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第六章 数据的分析
1 平均数（第二课时）
数学 八年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
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数学 八年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 算术平均数与加权平均数的关系.
算术平均数实际上是加权平均数的一种特殊情况，即各项的权
都相等.
2. 加权平均数在统计图表中的运用.
（1）在统计表、条形统计图或折线统计图中，加权平均数的权
一般是整数；
（2）在扇形统计图中，加权平均数的权一般是百分数.
注：加权平均数的权可以是整数、小数、百分数的形式，也可
以是比的形式.
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0 2
典例讲练
（1）某商场销售A，B，C，D四种商品，它们的单价依次是50
元、30元、20元、10元.某天这四种商品销售数量的百分比如图
所示，则这天销售的四种商品的平均单价是 元.
22.5
【思路导航】根据加权平均数的意义，从扇形统计图中找到各
种商品的权（百分数），再计算.
【解析】四种商品的平均单价是50×10％＋30×15％＋20×55
％＋10×20％＝22.5（元）.故答案为22.5.
【点拨】此题中计算平均价格，就是计算加权平均数.一般来
说，加权平均数的权在扇形统计图中以百分数形式为主，解题
的关键是找到对应的百分数.
（2）“关心他人，奉献爱心”.某市某中学举行“慈善一日
捐”活动，活动中八（1）班50名学生自发组织献爱心捐款
活动.班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了条形统计图
如图所示.根据图中提供的信息，全班同学捐款的平均金额
是 元.
32.4
【思路导航】观察条形统计图，确定数据和各数据对应的权，
再根据加权平均数的定义计算即可.
【解析】由题意，知全班同学捐款的平均金额为
＝ ＝32.4（元）.故答案为
32.4.
【点拨】 （1）在条形统计图、统计表中，权以整数形式为主.
（2）从统计图表中获取信息的步骤：一看（看图表特征），二
读（读图表数据信息），三找（找变化趋势及规律），四计算
（计算图表数据，推测应用）.一般从条形统计图、统计表中获
取项目数量，从扇形统计图中获取该项目的百分比.
1. 一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效
果三方面为选手打分，各项的权重情况如图所示.小明的三
项成绩分别是90，95，90（单位：分），则他的总评成绩
是 分.
91.5
2. 小明所在班级为希望工程捐款，他统计了全班40名同学的捐
款情况，并绘制成如图所示的统计图，则全班同学平均每人捐
款 元.
17.5
某班为了从甲、乙两人中选出一人担任班长，进行了一次测评
活动，邀请了五位老师作为评委，对学生进行个人测评，全班
50位同学进行民主测评，结果如下：
规则：①个人测评得分（ x1）算法：去掉一个最高分和一个最
低分后，再算出平均分；
②民主测评得分（ x2）算法：“优”票数×3＋“良”票数×2
＋“中”票数×1；
③综合得分（ x ）算法： x ＝0.4 x1＋0.6 x2.
根据以上信息，解决下列问题：
（1）如果只采用个人测评规则，那么获胜者是 （填
“甲”或“乙”）；
（2）甲的民主测评得分为 分，乙的民主测评得分
为 分；
甲
139
148
（3）综合得分高的学生当选为班长，通过计算，判断最终当选
的是甲还是乙.
【思路导航】（1）根据个人测评得分的算法计算出甲和乙的得
分即可得出答案；（2）根据民主测评得分算法计算即可；
（3）根据综合得分算法计算出甲和乙的得分即可得出答案.
（1）【解析】甲的个人测评得分为 ＝92（分），乙的
个人测评得分为 ＝89（分）.因为92＞89，所以获胜者
是甲.故答案为甲.
（2）【解析】甲的民主测评得分为40×3＋7×2＋5×1＝139
（分），乙的民主测评得分为45×3＋6×2＋1×1＝148（分）.
故答案为139，148.
（3）解：甲的综合得分为0.4×92＋0.6×139＝120.2（分），
乙的综合得分为0.4×89＋0.6×148＝124.4（分）.因为124.4
＞120.2，所以最终当选的是乙.
某学校为响应“双减”政策，向学生提供晚餐服务，已知该校
共有500名学生，为了做好学生们的取餐、用餐工作，学校首先
调查了全体学生的晚餐意向，调查结果如图1所示.为避免就餐
拥堵，随机邀请了100名有意向在食堂就餐的学生进行了用餐模
拟演练，用餐时间（含用餐与回收餐具）如图2所示.
图1
图2
（1）食堂每天大约需要准备多少份晚餐？
（2）请你根据图2，估计该校学生就餐时间不超过17min的
人数；
解：（1）500×62％＝310（份）.
故食堂每天大约需要准备310份晚餐.
（2）500× ＝300（人）.
故估计该校学生就餐时间不超过17min的有300人.
图2
图1
（3）根据抽取的100名学生用餐时间统计表，请你估计该校学
生在食堂就餐的平均用餐时间.
（3） ＝17（min）.
故估计该校学生在食堂就餐的平均用餐时间为17min.
探究规律：已知数据 x1， x2， x3，…， xn 的平均数是5.
（1）数据 x1＋5， x2＋5， x3＋5，… ， xn ＋5的平均数
是 ；
（2）数据 x1－2， x2－2， x3－2，…， xn －2的平均数是 ；
（3）数据 x1， x2， x3，…， xn 的平均数是 ；
（4）数据3 x1－1，3 x2－1，3 x3－1，…，3 xn －1的平均数
是 ；
10
3
14
（5）由此可猜想出一个一般性的结论，请总结该结论.
【思路导航】根据 x1， x2， x3，…， xn 的平均数，求得所有数据
的和，再利用总数除以数据的个数逐一求出数据的平均数即可.
（1）【解析】因为数据 x1， x2， x3，…， xn 的平均数是5，所以
x1＋ x2＋ x3＋…＋ xn ＝5 n .数据 x1＋5， x2＋5， x3＋5，…， xn ＋
5的平均数是 （ x1＋ x2＋ x3＋…＋ xn ＋5 n ）＝ （5 n ＋5 n ）＝
10.故答案为10.
（2）【解析】数据 x1－2， x2－2， x3－2，…， xn －2的平均数
是 （5 n －2 n ）＝3.故答案为3.
（3）【解析】 x1， x2， x3，…， xn 的平均数是
＝ ＝ .故答案为 .
（4）【解析】数据3 x1－1，3 x2－1，3 x3－1，…，3 xn －1的平
均数是 （3 x1－1＋3 x2－1＋3 x3－1＋…＋3 xn －1）＝ （3·5 n
－ n ）＝14.故答案为14.
（5）解：已知 x1， x2， x3，…， xn 的平均数是 ， （ ax1＋ b
＋ ax2＋ b ＋…＋ axn ＋ b ）＝ [ a （ x1＋ x2＋…＋ xn ）＋ nb ]＝ a
＋ b ，则 ax1＋ b ， ax2＋ b ， ax3＋ b ，…， axn ＋ b 的平均数是 a
＋ b .
【点拨】（1）已知 x1， x2， x3，…， xn 的平均数是 ，则 ax1＋
b ， ax2＋ b ， ax3＋ b ，…， axn ＋ b 的平均数是 a ＋ b .（2）若
一组数据 x1， x2， x3，…， xn 的平均数为 ，另一组数据 y1，
y2， y3，…， yn 的平均数为 ，则新数据 x1± y1， x2± y2， x3±
y3，…， xn ± yn 的平均数是 ± ；数据 x1， y1， x2， y2， x3，
y3，…， xn ， yn 的平均数是 .
1. 已知一组数据 x1， x2，…， xn 的平均数 ＝2，则数据3 x1＋
2，3 x2＋2，…，3 xn ＋2的平均数是 .
2. 已知两组数据 x1， x2，…， xn 与 y1， y2，…， yn ，它们的平
均数分别是 和 ，分别求下列各组新数据的平均数：
8
（1）数据 x1， y1， x2， y2，…， xn ， yn 的平均数是 ；
（2）数据 x1－ y1， x2－ y2，…， xn － yn 的平均数是 . ；
（3）数据2 x1－3 y1＋1，2 x2－3 y2＋1，…，2 xn －3 yn ＋1的平均
数是 .
－
2 －3 ＋1
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第六章 数据的分析
4 数据的离散程度（第一课时）
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课前预习
典例讲练
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数学 八年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 刻画数据离散程度的三个基本量.
（1）极差：一组数据中最大数据与 数据的差.
注：极差与原数据的单位一致.极差表示最大数据和最小数据的
“距离”，用以刻画数据的离散程度，但由于极差易受极端值
的影响，并不能十分准确的反映一组数据的离散程度.
最小
（2）方差：各个数据与平均数差的 的平均数，即 s2＝
[ ＋（ x2－ ）2＋…＋（ xn － ）2]，其中 是 x1，
x2，…， xn 的平均数， s2是方差；只有在两组数据的平均数相等或比较接近时，才用方差或标准差比较两组数据的离散程度.
（3）标准差：方差的 平方根.
注：方差的单位是原数据单位的平方，一般不加单位；标准差
和极差的单位与原数据单位保持一致.
平方
算术
2. 数据的稳定性.
一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就
越稳定.
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0 2
典例讲练
学校为了从小华和小亮两人中选拔一人去参加射击比赛，现对
他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射击6次，命中
的环数如下（单位：环）：
小华：6，7，7，9，9，10；小亮：5，8，7，8，10，10.
（1）分别计算两位同学射击成绩的平均数，极差与方差.
（2）你认为应该选择谁去参加比赛？请说明理由.
【思路导航】（1）根据平均数、极差、方差的计算公式分别计
算即可；（2）通过平均数、方差的大小比较，得出结论.
解：（1）小华的平均成绩 ＝ ＝8（环），极差
＝10－6＝4（环），方差 ＝ ×[（6－8）2＋（7－8）2＋（7
－8）2＋（9－8）2＋（9－8）2＋（10－8）2]＝2.
小亮的平均成绩 ＝ ＝8（环），
极差＝10－5＝5（环），方差 ＝ [（5－8）2＋（8－8）2＋
（7－8）2＋（8－8）2＋（10－8）2＋（10－8）2]＝3.
（2）应该选择小华去参加比赛.理由如下：
因为 ＝ ， ＜ ，所以小华的成绩更稳定.
所以应该选择小华去参加比赛.
【点拨】（1）求方差的步骤：一均、二差、三方、四均.即第
一步先求原始数据的平均数；第二步求原始数据中各数据与平
均数的差；第三步.求所得各个差数的平方；第四步求所得各平
方数的平均数.（2）在比较两组数据的稳定性时，一般要先看
平均数，在平均数相同或相近的情况下，再分析稳定性，方差
是反映数据波动大小的统计量，方差越小，数据越稳定.
1. 已知数据1，2，3，3，4，5，则下列关于这组数据的说法，
错误的是（ C ）
A. 平均数是3 B. 中位数和众数都是3
C. 方差为10 D. 标准差是
C
2. 某班八年级第一学期数学一共进行了四次测试，小丽和小明
的成绩如表所示（单位：分）：
学生 单元测验1 期中考试 单元测验2 期末考试
小丽 80 70 90 80
小明 60 90 80 90
请你通过计算这四次测试成绩的方差，比较谁的成绩比较稳
定？
解：小丽成绩的平均数为 ×（80＋70＋90＋80）＝80（分），
小丽成绩的方差为 ×[（80－80）2＋（70－80）2＋（90－80）2＋（80－80）2]＝50；
小明成绩的平均数为 ×（60＋90＋80＋90）＝80（分），
小明成绩的方差为 ×[（60－80）2＋（90－80）2＋（80－80）2＋（90－80）2]＝150.
因为50＜150，所以小丽的成绩比较稳定.
（1）已知一组数据10，9， a ，12，9的平均数是10，求这组数
据的方差.
【思路导航】先利用这组数据的平均数是10，求得 a 的值，再
由方差的计算公式进行计算即可.
解：因为数据10，9， a ，12，9的平均数是10，所以（10＋9＋
a ＋12＋9）÷5＝10，解得 a ＝10.所以这组数据的方差 s2＝
×[（10－10）2＋（9－10）2＋（10－10）2＋（12－10）2＋（9
－10）2]＝1.2.所以这组数据的方差是1.2.
【点拨】本例的解答过程体现了求一组数据的方差的基本方法
和步骤：（1）先计算出这组数据的平均数；（2）再代入方差
的计算公式计算出结果.
（2）小明用 s2＝ [ ＋ ＋…＋
]计算一组数据的方差，则 x1＋ x2＋ x3＋…＋ x10
＝ .
【思路导航】根据方差的计算公式中每个字母的意义进行解答
即可.
60
【解析】由 s2＝ [ ＋ ＋…＋
]，知这10个数据的平均数是6.所以 x1＋ x2＋…＋
x10＝6×10＝60.故答案为60.
【点拨】在解决方差问题时，一定要准确把握每个字母的含义.
1. 在对一组样本数据进行分析时，从小华列出的方差计算公式
s2＝ [（2－ ）2＋（3－ ）2＋（3－ ）2＋（4－ ）2]中得到
相关的信息：①样本的容量 n ＝4；②样本的中位数是3；③样
本的方差是1；④样本的众数是3.其中说法错误的是 （填
序号）.
2. （1）已知某组数据的方差为 s2＝ [（2－ ）2＋（3－ ）2
＋（3－ ）2＋（8－ ）2]，则 的值为 .
③
4
（2）有一组数据如下：2，3， a ，5，6，它们的平均数是4，
则这组数据的标准差是 .
【解析】（1）由题意知，这组数据为2，3，3，8，所以这组数
据的平均数 ＝ ＝4.故答案为4.
（2）由题意，得 （2＋3＋ a ＋5＋6）＝4，解得 a ＝4.所以 s2
＝ [（2－4）2＋（3－4）2＋（4－4）2＋（5－4）2＋
（6－4）2]＝2，则这组数据的标准差是 .故答案为 .
为了从甲、乙两位同学中选拔一人参加知识竞赛，某校举行了6
次选拔赛，根据两位同学6次选拔赛的成绩，分别绘制了如下统
计图.
甲成绩的条形统计图
乙成绩的折线统计图
（1）请完成下面的表格：
参赛者 平均数/分 中位数/分 众数/分
甲 90 93
乙 87.5
（2）已求得甲同学6次成绩的方差为 ，请求出乙同学6次成绩
的方差.
91
90
85
（3）你认为选择哪位同学参加知识竞赛比较好？请说明理由.
【思路导航】（1）根据中位数、众数、平均数的计算方法分别
计算甲的中位数，乙的平均数和众数即可；（2）根据方差公式
即可得出答案；（3）通过比较甲、乙二人的中位数、众数、方
差得出答案.
（1）【解析】将甲的成绩从小到大排列，处在最中间位置的两
个数的平均数为 ＝91（分），因此甲的中位数是91分.乙
的成绩的平均数为（85×3＋90＋95＋100）÷6＝90（分）.乙
的成绩出现次数最多的是85分，出现了3次，因此乙的众数是85
分.故答案为91，90，85.
（2）解：乙同学的方差是 ×[（95－90）2＋（85－90）2＋
（90－90）2＋（85－90）2＋（100－90）2＋（85－90）2]＝
.
（3）解：由题意可知，甲、乙两位同学的平均成绩一样，甲的
中位数91比乙的中位数87.5大，甲的众数是93比乙的众数85要
大，且甲的方差比乙的方差小，所以从中位数、众数、方差的
角度看，选择甲同学参加知识竞赛比较好.
【点拨】在求解统计中的平均数、中位数、众数、方差的过程
中，要仔细观察统计图，获取数据.
某中学举办“网络安全知识竞赛”，七、八年级根据初赛成绩
各选出5名选手组成代表队参加决赛，两个年级各选出5名选手
的决赛成绩如图所示.
年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差
七年级 a 85 b
八年级 85 c 100 160
（1）填空： a ＝ ， b ＝ ， c ＝ ；
85
85
80
（1）【解析】七年级的平均分为 ＝85（分），
众数为85分，则 a ＝85， b ＝85.八年级选手的成绩（单位：
分）是70，75，80，100，100，故中位数为80分，则 c ＝80.故
答案为85，85，80.
（2）解：由题意，知七年级与八年级平均分相同，七年级代表
队的中位数大，故七年级选手决赛成绩更好.
（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个代表队选
手决赛成绩更好？
（3）计算七年级代表队决赛成绩的方差 ，并判断哪个代
表队选手决赛成绩较为稳定.
（3）解： ＝ ×[（75－85）2＋（80－85）2＋2×（85－
85）2＋（100－85）2]＝70， ＜ ，所以七年级代表
队选手决赛成绩较为稳定.
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第六章 数据的分析
2 中位数与众数
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课前预习
典例讲练
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0 1
课前预习
1. 中位数.
一般地，将一组数据按大小顺序排列，当数据总数为奇数个
时，处于 的数是中位数，当数据总数为偶数个时，
最中间两个数的 是中位数.
注：中位数的单位与原数据的单位一致，一组数据的中位数是
唯一的，它可能是这组数据中的某一个原数据，也可能不是.
最中间
平均数
2. 众数.
一组数据中出现次数 的那个数据叫做这组数据的众数.
注：众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是次数；众
数的单位与原数据的单位一致；众数可能是一个或多个.
最多
3. 平均数、中位数、众数的区别与联系.
联系：都能反映一组数据的“集中趋势”，刻画一组数据的
“平均水平”.
区别：
（1）平均数能充分利用各数据提供的信息，常用样本的平均数
来估计总体的平均数.任何一个数据的变化都可能导致平均数的
变化，它容易受到极端值的影响.
（2）中位数不受个别偏大或偏小的数据影响，当一组数据中的
个别数据变动较大时，可用中位数来描述集中趋势，其缺点是
不能充分利用各数据的信息.
（3）众数考察各数据所出现的次数，其大小只与部分数据相
关，当一组数据中某些数据反复多次出现时，众数更能反映问
题的本质，但当各数据重复出现次数大致相等时，众数就没有
什么特别意义.
注：一组数据的平均数、中位数是唯一的，但众数不一定是唯
一的，它们从不同的角度反映数据的集中趋势.在特殊情况下，
平均数、中位数、众数可能是同一个数据.
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0 2
典例讲练
（1）张老师对参加某次野外训练的中学生的年龄进行统计，结
果如下表：
年龄/岁 13 14 15 16 17 18
人数 4 5 6 6 7 2
则这些学生的年龄的众数是 岁，中位数是 岁.
17
15.5
（2）某班在一次体育测试中，得100分的有4人，90分的有11
人，80分的有11人，70分的有8人，60分的有5人，剩下不及格
的8人一共得了300分，则该班的众数是 分，中位数
是 分.
【思路导航】把数据按大小顺序排列后，个数最多的一个或多
个数是众数，最中间的一个或最中间的两个数的平均数是中位
数，据此计算即可.
80和90
80
【解析】（1）由表可知，17出现的次数最多，所以17是众数.
因为第15和第16个数分别是15，16，所以中位数为15.5.故答案
为17，15.5.
（2）数据的总个数是47，90分和80分的人数最多，都是11人，
所以众数是80和90.排序后，第24个数为中位数，所以中位数是
80.故答案为80和90，80.
【点拨】确定中位数的方法和步骤：（1）先把一组数据按大小
顺序排列；（2）若数据为奇数个，则最中间的数据是中位数；
若数据为偶数个，则最中间的两个数的平均数是中位数.注意：
（1）众数是出现次数最多的数，而不是数据出现的次数；
（2）中位数、众数的单位与原数据的单位一致；（3）一组数
据只有一个中位数，但众数可以是一个或多个.
某小组同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示.这组数据
的平均数是 h，中位数是 h，众数是 h.
劳动时间/h 3 3.5 4.5 4
人数 1 1 1 2
3.8
4
4
学校学生会向全校3 000名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，
为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并
绘制了如图所示的统计图.
（1）本次接受随机调查的学生人数为 ，扇形统计图中 m
的值是 ；
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
50
32
请根据相关信息，解答下列问题：
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生
人数.
【思路导航】（1）由捐款的人数及其所占百分比可得总人
数，用捐款10元的人数除以总人数可得 m 的值；（2）根据
条形统计图中的数据计算即可；（3）根据样本估计总体的
方法计算即可.
（1）【解析】本次接受随机调查的学生人数为4÷8％＝50
（人）.因为 ×100％＝32％，所以 m ＝32.故答案为50，32.
（2）解：本次调查获取的样本数据的平均数是 ×（4×5＋
16×10＋12×15＋10×20＋8×30）＝16（元）.
10元出现的次数最多，出现了16次，则本次调查获取的样本数
据的众数是10元.
因为共有50人，处于最中间位置的是第25，26个数的平均数，
所以本次调查获取的样本数据的中位数是 ＝15（元）.
（3）解：估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数为3
000×32％＝960（人）.
【点拨】扇形统计图中，百分比之和＝1；条形统计图中，频数
之和＝总数；频数分布表中，频数÷频率＝总数，总数×频率
＝频数.利用这些常用公式，可以求出每一项目的具体数量与所
占百分比，从而根据定义求出平均数、中位数与众数，同时利
用样本去估计总体，进行数据分析，作出相应的决策.
某中学为了解全校学生阅读的情况，随机抽查了部分学生在一
学期内阅读书籍的本数，并制成了不完整的统计图表.
阅读书 籍本数 2本及 以下 3本 4本 5本及
以上
人数 10 16 m 13
请根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为 ， m 的值为 ；
50
11
（1）【解析】本次调查的人数为16÷32％＝50（人）， m ＝50
－10－16－13＝11.故答案为50，11.
（3）若该校共有900名学生，估计该校学生在这一学期内阅读
书籍“不超过3本”的人数.
（2）【解析】由表格可得，该样本数据的中位数是3，众数是
3.故答案为3和3.
（3）解：估计该校学生在这一学期内阅读书籍“不超过3本”
的人数为900× ＝468（人）.
（2）本次抽查的阅读书籍本数的中位数和众数分别为 ；
3和
3
在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实
践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：
分）均为不低于6的整数.为了解这次活动的效果，现从这两个
年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘
制统计图表，部分信息如下：
成绩/分 6 7 8 9 10
人数 1 2 a b 2
七年级10名学生活动成绩扇形统计图
已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分.
八年级10名学生活动成绩统计表
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生人数是 ，七年
级活动成绩的众数为 分；
（2） a ＝ ， b ＝ ；
（3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数
据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并
说明理由.
1
8
2
3
【思路导航】（1）分别求得成绩为8分，9分，10分的人数，再
结合总人数为10人列式计算即可求得成绩为7分的学生人数，然
后根据众数的定义即可求解；（2）根据中位数的定义将八年级
的活动成绩从小到大排列，那么其中位数应是第5个和第6个数
据的平均数，结合已知条件易得第5个和第6个数据分别为8，
9，再根据表格中的数据即可求得答案；（3）结合（1）（2）
中所求，分别求得两个年级优秀率及平均成绩后进行比较即可.
（1）【解析】由扇形统计图可得，成绩为8分的人数为10×50
％＝5，成绩为9分的人数为10×20％＝2，成绩为10分的人数为
10×20％＝2，则成绩为7分的学生人数为10－5－2－2＝1.因为
出现次数最多的为8分，所以七年级活动成绩的众数为8分.故答
案为1，8.
（2）【解析】由题意，将八年级的活动成绩从小到大排列后，
它的中位数应是第5个和第6个数据的平均数.
因为八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分，
所以第5个和第6个数据的和为8.5×2＝17＝8＋9.
所以第5个和第6个数据分别为8分，9分.因为成绩为6分和7分的
人数为1＋2＝3（人）.所以成绩为8分的人数为5－3＝2
（人），成绩为9分的人数为10－5－2＝3（人）.即 a ＝2， b ＝
3.故答案为2，3.
（3）解：不是.理由如下：
结合（1）（2）中所求可得七年级的优秀率为 ×100％＝40％，
八年级的优秀率为 ×100％＝50％，
七年级的平均成绩为 ＝8.5（分），
八年级的平均成绩为 ＝8.3（分）.因为40％＜50％，8.5＞8.3，
所以本次活动中优秀率高的年级并不是平均成绩也高.
【点拨】一组数据中若无极端值，且这组数据较接近时，可用
平均数表示这组数据的平均水平；若存在极端值，使平均数不
能准确表示这组数据的集中趋势时，因为中位数受极端值影响
较小，可用中位数表示这组数据的中间水平；当一组数据中个
别数据多次重复出现，以至于其他数据作用相对较小时，可用
众数表示这组数据的多数水平.平均数、中位数与众数从不同角
度来表达一组数据的集中趋势，要合理选用数据以作出决策.
某商贸公司10名销售员上月完成的销售额情况如下：
销售额/万元 3 4 5 6 7 8 16
销售员人数 1 1 3 2 1 1 1
（1）求上月10名销售员平均每人完成的销售额；
解：（1）由题意可得，上月10名销售员平均每人完成的销
售额为 ＝6.5（万元）.
（2）为了提高大多数销售员的积极性，管理者准备实行“每天
定额销售，超额有奖”的措施，如果你是管理者，从平均数，
中位数、众数的角度进行分析，你将如何确定这个“定额”？
（2）由题意可得，中位数为 ＝5.5，众数为5.
由上述数据可知：当选择中位数时，有5人不达标；选择众数
时，有2人不达标；选择平均数时，有7人不达标，
所以应该选择中位数为“定额”比较合理.
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第六章 数据的分析
1 平均数（第一课时）
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课前预习
典例讲练
目录
CONTENTS
数学 八年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 平均数.
一般地，对于 n 个数 x1， x2，…， xn ，把 （ x1＋ x2＋…＋ xn ）
叫做这 n 个数的 ，简称平均数，记为 .
注：平均数是反映一组数据平均水平的特征数，它的大小与这
组数据中每一个数据都有关系，是描述一组数据集中趋势的量.
算术平均数
2. 加权平均数.
实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同.
因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个
“ ”，由此求得的平均数称为 平均数.
注：（1）一般地，一组数据 x1， x2，…， xn ，若它们的“权”
分别为 f1， f2，…， fn ，则这组数据的加权平均数为
.（2）“权”的三种表现形式：①各个数
据出现的次数；②比例的形式；③百分比形式或小数形式.
权
加权
数学 八年级上册 BS版
0 2
典例讲练
10名学生在某一次数学考试中的成绩如下：
92，93，88，76，100，90，71，97，92，91.
求这10名学生的平均成绩.
【思路导航】这组数据中的大部分数接近整数90，可以把超过
90的部分用正数表示，不足90的部分用负数表示，构造出一组
新数据，求出新数据的平均数，再加上90，即可得到原数据的
平均数.
解：解法一（定义法）：
＝ ＝89（分）.
解法二（构造新数据法）：把他们成绩超过90的部分记作正
数，不足90的部分记作负数.
则这10名学生的成绩分别记作：＋2，＋3，－2，－14，＋10，
0，－19，＋7，＋2，＋1.
＝ ＋90＝－1＋90＝89（分）.
故这10名学生的平均成绩为89分.
【点拨】平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，
反映了一组数据的平均水平，是描述一组数据的集中趋势的量.
一组数据的平均数是唯一的，其单位与原数据的单位一致.平均
数与数据的排列顺序无关，平均数不一定是这组数据中的某一
个数.通过此题中先预估平均数的方法，可以减少计算量.
1. 已知3，5， x ，6这4个数的平均数为4.5，则 x 的值是 .
2. 某地共有62家供应快餐的饭店，环保部门为了了解这些饭店
一天共用了多少个一次性快餐饭盒，随机抽取其中的8家饭店，
调查一天使用一次性快餐饭盒的数量，获得以下数据（单位：
个）：125，115，140，270，110，120，100，140.
4
（1）这8家饭店平均每家一天使用一次性快餐饭盒 个；
（2）估计这62家饭店一天共使用一次性快餐饭盒 个.
【点拨】当一组数据比较接近时，先找到数据的“中心数
a ”，然后将这组数据中的每一个数分别与“中心数 a ”相减，
得到一组新数据，求出新数据的平均数 ，则原数据的平均数
＝ ＋ a .
140
8680
某学校第二课堂要创办“足球特色班”，大量热爱足球运动的
同学踊跃报名参加.但由于名额有限，所以需要考核选拔，考核
的最终评价成绩是由足球知识、身体素质、足球技能三项成绩
构成的.如果最终评价成绩在80分以上（含80分），则评为“优
秀”.小张和小王两位同学的成绩记录如下表：（单位：分）
报名者 足球知识 身体素质 足球技能
小张 70 90 80
小王 90 75
（1）若按三项成绩的平均分记为最终评价成绩，请计算小张的
最终评价成绩.
（2）根据实际情况，学校决定将足球知识、身体素质、足球技
能三项成绩按1∶4∶5的权重来确定最终评价成绩.
①请计算小张的最终评价成绩；
②小王在足球技能这项上得多少分最终评价成绩刚好达到优
秀？
【思路导航】（1）直接利用算术平均数的定义求解；（2）①
根据加权平均数的定义列式计算；②根据加权平均数的定义，
列方程解答.
②设小王在足球技能这项上得 x 分最终评价成绩刚好达到优秀.
根据题意，得 ＝80，解得 x ＝82.
故小王在足球技能这一项上得82分最终评价成绩刚好达到优秀.
（2）①小张的最终评价成绩为 ＝83（分）.
解：（1）小张的最终评价成绩为 ＝80（分）.
【点拨】（1）在加权平均数的公式中，分子是各数据与其权数
的乘积之和，分母是权数之和.（2）加权平均数不仅与每个数
据的大小有关，还受每个数据的“权”的影响，“权”越大，
这个数据对平均数的影响越大；“权”不同，一般加权平均数
的结果也不同.（3）“权”主要有三种表现形式：①各数据出
现的次数；②比例的形式；③百分比或小数的形式.
某校对各个班级教室卫生情况的考评包括以下几项：门窗、
桌椅、地面.两个班级在某天的各项卫生成绩如下表：（单
位：分）
班级 门窗 桌椅 地面
一班 85 90 95
二班 95 85 90
（1）两个班的平均得分分别是多少？
解：（1）一班的平均得分是 ＝90（分），
二班的平均得分是 ＝90（分）.
（2）按学校的考评要求，将门窗、桌椅、地面这三项得分依次
按如图所示的百分比计算各班的卫生成绩，那么哪个班的卫生
成绩高？请说明理由.
（2）一班的卫生成绩高.理由如下：
一班的加权平均成绩：
85×25％＋90×35％＋95×40％＝90.75（分）.
二班的加权平均成绩：
95×25％＋85×35％＋90×40％＝89.5（分）.
因为90.75＞89.5，
所以一班的卫生成绩高.
某学校欲招聘一名数学教师.对甲、乙两位应试者进行了面试和
笔试，他们的成绩如下表（单位：分）：
应试者 面试 笔试
甲 86 90
乙 92 83
（1）如果学校认为面试和笔试成绩同等重要，那么从他们的成
绩看，谁将被录取？
（2）如果学校认为，作为数学教师面试成绩应该比笔试成绩更
重要，并分别赋予它们7和3的权，计算甲、乙两人各自的平均
成绩，谁将被录取？
【思路导航】（1）求得面试和笔试的平均成绩即可得到结论；
（2）根据题意先算出甲、乙两位应试者的加权平均数，再进行
比较，即可得出答案.
解：（1）甲的平均成绩： ＝88（分），
乙的平均成绩： ＝87.5（分）.
因为87.5＜88，
所以如果面试和笔试成绩同等重要，甲将被录取.
（2）甲的平均成绩： ＝87.2（分），
乙的平均成绩： ＝89.3（分）.
因为87.2＜89.3，所以乙将被录取.
【点拨】求实际问题中的加权平均数一般有三个步骤：（1）定
数据：根据相关的统计图（表），确定每个数据；（2）看权
重：分析题意，确定各数据的权；（3）求结果：代入加权平均
数的计算公式，通过计算分析得出问题答案.计算加权平均数
时，不仅要找准每个数据对应的权，还要仔细计算，避免忽略
“权”或计算大意而出错.
某校为迎接校庆活动，组织了九年级各班的合唱比赛，其中两
个班的各项得分如表：（单位：分）
班级 服装得体 音准节奏 形式创新
九（1）班 90 78 85
九（2）班 75 92 84
（1）如果将服装得体、音准节奏、形式创新三项得分按
5∶3∶2的比例确定各班的最终成绩，通过计算比较哪个班成绩
更好？
解：（1）九（1）班的平均分：90×0.5＋78×0.3＋85×0.2＝
85.4（分），
九（2）班的平均分：75×0.5＋92×0.3＋84×0.2＝81.9
（分）.
因为85.4＞81.9，
所以九（1）班成绩更好.
（2）请你判断按（1）中分配比例是否合理.若合理，请说明理
由；若不合理，请给出一个你认为合理的比例.
（2）不合理，合唱比赛应该更加注重音准节奏和形式创新，服
装得体占比应减小.
合理的比例为2∶5∶3.（只要言之合理即可）
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第六章 数据的分析
回顾与思考
数学 八年级上册 BS版
要点回顾
典例讲练
目录
CONTENTS
1. 平均数与加权平均数.
一般地，对于 n 个数 x1， x2，…， xn ，它们的算术平均数
＝ ；有 n 个数，其中 x1有 f1个， x2有 f2
个，…， xk 有 fk 个， f1＋ f2＋…＋ fk ＝ n ，则加权平均数
＝ .
注意：权的形式可以是整数、比和百分数.
2. 中位数.
一般地， n 个数据按 排列，处于 位置
的一个数据（或最中间 的 ）叫做这组
数据的中位数.若数据有 n 个（ n 为奇数）时，中位数为第
个；若数据有 n 个（ n 为偶数）时，中位数是第 个数据与第
＋1个数据的平均数.
大小顺序
最中间
两个数据
平均数
3. 众数.
一组数据中出现次数 的那个数据叫做这组数据的众数.
众数是出现次数最多的数，而不是数据出现的次数.一组数据的
中位数只有一个，但众数可能有多个，甚至没有.
4. 平均数、中位数和众数的相同与区别.
相同：都是用来描述数据 的统计量；都可用来反
映数据的一般水平；都可用来作为一组数据的代表.
最多
集中趋势
区别：平均数用来代表数据的总体“ 水平”；平均数
与每一个数据都有关，其中任何数据的变动都会引起平均数的
变动；缺点是易受极端值的影响.中位数用来代表一组数据的
“ 水平”； 中位数与数据的排列位置有关，不受数据
极端值的影响；众数是一组数据中出现次数最多的数据，用来
代表一组数据的“ 水平”，但当一组数据中的每一个
数据都出现相同次数时，这组数据就没有众数.
平均
中等
多数
5. 极差、方差与标准差.
（1）极差：极差是刻画数据 的一个统计量，是一
组数据中 与 的差.
（2）方差：方差是各个数据与平均数差的平方的平均数，即 s2
＝ （其
中 是 x1， x2，…， xn 的平均数， s2是方差）.
（3）标准差：标准差是方差的算术平方根， s
＝ .
离散程度
最大数据
最小数据
[ ＋ ＋…＋ ]
（4）数据的稳定性：
一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就
越稳定.
①极差仅表示一组数据变化范围的大小，只对极端值较为敏
感，而不能表示其他意义.
②方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，
常用来比较两组数据的波动大小.方差较大的波动较大，方
差较小的波动较小.在解决实际问题时，常用样本的方差估
计总体的方差.
6. 平均数、方差、标准差的性质.
样本数据 平均数 方差 标准差
x1， x2， x3，…， xn s2 s
x1＋ a ， x2＋ a ， x3＋ a ，…， xn
＋ a
kx1， kx2， kx3，…， kxn
kx1＋ a ， kx2＋ a ， kx3＋ a ，…，
kxn ＋ a
＋ a
s2
s
k
k2 s2
ks
k ＋ a
k2 s2
ks
数学 八年级上册 BS版
0 2
典例讲练
要点一 平均数、中位数与众数
某校对所有九年级学生进行了数学运算水平（数学核心素
养组成部分）的测试，并随机抽取了50名学生的测试成绩进行
整理和分析.
成绩等级 D 等 C 等 B 等 A 等
分数 60＜ x ≤70 70＜ x ≤80 80＜ x ≤90 90＜ x
≤100
人数 a 13 12 16
其中B等成绩（单位：分）分别为：81，82，84，85，85，86，
87，89，90，90，90，90.
成绩频数分布表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）在80＜ x ≤90这一组成绩的众数是 ；
（2）表中 a ＝ ，本次测试成绩的中位数为 ；
（3）测试成绩高于85分为优秀，请估计该校九年级400名学生
中测试成绩为优秀的人数.
【思路导航】（1）根据众数的定义求解即可；（2）根据各等
级人数之和等于总人数可得 a 的值，再依据中位数的定义可
得；（3）根据样本估计总体的方法计算即可.
9
84.5
90
（2）【解析】 a ＝50－（13＋12＋16）＝9，本次测试成绩的
中位数为 ＝84.5.故答案为9，84.5.
（3）解：400× ＝184（名）.故估计该校九年级400名学生
中测试成绩为优秀的有184名.
（1）【解析】在80＜ x ≤90这一组成绩的众数是90.故答案为
90.
1. 王同学调查了本班学生最喜欢的体育项目情况，并绘制成如
图所示的扇形统计图和条形统计图，其中条形统计图被撕坏了
一部分，则 m 与 n 的和为（ C ）
C
A. 24 B. 26 C. 52 D. 54
【解析】调查的学生总人数为10÷ ＝50（人），兵乒球和足
球的百分比的和为 ×100％＝48％，所以 m ％＋ n ％＝100
％－48％＝52％，所以 m ＋ n ＝52.故选C.
2. 若数据1，2， a 的平均数为2，数据－2， a ，2，1， b 的众数
为－2，则数据－2， a ，2，1， b 的中位数为 .
1
要点二 极差、方差与标准差
（1）甲、乙两位同学5次数学选拔赛的成绩（百分制）统
计的情况如下表（单位：分）已知他们5次考试的总成绩相同.
参赛者 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲 80 40 70 50 60
乙 70 50 70 a 70
①根据以上信息，可知 a ＝ ，甲同学成绩的极差
为 ；
40
40
②小颖计算了甲同学成绩的平均数为60，方差是 ＝200.请你
求出乙同学成绩的平均数和方差；
③从平均数和方差的角度，分析甲、乙两位同学谁的成绩更
稳定.
【思路导航】①用甲的总成绩减去乙第1，2，3，5次的成绩可
得 a 的值，用甲成绩的最大值减去最小值可得其极差；②根据
平均数和方差的定义求解即可得答案；③根据平均数和方差对
稳定性的影响即可得答案.
①【解析】 a ＝（80＋40＋70＋50＋60）－（70＋50＋70＋
70）＝40，
甲同学成绩的极差为80－40＝40.故答案为40，40.
②解：乙同学成绩的平均数为 ×（70＋50＋70＋40＋70）＝60（分），
方差 ＝ ×[（70－60）2＋（50－60）2＋（70－60）2＋（40
－60）2＋ ＝160.
③解：因为甲、乙两位同学成绩的平均数相同，且 ＞ ，
所以乙同学的成绩更稳定.
【点拨】在比较两组数据的稳定性时，一般先看平均数，在平
均数相同或相近的情况下，再分析稳定性.方差是反映数据波动
大小的量，因此可通过比较方差的大小来解决问题.
（2）已知数据 x1， x2， x3的平均数为 a ，方差是 b ，则数据2 x1
＋1，2 x2＋1，2 x3＋1的平均数为 ，方差为 .
【思路导航】根据数据都加上一个数（或减去一个数）时，平
均数加上或减去同一个数，方差不变；数据都乘同一个数，平
均数乘这个数，方差乘这个数的平方求解.
【解析】因为数据 x1， x2， x3的平均数为 a ，方差是 b ，
所以数据2 x1＋1，2 x2＋1，2 x3＋1的平均数为2 a ＋1，方差为22
b ＝4 b .故答案为2 a ＋1，4 b .
【点拨】平均数、方差的性质：
2 a ＋1
4 b
样本数据 平均数 方差 标准差
x1， x2， x3，…， xn s2 s
x1＋ a ， x2＋ a ， x3＋ a ，…， xn
＋ a ＋ a s2 s
kx1， kx2， kx3，…， kxn k k2 s2 ks
kx1＋ a ， kx2＋ a ， kx3＋ a ，…，
kxn ＋ a k ＋ a k2 s2 ks
1. 若数据 x1， x2， x3， x4， x5， x6的平均数是2，方差是5，则数
据2 x1＋3，2 x2＋3，2 x3＋3，2 x4＋3，2 x5＋3，2 x6＋3的平均数
和方差分别是 和 .
2. 已知一组数据－1，0，3，5， x 的极差是7，则 x 的值可能
是 .
3. 小冬与小夏是某中学篮球队的队员，在最近五场球赛中的得
分如下表所示（单位：分）：
7
20
－2或6
3. 小冬与小夏是某中学篮球队的队员，在最近五场球赛中的得
分如下表所示（单位：分）：
队员 第一场 第二场 第三场 第四场 第五场
小冬 10 13 9 8 10
小夏 12 2 13 21 2
（1）根据上述信息，将下表补充完整.
队员 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差
小冬 10 10 2.8
小夏 10 12 52.4
10
2
（1）【解析】由题意可知，小冬得分的中位数是10，小夏得分
的众数是2.故从上到下的答案为10，2.
（2）若教练选小冬去参加下一场比赛，你认为教练选择小冬的
理由是什么？
（2）解：教练选择小冬的理由：小冬和小夏的平均分相同，小
冬得分的方差小于小夏得分的方差，即小冬的得分更稳定.
（3）解：由题意，得小冬六场球赛的得分情况从小到大的排列
是8，9，10，10，10，13.
所以小冬得分的平均数： ＝10，
中位数：10，众数：10，方差： [ ＋ ＋
×3＋ ]＝ .
所以平均数、中位数和众数不变，方差变小.
（3）若小冬的下一场球赛的得分是10分，则小冬得分的四个统
计量（平均数，众数，中位数，方差）中，哪些发生了变化？
变大了还是变小了？
要点三 统计图表中的数据分析
为了引导学生学习禁毒知识、远离毒品侵害，某中学开展
了“全民禁毒，共享幸福”的知识竞赛活动.现从该校七、八年
级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行了整理分析， 制成如
下统计图表.
七年级20名学生的竞赛成绩统计图
抽取七、八年级各20名学生的竞赛成绩分析表
八年级20名学生的竞赛成绩统计图
年级 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差
七 7.55 7 a 2.75
八 7.55 b 8 2.25
请根据相关信息，回答下列问题：
（1） a ＝ ， b ＝ .
7
8
（2）你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“禁毒知识”
较好？请说明理由（一条理由即可）.
【思路导航】（1）根据众数和中位数的概念求解即可；（2）
在七、八年级学生掌握“禁毒知识”的平均数相同的前提下，
比较方差的大小，从而得出答案（理由不唯一）.
（1）【解析】由题意，知七年级20名学生竞赛成绩的中位数 a
＝（7＋7）÷2＝7.八年级20名学生竞赛成绩为8分的人数所占
百分比为 ×100％＝25％，得5分人数所占百分比为1－
（20％＋15％＋25％＋20％＋10％）＝10％，所以八年级20名
学生竞赛成绩的众数 b ＝8.故答案为7，8.
（2）解：八年级学生掌握“禁毒知识”较好，因为在七、八年
级学生掌握“禁毒知识”的平均数相同的前提下，八年级学生
成绩的方差小，成绩更稳定.
【点拨】（1）在扇形统计图中：①所占比例最大部分所对应的
数就是众数；②按从小到大的顺序计算所占百分比之和，找到
50％和51％对应的部分的平均数就是中位数；③求平均数时，
先求出对应部分的权，再求解加权平均数.（2）在条形统计图
中：①最高的直条所对的横轴上的数就是众数，②平均数一般
来说是加权平均数；③求中位数时，按大小排序，取最中间的
数或最中间两个的数的平均数.（3）在折线统计图中：①出现
次数最多的数是众数；②所求平均数是算术平均数；③求中位
数的方法同条形统计图. （4）数据的平均数、中位数代表的是集中趋势，方差代表的是数据的离散程度，方差越小，数据的波动越小，方差越大，数据的波动越大.
某校举办了一次运河知识竞赛，满分10分，学生得分为整数，
成绩达到6分以上（包括6分）为合格，达到9分以上（包含9
分）为优秀.这次竞赛中甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图
如图所示.
（1）补充完成下面的成绩统计分析表：
组别 平均数/分 中位数/分 方差 合格率 优秀率
甲组 6.7 3.41 90％ 20％
乙组 7.5 1.69 80％ 10％
6
7.1
（1）【解析】由题意可知，甲组的成绩为3，6，6，6，6，6，7，8，9，10，所以甲组成绩的中位数为6；乙组成绩为5，5，6，7，7，8，8，8，8，9，平均分为 ×（5＋5＋6＋7＋7＋8＋8＋8＋8＋9）＝7.1（分）.故从上到下的答案为6，7.1.
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名
属中游略偏上！”观察上表可知，小明是 组的学生（填
“甲”或“乙”）；
甲
（2）【解析】观察（1）中的表格可知，小明是甲组的学生.故
答案为甲.
（3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所
以他们组的成绩好于乙组.但乙组同学不同意甲组同学的说
法，认为他们组的成绩要好于甲组.请你给出两条支持乙组
同学观点的理由.
（3）解：乙组的平均数、中位数高于甲组，方差小于甲组，故
乙组成绩好于甲组.
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第六章 数据的分析
4 数据的离散程度（第二课时）
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1. 一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据
就越稳定.但这并不是绝对的，有时大多数数据相对集中，整体
波动水平较小，但个别数据的偏离仍可能极大地影响极差、方
差或标准差的值.从而导致这些统计量数值较大，因此在实际应
用中应根据具体问题情境进行具体分析，选用适当的统计量刻
画数据的波动情况.一般来说，只有在两组数据的平均数相等或
比较接近时，才用极差、方差或标准差来比较两组数据的波动
大小.
样本数据 平均数 方差
x1， x2， x3，…， xn s2
x1＋ a ， x2＋ a ， x3＋ a ，…， xn ＋ a ， ＋ a s2
kx1， kx2， kx3，…， kxn k k2 s2
kx1＋ a ， kx2＋ a ， kx3＋ a ，…， kxn ＋ a ， k ＋ a k2 s2
2. 平均数与方差的推广.
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若数据 x1， x2， x3，…， xn 的平均数是 a ，方差是 b ，则数据7 x1
－3，7 x2－3，7 x3－3，…，7 xn －3的平均数是 ，方
差是 .
【思路导航】根据平均数和方差的概念分别进行解答即可得
结果.
7 a －3
49 b
【解析】数据7 x1－3，7 x2－3，7 x3－3，…，7 xn －3的平均数为
＝ [（7 x1－3）＋（7 x2－3）＋（7 x3－3）＋…＋（7 xn －
3）]＝ [7（ x1＋ x2＋ x3＋…＋ xn ）]－ ×3 n ＝7 a －3，方差为
s2＝ {[（7 x1－3）－（7 －3）]2＋[（7 x2－3）－（7 －3）]2
＋[（7 x3－3）－（7 －3）]2＋…＋[（7 xn －3）－（7 －
3）]2}＝ [（ x1－ ）2＋（ x2－ ）2＋（ x3－ ）2＋…＋（ xn
－ ）2]＝49 b .故答案为7 a －3，49 b .
【点拨】当数据中每个数都加上同一个数（或减去同一个数）
时，方差不变；当数据中的每一个数都变为原数的 k 倍时，则方差变为原数据方差的 k2倍.
1. 已知数据 x1， x2，…， xn 的平均数是2，方差是0.1，则4 x1－
2，4 x2－2，…，4 xn －2的平均数是 ，方差是 ，标
准差是 .
2. 已知2，3，5， m ， n 五个数据的方差是2，则4，5，7， m ＋
2， n ＋2五个数据的方差是 .
6
1.6
2
（1）一次训练中，甲、乙、丙三人各射击10次的成绩（单位：
环）如图所示，则此次射击三人成绩最稳定的是（ B ）
B
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法判断
【思路导航】根据方差的定义，方差越小图象波动越小，数据
越稳定，即可得出答案.
【解析】根据统计图波动情况来看，乙波动比较小，比较稳
定，所以此次射击成绩最稳定的是乙.故选B.
【点拨】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，
表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；
反之，方差越小，表明这组数据偏离平均数越小，即波动越
小，数据越稳定.
（2）甲、乙两班举行一分钟跳绳比赛，参赛学生每分钟跳绳次
数的统计结果如下表.
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 45 109 181 110
乙 45 111 108 110
某同学分析上表后得到如下结论：①甲，乙两班学生的平均成
绩相同；②乙班优秀人数多于甲班优秀人数（每分钟跳绳≥110
次为优秀）；③甲班成绩的波动比乙班大.其中结论正确的
有 （填序号）.
【思路导航】根据平均数、中位数和方差的意义分别进行分
析，即可得出答案.
①②③
【解析】从表中可知，平均数都是110，①正确；甲班的中位数
是109，乙班的中位数是111，而110及以上为优秀，说明乙班优
秀的人数多于甲班优秀的人数，②正确；甲班的方差大于乙班
的，说明甲班的波动情况比乙班大，所以③正确.故答案①②
③.
【点拨】理解中位数、平均数、方差的意义是解题关键.
1. 某队要从A，B两名选手中选取一名参加某项比赛，为此对这
两名选手进行了五次测试，测试成绩如图所示.
分析上图可知，应选择 选手，理由是
.
A
A选手的成绩比较
稳定
2. 甲、乙两种水稻试验品中连续5年的平均单位面积产量（单
位：t/公顷）如下表.
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2
乙 9.9 10.1 10.2 9.9 9.9
经计算， ＝10， ＝10，试根据这组数据估计水稻品种的
产量比较稳定的是 .
乙
近年来网约车给人们的出行带来了便利，数学兴趣小组的同学
对甲、乙两家网约车公司司机的年收入（单位：万元）进行了
抽样调查，分别从两家公司各抽取10名司机，根据调查结果绘
制成如下统计图.
甲公司司机年收入人数分布扇形图
根据以上信息，整理分析数据如下：
乙公司司机年收入人数分布条形图
公司 平均数/万元 中位数/万元 众数/万元 方差
甲 a 6 c d
乙 6 b 4 7.6
（1）填空： a ＝ ； b ＝ ； c ＝ ； d ＝ .
6
4.5
6
1.2
（2）小明的叔叔计划从两家公司中选择一家做网约车司机，如
果你是小明，你建议他选哪家公司？请说明理由.
【思路导航】（1）利用平均数、中位数、众数、方差的定义分
别计算，即可求解；（2）根据平均数相同，中位数及众数的大
小和方差的大小进行选择即可.
（1）【解析】由题意，得甲公司“6万元”对应的百分比为1－
（10％＋20％＋10％＋20％）＝40％，所以甲公司司机的平均
年收入 a ＝4×10％＋5×20％＋6×40％＋7×20％＋8×10％＝
6，众数 c ＝6，方差 d ＝ ×[（4－6）2＋2×（5－6）2＋4×
（6－6）2＋2×（7－6）2＋（8－6）2]＝1.2；乙公司的中位数
b ＝ ＝4.5.故答案为6，4.5，6，1.2.
（2）解：建议他选甲公司.理由如下：因为平均数相同，甲公
司的中位数、众数均大于乙公司，且甲公司方差小，更稳定，
所以建议他选甲公司.
【点拨】解题的关键在于理解平均数、中位数、众数、方差在
统计学里的意义与在实际应用中的意义.平均数代表工资平均水
平，中位数代表最中间的水平，中位数之上与之下的人数相
同，众数代表大多数人的工资水平.在本情境中，方差越小代表
工资水平差异越小，从就业者角度来看，选择大多数人工资水
平较高，且较为稳定的公司.
某校为了强化学生的环保意识，校团委举办了“保护环境，人
人有责”的知识竞赛活动，初、高中根据初赛成绩，各选出5名
选手组成初中代表队和高中代表队进行复赛，他们的复赛成绩
如图所示.
初中代表队5名学生的复赛成绩统计图
高中代表队5名学生的复赛成绩统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）高中代表队5名学生复赛成绩的中位数为 分；
（2）分别计算初中代表队、高中代表队学生的复赛成绩的
平均数；
（3）已知高中代表队学生复赛成绩的方差为20，请计算初中代
表队学生复赛成绩的方差，并结合两队成绩的平均数和方差分
析哪个队的复赛成绩较好.
95
（1）【解析】五个人的成绩从小到大排列为90，90，95，
100，100.第3个数为中位数，所以中位数是95.故答案为95.
（2）解：高中代表队的平均数为（90＋90＋95＋100＋100）
÷5＝95（分），
初中代表队的平均数为（80＋90＋90＋90＋100）÷5＝90
（分）.
（3）解：初中代表队的方差为 ×[（80－90）2＋（90－90）2
＋（90－90）2＋（90－90）2＋（100－90）2]＝40.
因为平均数95＞90，方差20＜40，
所以高中代表队的复赛成绩较好.
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第六章 数据的分析
3 从统计图分析数据的集中趋势
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1. 三类统计图的特征.
（1）折线统计图可以直观反映数据的变化趋势，直线上升则数
据变大，直线下降则数据变小.
（2）扇形统计图表示各部分所占的百分比，扇形越大，对应部
分所占百分比越大，反之越小.扇形圆心角度数＝对应部分所占
百分比×360°.
（3）条形统计图体现各项目的具体数目，其描述对象为多
组数据.
2. 从统计图中读取中位数、众数、平均数.
（1）在扇形统计图中，众数是所占比例最大部分所对应的数；
按从小到大的顺序计算所占百分比之和，找到50％和51％对应
的部分的平均数就是中位数；利用扇形统计图能较易地求出数
据的平均数、中位数与众数.
（2）条形统计图中，最高的直条所对的横轴上的数就是众数，
而平均数一般来说是加权平均数，求中位数时，按大小排序，
取最中间的数或最中间的两个数的平均数.
（3）折线统计图中，出现次数最多的数是众数，所求平均数是
算术平均数，中位数求法同条形统计图.
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0 2
典例讲练
本校将学生体质健康测试成绩分为A，B，C，D四个等级，依
次记为4分、3分、2分、1分.为了解学生整体体质健康状况，拟
抽样进行统计分析.现将随机抽取的测试成绩整理并绘制成统计
图如图所示，请求出这组数据的平均数、中位数和众数.
【思路导航】根据加权平均数、中位数和众数的定义求解.
解：由题意，得这组数据的平均数为
＝2.75（分）.
因为抽查的30＋45＋30＋15＝120（人）中，成绩是3分出现的
次数最多，共出现45次，所以众数是3分.
将这120人的得分从小到大排列，处在最中间位置的两个数都是
3分，因此中位数是3分.
故这组数据的平均数是2.75分，中位数是3分，众数是3分.
【点拨】通过统计图求数据的平均数、中位数和众数，要注意
几点：（1）根据三种常见统计图各自的特点，准确读出数据；
（2）将数据按顺序排列后，再计算平均数、中位数和众数.
1. 在某市中小学生“人人会乐器”演奏比赛中，某班10名学生
成绩的折线图如图所示，则这10名学生成绩的众数是
分，中位数是 分，平均数是 分.
90
90
88.5
2. 某高校组织学生开展植树活动，为了解全校学生的植树情
况，学校随机抽查了100名学生的植树情况，将调查数据绘制成
如图所示的统计图，则这组数据的众数是 棵，中位数
是 棵，平均每人植树 棵.
4
5.5
5.9
某学校为使高一新生入校后及时穿上合身的校服，现提前对某
校九（1）班学生所穿校服型号情况进行了摸底调查，并根据调
查结果绘制了如图所示的两个不完整的统计图（校服型号以身
高作为标准，共分为6种型号）.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）该班共有 名学生；
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）请直接写出该班学生所穿校服型号的众数是
，中位数是 ；
50
165和
170
170
（4）若该校九年级有学生5010人，请你估计穿175型校服的学
生人数.
【思路导航】（1）根据穿165型的人数与所占的百分比列式进
行计算即可求出学生总人数；（2）总人数乘175型所占的百分
比计算出对应人数，根据各型号人数之和等于总人数求出185型
的人数，然后补全统计图；（3）根据众数的定义以及中位数的
定义解答；（4）根据样本估计总体的方法计算即可.
（2）解：175型的人数为50×20％＝10（人），185型的人数为
50－3－15－15－10－5＝2（人）.
补全统计图如图所示：
（1）【解析】该班学生的总人数为15÷30％＝50（人）.故答
案为50.
（3）【解析】165型和170型出现的次数最多，都是15次，故众
数是165和170.共有50个数据，第25、26个数据都是170，故中
位数是170.故答案为165和170，170.
（4）解：估计穿175型校服的学生人数为5010×20％＝1002
（人）.故穿175型校服的学生人数约为1002人.
【点拨】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.条
形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图能直接
反映部分占总体的百分比大小.
某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一
年的月平均用水量（单位：t）.根据调查结果，绘制出如下的
统计图.
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的家庭个数为 ，扇形统计图中 m 的值
为 ；
50
20
（1）【解析】本次接受调查的家庭个数为8÷16％＝50（人）.
m ％＝ ×100％＝20％，即 m ＝20.故答案为50，20.
（2）解：这组月平均用水量数据的平均数是
＝5.9（t）.
因为6出现了16次，出现的次数最多，所以这组数据的众数是
6t.
将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数都是6，所以
这组数据的中位数是6t.
（2）求统计的这组月平均用水量数据的平均数、众数和中
位数.
甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛
人数相等.比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、
10分（满分10分）.依据统计数据绘制了如下不完整的统计表和
统计图.
甲校成绩统计表
成绩/分 7 8 9 10
人数 11 0 8
乙校成绩统计图
（1）图中乙校“7分”所在扇形的圆心角度数是 ；
（2）请将条形统计图补充完整；
144°
（3）经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，求甲校成
绩的平均数、中位数，并从平均数和中位数的角度分析哪个学
校的成绩较好；
（4）若该教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，为了便
于管理，决定从这两所学校中的一所学校挑选参赛选手，请你
分析应选哪所学校.
【思路导航】（1）根据扇形统计图提供的信息，直接可以
算出“7分”所在扇形的圆心角的度数；（2）利用图中提供
的信息即可补全条形统计图；（3）先计算出甲校的平均数
和中位数，然后与乙校的平均数和中位数进行比较分析便能
得到结论；（4）由甲校成绩统计表和乙校的统计图提供的
信息便能得出结论.
（2）解：乙校参赛人数为5÷ ＝20（人）.
所以“8分”的人数为20－8－4－5＝3（人）.
补全条形统计图如图所示：
（1）【解析】由扇形统计图，知“7分”所在扇形的圆心角为
360°－90°－72°－54°＝144°.故答案为144°.
（3）解：由于两校参加人数相等，因此，甲校的参赛人数也为20人，即得9分的有1人.所以甲校成绩的平均数为（7×11＋
8×0＋9×1＋10×8）× ＝8.3（分），中位数为7分.
因为两所学校成绩的平均数一样，所以只能从中位数的角度进
行考虑.
因为乙校成绩的中位数为8分，大于甲校成绩的中位数7分，所
以乙校的成绩较好.
（4）解：因为该教育局指定只要同一个学校的8人组成代表队
参加市级团体赛，甲校的前8名都是10分，而乙校的前8名中只
有5人是10分，所以应选择甲校.
【点拨】中位数、众数、平均数是从不同角度反映数据的集
中趋势，在作决策时应从三个角度进行比较，突出方案决策
的重点.
一次射击比赛有两所射击特色学校参赛，每个学校参加比赛的
人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的
得分依次记为100分，90分，80分，70分，将两所学校学生的成
绩进行整理并绘制成如下统计图.
实验学校射击成绩统计图
体育学校射击成绩统计图
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）实验学校参加射击比赛的人数为 ，体育学校射击比
赛成绩的众数落在 等级；
（1）【解析】实验学校参加射击比赛的人数为6＋12＋2＋5＝
25（人），体育学校射击比赛成绩的众数落在A等级.故答案为
25，A.
25
A
（2）解：实验学校射击成绩的平均数为 ×（100×6＋90×12
＋80×2＋70×5）＝87.6（分），
体育学校射击成绩的平均数为100×44％＋4％×90＋80×36％
＋70×16％＝87.6（分）.
从平均数看，两个学校射击水平相同.
实验学校射击成绩的中位数为90分，体育学校射击成绩的中位
数为80分.
从中位数看，实验学校好于体育学校，实验学校射击水平较高.
综上所述，实验学校射击水平较高.
（2）请你根据平均数、中位数综合比较哪个学校射击水平
较高.
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