值为12s或36s．
一十二．垂线（共1小题）
24．如图，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．
（1）填空：∠OBC+∠ODC＝ 180° ；
（2）如图1：若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，求证：DE⊥BF：
（3）如图2：若BF、DG分别平分∠CBM、∠NDC，判断BF与DG的位置关系，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：∵OM⊥ON，
∴∠MON＝90°，
在四边形OBCD中，∠C＝∠BOD＝90°，
∴∠OBC+∠ODC＝360°﹣90°﹣90°＝180°；
故答案为180°；
（2）证明：延长DE交BF于H，如图1，
∵∠OBC+∠ODC＝180°，
而∠OBC+∠CBM＝180°，
∴∠ODC＝∠CBM，
∵DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，
∴∠CDE＝∠FBE，
而∠DEC＝∠BEH，
∴∠BHE＝∠C＝90°，
∴DE⊥BF；
（3）解：DG∥BF．理由如下：
作CQ∥BF，如图2，
∵∠OBC+∠ODC＝180°，
∴∠CBM+∠NDC＝180°，
∵BF、DG分别平分∠CBM、∠NDC，
∴∠GDC+∠FBC＝90°，
∵CQ∥BF，
∴∠FBC＝∠BCQ，
而∠BCQ+∠DCQ＝90°，
∴∠DCQ＝∠GDC，
∴CQ∥GD，
∴BF∥DG．
一十三．平行线的判定（共3小题）
25．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直
C．平行或垂直 D．无法确定
【答案】A
【解答】解：∵l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，l5⊥l6，l6∥l7，l7⊥l8，
∴l2⊥l4，l4⊥l6，l6⊥l8，
∴l2⊥l8．
∵l1⊥l2，
∴l1∥l8．
故选：A．
26．如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD，∠DCF＝60°，∠EAB＝70°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间＝ 秒或秒 ．
【答案】 秒或秒．
【解答】解：∵∠EAB＝70°，∠DCF＝60°，
∴∠BAC＝110°，∠ACD＝120°，
分二种情况：
如图①，AB与CD在EF的两侧时，
∠ACD＝120°﹣（4t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAC，
即120°﹣（4t）°＝110°﹣t°，
解得t＝；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∠DCF＝360°﹣（4t）°﹣60°＝300°﹣（4t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即300°﹣（4t）°＝110°﹣t°，
解得t＝；
综上所述，当时间t的值为 或秒时，CD与AB平行．
故答案为： 秒或秒．
27．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°．
（1）若∠1＝25°，则∠2的度数为 65° ；
（2）直接写出∠1与∠3的数量关系： ∠1＝∠3 ；
（3）直接写出∠2与∠ACB的数量关系： ∠2+∠ACB＝180° ；
（4）如图2，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？请直接写出∠ACE角度所有可能的值 30°或45°或120°或135°或165° ．
【答案】（1）65°；
（2）∠1＝∠3；
（3）∠2+∠ACB＝180°；
（4）30°或45°或120°或135°或165°．
【解答】解：（1）∵∠1＝25°，∠ACD＝90°，
∴∠2＝∠ACD﹣∠1＝65°，
故答案为：65°；
（2）∵∠1+∠2＝∠ACD＝90°，∠2+∠3＝∠BCE＝90°，
∴∠1+∠2＝∠2+∠3，
∴∠1＝∠3，
故答案为：∠1＝∠3；
（3）∵∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴∠ACB+∠2
＝∠1+∠2+∠3+∠2
＝∠ACD+∠BCE
＝180°，
即∠2+∠ACB＝180°，
故答案为：∠2+∠ACB＝180°；
（4）存在，
①当BC∥AD时，
∵BC∥AD，
∴∠BCD＝∠D＝30°，
∴∠ACB＝90°+30°＝120°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝120°﹣90°＝30°；
②当BE∥AC时，如图，
∵BE∥AC，
∴∠ACE＝∠E＝45°；
③当AD∥CE时，如图，
∵AD∥CE，
∴∠DCE＝∠D＝30°，
∴∠ACE＝90°+30°＝120°；
④当BE∥CD时，如图，
∵BE∥CD，
∴∠DCE＝∠E＝45°，
∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝135°；
⑤当BE∥AD时，如图，
过点C作CF∥AD，
∵BE∥AD，CF∥AD，
∴BE∥AD∥CF，
∴∠ECF＝∠E＝45°，∠DCF＝∠D＝30°，
∴∠DCE＝30°+45°＝75°，
∴∠ACE＝90°+75°＝165°．
综上所述：当∠ACE＝30°或45°或120°或135°或165°时，有一组边互相平行．
故答案为：30°或45°或120°或135°或165°．
一十四．平行线的性质（共18小题）
28．如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【解答】解：设FBE＝∠FEB＝α，则∠AFE＝2α，
∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH＝∠GEF＝β，
∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，
而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，
∠DEH＝100°，则∠CEH＝∠FAE＝80°，
∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠HEG＝180°﹣2β，
在△AEF中，80°+2α+180°﹣2β＝180°
故β﹣α＝40°，
而∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝β﹣α＝40°，
故选：B．
29．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（ ）
A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90°
C．x+y+z＝180° D．y+z﹣x＝90°
【答案】B
【解答】解：过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，
则∠CDE＝∠E+∠CNE，
即∠CNE＝y﹣z
∵CM∥AB，AB∥EF，
∴CM∥AB∥EF，
∴∠ABC＝x＝∠1，∠2＝∠CNE，
∵∠BCD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴x+y﹣z＝90°．
故选：B．
30．如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H＝27°，则∠K＝（ ）
A．76° B．78° C．80° D．82°
【答案】B
【解答】解：如图，分别过K、H作AB的平行线MN和RS，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥RS∥MN，
∴∠RHB＝∠ABE＝∠ABK，∠SHC＝∠DCF＝∠DCK，∠NKB+∠ABK＝∠MKC+∠DCK＝180°，
∴∠BHC＝180°﹣∠RHB﹣∠SHC＝180°﹣（∠ABK+∠DCK），
∠BKC＝180°﹣∠NKB﹣∠MKC＝180°﹣（180°﹣∠ABK）﹣（180°﹣∠DCK）＝∠ABK+∠DCK﹣180°，
∴∠BKC＝360°﹣2∠BHC﹣180°＝180°﹣2∠BHC，
又∠BKC﹣∠BHC＝27°，
∴∠BHC＝∠BKC﹣27°，
∴∠BKC＝180°﹣2（∠BKC﹣27°），
∴∠BKC＝78°，
故选：B．
31．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A＝130°，第二次拐角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C为（ ）
A．170° B．160° C．150° D．140°
【答案】B
【解答】解：如图，过点B作BD∥AE，
由已知可得：AE∥CF，
∴AE∥BD∥CF，
∴∠ABD＝∠A＝130°，∠DBC+∠C＝180°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝150°﹣130°＝20°，
∴∠C＝180°﹣∠DBC＝180°﹣20°＝160°．
故选：B．
32．珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC＝120°，∠BCD＝80°，则∠CDE＝ 20 度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：过点C作CF∥AB，
已知珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来相同，
∴AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠BCF+∠ABC＝180°，
∴∠BCF＝60°，
∴∠DCF＝20°，
∴∠CDE＝∠DCF＝20°．
故答案为：20．
33．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝49°，则∠2﹣∠1＝ 16° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠2＝∠DEG，∠EFG＝∠DEF＝49°，
∵长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，
∴∠DEF＝∠GEF＝49°，
∴∠2＝2×49°＝98°，
∴∠1＝180°﹣98°＝82°，
∴∠2﹣∠1＝98°﹣82°＝16°．
故答案为16°．
34．如图，将长方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠FEA″＝105°，则∠CFE＝ 155 度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由四边形ABFE沿EF折叠得四边形A′B′FE，
∴∠A′EF＝∠AEF．
∵∠A′EF＝∠A′ED+∠DEF，∠AEF＝180°﹣∠DEF．
∴∠A′ED+∠DEF＝180°﹣∠DEF．
由四边形A′B′ME沿AD折叠得四边形A″B″ME，
∴∠A′ED＝∠A″ED．
∵∠A″ED＝∠A″EF+∠DEF＝105°+∠DEF，
∴∠A′ED＝105°+∠DEF．
∴105°+∠DEF+∠DEF＝180°﹣∠DEF．
∴∠DEF＝25°．
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝25°．
∴∠CFE＝180°﹣∠EFB
＝180°﹣25°
＝155°．
故答案为：155．
35．如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝ （x+y） 度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝ （）n﹣1（x+y） 度．
【答案】（1）（x+y）；（2）（）n﹣1（x+y）．
【解答】解：（1）如图，分别过点P1、P2作直线MN∥AB，GH∥AB，
∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°．
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD．
∴∠P1FD＝∠FP1M＝y°．
∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°．
（2）∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1，
∴＝．
．
以此类推：，，...，．
故答案为：（x+y），（）n﹣1（x+y）．
36．如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若∠DEF＝72°，则∠GMN＝ 72 °．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AD∥CB，
∴∠EFC+∠DEF＝180°，∠EFB＝∠DEF，
即∠EFC＝180°﹣72°＝108°，∠EFB＝72°，
∴∠BFH＝108°﹣72°＝36°．
∵∠H＝∠D＝90°，
∴∠HMF＝180°﹣90°﹣36°＝54°．
由折叠可得：∠NMF＝∠HMF＝54°，
∴∠GMN＝72°．
故答案为：72．
37．如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝a°．则下列结论：①∠BOE＝（180﹣a）°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正确结论 ①②③ （填编号）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：①∵AB∥CD，
∴∠BOD＝∠ABO＝a°，
∴∠COB＝180°﹣a°＝（180﹣a）°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠COB＝（180﹣a）°．故①正确；
②∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
∴∠BOF＝90°﹣（180﹣a）°＝a°，
∴∠BOF＝∠BOD，
∴OF平分∠BOD所以②正确；
③∵OP⊥CD，
∴∠COP＝90°，
∴∠POE＝90°﹣∠EOC＝a°，
∴∠POE＝∠BOF； 所以③正确；
∴∠POB＝90°﹣a°，
而∠DOF＝a°，所以④错误．
38．已知直线AB∥CD．
（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为 ∠E＝∠END﹣∠BME ；
（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，直线MB、ND交于点F，则＝ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠END＝∠EFB，
∵∠EFB是△MEF的外角，
∴∠E＝∠EFB﹣∠BME＝∠END﹣∠BME，
故答案为：∠E＝∠END﹣∠BME；
（2）如图2，∵AB∥CD，
∴∠CNP＝∠NGB，
∵∠NPM是△GPM的外角，
∴∠NPM＝∠NGB+∠PMA＝∠CNP+∠PMA，
∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，
∴∠CNE＝2∠CNP，∠FME＝2∠BMQ＝2∠PMA，
∵AB∥CD，
∴∠MFE＝∠CNE＝2∠CNP，
∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE＝180°，
∴∠E+2∠PMA+2∠CNP＝180°，
即∠E+2（∠PMA+∠CNP）＝180°，
∴∠E+2∠NPM＝180°；
（3）如图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，
∵AB∥CD，
∴∠CDG＝∠AGE，
∵∠ABE是△BEG的外角，
∴∠E＝∠ABE﹣∠AGE＝∠ABE﹣∠CDE，①
∵∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，
∴∠ABM＝∠ABE＝∠CHB，∠CDN＝∠CDE＝∠FDH，
∵∠CHB是△DFH的外角，
∴∠F＝∠CHB﹣∠FDH＝∠ABE﹣∠CDE＝（∠ABE﹣∠CDE），②
由①代入②，可得∠F＝∠E，
即．
故答案为：．
39．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝40°，求∠MGN+∠MPN的度数；
（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝102°，求∠AME的度数．（直接写出结果）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，
∵MG⊥NG，
∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°；
（2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，
∵GK∥AB，AB∥CD，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝α，
∵GK∥AB，∠BMG＝40°，
∴∠MGK＝∠BMG＝40°，
∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，
∴∠GMP＝∠BMG＝40°，
∴∠BMP＝80°，
∵PQ∥AB，
∴∠MPQ＝∠BMP＝80°，
∵ND平分∠GNP，
∴∠DNP＝∠GND＝α，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠QPN＝∠DNP＝α，
∴∠MGN＝40°+α，∠MPN＝80°﹣α，
∴∠MGN+∠MPN＝40°+α+80°﹣α＝120°；
（3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y，
∵AB，FG交于M，MF平分∠AME，
∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x，
∴∠AME＝2x，
∵GK∥AB，
∴∠MGK＝∠BMG＝x，
∵ET∥AB，
∴∠TEM＝∠EMA＝2x，
∵CD∥AB∥KG，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝y，
∴∠MGN＝x+y，
∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG，
∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y，
∵ET∥AB∥CD，
∴ET∥CD，
∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y，
∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y，
∵2∠MEN+∠G＝102°，
∴2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝102°，
∴x＝26°，
∴∠AME＝2x＝52°．
40．如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）求∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，∠APB：∠ADB的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；
（3）当点P运动到某处时，∠ACB＝∠ABD，求此时∠ABC的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN＝180°﹣∠A＝120°，
又∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝（∠ABP+∠PBN）＝∠ABN＝60°．
（2）不变．理由如下：
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
又∵BD平分∠PBN，
∴∠ADB＝∠DBN＝∠PBN＝∠APB，即∠APB：∠ADB＝2：1．
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
又∵∠ACB＝∠ABD，
∴∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝∠CBN﹣∠CBD＝∠DBN，
∴∠ABC＝∠CBP＝∠DBP＝∠DBN，
∴∠ABC＝∠ABN＝30°．
41．如图1，AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B，过B作BD⊥AM．
（1）求证：∠ABD＝∠C；
（2）如图2，在（1）问的条件下，分别作∠ABD、∠DBC的平分线交DM于E、F，若∠BFC＝1.5∠ABF，∠FCB＝2.5∠BCN，
①求证：∠ABF＝∠AFB；
②求∠CBE的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，过B作BG∥CN，
∴∠C＝∠CBG
∵AB⊥BC，
∴∠CBG＝90°﹣∠ABG，
∴∠C＝90°﹣∠ABG，
∵BG∥CN，AM∥CN，
∴AM∥BG，
∴∠DBG＝90°＝∠D，
∴∠ABD＝90°﹣∠ABG，
∴∠ABD＝∠C；
（2）①如图2，设∠DBE＝∠EBA＝x，则∠BCN＝2x，∠FCB＝5x，
设∠ABF＝y，则∠BFC＝1.5y，
∵BF平分∠DBC，
∴∠FBC＝∠DBF＝2x+y，
∵∠AFB+∠BCN＝∠FBC，
∴∠AFB+2x＝2x+y，
∴∠AFB＝y＝∠ABF；
②∵∠CBA＝90°，AF∥CN，
∴∠ABG+∠CBG＝90°，∠BCN+∠AFB+∠BFC+∠BCF＝180°，
∴，
∴，
∴∠CBE＝3x+2y＝3×15°+2×30°＝105°．
42．如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．
（1）如图1，若∠1与∠2都是锐角，请写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系并说明理由．
（2）把直角三角形ABC如图2摆放，直角顶点C在两条平行线之间，CB与PQ交于点D，CA与MN交于点E，BA与PQ交于点F，点G在线段CE上，连接DG，有∠BDF＝∠GDF，求的值．
（3）如图3，若点D是MN下方一点，BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，已知∠PBC＝25°，求∠ACB+∠ADB的度数．
【答案】（1）证明见解答；
（2）；
（3）75°．
【解答】解：（1）∠C＝∠1+∠2，
证明：过C作l∥MN，如图所示，
∵l∥MN，
∴∠4＝∠2（两直线平行，内错角相等），
∵l∥MN，PQ∥MN，
∴l∥PQ，
∴∠3＝∠1（两直线平行，内错角相等），
∴∠3+∠4＝∠1+∠2，
∴∠C＝∠1+∠2；
（2）
∵∠BDF＝∠GDF，
∵∠BDF＝∠PDC，
∴∠GDF＝∠PDC，
∵∠PDC+∠CDG+∠GDF＝180°，
∴∠CDG+2∠PDC＝180°，
∴∠PDC＝90°﹣∠CDG，
由（1）可得，∠PDC+∠CEM＝∠C＝90°，
∴∠AEN＝∠CEM，
∴＝；
（3）过C作CE∥PQ，过D作DF∥PQ．
∵BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，∠PBC＝25°，
∴∠PBD＝2∠PBC＝50°，∠CAM＝∠MAD，
∵PQ∥MN，
∴∠BDF＝∠PBD＝50°，
∴∠ADB＝∠BDF﹣∠ADF＝50°﹣∠MAD，
由（1）可得，∠ACB＝∠PBC+∠CAM，
∴∠ACB+∠ADB＝∠PBC+∠CAM+50°﹣∠CAM＝25°+50°＝75°．
43．已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F．
（1）如图①，当∠A＝20°，∠APC＝70°时，求∠C的度数；
（2）如图②，当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点），∠A、∠APC与∠C之间有怎样的数量关系？试证明你的结论；
（3）如图③，当点P在线段EF的延长线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，试探究它们之间新的数量关系并证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】
（1）解：过P作PO∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PO∥CD，
∵∠A＝20°，
∴∠APO＝∠A＝20°，∠C＝∠CPO，
∵∠APC＝70°
∴∠C＝∠CPO＝∠APC﹣∠APO＝70°﹣20°＝50°；
（2）∠A+∠C＝∠APC，
证明：过P作PO∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PO∥CD，
∴∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO，
∴∠APC＝∠APO+∠CPO＝∠A+∠C；
（3）解：不成立，关系式是：∠A﹣∠C＝∠APC，
理由是：过P作PO∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PO∥CD，
∴∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO，
∴∠A﹣∠C＝∠APO﹣∠CPO＝∠APC，
即∠A﹣∠C＝∠APC．
44．已知：直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，连接AD，BC，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，且BE，DE所在的直线交于点E．
（1）如图1，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝60°，∠ADC＝72°，直接写出∠BED的度数；
（2）如图2，当点B在点A的右侧时，设∠ADC＝x，∠ABC＝y，求∠BED的度数（用含有x，y的式子表示）．
【答案】（1）66°；
（2）180°﹣y+x．
【解答】解：（1）如图1，过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠EBA，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED＝∠EDC，
∴∠BEF+∠FED＝∠EBA+∠EDC，即∠BED＝∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA＝∠ABC＝30°，∠EDC＝∠ADC＝36°，
∴∠BED＝∠EBA+∠EDC＝66°；
（2）过点E作EF∥AB，如图2，
则∠BEF+∠EBA＝180°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EBA，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED＝∠EDC，
∴∠BEF+∠FED＝180°﹣∠EBA+∠EDC，即∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA＝∠ABC＝y，∠EDC＝∠ADC＝x，
∴∠BED＝180°﹣∠EBA+∠EDC＝180°﹣y+x．
45．（1）【问题解决】如图1，已知AB∥CD，∠BEP＝36°，∠CFP＝152°，求∠EPF的度数；
（2）【问题迁移】如图2，若AB∥CD，点P在AB的上方，则∠PFC，∠PEA，∠EPF之间有何数量关系？并说明理由；
（3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数（结果用含α的式子表示）．
【答案】（1）∠EPF的度数为64°；
（2）∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA，理由见解答；
（3）∠G的度数为α．
【解答】解：（1）过点P作PG∥AB，
∴∠BEP＝∠EPG＝36°，
∵AB∥CD，
∴GP∥CD，
∴∠FPG＝180°﹣∠CFP＝28°，
∴∠EPF＝∠EPG+∠FPG＝64°，
∴∠EPF的度数为64°；
（2）∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA，
理由：过点P作PG∥AB，
∴∠EPG＝∠PEA，
∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠PFC＝∠FPG，
∵∠EPF＝∠FPG﹣∠EPG，
∴∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA；
（3）∵FG平分∠PFC，EG平分∠AEP，
∴∠GFC＝∠PFC，∠GEA＝∠AEP，
由（2）可得：∠G＝∠GFC﹣∠GEA，
∵∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA＝α
∴∠G＝∠GFC﹣∠GEA
＝∠PFC﹣∠AEP
＝（∠PFC﹣∠PEA）
＝α，
∴∠G的度数为α．
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