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第一章 勾股定理
回顾与思考
数学 八年级上册 BS版
要点回顾
典例讲练
目录
CONTENTS
1. 勾股定理.
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用 a ， b 和 c
分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 .
2. 勾股定理中的面积关系.
若将以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积分别记
为 Sa ， Sb ，以斜边为边长的正方形的面积记为 Sc ，则 Sa ， Sb ，
Sc 三者之间的关系是 .
a2＋ b2＝ c2
Sa ＋ Sb ＝ Sc
3. 勾股定理的逆定理.
如果三角形的三边长 a ， b ， c 满足 a2＋ b2＝ c2，那么这个三角
形是 三角形，其中 c 为斜边长.
注意：若 c 最长，则：当 a2＋ b2＝ c2时，以 a ， b ， c 为三边长的三角形是直角三角形；当 a2＋ b2＜ c2时，以 a ， b ， c 为三边长的三角形是钝角三角形；当 a2＋ b2＞ c2时，以 a ， b ， c 为三边长的三角形是锐角三角形.
直角
4. 勾股数.
满足 a2＋ b2＝ c2的三个 ，称为勾股数.
注意：（1）勾股数应同时满足的三个条件：①都是正数；②都
是整数；③ a2＋ b2＝ c2.
（2）常见的几组勾股数有：3，4，5；5，12，13； 7，
24，25； 8，15，17.勾股数同时扩大若干整数倍后还是勾
股数；勾股数同时缩小到原来的若干正整数分之一后不一定
是勾股数，但仍满足 a2＋ b2＝ c2，以它们作为边长的三角形
仍是直角三角形.
正整数
5. 勾股定理的应用.
（1）在运用勾股定理解决实际问题时，要注意仔细审题，找出
直角三角形，若没有直角三角形，则要通过作辅助线来构造出
直角三角形；
（2）求立体图形（主要是圆柱和长方体）表面两点之间的最短
路线问题，需要将立体图形上的路线问题转化为平面图形上的
路线问题.
数学 八年级上册 BS版
0 2
典例讲练
要点一 勾股定理的基本计算
（1）在Rt△ ABC 中，已知∠ C ＝90°，∠ A ，∠ B ，∠ C
的对边分别是 a ， b ， c .
①若 a ＝40， c ＝41，求 b ；
②若 a ∶ b ＝3∶4， c ＝15，求 b ；
③若 c ＝50， a ＝30， CD ⊥ AB 于点 D ，求线段 CD 的长.
【思路导航】①直接运用勾股定理解答即可；②把 a 用 b 表示，
再利用勾股定理解答即可；③先利用勾股定理求得 b ，再利用
三角形的面积解答即可.
解：①由勾股定理，得 b2＝ c2－ a2＝412－402＝81，
所以 b ＝9（负值舍去）.
②因为 a ∶ b ＝3∶4，所以 a ＝ b .
由勾股定理，得 a2＋ b2＝ c2，即 b2＋ b2＝152，
解得 b ＝12（负值舍去）.
③如图，由勾股定理，得 b2＝ c2－ a2＝502－302＝1 600，
所以 b ＝40（负值舍去）.
所以 S△ ABC ＝ ab ＝ c · CD ，
即 ×30×40＝ ×50· CD ，
解得 CD ＝24.
【点拨】利用勾股定理求直角三角形的边长，一般都要经过
“一分，二代，三化简”这三步，即一分：分清哪条边是斜
边，哪些边是直角边；二代：将已知边长及两边之间的关系式
代入 a2＋ b2＝ c2 （假设 c 是斜边长， a ， b 是两直角边长）；三
化简.
（2）在△ ABC 中，已知 AB ＝41， AC ＝15，高 AH ＝9，则
△ ABC 的面积为 .
【思路导航】分点 H 在线段 BC 上和在线段 BC 的延长线上两种
情况，根据 AH ⊥ BC ，得到△ ABH 与△ AHC 为直角三角形，再
分别利用勾股定理求出 BH 与 HC ，从而求出 BC ，利用三角形
的面积公式即可求出△ ABC 的面积.
234或126
【解析】①当点 H 在线段 BC 上时，如图1所示.因为 AH ⊥ BC ，
所以∠ AHB ＝∠ AHC ＝90°.在Rt△ ABH 中， AB ＝41， AH ＝
9，根据勾股定理，得 BH2＝ AB2－ AH2＝412－92＝1 600.所以
BH ＝40（负值舍去）.在Rt△ AHC 中， AC ＝15， AH ＝9，根
据勾股定理，得 HC2＝ AC2－ AH2＝152－92＝144.所以 HC ＝12
（负值舍去）.所以 BC ＝ BH ＋ HC ＝40＋12＝52，则 ＝
BC · AH ＝ ×52×9＝234；
图1
②当点 H 在线段 BC 的延长线上时，如图2所示.与①同理，得 BH ＝40， CH ＝12.所以 BC ＝ BH － CH ＝40－12＝28，则 ＝ BC · AH ＝ ×28×9＝126.综上所述，△ ABC 的面积为234或126.故答案为234或126.
图2
【点拨】涉及到三角形及其高时，一定要分清高所在的位置，
再放到对应的直角三角形中计算.若三角形的形状及高不确定，
则需要分类讨论.
1. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ BAC ＝90°，分别以边 AB ， CA ，
BC 为边长向外作正方形，若正方形 ABIH 的面积为25，正方形
BDEC 的面积为169，则正方形 ACFG 的面积为 .
144
（第1题图）
2. 如图，已知四边形 ABCD 是长方形纸片，翻折∠ B ，∠ D 使
BC ， AD 恰好落在 AC 上，且点 F ， H 分别是点 B ， D 在 AC 上的对应点， CE ， AG 是折痕.若 AB ＝4 cm， BC ＝3 cm，则线段
EF 的长为 cm.
（第2题图）
1.5
要点二 勾股定理的逆定理的应用
如图，在△ ABC 中，已知点 D 是边 BC 的中点， DE ⊥ BC 交
AB 于点 E ，且 BE2－ EA2＝ AC2.
（1）试说明：∠ A ＝90°；
（2）若 AC ＝6， BD ＝5，求 AE 的长.
【思路导航】（1）连接 CE ，由线段垂直平分线的性质，结合
BE2－ EA2＝ AC2可求得△ ACE 的三边关系，即可证得结论；
（2）先求得 BC ， AB 的长，在Rt△ AEC 中，利用勾股定理结合
已知条件可得到关于 AE 的方程，再解方程即可.
解：（1）如图，连接 CE .
因为点 D 是 BC 的中点， DE ⊥ BC ，
所以 CE ＝ BE .
因为 BE2－ EA2＝ AC2，
所以 CE2－ EA2＝ AC2.
所以 EA2＋ AC2＝ CE2.
所以△ ACE 是直角三角形，且∠ A ＝90°.
（2）因为点 D 是 BC 的中点， BD ＝5，所以 BC ＝2 BD ＝10.
因为∠ A ＝90°， AC ＝6，
所以 AB2＝ BC2－ AC2＝102－62＝64.
所以 AB ＝8（负值舍去）.
由（1）可知， CE ＝ BE ＝ AB － AE ＝8－ AE .
在Rt△ AEC 中，由勾股定理，得 AE2＋ AC2＝ CE2，
即 AE2＋62＝（8－ AE ）2，解得 AE ＝ .
所以 AE 的长为 .
【点拨】勾股定理的逆定理可用来判定直角三角形，即若
△ ABC 的三边长 a ， b ， c 满足 a2＋ b2＝ c2，则△ ABC 是直角三角形.而勾股定理常用来求线段长.
已知 a ， b ， c 是△ ABC 的三边长，且满足：｜ c2－ a2－ b2｜＋
（ a － b ） 2＝0.请判断△ ABC 的形状.
解：因为｜ c2－ a2－ b2｜＋（ a － b ） 2＝0，
所以 c2－ a2－ b2＝0，且 a － b ＝0，
即 a2＋ b2＝ c2，且 a ＝ b .
所以△ ABC 是等腰直角三角形.
要点三 勾股定理的实际应用
（1）为了加快社会经济发展，某市准备在铁路 AB 沿线修
建一个火车站 E ，以方便铁路 AB 两旁的 C ， D 两城的居民出行.
如图， C 城到铁路 AB 的距离 AC ＝20 km， D 城到铁路 AB 的距
离 DB ＝60 km， AB ＝100 km.经市政府与铁路部门协商，最后
确定在与 C ， D 两城距离相等的点 E 处修建火车站.求 AE ， BE
的长.
【思路导航】设 AE ＝ x km，则可用含 x 的代数式表示 BE ，根据
CE ＝ DE ，由勾股定理即可列出方程，解决问题.
解：设 AE ＝ x km，则 BE ＝（100－ x ）km.
在Rt△ ACE 中，∠ CAE ＝90°，
由勾股定理，得 CE2＝ AC2＋ AE2＝202＋ x2.
在Rt△ BDE 中，∠ DBE ＝90°，
由勾股定理，得 DE2＝ BE2＋ BD2＝（100－ x ）2＋602.
因为 CE ＝ DE ，所以 CE2＝ DE2.
所以202＋ x2＝（100－ x ）2＋602，解得 x ＝66.
所以 AE ＝66 km， BE ＝100－66＝34（km）.
（2）如图，一架长12.5 m的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AC 上，
这时梯子底部 B 到墙底端 C 的距离为3.5 m.
①这架梯子的顶端 A 距离地面有多高？
②若梯子的顶端沿墙垂直下滑2 m到点 E 处，则梯子的底部在水
平方向也滑动了2 m吗？
【思路导航】根据题意建立数学模型，再利用勾股定理计算出
相关线段的长度，从而使问题得到解决.
解：①根据题意，得 AB ＝12.5 m， BC ＝3.5 m.
在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，由勾股定理，得
AC2＝ AB2－ BC2＝12.52－3.52＝144，
所以 AC ＝12 m（负值舍去）.
所以这架梯子的顶端 A 距离地面有12 m高.
②因为 AE ＝2 m，所以 CE ＝ AC － AE ＝12－2＝10（m）.
由题意可知， ED ＝ AB ＝12.5 m.
在Rt△ CDE 中，∠ C ＝90°，由勾股定理，得
CD2＝ ED2－ CE2＝12.52－102＝56.25，
所以 CD ＝7.5 m（负值舍去）.
所以 BD ＝ CD － BC ＝7.5－3.5＝4（m）.
所以梯子的底部在水平方向滑动了4 m，而不是2 m.
【点拨】本例是利用勾股定理解决实际问题的典型题目，基本
解题思路是，首先根据题意和生活常识建立数学模型（由于墙
与地面垂直，必然存在直角三角形），然后利用勾股定理和一
些生活常识（如梯子的长度不变）解决问题.
1. 如图1，小莉正在荡秋千，其部分过程的示意图如图2所示.
已知当秋千静止时，踏板离地面的垂直高度 DE ＝0.5 m，将它
往前推送1.5 m（水平距离 BC ＝1.5 m）时，踏板离地面的垂直
高度 BF ＝1 m，秋千的绳索始终拉直，则绳索 AD 的长
是 m.
2.5
图1 图2
2. 如图，某时刻海上点 P 处有一艘游艇，测得灯塔 A 位于 P 的
北偏东30°方向，且相距40 n mile.游艇以每小时60 n mile的速
度沿北偏西60°方向航行0.5 h到达点 B 处，求点 B 与灯塔 A 的
距离.
解：因为灯塔 A 位于游艇 P 的北偏东30°方向，且相距40 n mile，所以 AP ＝40 n mile.
因为游艇以每小时60 n mile的速度沿北偏西60°方向航行0.5 h到达点 B 处，
所以∠ APB ＝90°， BP ＝60×0.5＝30（n mile）.
所以 AB2＝ AP2＋ BP2＝402＋302＝2500.
所以 AB ＝50 n mile（负值舍去）.
所以点 B 与灯塔 A 的距离为50 n mile.
要点四 勾股定理中的最值问题
（1）葛藤为获得更多的雨露和阳光，常绕着附近的树干沿
最短路线盘旋而上.现有一段葛藤绕树干盘旋2圈升高2.4 m.若
把树干看成圆柱，其底面周长是0.5 m，葛藤盘旋1圈的示意图
如图所示，则这段葛藤的长是 m.
2.6
【思路导航】先把圆柱从侧面展开，再利用勾股定理求葛藤绕
树干盘旋1圈的长度.
【解析】因为葛藤绕树干盘旋2圈升高2.4 m，所以葛藤绕树干盘旋1圈升1.2 m.如图， AC2＝ AB2＋ BC2＝0.52＋1.22＝1.69，所以 AC ＝1.3 m（负值舍去）.所以这段葛藤的长为2×1.3＝2.6（m）.故答案为2.6.
【点拨】对于圆柱表面的最短路线问题，常将其侧面展开为长
方形，根据“两点之间，线段最短”，结合勾股定理求解.
（2）一个放置雕塑的长方体底座如图所示， AB ＝12 m， BC ＝
2 m，BB'＝3 m.一只蚂蚁从点 A 出发，以2 cm/s的速度沿长方体
表面爬到点C'处至少需要多少分钟？
【思路导航】长方体相邻两面展开是长方形，观察长方体，
蚂蚁爬行的路线的长度有三种可能，根据两点之间线段最
短，确定路线最短的一种情况，再根据“时间＝路程÷速
度”即可解答.
（1）将正面与右面展开，如图1所示（单位：m）.
在Rt△ACC'中，由勾股定理，得
路线一：AC'2＝ AC2＋CC'2＝142＋32＝205；
图1
解：2 cm/s＝0.02 m/s.
图2
（2）将左面与上面展开，如图2所示（单位：m）.
在Rt△ADC'中，由勾股定理，得
路线二：AC'2＝ AD2＋C'D2＝22＋152＝229；
（3）将正面与上面展开，如图3所示（单位：m）.
在Rt△ABC'中，由勾股定理，得
路线三：AC'2＝ AB2＋BC'2＝122＋52＝169.
因为229＞205＞169，
所以路线二＞路线一＞路线三.
所以按路线三的方式爬行，路程最短.
因为132＝169，所以AC'＝13 m.
所以至少需要13÷0.02＝650（s），即 min.
图3
【点拨】对于长方体表面的最短路线问题，基本方法是把表面
展开，将立体图形路线问题转化为平面图形路线问题.需要注意
的是，若没有明确路线通过的表面，则需要分类讨论来确定最
短路线.
1. 如图，已知圆柱底面的周长为12 cm，圆柱的高为8 cm.在圆
柱的侧面上，过点 A 和点 C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的
周长最小为 cm.
20
2. 如图，在长方体透明容器（无盖）内的点 B 处有一滴糖浆，
容器外点 A 处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆.已知容器长
为5 cm，宽为3 cm，高为4 cm，点 A 距离底部1 cm，求蚂蚁需
爬行的最短路程的平方（容器壁厚度不计）.
解：将容器的侧面展开，如答图所示.
作点 A 关于 EF 对称的点 A '，连接 A ' B ，交 EF 于点 G ，连接 AG .
由轴对称的性质，得 AG ＝ A ' G .
所以 AG ＋ GB ＝ A ' G ＋ GB ＝ A ' B .
所以A'B为蚂蚁需爬行的最短路程.
由题意，得 EC ＝4 cm， AC ＝1 cm， BC ＝5＋3＝8（cm）.
所以A'E＝ AE ＝ EC － AC ＝4－1＝3（cm）.
所以A'C＝A'E＋ EC ＝3＋4＝7（cm）.
在Rt△A'CB中，由勾股定理，
得A'B2＝ A'C2＋ BC2＝72＋82＝113.
故蚂蚁爬行的最短路程的平方为113.
答图
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第一章 勾股定理
1 探索勾股定理（第一课时）
数学 八年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
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CONTENTS
数学 八年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 勾股定理.
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用 a ， b 和 c
分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 .
注意：（1）运用勾股定理的前提是直角三角形；（2）要分清
直角边和斜边.
a2＋ b2＝ c2
2. 若将以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积分别
记为 Sa ， Sb ，以斜边为边长的正方形的面积记为 Sc ，则 Sa ，
Sb ， Sc 三者之间的关系是 .
Sa ＋ Sb ＝ Sc
数学 八年级上册 BS版
0 2
典例讲练
在△ ABC 中，已知∠ C ＝90°，∠ A ，∠ B ，∠ C 的对边分别为
a ， b ， c .
（1）若 a ＝8， b ＝15，则 c ＝ ；
（2）若 a ＝9， c ＝15，则 b ＝ ；
17
12
（3）若 a ∶ b ＝3∶4， c ＝10，则 a ＝ ， b ＝ .
6
8
【思路导航】在直角三角形中，已知任意两边的长，利用勾股
定理可求第三边的长.
【解析】（1）在Rt△ ABC 中，根据勾股定理，得
c2＝ a2＋ b2＝82＋152＝289.
所以 c ＝17（负值舍去）.
故答案为17.
（2）在Rt△ ABC 中，根据勾股定理，得
b2＝ c2－ a2＝152－92＝144.
所以 b ＝12（负值舍去）.
故答案为12.
（3）由已知 a ∶ b ＝3∶4，可设 a ＝3 k ， b ＝4 k （ k ＞0）.
在Rt△ ABC 中，根据勾股定理，得
（3 k ）2＋（4 k ）2＝102，
即9 k2＋16 k2＝25 k2＝100.解得 k ＝2（负值舍去）.
所以 a ＝3 k ＝6， b ＝4 k ＝8.
故答案为6，8.
【点拨】利用勾股定理求直角三角形的边长的基本方法：（1）
首先要分清楚哪条边是斜边，哪两条边是直角边；（2）正确代
入 a2＋ b2＝ c2（其中 a ， b 为直角边长， c 为斜边长）；（3）
“知二求一”，计算出第三边的长.像本例第（3）题中给出比
例式 a ∶ b ＝3∶4，解本题的基本方法是设出参数 k （即设出新
的未知数），并用含 k 的式子把 a ， b 表示出来，再利用勾股定
理建立方程，求出参数 k 的值，进而求出 a ， b 的值.
1. 求下列直角三角形中未知边 AB 的长度.
（1）
解：在Rt△ ABC 中，∠ B ＝90°，根据勾股定理，得
AB2＋ BC2＝ AC2.
所以 AB2＝ AC2－ BC2＝202－122＝256.
因为 AB ＞0，所以 AB ＝16.
（2）
解：在Rt△ ACB 中，∠ C ＝90°，根据勾股定理，得
AB2＝ AC2＋ BC2＝72＋242＝625.
因为 AB ＞0，所以 AB ＝25.
2. （2021·成都）如图，数字代表所在正方形的面积，则 A 所代
表的正方形的面积为 .
100
（1）如图，在△ ABC 中，已知 AB ＝15 cm， AC ＝13 cm， BC
＝14 cm，求△ ABC 的面积.
【思路导航】结合图形作△ ABC 边 BC 上的高构造直角三角形，利用勾股定理求出△ ABC 边 BC 上的高，再利用三角形的面积公式即可解答.
解：如图，过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D ，
则∠ ADB ＝∠ ADC ＝90°.
设 BD ＝ x cm，则 CD ＝（14－ x ）cm.
在Rt△ ABD 中，∠ ADB ＝90°，由勾股定理，得
AD2＝ AB2－ BD2＝152－ x2.
在Rt△ ACD 中，∠ ADC ＝90°，由勾股定理，得
AD2＝ AC2－ CD2＝132－（14－ x ）2.
所以152－ x2＝132－（14－ x ）2，解得 x ＝9.
所以 AD2＝152－92＝144.所以 AD ＝12 cm（负值舍去）.
所以 S△ ABC ＝ BC · AD ＝ ×14×12＝84（cm2）.
【点拨】勾股定理只能在直角三角形中应用，对于一般的三角
形，常常作垂线（或作高）来构造直角三角形，然后利用勾股
定理求得未知线段的长.在构造直角三角形时，尽量不要破坏已
知条件中的特殊角和已知的边.
（2）已知直角三角形的两边长分别为3和4，求第三边长的
平方.
【思路导航】本题没有说明3和4是否都是直角边的长，需要分
类讨论求解.
解：①当3和4都是直角边的长时，根据勾股定理，得32＋42＝
25.所以第三边长的平方为25.
②当4为斜边的长时，根据勾股定理，得42－32＝7.
所以第三边长的平方为7.
综上所述，第三边长的平方为25或7.
【点拨】若题目中明确给出斜边的长和一条直角边的长（或给
出两条直角边长），则直接运用勾股定理求解；若题目中没有
明确指出给出的边长是直角边的长还是斜边的长时，就要分为
两边都是直角边或较长的一边是斜边，另一边为直角边两种情
况讨论.
1. 如图，在△ ABD 中，∠ D ＝90°，点 C 是 BD 上一点.若 BC
＝9， AB ＝17， AC ＝10，则 AD 的长为 .
8
【解析】设 CD ＝ x ，则 BD ＝ BC ＋ CD ＝9＋ x .
在△ ACD 中，∠ D ＝90°，由勾股定理，得AD2＝ AC2－ CD2.
在△ ABD 中，∠ D ＝90°，由勾股定理，得AD2＝ AB2－ BD2.
所以 AC2－ CD2＝ AB2－ BD2，
即102－ x2＝172－（9＋ x ）2，解得 x ＝6.
所以 AD2＝102－62＝64.
所以 AD ＝8（负值舍去）.
故答案为8.
2. 如图，在Rt△ ABC 中，已知∠ C ＝90°， AD 平分∠ CAB ，
DC ＝1.5， BD ＝2.5，求 AC 的长.
解：如答图，过点 D 作 DE ⊥ AB 于点 E .
因为 AD 平分∠ CAB ，所以∠ DAE ＝∠ DAC .
在△ AED 和△ ACD 中，
所以△ AED ≌△ ACD （AAS）.所以 DE ＝ DC ＝1.5， AE ＝ AC .
在Rt△ DEB 中，由勾股定理，得
BE2＝ BD2－ DE2＝2.52－1.52＝4.所以 BE ＝2（负值舍去）.
设 AC ＝ AE ＝ x ，则 AB ＝ x ＋2.
因为 CD ＝1.5， BD ＝2.5，所以 BC ＝1.5＋2.5＝4.
在Rt△ ABC 中，由勾股定理，得AB2＝ AC2＋ BC2，
即（ x ＋2）2＝ x2＋42，解得 x ＝3.所以 AC ＝3.
答图
如图，在长方形 ABCD 中，已知 AB ＝8 cm， BC ＝10 cm.在 CD
上取一点 E ，将△ ADE 沿 AE 折叠，使点 D 恰好落在边 BC 上的
点 F 处，求 CE 的长.
【思路导航】结合折叠的性质，在Rt△ CEF 中，利用勾股定理
列出方程进行求解即可.
解：因为四边形 ABCD 是长方形，
所以 CD ＝ AB ＝8 cm， AD ＝ BC ＝10 cm，∠ D ＝90°.
由折叠的性质，得△ AFE ≌△ ADE .
所以∠ AFE ＝∠ D ＝90°， AF ＝ AD ＝10 cm， EF ＝ DE .
设 CE ＝ x cm（ x ＞0），
则 EF ＝ DE ＝ CD － CE ＝（8－ x ）cm.
在Rt△ ABF 中，∠ B ＝90°，由勾股定理，得
AB2＋ BF2＝ AF2，即82＋ BF2＝102.
所以 BF ＝6 cm（负值舍去）.
所以 CF ＝ BC － BF ＝10－6＝4（cm）.
在Rt△ ECF 中，∠ C ＝90°，由勾股定理，得
EF2＝ CE2＋ CF2，即（8－ x ）2＝ x2＋42，解得 x ＝3.
故 CE 的长为3 cm.
【点拨】本题是轴对称（折叠、翻折等）的性质与勾股定理
的综合应用，解决这类问题的基本方法是先分清折叠前后哪
些线段相等，哪些角相等，再根据勾股定理建立方程求出所
需线段的长.利用勾股定理建立方程求线段长是解决折叠问
题的常用方法.
如图，在长方形 ABCD 中，已知 AB ＝8， BC ＝6，点 P 为 AD 上
一点，将△ ABP 沿 BP 翻折至△ EBP ， PE ， BE 分别与 CD 相交
于点 O ， G ，且 OE ＝ OD .
解：（1）在△ ODP 和△ OEG 中，
所以△ ODP ≌△ OEG （ASA）.
所以 OP ＝ OG .
又因为 EP ＝ OE ＋ OP ， DG ＝ OD ＋ OG ，且 OE ＝ OD ，
所以 DG ＝ EP .
（1）试说明： DG ＝ EP ；
（2）因为四边形 ABCD 是长方形，
所以∠ D ＝∠ A ＝∠ C ＝90°， AD ＝ BC ＝6， CD ＝ AB ＝8.
由折叠的性质，得△ EBP ≌△ ABP .
所以 EP ＝ AP ，∠ E ＝∠ A ＝90°， BE ＝ BA ＝8.
由（1）知，△ ODP ≌△ OEG ， DG ＝ EP ，所以 PD ＝ GE .
设 AP ＝ EP ＝ DG ＝ x ，则 PD ＝ GE ＝6－ x .
所以 CG ＝ CD － DG ＝8－ x ，
BG ＝ BE － GE ＝8－（6－ x ）＝ x ＋2.
（2）求 AP 的长.
在Rt△ BCG 中，∠ C ＝90°，由勾股定理，得
BC2＋ CG2＝ BG2，即62＋（8－ x ）2＝（ x ＋2）2，
解得 x ＝ .故 AP 的长为 .
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第一章 勾股定理
1 探索勾股定理（第二课时）
数学 八年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
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数学 八年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 勾股定理的验证.
（1）通过测量，数格子等方法进行验证；
（2）用直角三角形和正方形通过拼图进行验证（利用两次计算
面积，即图形整体的面积等于各部分面积之和，如图1，图2，
图3）.
图1 图2 图3
2. 在方格中，利用数格子计算面积的方法得到下列结论：
（1）在钝角三角形中：如图1，已知三边长 a ， b ， c ，且 c 为
最长边，则 a2＋ b2 c2（填“＞”“＜”或“＝”）；
＜
（2）在锐角三角形中：如图2，已知三边长 a ， b ， c ，且 c 为
最长边，则 a2＋ b2 c2（填“＞”“＜”或“＝”）.
图1 图2
＞
数学 八年级上册 BS版
0 2
典例讲练
（1）如图 1，分别以Rt△ ABC 的三边为边长向外作三个正
方形，其面积分别用 S1， S2， S3表示，则 S1， S2， S3之间有
什么关系？
（2）如图2，分别以Rt△ ABC 的三边为直径向外作三个半圆
形，其面积分别用 S1， S2， S3表示，则 S1， S2， S3之间有什
么关系？
图1
图2
【思路导航】分别表示出三个正方形（或三个半圆）的面积，
并由勾股定理得到三角形的三边关系，再分析 S1， S2， S3之间
的关系.
解：（1）根据正方形的面积公式，得
S1＝ AB2， S2＝ BC2， S3＝ AC2.
在Rt△ ABC 中，由勾股定理，得
AB2＝ BC2＋ AC2.
所以 S1＝ S2＋ S3.
（2）根据半圆形的面积公式，得
S1＝ π· ＝ ，
S2＝ π· ＝ ，
S3＝ π· ＝ .
在Rt△ ABC 中，由勾股定理，得
AB2＝ BC2＋ AC2.所以 ＝ ＋ .
所以 S1＝ S2＋ S3.
【点拨】符合以直角三角形的两直角边为边长所作的两个图形
的面积和等于以斜边为边长所作的图形的面积的常见图形有以
下几种（分别作正方形、正三角形、半圆形、等腰直角三角
形），均满足 S3＝ S1＋ S2：
1. 下列图形中，不能用来证明勾股定理的是（ D ）
D
2. 如图，已知∠ ADB ＝90°，正方形 ABCG 和正方形 AEFD 的
面积分别是100和36，则以 BD 为直径的半圆形的面积是
（结果保留π）.
8π
某地创建文明城市期间，路边设立了一块宣传牌，从该场景中
抽象出的数学模型如图所示，宣传牌（ AB ）的顶端有一根绳子
（ AC ），自然垂下后，绳子底端离地面还有0.7 m（即 BC ＝
0.7 m）.工作人员将绳子底端拉到离宣传牌3 m处（即点 E 到
AB 的距离为3 m），绳子正好拉直.已知工作人员身高（ DE ）
为1.7 m，求宣传牌（ AB ）的高度.
【思路导航】过点 E 作 EF ⊥ AB 于点 F ，设 AC ＝ AE ＝ x m，则
AB ＝（ x ＋0.7）m，根据勾股定理列方程即可解答.
解：如图，过点 E 作 EF ⊥ AB 于点 F ，
则四边形 BDEF 为长方形.
所以 BF ＝ DE ＝1.7 m.
设 AC ＝ AE ＝ x m，
则 AB ＝（ x ＋0.7）m.
在Rt△ AFE 中，因为 EF ＝3 m，
AF ＝ AB － BF ＝ x ＋0.7－1.7＝（ x －1）m，
根据勾股定理，得 AF2＋ EF2＝ AE2，
即（ x －1）2＋32＝ x2，解得 x ＝5.
所以 AB ＝5＋0.7＝5.7（m）.
即宣传牌（ AB ）的高度为5.7 m.
【点拨】对于实际问题，要仔细分析题意，从所给信息中抽象
出直角三角形，再运用勾股定理计算出所求线段的长.若图中没
有直角三角形，常作垂线，构造直角三角形.
学校内有一块如图所示的三角形空地△ ABC ，计划将这块空地
建成一个花园，以美化校园环境.预计花园每平方米的造价为30
元，学校修建这个花园需要投资多少元？
解：如答图，过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D .
设 BD ＝ x m（ x ＞0），则 DC ＝（21－ x ）m.
在Rt△ ABD 中， AD2＝102－ x2；
在Rt△ ACD 中， AD2＝172－（21－ x ）2，
所以102－ x2＝172－（21－ x ）2，
答图
解得 x ＝6.
所以 AD2＝102－62＝64.
所以 AD ＝8m（负值舍去）.
所以 S△ ABC ＝ BC · AD ＝ ×21×8＝84（m2）.
故学校修建这个花园需要投资84×30＝2 520（元）.
[阅读理解]
我国古人运用各种方法证明勾股定理.如图1，用四个直角
三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形，其中
四个直角三角形的直角边长分别为 a ， b ，斜边长为 c .图中大正
方形的面积可表示为（ a ＋ b ）2，也可表示为 c2＋4× ab ，即
（ a ＋ b ）2＝ c2＋4× ab ，所以 a2＋ b2＝ c2.
[尝试探究]
美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图2所示，用
两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形 BCDE ，其中△ BCA
≌△ ADE ，∠ C ＝∠ D ＝90°.请根据拼图验证勾股定理.
[定理应用]
在Rt△ ABC 中，已知∠ C ＝90°，∠ A ，∠ B ，∠ C 所对的
边长分别为 a ， b ， c .试说明： a2 c2＋ a2 b2＝ c4－ b4.
图1
图2
【思路导航】在“尝试探究”中，根据阅读材料，用两种方法
表示图中梯形的面积，即可证得勾股定理；在“定理应用”
中，逆用平方差公式，根据勾股定理即可得到结论.
解：[尝试探究]梯形的面积 S ＝ （ a ＋ b ）（ b ＋ a ）
＝ ab ＋ （ a2＋ b2）.
另外，梯形的面积 S ＝ S△ ABC ＋ S△ ABE ＋ SADE
＝ ab ＋ c2＋ ab
＝ ab ＋ c2.
所以 ab ＋ （ a2＋ b2）＝ ab ＋ c2.
所以 a2＋ b2＝ c2.
[定理应用]因为 c4－ b4＝（ c2＋ b2）（ c2－ b2）
＝（ c2＋ b2） a2
＝ a2 c2＋ a2 b2，
所以 a2 c2＋ a2 b2＝ c4－ b4.
【点拨】此题涉及等面积法.等面积法，即通过两种（或两种以
上）方法计算同一个图形的面积的方法，常用来得到一些等式.
如图，小明用4个图1中的长方形组成图2，其中四边形 ABCD ，
EFGH ， MNPQ 都是正方形，试说明： a2＋ b2＝ c2.
图1
图2
解：因为四边形 ABCD ， EFGH 都是正方形，
所以 S正方形 ABCD ＝（ a ＋ b ）2， S正方形 EFGH ＝ c2.
因为 S△ BEF ＝ ab ， S正方形 ABCD ＝ S正方形 EFGH ＋4 ，
所以（ a ＋ b ）2＝ c2＋4× ab .
所以 a2＋2 ab ＋ b2＝ c2＋2 ab .
所以 a2＋ b2＝ c2.
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第一章 勾股定理
3 勾股定理的应用
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课前预习
典例讲练
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数学 八年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 平面内，两点之间 最短.
2. 解有关立体图形表面上的路线问题时，常常把立体图形转化
为平面图形，再转化为平面上的路线问题求解.
3. 勾股定理是求线段的长度的主要方法，若图形中缺少直角条
件，则可以通过作垂线段的方法构造直角三角形，为勾股定理
的应用创造条件.
线段
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0 2
典例讲练
如图，有一个水池，水面 BE 的宽为16 dm，在水池的正中央有
一根芦苇，它高出水面2 dm.若将这根芦苇垂直拉向岸边，它的
顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的高度是 dm.
17
【思路导航】设水池的深度为 x dm，用含 x 的代数式表示出这根
芦苇的长度，根据勾股定理列方程求解即可.
【解析】设水池的深度为 x dm，
则 AB ＝ AD ＝（ x ＋2）dm.
由题意，得 BC ＝ BE ＝8 dm.
在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，
由勾股定理，得 AC2＋ BC2＝ AB2，
即 x2＋82＝ （ x ＋2）2，解得 x ＝15.
所以 x ＋2＝17.
故这根芦苇的高度是17 dm.
故答案为17.
【点拨】运用勾股定理解决实际问题时，关键是找出几何图形
与实际问题的对应关系，即各边、各角的大小，再根据勾股定
理直接计算或列方程解答.
一个滑梯的示意图如图所示，若将滑道 AC 水平放置，刚好与
AB 一样长.已知滑梯的高度 CE ＝3.6 m， CD ＝1.2 m，则滑道
AC 的长度是 m.
6
【解析】设滑道 AC 的长度为 x m，
则 AB ＝ x m， AE ＝（ x －1.2）m.
在Rt△ ACE 中，
∠ AEC ＝90°，
由勾股定理，得 AE2＋ CE2＝ AC2，
即（ x －1.2）2＋3.62＝ x2，解得 x ＝6.
即滑道 AC 的长度为6 m.
故答案为6.
（1）一个圆柱形油罐的示意图如图所示，底面周长为24 m，高
为10 m.从 A 处环绕油罐建梯子，梯子的顶端正好在点 A 的正上
方点 B 处，则所建的梯子最短需要多长？
【思路导航】将圆柱形油罐的侧面沿 AB 展开，可以得到长方
形，根据“两点之间，线段最短”，把建梯子的路线转化为平
面上两点之间的线段，再利用勾股定理即可求解.
解：如图，把圆柱形油罐的侧面沿线段 AB 展开成长方形，则沿
AB 建梯子最节省材料.
由已知，得 AC ＝24 m， BC ＝10 m.
在Rt△ ACB 中，∠ C ＝90°，根据勾股定理，得
AB2＝ AC2＋ BC2＝242＋102＝262，
所以 AB ＝26 m（负值舍去）.
故所建的梯子最短需要26 m.
（2）如图，长方体的高是9 cm，底面是边长为4 cm的正方形.
一只蚂蚁从点 A 出发，沿着长方体表面经过3个侧面爬到点 B
处，则这只蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【思路导航】将长方体侧面展开，找到点 A ， B 的位置，根据
“两点之间，线段最短”，结合勾股定理求解即可.
解：如图，将长方体的三个侧面展开.
在Rt△ ACB 中， AC ＝4×3＝12（cm），
BC ＝9 cm，∠ ACB ＝90°.
由勾股定理，得 AB2＝ AC2＋ BC2＝122＋92＝152，
所以 AB ＝15 cm（负值舍去）.
故这只蚂蚁爬行的最短路程是15 cm.
【点拨】求立体图形表面最短路径的一般步骤：（1）把立体图
形展开成平面图形（只需展开包含相关点的面）；（2）确定关
键点的位置；（3）连接关键点，构造直角三角形；（4）利用
勾股定理求解.求最短路径的依据是“两点之间，线段最短”.
如图，一个长方体空木箱的长、宽、高分别为12 m，4 m，3 m，则能放进空木箱中的直木棒（粗细忽略不计）最长为 m.
13
【解析】如图，因为侧面对角线 CB2＝32＋42＝25＝52，
所以 CB ＝5 m.
因为 AC ＝12 m，
所以 AB2＝ AC2＋ CB2＝122＋52＝169＝132.
因为 AB ＞0，所以 AB ＝13 m.
所以能放进空木箱中的直木棒最长为13 m.
故答案为13.
如图，一只蜘蛛在一个长方体木块的一个顶点 A 处，一只苍蝇
在这个长方体的对角顶点 G 处.若 AB ＝3 cm， BC ＝5 cm， BF
＝6 cm，则蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇？
这时蜘蛛爬过的路程是多少厘米？
【思路导航】要求长方体表面上两点之间的最短路径长度，可
先将长方体展开，然后利用“两点之间，线段最短”和勾股定
理求解即可.注意：蜘蛛的爬行路线要先分三种不同的情况进行
讨论，分别求出长度，再比较大小，选取最短的路径.
解：①若把长方体的正面和右面展开在同一平面内，如图1所示
（单位：cm）.
这种展开方式的一条直角边 AC ＝ AB ＋ BC ＝8（cm），
另一条直角边 CG ＝ BF ＝6 cm.
在Rt△ ACG 中，根据勾股定理，得
AG2＝ AC2＋ CG2＝82＋62＝100；
图1
②若把长方体的正面和上面展开在同一平面内，
如图2所示（单位：cm）.
这种展开方式的一条直角边 AB ＝3 cm，
另一条直角边 BG ＝ BF ＋ FG ＝ BF ＋ BC ＝11（cm）.
在Rt△ ABG 中，根据勾股定理，得
AG2＝ AB2＋ BG2＝32＋112＝130；
图2
③若把长方体的左面和上面展开在同一平面内，
如图3所示（单位：cm）.
这种展开方式的一条直角边 GF ＝ BC ＝5 cm，
另一条直角边 AF ＝ AE ＋ EF ＝ BF ＋ AB ＝6＋3＝9（cm）.
在Rt△ AFG 中，根据勾股定理，得
AG2＝ AF2＋ GF2＝92＋52＝106.
因为130＞106＞100，且102＝100，
所以蜘蛛沿如图1所示的路线爬行，才能最快抓到苍蝇，这时蜘
蛛爬过的路程是10 cm.
图3
【点拨】本例没有指明从长方体一顶点运动到相对的顶点的具
体路线，确定其最短路径问题时，需要进行分类讨论，比较后
才能确定.如图，
由点 A 到点 B 的最短路径显然是不能沿长方体的任何一条棱运动的，也就必然由点 A 进入到相邻的两个面，所以到点 B 有六条不同的路径，但不同长度的路径只有三条.
（1）如图1，右侧面向前展开，这种展开方式是以（ a ＋ b ）为
一条直角边长， c 为另一条直角边长，此时 AB2＝（ a ＋ b ）2＋
c2＝ a2＋ b2＋ c2＋2 ab ；
（2）如图2，上底面向前展开，这种展开方式是以（ b ＋ c ）一条直角边长， a 为另一条直角边长，此时 AB 2＝（ b ＋ c ）2＋ a2＝ a2＋ b2＋ c2＋2 bc ；
图1
图2
（3）如图3，上底面向左展开，这种展开方式是以（ a ＋ c ）为一条直角边长， b 为另一条直角边长，此时 AB2＝（ a ＋ c ）2＋ b2＝ a2＋ b2＋ c2＋2 ac .通过对三种展开方式的观察和分析，于是有：当 c 最大时，如图1所示的展开方式中的 AB 最短；当 a 最大时，如图2所示的展开方式中的 AB 最短；当 b 最大时，
如图3所示的展开方式中的 AB 最短.
图3
图3
如图，圆柱形杯子的高为18 cm，底面周长为24 cm，在杯内壁
离杯底4 cm的点 B 处有一滴蜂蜜.此时一只蚂蚁正好在杯外壁离
杯口2 cm，且与蜂蜜相对的点 A 处（杯壁厚度不计），则蚂蚁
从外壁点 A 处到达内壁点 B 处的最短路程是多少厘米？
解：如答图，将圆柱的侧面展开，作点 A 关于直线 EF 对称的点
A'，连接A'B交 EF 于点 M ，连接 AM ，则A'B的长度即为折线
AMB 的最短长度.
由题意知，A'D＝ ×24＝12（cm），
BD ＝18＋2－4＝16（cm）.
在Rt△A'DB中，由勾股定理，得
A'B2＝A'D2＋ BD2＝122＋162＝400，
所以A'B＝20 cm（负值舍去）.
故蚂蚁从外壁点 A 处到达内壁点 B 处的最短路程是20 cm.
答图
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第一章 勾股定理
2 一定是直角三角形吗
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课前预习
典例讲练
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0 1
课前预习
1. 勾股定理的逆定理.
如果三角形的三边长 a ， b ， c 满足 ，那么这个
三角形是直角三角形.
注意：此时， c 是斜边长， a ， b 是直角边长.
a2＋ b2＝ c2
2. 勾股数.
满足 的三个正整数，称为勾股数.
注意：勾股数应满足的三个条件：①都是正数；②都是整数；
③ a2＋ b2＝ c2.勾股数有无数组，若一组数是勾股数，则把它们
同时扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数.如3，4，5是一组勾
股数，则3 n ，4 n ，5 n （ n 为正整数）仍是一组勾股数.
a2＋ b2＝ c2
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0 2
典例讲练
（1）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ B ）
A. 3，4，4 B. 3，4，5
C. 3，4，6 D. 3，4，7
【思路导航】利用三边的长度来判断一个三角形是不是直角三
角形，只需看最长边的平方是否等于较短的两边的平方和即可.
B
【解析】A. 因为32＋42＞42，所以这三条线段只能组成锐角三
角形；B. 因为32＋42＝52，所以这三条线段能组成直角三角
形；C. 因为32＋42＜62，所以这三条线段只能组成钝角三角
形；D. 因为3＋4＝7，所以这三条线段不能组成三角形.故选B.
【点拨】（1）利用边的关系判定直角三角形的步骤：①先找到
三角形的最长边；②计算最长边的平方及另外两边的平方和；
③若两者相等，则为直角三角形，否则就不是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理不是判定直角三角形的唯一方法，还可
以用直角三角形的定义来判定.
（2）下列四组数中，是勾股数的是（ D ）
A. ， ， B. 0.9，1.2，1.5
C. 6，7，8 D. 21，28，35
【思路导航】运用勾股数应满足的三个条件判断即可.
【解析】A，B中的数不是正整数，所以A，B中的数不是勾股
数；C. 62＋72≠82，所以C中的数不是勾股数；D. 212＋282＝
352，所以D中的数是勾股数.故选D.
D
【点拨】（1）判断勾股数的步骤：①确定三个数都是正整数；
②确定其中的最大数；③分别计算最大数的平方与其他两个数
的平方和；④若两者相等，则这三个数是一组勾股数，否则就
不是一组勾股数.（2）常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；
7，24，25；8，15，17.勾股数同时扩大若干正整数倍后还是勾
股数；勾股数同时缩小到原来的若干正整数分之一后不一定是
勾股数，但仍满足 a2＋ b2＝ c2，以它们作为边长的三角形仍是
直角三角形.
在△ ABC 中，已知 a ， b ， c 分别为其三边，给出下列四个条
件：①∠ A ∶∠ B ∶∠ C ＝3∶4∶5；② a ∶ b ∶ c ＝3∶4∶5；
③ a ＝16， b ＝63， c ＝65；④∠ A ＝ ∠ B ＝ ∠ C . 其中能判
定△ ABC 是直角三角形的有 （填序号）.
②③④
【解析】①因为∠ A ∶∠ B ∶∠ C ＝3∶4∶5，所以∠ C ＝
×180°＝75°.因为△ ABC 中最大的角∠ C ＝75°，所以
△ ABC 不是直角三角形.②设 a ＝3 k （ k ＞0），则 b ＝4 k ， c ＝5 k .因为（3 k ）2＋（4 k ）2＝（5 k ）2，所以△ ABC 是直角三角
形.③因为162＋632＝652，所以△ ABC 是直角三角形.④因为∠A ＝ ∠ B ＝ ∠ C ，所以∠ B ＝2∠ A ，∠ C ＝3∠ A . 因为∠ A
＋∠ B ＋∠ C ＝180°，所以6∠ A ＝180°.解得∠ A ＝30°.所
以∠ C ＝90°.所以△ ABC 是直角三角形.故答案为②③④.
如图，在正方形 ABCD 中，已知点 E 为 AB 的中点，点 F 为 AD 上
一点，且 AF ＝ AD . 试判断△ FEC 的形状.
【思路导航】设 AD ＝4 k （ k ＞0），由题目给出的线段之间的
关系，把△ FEC 的三边长分别用含 k 的代数式表示，再运用勾
股定理的逆定理即可解答.
解：设 AD ＝4 k （ k ＞0）.
因为四边形 ABCD 是正方形， AF ＝ AD ，点 E 为 AB 的中点，
所以 AF ＝ k ， AE ＝ BE ＝ AB ＝ AD ＝2 k .
所以 DF ＝4 k － k ＝3 k .
在Rt△ AEF 中， EF2＝ AF2＋ AE2＝ k2＋（2 k ）2＝5 k2.
在Rt△ BCE 中， EC2＝ BE2＋ BC2＝（2 k ）2＋（4 k ）2＝20 k2.
在Rt△ DCF 中， FC2＝ DF2＋ CD2＝（3 k ）2＋（4 k ）2＝25 k2.
所以 EF2＋ EC2＝5 k2＋20 k2＝25 k2＝ FC2.
所以△ FEC 是直角三角形.
【点拨】直角三角形的两种判定方法：（1）从角上看，利用直
角三角形的定义判定，即有一个内角是直角的三角形是直角三
角形；（2）从边上看，利用勾股定理的逆定理判定，即从三角
形的三边数量关系来判定.在解题过程中，根据题目给出的具体
条件灵活选取判定方法.
如图，在△ ABC 中，已知 AB ＝ AC ， BC ＝10，点 D 是线段 AB
上一点， BD ＝6，连接 CD ， CD ＝8.
解：（1）在△ BDC 中， BC ＝10， BD ＝6， CD ＝8.
因为 BD2＋ CD2＝62＋82＝100＝ BC2，
所以△ BDC 是直角三角形，且∠ BDC ＝90°.
所以 CD ⊥ AB .
（1）试说明： CD ⊥ AB ；
（2）由题意，得 AC ＝ AB ＝ AD ＋6.
因为 CD ⊥ AB ，所以△ ADC 是直角三角形.
所以 AD2＋ CD2＝ AC2，
即 AD2＋82＝（ AD ＋6）2.
解得 AD ＝ .
所以 AC ＝ AB ＝ ＋6＝ .
所以△ ABC 的周长＝ ＋ ＋10＝ .
（2）求△ ABC 的周长.
如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB ∶ BC ∶ CD ∶ DA ＝
2∶2∶3∶1，且∠ B ＝90°，试求∠ DAB 的度数.
【思路导航】连接 AC ，把∠ DAB 分成∠ BAC 和∠ DAC ，放入
两个三角形中分别求解即可.
解：如图，连接 AC .
因为 AB ∶ BC ∶ CD ∶ DA ＝2∶2∶3∶1，
所以设 AB ＝2 k （ k ＞0），
则 BC ＝2 k ， CD ＝3 k ， DA ＝ k .
在Rt△ ACB 中，因为 AB ＝ BC ，
所以∠ BAC ＝45°.
根据勾股定理，得
AC2＝ AB2＋ BC2＝（2 k ）2＋（2 k ）2＝8 k2.
所以 AD2＋ AC2＝ k2＋8 k2＝9 k2.
又因为 CD2＝（3 k ）2＝9 k2，所以 CD2＝ AD2＋ AC2.
所以△ ACD 是直角三角形，且∠ DAC ＝90°.
所以∠ DAB ＝∠ DAC ＋∠ BAC ＝90°＋45°＝135°.
【点拨】本例是勾股定理与勾股定理的逆定理的综合运用.求∠ DAB 的度数时，采取了转化的思想方法，把∠ DAB 分成
∠ BAC 和∠ DAC ，并放入两个三角形中分别求解，进而得到
∠ DAB 的度数.因为题设给出了边长的比例式，这就需要引进新的未知数 k ，把多条边用含 k 的代数式表示，为利用勾股定理和勾股定理的逆定理创造条件，从而使问题得以顺利解决.
如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地.已知 AD ＝4
m， CD ＝3 m，∠ ADC ＝90°， AB ＝13 m， BC ＝12 m.小区为美化环境，欲在空地上铺草坪.若每平方米草坪30元，则用草坪铺满这块空地共需花费多少元？
解：如答图，连接 AC .
在Rt△ ACD 中，由勾股定理，得
AC2＝ CD2＋ AD2＝32＋42＝25.
所以 AC ＝5 m（负值舍去）.
因为 AC2＋ BC2＝52＋122＝169， AB2＝132＝169，
所以 AC2＋ BC2＝ AB2.
所以△ ACB 是直角三角形，且∠ ACB ＝90°.
所以空地的面积＝ S△ ACB － S△ ACD ＝ ×5×12－ ×3×4＝30－
6＝24（m2）.
故用草坪铺满这块空地共需24×30＝720（元）.
答图
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