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第七章 平行线的证明
回顾与思考
数学 八年级上册 BS版
要点回顾
典例讲练
目录
CONTENTS
1. 相关概念.
（1）定义：对一些名称和术语的含义加以描述，作出明确的规
定，也就是给出它们的定义；
（2）命题： 一件事情的 叫做命题，每个命题
都由条件和结论两部分组成；
（3）正确的命题称为 ，不正确的命题称为
；
（4）公认的真命题称为 ，演绎推理的过程称为
，经过证明的真命题称为 .
判断
句子
真命题
假命
题
公理
证
明
定理
2. 平行线的判定和性质.
（1）平行线的判定.
判定公理：同位角相等，两直线平行.
判定定理：①同旁内角 ，两直线平行；②内错角
，两直线平行；③平行于同一条直线的两条直线
.
推论：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行.
互补
相
等
互相平
行
（2）平行线的性质.
性质定理：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错
角相等；③两直线平行，同旁内角互补.
3. 三角形的内角和与外角.
（1）三角形内角和定理：三角形的内角和等于 ；
（2）三角形内角和定理的推论：①三角形的一个外角等于和它
不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于任何一个和
它不相邻的内角.
180°
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0 2
典例讲练
要点一 命题、公理
如图，已知∠ A ＝∠ C ， AE ， CF 分别与 BD 交于点 E ， F .
请你从下面三项中选出其中两项作为条件，第三项作为结论，
写出一个真命题，并加以证明.
① AB ∥ DC ；
② AE ∥ CF ；
③ DE ＝ BF .
【思路导航】选其中两项作为条件，第三项作为结论，结合全
等三角形的性质、平行线的判定或性质等证明即可.
解：如果 AB ∥ DC ， DE ＝ BF ，那么 AE ∥ CF . （答案不
唯一）
证明：∵ AB ∥ DC ，∴∠ B ＝∠ D .
∵ DE ＝ BF ，∴ DE ＋ EF ＝ BF ＋ EF ，即 DF ＝ BE .
在△ ABE 和△ CDF 中，
∴△ ABE ≌△ CDF （AAS）.
∴∠ BEA ＝∠ DFC . ∴ AE ∥ CF .
【点拨】判断一个命题为真命题，需要进行严格地证明；说明
一个命题为假命题，举出一个反例即可.
1. 下列选项中，不是命题的是（ B ）
A. 对顶角相等
B. 过直线外一点作已知直线的平行线
C. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
D. 如果 a ＝ b ， a ＝ c ，那么 b ＝ c
B
2. 已知命题“三角形的一个外角等于两内角的和”.
（1）将命题改写成“如果……那么……”的形式；
（2）判断命题的真假，若是假命题，请举出反例.
解：（1）如果一个角是一个三角形的外角，那么这个外角等于
两个内角的和.
（2）命题是假命题.反例：若一个三角形的三个内角的度数分
别为30°，60°，90°，与30°角相邻的外角等于150°，30°
角和60°角的和是90°，90°≠150°。故命题是假命题.
要点二 平行线的判定和性质
如图，已知 MN ∥ BC ， BD ⊥ DC ，∠1＝∠2＝60°， DC
是∠ NDE 的平分线.
（1） AB 与 DE 平行吗？请说明理由.
（2）求证：∠ ABC ＝∠ C .
（3）求∠ ABD 的度数.
【思路导航】（1）根据平行线的性质得出∠ ABC 的大小，再根
据平行线的判定即可得出结论；（2）根据平行线的性质求得
∠ NDE 的度数，根据角平分线的定义结合平行线的性质得出
∠ C 的大小即可证明；（3）根据平行线的性质综合进行计算即可.
（1）解： AB ∥ DE . 理由如下：
∵ MN ∥ BC ，∴∠ ABC ＝∠1＝60°.
又∵∠1＝∠2，∴∠ ABC ＝∠2.
∴ AB ∥ DE .
（2）证明：∵ MN ∥ BC ，
∴∠ NDE ＋∠2＝180°.
∴∠ NDE ＝180°－∠2＝180°－60°＝120°.
∵ DC 是∠ NDE 的平分线，
∴∠ EDC ＝∠ NDC ＝ ∠ NDE ＝ ×120°＝60°.
∵ MN ∥ BC ，
∴∠ C ＝∠ NDC ＝60°.
由（1）可知，∠ ABC ＝60°，
∴∠ ABC ＝∠ C .
（3）解：∵∠ ADC ＋∠ NDC ＝180°，
∴∠ ADC ＝180°－∠ NDC ＝180°－60°＝120°.
∵ BD ⊥ DC ，∴∠ BDC ＝90°.
∴∠ ADB ＝∠ ADC －∠ BDC ＝120°－90°＝30°.
∵ MN ∥ BC ，
∴∠ DBC ＝∠ ADB ＝30°.
由（1）可知，∠ ABC ＝60°，
∴∠ ABD ＝∠ ABC －∠ DBC ＝60°－30°＝30°.
【点拨】在平行线的判定与性质的综合运用问题中，一定要弄
清楚用的是判定定理还是性质定理，前者是为了得到两直线平
行，后者常用来得到角的大小关系等.
1. 如图，将长方形 ABCD 沿 EF 折叠，使 ABFE 落在四边形
MNFE 处.若∠1＝40°，则∠ AEF 的度数为 .
110°
2. 如图，在△ ABC 中，已知 DG ， EH 相交于点 F ，连接 DE ，
∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠ B ，求证： DE ∥ BC .
证明：∵∠1＋∠2＝180°，∠1＝∠4，
∴∠2＋∠4＝180°.
∴ AB ∥ EH .
∴∠3＝∠ ADE .
又∵∠3＝∠ B ，
∴∠ B ＝∠ ADE .
∴ DE ∥ BC .
要点三 三角形内角和定理及外角的性质
如图，已知∠ B ＝∠ ACB ， CD ⊥ AB ，交 BA 的延长线
于点 D ，且 CE 平分∠ ACB . 若∠ DCE ＝42°，求∠ BAC 的度数.
【思路导航】根据三角形内角和定理、外角的性质与角平分线
的定义进行计算即可.
解：∵ CD ⊥ AB ，交 BA 延长线于点 D ，
∴∠ DCE ＋∠ DEC ＝90°.
∵∠ DCE ＝42°，
∴∠ DEC ＝48°.
∵ CE 平分∠ ACB ，
∴∠ ECB ＝ ∠ ACB .
又∵∠ B ＝∠ ACB ，
∴∠ B ＝2∠ ECB .
∵∠ DEC 是△ BEC 的外角，
∴∠ DEC ＝∠ B ＋∠ ECB .
∴∠ DEC ＝3∠ ECB ，即3∠ ECB ＝48°.
∴∠ ECB ＝16°.
∴∠ B ＝32°.
∵∠ ACB ＝∠ B ，
∴∠ ACB ＝32°.
∵∠ B ＋∠ ACB ＋∠ BAC ＝180°，
∴∠ BAC ＝180°－32°－32°＝116°.
【点拨】在三角形求角问题中，常常综合运用三角形内角和定
理、三角形外角的性质、角平分线的定义等，需要对这些定理
有深刻理解，并能灵活运用.有时还需要通过列方程求解.
1. 如图，已知∠ B ＝20°，∠ E ＝30°，则∠ A －∠ D
＝ .
10°
【解析】∵三角形的内角和为180°，∴∠ A ＋∠ B ＋∠ ACB ＝
∠ D ＋∠ E ＋∠ DCE ＝180°.∵∠ B ＝20°，∠ E ＝30°，
∠ ACB ＝∠ DCE ，∴∠ A －∠ D ＝∠ E －∠ B ＝30°－20°＝
10°.故答案为10°.
2. 如图，在△ ABC 中，已知∠ ABC 的平分线与∠ ACE 的平分线相交于点 D .
（1）若∠ ABC ＝60°，∠ ACB ＝40°，求∠ A 和∠ D 的度数；
（2）由（1）中的计算，你能发现∠ A 和∠ D 有什么数量关系
吗？请说明理由.
解：（1）∵∠ ABC ＝60°，∠ ACB ＝40°，
∴∠ A ＝180°－∠ ABC －∠ ACB ＝180°－60°－40°＝80°.
∵ BD 是∠ ABC 的平分线，
CD 是∠ ACE 的平分线，
∴∠ DBC ＝ ∠ ABC ＝ ×60°＝30°，
∠ ACD ＝∠ DCE ＝ （180°－∠ ACB ）＝ ×140°＝70°.
∴∠ D ＝∠ DCE －∠ DBC ＝70°－30°＝40°.
∴∠ A ＝80°，∠ D ＝40°.
（2）∠ A ＝2∠ D . 理由如下：
∵∠ ACE ＝∠ A ＋∠ ABC ，∠ DCE ＝∠ D ＋∠ DBC .
∴∠ A ＝∠ ACE －∠ ABC ，∠ D ＝∠ DCE －∠ DBC .
∵ BD 平分∠ ABC ， CD 平分∠ ACE ，
∴∠ ABC ＝2∠ DBC ，∠ ACE ＝2∠ DCE .
∴∠ A ＝2∠ DCE －2∠ DBC ＝2（∠ DCE －∠ DBC ）＝2∠ D .
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第七章 平行线的证明
1 为什么要证明
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课前预习
典例讲练
目录
CONTENTS
数学 八年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确.因
此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归
纳是不够的，必须进行 .
有根有据的证明
2. 检验数学结论常用的三种方法.
（1）实验验证法：常用于检验一些比较直观、简单的结论；
（2）举反例法：多用于说明某结论不正确；
（3）推理论证法：既可以验证某结论是正确的，也可以验证某
结论是不正确的.
注：实验验证是最基本的方法；在推理的依据正确的前提下，
推理论证是最可靠、最科学的方法.
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0 2
典例讲练
（1）当 n ＝0，1，2，3，4，5时， n2－ n ＋11的值是质数
吗？能否得出结论：对于所有的自然数 n ， n2－ n ＋11的值
都是质数？
【思路导航】先计算，再对结论进行判断.
解：当 n ＝0，1，2，3，4，5时， n2－ n ＋11的值分别是11，
11，13，17，23，31，它们都是质数.
当 n ＝11时， n2－ n ＋11＝121＝11×11，不是质数.
所以不能得出题目中的结论，
即对于所有的自然数 n ， n2－ n ＋11并非都是质数.
【点拨】观察、归纳以及对少数具体的例子进行计算得出的结
论不一定正确，只有通过推理论证的方法研究问题，才能解释
问题的本质.
（2）若有一条线段 AB 的长为3 cm，另一条线段 BC 的长为2
cm，则 AC 的长一定是5 cm吗？
【思路导航】先画出所有可能的图形，再进行判断即可.
解：不一定.
如图所示，此时 AC ＝ AB － BC ＝3－2＝1（cm）.
【点拨】说明一个结论错误，只需举出一个例子，该例子不适
合这个结论即可，例子的选取一定要满足所给的条件，而不能
满足结论.
1. 已知骑自行车的速度是15 km/h，骑摩托车的速度是40
km/h，则下列结论一定正确的是（ D ）
A. 从A地到B地，骑摩托车的人比骑自行车的人一定先到达
B. 从A地到B地，骑自行车的人比骑摩托车的人后到达
C. 从A地到B地，骑自行车和骑摩托车的人不可能同时到达
D. 从A地到B地，骑自行车的人有可能比骑摩托车的人先到达
D
2. 在一次测试中，老师出了如下题目：比较 nn＋1与（ n ＋1） n
的大小.有些同学经过计算发现：
当 n ＝1时， nn＋1 （ n ＋1） n （填“＞”“＜”或
“＝”）；
当 n ＝2时， nn＋1 （ n ＋1） n （填“＞”“＜”或
“＝”）；
所以他们得出一个结论：若 n 为任意自然数，则 nn＋1＜（ n ＋
1） n .
＜
＜
这些同学的结论是 的（填“正确”或“错误”）.
错误
【解析】当 n ＝1时， nn＋1＝1，（ n ＋1） n ＝2，此时 nn＋1＜（ n
＋1） n ；当 n ＝2时， nn＋1＝8，（ n ＋1） n ＝9，此时 nn＋1＜（ n
＋1） n ；当 n ＝3时， nn＋1＝81，（ n ＋1） n ＝64，此时 nn＋1＞
（ n ＋1） n .所以，若 n 为任意自然数， nn＋1＜（ n ＋1） n 不成
立，即这些同学的结论是错误的.故答案为＜，＜，错误.
观察下列等式：
第一个等式：22－21＝4－2＝2＝21；
第二个等式：23－22＝8－4＝4＝22；
第三个等式：24－23＝16－8＝8＝23；
……
（1）请按这个顺序仿照前面的等式写出第四个等式；
（2）根据你所发现的规律，用含字母 n 的式子表示第 n 个等式，并说明等式成立.
【思路导航】（1）根据规律写出第四个等式即可；（2）由
（1）归纳出第 n 个等式，再利用等式的性质说明.
（2）第 n 个等式：2 n＋1－2 n ＝2 n .理由如下：
因为2 n＋1＝2×2 n ＝2 n ＋2 n ，
所以2 n＋1－2 n ＝2 n ＋2 n －2 n ＝2 n ，即等式成立.
【点拨】本题考查数字的变化规律，关键是找出其中的“变”
与“不变”.如：此题中“变”的是指数，“不变”的是底数
“2”，并用 n 表示“变”的部分，得出一般式子.同时根据规
律推理得出一般式子后，必须进行有根有据的说明.
解：（1）第四个等式：25－24＝32－16＝16＝24.
观察下列等式：
第一个等式：32－4×12＝5；
第二个等式：52－4×22＝9；
第三个等式：72－4×32＝13；
……
根据上述等式反映出的规律，解答下列问题：
（1）写出第五个等式： ；
112－4×52＝21
（1）【解析】因为第一个等式：32－4×12＝5；
第二个等式：52－4×22＝9；
第三个等式：72－4×32＝13；
……
所以第五个等式：112－4×52＝21.
故答案为112－4×52＝21.
（2）解：猜想第 n 个等式：（2 n ＋1）2－4 n2＝4 n ＋1.
验证如下：
因为（2 n ＋1）2－4 n2＝4 n2＋4 n ＋1－4 n2＝4 n ＋1，
所以猜想的等式正确.
（2）猜想第 n 个等式（用含 n 的代数式表示），并验证你猜想
的等式是否正确.
警方抓获一个由甲、乙、丙、丁四人组成的盗窃团伙，其中只
有一个人是主谋.经过审讯，A，B，C三名警察各自得出结
论.A：主谋是甲或乙；B：甲不是主谋；C：乙和丙都不是主
谋.已知三名警察中只有一个人的推测正确，则主谋是 .
【思路导航】根据题意，分只有警察A或警察B或警察C推测正
确三种情况进行分析、推理、判断，便可得到结果.
丙
①由A正确，得主谋是甲或乙；
②由B错误，得甲是主谋；
③由C错误，得乙和丙中有一个是主谋.
由②③和“其中只有一个人是主谋”得出矛盾，
故假设不成立.
【解析】（1）假设A的推测正确，则
③由C错误，得主谋是乙或丙.
综上所述，得到主谋是丙，符合题意，
故假设成立.
（2）假设B的推测正确，则
①由A错误，得主谋是丙或丁；
②由B正确，得主谋是乙、丙或丁；
②由B错误，得主谋是甲.
由①②即可得出矛盾，
故假设不成立.
综上所述，只有B的推测正确，且主谋是丙.
故答案为丙.
（3）假设C的推测正确，
则①由A错误，得主谋是丙或丁；
【点拨】在进行推理时，可以先假设，然后看有没有矛盾：若
没有矛盾，则假设就是正确的；若有矛盾，则假设就是错误的.
即先假设某种情形成立，再通过逻辑逐步推理，得出特殊事实
应遵循的规律，进而观察是否与事实相符或相矛盾，从而作出
判断.
甲、乙、丙、丁四位同学在操场上踢足球，一个人不小心打碎
了玻璃窗.老师问他们时，他们这样说.甲说：“玻璃是丙或丁
打碎的.”乙说：“肯定是丁打碎的.”丙说：“我没有打碎玻
璃.”丁说：“我没有干这种事.”他们的老师听了之后说：
“他们中有三位都不会说谎.”由此我们知道，打碎玻璃的同学
是（ D ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
D
【解析】①假设甲打碎了玻璃，
则甲、乙说了谎，与老师说的不符合；
②假设乙打碎了玻璃，
则甲、乙说了谎，与老师说的不符合；
③假设丙打碎了玻璃，
则乙、丙说了谎，与老师说的不符合；
④假设丁打碎了玻璃，
则只有丁说了谎，与老师说的一致，符合题意.
所以是丁打碎了玻璃.
故选D.
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第七章 平行线的证明
2 定义与命题（第二课时）
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课前预习
典例讲练
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数学 八年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 公理、证明、定理.
公认的真命题称为 ；演绎推理的过程称为 ；
经过证明的真命题称为 .
公理
证明
定理
2. 已认识的八条公理.
（1）两点确定一条直线；
（2）两点之间 最短；
（3）同一平面内，过一点有且只有 直线与已知直
线垂直；
（4）同位角相等，两直线 ；
（5）过直线外一点有且只有 直线与这条直线平行；
（6）两边及其 分别相等的两个三角形全等；
（7）两角及其 分别相等的两个三角形全等；
（8） 边分别相等的两个三角形全等.
线段
一条
平行
一条
夹角
夹边
三
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0 2
典例讲练
下列句子中，是公理的有 ，是定理的有 ，是
定义的有 .（填序号）
①若 a ＝ b ， b ＝ c ，则 a ＝ c ；②对顶角相等；③全等三角形的
对应边相等，对应角相等；④两边相等的三角形叫做等腰三角
形；⑤两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
【思路导航】根据公理、定理、定义的概念进行判断即可.
①
②③⑤
④
【解析】①若 a ＝ b ， b ＝ c ，则 a ＝ c ，是公理；
②对顶角相等，是定理；
③全等三角形的对应边相等，对应角相等，是定理；
④两边相等的三角形叫做等腰三角形，是定义；
⑤两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，是定理.
故答案为①，②③⑤，④.
【点拨】定义、命题、公理、定理的联系与区别：（1）联
系：公理、定理是特殊的真命题，定理由公理、定义和已经
证明为真的命题证明得到，定义、公理、定理可作为判断其
他命题真假的依据；（2）区别：①定义不是命题；②命题
分为真命题和假命题；③公理是公认的真命题，不需要证
明；④定理需要证明.
1. 下列生活或生产现象中，可用公理“两点之间线段最短”来
解释的现象是（ B ）
A. 用两个钉子就可以把木条固定在墙上
B. 把弯曲的公路改直，就能缩短路程
C. 植树时，只要定出两棵树的位置，就能判断同一行树是否在
一条直线上
D. 以上说法都不能用此公理解释
B
2. 下列命题中，是真命题的有 （填序号）.
①定理都是命题；②命题都是定理；③公理都是命题；④推理
的过程叫做证明.
①③④
已知三条不同的直线 a ， b ， c 在同一平面内，有以下语句：①
a ∥ b ；② a ⊥ c ；③ b ⊥ c ；④ a ⊥ b .请你用所给出的其中两个
语句作为条件，其中一个语句作为结论，用“如果……那
么……”的形式写出命题.例如：如果 a ⊥ c ， a ∥ b ，那么 b ⊥
c .
（1）写出一个真命题，并证明；
（2）写出一个假命题，并举出反例.
【思路导航】（1）由②③ ①，并证明结论的正确性；（2）
由②③ ④，举反例即可.
解：（1）真命题：如果 a ⊥ c ， b ⊥ c ，那么 a ∥ b .证明如下：
如图，∵ a ⊥ c ， b ⊥ c ，
∴∠1＝90°，∠2＝90°.
∴∠1＝∠2.∴ a ∥ b .
（2）假命题：如果 a ⊥ c ， b ⊥ c ，那么 a ⊥ b .
反例：如图，如果 a ⊥ c ， b ⊥ c ，那么 a ∥ b .
【点拨】（1）证明的一般步骤：①根据题意，画出图形；②根
据条件、结论，结合图形写出已知、求证；③写出证明的过
程，并注明依据.（2）说明命题为真命题时，需要进行严格地
证明；说明一个命题为假命题时，只需要举出一个反例即可.
求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角.
证明：假设四边形 ABCD 中没有一个角是钝角或直角，即∠ A ＜90°，∠ B ＜90°，∠ C ＜90°，∠ D ＜90°，
于是∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＋∠ D ＜360°.
这与“四边形的内角和为360°”矛盾.
所以四边形 ABCD 中至少有一个角是钝角或直角.
已知∠ ABC 的两边与∠ DEF 的两边分别平行，即 BA ∥ ED ，
BC ∥ EF .
（1）如图1，若∠ B ＝50°，则∠ E ＝ °.
（2）如图2，猜想：∠ B 与∠ E 有怎样的关系？并证明你的
猜想.
（3）如图3，猜想：∠ B 与∠ E 有怎样的关系？并证明你的
猜想.
50
（4）根据以上情况，请你归纳概括出一个真命题.
图1 图2 图3
【思路导航】运用平行线的性质解答即可.
（2）解：∠ B ＝∠ E . 证明如下：
∵ AB ∥ DE ，∴∠ B ＋∠ BGE ＝180°.
∵ BC ∥ EF ，∴∠ BGE ＋∠ E ＝180°.∴∠ B ＝∠ E .
（3）解：∠ B ＋∠ E ＝180°.证明如下：
∵ BA ∥ ED ， BC ∥ EF ，
∴∠ B ＋∠ BGD ＝180°，∠ E ＝∠ BGD .
∴∠ B ＋∠ E ＝180°.
（1）【解析】∵ AB ∥ DE ，∴∠ DGC ＝∠ B ＝50°.∵ BC ∥
EF ，∴∠ E ＝∠ DGC ＝50°.故答案为50.
（4）解：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么
这两个角相等或互补.
【点拨】掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内
角互补是解题的关键.
已知 AC 平分∠ MAN .
（1）如图1，若∠ ABC ＝∠ ADC ＝90°，求证： CB ＝ CD .
（2）如图2，若∠ ABC ＋∠ ADC ＝180°，则（1）中的结论是
否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
图1 图2
（1）证明：∵ AC 平分∠ MAN ，
∴∠ CAB ＝∠ CAD .
在△ ABC 和△ ADC 中，
∴△ ABC ≌△ ADC （AAS）.
∴ CB ＝ CD .
图1
（2）解：结论仍然成立.证明如下：如图，过点 C 作 CE ⊥ AM
于点 E ， CF ⊥ AN 于点 F ，
则∠ CED ＝∠ CFB ＝90°.
同（1）得，△ AEC ≌△ AFC .
∴ CE ＝ CF .
∵∠ ABC ＋∠ ADC ＝180°，∠ ADC ＋∠ CDE ＝180°，
∴∠ CDE ＝∠ ABC .
在△ CDE 和△ CBF 中，
∴△ CDE ≌△ CBF （AAS）.
∴ CB ＝ CD .
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第七章 平行线的证明
3 平行线的判定
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课前预习
典例讲练
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0 1
课前预行线的判定方法.
（1）判定的基本事实：同位角 ，两直线平行.
如图1，用符号语言表示：∵∠1＝∠2（已知），∴ a ∥ b （同
位角相等，两直线平行）.
图1
相等
（2）判定定理1：内错角 ，两直线平行.
如图2，用符号语言表示：∵∠1 ∠2（已知），∴ a ∥ b
（内错角相等，两直线平行）.
相等
＝
图2
（3）判定定理2：同旁内角 ，两直线平行.
如图3，用符号语言表示：∵∠1 ∠2＝180°（已知），
∴ a ∥ b （同旁内角互补，两直线平行）.
图3
互补
＋
（4）推论：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线
.
如图4，用符号语言表示：∵ a ⊥ b ， b ⊥ c （已知），∴
（在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行）.
平
行
a ∥
c
图4
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0 2
典例讲练
（1）如图，在下列条件中，可得到 AD ∥ BC 的是（ C ）
① AC ⊥ AD ， AC ⊥ BC ；②∠1＝∠2，∠3＝∠ D ；③∠4＝
∠5；④∠ BAD ＋∠ ABC ＝180°.
C
A. ①②③ B. ②③④
C. ①②④ D. ①③④
【思路导航】根据平行线的判定方法对各条件进行分析判断
即可.
【解析】①∵ AC ⊥ AD ， AC ⊥ BC ，∴∠ DAC ＝∠ ACB ＝
90°.∴ AD ∥ BC . 故①符合题意；②∵∠1＝∠2，∴ BC ∥
EF . ∵∠3＝∠ D ，∴ AD ∥ EF . ∴ AD ∥ BC . 故②符合题意；
③∵∠4＝∠5，∴ AB ∥ CD ，不能得到 AD ∥ BC . 故③不符合
题意；④∵∠ BAD ＋∠ ABC ＝180°，∴ AD ∥ BC . 故④符合题意.综上所述，能判定 AD ∥ BC 的有①②④.故选C.
③由∠4＝ ，能得到 ED ∥ BC ；
④由∠5与 互补，能得到 ED ∥ BC ；
∠ ABC
∠ ABC
（2）如图，①由∠1＝ ，能得到 ED ∥ BC ；
②由∠ C ＝ ，能得到 ED ∥ BC ；
∠2
∠3
⑤由∠ C 与 互补，能得到 ED ∥ BC .
∠ EDC
【思路导航】要使 ED ∥ BC ，可从同位角相等、内错角相等和
同旁内角互补这三个方面分析.
【解析】①∠1与∠2是内错角，由∠1＝∠2，能得到 ED ∥
BC ；
②∠ C 与∠3是同位角，由∠ C ＝∠3，能得到 ED ∥ BC ；
③∠ ABC 与∠4是同位角，由∠4＝∠ ABC ，能得到 ED ∥ BC ；
④∠5与∠ ABC 是同旁内角，由∠5与∠ ABC 互补，能得到 ED
∥ BC ；
⑤∠ C 与∠ EDC 是同旁内角，由∠ C 与∠ EDC 互补，能得到
ED ∥ BC .
故答案为∠2，∠3，∠ ABC ，∠ ABC ，∠ EDC .
【点拨】证明两直线平行时，一定要弄清是哪两条直线被哪一
条直线所截形成同位角、内错角、同旁内角，再进一步判断有
无相等或互补关系.在“三线八角”图中，同位角相等、内错角
相等、同旁内角互补，只需其中一个结论成立，则利用对顶
角、邻补角等相关知识，可得到另两个结论也成立.
1. 对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到 a ∥ b 的是
（ D ）
A. ∠1＝∠2 B. ∠2＝∠4
C. ∠3＝∠4 D. ∠1＋∠4＝180°
D
2. 如图，请添加一个条件 ，
使得 AB ∥ CD .
∠ BEF ＝∠ C （答案不唯一）
如图，已知∠1＋∠2＝180°，求证：∠3＝∠4.
【思路导航】∠3和∠4是同位角，要证∠3＝∠4，只需证明 CD
∥ EF 即可.
证明：∵∠2＝∠5（对顶角相等），
∠1＋∠2＝180°（已知），
∴∠1＋∠5＝180°（等量代换）.
∴ CD ∥ EF （同旁内角互补，两直线平行）.
∴∠3＝∠4（两直线平行，同位角相等）.
【点拨】此题考查了平行线的判定定理和性质定理，根据已
知条件找到同位角相等或内错角相等或同旁内角互补是解题
的关键.
如图，已知直线 AB ， CD 被直线 EO 所截，且∠ EMB ＝∠ MND ， MG 平分∠ EMB ， NF 平分∠ MND . 求证： MG ∥ NF .
证明：∵ MG 平分∠ EMB ， NF 平分∠ MND （已知），
∴∠ EMG ＝ ∠ EMB ，∠ MNF ＝ ∠ MND （角平分线的定
义）.
∵∠ EMB ＝∠ MND （已知），
∴∠ EMG ＝∠ MNF （等量代换）.
∴ MG ∥ NF （同位角相等，两直线平行）.
已知四边形 ABCD 是长方形.
（1）如图1，若 CD ＝3， BC ＝4， AE ⊥ BD 于点 E ，点 P
是 BD 上的一动点，连接 CP . 当 CP 为何值时， CP ∥ AE ？
请说明理由.
（2）如图2，若∠ ADB ＝25°，点 P 为 BC 边上的一动点，将△ ABP 沿 AP 翻折到△ AEP 位置.当∠ BAP 等于多少度时， AE ∥ BD ？ 请说明理由.
图1 图2
【思路导航】（1）根据 AE ⊥ BD 与平行线的判定定理找出点 P
的位置，再利用等面积法求出 CP 的长度即可；（2）根据翻折
的性质，列方程求解即可.
解：（1）当 CP ＝ 时， CP ∥ AE . 理由如下：
∵四边形 ABCD 是长方形，∴∠ BCD ＝90°.
∴ BD ＝ ＝ ＝5.
当 CP ⊥ BD 时，∵ AE ⊥ BD ， CP ⊥ BD ，
∴∠ AED ＝∠ CPB ＝90°.∴ CP ∥ AE .
此时， S△ BCD ＝ BD · CP ＝ BC · CD ，
∴ CP ＝ ＝ ＝ .
图1
（2）当∠ BAP ＝57.5°时， AE ∥ BD . 理由如下：
设∠ BAP ＝ x ，则∠ EAP ＝∠ BAP ＝ x .
要使 AE ∥ BD ，则∠ EAD ＝∠ ADB ＝25°，
此时∠ DAP ＝∠ PAE －∠ EAD ＝ x －25°.
又∵∠ BAD ＝∠ BAP ＋∠ DAP ＝ x ＋ x －25°＝90°，
∴ x ＝57.5°.
故当 ∠ BAP ＝57.5°时， AE ∥ BD .
【点拨】在判定两直线平行时，要注意两点：（1）以截线为线
索找准同位角、内错角或同旁内角；（2）不要用错或用混判定
条件.
图2
如图，将一副三角板中的两个直角顶点 C 叠放在一起，其中
∠ ACB ＝∠ DCE ＝90°，∠ A ＝30°，∠ B ＝60°，∠ D ＝
∠ E ＝45°.设∠ ACE ＝ x .
（1）填空：∠ BCE ＝ ，∠ ACD ＝ ；
（用含 x 的代数式表示）
90°－ x
90°－ x
（1）【解析】由题意可知，∠ BCE ＝∠ ACB －∠ ACE ＝90°－ x ，∠ ACD ＝∠ DCE －∠ ACE ＝90°－ x .故答案为90°－ x ，90°－ x .
（2）解：∵∠ BCD ＝∠ ACB ＋∠ ACD ＝90°＋∠ ACD ，
∴∠ BCD ＝90°＋（90°－ x ）＝180°－ x .
∵∠ BCD ＝5∠ ACE ，
∴180°－ x ＝5 x ，解得 x ＝30°.
∴∠ ACE ＝30°.
（2）若∠ BCD ＝5∠ ACE ，求∠ ACE 的度数；
（3）若三角板 ABC 不动，三角板 DCE 绕顶点 C 转动，则当
∠ BCE 等于多少度时， CD ∥ AB ？
（3）解：要使 CD ∥ AB ，有以下两种情况：
①如图1，当∠ BCD ＋∠ B ＝180°时， CD ∥ AB .
∵∠ B ＝60°，
∠ BCD ＝∠ DCE ＋∠ BCE ＝90°＋∠ BCE ，
∴（90°＋∠ BCE ）＋60°＝180°.
∴∠ BCE ＝30°；
图1
②如图2，当∠ BCD ＝∠ B ＝60°时， CD ∥ AB .
∵∠ DCE ＝90°，∠ BCE ＝∠ BCD ＋∠ DCE ，
∴∠ BCE ＝90°＋60°＝150°.
综上所述，当∠ BCE 等于30°或150°时， CD ∥ AB .
图2
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第七章 平行线的证明
4 平行线的性质
数学 八年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
目录
CONTENTS
数学 八年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 平行线的性质.
（1）性质定理1：两直线 ，同位角 .
如图1，用符号语言表示：∵ a ∥ b （已知），∴∠1 ∠2
（两直线平行，同位角相等）.
平行
相等
＝
图1
（2）性质定理2：两直线 ， 相等.
如图2，用符号语言表示：∵ a ∥ b （已知），∴∠1 ∠2
（两直线平行，内错角相等）.
平行
内错角
＝
图2
（3）性质定理3：两直线 ，同旁内角 .
如图3，用符号语言表示：∵ a ∥ b （已知），∴∠1 ∠2
＝180°（两直线平行，同旁内角互补）.
平行
互补
＋
图3
2. 平行线的判定定理.
平行于同一条直线的两条直线 .
3. 平行线的判定与平行线的性质的联系.
平行线的判定与性质是互逆关系，平行线的判定的条件是平
行线的性质的结论，而平行线的判定的结论是平行线的性质
的条件.
平行
数学 八年级上册 BS版
0 2
典例讲练
（1）如图，在△ ABC 中，已知点 D ， E ， F 分别是三条边上的
点，且 EF ∥ AC ， DF ∥ AB ，∠ B ＝45°，∠ C ＝60°，则
∠ EFD ＝（ B ）
B
A. 80° B. 75°
C. 70° D. 65°
【思路导航】由 EF ∥ AC 得出∠ EFB 的度数，由 DF ∥ AB 得出
∠ DFC ，最后由平角定义即可求得∠ EFD 的度数.
【解析】∵ EF ∥ AC （已知），
∴∠ EFB ＝∠ C ＝60°（两直线平行，同位角相等）.
∵ DF ∥ AB （已知），
∴∠ DFC ＝∠ B ＝45°（两直线平行，同位角相等）.
∵∠ EFB ＋∠ EFD ＋∠ DFC ＝180°（平角的定义），
∴∠ EFD ＝180°－∠ EFB －∠ DFC ＝180°－60°－45°＝
75°（等式的性质）.故选B.
【点拨】同位角的基本图形是“ ”或“ ”，利用平行线的
性质可把未知角度转化为已知角度进行计算.
（2）如图，已知 AB ∥ CD ，直线 EF 分别交 AB ， CD 于点 E ，
F ， FG 平分∠ CFE . 若∠1＝140°，则∠2的度数为 .
【思路导航】根据两直线平行，同旁内角互补与∠1＝140°，
可求得∠ EFC 的度数.再由 FG 平分∠ CFE ，求得∠3的度数.最
后根据两直线平行，内错角相等得出∠2的度数.
20°
【解析】∵ AB ∥ CD （已知），∴∠1＋∠ EFC ＝180°（两直
线平行，同旁内角互补）.∵∠1＝140°（已知），∴∠ EFC ＝180°－∠1＝40°.∵ FG 平分∠ CFE （已知），∴∠3＝
∠ EFC ＝20°（角平分线的定义）.∵ AB ∥ CD （已知），∴∠2＝∠3＝20°（两直线平行，内错角相等）.
故答案为20°.
【点拨】同旁内角的基本图形是“ ”，当两直线平行时，同旁内角的数量关系是互补，不是相等.内错角的基本图形是
“ ”，当两直线平行时，利用平行线的性质可以把未知角度
转化为已知角度进行计算.
如图，已知 DE ∥ BC ， BE 平分∠ ABC . 若∠1＝70°，则
∠ CBE 的度数为 .
35°
2. 如图，已知 OP ∥ QR ∥ ST . 若∠2＝100°，∠3＝120°，则
∠1＝ .
40°
如图，已知 AB ∥ CD ，∠ BCF ＝180°， BD 平分∠ ABC ， CE
平分∠ DCF ，∠ ACE ＝90°，求证： AC ⊥ BD .
【思路导航】根据 AB ∥ CD 得到∠ ABC ＝∠ DCF ，进而由角平
分线得到∠2＝∠4，即可得到 BD ∥ CE ，从而可得∠ BGC ＝
∠ ACE ＝90°，则 AC ⊥ BD .
证明：∵ AB ∥ CD （已知），
∴∠ ABC ＝∠ DCF （两直线平行，同位角相等）.
∵ BD 平分∠ ABC ， CE 平分∠ DCF （已知），
∴∠2＝ ∠ ABC ，∠4＝ ∠ DCF （角平分线的定义）.
∴∠2＝∠4（等量代换）.
∴ BD ∥ CE （同位角相等，两直线平行）.
∴∠ BGC ＝∠ ACE （两直线平行，内错角相等）.
又∵∠ ACE ＝90°（已知），
∴∠ BGC ＝90°，即 AC ⊥ BD （垂直的定义）.
【点拨】平行线和角的大小关系、直线的位置关系等是紧密联
系在一起的，通过角的关系可以判断两直线平行，反过来根据
两直线平行可以得到角的关系，再利用这些角的关系（相等、
互补）证明其他结论，因此两直线平行就是将原本没有关系的
数学问题建立起联系的桥梁.
1. 如图，已知直线 a ⊥ c ， b ⊥ c ，∠1＝140°，则∠2的度数是
（ A ）
A. 40° B. 50°
C. 60° D. 140°
A
2. 如图，已知 DC ∥ FP ，∠1＝∠2，∠ FED ＝32°，∠ AGF ＝
80°， FH 平分∠ EFG .
（1）求证： DC ∥ AB ；
（1）证明：∵ DC ∥ FP ，
∴∠3＝∠2.
又∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠1.
∴ DC ∥ AB .
（2）解：∵ DC ∥ FP ， DC ∥ AB ，
∴∠ EFP ＝∠ FED ＝32°， AB ∥ FP .
∴∠ GFP ＝∠ AGF ＝80°.
∴∠ EFG ＝∠ GFP ＋∠ EFP ＝80°＋32°＝112°.
∵ FH 平分∠ EFG ，
∴∠ GFH ＝ ∠ EFG ＝ ×112°＝56°.
∴∠ PFH ＝∠ GFP －∠ GFH ＝80°－56°＝24°.
（2）求∠ PFH 的度数.
探究：
（1）如图1，若 AB ∥ CD ，求证：∠ B ＋∠ D ＝∠ BED .
（2）如图2，若 AB ∥ CD ，则∠ B ，∠ D ，∠ BED 之间有什么
数量关系？请说明理由.
（3）如图3，若 AB ∥ CD ，则∠ B ，∠ D ，∠ BED 之间有什么
数量关系？请说明理由.
（4）如图4，若 AB ∥ CD ，则∠ E ＋∠ G 与∠ B ＋∠ F ＋∠ D 又
有何关系？请直接写出结论.
（5）如图5，若 AB ∥ CD ，则∠ E1＋∠ E2＋…＋∠ En ＝
.
图1 图2 图3 图4 图5
∠ B
＋∠ F1＋∠ F2＋…＋∠ Fn－1＋∠ D
【思路导航】过 AB ， CD 外的点作 AB （或 CD ）的平行线，把复杂的图形转化为基本图形.
（1）证明：如图1，过点 E 作 EF ∥ AB ，
图1
∴∠ BEF ＝∠ B .
∵ AB ∥ CD ，
∴ EF ∥ CD .
图1
∴∠ DEF ＝∠ D .
∴∠ B ＋∠ D ＝∠ BEF ＋∠ DEF ＝∠ BED .
（2）解：∠ B ＋∠ D ＋∠ BED ＝360°.理由如下：
如图2，过点 E 作 EF ∥ AB .
∴∠ BEF ＋∠ B ＝180°.
又∵ AB ∥ CD ，
∴ EF ∥ CD .
∴∠ D ＋∠ DEF ＝180°.
∴∠ B ＋∠ D ＋∠ BEF ＋∠ DEF ＝∠ B ＋∠ D ＋∠ BED ＝360°.
图2
（3）解：∠ D ＋∠ BED ＝∠ B . 理由如下：
如图3，过点 E 作 EF ∥ AB .
∴∠ B ＝∠ BEF .
∵ AB ∥ CD ，
∴ EF ∥ CD . ∴∠ D ＝∠ DEF .
∴∠ D ＋∠ BED ＝∠ DEF ＋∠ BED ＝∠ BEF ＝∠ B .
图3
（5）【解析】由规律可知，∠ E1＋∠ E2＋…＋∠ En ＝∠ B ＋
∠ F1＋∠ F2＋…＋∠ Fn－1＋∠ D . 故答案为∠ B ＋∠ F1＋∠ F2
＋…＋∠ Fn－1＋∠ D .
【点拨】解决此类问题时，可分别过除了 B ， D 外的每个拐角
的顶点作已知平行线的平行线，利用平行线的性质解题.
（4）解：∠ E ＋∠ G ＝∠ B ＋∠ F ＋∠ D .
如图，已知 AB ∥ CD . 试解决下列问题：
图1
（1）如图1，∠1＋∠2＝ ；
（2）如图2，∠1＋∠2＋∠3＝ ；
（3）如图3，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝ ；
180°
360°
540°
图2
图3
图4
（4）如图4，试探究：∠1＋∠2＋∠3＋…＋∠ n ＝ .
180°（ n－1）
【解析】（1）∵ AB ∥ CD ，∴∠1＋∠2＝180°.故答案为
180°.
（2）如图1，过点 E 作 EF ∥ AB . ∵ AB ∥ CD ，∴ AB ∥ CD ∥
EF . ∴∠1＋∠ AEF ＝180°，∠3＋∠ FEC ＝180°.又∵∠2＝
∠ FEC ＋∠ AEF ，∴∠1＋∠2＋∠3＝360°.故答案为360°.
图1
图2
（3）如图2，分别过点 E ， F 作 EG ∥ AB ， FH ∥ AB .
∵ AB ∥ CD ，∴ AB ∥ EG ∥ FH ∥ CD .
∴∠1＋∠ AEG ＝180°，
∠ GEF ＋∠ EFH ＝180°，∠ HFC ＋∠4＝180°.
又∵∠2＝∠ AEG ＋∠ GEF ，∠3＝∠ EFH ＋∠ HFC ，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝540°.故答案为540°.
（4）如图3，根据上述规律，作（ n －2）条辅助线，构造出
（ n －1）组同旁内角，运用（ n －1）次平行线的性质，即可得
到 n 个角的和是180°（ n －1），即∠1＋∠2＋∠3＋…＋∠ n
＝180°（ n －1）.故答案为180°（ n －1）.
图3
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第七章 平行线的证明
5 三角形内角和定理（第二课时）
数学 八年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
目录
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数学 八年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 三角形外角.
如图1，三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的
角，称为三角形的外角.
图1
图2
注：如图2，三角形每一个顶点处都有两个外角，它们是对顶
角，因此三角形共有六个外角，通常每一个顶点处取一个外角.
2. 三角形内角和定理的推论.
（1）推论1：三角形的一个外角等于和它 的
的和；
（2）推论2：三角形的一个外角大于任何一个和
的内角.
3. 由一个 或 直接推出的定理，叫做这个
基本事实或定理的推论.推论可以当作定理使用.
不相邻
两个
内角
它不相邻
基本事实
定理
数学 八年级上册 BS版
0 2
典例讲练
（1）若将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数
是 .
105°
【思路导航】根据题意求出∠2，利用三角形的外角的性质得
∠1＝60°＋∠2，从而得到结果.
【解析】∵∠2＝90°－45°＝45°，∠1＝60°＋∠2，∴∠1
＝60°＋45°＝105°.故答案为105°.
【点拨】利用三角形的外角定理求角的度数时，关键是要找准
要求的角是哪个三角形的外角.
（2）如图，直线 AB ， CD 被直线 BC 所截.若 AB ∥ CD ，∠ B ＝
45°，∠ D ＝35°，则∠1＝ .
【思路导航】根据平行线的性质以及三角形外角的性质计算
即可.
80°
【解析】∵ AB ∥ CD ，∠ B ＝45°，∴∠ C ＝∠ B ＝45°.又
∵∠ D ＝35°，∴∠1＝∠ C ＋∠ D ＝45°＋35°＝80°.故答
案为80°.
【点拨】在三角形中，求一个角时，不仅要用三角形内角、外
角的关系，还常结合角平分线、补（余）角、对顶角及平行线
的“三线八角”的关系来计算.
1. 如图，下列判断不正确的有 （填序号）.
①③
①∠ EFD 是△ BFC 的一个外角；
②∠ DFC 是△ BFC 的一个外角；
③∠ DCF 是△ BFC 的一个外角；
④∠ EFD ＋∠ FBC ＋∠ FCB ＝180°；
⑤∠ CDF ＝∠ A ＋∠ ABD .
2. 如图，把一副三角板按此方法叠放在一起，则∠α的度数
是 .
165°
（1）如图，已知∠ BDC ＝100°，∠ C ＝35°，∠ A ＝28°，
则∠ B 的度数是 .
【思路导航】延长 BD 或 CD ，根据三角形外角的性质计算即可.
37°
【解析】如图，延长 BD 交 AC 于点 E . ∵∠ BDC ＝∠ C ＋
∠ BEC ，∠ BEC ＝∠ A ＋∠ B ，∴∠ BDC ＝∠ A ＋∠ B ＋∠ C .
∵∠ BDC ＝100°，∠ A ＝28°，∠ C ＝35°，∴∠ B ＝100°
－28°－35°＝37°.故答案为37°.
【点拨】此题还可以连接 BC ，由三角形内角和定理求解.解决
不规则四边形中的角度问题时，一般作辅助线，构造三角形，
利用三角形内角和定理与外角性质解决问题.
（2）如图，在△ ABC 中，已知∠ BAC ＝90°， AD ⊥ BC 于点
D ，点 E 在线段 AD 上.求证：∠ BED ＞∠ C .
【思路导航】根据直角三角形的性质得到∠ BAD ＝∠ C ，再
根据三角形外角的性质得到∠ BED ＞∠ BAD ，等量代换后
即可得证.
证明：∵∠ BAC ＝90°，
∴∠ BAD ＋∠ DAC ＝90°.
∵ AD ⊥ BC ，∴∠ ADC ＝90°.
∴∠ C ＋∠ DAC ＝90°.
∴∠ BAD ＝∠ C .
∵∠ BED 是△ ABE 的外角，
∴∠ BED ＞∠ BAD .
∴∠ BED ＞∠ C .
【点拨】解决有关角的不等关系问题常常使用“三角形的一个
外角大于任何一个和它不相邻的内角”这一定理.
1. 如图，∠1，∠2，∠3，∠4恒满足的关系式是（ D ）
A. ∠1＋∠2＝∠3＋∠4
B. ∠1＋∠2＝∠4－∠3
C. ∠1＋∠4＝∠2＋∠3
D. ∠1＋∠4＝∠2－∠3
D
2. 如图，已知 CE 为△ ABC 的外角∠ ACD 的平分线， CE 交 BA
的延长线于点 E .
解：（1）∵∠ B ＝35°，∠ E ＝20°，∴∠ ECD ＝∠ B ＋∠ E
＝55°.
∵ CE 是△ ABC 的外角∠ ACD 的平分线，
∴∠ ACD ＝2∠ ECD ＝110°.
∴∠ BAC ＝∠ ACD －∠ B ＝75°.
（1）若∠ B ＝35°，∠ E ＝20°，求∠ BAC 的度数；
（2）∵ CE 为△ ABC 的外角∠ ACD 的平分线，
∴∠ ACE ＝∠ ECD .
∵∠ BAC 是△ EAC 的外角，
∴∠ BAC ＞∠ ACE .
∴∠ BAC ＞∠ ECD .
∵∠ ECD 是△ EBC 的外角，
∴∠ ECD ＞∠ B .
∴∠ BAC ＞∠ B .
（2）试判断∠ BAC 与∠ B 的大小关系.
如图，在△ ABC 中，已知点 E 在 AC 上，且∠ AEB ＝∠ ABC .
（1）如图1，作∠ BAC 的平分线 AD ，分别交 CB ， BE 于 D ， F
两点.求证：∠ EFD ＝∠ ADC ；
图1
（2）如图2，作△ ABC 的外角∠ BAG 的平分线 AD ，直线 AD 分
别交 CB ， BE 的延长线于 D ， F 两点.（1）中的结论是否仍成
立？为什么？
图2
【思路导航】（1）在△ AEF 和△ ABD 中，根据三角形外角定
理即可证得；（2）在△ AEF 和△ ABD 中，根据三角形外角定
理，结合已知条件即可解答.
（1）证明：∵ AD 平分∠ BAC ，
∴∠ BAD ＝∠ DAC .
∵∠ EFD ＝∠ DAC ＋∠ AEB ，∠ ADC ＝∠ ABC ＋∠ BAD ，且
∠ AEB ＝∠ ABC ，
∴∠ EFD ＝∠ ADC .
（2）解：（1）中的结论仍成立.理由如下：
∵ AD 平分∠ BAG ，∴∠ BAD ＝∠ GAD .
∵∠ FAE ＝∠ GAD ，∴∠ FAE ＝∠ BAD .
∵∠ EFD ＝∠ AEB －∠ FAE ，
∠ ADC ＝∠ ABC －∠ BAD ，
∴∠ EFD ＝∠ ADC .
【点拨】解答此题的关键是能灵活运用“三角形的一个外角等
于和它不相邻的两个内角的和”这个定理.
（1）探究1：如图1，在△ ABC 中，已知点 O 是∠ ABC 与
∠ ACB 的平分线 BO 和 CO 的交点，通过分析发现∠ BOC ＝90°＋ ∠ A ，请说明理由.
图2
解：（1）∵ BO 和 CO 分别是∠ ABC 和∠ ACB 的平分线，
∴∠1＝ ∠ ABC ，∠2＝ ∠ ACB .
∴∠1＋∠2＝ （∠ ABC ＋∠ ACB ）.
∵∠ ABC ＋∠ ACB ＝180°－∠ A ，
∴∠1＋∠2＝ （∠180°－∠ A ）＝90°－ ∠ A .
∴∠ BOC ＝180°－（∠1＋∠2）＝180°－
＝90°＋ ∠ A .
（2）探究2：如图2，已知点 O 是外角∠ DBC 与外角∠ ECB 的
平分线 BO 和 CO 的交点，则∠ BOC 与∠ A 有怎样的关系？请说
明理由.
图2
（2）∠ BOC ＝90°－ ∠ A . 理由如下：
由三角形的外角性质和角平分线的定义，得∠ OBC ＝ （∠ A
＋∠ ACB ），∠ OCB ＝ （∠ A ＋∠ ABC ）.在△ BOC 中，
∠ BOC ＝180°－∠ OBC －∠ OCB ＝180°－ （∠ A ＋∠ACB ）－ （∠ A ＋∠ ABC ）＝180°－ （∠ A ＋∠ ACB ＋∠ A ＋∠ ABC ）＝180°－ （∠ A ＋180°）＝90°－ ∠ A .
（3）探究3：如图3，已知点 O 是∠ ABC 的平分线 BO 与外
角∠ ACD 的平分线 CO 的交点，则∠ BOC 与∠ A 有怎样的数量关系？
图3
（3）∠ BOC ＝ ∠ A . 理由如下：
∵ BO 和 CO 分别是∠ ABC 和∠ ACD 的平分线，∴∠ OBD ＝ ∠ ABC ，∠ OCD ＝ ∠ ACD .
又∵∠ ACD 是△ ABC 的外角，
∴∠ OCD ＝ ∠ ACD ＝ （∠ A ＋∠ ABC ）＝ ∠ A ＋∠ OBD .
∵∠ OCD 是△ BOC 的外角，∴∠ BOC ＝∠ OCD －∠ OBD ＝ ∠ A ＋∠ OBD －∠ OBD ＝ ∠ A ，即∠ BOC ＝ ∠ A .
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第七章 平行线的证明
2 定义与命题（第一课时）
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典例讲练
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0 1
课前预习
1. 定义.
对名称和术语的含义加以 ，作出明确的 ，也
就是给出它们的定义.
2. 命题.
判断一件事情的 ，叫做命题.
描述
规定
句子
3. 命题的结构.
一般地，每个命题都由 和 两部分组成.条件
是 的事项，结论是由已知事项 的事项.命题
通常可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引
出的部分是 ，“那么”引出的部分是 .
4. 真命题和假命题.
正确的命题称为 ，不正确的命题称为 .
条件
结论
已知
推断出
条件
结论
真命题
假命题
5. 判断命题的真假.
要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具
备命题的 ，而不具有命题的 ，这种例子称
为反例.
条件
结论
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0 2
典例讲练
（1）下列选项中，属于定义的是（ D ）
A. 两点确定一条直线
B. 两直线平行，同位角相等
C. 过直线外一点作直线的平行线
D. 直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
【思路导航】按照定义的概念判断即可.
D
【解析】根据直线的性质可知，“两点确定一条直线”不是定
义，所以A选项不符合题意；根据平行线的性质可知，“两直
线平行，同位角相等”不是定义，所以B选项不符合题意；“过
直线外一点作直线的平行线”不是定义，所以C选项不符合题
意；“直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距
离”是定义.故选D.
【点拨】（1）定义的形式通常是“××是××”“××叫做
××”，并且定义是对名称和术语的含义加以描述，不是对其
性质的判断.
（2）下列选项中，不是命题的是（ D ）
A. 两直线平行，内错角相等
B. 如果 a ＋ b ＝0，那么 a ， b 互为相反数
C. 平行于同一条直线的两条直线互相平行
D. 过点 A 作射线 AC
【思路导航】判断一件事情的句子叫做命题，据此逐项判断即
可得答案.
D
【解析】A. 两直线平行，内错角相等是命题；B. 如果 a ＋ b ＝
0，那么 a ， b 互为相反数是命题；C. 平行于同一条直线的两条
直线互相平行是命题；D. 过点 A 作射线 AC ，没有结论，不是
命题.故选D.
【点拨】本题考查了命题的概念，命题包含条件和结论，一般
都能改成“如果……那么……”的句型.
1. 下列选项中，属于定义的是（ C ）
A. 两个锐角的度数和一定是90°
B. 同位角相等
C. 有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形
D. 对顶角相等
C
2. 下列选项中，是命题的是（ D ）
A. 明天可能是晴天
B. a ， b 这两条直线平行吗？
C. 过一点画已知直线的垂线
D. 直角三角形两锐角互补
D
（1）把下列命题改写为“如果……那么……”的形式，分别指
出命题的条件和结论，并判断命题的真假.
①两角对应相等的两个三角形全等；
②两角和其中一个角的对边对应相等的三角形全等.
【思路导航】根据命题的结构找出命题的条件和结论，再将命
题写为“如果……那么……”的形式，利用判断命题真假的方
法进行判断即可.
解：①如果两个三角形中有两个角对应相等，那么这两个三角
形全等.
条件：两个三角形中有两个角对应相等.
结论：这两个三角形全等.
这个命题是假命题.
②如果两个三角形中有两个角以及其中一个角所对的边对应相
等，那么这两个三角形全等.
条件：两个三角形中有两个角及其中一个角所对的边对应相等.
结论：这两个三角形全等.
这个命题是真命题.
【点拨】（1）要求指出某些精简命题的条件和结论时，可以在
保证命题原意不变的基础下将其进行改写，此时应适当补充一
些修饰成分，使语句通畅、完整.（2）举反例是说明命题是假
命题的常用方法.
（2）命题“若 ma2＞ na2，则 m ＞ n ”的逆命题是
.
【思路导航】交换命题的条件和结论得到的命题就是其逆命题.
【解析】“若 ma2＞ na2，则 m ＞ n ”的逆命题为“若 m ＞ n ，则
ma2＞ na2”.故答案为若 m ＞ n ，则 ma2＞ na2.
【点拨】本题考查了命题的逆命题，熟练掌握命题与逆命题的
关系是解题的关键.
若 m ＞ n ，
则 ma2＞ na2
1. 下列各句子是命题吗？若是，请把它改写成“如果……那
么……”的形式，并判断其是否正确.
（1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？
（2）两条相交的直线只有一个交点；
（3）绝对值大的数反而小；
（4）若两个数的和为正数，则这两个数中至少有一个是正数；
（5）0除以任何一个数都得0；
（6）若 a ＞0， b ＜0，且｜ a ｜＞｜ b ｜，则 a ＋ b ＝｜ b ｜－
｜ a ｜.
解：（1）不是命题.
（2）是命题.改写：如果两条直线相交，那么它们只有一个交
点.正确.
（3）是命题.改写：如果一个数的绝对值比另一个数的绝对值
大，那么绝对值大的数反而小.错误.
（4）是命题.改写：如果两个数的和为正数，那么这两个数中
至少有一个是正数.正确.
（5）是命题.改写：如果用0除以任何一个数，那么结果都得0.
错误.
（6）是命题.改写：如果 a ＞0， b ＜0，且｜ a ｜＞｜ b ｜，那
么 a ＋ b ＝｜ b ｜－｜ a ｜.错误.
2. 命题“若两个角互补，则这两个角必为一个锐角一个钝角”
的逆命题是 .
一个锐角和一个钝角互补
我们新定义一种三角形：两边长的平方和等于第三边长的平方
的4倍的三角形叫做常态三角形.例如：一个三角形的三边长分
别是5，6和8，因为62＋82＝4×52＝100，所以这个三角形是常
态三角形.
（1）若△ ABC 的三边长分别是2， 和4，则此三角形
常态三角形（填“是”或“不是”）；
（2）若Rt△ ABC 是常态三角形，则此三角形的三边长之比
为 （请按从小到大的顺序排列）；
是
∶ ∶
（3）如图，在Rt△ ABC 中，已知∠ ACB ＝90°， BC ＝6， D 为
AB 的中点，连接 CD ， CD ＝ AB . 若△ BCD 是常态三角形，求
△ ABC 的面积.
【思路导航】（1）直接利用新定义判断即可；（2）结合勾股
定理、新定义列方程，进而求出三边之比；（3）结合勾股定理
及新定义分类讨论，先求边长，再求面积.
（1）【解析】因为22＋42＝4×（ ）2＝20，所以△ ABC 是常
态三角形.故答案为是.
（2）【解析】因为Rt△ ABC 是常态三角形，所以可设两直角边
长为 a ， b ，斜边长为 c ，则 a2＋ b2＝ c2.设 a2＋ c2＝4 b2，则2 a2
＝3 b2.故 a ∶ b ＝ ∶ .设 a ＝ x ， b ＝ x ，则 c ＝ x .
所以此三角形的三边长之比为 ∶ ∶ .故答案为 ∶
∶ .
①当 CD2＋ BD2＝4 BC2时，解得 BD ＝ CD ＝6 .
则 AB ＝12 .
故 AC ＝ ＝ ＝6 ，
则△ ABC 的面积为 ×6×6 ＝18 ；
（3）解：由题意，得 AD ＝ BD ＝ CD .
由△ BCD 是常态三角形，分以下两种情况：
②当 CD2＋ BC2＝4 BD2或 BD2＋ BC2＝4 CD2时，
解得 BD ＝ CD ＝2 .则 AB ＝4 .
故 AC ＝ ＝ ＝2 ，
则△ ABC 的面积为 ×6×2 ＝6 .
综上所述，△ ABC 的面积为18 或6 .
【点拨】若涉及新定义问题，则一定要读懂题意，理解题干中
每一句话，掌握新定义的概念.
若对有理数 a ， b ， c ， d 定义一种新运算“ ”，规定：
＝ ad － bc .请你根据新定义解答下列问题：
（1）计算：
2 x －3y 4 x
x －5 2 x ＋3 y
解：（1）由题意，得
2 x －3 y 4 x
x －5 2 x ＋3 y
＝（2 x －3 y ）·（2 x ＋3 y ）－4 x （ x －5）
＝4 x2－9 y2－4 x2＋20 x
＝－9 y2＋20 x .
（2）当 x ＝ ， y ＝－ 时，求（1）中式子的值.
（2）当 x ＝ ， y ＝－ 时，
原式＝－9 y2＋20 x
＝－9× ＋20× ＝－9× ＋4
＝－4＋4
＝0.
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第七章 平行线的证明
5 三角形内角和定理（第一课时）
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0 1
课前预习
1. 三角形内角和定理.
三角形内角和等于 .
注：（1）三角形的内角和等于180°是一个共性结论，与三角
形的具体形状或种类没有关系，所有三角形的内角之和都等于
180°；（2）由三角形的内角和定理可知直角三角形的两锐角
互余.
180°
2. 三角形内角和定理的证明.
（1）（方法一）如图1，将三角形中的两个角剪下后，可以与
第三个角拼成一个平角（平角的度数是180°）；
（2）（方法二）构造平行线.如图2，构造 CE ∥ AB ；或如图
3，构造 PQ ∥ BC . 利用平行线的性质说明三角形的三个内角的
和等于180°.
图1
图2
图3
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0 2
典例讲练
（1）如图，在△ ABC 中，已知∠ C ＝90°，点 D 在 AC 上，且
DE ∥ AB . 若∠ CDE ＝160°，则∠ B 的度数为（ D ）
D
A. 40° B. 50°
C. 60° D. 70°
【思路导航】先利用平角的定义可得∠ ADE 的大小，再根据平
行线的性质求出∠ A ，然后由三角形内角和定理可得答案.
【解析】∵∠ CDE ＝160°，∴∠ ADE ＝180°－∠ CDE ＝
20°.∵ DE ∥ AB ，∴∠ A ＝∠ ADE ＝20°.又∵∠ C ＝
90°，∴∠ B ＝180°－∠ A －∠ C ＝180°－20°－90°＝
70°.故选D.
【点拨】在三角形问题中，涉及到求角度时，“三角形的内角
和等于180°”一般作为解决三角形问题的隐含条件.
（2）如图，在△ ABC 中，已知∠ A ＝46°， CE 是∠ ACB 的平
分线，点 B ， C ， D 在同一条直线上， FD ∥ CE ，∠ D ＝
42°，求∠ B 的度数.
【思路导航】先根据已知条件求得∠ BCE 的度数.再由 CE 是
∠ ACB 的平分线，求出∠ ACB 的度数，最后利用三角形的内角和是180°求出∠ B 的度数.
解：∵ FD ∥ CE ，∴∠ BCE ＝∠ D ＝42°.
∵ CE 是∠ ACB 的平分线，
∴∠ ACB ＝2∠ BCE ＝84°.
又∵∠ A ＝46°，
∴∠ B ＝180°－∠ ACB －∠ A ＝180°－84°－46°＝50°.
【点拨】三角形内角和定理是三角形中三个内角之间的数量关
系，求三角形的某个内角的度数时，若已知一个内角，则必须
根据条件再求出另一个内角，才能求出最后一个角，其中平行
线的性质能起到转化角的作用.
1. 在△ ABC 中，已知∠ B 是∠ A 的2倍，∠ C 比∠ A 大20°，则
∠ A 的度数为（ A ）
A. 40° B. 60° C. 80° D. 90°
A
2. 如图，在△ ABC 中，已知∠ A ＝∠1，∠2＝∠ B ，∠ B ＝
∠ ACB ，求∠ ACB 的度数.
解：设∠ A ＝∠1＝ x ，
则∠ ADC ＝180－∠ A －∠1＝180°－2 x .
∴∠2＝180°－∠ ADC ＝180°－[180°－（∠1＋∠ A ）]
＝2 x .
又∵∠2＝∠ B ，∠ B ＝∠ ACB ，
∴∠ B ＝∠ ACB ＝2 x .
∵∠ A ＋∠ B ＋∠ ACB ＝180°，
∴ x ＋2 x ＋2 x ＝180°，解得 x ＝36°.
∴∠ ACB ＝2 x ＝2×36°＝72°.
（1）如图，在△ ABC 中，已知∠ B ＝46°，∠ C ＝54°， AD
平分∠ BAC ，交 BC 于点 D ， DE ∥ AB ，交 AC 于点 E ，则
∠ ADE 的度数为 .
40°
【思路导航】利用三角形内角和定理，结合平行线的性质求解
即可.
【解析】∵∠ B ＝46°，∠ C ＝54°，∴∠ BAC ＝180°－46°
－54°＝80°.∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ BAD ＝ ∠ BAC ＝
40°.∵ DE ∥ AB ，∴∠ ADE ＝∠ BAD ＝40°.故答案为40°.
【点拨】对于求角的问题，需要综合运用已学定理和性质，如
三角形内角和定理、平行线的性质等，达到由已知推导未知的
目的.
（2）如图，将三角形纸片 ABC 沿 DE 折叠，使点 C 落在点C'处.
若EC'恰好与 BC 平行，且∠ C ＝80°，则∠ BDE ＝ .
【思路导航】由折叠的性质得到相等的角，再利用三角形内角
和定理计算即可.
130°
【解析】∵△ CED 沿 DE 折叠后得到△ C ' ED ，∴△ CED ≌
△ C ' ED . ∴∠ CED ＝∠ C ' ED . ∵ EC '∥ BC ，∴∠ AEC '＝∠ C ＝80°.∵∠ AEC '＋∠ C ' ED ＋∠ CED ＝180°，∴∠ CED ＝
50°.∴∠ CDE ＝180°－∠ C －∠ CED ＝180°－80°－50°
＝50°.∴∠ BDE ＝180°－∠ CDE ＝180°－50°＝130°.故
答案为130°.
【点拨】折叠前后的两个三角形全等，从而得到对应角相等，
再利用三角形内角和定理求解角度.熟练掌握折叠的性质及三角
形内角和定理是解决此类问题的关键.
1. 如图，在△ ABC 中，已知点 D 是 BC 上的点，∠ BAD ＝∠ B
＝40°，将△ ABD 沿着 AD 翻折得到△ AED ，则∠ CDE 的度数
为 .
20°
2. 如图，在△ ABC 中，已知点 D ， E ， F ， G 分别在边 BC ，
AC ， AC ， AB 上，且 DE ∥ BF ， FG ∥ BC ，∠ AGF ＝75°，
∠ ABF ＝45°.
解：（1）∵ FG ∥ BC ，∠ AGF ＝75°，
∴∠ ABC ＝∠ AGF ＝75°.
又∵∠ ABF ＝45°，
∴∠ CBF ＝∠ ABC －∠ ABF ＝75°－45°＝30°.
∵ DE ∥ BF ，∴∠ CDE ＝∠ CBF ＝30°.
∴∠ BDE ＝180°－∠ CDE ＝180°－30°＝150°.
（1）求∠ BDE 的度数；
（2）∵ DE ∥ BF ，∴∠ AFB ＝∠ AED .
∵∠ AFB ＝∠ CED ，∴∠ AED ＝∠ CED .
∴∠ AED ＋∠ CED ＝2∠ CED ＝180°.
∴∠ CED ＝90°.由（1），得∠ CDE ＝30°，
∴∠ C ＝180°－∠ CED －∠ CDE ＝180°－90°－30°
＝60°.
（2）若∠ AFB ＝∠ CED ，求∠ C 的度数.
在△ ABC 中，已知 AD 平分∠ BAC ，∠ B ＜∠ C .
（1）如图1，若 AE ⊥ BC 于点 E ，∠ B ＝50°，∠ C ＝70°，求
∠ DAE 的度数；
（2）如图2，若点 E 在 AD 上， EF ⊥ BC 于点 F ，试探究∠ DEF
与∠ B ，∠ C 的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，若点 E 在 AD 的延长线上， EF ⊥ BC 于点 F ，则
∠ DEF 与∠ B ，∠ C 的数量关系是 . .
∠ DEF ＝ （∠ C －∠B ）
图2
图1
图3
【思路导航】（1）根据三角形内角和定理、角平分线等分别求
出∠ CAD ，∠ CAE 的度数，即可解答；（2）过点 A 作 BC 的垂
线，与（1）同理，可求得∠ DEF ；（3）结合（1）（2）中的
结论，利用平行线的性质即可得出结论.
（1）解：∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ CAD ＝ ∠ BAC .
∵ AE ⊥ BC ，∴∠ CAE ＝90°－∠ C .
∴∠ DAE ＝∠ CAD －∠ CAE ＝ ∠ BAC －（90°－∠ C ）
＝ （180°－∠ B －∠ C ）－（90°－∠ C ）＝ ∠ C － ∠ B ＝ （∠ C －∠ B ）.
∵∠ B ＝50°，∠ C ＝70°，
∴∠ DAE ＝ ×（70°－50°）＝10°.
（2）解：∠ DEF ＝ （∠ C －∠ B ）.证明如下：
如图1，过点 A 作 AG ⊥ BC 于点 G .
∵ EF ⊥ BC ，∴ AG ∥ EF . ∴∠ DEF ＝∠ DAG .
由（1）可得，∠ DAG ＝ （∠ C －∠ B ）.
∴∠ DEF ＝ （∠ C －∠ B ）.
图1
图2
图2
（3）【解析】如图2，过点 A 作 AG ⊥ BC 于点 G . ∵ EF ⊥ BC ，
∴ AG ∥ EF . ∴∠ DAG ＝∠ DEF . 由（1），得∠ DAG ＝
（ ∠ C －∠ B ）.∴∠ DEF ＝ （∠ C －∠ B ）.故答案为
∠ DEF ＝ （∠ C －∠ B ）.
【点拨】在求角的关系的问题中，需要灵活运用三角形内角和
定理、角平分线、平行线的性质等，通过等量代换得到结论.解
题时需认真分析，避免思路混乱.
如图，在△ ABC 中，已知 AD 平分∠ BAC ，点 P 为线段 AD 上的
一点，过点 P 作 PE ⊥ AD 交直线 BC 于点 E .
（1）若∠ B ＝35°，∠ ACB ＝85°，求∠ E 的度数；
解：（1）∵∠ B ＝35°，∠ ACB ＝85°，
∴∠ BAC ＝180°－∠ B －∠ ACB ＝60°.
∵ AD 平分∠ BAC ，
∴∠ CAD ＝ ∠ BAC ＝30°.
∴∠ ADC ＝180°－∠ CAD －∠ ACD ＝65°.
∵ PE ⊥ AD ，∴∠ E ＝90°－∠ PDE ＝25°.
（2）试猜想∠ E 与∠ B ，∠ ACB 之间的数量关系，并证明你的
猜想.
（2）∠ E ＝ （∠ ACB －∠ B ）.
证明如下：
设∠ B ＝ x ，∠ ACB ＝ y .
∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ BAD ＝∠ CAD ＝ ∠ BAC .
∵∠ B ＋∠ ACB ＋∠ BAC ＝180°，
∴∠ BAC ＝180°－ x － y .∴∠ CAD ＝ （180°－ x － y ）.
∴∠ ADC ＝180°－∠ CAD －∠ ACD
＝180°－ （180°－ x － y ）－ y ＝90°＋ （ x － y ）.
∵ PE ⊥ AD ，∴∠ PDE ＋∠ E ＝90°.
∴∠ E ＝90°－ ＝ （ y － x ）
＝ （∠ ACB －∠ B ）.
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