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第三章 位置与坐标
2 平面直角坐标系（第一课时）
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课前预习
典例讲练
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0 1
课前预习
1. 平面直角坐标系的构成.
在平面内，两条 且有公共 的 组
成平面直角坐标系.通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位
置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴
叫做 轴或 ，铅直的数轴叫做 轴或
， x 轴与 y 轴统称为坐标轴，它们的公共原点 O 称为平面直
角坐标系的原点.
互相垂直
原点
数轴
x
横轴
y
纵
轴
2. 平面内点的坐标.
对于平面内任意一点 P ，过点 P 分别向 x 轴、 y 轴作垂线，垂足
在 x 轴、 y 轴上对应的数 a ， b 分别叫做点 P 的 、
，有序数对 叫做点 P 的坐标.
3. 象限.
在平面直角坐标系中，两条坐标轴把坐标平面分成了四部分.右
上方的部分叫做第 象限，其他三部分按逆时针方向依次
叫做第 象限、第 象限、第 象限.
横坐标
纵
坐标
（ a ， b ）
一
二
三
四
4. 点与坐标的对应关系.
在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一
个 实数对（即点的坐标）与它对应；反过来，对于任
意一个 实数对，平面上都有 的一点与它对应.
有序
有序
唯一
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0 2
典例讲练
点 A ， B ， C ， D 在平面直角坐标系中的位置如图所示.
（1）分别写出点 A ， B ， C ， D 的坐标；
（2）依次连接 A ， C ， D 三点得到一个封闭图形，判断此图形
的形状.
【思路导航】（1）根据点在坐标系中的位置写出坐标；（2）
顺次连接 A ， C ， D 三点可直接看出图形的形状.
（2）如图，连接 DC ， AD ， AC ，可得△ ACD 是直角三角形.
解：（1） A （3，2）， B （－3，4）， C （－4，－3）， D
（3，－3）.
【点拨】在确定的平面直角坐标系中，任意一点都有唯一的坐
标与之对应，可根据点的位置确定点的坐标，也可根据点的坐
标确定点的位置.
1. 写出下图中的多边形 ABCDEF 各个顶点的坐标.
A ：
B ：
C ：
D ：
E ：
F ：
（－4，4）
（－7，0）
（－4，－4）
（0，－4）
（3，0）
（0，4）
2. 已知四边形 ABCD 四个顶点的坐标分别是 A （0，0）， B
（7，0）， C （5，5）， D （2，7）.
（1）在平面直角坐标系内画出这个四边形；
（2）求这个四边形的面积.
解：（1）如图，四边形 ABCD 为所求作的图形.
（2）如图，过点 D 作 DE ⊥ x 轴于点 E ，过点 C 作 CF ⊥ x 轴于点 F ，则 S四边形 ABCD ＝ ×2×7＋ ×（5＋7）×3＋ ×2×5＝7＋18＋5＝30.
（1）在平面直角坐标系中，点 A （－2 024，2 024）在
第 象限.
【思路导航】根据各个象限内点的坐标特征进行判断即可.
二
【解析】因为－2 024＜0，2 024＞0，所以点 A 在第二象限.故
答案为二.
【点拨】平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应，第一
象限内的点的坐标符号为（＋，＋），第二象限内的点的坐标
符号为（－，＋），第三象限内的点的坐标符号为（－，
－），第四象限内的点的坐标符号为（＋，－）.
（2）已知点 P （ x ， y ）在第四象限，且点 P 到 x 轴和 y 轴的距
离分别为3和5，则点 P 的坐标为 .
【思路导航】根据第四象限内的点的坐标符号和点 P 到 x 轴、 y
轴的距离可得答案.
（5，－3）
【解析】因为点 P （ x ， y ）在第四象限，所以 x ＞0， y ＜0.又因为点 P 到 x 轴和 y 轴的距离分别为3，5，所以｜ x ｜＝5，｜y ｜＝3.所以 x ＝5， y ＝－3.所以点 P 的坐标为（5，－3）.故
答案为（5，－3）.
【点拨】点 P （ x ， y ）到 x 轴的距离为｜ y ｜，到 y 轴的距离
为｜ x ｜，到坐标原点的距离为 .
1. 如图，已知在平面直角坐标系中的一点 P 恰好被墨水遮住
了，则点 P 的坐标不可能是（ D ）
A. （－2，3）
B. （－3，2）
C. （－3，3）
D. （－2，－3）
D
2. （1）坐标平面内有一点 P ，它的横坐标与纵坐标互为相反
数，且与原点的距离是2，则点 P 的坐标为
；
（2）已知点 P 的坐标为（2－ a ，3 a ＋6），且点 P 到两坐标轴
的距离相等，则 a 的值为 .
（－ ， ）或
（ ，－ ）
－1或－4
在平面直角坐标系 xOy 中，点 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），若
x2－ x1＝ y2－ y1≠0，则称点 A 与点 B 互为“对角点”.例如：点
A （－1，3），点 B （2，6），因为2－（－1）＝6－3≠0，所
以点 A 与点 B 互为“对角点”.
（1）若点 A 的坐标是（4，－2），则在点 B1（2，0）， B2（－
1，－7）， B3（0，－6）中，点 A 的“对角点”为点
；
B2（－ 1，
－7）， B3（0，－6）
（2）若点 A （5，－3）的“对角点”点 B 在坐标轴上，求点 B
的坐标；
（3）若点 A （－ ，2 ）与点 B （2 m ，－ n ）互为“对角
点”，且 m ， n 互为相反数，求点 B 的坐标.
【思路导航】读懂新定义，根据新定义解题即可.
（1）【解析】因为2－4≠0－（－2），所以点 A 与点 B1（2，
0）不是“对角点”；因为－1－4＝－7－（－2）≠0，所以点
A 与点 B2（－1，－7）互为“对角点”；因为0－4＝－6－（－
2）≠0，所以点 A 与点 B3（0，－6）互为“对角点”.故答案为
B2（－1，－7）， B3（0，－6）.
②当点 B 在 y 轴上时，设 B （0， b ）.
则0－5＝ b －（－3）.解得 b ＝－8.所以点 B （0，－8）.
综上所述，点 B 的坐标为（8，0）或（0，－8）.
（2）解：因为点 B 是点 A （5，－3）的“对角点”，且点 B 在
坐标轴上，①当点 B 在 x 轴上时，设 B （ a ，0）.
则 a －5＝0－（－3）.解得 a ＝8.所以点 B （8，0）；
（3）解：由题意，得2 m －（－ ）＝－ n －2 ，
即2 m ＋ n ＝－3 .
因为 m ， n 互为相反数，所以 m ＋ n ＝0.
所以2 m ＋ n ＝ m ＋ n ＋ m ＝ m ＝－3 .
所以 m ＝－3 ， n ＝3 .
所以2 m ＝－6 ，－ n ＝－3 ，
所以点 B （－6 ，－3 ）.
【点拨】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的新定义，解
题的关键在于读懂新定义，利用新定义给出的公式找到规律，
解决问题.
1. 某公司举办了一场“健步走”活动，活动场地的简图如图所
示（路线：森林公园→玲珑塔→体育场→游乐园）.工作人员在
简图上标记玲珑塔的坐标为（－1，0），森林公园的坐标为
（－2，3），则终点游乐园的坐标是 .
（－2，－3）
2. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方
形.若学校 A 的坐标为（1，2）.解答以下问题：
（1）请在图中建立适当的平面直角坐标系，并写出图书馆 B 的
坐标；
（2）若体育馆的坐标为 C （－3，3），请在平面直角坐标系中
标出体育馆的位置，并顺次连接 A ， B ， C 三点，得到△ ABC ，求△ ABC 的面积.
答图
解：（1）建立平面直角坐标系如答图所示.
图书馆 B 的坐标为（－3，－2）.
答图
（2）体育馆 C 的位置、△ ABC 如答图所示.
观察可得，在△ ABC 中，边 BC 的长为5，边 BC 上的高为4，所以△ ABC 的面积为 ×5×4＝10.
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第三章 位置与坐标
1 确定位置
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0 1
课前预习
1. 在平面内，确定一个物体的位置一般需要 个数据.
2. 常用的确定位置的方法.
（1）行列定位法：如第2行第3列、第6排第5号等；
（2）方位角＋距离定位法：如北偏东30°方向3 km；
（3）经纬定位法：如北纬31°，东经103.4°；
（4）区域定位法：如学校在A1区；
（5）方格定位法：如体育馆的位置是（3，1）.
两
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0 2
典例讲练
小明家（点 O ）和学校（点 A ）所在地的简单地图如图所示.已
知 OA ＝2 km， OB ＝3.5 km， OP ＝4 km，点 C 为 OP 的中点.
回答下列问题：
（1）图中到小明家距离相同的是哪些地方？
（2）由图可知，公园在小明家东偏南30°方向2 km处.请用方
向与距离描述学校、商场、停车场相对于小明家的位置.
【思路导航】（1）由点 C 为 OP 的中点，可得出 OC 的长，比较点 A ， B ， C ， P 到点 O 的距离即可解答；（2）观察图形，根据方位角和距离进行描述.
解：（1）因为点 C 为 OP 的中点，所以 OC ＝2 km.
又因为 OA ＝2 km，
所以到小明家距离相同的是学校和公园.
（2）由图可知，学校在小明家东偏北45°方向2 km处，商场在小明家西偏北60°方向3.5 km处，停车场在小明家东偏南30°方向4 km处.
【点拨】在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据.用方位角和距离表示物体的位置时，一般方向在前，距离在后，二者缺一不可.
1. 下面不能确定物体具体位置的是（ B ）
A. 电影院放映厅第6排第6号
B. 好运花园2号楼
C. 北纬30°，东经103°
D. 公园南偏西55°方向3 km处
B
2. 如图，用方向和距离描述少年宫相对于小明家的位置，正确
的是（ D ）
A. 北偏东55°方向2 km处
B. 东北方向
C. 东偏北35°方向2 km处
D. 北偏东35°方向2 km处
D
如图，一只甲虫在5×5的方格（每个小方格的边长为1）上沿网
格线运动，它从点 A 出发，去看望点 B ， C ， D 处的其他甲虫.
规定：向上或向右走为正，向下或向左走为负.如果从点 A 到点
B 记为： A → B （＋1，＋4），从点 B 到点 A 记为： B → A （－
1，－4），括号内第一个数表示左右方向，第二个数表示上下
方向.
（1） A → C （ ，＋4）， B → C （ ，0）， C →
D （ ， ）；
＋3
＋2
＋1
－2
（2）若这只甲虫从点 A 处去点 P 处的爬行路线依次为（＋2，＋2），（＋2，－1），（－2，＋3），（－1，－2），请在图中标出点 P 的位置.
【思路导航】根据爬行路线确定爬行方向和距离，依次标记经
过的点即可.
（1）【解析】由题意，得 A → C （＋3，＋4）， B → C （＋2，
0）， C → D （＋1，－2）.
故答案为＋3，＋2，＋1，－2.
（2）解：路线如图所示， A → E → F → G → P . 点 P 即为所
求作.
【点拨】利用有序实数对确定点的位置时，首先要确定平面内
前、后的序号，然后才能按题中的约定写出平面内点的位置的
有序实数对.“有序”指：若 a ≠ b ，则（ a ， b ）与（ b ， a ）
表示的点的位置不同.
如图， A 表示三经路与一纬路的十字路口， B 表示一经路与三纬
路的十字路口.如果用（3，1）→（3，2）→（3，3）→（2，
3）→（1，3）表示一条由 A 到 B 的路径，那么用同样的方式写
出另一条由 A 到 B 的路径：（3，1）→（ ， ）→
（ ， ）→（ ， ）→（1，3）.
（答案不唯一）
2
1
1
1
1
2
某舰艇的雷达显示屏如图所示，图中目标 A 记为 A （3，30），
表示 AO ＝3，∠ AOM ＝30°，其中点 O 为圆心.
请解答下列问题：
（1）在图中标出目标 B （6，15）， C （8，105）；
（2）求 B （6，15）， C （8，105）两个目标之间的距离.
【思路导航】（1）根据题意找出相应的长度与角度即可得到目
标 B ， C 的位置；（2）求出 OB ， OC 的长，∠ BOC ＝90°，然后根据勾股定理列式计算即可.
解：（1）目标 B ， C 如图所示：
（2）因为 B （6，15）， C （8，105），
所以 OB ＝6， OC ＝8，∠ BOC ＝90°.
在Rt△ BOC 中，由勾股定理，得
BC ＝ ＝ ＝10.
所以 B ， C 两个目标之间的距离为10.
【点拨】本题考查了用有序实数对确定位置和勾股定理的应
用，读懂题目信息，理解有序实数对的两个量的实际意义是解
题的关键.
1. 小米同学乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得
到的结果如图所示，每相邻两个圆之间的距离是1km（小圆半
径是1km）.若小艇 C 相对于游船的位置可表示为（270°，
1），则描述图中另外两艘小艇 A ， B 的位置，正确的是
（ D ）
D
A. 小艇 A （30°，3），小艇 B （60°，2）
B. 小艇 A （30°，3），小艇 B （120°，2）
C. 小艇 A （120°，3），小艇 B （150°，2）
D. 小艇 A （120°，3），小艇 B （210°，2）
2. 如图1，将射线 OX 按逆时针方向旋转β°，得到射线 OY ，如
果点 P 为射线 OY 上的一点，且 OP ＝ a ，那么我们规定用（ a ，
β）表示点 P 在平面内的位置，并记为 P （ a ，β）.例如，在
图2中，如果 OM ＝8，∠ XOM ＝110°，那么点 M 在平面内的
位置记为 M （8，110）.根据上面的信息，解答下列问题：
（1）如图3，如果点 N 在平面内的位置为 N （6，30），那么
ON ＝ ，∠ XON ＝ ；
（2）点 A ， B 在平面内的位置分别记为 A （4，30）， B （4，
90），请画出图形；
6
30°
（3）在（2）中， AB ＝4.若以 AB 为一边长在平面内作等边三
角形 ABC ，试用上述记法表示出另一个顶点 C （不与点 O 重
合）.
图1
图2
图3
（2）解：画出图形如图所示.
（1）【解析】根据点 N 在平面内的位置为 N （6，30）可知，
ON ＝6，∠ XON ＝30°.故答案为6，30°.
（3）解：如图，连接 AB ，过点 O 作 OD ⊥ AB 于点 D . 延长 OD
至点 C ，使 CD ＝ OD .
由作图，得△ ABO ，△ ABC 为全等的等边三角形.
由题意，得∠ AOX ＝30°，∠ AOB ＝90°－30°＝60°.
在△ ABO 中，由“三线合一”，得
∠ AOD ＝ ∠ AOB ＝30°， AD ＝ AB ＝2.
在Rt△ DOA 中，由勾股定理，得
OD ＝ ＝ ＝2 .
所以 OC ＝4 .所以点 C 表示为（4 ，60）.
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第三章 位置与坐标
回顾与思考
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要点回顾
典例讲练
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CONTENTS
1. 确定位置的方法.
行列定位法、方位角＋距离定位法、经纬定位法、区域定位
法、方格定位法等.
2. 平面内点的坐标.
对于平面内任意一点 P ，过点 P 分别向 x 轴、 y 轴作垂线，垂足
在 x 轴、 y 轴上对应的数 a ， b 分别叫做点 P 的 、
，有序数对 叫做点 P 的坐标.
横坐标
纵
坐标
（ a ， b ）
3. 象限.
在平面直角坐标系中，两条坐标轴把坐标平面分成了四部分.右
上方的部分叫做第 象限，其他三部分按逆时针方向依次
叫做第 象限、第 象限、第 象限.
一
二
三
四
4. 坐标特征.
（1）象限中点的坐标特征：
①第一象限内点的坐标符号为 ；②第二象限内
点的坐标符号为 ；③第三象限内点的坐标符号
为 ；④第四象限内点的坐标符号为 .
（2）坐标轴上点的坐标特征：
① x 轴上的点可记作 ；
② y 轴上的点可记作 .
（＋，＋）
（－，＋）
（－，－）
（＋，
－）
（ a ，0）
（0， b ）
（3）平行于坐标轴的直线上点的坐标特征：
①若一条直线平行于 x 轴，则这条直线上任意两点的纵坐标
相同；
②若一条直线平行于 y 轴，则这条直线上任意两点的横坐标
相同.
（4）两坐标轴的角平分线上点的坐标特征：
①若点 P （ x ， y ）在第一、三象限的角平分线上，则 x
＝ ；
②若点 P （ x ， y ）在第二、四象限的角平分线上，则 x ＝
或（ x ＋ y ＝ ）.
y
－
y
0
（5）对称点的坐标特征：
①两点关于 x 轴对称，横坐标相同，纵坐标 ；②
两点关于 y 轴对称，横坐标 ，纵坐标 ；
③两点关于原点对称，横坐标 ，纵坐标
.
5. 点到坐标轴、原点的距离.
（1）点 P （ x ， y ）到 x 轴的距离为｜ y ｜；
（2）点 P （ x ， y ）到 y 轴的距离为｜ x ｜；
（3）点 P （ x ， y ）到原点的距离为 .
互为相反数
互为相反数
相同
互为相反数
互为
相反数
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0 2
典例讲练
要点一 确定位置
（1）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举
行，下列能具体表示杭州市具体位置的是（ B ）
B
A. 郑州东南
B. 东经120°12'，北纬30°16'
C. 东经120°12'
D. 北纬30°16'
【思路导航】根据“确定一个位置需要两个数据”对各选项分
析判断即可.
【解析】在平面内，要用两个数据才能表示一个物体的位
置，纵观各选项，只有东经120°12'，北纬30°16'能确定物
体的位置.
【点拨】本题考查了确定位置的方法，理解在平面内，要用两
个数据才能表示一个物体的位置是解题的关键.
（2）某校为了保障学生在艺术节表演的整体效果，在操场中标
记了几个关键的位置，利用平面直角坐标系画出了关键位置的
分布图（如图所示）.若这个平面直角坐标系分别以正东、正北
方向为 x 轴、 y 轴的正方向，表示点 A 的坐标为（1，－1），表
示点 B 的坐标为（3，2），则表示其他位置的点的坐标正确的
是（ B ）
B
A. C （－1，0） B. D （－3，1）
C. E （－2，－5） D. F （5，2）
【思路导航】根据已知点作出平面直角坐标系，即可得出其他
各点的坐标.
【解析】根据点 A 的坐标为（1，－1），点 B 的坐标为（3，
2），可作平面直角坐标系（如图所示）.则 C （0，0），
D （－3，1）， E （－5，－2）， F （5，－2）.故选B.
【点拨】此题主要考查由坐标确定位置，解决此类问题的方
法一般是根据已知点的坐标，确定坐标原点，建立平面直角
坐标系.
1. 某气象台为了预报台风，首先需要确定台风中心的位置，则
下列说法能确定台风中心位置的是（ D ）
A. 北纬20.6°
B. 距气象台500 n mile
C. 海南附近
D. 北纬20.6°，东经113.9°
D
2. 一个象棋棋盘的一部分如图所示，若“将”位于点（0，
0），“车”位于点（－4，1），则“马”位于点 .
【解析】根据题意，以“将”（0，0）作为原点建立平面直角
坐标系，则“马”位于（3，3）.故答案为（3，3）.
（3，
3）
要点二 位置与坐标的关系
（1）已知点 A （2，2 m ＋6）在 x 轴上，点 B （4－ n ，3）
在 y 轴上，则点 C （ n ， m ）位于（ D ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【思路导航】根据 x 轴上的点的纵坐标为0； y 轴上的点的横坐
标为0，分别求出 m ， n 的值，再判断点 C 所在的象限即可.
D
【解析】因为点 A （2，2 m ＋6）在 x 轴上，点 B （4－ n ，3）在
y 轴上，所以2 m ＋6＝0，4－ n ＝0.解得 m ＝－3， n ＝4.所以点
C （4，－3）在第四象限.故选D.
【点拨】本题考查了坐标轴上点的坐标及各象限内点的坐标的
符号特征.四个象限中点的坐标符号特点分别是第一象限（＋，
＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限
（＋，－）.在 x 轴上的点的纵坐标为0，在 y 轴上的点的横坐标
为0.
（2）若点 A 的坐标是（2，－1）， AB ＝4，且 AB ∥ y 轴，则点
B 的坐标为 .
【思路导航】根据平行于 y 轴的直线上的点的横坐标相同，可得
到点 B 的横坐标，再结合 AB ＝4，即可得到点 B 的坐标.
（2，3）或（2，－5）
【解析】因为点 A 的坐标是（2，－1）， AB ＝4，且 AB ∥ y
轴，所以点 B 的横坐标是2，纵坐标是－1＋4＝3或－1－4＝
－5，即点 B 的坐标为（2，3）或（2，－5）.故答案为（2，3）或（2，－5）.
【点拨】本题考查了坐标与图形的性质，解答本题的关键是明
确“平行于 y 轴的直线上的点，横坐标相同”.
已知点 M （5＋ a ， a －3）在第二、四象限的角平分线上，则 a
的值是（ C ）
A. 1 B. 2 C. －1 D. －2
C
要点三 轴对称与坐标的关系
如图，已知△ ABC 中三个顶点的坐标分别为 A （1，1）， B
（4，2）， C （3，4）.
（1）画出△ ABC 关于 x 轴对称的△ A1 B1 C1，并写出点 A1， B1，
C1的坐标；
（2）求△ ABC 的面积.
【思路导航】（1）根据题意画出图形，写出坐标即可；（2）
利用割补法求面积.
解：（1）如图，△ A1 B1 C1即为所求作图形.
由图可得，点 A1（1，－1）， B1（4，－2）， C1（3，－4）.
（2） S△ ABC ＝3×3－ ×2×3－ ×2×1－ ×1×3＝9－3－1－
1.5＝3.5.
【点拨】点关于 x 轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数；点关于 y 轴对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数.涉及平面直角坐标系中图形的面积问题时，一般采用割补法求面积.
已知点 A （ m ，2）和 B （3， n ）关于 y 轴对称，则（ m ＋ n ）
2023的值为（ B ）
A. 52 025 B. －1
C. 1 D. （－5）2025
B
要点四 坐标与图形
如图，在平面直角坐标系中，已知△ ABC 各顶点的坐标分
别为 A （0，2）， B （3，0）， C （3，4）.且点 P 在第二象
限，点 P 的坐标为 ，连接 AP ， OP .
（1）求△ ABC 的面积；
（2）用含 m 的式子表示四边形 ABOP 的面积；
（3）若四边形 ABOP 的面积与△ ABC 的面积相等，求 m 的值.
【思路导航】（1）直接由三角形的面积公式求解；（2）根据
点 P 的坐标，将四边形 ABOP 的面积表示成△ AOP 和△ AOB 的
面积和；（3）根据前两问列方程解答.
解：（1）如图，过点 A 作 BC 边上的高 AH .
因为 A （0，2）， B （3，0）， C （3，4），所以 BC ＝4， AH
＝3.
所以 S△ ABC ＝ BC · AH ＝ ×4×3＝6.
（2）因为点 P 在第二象限，所以 m ＜0.
所以 S四边形 ABOP ＝ S△ AOB ＋ S△ AOP
＝ ×3×2＋ ×2×（－ m ）
＝3－ m .
故四边形 ABOP 的面积为3－ m .
（3）当四边形 ABOP 的面积与△ ABC 的面积相等时，3－ m ＝
6，解得 m ＝－3.
【点拨】对于平面直角坐标系中求图形面积问题，多边形可割
补为三角形、长方形后求得.求三角形面积时，若三角形有一边
与坐标轴平行，可直接运用面积公式；若三角形各边均不与坐
标轴平行，常通过割补法求解.
如图，已知点 A 在 x 轴的正半轴上，坐标为（4，0），点 B 在 y
轴的正半轴上，且 PA ＝ PB ，点 P 是∠ AOB 的平分线上的点，
且横坐标为3，求点 B 的坐标.
解：如答图，连接 OP ，过点 P 作 PC ⊥ OA 于点 C ， PD ⊥ OB 于
点 D .
由已知条件可得， OC ＝3， OA ＝4.
因为点 P 是∠ AOB 的平分线上的点，
所以∠ AOP ＝∠ BOP ＝45°， PC ＝ PD .
所以 PC ＝ PD ＝ OC ＝3.
又因为 PA ＝ PB ，
所以Rt△ DBP ≌Rt△ CAP （HL）.
所以 DB ＝ CA .
答图
因为 CA ＝ OA － OC ＝1，
所以 OB ＝ OD － BD ＝2.
所以点 B （0，2）.
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第三章 位置与坐标
2 平面直角坐标系（第二课时）
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0 1
课前预习
1. 坐标轴上点的坐标特征.
坐标轴上的点不属于任何一个象限， x 轴上的点 为
0，因此 x 轴上的点可记作 ； y 轴上的点
为0，因此 y 轴上的点可记作 .
纵坐标
（ a ，0）
横坐
标
（0， b ）
2. 平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征.
（1）若一条直线平行于 x 轴，则这条直线上的所有点的
相同；
（2）若一条直线平行于 y 轴，则这条直线上的所有点的
相同.
纵坐
标
横坐
标
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0 2
典例讲练
已知点 A （－3，2 m －4）在 x 轴上，则 m ＝ ；点 B （ n ＋
5，4）在 y 轴上，则 n ＝ .点 C （ n ， m ）到 x 轴的距离
是 ，到 y 轴距离是 .
2
－5
2
5
【思路导航】根据 x 轴上的点的纵坐标为0， y 轴上的点的横坐
标为0，分别求出 m ， n 的值，即可得出点 C （ n ， m ）的坐
标，再根据（ n ， m ）到 x 轴的距离是｜ m ｜，到 y 轴的距离
是｜ n ｜，即可解答.
【解析】因为点 A （－3，2 m －4）在 x 轴上，点 B （ n ＋5，4）
在 y 轴上，所以2 m －4＝0， n ＋5＝0.解得 m ＝2， n ＝－5.所以
点 C 的坐标为（－5，2）.所以点 C 到 x 轴的距离是2，到 y 轴的
距离是5.故答案为2，－5，2，5.
【点拨】熟记： x 轴上的点的纵坐标为0， y 轴上的点的横坐标
为0；点（ a ， b ）到 x 轴的距离等于｜ b ｜，到 y 轴的距离等
于｜ a ｜.当理不清其中的关系时，可作图加深理解.
1. 在平面直角坐标系中，点 M （ m －3， m ＋1）在 x 轴上，则
点 M 的坐标为 .
2. 已知点 P （ a －1， a ＋2）在 y 轴上，则点 Q （－ a ， a －2）
在第 象限.
（－4，0）
三
已知点 M （3 a －8， a －1），分别根据下列条件求点 M 的
坐标：
（1）点 M 在 x 轴上；
（2）点 M 在第二、四象限的角平分线上；
（3）点 N 的坐标为（1，6），且直线 MN ∥ y 轴.
【思路导航】（1）根据在 x 轴上的点的纵坐标为0，列式计算即
可；（2）根据第二、四象限的角平分线上点的横坐标与纵坐标
互为相反数，列式计算即可；（3）根据平行于 y 轴的直线上点
的横坐标相同，列式求出 a 的值即可求解.
解：（1）因为点 M （3 a －8， a －1）在 x 轴上，
所以 a －1＝0.所以 a ＝1.所以3 a －8＝－5.
所以点 M 的坐标为（－5，0）.
（2）因为点 M 在第二、四象限的角平分线上，
所以3 a －8＋ a －1＝0，解得 a ＝ .
所以3 a －8＝3× －8＝－ ， a －1＝ －1＝ .
所以点 M 的坐标为 .
（3）因为直线 MN ∥ y 轴，
所以3 a －8＝1，解得 a ＝3.
所以 a －1＝3－1＝2.
所以点 M 的坐标为（1，2）.
【点拨】在理解的基础上熟记：（1） x 轴上的点纵坐标为0； y
轴上的点横坐标为0.（2）平行于 x 轴的直线上的点，纵坐标相
等；平行于 y 轴的直线上的点，横坐标相等.（3）第一、三象限角平分线上的点，横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点，横、纵坐标互为相反数.
1. 在平面直角坐标系中，已知点 M 的坐标为（4 a －8， a ＋
3），点 N 的坐标为（3，－6）.若直线 MN 与 x 轴平行，则点 M
的坐标为 .
2. 已知点 A （ a －1，－2）， B （－3， b ＋1）.
（－44，－6）
（1）当直线 AB ∥ y 轴时， a ＝ ， b ≠ ；
（2）当点 A 和点 B 在第一、三象限的角平分线上时，求 a ，
b 的值.
－2
－3
（1）【解析】因为直线 AB ∥ y 轴，所以点 A 与点 B 的横坐标相
同，纵坐标不同.所以 a －1＝－3，－2≠ b ＋1.所以 a ＝－2， b
≠－3.故答案为－2，－3.
（2）解：因为 A ， B 两点在第一、三象限的角平分线上，
所以 a －1＝－2， b ＋1＝－3.
所以 a ＝－1， b ＝－4.
如图所示，在平面直角坐标系中，已知点 A ， B 的坐标分别为 A
（ a ，0）， B （ b ，0），且｜ a ＋1｜＋ ＝0，点 C 的坐
标为（0，3）.
（2）若点 M 在 x 轴上，且 S△ ACM ＝ S△ ABC ，试求点 M 的坐标.
【思路导航】（1）根据绝对值、二次根式的非负性求出 a ， b
的值，从而可得 S△ ABC 的值；（2）设出点 M 的坐标，根据两个
三角形的面积关系可求得 AM 的长，从而可得点 M 的坐标.
（1）直接写出 a ， b 及 S△ ABC 的值；
解：（1）因为｜ a ＋1｜＋ ＝0，且｜ a ＋1｜≥0，
≥0，
所以 a ＋1＝0， b －5＝0.所以 a ＝－1， b ＝5.
所以点 A （－1，0），点 B （5，0）.
又因为点 C （0，3），所以 AB ＝｜－1－5｜＝6， OC ＝3.
所以 S△ ABC ＝ AB · OC ＝ ×6×3＝9.
（2）设点 M 的坐标为（ x ，0），
则 AM ＝｜ x －（－1）｜＝｜ x ＋1｜.
又因为 S△ ACM ＝ S△ ABC ，
所以 AM · OC ＝ ×9，即 AM ×3＝3.
所以 AM ＝2.所以｜ x ＋1｜＝2，即 x ＋1＝±2，
解得 x ＝1或 x ＝－3.
故点 M 的坐标为（1，0）或（－3，0）.
【点拨】本题考查了坐标与图形的性质、绝对值及二次根式的
非负性以及三角形的面积公式，根据绝对值、二次根式的非负
性求出点的坐标是关键.
如图，已知△ ABC 三个顶点的坐标分别是 A （1，0）， B （－
3，0）， C （－2，5）.
（1）求△ ABC 的面积；
（2）已知点 P （0， m ）在 y 轴上，试用含 m 的代数式表示
△ ABP 的面积；
（3）在（2）的条件下，当点 P 在 y 轴上什么位置时，△ ABP 的
面积等于△ ABC 面积的一半？
解：（1）因为 A （1，0）， B （－3，0）， C （－2，5），
所以 AB ＝1－（－3）＝4，点 C 到 AB 的距离为5.
所以 S△ ABC ＝ ×4×5＝10.
（2）当 m ＞0，即点 P 在 y 轴的正半轴上时， S△ ABP ＝ ×4 m ＝
2 m ；
当 m ＜0，即点 P 在 y 轴的负半轴上时， S△ ABP ＝ ×4×（－
m ）＝－2 m .
（3）由题意，得2 m ＝ ×10，解得 m ＝ ；
或－2 m ＝ ×10，解得 m ＝－ .
所以当点 P 在 y 轴上的 或 位置时，△ ABP 的面积
等于△ ABC 面积的一半.
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第三章 位置与坐标
3 轴对称与坐标变化
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课前预习
典例讲练
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0 1
课前预习
1. 对称点的坐标特征.
（1）关于 x 轴对称的两个点的坐标，横坐标 ，纵坐
标 ；
（2）关于 y 轴对称的两个点的坐标，纵坐标 ，横坐
标 ；
（3）关于原点对称的两个点的坐标，横坐标、纵坐标都互为相
反数.
相同
互为相反数
相同
互为相反数
2. 图形的对称.
（1）将原图形上各点的横坐标不变，纵坐标分别乘－1，所得
的图形与原图形关于 x 轴对称；
（2）将原图形上各点的纵坐标不变，横坐标分别乘－1，所得
的图形与原图形关于 y 轴对称.
3. 在平面直角坐标系中画关于坐标轴对称的图形的一般步骤.
（1）找：找到原图形上的关键点；
（2）描：根据点的对称方式，描出关键点的对称点；
（3）连：按照原图形的形状依次连接各对称点，即可得到原图
形关于坐标轴对称的图形.
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0 2
典例讲练
（1）如图，在该平面直角坐标系中顺次连接下列各点，并画出
图形：
（－5，2），（－1，4），（－5，6），（－3，4），（－5，2）.
①不改变这些点的纵坐标，将它们的横坐标分别乘－1，写出新
的点的坐标；
②在同一平面直角坐标系中，描出这些新点，并顺次连接起
来；
③新图形与原图形有什么关系？
【思路导航】①横坐标乘－1，即可得出新的点的坐标的横坐
标，进而得出坐标；②由①得出的坐标，先在平面直角坐标系
中描出，再依次连接即可；③通过观察图形即可发现新图形与
原图形的关系.
解：描出各点、画出图形如图所示.
①不改变这些点的纵坐标，将它们的横坐标分别乘－1，新的点
的坐标分别为（5，2），（1，4），（5，6），（3，4），
（5，2）.
②在同一平面直角坐标系中描出这些新点，并顺次连接，得到
的图形如图所示.
③新图形与原图形关于 y 轴对称.
【点拨】本题综合考查了平面直角坐标系的知识和轴对称图形
的性质.正确得出对应点的坐标是解题的关键.
（2）已知一个点的坐标为（－3，5），则该点关于 x 轴对称的
点的坐标为 ，关于 y 轴对称的点的坐标
为 ，关于原点对称的点的坐标为 .
【思路导航】根据关于 x 轴、关于 y 轴、关于原点的对称点的坐
标变化特征解答即可.
（－3，－5）
（3，5）
（3，－5）
【解析】点（－3，5）关于 x 轴对称的点的坐标为（－3，－
5）；关于 y 轴对称的点的坐标为（3，5）；关于原点对称的点
的坐标为（3，－5）.故答案为（－3，－5），（3，5），
（3，－5）.
【点拨】平面直角坐标系中对称点的坐标特征可以简记如下：
关于 x 轴对称，横不变，纵相反；关于 y 轴对称，纵不变，横相
反；关于原点对称，横、纵都相反.注意：要多画图，在理解的
基础上记忆.
1. 在平面直角坐标系中，若将点 A （1，2）的横坐标乘－1，纵
坐标乘－1得到点A'，则点 A 与点A'的关系是（ C ）
A. 关于 x 轴对称
B. 关于 y 轴对称
C. 关于原点对称
D. 将点 A 向 x 轴负方向平移1个单位长度得到点 A '
C
2. （1）已知点 A 的坐标为（－8，3），则点 A 关于 x 轴和 y 轴
对称的点的坐标分别为 和 ；
（2）已知点 A 的坐标为（ m ， n ），它关于 x 轴对称的点为
A1，关于 y 轴对称的点为 A2.若点 A2的坐标是（－4，9），则点
A1的坐标为 .
（－8，－3）
（8，3）
（4，－9）
如图，在平面直角坐标系中，已知△ ABC 的三个顶点的坐标分
别是 A （2，－1）， B （1，－2）， C （3，－3）.
（1）请画出与△ ABC 关于 y 轴对称的△ A1 B1 C1，并写出点 C1的
坐标；
（2）在（1）的条件下，画出与△ A1 B1 C1关于直线 l 对称的
△ A2 B2 C2；
（3）在（2）的条件下，若点 P1（ m ， n ）在△ A1 B1 C1的内部，则点 P1在△ A2 B2 C2中对应点 P2的坐标是 .
（ m ，2－
n ）
【思路导航】（1）作出△ ABC 各顶点关于 y 轴的对称点，再顺
次连接即可；（2）作出△ A1 B1 C1各顶点关于直线 y ＝1的对称
点，再顺次连接即可；（3）关于直线 y ＝1对称的点，横坐标相同，纵坐标之和为2，由此即可求得点 P2的坐标.
（1）解：如图，△ A1 B1 C1即为所求作的图形，
点 C1的坐标为（－3，－3）.
（3）【解析】由题意，得点 P1与点 P2关于直线 y ＝1对称.因为
点 P1（ m ， n ），所以点 P2（ m ，2－ n ）.故答案为（ m ，2－
n ）.
【点拨】作一个图形关于坐标轴的对称图形可根据对称图形的
性质作图，也可以找到关键点关于该坐标轴对称的点，依次描
出并连接，即可得到所求作图形.
（2）解：如图，△ A2 B2 C2即为所求作的图形.
1. （1）点 A （2，－3）关于 y 轴对称的点的坐标是
；
（2）若直线 l 过点（1，0），且与 x 轴垂直，则点 B （－1，2）
关于直线 l 对称的点的坐标是 ，点 C （ m ， n ）关
于直线 l 对称的点的坐标是 .
2. 已知点 M （2 a ＋ b ＋4，－ a ＋2 b ）和点 N （4 a －3 b ， a －
b ）关于直线 x ＝ a 对称，求 a ＋ b 的值.
（－2，
－3）
（3，2）
（2－ m ， n ）
解：因为点 M （2 a ＋ b ＋4，－ a ＋2 b ）和点 N （4 a －3 b ， a － b ）关于直线 x ＝ a 对称，
所以2 a ＋ b ＋4＋4 a －3 b ＝2 a ，－ a ＋2 b ＝ a － b ，
即4 a －2 b ＋4＝0，3 b ＝2 a .
所以4 a －2 b ＋4＝6 b －2 b ＋4＝4 b ＋4＝0.
所以 b ＝－1.所以 a ＝－ .
所以 a ＋ b ＝－ －1＝－ .
如图，在3×3的正方形网格中有 A ， B ， C ， D 四个格点，以其
中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴（水平线为横轴），
建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐
标轴对称.
（1）原点是点 （填字母 A ， B ， C 或 D ）；
（2）若点 P 在网格内的坐标轴上，且与 A ， B ， C ， D 四个格
点中的两点能构成面积为1的等腰直角三角形，写出点 P 所有可
能的坐标（不包括 A ， B ， C ， D 四点）.
【思路导航】（1）以每个点为原点，确定其余三个点的坐标，
找出符合条件的点即可；（2）根据等腰直角三角形的特点以及
点 P 在坐标轴上，结合图中的点，找到符合条件的点 P ，再写出
坐标即可.
B
（2）解：符合题意的点 P 的位置如图所示.
根据图形可知，点 P 的坐标为（－2，0）或（0，－2）.
（1）【解析】当以点 B 为原点时， A （－1，－1）， C （1，－1），则点 A 和点 C 关于 y 轴对称.故答案为 B .
【点拨】（1）对于直角坐标系中的问题，若未给出直角坐标
系，确定原点及坐标轴是关键.（2）对于存在多种可能性的图
形问题，需要养成用铅笔在图中多次尝试的好习惯.
如图，已知直线 AB 与 x 轴， y 轴分别相交于点 A （6，0）， B
（0，8），点 M 是线段 OB 上一点.若将△ ABM 沿 AM 折叠，则
点 B 恰好落在 x 轴上的点B'处.求：
（1）点B'的坐标；
（2）△ ABM 的面积.
解：（1）因为 A （6，0）， B （0，8），
所以 OA ＝6， OB ＝8.
所以 AB ＝ ＝10.
因为AB'＝ AB ＝10，
所以OB'＝10－6＝4.
所以点B'的坐标为（－4，0）.
（2）设 OM ＝ m ，则B'M＝ BM ＝8－ m .
在Rt△OMB'中，根据勾股定理，得
OM2＋OB'2＝B'M2，
即 m2＋42＝（8－ m ）2，
解得 m ＝3.
所以 OM ＝3， BM ＝ OB － OM ＝5.
所以 S△ ABM ＝ BM · OA ＝ ×5×6＝15.
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第三章 位置与坐标
2 平面直角坐标系（第三课时）
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0 1
课前预习
建立平面直角坐标系的基本思路.
（1）选原点：分析条件，选择适当的点作为原点；
（2）作两轴：过原点作两条互相垂直的直线分别作为 x 轴和
y 轴；
（3）定坐标系：确定正方向、单位长度.
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0 2
典例讲练
一个象棋棋盘的一部分如图所示，已知“帅”位于点（1，0）
上，“相”位于点（3，0）上.
（1）请在该网格中建立平面直角坐标系；
（2）“炮”所在的点的坐标是 ，“马”与
“帅”的距离是 .
【思路导航】（1）根据已知两点的坐标可确定坐标原点与坐标
轴，即可建立平面直角坐标系；（2）观察平面直角坐标系，确
定各点的坐标，再计算距离.
（－2，2）
2
（1）解：根据“帅”位于点（1，0）上，“相”位于点（3，
0）上，建立平面直角坐标系如图所示.
（2）【解析】根据（1）中建立的平面直角坐标系可得，
“炮”所在位置的坐标为（－2，2），“马”与“帅”的距离
为2.故答案为（－2，2），2.
【点拨】根据已知点的坐标，可得到点与两坐标轴之间的距
离，从而确定原点及坐标轴，建立平面直角坐标系.
如图是北京市三所大学位置的平面示意图，图中小方格都是边
长为1个单位长度的正方形.若清华大学的坐标为（0，2），北
京大学的坐标为（－3，1）.
（1）请在图中画出相应的平面直角坐标系，并写出北京语言大
学的坐标；
（2）若中国人民大学的坐标为（－3，－4），请在坐标系中标
出中国人民大学的位置.
解：（1）建立的平面直角坐标系如图所示，北京语言大学的坐标为（3，0）.
（2）中国人民大学的位置如图所示.
如图，在长方形 ABCD 中，已知 AB ＝6， AD ＝4，在长方形
ABCD 外画△ ABE ，使 AE ＝ BE ＝5，请建立适当的平面直角坐
标系，并求出各顶点的坐标.
【思路导航】以点 D 为坐标原点，长方形的两条边所在的直线
为坐标轴建立平面直角坐标系，根据长方形的特点可得 A ， B ，
C ， D 各点的坐标；过点 E 作 EG ⊥ DC 交 AB 于点 F ，利用等腰
三角形的性质及勾股定理求得 AF 和 EF 的长，即可求得点 E 的
坐标.
解：以点 D 为坐标原点， DC 和 DA 所在直线为 x 轴和 y 轴建立平
面直角坐标系，如图所示.
因为 AB ＝6， AD ＝4，所以易得点 A 的坐标是（0，4），点 B
的坐标是（6，4），点 C 的坐标是（6，0），点 D 的坐标是
（0，0）.
过点 E 作 EG ⊥ CD 于点 G ，交 AB 于点 F .
因为 AE ＝ BE ，
所以 AF ＝ DG ＝ AB ＝ ×6＝3.
在Rt△ AEF 中， EF ＝ ＝ ＝4.
所以 EG ＝ EF ＋ FG ＝ EF ＋ AD ＝4＋4＝8.
所以点 E 的坐标是（3，8）.
【点拨】建立平面直角坐标系时，常选择特殊的点作为坐标原
点，如长方形的顶点或底边中点，并使图形中尽量多的点在坐
标轴上.若建立的平面直角坐标系不同，则同一图形的各个顶点
的坐标也不同.
已知一个边长为4的等边三角形 ABC 如图所示，请建立适当的平
面直角坐标系，并写出该图形各个顶点的坐标.
解：如答图，以 BC 所在的直线为 x 轴，以 BC 边上的高所在的
直线为 y 轴，建立平面直角坐标系.
因为等边三角形 ABC 的边长为4，
所以 BO ＝ CO ＝2.
所以 B （－2，0）， C （2，0）.
因为 OB ＝2， AB ＝4，
所以 AO ＝ ＝2 .
所以 A （0，2 ）.
答图
请在所给网格中按下列要求操作：
（1）在网格中建立平面直角坐标系，使点 A 的坐标为（0，
2），点 B 的坐标为（－2，0）；
（2）在 x 轴上画点 C ，使△ ABC 为等腰三角形，请画出所有符
合条件的点 C ，并直接写出点 C 的坐标.
【思路导航】（1）根据点 A ，点 B 的坐标确定 y 轴、 x 轴及坐标
原点即可；（2）分点 A ， B ， C 分别为顶角顶点三种情况进行
讨论.
解：（1）在网格中建立平面直角坐标系如图所示.
（2）如图，满足条件的点 C 有4个：
C1（2，0）， C2（2 －2，0）， C3（－2 －2，0）， C4（0，0）.
【点拨】对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确
哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分
类讨论.
一个规格为8×8的正方形网格如图所示.请在所给网格中按下列
要求操作：在网格中建立平面直角坐标系，以点 O 为坐标原
点，使点 A 的坐标为（－3，5），点 B 的坐标为（－5，3）.
（1）在平面直角坐标系中描出点 C （－2，0），并判断△ ABC
的形状；
答图
（1）由图和题意可得， AB2＝ ， AC2＝
， BC2＝ .
所以 AB2＋ BC2＝26＝ AC2.
所以△ ABC 是直角三角形.
解：建立平面直角坐标系如答图所示.
（2）由图和题意可知，当 AB 为腰时，点 P 为 P1（－1，3）或
P2（－3，1）；
当 AB 为底时，点 P 为 P3（－2，2）或 P4（－1，1）.
综上所述，点 P 的坐标为 P1（－1，3）， P2（－3，1），
P3（－2，2）或 P4（－1，1）.
（2）在网格图中的第二象限内的格点上找一点 P ，使点 P 与线
段 AB 组成等腰三角形，且腰长是无理数，写出所有符合条件的
点 P 的坐标.
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