安徽省安庆市怀宁县第二中学2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年安徽省安庆市怀宁二中高二上数学期末教学质量检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知一个圆锥体积为，任取该圆锥的两条母线a，b，若a，b所成角的最大值为，则该圆锥的侧面积为（）
A. B.
C. D.
2．设函数，则（ ）
A.1 B.5
C. D.0
3．过点（-2，1）的直线中，被圆x2+y2-2x+4y=0截得的弦最长的直线的方程是（）
A.x+y+1=0 B.x+y-1=0
C.x-y+1=0 D.x-y-1=0
4．大数学家阿基米德的墓碑上刻有他最引以为豪的数学发现的象征图——球及其外切圆柱(如图).以此纪念阿基米德发现球的体积和表面积，则球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的（）
A. B.
C. D.
5．圆关于直线对称圆的标准方程是（）
A. B.
C. D.
6．如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，圆锥PO的轴截面PAE是边长为2的等边三角形，是底面圆的内接正三角形．则（）
A. B.
C. D.
7．双曲线的渐近线的斜率是（）
A.1 B.
C. D.
8．已知是等比数列，则（ ）
A.数列是等差数列 B.数列是等比数列
C.数列是等差数列 D.数列是等比数列
9．已知是抛物线上的一个动点,是圆上的一个动点,是一个定点,则的最小值为
A. B.
C. D.
10．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ ）
A.2 B.6
C.4 D.12
11．若数列为等比数列，且，，则（ ）
A.8 B.16
C.32 D.64
12．已知长方体的底面ABCD是边长为4的正方形，长方体的高为，则与对角面夹角的正弦值等于（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝________
14．命题“若实数a，b满足，则且”是_______命题(填“真”或“假”).
15．已知在四面体ABCD中，，，则______
16．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知是等差数列，其n前项和为，已知
（1）求数列的通项公式：
（2）设，求数列的前n项和
18．（12分）已知椭圆的左顶点、上顶点和右焦点分别为，且的面积为，椭圆上的动点到的最小距离是
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的左顶点作两条互相垂直的直线交椭圆于不同的两点（异于点）.
①证明：动直线恒过轴上一定点；
②设线段中点为，坐标原点为，求的面积的最大值.
19．（12分）如图，矩形ABCD，点E，F分别是线段AB，CD的中点，，，以EF为轴，将正方形AEFD翻折至与平面EBCF垂直的位置处.请按图中所给的方法建立空间直角坐标系，然后用空间向量坐标法完成下列问题
（1）求证：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20．（12分）已知点是圆上任意一点，是圆内一点，线段的垂直平分线与半径相交于点
（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；
（2）设不经过坐标原点，且斜率为的直线与曲线相交于、两点，记、的斜率分别是、，以、为直径的圆的面积分别为、当、都存在且不为时，试探究是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由
21．（12分）曲线与曲线在第一象限的交点为.曲线是()和()组成的封闭图形.曲线与轴的左交点为、右交点为.
（1）设曲线与曲线具有相同的一个焦点，求线段的方程；
（2）在（1）的条件下，曲线上存在多少个点，使得，请说明理由.
（3）设过原点的直线与以为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为.直线与曲线在第一象限的两个交点为..当对任意直线恒成立，求的值.
22．（10分）排一张有6个歌唱节目和5个舞蹈节目的演出节目单.
（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？
（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】设圆锥的母线长为R，底面半径长为r，由题可知圆锥的轴截面是等边三角形，根据体积公式计算可得，利用扇形的面积公式计算即可求得结果.
【详解】如图，设圆锥的母线长为R，底面半径长为r，由题可知圆锥的轴截面是等边三角形，
所以，圆锥的体积，解得，
所以该圆锥的侧面积为.
故选：B
2、B
【解析】由题意结合导数的运算可得，再由导数的概念即可得解.
【详解】由题意，所以，
所以原式等于.
故选：B.
3、A
【解析】当直线被圆截得的最弦长最大时，直线要经过圆心，即圆心在直线上，然后根据两点式方程可得所求
【详解】由题意得，圆的方程为，
∴圆心坐标为
∵直线被圆截得的弦长最大，
∴直线过圆心，
又直线过点（-2，1），
所以所求直线的方程为，
即
故选：A
4、C
【解析】设球的半径为,则圆柱的底面半径为，高为，分别求出球的体积与表面积，圆柱的体积与表面积，从而得出答案.
【详解】设球的半径为,则圆柱的底面半径为，高为
所以球的体积为, 表面积为.
圆柱的体积为：,所以其体积之比为：
圆柱的侧面积为：, 圆柱的表面积为：
所以其表面积之比为：
故选：C
5、D
【解析】先根据圆的标准方程得到圆的圆心和半径，求出圆心关于直线的对称点，进而写出圆的标准方程.
【详解】因为圆的圆心为，半径为，
且关于直线对称的点为，
所以所求圆的圆心为、半径为，
即所求圆的标准方程为.
故选：D.
6、B
【解析】先求出，再利用向量的线性运算和数量积计算求解.
【详解】解：由题得, ,
故选：B
7、B
【解析】由双曲线的渐近线方程为：，化简即可得到答案.
【详解】双曲线的渐近线方程为：，即，
渐近线的斜率是.
故选：B
8、B
【解析】取，可判断AC选项；利用等比数列的定义可判断B选项；取可判断D选项.
【详解】若，则、无意义，A错C错；
设等比数列的公比为，则，（常数），
故数列是等比数列，B对；
取，则，数列为等比数列，
因为，，，且，
所以，数列不是等比数列，D错.
故选：B.
9、A
【解析】恰好为抛物线的焦点，等于到准线的距离，要想最小，过圆心作抛物线的准线的垂线交抛物线于点，交圆于，最小值等于圆心到准线的距离减去半径4-1=.
考点:1.抛物线的定义；2.圆中的最值问题；
10、C
【解析】根据题设条件求出椭圆的长半轴，再借助椭圆定义即可作答.
【详解】由椭圆＋y2＝1知，该椭圆的长半轴，
A是椭圆一个焦点，设另一焦点为，而点在BC边上，点B，C又在椭圆上，
由椭圆定义得，
所以的周长
故选：C
11、B
【解析】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到，即可求出，再根据计算可得；
【详解】解：设等比数列公比为，因为、，所以，所以；
故选：B
12、C
【解析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的夹角坐标公式即可求出线面角的正弦值.
【详解】连接，建立如图所示的空间直角坐标系
∵底面是边长为4的正方形，，
∴，，，
因为,，且，所以平面，
∴，平面的法向量，
∴与对角面所成角的正弦值为
故选：C.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】f（x）=xlnx
∴f'（x）=lnx+1
则f′（x0）=lnx0+1=2
解得：x0=e
14、假
【解析】列举特殊值，判断真假命题.
【详解】当时，，所以，命题“若实数a，b满足，则且”是假命题.
故答案为：假
15、24
【解析】由线段的空间关系有，应用向量数量积的运算律及已知条件即可求.
【详解】由题设，可得如下四面体示意图，
则，
又，，
所以.
故答案为：24
16、
【解析】根据题意作出图形，设直线与轴的夹角为，不妨设，设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为，过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为，进一步可以得到，进而求出，同理求出，最后解得答案.
【详解】设直线与轴的夹角为，根据抛物线的对称性，不妨设，如图所示.设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为，
过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为.
由抛物线的定义可知，，
同理：,
于是，，则抛物线的准线方程为：.
故答案为：.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用等差数列的基本量，结合已知条件，列出方程组，求得首项和公差，即可写出通项公式；
（2）根据（1）中所求，结合裂项求和法，即可求得.
【小问1详解】
因为是等差数列，其n前项和为，已知，设其公差为，
故可得：，，解得，
又，故.
【小问2详解】
由（1）知，，又，
故.
即.
18、（1）
（2）①证明见解析；②
【解析】（1）根据题意得，，解方程即可；
（2）①设直线：，直线：，联立曲线分别求出点和的坐标，
求直线方程判断定点即可；②根据题意得，代入求最值即可.
【小问1详解】
根据题意得，，，又，
三个式子联立解得，，，所以椭圆的方程为：
【小问2详解】
①证明：设两条直线分别为和，根据题意和得斜率存在且不等于；
因为，所以设直线：，直线：；
由，解得，所以，
同理，.
当时，，
所以直线的方程为：，
整理得，此时直线过定点；
当时，直线的方程为：，此时直线过定点，
故直线恒过定点.
②根据题意得，，，
，所以
，当且仅当，
即时等号成立，故的面积的最大值为：.
【点睛】解决直线与椭圆综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，
重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题
19、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出对应向量的坐标，根据向量垂直，即可证明线面垂直；
（2）根据（1）中所求平面的法向量，利用向量法，即可容易求得结果.
【小问1详解】
矩形ABCD中，点E，F分别是线段AB，CD的中点，∴，∴翻折后
∵平面平面，且面，面，
故可得面，又面，∴，故两两垂直，
∴分别以，，为，，轴建立如图所示空间直角坐标系：
∵，则，，，，
，，
∵，，∴，
∴，，又面，
∴平面.
【小问2详解】
由（1）知，平面的法向量为，又向量，
则向量与法向量为所成角的余角即是直线与平面所成角，
设直线与平面所成角为，向量与法向量为所成角为，
则.
故直线与平面所成角正弦值为.
20、（1）；
（2）是定值，.
【解析】(1)由条件可得点轨迹满足椭圆定义，设出椭圆方程，由，的值可得的值，从而求得轨迹方程；
(2)设出直线的方程，结合韦达定理，分别求得为定值，也为定值，从而可得是定值
【小问1详解】
由题意知，
，
根据椭圆的定义知点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
设椭圆的方程为，
则，，
曲线的方程为；
【小问2详解】
由题意知直线的方程为且m≠0)，
设直线与椭圆的交点为，，，，
由得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是定值，为．
21、（1）或；（2）一共2个，理由见解析；（3）答案见解析.
【解析】（1）先求曲线的焦点，再求点的坐标，分焦点为左焦点或右焦点，求线段的方程；（2）分点在双曲线或是椭圆的曲线上，结合条件，说明点的个数；（3）首先设出直线和圆的方程，利用直线与圆相切，以及直线与曲线相交，分别表示，并计算得到的值.
【详解】（1）两个曲线相同的焦点，，解得：，
即双曲线方程是，椭圆方程是，焦点坐标是,
联立两个曲线，得，，即，
当焦点是右焦点时，
线段的方程
当焦点时左焦点时，
，，线段的方程
（2），
假设点在曲线上
单调递增
∴
所以点不可能在曲线上
所以点只可能在曲线上，根据得
可以得到
当左焦点，，同样这样的使得不存在
所以这样的点一共2个
（3）设直线方程，圆方程为
直线与圆相切，所以
，
，
根据得到
补充说明：由于直线的曲线有两个交点，受参数的影响，蕴含着如下关系，
∵，
当，存在，否则不存在
这里可以不需讨论，因为题目前假定直线与曲线有两个交点的大前提，当共焦点时
存在不存在.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆和双曲线相交的综合应用，本题的关键是曲线由椭圆和双曲线构成，所以研究曲线上的点时，需分两种情况研究问题.
22、（1）
（2）
【解析】(1)用插空法，现排唱歌，利用产生的空排跳舞；
（2）先排唱歌再排舞蹈.
【小问1详解】
解：先排歌唱节目有种，歌唱节目之间以及两端共有7个空位，从中选5个放入舞蹈节目，共有种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有种方法.
【小问2详解】
解：先排舞蹈节目有种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有6个空位，恰好供6个歌唱节目放入.所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有种方法.