(共25张PPT)
第二章 实 数
5 用计算器开方
数学 八年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
目录
CONTENTS
数学 八年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 用计算器求算术平方根的按键顺序.
先按 键，再输入 ，然后按 键，最
后按 键.
被开方数
＝
S D
2. 用计算器求立方根的按键顺序.
先按 键，再按 键，然后输入
，最后按 键.
注：不同型号的计算器的按键顺序可能有所不同，按该型号的
计算器使用说明书操作才能得到正确结果.
3. 除了利用计算器进行计算外，还可以用来探究某些数学规
律.如：很大或很小的正数，连续进行开平方或开立方运算，结
果都向1靠近.
SHIFT
被开方
数
＝
数学 八年级上册 BS版
0 2
典例讲练
（1）用计算器计算下列各式的值（结果精确到0.01）：
① ； ② .
【思路导航】用计算器求一个数的算术平方根或立方根，可在
计算器上依次键入根号、被开方数、等号，最后由四舍五入得
出近似值即可.
解：①在计算器上依次键入 5 8 9 ＝，显示结果为
24.269 322 19，所以 ≈24.27.
②在计算器上依次键入SHIFT （－） 4 1 5
＝ ，显示结果为－7.459 035 926，所以 ≈－7.46.
【点拨】利用计算器计算某数的算术平方根或立方根时，要根
据计算器的使用说明选择按键顺序，进行正确计算.计算器显示
的数值，许多是近似值，计算后要根据题目要求的精确度确定
结果.
（2）用计算器计算（结果精确到0.01）：
① －π－ ；
②3× ＋ －π＋5× .
【思路导航】明确所使用的计算器的设置，正确地把握按键顺
序进行键入，再计算即可.
解：①（方法一）原式≈1.817 1－3.141 6－1.414 2＝－2.738
7≈－2.74.
（方法二）在计算器上正确输入算式， －π－ ≈－2.738
685 62≈－2.74.
②（方法一）原式≈3×1.414 2＋0.745 4－3.141 6＋5×0.2＝
2.846 4≈2.85.
（方法二）在计算器上正确输入算式，3× ＋ －π＋5×
≈2.846 404 03≈2.85.
【点拨】在算式较复杂或对计算器操作不够熟练的情况下，可
先理清运算顺序，采取分段、分步完成计算得到最终的结果.注
意：分段运算中，应比题目要求多保留一位或两位小数.像本例
的算式不太复杂的情况下，最好输入整个算式，直接得到最终
答案.
1. 用计算器计算（结果保留4个有效数字）：
（1）± ； （2） ；
（3）－ ； （4） .
解：（1）± ≈±177.2.
（2） ≈－0.081 59.
（3）－ ≈－0.471 4.
（4） ≈－5.542.
2. 用计算器计算： －9÷ ≈ （结果精确到
0.01）.
0.72
利用计算器比较下列各组数的大小：
（1） 与 ；（2） 与 ；（3） 与 .
【思路导航】先分别用计算器算出每组中两个数的近似值，再
比较大小.
解：（1）用计算器计算，得 ≈1.442， ≈1.414.
因为1.442＞1.414，所以 ＞ .
（2）用计算器计算，得 ≈3.915， ≈6.325.
因为3.915＜6.325，所以 ＜ .
（3）用计算器计算，得 ≈1.618， ≈1.714.
因为1.618＜1.714，所以 ＜ .
【点拨】利用计算器比较两个数的大小的基本方法：先利用计
算器分别求得这两个数的近似值，然后对得到的两个近似值的
大小进行比较，从而判断出原来两个数的大小.计算时要注意按
键顺序，对要比较大小的两个数取近似值时，一般取到相同的
位数.
利用计算器比较下列各组数的大小：
（1） － 与 － ； （2） 与 .
解：（1）用计算器计算，得 － ≈0.213 4， － ≈0.196 3.因为0.213 4＞0.196 3，所以 － ＞ － .
（2）用计算器计算，得 ≈0.615 4， ≈0.724 7.
因为0.615 4＜0.724 7，所以 ＜ .
用计算器计算：
＝ ；
＝ ；
＝ ；
＝ ；
……
观察以上各题的计算结果，用你发现的规律直接写出下面各题
的结果：
10
100
1 000
10 000
（1） ＝
；
（2） ＝ .
【思路导航】利用计算器进行开平方运算，然后探究规律，再
根据所得的规律得到题目的结果即可.
1 000
000 000
1
【解析】用计算器计算，得上面各题的结果依次为10，100，1
000，10 000.观察上面各题的计算结果，都是1后面带上若干个
0，其中0的个数等于根号内第一个因数中9的个数.根据探究出
的这一规律，可得
＝
1 000 000 000， ＝100…0.
10，100，1 000，10 000，1 000 000 000，1 .
故答案为
【点拨】找规律问题，其核心是找到其中的“变”与“不变”.
如此题中，变的是：（1）9的个数逐次加1；（2）0的个数逐次
加1.不变的是：（1）运算符号和顺序都是乘、加、开方；
（2）同一个根号中每个数里9的个数相同；（3）根号中每个数
里面的9的个数和结果中0的个数相同；等等.只要根据变化规律
总结即可.计算器可以帮助我们在较大数或较小数的计算中快速
得到结果.
1. （1）填表：
a 0.000 4 0.04 4 400
0.02 0.2 2 20
（2）根据你发现的规律填空：
①已知 ≈2.683，则 ≈ ，
≈ ；
②已知 ≈0.061 64， ≈61.64，则 x ≈ .
0.02
0.2
2
20
26.83
0.026 83
3 800
2. 利用计算器计算：
（1） ＝ ；
（2） ＝ ；
（3） ＝ ；
……
根据你发现的规律直接写出下题的结果.
（4） ＝
5
55
555
【解析】用计算器计算，得 ＝5， ＝55，
＝555，所以 ＝
55…5.故答案为5，55，555，55…5.
演示完毕 谢谢观看(共25张PPT)
第二章 实 数
7 二次根式（第三课时）
数学 八年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
目录
CONTENTS
数学 八年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 二次根式的混合运算.
二次根式的混合运算顺序：先算乘方、开方，再算 ，
最后算加减，同一级运算按照 的顺序进行，如果
有括号就先算 .
乘除
从左到右
括号里面的
2. 分母有理化.
（1）有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根
式，那么称这两个代数式互为有理化因式.如： ＋1与 －1
互为有理化因式.
（2）分母有理化：
化去分母中根号的变形叫做分母有理化.
（3）分母有理化的方法：
将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的根号.
数学 八年级上册 BS版
0 2
典例讲练
计算：
（1） － ； （2） ；
（3）（3 ＋ －4 ）÷ ；
（4） ＋ － .
解：（1）原式＝ － ＝ － ＝ .
（2）原式＝（2 ）2－2×2 × ＋（ ）2＝12－4 ＋
2＝14－4 .
【思路导航】根据二次根式的运算法则和混合运算的顺序进行
计算即可.
（3）原式＝（3 ＋ －4 ）÷4 ＝ × ＝8 × ＝2.
（4）原式＝ ＋ － ＝ ＋3 －3 ＝3
－ .
【点拨】（1）进行二次根式的开方运算时应使开出的因数
（式）是非负数（式）；（2）实数运算中的运算律（交换律、
结合律、分配律）和整式的乘法公式（平方差公式、完全平方
公式等）在二次根式的运算中仍然成立；（3）二次根式运算的
结果应写成最简二次根式（或整式）的形式，并且分母中不含
二次根式.
计算：
（1） － ；
（2） （ －2 ）× －6 ；
（3） －2 － ÷ × ；
（4）（ －3 ＋2 ）× .
解：（1）原式＝ 2＋2 ＋1－2 ＝3.
（2）原式＝3 －6－3 ＝－6.
（3）原式＝4 － －3 ＝ .
（4）原式＝ × －3 × ＋2 × ＝ －3
＋2 ＝4 －3 ＋ ＝ －3 .
（1）将下列各式分母有理化：
① ； ② ；
③ （ b ＞0，且 b ≠1）.
【思路导航】将式子中的分子和分母都乘分母的有理化因式
即可.
解：①原式＝ ＝ ＝ ＋2.
②原式＝ ＝ ＝ ＝17－12 .
③原式＝ ＝ ＝1＋ .
【点拨】分母有理化的关键是运用平方差公式，找分母的有理
化因式.在分母有理化时，有时像③小题可以把1－ b 分解成
，通过约分达到分母有理化的目的.①常见的
互为有理化因式有： 与 ， ± 与 ， a ±
与 a ， m ± n 与 m n ；②分母的有理化因式不
唯一，但选取的有理化因式以运算最简便为宜.
① ＋ － ；
② ＋ － ＋ .
【思路导航】先将算式中的分母有理化，再根据二次根式的性
质和运算法则以及混合运算的顺序进行计算.
（2）计算：
②原式＝ ＋2 －3－2 －1＋ ＝ －4＋
＝ －4＋ ＝ － .
解：①原式＝ ＋ － ＝ ＋
－ ＝ ＝ .
【点拨】一般地，在解二次根式的混合运算的题目时，应先把
二次根式化成最简二次根式，把分母有理化后，再根据二次根
式的性质、运算法则和混合运算的顺序进行计算，还应注意合
理应用运算律和乘法公式使运算得到简化.
计算：
（1） － ；
（2） － ＋ ＋ .
解：（1）原式＝ － ＝2 － －1＝ －1.
（2）原式＝9－3 ＋ －1＋ ＝8－3 ＋ ＋ －
＝8－2 .
已知 a ＝ ， b ＝ ，求下列代数式的值：
（1） a2－ ab ＋ b2； （2） ＋ .
【思路导航】先将代数式变形为只含有 a ＋ b 和 ab 的形式，再
计算 a ＋ b 和 ab 的值，并采用整体代入思想求解即可.
解：因为 a ＝ ＝ ＝3－2 ，
b ＝ ＝ ＝3＋2 ，
所以 a ＋ b ＝（3－2 ）＋（3＋2 ）＝6，
ab ＝（3－2 ）（3＋2 ）＝32－（2 ）2＝9－8＝1.
（1）原式＝（ a2＋2 ab ＋ b2）－3 ab ＝（ a ＋ b ）2－3 ab ＝62－3×1＝33.
（2）原式＝ ＝ ＝ －2
＝ －2＝34.
【点拨】解决含有二次根式的求值问题，一般都是先将所求的
代数式进行化简（变形），再将已知条件代入化简后的代数式
中求值.若不先将代数式化简而直接代入求值，就会加大运算
量.本例中先求出 a ＋ b （或 a － b ）和 ab 的值，然后将所求的代数式进行适当地变形，使之成为只含有 a ＋ b （或 a － b ）和 ab 的代数式，最后整体代入求解，能达到简化运算的目的.
已知 a ＝ ， b ＝ .求下列代数式的值：
（1） a2 b － ab2；
（2） a3－5 a2－6 a － b ＋2024.
（2）原式＝ a （ a2－5 a －6）－ b ＋2024＝（3＋2 ）（9＋8
＋12 －15－10 －6）－（3－2 ）＋2024＝（3＋2 ）
（2 －4）－（3－2 ）＋2024＝6 －12＋8－8 －3＋2
＋2024＝2017.
（1）原式＝ ab （ a － b ）＝（3＋2 ）（3－2 ）（3＋2
－3＋2 ）＝1×4 ＝4 .
解： a ＝ ＝3＋2 ， b ＝ ＝3－2 ，
演示完毕 谢谢观看(共25张PPT)
第二章 实 数
回顾与思考（第二课时）
数学 八年级上册 BS版
要点回顾
典例讲练
目录
CONTENTS
1. 二次根式的有关概念.
（1）二次根式.
形如 （ a ≥0）的式子叫做二次根式.
（2）最简二次根式.
被开方数不含 ，也不含能 的因数或因
式，这样的二次根式就叫做最简二次根式.
（3）同类二次根式.
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果 相
同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.
分母
开得尽方
被开方数
2. 二次根式的性质.
（1） ＝ · （ a ≥0， b ≥0）；
（2） ＝ （ a ≥0， b 0）.
＞
3. 二次根式的运算.
（1）乘法： · ＝ （ a 0， b 0）.
（2）除法： ＝ （ a 0， b 0）.
（3）加减法：先把各个二次根式化成最简二次根式或整式，再
把同类二次根式或整式分别 .
（4）混合运算：先算乘方、开方，再算乘除，最后算
.
（5）同级运算按照从 到 的顺序依次进行；有括号
的先算括号里面的.
≥
≥
≥
＞
合并
加
减
左
右
4. 分母有理化.
（1）有理化因式.
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积 有二
次根式，那么称这两个代数式互为有理化因式.
（2）分母有理化.
化去 中根号的变形叫做分母有理化.
不含
分母
数学 八年级上册 BS版
0 2
典例讲练
要点一 二次根式的有关概念及性质
（1）下列式子一定是二次根式的是（ C ）
A. B.
C. D.
【思路导航】根据二次根式被开方数非负进行判断即可.
C
【解析】A. 当 x ＝0时，被开方数为－3＜0，原式不是二次根
式；B. 当 x ＝－1时，被开方数为－2＜0，原式不是二次根式；
C. 当 x 为任何实数时，｜ x ｜＋1＞0，原式是二次根式；D. 当
x ＝0时，被开方数为－1＜0，原式不是二次根式.故选C.
【点拨】要判断一个式子恒为二次根式，则它的被开方数应该
恒大于等于0.
（2）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ D ）
A. B. C. D.
【思路导航】根据最简二次根式的定义进行判断即可.
D
【解析】A. 因为 ＝2 ，所以 不是最简二次根式；B.
因为 ＝7，所以 不是最简二次根式；C. 因为被开方数
含有分母，所以 不是最简二次根式；D. 符合最简二
次根式的条件，是最简二次根式.故选D.
【点拨】最简二次根式需满足两个条件：（1）被开方数不含分
母；（2）被开方数不含开得尽方的因数或因式.两者缺一不可.
1. 下列式子中，一定是二次根式的是（ B ）
A. B.
C. D.
2. 下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ C ）
A. B. C. D.
B
C
要点二 与二次根式有关的计算
计算：
（1）（ －4 ）－（3 －2 ）；
（2） × ；
（3）（ ＋4 － ）÷ .
【思路导航】按照二次根式的运算法则以及混合运算的顺序计
算即可.
解：（1）原式＝（4 － ）－（ － ）
＝4 － － ＋
＝3 .
（2）原式＝ ×
＝1× ×
＝5.
（3）原式＝ ÷
＝［3 ＋2 －（ － ）］÷
＝（6 － ）÷
＝ －
＝2 －1.
【点拨】二次根式的混合运算是本章又一重要题型，解这类题
目，除了熟练利用二次根式的运算法则及混合运算的顺序外，
还需要灵活运用运算律、乘法公式、添（去）括号的法则等，
这样才能更加快捷地得到结果.
计算：
（1） × ＋ × － ；
解：（1）原式＝2×2 ＋ ×3 － ×4
＝4 ＋ －
＝ .
（2）（3 －2 ＋ ）÷2 .
（2）原式＝ ÷2
＝ ×
＝ .
要点三 与二次根式有关的化简求值
（1）已知3， m ，5为三角形的三边长，则化简代数式
－ 的结果是 .
【思路导航】先根据三角形三边关系得出 m 的取值范围，再化
简即可.
【解析】因为3， m ，5为三角形的三边长，所以5－3＜ m ＜5＋
3，即2＜ m ＜8.所以2－ m ＜0， m －8＜0.所以 －
＝｜2－ m ｜－｜ m －8｜＝－（2－ m ）＋（ m －
8）＝2 m －10.故答案为2 m －10.
2 m －10
（2）已知 x ＋ ＝ ，求 的值.
【思路导航】将所求代数式变形为用 x ＋ 表示的形式，然后整
体代入求值.
解：因为 x ≠0，
所以 ＝ ＝ ＝ .
因为 x ＋ ＝ ，所以原式＝ ＝ .
【点拨】与二次根式有关的化简求值问题是本章的重要题型.由
已知条件较难求出相关未知数的值时，就要考虑整体代入法.基
本方法：先把求值的代数式进行适当变形与已知条件联系起
来，再把已知条件整体代入变形后的式子求解.
已知 x ＝ ， y ＝ .
（1）求2 x2＋2 y2－ xy 的值；
（2）若 x 的整数部分是 a ， y 的小数部分是 b ，求5 a2＋（ x －
b ）2－ y 的值.
解：因为 x ＝ ＝ ＝2－ ，
y ＝ ＝ ＝2＋ ，
所以 x ＋ y ＝（2－ ）＋（2＋ ）＝4，
xy ＝（2－ ）（2＋ ）＝1.
（1）原式＝2[（ x ＋ y ）2－2 xy ]－ xy
＝2（ x ＋ y ）2－5 xy
＝2×42－5×1
＝27.
（2）因为1＜ ＜2，所以0＜2－ ＜1，3＜2＋ ＜4.因为
x 的整数部分为 a ， y 的小数部分为 b ，
所以 a ＝0， b ＝2＋ －3＝ －1.
所以5 a2＋（ x － b ）2－ y
＝5×02＋[（2－ ）－（ －1）]2－（2＋ ）
＝（3－2 ）2－2－
＝9－12 ＋12－2－
＝19－13 .
演示完毕 谢谢观看(共27张PPT)
第二章 实 数
7 二次根式（第二课时）
数学 八年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
目录
CONTENTS
数学 八年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 二次根式的乘除法法则.
（1）两个二次根式相乘，把 相乘，根指数
，即 · ＝ （ a ≥0， b ≥0）.
（2）两个二次根式相除，把被开方数 ，根指数
，即 ＝ （ a ≥0， b ＞0）.
被开方数
不
变
相除
不
变
2. 同类二次根式.
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果 相
同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.
3. 二次根式相加减的步骤.
（1）将各个二次根式化成最简二次根式；
（2）找出其中的同类二次根式；
（3）分别合并同类二次根式，即把同类二次根式的 相
加减， 和 保持不变.
被开方数
系数
根指数
被开方数
数学 八年级上册 BS版
0 2
典例讲练
（1）在下列各式中，哪些是同类二次根式？
， ， ， ， ， .
【思路导航】先把二次根式化成最简二次根式，再根据同类二
次根式的概念进行判断即可.
解：因为 ＝ ＝5 ， ＝ ＝ ＝ ，
＝ ＝ ＝ ， ＝ ＝4 ，所以 ，
， 是同类二次根式， ， ， 是同类二次根式.
【点拨】同类二次根式的判断分为两个步骤：（1）先把各个二
次根式化为最简二次根式；（2）观察被开方数是否相同，相同
则是同类二次根式，否则不是同类二次根式.同类二次根式的判
断与根号外的因数（式）无关.
（2）计算：
① × ； ② ；
③ ； ④ × .
【思路导航】根据二次根式的乘除法法则进行计算即可.
解：①原式＝ ＝ ＝ .
②原式＝ ＝ ＝ ＝2 .
③原式＝ ＝ ＝ .
④原式＝ × ＝ ＝ ＝2.
【点拨】计算两个二次根式相乘除的基本方法：按照二次根式
相乘除的法则，将被开方数相乘除，根指数不变.运算的最终结
果要化成最简二次根式或整式.
1. 已知最简二次根式 与二次根式 是同类二次根式，
则 x ＝ .
2. 计算：
3
（1） × ； （2） × ；
（3） ÷ ； （4） .
解：（1）原式＝ ＝ ＝6.
（2）原式＝ ＝ ＝30.
（3）原式＝ ÷ ＝ ＝ ＝ .
（4）原式＝ ＝ ＝3.
（1）计算：
①3 ×（－2 ）； ②2 ÷3 ；
③ － ＋2 ；④2 －4 ＋3 .
【思路导航】①②利用二次根式的乘除法计算即可；③④先将
各个二次根式化成最简二次根式，再利用二次根式的加减法法
则合并同类二次根式即可.
解：①原式＝3×（－2）× ＝－6 ＝－6×5
＝－30 .
②原式＝（2÷3） ＝ ＝ × ＝ .
③原式＝ － ＋2 ＝2 － ＋ ＝2 .
④原式＝2 －4 ＋3 ＝4 － ＋12 ＝
× ＝ .
【点拨】（1） m · n ＝ mn （ a ≥0， b ≥0）， ＝
（ a ≥0， b ＞0， n ≠0）.（2）二次根式加减运算的基本
方法：①将各个二次根式都化为最简二次根式；②找出其中的
同类二次根式，再运用加法交换律、结合律将同类二次根式进
行合并得到运算结果.
（2）计算：
① × －2 × ；
②（ － －2 ）－2（ － ）；
③2 a －（ －3 ab ）（ a ＞0， b ＞0）.
【思路导航】先将算式中各个二次根式都化为最简二次根式，
再根据运算法则和运算顺序进行计算即可.
解：①原式＝ －2 ＝ －2 ＝ －
6 ＝（ －6）× ＝－ .
②原式＝ － －2 －2 ＋2 ＝2 －
－ － ＋6 ＝（2－ ）× ＋（6－ － ）× ＝ ＋5 .
③原式＝2 ab － ＋ ab ＝（2 ab － ＋ ab ）
＝ .
【点拨】关于二次根式的运算，关键是正确理解二次根式、最
简二次根式和同类二次根式的概念及加减乘除的运算法则，并
注意运算的顺序，还需把最后结果化到最简.
1. 计算：
（1）－ ×4 ；（2）－ ÷ ÷ .
解：（1）原式＝（－ ）×4× ＝－2×
＝－6 .
（2）原式＝－ ＝－ ＝－ .
2. 计算：
（1） － ＋ ；
（2）2 × －3 ＋ × ；
（3）（5 ＋ ）－（ － ）.
解：（1）原式＝ － ＋ ＝3 －2 ＋
5 ＝（3－2＋5）× ＝6 .
（2）原式＝2 －3 ＋ ＝2 － ＋ ＝
（2－ ＋ ）× ＝ .
（3）原式＝5 ＋ － ＋ ＝ ＋ －
＋3 ＝（1－ ＋3）× ＋ ＝ ＋ .
比较4 和2 的大小.
【思路导航】利用二次根式的定义及其性质，可以把二次根式
前面的系数移到根号内，比较被开方数的大小；也可以把两个
数分别平方化去根号，比较得到的两个新数的大小.
解：（方法一）因为4 ＝ × ＝ ＝ ，2
＝ × ＝ ＝ ，48＜56，所以 ＜ .所
以4 ＜2 .
（方法二）因为 ＝16×3＝48， ＝4×14＝56，
48＜56，所以4 ＜2 .
【点拨】涉及二次根式的数的大小比较问题，常用的方法有两
种：（1）被开方数比较法，就是先将各数化为两个二次根式的
乘法计算得到一个二次根式，如4 ＝ × ＝ ＝
，再比较被开方数的大小；（2）平方比较法，就是先分别
计算平方的值，再比较平方值的大小.
比较下列各组数的大小：
（1）6 与7 ； （2）－2 与－3 .
解：（1）因为6 ＝ ＝ ，7 ＝ ＝
， ＜ ，所以6 ＜7 .
（2）因为2 ＝ ＝ ，3 ＝ ＝ ，
＜ ，所以2 ＜3 .所以－2 ＞－3 .
演示完毕 谢谢观看(共24张PPT)
第二章 实 数
2 平方根（第一课时）
数学 八年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
目录
CONTENTS
数学 八年级上册 BS版
0 1
课前预习
算术平方根.
（1）定义：
一般地，如果一个 x 的平方等于 a ，即 x2＝ a ，那么这
个 x 就叫做 a 的算术平方根，记作 ，读作
“ ”.
（2）规定：
0的算术平方根是 ，即 ＝ .
正数
正数
根号 a
0
0
数学 八年级上册 BS版
0 2
典例讲练
求下列各数的算术平方根：
（1）81； （2）2.25； （3）1 ； （4）（－6）2.
【思路导航】借助平方运算来求算术平方根.
解：（1）因为92＝81，所以81的算术平方根是9，即 ＝9.
（2）因为1.52＝2.25，所以2.25的算术平方根是1.5，即
＝1.5.
（3）因为 ＝ ＝1 ，所以1 的算术平方根是1 ，即
＝ ＝ ＝1 .
（4）因为（－6）2＝62＝36，所以（－6）2的算术平方根是6，
即 ＝ ＝6.
【点拨】（1）算术平方根具有双重非负性，即算术平方根本身
是一个非负数，并且它的被开方数也是非负数，缺一不可，今
后在解题过程中经常用到算术平方根的这一特性.（2）由算术
平方根的定义可知，正数的平方运算和求一个正数的算术平方
根互为逆运算，借助平方运算来求一个数的算术平方根是常用
的方法.（3）求一个非负数的算术平方根时，若这个数是带分
数，则要先化成假分数，再求这个数的算术平方根，切勿出现
“ ＝1 ”的错误.
1. 下列式子没有意义的是（ A ）
A. B.
C. D.
A
2. 求下列各数的算术平方根：
（1）10－4； （2）0.16； （3） ； （4）15.
解：（1）因为（10－2）2＝10－4，
所以10－4的算术平方根是10－2，即 ＝10－2.
（2）因为0.42＝0.16，
所以0.16的算术平方根是0.4，即 ＝0.4.
（3）因为 ＝ ，
所以 的算术平方根是 ，即 ＝ .
（4）15的算术平方根是 .
（1）计算：
①－ ； ② ＋ ； ③ ；
④3× ； ⑤ ＋ － .
【思路导航】按照算术平方根的求法、运算法则和顺序计算
即可.
解：①原式＝－ ＝－ ＝－2 .
②原式＝0.6＋0.8＝1.4.
③原式＝ ＝ ＝ ＝18.
④原式＝3× ＝1.
⑤原式＝12＋0.9－0.3＝12.6.
【点拨】（1）本例中“ ”内的数都是有理数的平方，得到
的算术平方根必然也都是有理数；（2）由于求一个非负数的算
术平方根常借助平方运算，所以熟记常用的完全平方数对求一
个数的算术平方根能起到事半功倍的效果（尝试记忆1～25的平
方）.
（2）有一个底面为正方形的水池，水池深2 m，容积为11.52
m3，求此水池底面正方形的边长.
【思路导航】设水池底面正方形的边长为 x m，根据题意列出方
程，再根据算术平方根的定义求得 x 的值.
解：设水池底面正方形的边长为 x m.
由题意，得2 x2＝11.52.
所以 x2＝5.76.
所以 x ＝ ＝2.4.
所以此水池底面正方形的边长为2.4 m.
【点拨】在解决实际问题时，关键是先把实际问题转化为数学
模型，再计算.比如，此题中先列方程，再根据算术平方根的定
义进行计算.
1. 计算：
（1） ；
（2） － ；
（3） ＋ ；
（4） － ＋ .
（2）原式＝ － ＝ － ＝－ .
（3）原式＝ ×6＋ ×9＝3＋3＝6.
（4）原式＝ －0＋ ＝10＋4＝14.
解：（1）原式＝ .
2. 小华在做浮力实验时，用一根细线将一铁块拴住，完全浸入
盛满水的圆柱形溢水杯中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水
的体积为60 cm3.小华又将铁块从溢水杯中拿出来，量得溢水杯
的水位下降了0.8 cm，求溢水杯内部的底面半径（π取3）.
解：设溢水杯内部的底面半径为 x cm.
由题意，得π x2·0.8＝60.
所以 x2＝25.所以 x ＝ ＝5.
所以溢水杯内部的底面半径为5 cm.
（1）已知△ ABC 的三边长分别为 a ， b ， c ，且 a ， b ， c 满足
＋｜ b －4｜＋ c2－6 c ＋9＝0，试判断△ ABC 的形状.
【思路导航】先利用非负数的性质，求得△ ABC 的三边 a ， b ， c 的长度，再以此判断△ ABC 的形状即可.
解：因为 c2－6 c ＋9＝（ c －3）2，
所以 ＋｜ b －4｜＋（ c －3）2＝0.
又因为 ≥0，｜ b －4｜≥0，（ c －3）2≥0，
所以 ＝0，｜ b －4｜＝0，（ c －3）2＝0.
解得 a ＝3， b ＝4， c ＝3.所以 a ＝ c .
所以△ ABC 为等腰三角形.
【点拨】一个数的平方、绝对值、一个非负数的算术平方根均
为非负数，若几个非负数的和为零，则这几个非负数均为零.
（2）已知 x ， y 满足 ＋ ＋ y ＝4，求 xy 的值.
【思路导航】利用算术平方根的双重非负性，求得 x ， y 的值，
再代入 xy 求值即可.
解：因为 x ， y 满足 ＋ ＋ y ＝4，
所以2 x －1≥0，1－2 x ≥0，即2 x －1＝0，解得 x ＝ .
因为2 x －1＝0，所以 ＋ ＋ y ＝4，即 y ＝4.
所以 xy ＝ ＝ .
【点拨】当两个根号中的式子互为相反数时，只有两个根号中
的式子都等于零，这两个式子才有意义.
1. 已知 x ， y 满足 ＋｜ y －3 x －1｜＝0，求 y2－5 x
的算术平方根.
解：因为 ＋｜ y －3 x －1｜＝0，且
≥0，｜ y －3 x －1｜≥0，
所以 x ＋1＝0， y －3 x －1＝0.
所以 x ＝－1， y ＝3 x ＋1＝－3＋1＝－2.
所以 y2－5 x ＝4＋5＝9.
因为9的算术平方根是3，
所以 y2－5 x 的算术平方根是3.
2. 已知 a ， b 满足 b2＋ ＋9＝6 b .
（1）若 a ， b 为△ ABC 的两边，求第三边 c 的取值范围；
（2）若 a ， b 为△ ABC 的两边，第三边 c 的长度为5，求△ ABC
的面积.
解：（1）由已知，得 ＋（ b －3）2＝0.
因为 ≥0，（ b －3）2≥0，
所以 a －4＝0， b －3＝0.解得 a ＝4， b ＝3.
由三角形的三边关系，得1＜ c ＜7.
（2）因为 a ＝4， b ＝3， c ＝5，且42＋32＝52，
所以 a2＋ b2＝ c2.所以△ ABC 为直角三角形.
所以 S△ ABC ＝ ×3×4＝6.
演示完毕 谢谢观看(共23张PPT)
第二章 实 数
2 平方根（第二课时）
数学 八年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
目录
CONTENTS
数学 八年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 平方根的定义.
（1）一般地，如果一个数 x 的平方等于 a ，即 x2＝ a ，那么这个
数 x 就叫做 a 的 （也叫做二次方根）.
（2）正数 a 有两个平方根，一个是 a 的算术平方根 ，另
一个是 ，它们互为相反数.这两个平方根合起来可以
记作 ，读作“正、负根号 a ”.
平方根
－
±
2. 平方根的性质.
一个正数有 个平方根； 只有一个平方根，它是
；负数 平方根.
3. 与（ ）2的性质.
（1） ＝｜ a ｜＝
（2）（ ）2＝ a （ a 0）.
两
0
0
本身
没有
≥
4. 开平方.
（1）求一个数 a 的 的运算，叫做开平方.
注：①开平方时，被开方数 a 必须是非负数；②平方根是数，
是开平方的结果.
（2）开平方与平方互为逆运算.
平方根
数学 八年级上册 BS版
0 2
典例讲练
（1）求下列各数的平方根：
①121； ②0.49； ③6 ； ④10－8.
【思路导航】因为平方和开平方互为逆运算，所以求一个数的
平方根可以借助平方运算.
解：①因为（±11）2＝121，
所以121的平方根是±11，即± ＝±11.
②因为（±0.7）2＝0.49，
所以0.49的平方根是±0.7，即± ＝±0.7.
③因为 ＝ ＝ ＝6 ，
所以6 的平方根是±2 ，即± ＝±2 .
④因为 ＝10－8，
所以10－8的平方根是±10－4，即± ＝±10－4.
【点拨】求一个正数的平方根的基本方法：利用平方和开平方
互为逆运算，找出平方等于这个正数的数，这样的数有两个，
它们互为相反数，也就得到这个数的平方根.注意避免漏解.若
这个正数为带分数，则一般先化为假分数再计算.若正数 a 不能
写成有理数平方的形式，则将正数 a 的平方根表示为± .
（2）求下列各式的值：
① ； ②－ ； ③ .
【思路导航】按照算术平方根、平方根的定义及（ ）2，
的性质计算即可.
解：①原式＝9.
②原式＝－ .
③原式＝｜－2.15｜＝2.15.
【点拨】在公式 ＝｜ a ｜中， a 可以为任意数，运算顺
序是先平方，再开平方；而在公式（ ）2＝ a （ a ≥0）
中， a 为非负数，运算顺序是先开平方，再平方.以上运算结果都是非负数.
1. 求下列各数的平方根：
（1）3.24； （2）13； （3） ； （4）（－25）2.
解：（1）因为（±1.8）2＝3.24，所以3.24的平方根是±1.8，即± ＝±1.8.
（2）13的平方根是± .
（3） ＝4.因为（±2）2＝4，所以 的平方根是±2，即± ＝±2.
（4）因为（±25）2＝（－25）2，所以（－25）2的平方根是±25，即± ＝±25.
2. 求下列各式的值：
（1） ； （2）（ ）2；
（3）－ ； （4）± .
解：（1）原式＝4.
（2）原式＝ .
（3）原式＝－ ＝－ .
（4）原式＝± ＝± ＝±12.
（1）已知一个正数的两个平方根分别是1－2 a 和 a －4，求这个
正数.
【思路导航】正数的两个平方根互为相反数，由此建立方程求
得 a 的值，进而求出这个正数.
解：因为一个正数的两个平方根分别是1－2 a 和 a －4，
所以（1－2 a ）＋（ a －4）＝0，解得 a ＝－3.
所以 a －4＝－7.所以这个正数为（－7）2＝49.
（2）已知2 a －5和1＋ a 是非负数 x 的平方根，求 a 和 x 的值.
【思路导航】由于没有说明这两个式子是 x 的同一个平方根还是
两个不同的平方根，所以需要分两种情况讨论.
解：①当2 a －5和1＋ a 是非负数 x 的同一个平方根时，2 a －5＝
1＋ a ，解得 a ＝6.
此时， x ＝（1＋6）2＝49.
②当2 a －5和1＋ a 是非负数 x 的两个互为相反数的平方根时，
（2 a －5）＋（1＋ a ）＝0，解得 a ＝ .此时， x ＝ ＝ .综上所述， a ＝6， x ＝49；或 a ＝ ， x ＝ .
【点拨】第（1）小题指明了1－2 a 与 a －4是一个正数的两个平
方根，就只有一种情况，它们互为相反数.而第（2）小题未指
明2 a －5与1＋ a 是同一个平方根还是两个不同的平方根，也就
需要分两种情况讨论，即相等或互为相反数，体现了分类讨论
的思想.
已知2 m ＋2的算术平方根是4，3 m ＋ n ＋1的平方根是±5，求 m
＋2 n 的平方根.
解：因为2 m ＋2的算术平方根是4，3 m ＋ n ＋1的平方根是±5，
所以2 m ＋2＝42＝16，3 m ＋ n ＋1＝（±5）2＝25.
解得 m ＝7， n ＝3.所以 m ＋2 n ＝7＋2×3＝13.
所以± ＝± ，
即 m ＋2 n 的平方根是± .
求下列各式中 x 的值：
（1） x2－361＝0； （2）（ x ＋1）2＝289；
（3）9（3 x ＋2）2－64＝0.
【思路导航】 根据等式的性质，可化成平方的形式，根据开平
方运算求得 x 的值.
解：（1）因为 x2－361＝0，所以 x2＝361.
所以 x ＝± ，即 x ＝19，或 x ＝－19.
（2）因为（ x ＋1）2＝289，所以 x ＋1＝± .
所以 x ＋1＝±17.所以 x ＝16，或 x ＝－18.
（3）因为9（3 x ＋2）2－64＝0，所以（3 x ＋2）2＝ .
所以3 x ＋2＝± .所以 x ＝ ，或 x ＝－ .
【点拨】解这类带有平方的方程的基本方法：先将方程化为一
边是完全平方式，另一边是一个非负数的形式，然后方程两边
同时开平方即可.开平方时，要注意不能漏掉负的平方根，同时
也要注意整体思想的运用.
求下列各式中 x 的值：
（1）9 x2－121＝0；
（2）（ x －2）2－0.49＝0；
（3）（4 x ＋1）2－1＝ .
解：（1）由9 x2－121＝0，得 x2＝ .
所以 x ＝± ，即 x ＝ ，或 x ＝－ .
（2）由（ x －2）2－0.49＝0，得（ x －2）2＝0.49.
所以 x －2＝±0.7.所以 x ＝2.7，或 x ＝1.3.
（3）由（4 x ＋1）2－1＝ ，得（4 x ＋1）2＝ .
所以4 x ＋1＝± .所以 x ＝ ，或 x ＝－ .
演示完毕 谢谢观看(共24张PPT)
第二章 实 数
1 认识无理数（第一课时）
数学 八年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
目录
CONTENTS
数学 八年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 有理数
2. 在等式 a2＝2中， a 既不是整数，也不是 ，也就是说
没有一个有理数的平方是2，所以 a 不是有理数.
分数
数学 八年级上册 BS版
0 2
典例讲练
（1）以下各正方形的边长中，不是有理数的是（ C ）
A. 面积为49的正方形
B. 面积为 的正方形
C. 面积为8的正方形
D. 面积为1.21的正方形
C
【思路导航】根据正方形的面积，判断正方形的边长是不是
有理数，就是看面积能不能写成一个整数或一个分数的平方
的形式.
【解析】可设正方形的边长为 a （ a ＞0）.A. a2＝49＝72，即 a
＝7；B. a2＝ ＝ ，即 a ＝ ；C. a2＝8，8不能写成一个整
数或分数的平方；D. a2＝1.21＝1.12，即 a ＝1.1.故选C.
（2）已知一个长方体的长、宽、高分别为 x ， x ，3，体积为
60.根据长方体的体积公式，写出关于 x 的方程，并说明 x 是否
是有理数.
【思路导航】先根据长方体的体积公式得到关于 x 的方程，再判断 x 是否是有理数即可.
解：由题意，得3 x2＝60.所以 x2＝20.
因为42＜ x2＜52，所以 x 不是整数.
又因为分数的平方仍是分数，所以 x 也不是分数.
所以 x 不是有理数.
【点拨】（1）由题意得到某个数的平方是一个正数，要说明该
数不是有理数，需要说明该数既不是整数，也不是分数.解这类
问题的关键：若 x2＝ a ，则当 a 不能写成一个整数或一个分数的
平方的形式时， x 不是有理数.（2）整数的平方仍是整数，分数的平方仍是分数.
1. 已知4个圆的面积分别是 π，0.25π，6π， ，则其中半径是
有理数的有 个.
2. 已知 a ， b ， c ， m ， n 分别满足以下五个等式：① a2＝0；②
b2＝ ；③ c2＝11；④ m3＝8；⑤ n3＝3.在这五个数中，不是有
理数的有 （填字母）.
2
c ， n
【解析】① a2＝0＝02， a ＝0；② b2＝ ＝ ＝ ， b ＝
或－ ；③ c2＝11，11不能写成一个整数或分数的平方；④ m3＝8＝23， m ＝2；⑤ n3＝3，3不能写成一个整数或分数的立方.故答案为 c ， n .
如图，在边长为1的小正方形拼成的网格图中，连接这些小正方
形的若干顶点，得到5条线段： AB ， AC ， AD ， AE ， AF . 请你
找出其中长度是有理数的线段和长度不是有理数的线段.
【思路导航】先求出在网格线上的各条线段的长度，利用勾股
定理求出不在网格线上的各条线段长度的平方，再分出长度是
有理数和不是有理数的线段即可.
解：由图可知， AB ＝4， BC ＝1， BD ＝3.
在Rt△ ABC 中，由勾股定理，得 AC2＝42＋12＝17.
同理，得 AD2＝42＋32＝25＝52， AE2＝22＋22＝8， AF2＝22＋32
＝13.
所以长度是有理数的线段有 AB ， AD ；长度不是有理数的线段
有 AC ， AE ， AF .
【点拨】在边长为1个单位长度的小正方形拼成的网格中，计算
两个端点都在小正方形的顶点上的线段的长度时，在网格线上
的线段（如 AB ）的长度是有理数；不在网格线上的线段（如
AC ， AD ）应放在由网格线构成的直角三角形中，再利用勾股
定理求解，线段的长度可能是有理数，也可能不是有理数.
如图1，我们可以在边长为1的正方形网格中以这样的方式画出
面积为5的正方形.
（1）请问：它的边长是有理数吗？
（2）你能用类似的方法在图2中画出面积为8的正方形吗？
图1
图2
解：（1）设大正方形的边长为 a .
由勾股定理，得 a2＝22＋12＝5.
因为22＜ a2＜32，
所以 a 不是整数.
又因为分数的平方仍是分数，
所以 a 也不是分数.
所以 a 不是有理数.
故它的边长不是有理数.
图1
（2）可构造两条直角边的长分别为2，2的直角三角形，
则以直角三角形的斜边为边的正方形的面积为22＋22＝8，如图
所示.
如图，在△ ABC 中，已知 AD ⊥ BC 于点 D ，点 G 为 AD 上一点，点 E ， F 分别是 BG ， AC 的中点， BD ＝ AD ， DG ＝ DC ， DE ＝ BG ， DF ＝ AC .
（1）试说明： DE ＝ DF ， DE ⊥ DF ；
（2）连接 EF ，若 AC ＝10，求 EF2的值；
（3）在（2）的条件下，线段 EF
的长是有理数吗？
【思路导航】（1）根据已知条件证明△ BDG ≌△ ADC 和∠ EDG ＋∠ FDA ＝90°即可得到结论；（2）利用勾股定理可求得 EF2的值；（3）由 EF2的值便可判断线段 EF 的长是否是有理数.
解：（1）因为 AD ⊥ BC ，所以∠ BDG ＝∠ ADC ＝90°.
在△ BDG 和△ ADC 中，
所以△ BDG ≌△ ADC （SAS）.
所以 BG ＝ AC ，∠ BGD ＝∠ C .
因为点 E ， F 分别是 BG ， AC 的中点， DE ＝ BG ， DF ＝
AC ，所以 DE ＝ DF ， DE ＝ EG ， DF ＝ AF .
所以∠ EDG ＝∠ EGD ，∠ FDA ＝∠ FAD .
所以∠ EDG ＋∠ FDA ＝∠ EGD ＋∠ FAD ＝∠ C ＋∠ FAD ＝
90°.所以 DE ⊥ DF .
（2）因为 AC ＝10，所以 DE ＝ DF ＝5.
在Rt△ DEF 中，由勾股定理，得
EF2＝ DE2＋ DF2＝52＋52＝50.
（3）因为72＜50＜82，所以 EF 的长不是整数.
又因为分数的平方仍是分数，所以 EF 的长不是分数.
所以线段 EF 的长不是有理数.
【点拨】整数的平方仍然是整数，分数的平方仍然是分数.若一
个数的平方是整数，且又在两个连续自然数的平方之间，则这
个数不是有理数.
如图，在Rt△ ABC 中，∠ ABC ＝90°， AB ＝8， BC ＝4，
DE 垂直平分斜边 AC 交 AB 于点 D ，垂足为 E ，连接 CD . 线
段 BD ， AC ， AD ， CD 的长中，哪些是有理数，哪些不是
有理数？
解：在Rt△ ABC 中，∠ ABC ＝90°， AB ＝8， BC ＝4，
所以 AC2＝ AB2＋ BC2＝82＋42＝80.
因为82＜80＜92，所以 AC 的长既不是整数，也不是分数，即 AC
的长不是有理数.
因为 DE 垂直平分斜边 AC ，所以 AD ＝ CD .
设 AD ＝ x ，则 CD ＝ x ， BD ＝ AB － AD ＝8－ x .
在Rt△ BCD 中，由勾股定理，得
CD2＝ BD2＋ BC2，即 x2＝（8－ x ）2＋42，
解得 x ＝5.
所以 AD ＝5， CD ＝5， BD ＝3.
故线段 AD ， CD ， BD 的长是有理数， AC 的长不是有理数.
演示完毕 谢谢观看(共30张PPT)
第二章 实 数
7 二次根式（第一课时）
数学 八年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
目录
CONTENTS
数学 八年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 二次根式.
一般地，形如 （ a 0）的式子叫做二次根式， a 叫
做 .
≥
被开方数
2. 二次根式的性质.
（1）积的算术平方根等于 ，即
＝ · （ a ≥0， b ≥0）.
（2）商的算术平方根等于 ，即
＝ （ a ≥0， b ＞0）.
算术平方根的积
算术平方根的商
3. 最简二次根式.
一般地，被开方数中不含 ，也不含能 的
因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
分母
开得尽方
数学 八年级上册 BS版
0 2
典例讲练
（1）下列式子：① ；② ；③ ；④ ；
⑤ （ x ≥0， y ≥0）；⑥ ；
⑦ ；⑧ .其中，一定是二次根式的
有 （填序号）.
②⑤⑦⑧
【思路导航】根据二次根式的概念判断即可.
【解析】因为②⑤⑦⑧式中都含有二次根号，且被开方数都为
非负数，根据二次根式的概念可知，它们都是二次根式.因为①
式的根指数是3，③式的被开方数为负数，④式的被开方数不能
确定为非负数，⑥式在 x ＜－ 的条件下，被开方数是负数，因
此①③④⑥不是二次根式.故答案为②⑤⑦⑧.
【点拨】（1）二次根式应同时满足两个条件：①含有二次根号
“ ”；②被开方数是正数或0.（2）二次根式是从形式上定
义的，而不能从化简的结果上去判断.如 ＝2， 是二次根
式，而2则不是二次根式.（3）像 ＋1（ a ≥0）这类式子不
能称为二次根式，只能称为含有二次根式的式子.
③ ； ④ .
【思路导航】解这类问题应考虑两个方面：①二次根式的被开方数大于或等于0；②分母不能等于0.列出不等式，求字母的取值范围即可.
（2）当 x 取什么实数时，下列各式有意义？
① ； ② ；
②由 x －4≥0，得 x ≥4.
故当 x ≥4时， 有意义.
③由 x ＋2≥0，得 x ≥－2.
故当 x ≥－2时， 有意义.
解：①由－ x2≥0，得 x2≤0.
又因为 x2≥0，所以 x2＝0.所以 x ＝0.
故当 x ＝0时， 有意义.
④由 x ＋5≥0， x ≠0，得 x ≥－5且 x ≠0.
故当 x ≥－5且 x ≠0时， 有意义.
【点拨】求这类含有二次根式的代数式有意义时字母取值范围
的方法：对于单个的二次根式，需满足被开方数为非负数；对
于分母含字母的代数式，需满足二次根式的被开方数为非负
数，且分母不为0.
1. 下列式子：①－ ；② ；③ ；④ ；⑤
（ x ≤0）；⑥ ；⑦ ；⑧ .其
中，一定是二次根式的有 （填序号）.
2. 若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是
.
①③④⑤
x ≥－1且 x
≠0
（1）在下列二次根式中，哪些是最简二次根式，哪些不是最简
二次根式？并把不是最简二次根式的化简.
① ； ② ； ③ ；
④ （ a ≥0， b ＞0）.
【思路导航】由最简二次根式的概念判断出最简二次根式，再
利用二次根式的性质把不是最简二次根式的进行化简.
解：③是最简二次根式，①②④都不是最简二次根式.
①原式＝ ＝ × ＝2 .
②原式＝ ＝ ＝ .
④原式＝ ＝ ＝ · ＝2 a .
【点拨】（1）最简二次根式必须同时满足两个条件：①被开方
数不含分母；②被开方数不含开得尽方的因数或因式.在计算或
化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次
根式都是最简二次根式.（2）把一个二次根式化为最简二次根
式的一般方法：①当被开方数是整数时，先化为乘积的形式，
再进行开方运算；②当被开方数中含有带分数（或小数）时，
要先化为假分数（或分数），再进行开方运算.
② ；
③ （ a ＞ b ≥0）.
【思路导航】利用二次根式的性质进行化简即可.
（2）化简：
① ；
②原式＝ ＝ ＝ ＝ .
③原式＝
＝ ·
＝｜ a ＋ b ｜
＝（ a ＋ b ） .
解：①原式＝ ＝ ＝ × ＝8 .
【点拨】正确利用二次根式的性质，特别是积、商的算术平方
根的性质是化简二次根式的关键.在化简二次根式时，要根据被
开方数（式）的不同特征，采取不同的化简策略.如：当被开方
数是小数时，应先化成分数；当被开方数是带分数时，应先化
成假分数，再进行开方等.化简的最终结果要求分母不含有根
式，而且各个二次根式都是最简二次根式.
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ A ）
A. B. C. D.
A
2. 化简：
（1） ；（2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6） .
（2）原式＝ ＝ .
（3）原式＝ ＝ ＝ .
（4）原式＝ ＝ ＝ .
（5）原式＝ ＝ .
（6）原式＝ ＝ ＝ ＝ .
解：（1） 原式＝ ＝12 .
有这样一类题目：将 化简.若你能找到两个数 m ，
n ，使 m2＋ n2＝ a ，且 mn ＝ ，则 a ±2 将变成 m2＋ n2±2
mn ，即变成（ m ± n ）2，从而使 得以化简.例如，因
为5＋2 ＝3＋2＋2 ＝ ＋ ＋2× × ＝ ，所以 ＝ ＝ ＋ .请仿照上面的例子化简下列根式：
（1） ； （2） .
【思路导航】先将代数式转化为完全平方公式的形式，再根据
二次根式的性质化简即可.
解：（1）因为4＋2
＝（ ）2＋12＋2× ×1
＝（ ＋1）2，
所以 ＝
＝｜ ＋1｜
＝ ＋1.
（2）因为9－4
＝（ ）2＋22－2× ×2
＝（ －2）2，
所以
＝
＝｜ －2｜
＝ －2.
【点拨】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，掌
握二次根式化简的方法是得出答案的前提.
根据例题中的材料，解答下列问题：
（1）在横线上填上适当的数：
＝ ＝ ＝
－ ｜ ＝ － ；
｜
－ ｜
－
（1）【解析】 ＝
＝
＝｜ － ｜
＝ － .
故答案为｜ － ｜， － .
（2）解：①原式＝
＝
＝ ＋ .
②原式＝
＝
＝｜1－ ｜
＝ －1.
（2）化简下列根式：
① ； ② .
演示完毕 谢谢观看(共27张PPT)
第二章 实 数
3 立方根
数学 八年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
目录
CONTENTS
数学 八年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 立方根的定义.
（1）一般地，如果一个数 x 的立方等于 a ，即 ，那么
这个数 x 就叫做 a 的立方根（也叫做三次方根）；
（2）每个数 a 都有一个立方根，记作 ，读作“三次根
号 a ”.
注意：根指数3不能省略.
x3＝ a
2. 立方根的性质.
正数的立方根是 ；0的立方根是 ；负数的立方根
是 .
3. 求一个数 a 的 的运算叫做开立方， a 叫做
.
4. 常用公式.
（ ）3＝ ， ＝ .
正数
0
负数
立方根
被开
方数
a
a
数学 八年级上册 BS版
0 2
典例讲练
（1）求下列各数的立方根：
①216； ②－0.064； ③3 ； ④－11.
【思路导航】利用立方根的定义，借助立方运算求这些数的立
方根即可.
②因为（－0.4）3＝－0.064，所以－0.064的立方根是－0.4，
即 ＝－0.4.
③因为 ＝ ＝ ＝3 ，所以3 的立方根是1 ，即
＝1 .
④－11的立方根是－ ，即 ＝－ .
解：①因为63＝216，所以216的立方根是6，
即 ＝6.
（2）求下列各式的值：
① ； ②－ ；
③（ ）3； ④ .
【思路导航】利用立方根的定义及公式（ ）3＝ a ， ＝ a
进行计算即可.
②原式＝－ ＝－（－2）＝2.
③原式＝－0.6.
④原式＝ ＝ ＝ ＝ .
解：①原式＝ ＝ .
【点拨】（1）根据立方根的定义可知，开立方与立方互为逆运
算，正如开平方与平方互为逆运算一样，利用这种关系，在开
立方求立方根时，往往通过立方运算去完成.另外，判断一个数
x 是否为 a 的立方根时，只需要检验 x3是否等于 a 即可.（2）求
一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的
立方根.（3）求一个负数的立方根有两种方法：①根据立方根
的定义；②转化为先求负数的绝对值的立方根，再求它的相反
数.（4）立方根与平方根的区别：①被开方数：前者可以为任
意数，后者为非负数；
②根指数：前者不能省略，后者可以省略不写；③个数：一个
数的立方根只有一个，正数的平方根有两个，其中包括算术平
方根及其相反数（特殊情况：0的平方根是0）.
1. 求下列各数的立方根：
（1）－512； （2）－0.343；
（3）2 ； （4）－10－6.
解：（1）因为（－8）3＝－512，
所以－512的立方根是－8，即 ＝－8.
（2）因为（－0.7）3＝－0.343，
所以－0.343的立方根是－0.7，
即 ＝－0.7.
（3）因为 ＝ ＝ ＝2 ，
所以2 的立方根是1 ，即 ＝1 .
（4）因为（－10－2）3＝ ＝－ ＝－10－6，
所以－10－6的立方根是－10－2，即 ＝－10－2.
2. 求下列各式的值：
（1） ； （2）－ ；
（3） ； （4）（ ）3.
解：（1）原式＝ ＝ ＝ .
（2）原式＝－ ＝－1.1.
（3）原式＝ ＝ ＝－ ＝－1 .
（4）原式＝16.
计算：
（1） ＋ ；
（2）－ ÷ ＋ ；
（3） － － － .
【思路导航】先求出算式中的立方根和算术平方根，再按运算
法则和运算顺序计算即可.
解：（1）原式＝ ＋ ＝6＋（－4）＝2.
（2）原式＝－ ÷ ＋ ＝－（－2）÷ ＋1＝
＋1＝2 .
（3）原式＝ －1－ － ＝ －1－（－5）
－ ＝3.
【点拨】本例中的被开方数都是有理数的立方或平方，得到的
立方根或算术平方根也必然是有理数，再按照有理数的运算法
则和运算顺序计算出结果即可.
计算：
（1） ＋ － － ；
（2） － ＋ .
解：（1）原式＝ ＋ － －（－1）
＝8－4－3＋1＝2.
（2）原式＝ － ＋
＝0.5－ ＋ ＝－ .
（1）求下列各等式中 x 的值：
① ＝－2； ②8 x3＋125＝0；
③ （3 x ＋2）3－18＝0； ④[2（ x ＋3）]3＝－512.
【思路导航】运用整体思想，结合立方或开立方运算求解即可.
②整理，得 x3＝－ ，所以 x ＝ ＝ ＝－ .
③整理，得（3 x ＋2）3＝27.所以3 x ＋2＝3，所以 x ＝ .
解：①等式两边立方，得 x －2＝－8，所以 x ＝－6.
④等式两边开立方，得2（ x ＋3）＝－8，所以 x ＋3＝－4.
所以 x ＝－7.
【点拨】除第①题外，其余3道小题实际上是利用立方根的定义
解方程，解这类题先把方程转化为左边是未知数或含未知数的
代数式的立方，右边是一个已知数的形式，然后结合开立方运
算进行求解即可.若左边是含未知数的代数式的立方形式，如
（3 x ＋2）3＝27，则需将（3 x ＋2）看成一个整体，不要把（3
x ＋2）3展开去解方程.
（2）已知 和 互为相反数，且 x －6的平方根是
它本身，求 x ， y 的值.
【思路导航】由 和 互为相反数知， y －1和3－2
x 也互为相反数，得到一个方程；由于只有0的平方根是它本
身，又得到一个方程.解这两个方程即可求得 x ， y 的值.
解：因为 和 互为相反数，
所以 y －1和3－2 x 也互为相反数.
所以（ y －1）＋（3－2 x ）＝0.
因为 x －6的平方根是它本身，所以 x －6＝0.
所以（ y －1）＋（3－2 x ）＝0，且 x －6＝0，
解得 x ＝6， y ＝10.
【点拨】一个数的立方根的符号与原数的符号相同.像本例在解
决已知 A ， B 两数的立方根 与 之间的关系，求其中字母
或相关代数式的值的问题时，需要明确：若 与 相等，则
A ＝ B ；若 与 互为相反数，则 A 与 B 也互为相反数，即 A
＋ B ＝0.利用上述相等关系列出方程，即可求出字母或代数式
的值.这是解这类问题的基本方法和关键.
1. 解方程：
（1）－8 x3＝27； （2） （ x －1）2＝8.
解：（1）整理，得 x3＝－ ，所以 x ＝－ .
（2）整理，得（ x －1）2＝16，所以 x －1＝±4.
所以 x ＝5，或 x ＝－3.
2. 已知 A ＝ 为 a ＋ b ＋3的算术平方根， B ＝
为 a ＋2 b 的立方根，求 B － A 的立方根.
解：根据题意，得 a －2＝2， a －2 b ＋3＝3.
解得 a ＝4， b ＝2.
所以 A ＝ ＝ ＝3，
B ＝ ＝ ＝2.
所以 B － A ＝2－3＝－1.
故 B － A 的立方根是－1.
演示完毕 谢谢观看(共26张PPT)
第二章 实 数
6 实 数
数学 八年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
目录
CONTENTS
数学 八年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 实数的概念.
和 统称为实数.
有理数
无理数
2. 实数的分类.
（1）按概念分类：
实数
（2）按正负性分类：
实数
3. 实数的性质.
（1）在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范
围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样；
（2）实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方
运算；
（3）有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用.
4. 实数与数轴上点的关系.
（1）实数和数轴上的点是 对应的；
（2）在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的
数 .
一一
大
数学 八年级上册 BS版
0 2
典例讲练
（1）把下列各数填入相应的集合内：
，0. ， ，0，－π，3.010 010 001…（相邻两个1之间0的
个数逐次加1），－ ，－12，0.99，－ .
有理数集合{ …}；
无理数集合{ …}；
正实数集合{ …}；
负实数集合{ …}.
【思路导航】根据实数的分类标准，就可以把这些数填入相应
的集合内.
【解析】有理数集合 ；
无理数集合
；
正实数集合 （相邻两个1
；
负实数集合 .
【点拨】（1）按照实数的概念或性质把实数进行分类，做到不
重不漏.（2）根据实数的不同特征，对实数进行分类，归入相
应的集合内，不要发生混淆.（3）常见的无理数可分为三类：
①π型：主要特点是含π，如－π， 等；②根号型：主要特点是
含有根号，是开方且开不尽的数的方根，如 ， 等；③小
数型：常见的是特殊结构的无限不循环小数.如0.202 002 000
2…（相邻两个2之间0的个数逐次加1）.（4）判断是什么数
时，不能只看表面形式，要看化简结果，如－ ＝3是一个
正有理数.
（2） －2的相反数是 2－ .
【思路导航】根据相反数的意义求解.
【解析】 －2的相反数是－（ －2）＝2－ .故答案为2
－ .
【点拨】在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理
数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.
2－
1. 在实数－ ， ， 0. ， ， ， 1.414中，有理数有
（ D ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 填空.
（1）－ 的绝对值是 ；
（2）－ 的倒数是 .
D
－3
（1）如图，已知 CA ＝ CB ，过点 B 作数轴的垂线段.若垂线段
的长是1，则数轴上点 A 所表示的数是 .
【思路导航】在直角三角形中，利用勾股定理先求出线段 CB 的
长度，再根据 CA ＝ CB 求出 CA 的长度，最后求出数轴上点 A 所
表示的数.
－
【解析】在直角三角形中， BC ＝ ＝ ，则 AC ＝ BC
＝ .所以点 A 到原点的距离为 .又因为点 A 在原点的左
侧，所以点 A 所表示的数是－ .故答案为－ .
【点拨】实数与数轴上的点是一一对应关系，它包含两层含
义：（1）任意一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
（2）数轴上的每一个点都表示一个实数.解决在数轴上找到确
定的无理数的点这类问题，一般需要构造直角三角形，借助勾
股定理求解.
（2）计算：
① － ＋4× ；
② － ＋ ＋ ；
③ ＋ － ＋ ＋ .
【思路导航】根据运算法则、运算顺序以及运算律进行计算
即可.
解：①原式＝2－4＋4× ＝2－4＋（－2）＝－4.
②原式＝7－3＋ －1＋ ＝ ＋ .
③原式＝0.2＋2－ ＋2－ ＋ ＝0.2＋4－0.5＝3.7.
【点拨】在实数范围内，开方运算与乘方运算是同级运算.在实
数的运算中：（1）要先算乘方、开方，再算乘除，最后算加
减；（2）有括号的要先算括号里面的；（3）同级运算要按照
从左到右的顺序进行.另外，有理数的运算律在实数范围内仍然
适用.
1. 已知实数 a ， b ， c 在数轴上的位置如图所示，化简代数式：
－｜ a ＋ c ｜＋ －｜－ b ｜＝ .
【解析】观察数轴可知， a ＜ c ＜0＜ b ，所以 a ＋ c ＜0， c － b
＜0.所以 －｜ a ＋ c ｜＋ －｜－ b ｜＝｜ a ｜
－｜ a ＋ c ｜＋｜ c － b ｜－ b ＝－ a ＋（ a ＋ c ）－（ c － b ）－
b ＝0.故答案为0.
0
2. 计算：
（1） ÷ ；
（2）｜ －2｜－｜2－ ｜＋｜－ ｜.
解：（1）原式＝ ÷ ＋ ÷ ＝ ＋ ＝
＋ ＝ ＋ × ＝ ＋ ＝ .
（2）原式＝2－ －（ －2）＋ ＝2－ － ＋2＋
＝4－ .j
已知一个底面为正方形的长方体水池的容积是6.05 m3，池深为
0.8 m，求水池底面的边长.（结果精确到0.01 m.参考数据：
≈2 750， ≈8.70，不用计算器开方）
【思路导航】根据题意，由水池容积列出关于水池底面边长的
方程，再解方程，然后结合实际问题中边长不能为负数确定结
果即可.
解：设水池底面边长为 x m.
根据题意，得 x2×0.8＝6.05.
整理，得 x2＝ ≈7.563.
所以 x ≈ （负值舍去）.
因为 ≈2 750，
所以 x ≈ ≈2.75.
故水池底面的边长约为2.75 m.
【点拨】（1）解决此类问题的基本方法是先根据题意列出方
程，然后结合开平方或开立方运算确定方程的解，再结合实际
情况确定结果.（2）在实际问题的求解中，对于最后结果，一
定要检验是否符合实际意义.（3）在开平方运算中，被开方数
的小数点与其算术平方根小数点的位置关系：被开方数的小数
点每向左或向右移动两位，其算术平方根的小数点相应地向左
或向右移动一位.
如图，把两个面积均为18cm2的小正方形纸片分别沿对角线裁剪
后拼成一个大的正方形纸片.
（1）大正方形纸片的边长为 cm.
6
（2）若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能
否使裁剪出的长方形纸片的长宽之比为4∶3，且面积为24cm2？
若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由.
（1）【解析】大正方形的面积为18×2＝36（cm2），
所以大正方形纸片的边长为 ＝6（cm）.故答案为6.
（2）解：沿此大正方形边的方向，能裁剪出符合要求的长方形
纸片.理由如下：
因为长方形纸片的长宽之比为4∶3，
所以设长方形纸片的长和宽分别是4 x cm，3 x cm.
得3 x ·4 x ＝24，即 x2＝2.
因为 x ＞0，所以 x ＝ .
所以长方形纸片的长是4 x ＝4 cm.
因为4 ＜6，所以沿此大正方形边的方向，能裁剪出符合要求
的长方形纸片.
演示完毕 谢谢观看(共27张PPT)
第二章 实 数
4 估 算
数学 八年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
目录
CONTENTS
数学 八年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 估算正数的算术平方根、立方根的大小.
依据：若一个正数在另外两个正数的平方（或立方）之间，则
这个正数的算术平方根（或立方根）在另外两个正数之间.
示例：因为3.12＝9.61＜10＜10.24＝3.22，所以3.1 3.2.所以 精确到整数约为 .
＜
＜
3
2. 比较带根号的无理数的大小的常用结论.
（1）若0≤ m ＜ n ，则 ；
（2）若 m ＜ n ，则 ；
（3）若 m2＜ a ＜ n2（0≤ m ＜ n ），则 m ＜ n ；
（4）若 m3＜ a ＜ n3，则 m ＜ n .
3. 常见算术平方根的近似值.
≈1.414， ≈1.732， ≈2.236.
注：记住常见的无理数的近似值，可以达到快速解题的目的.
＜
＜
＜
＜
数学 八年级上册 BS版
0 2
典例讲练
（1）估算下列各数的大小：
① （结果精确到0.1）；
② （结果精确到1）.
【思路导航】先看估算的是平方根还是立方根，再确定估算的
整数部分，然后按精确到的数位确定小数部分.
解：①显然3＜ ＜4.
因为3.52＝12.25＜12.5＜12.96＝3.62，
所以3.5＜ ＜3.6.
又因为3.552＝12.602 5＞12.5，
所以 ＜3.55.
所以3.5＜ ＜3.55.
故 精确到0.1约为3.5.
②因为143＝2 744＜3 345＜3 375＝153，
所以14＜ ＜15.
又因为14.53＝3 048.625＜3 345，
所以14.5＜ .所以14.5＜ ＜15.
故 精确到1约为15.
（2）下列各数中，比4大、比5小的无理数是（ B ）
A. B. C. 4.15 D.
【思路导航】根据无理数的定义，并利用估算的方法确定无理
数的取值范围即可作答.
【解析】在四个选项中，只有 和 是无理数，而3＜
＜4，4＜ ＜5，所以其中比4大、比5小的无理数是 .故
选B.
B
【点拨】（1）估算一个数的算术平方根或立方根时，先估计它
在哪两个连续的整数之间，然后估计它在哪两个一位小数之
间，再估计它在哪两个两位小数之间……直到求出符合题意的
近似值.（2）估算一个数的平方根或立方根的近似值时，一般
要比精确度的要求多估算一个数位，然后利用四舍五入法取近
似值.（3）“精确到”与“误差小于”的意义的区别：精确到
1，是指四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1，是指答案与
准确值的差小于1，答案不唯一.
1. 已知无理数 a 满足2＜ a ＜3，则 a 可能是（ C ）
A. B. 2.5 C. D.
C
2. 估算下列各数的大小：
（1） （结果精确到0.1）；
解：（1）因为36＜40＜49，所以6＜ ＜7.
因为39.69＜40＜40.96，所以6.3＜ ＜6.4.
因为40＜40.322 5＝6.352，
所以 ＜6.35.所以6.3＜ ＜6.35.
所以 精确到0.1约为6.3.
（2）因为133＝2 197＜2 300＜2 744＝143，
所以13＜ ＜14.
因为13.53＝2 460.375＞2 300，
所以 ＜13.5.所以13＜ ＜13.5.
所以 精确到1约为13.
（2） （结果精确到1）.
比较下列各组数的大小：
（1） 与－ ； （2） 与1.
【思路导航】（1）先将它们各自乘方，化成整数后再比较大
小；（2）可以先估计无理数的大小，也可以把 放缩成与它
相近的整数，再比较.
解：（1）（ ）6＝[（ ）3]2＝（－26）2＝676，
（－ ）6＝[（－ ）2]3＝113＝1 331.
因为676＜1 331，所以（ ）6＜（－ ）6，
即｜ ｜＜｜（－ ）｜.所以 ＞－ .
（2）（方法一）因为 ≈ ＝0.618，
所以 ＜1.
（方法二）1＝ ＝ .
因为 ＜3，所以 －1＜3－1.
所以 ＜ ，即 ＜1.
【点拨】由于无理数不能直接比较大小，所以一般先把无理数
转化成有理数，再比较大小.比较含有无理数的两个正数大小的
常用方法：（1）乘方法，把两个正数都乘方（次数相同），乘
方结果大的这个数就大；（2）放缩法，先把含根号的无理数放
缩成与它相近的整数，再比较大小（如：由 ＜3，得 －1
＜2）；（3）求值比较法，先取含根号的无理数的近似值，再
比较大小；（4）作差法，把两个数相减，差大于0，则被减数
大，差小于0，则减数大；等等.注意：比较两个负数的大小，
绝对值大的反而小.
比较下列各组数的大小：
（1）－ 与－2.6； （2） 与 .
解：（1）（乘方法）因为 ＝7，2.62＝6.76，
所以 ＞2.6.所以－ ＜－2.6.
（2）（求值比较法）因为 ≈ ＝ ， ≈
＝ ，所以 ＜ .
（1）如图，每个小正方形的边长均为1.
①图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？
②估计边长的值在哪两个相邻整数之间.
【思路导航】①先利用勾股定理计算得到阴影部分的边长，再
利用正方形的面积公式计算即可；②利用估算无理数大小的方
法估计即可.
解：①由勾股定理，得阴影部分的边长为 ＝ .图中
阴影部分的面积 S ＝ ＝17.
②因为 ＝17，42＝16＜17＜25＝52，
所以4＜ ＜5，即边长的值在4与5之间.
【点拨】这类题目中所求的长度一般是无理数，常常需要对它
们的大小进行估算.另外，从本题发现，与有理数一样，无理数也能在数轴上找到对应的点.
（2）已知5＋ 的小数部分是 a ，5－ 的整数部分是 b ，求 a
＋ b 的值.
【思路导航】先估算 的取值范围，进而得到 a ， b 的值，代
入 a ＋ b 进行计算即可.
解：因为2＜ ＜3，所以7＜5＋ ＜8.
所以5＋ 的整数部分是7，
小数部分 a ＝5＋ －7＝ －2.
因为－3＜－ ＜－2，所以2＜5－ ＜3.
所以5－ 的整数部分 b ＝2.
所以 a ＋ b ＝ －2＋2＝ .
【点拨】确定无理数的小数部分的方法：首先确定其整数部
分，然后用这个无理数减去它的整数部分，即得其小数部分.
1. 生活经验表明：靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离为
梯子长度的三分之一，则梯子比较稳定.现有一长度为6 m的梯
子，当梯子稳定摆放时，它的顶端最多能到达多高？（用“四
舍五入”法把结果精确到0.1 m）
解：如答图，设梯子稳定摆放时，它的顶端最多能达到的高度
为 x m.此时梯子底端离墙的距离为梯子长度的 ，即为2 m.
根据勾股定理，得 x2＋22＝62，即 x2＝32，
所以 x ＝ .
因为5.652＝31.922 5＜32＜32.49＝5.72，
所以5.65＜ ＜5.7.
所以梯子稳定摆放时，它的顶端最多能达到的高度约为5.7 m.
答图
答图
2. 已知 b 为正数， a 为 b 的小数部分，且 a2＋ b2＝27，求 a ＋ b
的值.
解：因为0≤ a ＜1，所以0≤ a2＜1.
又因为 a2＋ b2＝27，所以26＜ b2≤27.
所以 b 的整数部分为5，即 b － a ＝5.
又因为（ b － a ）2＝ a2－2 ab ＋ b2＝25，所以 ab ＝1.
所以 a ＋ b ＝ ＝ ＝ ＝ .
演示完毕 谢谢观看(共25张PPT)
第二章 实 数
1 认识无理数（第二课时）
数学 八年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
目录
CONTENTS
数学 八年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 有理数总可以用 或 表示.
注意：有理数包括整数和分数.
2. 无限 小数称为无理数.
注意：无理数必须同时具备三个条件：（1）小数；（2）无
限；（3）不循环.
3. 无限循环小数能化为分数；无限不循环小数 化为分数.
有限小数
无限循环小数
不循环
不能
数学 八年级上册 BS版
0 2
典例讲练
把下列各数填入相应的集合内：
－ ， 2， － ， 0. ， 0.121 221 222 1…（相邻两个1之间2
的个数逐次加1），0，－3.6，－1.202 002.
非负整数集合 ；
分数集合 ；
有理数集合 ；
无理数集合{－ ，0.121 221 222 1…（相邻两个1之间2的个数
逐次加1），…}.
【思路导航】按照非负整数、分数、有理数、无理数的定义进
行判断即可.
－ ，0.121 221 222 1…（相邻两个1之间2的个数
逐次加1），
【解析】2和0都是整数，且都不是负数；因为分数都能化成有
限小数或无限循环小数，所以分数有－ ，0. ，－3.6，－
1.202 002.又因为整数和分数统称为有理数，所以上述这六个
数都是有理数.剩下的两个数显然是无理数，它们都是无限不循
环小数.
【点拨】（1）无理数必须具备三个条件：①小数；②无限；③
不循环.三个条件缺一不可. 因为圆周率π＝3.141 592 65…是一
个无限不循环小数，所以π是无理数.（2）有理数包括整数和分
数，整数也可以看作分母为1的“分数”或小数点后是0的“小
数”，因此可以说有理数都能用分数来表示.判断一个数是不是
有理数的关键是看这个数能否写成分数的形式.
1. 有理数与无理数的区别在于（ B ）
A. 有理数是有限小数，无理数是无限小数
B. 有理数能用分数表示，而无理数不能
C. 有理数是正数，无理数是负数
D. 有理数是整数，无理数是分数
B
2. 在5，－ ，0， ，3.141 592 6，－1.666 6…，0.101 001
000 1…这些数中，无理数有（ B ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
如图，已知直角三角形两直角边的长分别为2，3，阴影部分是
以其斜边为边长的正方形.
（1）设正方形的边长为 a ， a 是有理数吗？
（2）估计 a 的值（结果精确到百分位），并用计算器验证；
（3）估计 a 的值，使误差小于0.01.
【思路导航】（1）先求出 a2，再根据有理数的定义进行判断即
可；（2）先确定 a 的取值范围，再利用两边夹逼的方法，确定
a 的十分位上的数，找出它在哪两个一位小数之间，按照上述方法依次确定 a 的百分位上的数，从而逐步得到 a 的近似值；
（3）利用（2）的结果便可得到符合要求的 a 的值.
解：（1）由勾股定理，得 a2＝32＋22＝9＋4＝13.
因为32＜ a2＜42，所以 a 既不是整数，也不是分数.
所以 a 不是有理数.
（2）对 a 的值近似计算如下表所示：
a a2
3＜ a ＜4 9＜ a2＜16
3.6＜ a ＜3.7 12.96＜ a2＜13.69
3.60＜ a ＜3.61 12.960 0＜ a2＜13.032 1
3.605＜ a ＜3.606 12.996 025＜ a2＜13.003 236
由表可知， a 精确到百分位约为3.61.
利用计算器计算：3.6052＝12.996 025≈13，
所以 a 精确到百分位约为3.61是正确的.
（3）由（2）知， a 取近似值为3.60或3.61时，误差小于0.01.
【点拨】（1）估计 x2＝ a （ a ＞0）中的正数 x 的近似值：①估
计 x 的整数部分，看它在哪两个连续正整数之间，较小数即为整
数部分；②确定 x 的十分位上的数字，同样寻找它在哪两个连续
的一位小数之间；③按照上述方法可以依次确定 x 的百分位、千
分位……上的数字，从而确定 x 的值；④按要求取近似值：如要
求 x 精确到百分位，就应找到 x 的千分位上的数字，由四舍五入
精确到百分位即可.（2）快速找到十分位上两个连续数的技
巧：如32＝9＜13＜42＝16，9离13比16离13要远些，因此应在
3.5≤ x ＜4这个范围内去找十分位上连续的两个小数.
如图，一张纸由五个边长为1的小正方形组成，可以把它剪开拼
成一个正方形.
（1）拼成的正方形的面积是多少？
解：（1）根据题意知，每个小正方形的面积＝1×1＝1.因为由五个这样的小正方形剪开拼成一个正方形，所以拼成的正方形的面积是5.
（2）因为拼成的正方形的边长为 a ，所以 a2＝5.
（2）设拼成的正方形的边长为 a ，求 a2的值；
（3） a 是无理数吗？若是，请估计 a 的值（精确到十分位）；
若不是，请说明理由.
（3）因为22＜5＜32，所以 a 既不是整数，也不是分数.
所以 a 是无理数.
（方法一）对 a 的值近似计算如下表所示：
a a2
2＜ a ＜3 4＜ a2＜9
2.2＜ a ＜2.3 4.84＜ a2＜5.29
2.23＜ a ＜2.24 4.972 9＜ a2＜5.017 6
由表可知， a 精确到十分位约为2.2.
（方法二）因为2.22＝4.84＜5＜2.32＝5.29，
所以2.2＜ a ＜2.3.
又因为2.252＝5.062 5＞5，即 a ＜2.25，
所以由四舍五入，得 a 精确到十分位约为2.2.
在本节中，我们遇到这样一个问题：无限循环小数是分数吗？
下面我们以0. 为例来说明无限循环小数与分数的关系：
设 x ＝0. ，则10 x ＝3. .
所以10 x － x ＝3. －0. ，即9 x ＝3.
所以 x ＝ ＝ ，即0. ＝ .
通过上面的方法可知，无限循环小数可以化为分数，从而说明
无限循环小数是有理数.下面你也来试一试：
（1）2. ； （2）0. 0 .
【思路导航】把无限循环小数化为分数的形式，就要想办法把
它们的循环节消去.
解：（1）设 x ＝2. ，则10 x ＝10×2. ＝25. .
所以10 x － x ＝25. －2. ，即9 x ＝23.
所以 x ＝ ，即2. ＝ .
（2）设 x ＝0. 0 ，则1 000 x ＝103. 0 .
所以1 000 x － x ＝103. 0 －0. 0 ，即999 x ＝103.
所以 x ＝ ，即0. 0 ＝ .
【点拨】（1）利用本例的这种方法可以将任何一个无限循环小
数化成分数，从而验证了无限循环小数是有理数.（2）有限小
数、无限循环小数与分数之间能实现互化，但无限不循环小数
不能化为分数.故有理数可以用分数表示，而无理数不能用分数
表示.（3）本例这种方法把无限循环小数化为分数，只是为了
说明有理数可以用分数表示，这种方法不要求掌握.
把下列无限循环小数化为分数的形式：
（1）5. ；
解：（1）设 x ＝5. ，则100 x ＝512. .
所以100 x － x ＝512. －5. ，即99 x ＝507.
所以 x ＝ ＝ ，即5. ＝ .
（2）设 x ＝0.1 ，则10 x ＝1. ，100 x ＝16. .
所以100 x －10 x ＝16. －1. ，即90 x ＝15.
所以 x ＝ ＝ ，即0.1 ＝ .
（2）0.1 .
演示完毕 谢谢观看(共32张PPT)
第二章 实 数
回顾与思考（第一课时）
数学 八年级上册 BS版
要点回顾
典例讲练
目录
CONTENTS
1. 实数的有关概念及性质.
（1）无理数.
无限 小数称为无理数.估算无理数的近似值——“夹
逼法”.
不循环
（2）平方根.
概念：如果一个数 x 的平方等于 a ，即 x2＝ a ，那么这个数 x 叫
做 a 的平方根，记作 （ a ≥0），其中正的平方根叫
做 平方根.
性质：一个正数有两个平方根，它们互为 ；负
数 平方根；0的平方根是0.开平方与平方互为逆运算.
±
算术
相反数
没有
（3）立方根.
概念：如果一个数 x 的立方根等于 a ，即 x3＝ a ，那么这个数 x
就叫做 a 的立方根，记作 .
性质：正数有一个 的立方根；负数有一个 的立方
根；0的立方根是0.开立方与立方互为逆运算.
（4）实数.
概念： 和 统称为实数.
正
负
有理数
无理数
①按概念分类. ②按正负性分类.
实数 实数
性质：实数与数轴上的点 对应.
一一
分类：
2. 常用的公式.
（1） ＝ ； （2） （ ）2＝ a （ a ≥0）；
（3） ＝ a ； （4） ＝ a ；
（5） ＝－ .
3. 实数的运算.
（1）实数的大小比较；
（2）实数的混合运算；
（3）在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义，运算法则、运算律都与有理数范围内一致.
数学 八年级上册 BS版
0 2
典例讲练
要点一 实数的有关概念
（1）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：① ，
②－ ，③ ，④2π，⑤ ，⑥3.141 592 65，⑦1.030
300 300 03…（相邻两个3之间0的个数逐次加1），⑧－ .
有理数集合 ；
无理数集合 ；
正实数集合 ；
负实数集合 .
【思路导航】根据各类数的定义进行分类即可.
【解析】根据各类数的定义可得正确答案.故答案为②③⑤⑥
⑧，①④⑦，①④⑤⑥⑦，②③⑧.
【点拨】无理数的三种常见类型：（1）π型：主要特点是含π，
如2π－3等；（2）根号型：主要特点是含有根号，是开方开不
尽的数的根，如 ， ；（3）小数型：常见的是特殊结构的
无限不循环小数，如1.202 002 000 2…（相邻两个2之间0的个
数逐次加1）.
（2） 的算术平方根是 ， 的平方根
是 ，－ 的立方根是 .
【思路导航】根据算术平方根、平方根和立方根的定义及其性
质计算即可.
5
±3
－2
【解析】因为 ＝25，25的算术平方根是5，所以 的算
术平方根是5.因为 ＝9，9的平方根是±3，所以 的
平方根是±3.因为－ ＝－8，－8的立方根是－2，所以－
的立方根是－2.故答案为5，±3，－2.
【点拨】要特别注意：（1）平方根和算术平方根的被开方数为
非负数；（2）正数的平方根互为相反数；（3）－ 的立方
根是－2，而不是－4.
1. 已知实数 a ， b ， c 在数轴上的对应点如图所示，求 a ＋
－ － 的值.
解：由图知， b ＜ c ＜0＜ a ，｜ b ｜＞｜ a ｜，
则 a ＋ b ＜0， b － c ＜0.
所以原式＝ a －（ a ＋ b ）－（－ c ）－[－（ b － c ）]＝ a － a －
b ＋ c ＋ b － c ＝0.
2. 已知 x ＋3的平方根是±3，2 x ＋ y －12的立方根是2，求 x2＋
y2的平方根.
解：因为 x ＋3的平方根是±3，
所以 x ＋3＝（±3）2，解得 x ＝6.
因为2 x ＋ y －12的立方根是2，
所以2 x ＋ y －12＝23，即2×6＋ y －12＝8，
解得 y ＝8.所以 x2＋ y2＝62＋82＝100.
因为± ＝±10，
所以 x2＋ y2的平方根是±10.
要点二 实数的化简和计算
（1）计算：
① × － × ；
② － ＋｜1－ ｜＋ ；
③ －（ － ）（ ＋ ）.
【思路导航】根据有关的运算法则及混合运算的顺序计算即可.
解：①原式＝0.2× －15×
＝ × －（－3）
＝ .
②原式＝4－3＋ －1＋
＝ ＋ .
③原式＝－ －（3－2）
＝－ －1
＝－ .
【点拨】实数的计算和化简是本章的重要题型.本例的解答表
明，求实数的相反数、绝对值等的方法与求有理数的相反数、
绝对值等是一样的.在实数范围内进行加、减、乘、除、乘方和
开方运算以及混合运算的顺序与有理数相同，运算规律和乘法
公式也仍然适用.值得注意的是，在进行开方运算时，正实数和
零可以开任何次方，负实数能开立方，但不能开平方.
（2）化简：｜ x ＋1｜－ .
【思路导航】由于 x ＋1， x －2与0的大小关系与 x 的取值有关，
所以需分情况讨论来化简上式.
解：｜ x ＋1｜－ ＝｜ x ＋1｜－｜ x －2｜.
当 x ＋1＝0时， x ＝－1；当 x －2＝0时， x ＝2.
分以下三类讨论：
①当 x ≤－1时， x ＋1≤0， x －2＜0，
原式＝－（ x ＋1）＋（ x －2）＝－3；
②当－1＜ x ＜2时， x ＋1＞0， x －2＜0，
原式＝（ x ＋1）＋（ x －2）＝2 x －1；
③当 x ≥2时， x ＋1＞0， x －2≥0，
原式＝（ x ＋1）－（ x －2）＝3.
综上所述，原式＝
【点拨】去绝对值时，若绝对值内的正负性不确定，则需分类
讨论.
1. 计算：
（1）（2024－ ）0＋ － ；
（2）（ －2）2－（ ＋ ）（ － ）.
解：（1）原式＝1＋｜5－5 ｜－
＝1＋5 －5－3＝5 －7.
（2）原式＝3－4 ＋4－（3－2）
＝3－4 ＋4－1＝6－4 .
2. 化简： － .
解：原式＝ x ＋1－｜ x －3｜.
①当 x ＜3时， x －3＜0，原式＝ x ＋1＋（ x －3）＝2 x －2；
②当 x ≥3时， x －3≥0，原式＝ x ＋1－（ x －3）＝4.
综上所述，原式＝
要点三 算术平方根的非负性及解方程求值
（1）已知实数 a ， b 满足 ＋4 a2＋4 ab ＋ b2＝0，则 ba
的值为 ；
（2）已知 y ＝ － －3，则 y2＝ ；
（3） ＋6的最小值是 ，此时 x ＝ .
【思路导航】根据算术平方根及其被开方数、完全平方的非负
性求解即可.
9
6
－7
【解析】（1）因为 ＋4 a2＋4 ab ＋ b2＝ ＋（2 a ＋
b ）2＝0，且 ≥0，（2 a ＋ b ）2≥0，所以 a ＋1＝0且2 a
＋ b ＝0，解得 a ＝－1， b ＝2.所以 ba ＝2－1＝ .故答案为 .
（2）由已知，得 x －2≥0，且2－ x ≥0.解得 x ≥2，且 x ≤2.所
以 x ＝2.把 x ＝2代入 y ＝ － －3，得 y ＝－3，所以
y2＝（－3）2＝9.故答案为9.
（3）因为 ≥0，所以当 x ＋7＝0，即 x ＝－7时，
＋6有最小值，是6.故答案为6，－7.
【点拨】本例主要涉及非负数（式）的性质及其应用，非负数
不是负数，而是正数和零.常见的非负数主要有三种：（1）实
数的绝对值；（2）算术平方根及其被开方数；（3）实数的偶
次方.熟记一个非常重要的性质：若多个非负数（式）的和为
0，则这几个非负数（式）均为0.当一个代数式中同时出现
和 时，根据算术平方根的被开方数为非负数可得 a ＝0.
1. 已知 a ， b 满足 ＋｜ b － ｜＝0，解关于 x 的方
程：（ a ＋2） x ＋ b2＝ a －1.
解：由题意，得2 a ＋8＝0， b － ＝0，
解得 a ＝－4， b ＝ .
所以原方程为（－4＋2） x ＋（ ）2＝－4－1，
即－2 x ＋3＝－5，解得 x ＝4.
2. 求下列各式中 x 的值：
（1）9（3 x ＋1）2－64＝0；
（2）－8（7－ x ）3＝－125.
解：（1）整理，得（3 x ＋1）2＝ .
所以3 x ＋1＝± ，
解得 x ＝ 或 x ＝－ .
（2）整理，得（7－ x ）3＝ .
所以7－ x ＝ ，解得 x ＝ .
要点四 无理数的估算与大小比较
估计3＋ 的值在（ B ）
A. 5和6之间 B. 6和7之间
C. 7和8之间 D. 8和9之间
【思路导航】先估算出 在哪两个连续整数之间，继而求得3
＋ 在哪两个连续整数之间.
B
【解析】因为9＜10＜16，所以3＜ ＜4.
所以6＜3＋ ＜7，
即3＋ 的值在6和7之间.
故选B.
【点拨】除本题应用的平方法比较实数的大小外，常用到的方
法还有：（1）作差（商）法；（2）数轴法；（3）绝对值法；
（4）开方法；（5）估算法；（6）放缩法；（7）特殊值法；
（8）定义法.根据给出的实数特征，选择适当的解题方法，就
能使问题得到解决.
比较下列各组数的大小：
（1） 与 ； （2）3 与4 －1.
解：（1）因为 ＝ ， ＝ ＝ ， ＞ ，
所以 ＞ .
（2）因为3 －（4 －1）＝3 －4 ＋1＝1－ ＜0，
所以3 ＜4 －1.
演示完毕 谢谢观看
