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第五章 二元一次方程组
1 认识二元一次方程组
数学 八年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
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数学 八年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 二元一次方程及其解的概念.
（1）含有 个未知数，并且所含未知数的项的次数都
是 的方程叫做二元一次方程；
（2）适合一个二元一次方程的 未知数的值，叫做这个
二元一次方程的一个解.
（3）二元一次方程条件：
①必须是整式方程；
②方程中含有两个未知数；
③含未知数的项的次数都是1.
两
1
一组
2. 二元一次方程组及其解的概念.
（1）共含有 个未知数的 个 次方程所组成的
一组方程，叫做二元一次方程组；
（2）二元一次方程组中各个方程的 ，叫做这个二元
一次方程组的解.
两
两
一
公共解
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0 2
典例讲练
（1）已知（ m ＋1） x3｜ m｜－2＋3 yn＋2＝－1是关于 x ， y 的二元
一次方程，则 m ＝ ， n ＝ .
【思路导航】根据二元一次方程的定义，建立 m ， n 的方程，即可求出 m ， n 的值.
1
－1
【解析】根据题意，得3 －2＝1， n ＋2＝1，解得 m ＝±1，
n ＝－1.又因为 m ＋1≠0，所以 m ＝1.综上， m ＝1， n ＝－1.
故答案为1，－1.
【点拨】二元一次方程的判定条件：（1）两个未知数（存在性
判定，注意含未知数的项的系数不能为0）；（2）含未知数的
项的次数都是1.
（2）下列方程组：①②③
④⑤其中是二元一次方程组的
有 （填序号）.
【思路导航】符合二元一次方程组的条件：共含有两个未知
数，且未知数的次数都为1的两个整式方程.
②③④
【解析】①中，第二个方程的次数为2；⑤中，第一个方程的次
数为－1.①⑤都不是二元一次方程组，其余三个是二元一次方
程组.故答案为②③④.
【点拨】判断一个方程组是二元一次方程组时，应同时满足以
下两点：（1）方程组中只含有两个未知数；（2）方程组中含
未知数的项的次数是1.
1. 中国古代的数学专著《九章算术》里有方程问题：“五只
雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻.互换其中一
只，恰好一样重.”设每只雀、燕的质量各为 x 两、 y 两，则可
列方程组为 .
2. 已知2 － ＝0是关于 x ， y 的二元一次方程，则
nm ＝ .
1
求二元一次方程3 x ＋2 y ＝14的非负整数解.
【思路导航】先用含 x 的代数式表示 y （或用含 y 的代数式表示
x ），再根据 x ， y 均为非负整数，选取合适的值代入求解即可.
解：由题意，得2 y ＝14－3 x ，即 y ＝ .
因为 x ， y 均为非负整数，
所以 x ＝0，2或4.
当 x ＝0时， y ＝7；
当 x ＝2时， y ＝4；
当 x ＝4时， y ＝1.
所以原方程的非负整数解为或或
【点拨】一般情况下，二元一次方程的解有无数组，但若对其
未知数的取值附加某些限制条件，则它的解可能为有限组.
足球比赛规定：胜一场得3分，平一场得 1分，负一场得0分.
某足球队进行了6场比赛，共得12分.求该足球队胜、负、平
的场数.
解：设该足球队胜了 x 场，平了 y 场， x ， y 为非负整数，且和
小于或等于6.
由题意，得3 x ＋ y ＝12，
解得或
所以，该足球队胜了3场，平了3场，负了0场；或胜了4场，平
了0场，负了2场.
已知是关于 a ， b 的二元一次方程组
的解，求 m ， n 的值.
【思路导航】方程的解是使方程两边成立的未知数的值.将方程
的解代入即可求出 m ， n 的值.
解：由题意，得
解得
【点拨】解答含待定系数的方程时，需注意识别未知数与待定
系数，准确理解二元一次方程组的解.
已知是方程4 x ＋ my ＝10和 mx － ny ＝11的公共解，求
m2＋2 n 的值.
解：因为是方程4 x ＋ my ＝10和 mx － ny ＝11的公
共解，
所以
解①，得 m ＝2.
把 m ＝2代入②，得6＋ n ＝11.解得 n ＝5.
所以 m2＋2 n ＝22＋2×5＝4＋10＝14.
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第五章 二元一次方程组
3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
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0 1
课前预习
应用二元一次方程组解应用题的基本步骤.
（1）审：审题，看题目中的已知量、未知量；
（2）设：设出 个未知数，并用代数式表示相关量；
（3）找：找出 个等量关系式；
（4）列：根据等量关系式列 ；
（5）解：解二元一次方程组；
两
两
二元一次方程组
（6）答：检验后作答，一验解是否正确，二验解是否符合实
际；问什么，答什么.
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0 2
典例讲练
（1）小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千
克4元，乙种水果每千克 6元，且乙种水果比甲种水果少买了2
kg.问：小亮妈妈买了两种水果各多少千克？设小亮妈妈买了甲
种水果 x kg，乙种水果 y kg，则可列方程组为（ A ）
A. B.
C. D.
A
【思路导航】根据题目描述，找出等量关系，再将未知数代入
即可列出方程.
【解析】根据题意，得故选A.
【点拨】列方程（组）解决实际问题中，找出等量关系是关
键，其中“共……”“比……少（多）……”都是找等量关系
的关键字.
（2）如图，在长方形 ABCD 中，放入六个形状、大小相同的小
长方形（即空白的长方形）.若 AB ＝16cm， EF ＝4cm，设小长
方形的长为 x cm，宽为 y cm，则可列方程组
为 .
【思路导航】根据题目所画图形可得：一个小长方形的长＋3个
小长方形的宽＝16cm，一个小长方形的长＝一个小长方形的宽
＋4cm，据此列方程组即可.
【解析】由图可得，故答案为
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答
本题的关键是仔细观察图形，找出合适的等量关系，列方程组.
1. 某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费435元，其
中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球和足球的单价.设篮
球的单价为 x 元，足球的单价为 y 元，依题意可列方程组为
（ D ）
A. B.
C. D.
D
2. 已知今年小丽爷爷的年龄是小丽的6倍.小丽发现，10年之
后，爷爷的年龄比小丽年龄的4倍少8岁.设今年小丽和小丽爷爷
的年龄分别是 x 岁、 y 岁.根据题意，可列方程组
为 .
《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中一段文字的大
意是：甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，
那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱48文.甲、乙两人原来各有多少钱？
【思路导航】根据题意，找出题中的等量关系，列出二元一次
方程组，即可解答.
解：设甲原来有 x 文钱，乙原来有 y 文钱.
根据题意，得解得
故甲原来有36文钱，乙原来有24文钱.
《孙子算经》中有一道名题：“今有木，不知长短.引绳度之，
余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？”其大意是：
用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长
木，长木还剩余1尺.问：长木长多少尺？
解：设长木长 x 尺，绳长 y 尺.
根据题意，得解得
故长木长6.5尺.
某市盛产柠檬和柚子两种水果.今年某公司计划用两种型号的汽
车运输柠檬和柚子到外地销售，运输中要求每辆汽车都要满
载，且只能装运一种水果.若用3辆汽车装载柠檬、2辆汽车装载
柚子，共可装载33吨；若用2辆汽车装载柠檬、3辆汽车装载柚
子，共可装载32吨.
（1）每辆汽车可装载柠檬或柚子各多少吨？
（2）据调查，每吨柠檬可获利700元，每吨柚子可获利500元.
计划用20辆汽车运输，若有 x 辆汽车装载柚子，全部销售完后，总利润为 y 元，请写出 y 与 x 的函数关系式.
解：（1）设每辆汽车可装载柠檬 a 吨或柚子 b 吨.
根据题意，得解得
所以每辆汽车可装载柠檬7吨或柚子6吨.
【思路导航】（1）先找等量关系，再列出二元一次方程组，即
可解答；（2）先用 x 表示运柠檬的汽车数，再表示总利润即可.
（2）若有 x 辆汽车装载柚子，则有（20－ x ）辆汽车装载柠
檬，所以总利润 y ＝500×6 x ＋700×7×（20－ x ）＝－1 900 x ＋98 000，
即 y 与 x 的函数关系式是 y ＝－1 900 x ＋98 000.
【点拨】列方程组解应用题一般都要经历“审、设、找、列、
解、答”这六个步骤，其中关键在于审清题意，找出等量关系.
要注意：一验解是否正确；二验解是否符合实际.
某水果基地计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售（每辆汽
车规定满载，并且只装一种水果）.下表为装运甲、乙、丙三种
水果的质量及利润的记录.
水果种类 甲 乙 丙
每辆汽车能装的质量/t 4 2 3
每吨水果可获利润/万元 0.5 0.7 0.4
（1）若用8辆汽车装运乙、丙两种水果共22 t到A地销售，问：
装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？
（2）若该水果基地计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共
72 t到B地销售（每种水果不少于一车）.若设装运甲水果的汽车为 m 辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？若所有水果都售完，则该水果基地获得的总利润是多少？（结果用含 m 的代数式表示）
解：（1）设装运乙、丙两种水果的汽车分别为 x 辆、 y 辆.
根据题意，得解得
所以装运乙、丙两种水果的汽车分别为2辆、6辆.
（2）设装运乙、丙水果的汽车分别为 a 辆、 b 辆.
根据题意，得解得
总利润为0.5×4 m ＋0.7×2×（ m －12）＋0.4×3×（32－2
m ）＝（ m ＋21.6）万元.
故装运乙种水果的汽车为（ m －12）辆，装运丙种水果的汽车
为（32－2 m ）辆，总利润为（ m ＋21.6）万元.
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第五章 二元一次方程组
4 应用二元一次方程组——增收节支
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0 1
课前预习
1. 变化率问题.
解决变化率问题常用的关系式为 a （1± x ）＝ b （其中 a 表示基
数， x 表示变化率， b 表示目标数.增时为加，降时为减）.
2. 销售问题.
标价＝进价＋进价×利润率＝（1＋利润率）×进价；
售价＝ × （打 n 折销售）；
利润率＝ ÷进价×100％；
总利润＝ － .
3. 行程问题.
路程＝速度× .
标价
利润
总收入
总支出
时间
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0 2
典例讲练
小明家承包了一个果园，去年果园收支相抵后，结余12 000元.
由于今年改进了种植技术，支出比去年减少了10％，并且今年
水果丰收，收入比去年增加了20％，所以今年结余比去年多了
11 400元.计算小明家今年种植水果的收入与支出情况.
【思路导航】找出题中的等量关系，列出二元一次方程组求解
即可.
解：设小明家去年种植水果的收入和支出分别为 x 元、 y 元.
根据题意，得
解得
则（1＋20％） x ＝1.2×42 000＝50 400，
（1－10％） y ＝0.9×30 000＝27 000.
故小明家今年种植水果的收入和支出分别为50 400元，27 000元.
【点拨】对于变化率问题，审题时一定要看清是增加还是减
少，而且要看准是在哪一个量的基础上增加或减少，不要混淆.
1. 某公司用30000元购进两种货物，货物卖出后，一种货物的
利润率是10％，另一种货物的利润率是11％，共获得利润3150
元.设两种货物的进价分别为 x 元、 y 元.根据题意列方程组
为 .
2. 某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共550台，经市场调查
决定调整两种机器的产量，计划第二季度生产这两种机器共536
台，其中甲种机器产量要比第一季度增产12％，乙种机器产量
要比第一季度减产20％.该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多
少台？
解：设该工厂第一季度生产甲种机器 x 台，乙种机器 y 台.
根据题意，得
解得
故该工厂第一季度生产甲种机器300台，乙种机器250台.
端午节前夕，东方红商场开展了“欢度端午，回馈顾客”的让
利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子
打八折，乙品牌粽子打七五折.已知打折前，买6盒甲品牌粽子
和3盒乙品牌粽子一共需要660元；打折后，买50盒甲品牌粽子
和 40盒乙品牌粽子一共需要5 200元.
（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒.
问：打折后购买这批粽子比不打折时购买节省了多少元？
【思路导航】（1）设打折前甲品牌粽子每盒 x 元，乙品牌粽子
每盒 y 元.根据题意列出关于 x ， y 的二元一次方程组，解之即
可；（2）分别算出打折前和打折后购买需要的钱数，相减即可
求出节省的钱数.
解得
故打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元.
（2）80×70×（1－80％）＋100×80×（1－75％）＝3120
（元）.
故打折后购买这批粽子比不打折时购买节省了3 120元.
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，解答此类题的关
键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系.
解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒 x 元，乙品牌粽子每盒 y 元.
根据题意，得
已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A
型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨.某物流公司现有31吨
货物，计划同时租用A型车 m 辆，B型车 n 辆，一次运完，且恰
好每辆车都装满货物.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少
吨？
解：（1）设1辆A型车装满货物一次可运货 x 吨，1辆B型车装满
货物一次可运货 y 吨.
根据题意，得解得
故1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次
可运货4吨.
（2）根据题意，得3 m ＋4 n ＝31.
因为 m ， n 均为正整数，
所以或或
所以该物流公司共有以下三种租车方案：
方案一：租A型车1辆，B型车7辆；
方案二：租A型车5辆，B型车4辆；
方案三：租A型车9辆，B型车1辆.
（2）请你帮该物流公司设计租车方案，且分别求出 m ， n 的值；
（3）方案一所需费用：100×1＋120×7＝940（元）；
方案二所需费用：100×5＋120×4＝980（元）；
方案三所需费用：100×9＋120×1＝1020（元）.
因为940＜980＜1020，所以按方案一：租A型车1辆，B型车7辆
最省钱，最少租车费为940元.
（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/
次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费.
运输公司要把120t物资从A地运往B地，有甲、乙、丙三种车型
供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如表所示（假设每辆
车均满载）.
车型 甲 乙 丙
运载量/（t/辆） 5 8 10
运费/（元/辆） 450 600 700
解答下列问题：
（1）安排甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车 辆可将全部物
资一次运完；
（2）若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，共需运费9600元，
则甲、乙型车各需多少辆？
4
（3）若用甲、乙、丙型车共14辆同时运送，且一次运完全部物
资，则三种型号的车各需多少辆？此时总运费为多少元？
【思路导航】（1）列一元一次方程求解即可；（2）列二元一
次方程组求解即可；（3）列三元一次方程组，结合车辆数为正
整数求解.
（1）【解析】设再用丙型车 m 辆可将全部物资一次运完.根据
题意，得5×8＋8×5＋10 m ＝120.解得 m ＝4.则再用丙型车4辆
可将全部物资一次运完.故答案为4.
（2）解：设甲型车需 a 辆，乙型车需 b 辆.
根据题意，得解得
故甲型车需8辆，乙型车需10辆.
（3）解：设甲型车需 x 辆，乙型车需 y 辆，丙型车需 z 辆.
根据题意，得
消去 x ，得3 y ＋5 z ＝50.
因为 x ， y ， z 为正整数，
所以 x ＝2， y ＝5， z ＝7.
此时总运费为450×2＋600×5＋700×7＝900＋3000＋4900＝
8800（元）.
则甲型车需2辆，乙型车需5辆，丙型车需7辆，此时总运费为8
800元.
放假后，大学生王东准备利用假期到某工厂打工，该工厂的工
作时间：每月25天，每天8：00～12：00，14：00～18：00.待
遇：按件计酬，另每月加奖金100元.该工厂生产甲、乙两种产
品，规定每月生产甲种产品不少于100件，每生产一件甲产品可
得1.50元，每生产一件乙种产品可得2.80元.下表是他生产甲、
乙产品数量（件）与所用总时间（min）之间的关系：
生产甲种产品 的数量/件 生产乙种产品 的数量/件 所用总时
间/min
2 1 50
6 5 190
（1）王东每生产一件甲种产品和一件乙种产品分别需要多
少分钟？
解：（1）设王东生产一件甲种产品需 x min，生产一种乙种产
品需 y min.
根据题意，得解得
故王东生产一件甲种产品需15min，生产一件乙种产品需20min.
（2）王东这个月最多能得多少工资？此时生产甲、乙两种产品
各多少件？
（2）设王东这个月生产甲种产品 a 件，工资为 W 元.
根据题意，得 W ＝1.5 a ＋2.8×（25×8×60－15 a ）÷20＋100
＝－0.6 a ＋1780.
因为 a ≥100，
所以当 a ＝100时， W 取最大值1720.
此时（25×8×60－15×100）÷20＝525（件）.
故王东这个月最多能得工资1 720元，此时生产甲种产品100
件，乙种产品525件.
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第五章 二元一次方程组
回顾与思考
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要点回顾
典例讲练
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1. 二元一次方程（组）.
（1）含有 未知数，并且所含未知数的项的次数都
是 的方程叫做二元一次方程；
（2）共含有 未知数的 一次方程所组成的一组
方程，叫做二元一次方程组.
两个
1
两个
两个
2. 二元一次方程（组）的解.
（1）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元
一次方程的一个 ；
（2）二元一次方程组中各个方程的 ，叫做这个二元
一次方程组的解.
解
公共解
3. 二元一次方程组的解法.
（1）解二元一次方程组的思想：
二元一次方程组 一元一次方程
（2）解二元一次方程组的基本方法：
、 和图象法.
代入消元法
加减消元法
4. 实际问题与二元一次方程组.
5. 利用待定系数法解决问题的步骤.
（1）确定所求问题为含待定系数的表达式；
（2）根据所给条件，列出一组含有待定系数的方程；
（3）解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.
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0 2
典例讲练
要点一 二元一次方程的定义
已知方程（2 m －6） x｜ m－2｜＋（ n －2） ＝0是关于
x ， y 的二元一次方程，求2 m ＋3 n 的值.
【思路导航】根据二元一次方程的定义，列出关于 m 和 n 的方程
求解即可.
解：由题意，得2 m －6≠0且｜ m －2｜＝1， n －2≠0且 n2－3＝
1，解得 m ＝1， n ＝－2.
所以2 m ＋3 n ＝2×1＋3×（－2）＝－4.
【点拨】二元一次方程需满足：两个未知数的系数都不为0，且
含未知数的项的次数都是1.
已知关于 x ， y 的方程（ k2－4） x2＋（ k ＋2） x ＋（ k －6） y ＝
k ＋8（ k 为常数）.
（1）当 k 为何值时，此方程为一元一次方程？
解：（1）因为方程为关于 x 或 y 的一元一次方程，
所以或解得 k ＝－2或无解.
所以当 k ＝－2时，原方程为一元一次方程.
（2）当 k 为何值时，此方程为二元一次方程？
（2）根据二元一次方程的定义可知，
解得 k ＝2.
所以当 k ＝2时，原方程为二元一次方程.
要点二 解二元一次方程组
解下列方程组：
（1） （2）
【思路导航】观察方程组的特点，利用代入法或加减法将二元
一次方程转化为一元一次方程求解即可.
解：（1）
由①×2，得6 x －4 y ＝12.③
由②×3，得6 x ＋9 y ＝51.④
由④－③，得13 y ＝39.解得 y ＝3.
将 y ＝3代入①，得3 x －2×3＝6.解得 x ＝4.
所以原方程组的解是
（2）
由①，得 x ＝14－4 y .③
由②×12，得3（ x －3）－4（ y －3）＝1.④
将③代入④，得3（14－4 y －3）－4（ y －3）＝1，
解得 y ＝ .
将 y ＝ 代入③，得 x ＝14－4× ＝3.
所以原方程组的解是
【点拨】解二元一次方程组的核心是消元，在解方程时要根据
方程的特点选择恰当的方法进行消元.
1. 解下列方程组：
（1）
解：（1）
由①×3＋②，得5 m ＝10，解得 m ＝2.
把 m ＝2代入①，解得 n ＝1.
所以原方程组的解是
（2）
（2）
由①＋②，得 x ＝3.
把 x ＝3代入①，得1＋ ＝2，解得 y ＝2.
所以原方程组的解是
2. 已知关于 x ， y 的二元一次方程组的解是
斜边长为5的直角三角形两直角边长，求 m 的值.
解：由解得
由题意，得42＋（ m ＋2）2＝52，
所以（ m ＋2）2＝9.
所以 m ＋2＝±3.
解得 m ＝1或－5（舍去）.
故 m 的值为1.
要点三 二元一次方程组的应用
为了保护环境，成都某公交公司决定购买10台全新的新能
源公交车，现有A，B两种型号，其中每台的价格、年省油量如
下表：
型号 A B
价格/（万元/台） a b
省油量/（万升/年） 2.4 2
经调查，购买一台A型车比购买一台B型车多20万元，购买2台A
型车比购买3台B型车少60万元.
（1）求 a 和 b 的值；
（2）若购买这批新能源公交车每年能节省22.4万升汽油，求购
买这批新能源公交车需要多少万元.
【思路导航】（1）根据题意列出关于 a ， b 的二元一次方程
组，解答即可；（2）设购买A型车 x 台，列方程解答.
解得
（2）设购买A型车 x 台，则购买B型车（10－ x ）台.
根据题意，得2.4 x ＋2（10－ x ）＝22.4，
解得 x ＝6.所以10－ x ＝10－6＝4.
所以120×6＋100×4＝1120（万元）.
故购买这批新能源公交车需要1120万元.
【点拨】解有关实际问题的二元一次方程组，根据题意正确列
出方程组是关键.
解：（1）根据题意，得
1. 在元旦期间，某水果店销售葡萄，零售一箱该种葡萄的利润
是60元，批发一箱该种葡萄的利润是30元.
（1）已知该水果店元旦放假三天卖出100箱这种葡萄，共获利
润3600元，该水果店元旦放假三天零售、批发该种葡萄分别多
少箱？
（2）现该水果店要经销1000箱该种葡萄，并规定该葡萄零售的
箱数小于等于200箱，请直接写出零售和批发各多少箱时，才能
使总利润最大，并直接写出最大总利润是多少元.
解：（1）设零售该种葡萄 x 箱，批发该种葡萄 y 箱.根据题意，
得
解得
故零售该种葡萄20箱，批发该种葡萄80箱.
（2）设零售该种葡萄 m 箱，则批发该种葡萄（1000－ m ）箱，
利润为 W 元.
由题意得 W ＝60 m ＋30（1000－ m ）＝30 m ＋30000.
因为30＞0，
所以 W 的值随 m 值的增大而增大.
又因为 m ≤200，
所以当 m ＝200时，利润最大为30×200＋30000＝36000，
此时1000－200＝800（箱），
故当零售和批发各200箱，800箱时，总利润最大，最大总利润
为36000元.
2. 甲、乙两人在一环形场地上从某点开j始同时同向匀速跑步，
甲的速度是乙的2.5倍，4min后两人首次相遇，此时乙还需要跑
300m才跑完第一圈，求甲、乙两人的速度及环形场地的周长.
解：设乙的速度为 x m/min，则甲的速度为2.5 x m/min，环形场
地的周长为 y m.
根据题意，得
解得即乙的速度为150m/min，
则甲的速度为2.5×150＝375（m/min）.
故乙的速度为150m/min，甲的速度为375m/min，环形场地的周
长为900m.
要点四 二元一次方程组与一次函数的关系
甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了6 h.在加工过
程中乙机器因故障停止工作一段时间，排除故障后，乙机器提
高了工作效率且保持不变，继续加工.甲机器在加工过程中工作
效率始终保持不变.甲、乙两台机器加工零件的总数 y （个）与
甲加工的时间 x （h）之间的函数图象为折线 OABC ，如图所示.
（1）这批零件一共有 个，甲机器每小时加工 个
零件，乙机器排除故障后每小时加工 个零件；
270
20
40
（2）当3≤ x ≤6时，求 y 与 x 之间的函数关系式；
（3）在整个加工过程中，甲加工多长时间时，甲与乙加工的零
件个数相等？
【思路导航】（1）根据图象即可得出答案；（2）运用待定
系数法求解即可；（3）设甲加工 x h时，甲、乙加工的零件
个数相等.要分两种情况列方程解答：①当0≤ x ＜3时；②当
3≤ x ≤6时.
（1）【解析】由图可知，这批零件一共有270个；甲机器每小
时加工零件：（90－50）÷（3－1）＝20（个）；乙机器排除
故障后每小时加工零件：（270－90－20×3）÷3＝40（个）.
故答案为270，20，40.
（2）解：设当3≤ x ≤6时， y 与 x 之间的函数关系式为 y ＝ kx ＋
b .把 B （3，90）， C （6，270）代入关系式，得
解得
所以 y ＝60 x －90（3≤ x ≤6）.
（3）设甲加工 x h时，甲、乙加工的零件个数相等.
①当0≤ x ＜3时，20 x ＝50－20，解得 x ＝1.5；
②当3≤ x ≤6时，20 x ＝50－20＋40（ x －3）.解得 x ＝
4.5.综上所述，甲加工1.5 h或4.5 h时，甲与乙加工的零件个数相等.
已知A，B两地之间有一条长300 km的公路，甲车从A地出发匀
速开往B地，甲车出发2h后，乙车从B地出发匀速开往A地，两
车同时到达各自的目的地.两车行驶的路程之和 y （km）与甲车
行驶的时间 x （h）之间的函数关系如图所示.
（1） a 的值为 ；
600
（1）【解析】由题意可知，甲车的速度为100÷2＝50（km/h）.则 a ＝50×6×2＝600.故答案为600.
（2）解：设乙车出发后， y 与 x 之间的函数关系式为 y ＝ kx ＋ b .
由图可知，函数图象经过（2，100），（6，600）.
所以解得
所以乙车出发后， y 与 x 之间的函数关系式为 y ＝125 x －150（2≤ x ≤6）.
（2）求乙车出发后， y 与 x 之间的函数关系式；
①两车相遇前相距100km，则有
50 x ＋75（ x －2）＝300－100，
解得 x ＝ .
②两车相遇后相距100km，则有
50 x ＋75（ x －2）＝300＋100，
解得 x ＝ .
所以当甲、乙两车相距100 km时，甲车行驶的时间是 h或 h.
（3）解：乙车的速度为125－50＝75（km/h）.
（3）当甲、乙两车相距100 km时，求甲车行驶的时间.
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第五章 二元一次方程组
6 二元一次方程与一次函数
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1. 一次函数与二元一次方程的关系.
（1）以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的一次函数
图象上；
（2）反过来，一次函数图象上的 都适合相应的二
元一次方程.
点的坐标
2. 一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当
于求相应的 的解；解一个二元一次方程组
相当于确定相应 的坐标.
3. 已知直线 l1： y ＝ k1 x ＋ b1和直线 l2： y ＝ k2 x ＋ b2.
二元一次方程组
两条直线交点
（1）当 k1≠ k2时， l1与 l2相交于一点，则相应的
有 解；
（2）当 时， l1∥ l2，此时方程组
的解的情况是 ；
（3）当 时， l1与 l2重合，此时方程组
的解的情况是 .
唯一一个
k1＝ k2且 b1≠ b2
无解
k1＝ k2且 b1＝ b2
有无数组解
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0 2
典例讲练
在平面直角坐标系内，已知一次函数 y ＝ k1 x ＋ b1与 y ＝ k2 x ＋ b2
的图象如图所示，则关于 x ， y 的方程组的解
是 .
【解析】由图象，知两条直线的交点坐标为（2，1），所以原
方程组的解是故答案为
【点拨】每个二元一次方程都可以看成一次函数，它的图象
是一条直线，求二元一次方程组的解，就是求两个一次函数
图象的交点坐标.这种“数”与“形”进行转换的解题思想
非常重要.
【思路导航】观察图象，根据二元一次方程组与一次函数的关
系即可得到结果.
1. 已知方程组的解为则一次函数 y ＝1－
x 与 y ＝－ x ＋ 的图象的交点为（ B ）
A. （2，1） B.
C. D. （1，2）
B
2. 已知直线 y ＝ x ＋1与直线 y ＝ mx － n 相交于点 M （1， b ），
则关于 x ， y 的方程组的解为 .
用图象法解方程组：
【思路导航】把两个方程化为一次函数的形式，在同一平面直
角坐标系中，画出它们的图象，若两图象相交，则它们的交点
坐标就是方程组的解；否则，无解.
解：由 x ＋ y ＝2，
得 y ＝－ x ＋2.
由2 x ＋2 y ＝3，
得 y ＝－ x ＋ .
如图，在同一平面直角坐标系中画出一次函数 y ＝－ x ＋2的图
象 l1和 y ＝－ x ＋ 的图象 l2.
观察上图，两图象无交点，即直线 l1∥ l2.
故原方程组无解.
【点拨】二元一次方程组的解的情况与相应的一次函数图象的
关系：（1）二元一次方程组无解 两个一次函数的图象平行
（无交点）；（2）二元一次方程组有一个解 两个一次函数的
图象相交（有一个交点）；（3）二元一次方程组有无数个解
两个一次函数的图象重合（有无数个交点）.
（1）请在平面直角坐标系中作出一次函数 y ＝2 x ＋1和 y ＝3 x
的图象；
（2）利用你所画的图象，直接写出方程组的解.
解：（1）一次函数 y ＝2 x ＋1的图象经过点（0，1），（－1，
－1）；一次函数 y ＝3 x 的图象经过点（0，0），（1，3）.作
图如图所示.
（2）根据图象可得，方程组的解为
如图，已知一次函数 y ＝－ x ＋5和 y ＝ kx －1与 x 轴、 y 轴分别相
交于 A ， B ， C ， D 四点，两函数图象的交点为点 E ，且点 E 的
横坐标为2.
（1）求 k 的值；
（2）不解方程组，请直接写出二元一次方程组
的解；
（3）求△ ACE 的面积.
【思路导航】（1）先求出点 E 的坐标，然后代入 y ＝ kx －1计
算；（2）利用一次函数与二元一次方程组的关系求解；（3）
先利用两个一次函数的表达式求出点 A ， C 的坐标，然后根据
三角形的面积公式计算.
解：（1）当 x ＝2时， y ＝－ x ＋5＝－2＋5＝3，
所以点 E 的坐标为（2，3）.
把点 E （2，3）代入 y ＝ kx －1，得
2 k －1＝3.解得 k ＝2.
（3）当 y ＝0时，－ x ＋5＝0，解得 x ＝5.
所以点 A 的坐标为（5，0）.
当 y ＝0时，2 x －1＝0，解得 x ＝ .
所以点 C 的坐标为 .
所以△ ACE 的面积＝ × ×3＝ .
（2）方程组的解为
【点拨】求直线与坐标轴围成的几何图形的面积，关键是求出
直线与直线、直线与坐标轴的交点坐标，再利用数形结合思想
和几何图形的面积公式求解即可.计算时要注意线段的长度与坐
标的关系.
已知点 A （0，4）， C （－2，0）在直线 l ： y ＝ kx ＋ b 上，直
线 l 和函数 y ＝－4 x ＋ a 的图象交于点 B .
答图
（1）求直线 l 的函数表达式；
解：（1）因为点 A （0，4）， C （－2，0）在直线 l ： y ＝ kx ＋ b 上，所以解得
所以直线 l 的函数表达式为 y ＝2 x ＋4.
（2）由于点 B 在直线 l 上，当 x ＝1时， y ＝2＋4＝6，所以点 B 的坐标为（1，6）.
所以关于 x ， y 的方程组的解为解得 a ＝10.
（2）若点 B 的横坐标是1，求关于 x ， y 的方程组
的解及 a 的值；
（3）如答图，因为点 A 与点 P 关于 x 轴对称，
所以点 P （0，－4）.所以 AP ＝4＋4＝8.
所以 S△ PBC ＝ S△ PAB ＋ S△ PAC
＝ ×8×1＋ ×8×2＝12.
（3）在（2）的条件下，作点 A 关于 x 轴的对称点 P ，连接
PB ， PC ，求△ PBC 的面积.
答图
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第五章 二元一次方程组
8 三元一次方程组
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1. 相关概念.
（1）含有 个未知数，并且所含未知数的项的次数都
是 ，这样的方程叫做三元一次方程；
（2）共含有 个未知数的三个 次方程所组成的一组
方程，叫做三元一次方程组；
（3）三元一次方程组中各个方程的 ，叫做这个三元
一次方程组的解.
三
1
三
一
公共解
2. 解三元一次方程组的基本思路.
通过“ ”法或“ ”法进行消元，将“三元”
化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解 方
程组，进而再转化为解一元一次方程.
代入
加减
二元一次
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0 2
典例讲练
（1）以为解建立一个三元一次方程，不正确的是
（ C ）
A. 3 x －4 y ＋2 z ＝3 B. x － y ＋ z ＝－1
C. x ＋ y － z ＝－2 D. － y － z ＝
C
【思路导航】方程的解能使方程成立，代入每个方程验证即可.
【解析】将代入四个选项中的方程，不能成立的即为
不正确的方程，选项C不能成立.故选C.
（2）已知方程组则 a ＋ b ＋ c ＝ .
【思路导航】可以先解方程组，再求值；也可以观察其特点，
将等式相加减求值.
2
【解析】把方程组中的三个方程两边相加，得2 a ＋2 b ＋2 c ＝－
1＋2＋3.所以 a ＋ b ＋ c ＝2.故答案为2.
【点拨】解三元一次方程（组）时，可利用代入法和加减法进
行消元，也可观察方程的结构与特点，整体相加减，使运算更
简捷.
1. 已知三元一次方程 x － y ＋ z ＝3有无数个解，则下列四组值
中，不是该方程的解的是（ D ）
A. B.
C. D.
D
2. 由方程组可以得到 x ＋ y ＋ z 的值等于 .
【解析】把方程组中三个方程两边相加，得3 x ＋3 y ＋3 z ＝7＋8
＋9＝24.所以 x ＋ y ＋ z ＝8.故答案为8.
8
解三元一次方程组：
【思路导航】观察分析各方程系数之间的关系，先消去 x ， y ，
z 中的某一个，使其转化为二元一次方程组，再求解.
解：
将③变形为4 x －2 y －2 z ＝1. ④
由④－①×2，得2 x ＋2 y ＝1. ⑤
联立②⑤，得解得
所以 z ＝ x －2 y ＝0－2× ＝－1.
所以原方程组的解为
【点拨】解三元一次方程组的基本方法是代入消元法和加减消
元法.在解三元一次方程组时，消去哪个“元”都可以，不会影
响到解方程组的结果.但通过观察方程组的特征，灵活地选择消
去的“元”和确定消元步骤，能达到简化运算的目的.
解下列方程组：
（1） （2）
把③代入②，得4 y ＋2 y ＋5 z ＝22，
即6 y ＋5 z ＝22.⑤
联立④和⑤，得解得
把 y ＝2代入③，得 x ＝8.所以原方程组的解是
解：（1）
把③代入①，得4 y ＋ y ＋ z ＝12，
即5 y ＋ z ＝12. ④
（2）
由③＋①，得3 x ＋5 y ＝11. ④
由③×2＋②，得3 x ＋3 y ＝9. ⑤
由④－⑤，解得 y ＝1.
将 y ＝1代入⑤，解得 x ＝2.
将 x ＝2， y ＝1代入①，解得 z ＝－1.
所以原方程组的解为
某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由
2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成.若每人每天能够缝制衣袖10
个，或衣身15个，或衣领12个，则应该安排多少名工人缝制衣
袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套？
【思路导航】找出题干条件中的等量关系，建立三元一次方程
组进行解答.
解：设 x 名工人缝制衣袖， y 名工人缝制衣身， z 名工人缝制
衣领.
根据题意，得解得
所以应该安排120名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣
袖、衣身、衣领正好配套.
【点拨】在利用方程组解决实际问题时，一般设几个未知数就
要找几个等量关系列方程.
一个三位数，各数位上的数字之和为13，十位数字比个位数字
大2.若把百位数字与个位数字对调，则所得新数比原来的三位
数大99.求这个三位数.
解：设这个三位数的个位数字为 x ，十位数字为 y ，百位数字为
z .根据题意，得
解得
所以这个三位数是364.
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第五章 二元一次方程组
5 应用二元一次方程组——里程碑上的数
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课前预习
对于一个两位数，若个位数字是 x ，十位数字是 y ，则这个
数可以表示为 ；对于一个三位数，若个位数字是
x ，十位数字是 y ，百位数字是 z ，则这个数可以表示为
.
10 y ＋ x
100 z
＋10 y ＋ x
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0 2
典例讲练
一个两位数，个位数字与十位数字之和为9，把这个两位数的十
位数字和个位数字对调后所得新两位数比原两位数大27.求这个
两位数.
【思路导航】先设出原两位数的十位数字和个位数字，再分别
表示出原两位数和新两位数，最后建立方程组求解即可.
解：设这个两位数的十位数字为 x ，个位数字为 y .
根据题意，得
解得
所以10 x ＋ y ＝10×3＋6＝36.
故这个两位数为36.
【点拨】若一个两位数十位上的数字为 a ，个位上的数字为 b ，
则这个两位数可表示为10 a ＋ b .
若两个两位数的差是10，在较大的两位数的右边接着写较小的
两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的
两位数，也得到一个四位数.已知这两个四位数的和是5 050，
求这两个两位数.设较大的两位数为 x ，较小的两位数为 y .根据
题意，列方程组为 .
小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔
一段时间看到的里程碑上的数如下：
时刻 12：00 13：00 14：30
碑上 的数 是一个两位数，
数字之和为6 十位、个位数字与
12：00时所看到的
正好互换了 比12：00时看到的
两位数中间多了一
个0
问：12：00时看到的两位数是多少？
【思路导航】此问题中隐含的等量关系式：第一段行程的速度
＝第二段行程的速度.据此列方程组求解即可.
则12：00～13：00行驶的里程数为（10 y ＋ x ）－（10 x ＋ y ）；13：00～14：30行驶的里程数为（100 x ＋ y ）－（10 y ＋ x ）.根据题意，得
解得
故12：00时看到的两位数是10×1＋5＝15.
解：设小明12：00时看到的两位数的十位数字为 x ，个位数字为
y ，则两位数为10 x ＋ y ，则13：00时看到的两位数为10 y ＋ x ，14：30时看到的数为100 x ＋ y .
小颖家离学校1 880 m，其中有一段为上坡路，另一段为下坡
路.她跑步去学校共用了16 min.已知小颖在上坡路上跑步的平
均速度是80 m/min，在下坡路上跑步的平均速度是200 m/min.
求小颖上坡、下坡各用了多长时间.
解：设小颖上坡用了 x min，下坡用了 y min.
根据题意，得解得
故小颖上坡用了11 min，下坡用了5 min.
一项工作，若甲先完成全部工作的 ，然后乙完成余下部分，则两人共需25天；若甲先完成全部工作的 ，然后乙完成余下部分，则两人共需28天.求甲单独完成此项工作所需的时间.
【思路导航】本题中的等量关系：甲工作的天数＋乙工作的天
数＝完成这项工作共用的天数，据此列方程组解答即可.
解：设甲单独完成这项工作需 x 天，乙单独完成这项工作需 y
天.
根据题意，得解得
故甲单独完成此项工作需20天.
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，
正确列出二元一次方程组是解题的关键.
有这样一个故事：一位父亲临终前叫他的几个儿子按照下列的
方式和顺序依次分配他的财产：第一个儿子分得100元与剩下财
产的 ；第二个儿子分得200元与剩下财产的 ；第三个儿子分得300元与剩下财产的 ……依此类推.结果正好每个儿子分得的财产一样多.问：这位父亲共有多少财产，共有几个儿子，每个儿子分得多少财产？
解：设这位父亲共有财产 x 元，每个儿子分得 y 元，
则第一个儿子分得 y ＝100＋ ；
第二个儿子分得 y ＝200＋ .
联立，得解得
则 ＝ ＝9.
故这位父亲共有财产8 100元，共有9个儿子，每个儿子分得
900元.
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第五章 二元一次方程组
2 求解二元一次方程组（第二课时）
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0 1
课前预习
加减消元法.
解二元一次方程组时，通过两式相加（减）
，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称
加减法.
消去其中一个未
知数
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0 2
典例讲练
（1）解方程组：
【思路导航】利用加减法，消去 y ，即可得到关于 x 的一元一次
方程，求出 x 的值，再代入原方程即可求出 y 的值.
解：
由①－②，得－6 x ＝6.
解得 x ＝－1.
将 x ＝－1代入②，得2×（－1）＋3 y ＝2，
解得 y ＝ .
所以原方程组的解是
（2）已知 ＋｜2 a － b ＋1｜＝0，则 a ＋2 b ＝ .
【思路导航】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的
解，代入原式计算即可.
－
8
【解析】因为 ＋｜2 a － b ＋1｜＝0.
所以解得
所以 a ＋2 b ＝－2＋2×（－3）＝－8.
故答案为－8.
【点拨】当方程组中的两个方程的某个未知数的系数相同或互
为相反数时，可以直接用加减消元法求解.
1. 已知方程组用①减去②，下列变形正确
的是（ C ）
A. 2 y ＝7 B. 2 y ＝－7
C. 8 y ＝－7 D. 8 y ＝7
C
2. 已知单项式 x2 a－3 by11与 x7 y4 a－3 b 是同类项，则 a ＋ b 的值
为 .
1
解方程组：
（1） （2）
【思路导航】将方程乘一个常数，再通过相加减消元.
解：（1）
由①×2，得4 x －6 y ＝14.③
由②－③，得3 x ＝－3.解得 x ＝－1.
将 x ＝－1代入①，解得 y ＝－3.
所以原方程组的解是
（2）原方程组变形，得
由①×2－②×3，得－5 x ＝－15，解得 x ＝3.
将 x ＝3代入①，得2×3－3 y ＝－6，解得 y ＝4.
所以原方程组的解是
【点拨】用加减消元法解二元一次方程组时，一般有三种情
况：（1）方程组中某个未知数的系数的绝对值相等，则直接利
用加减消元法求解；（2）方程组中任意一个未知数的绝对值都
不相等，但某个未知数的系数的绝对值成整倍数关系，则其中
一个方程乘这个倍数后再利用加减消元法求解.（2）方程组中
任意一个未知数的系数的绝对值不相等时，可利用最小公倍数
的知识，把两个方程都适当乘一个数，使某个未知数的系数的
绝对值相等，然后利用加减消元法求解.
解方程组：
（1）
解：（1）
由①×2＋②，得7 x ＝14，解得 x ＝2.
将 x ＝2代入①，解得 y ＝ .
所以原方程组的解是
（2）
（2）设 x ＋ y ＝ m ， x － y ＝ n ，
则原方程组可变形为
由①×3＋②×2，解得 m ＝1.
将 m ＝1代入①，解得 n ＝1.
所以所以解得
所以原方程组的解是
已知关于 x ， y 的方程组与的
解相同，求 b－ a 的值.
【思路导航】因为方程组的解是所有方程的公共解，所以此公
共解适合方程组中的每个方程.
解：由题意，得解得
将代入得
解得
所以 b－ a ＝（－3）－1＝－ .
【点拨】解答两个含参数的二元一次方程组同解问题的基本方
法：先利用两个已知系数的一次方程组成方程组，并求出方程
组的解；然后利用这个解得到关于字母参数的方程（组），进
而求得字母参数的值.
已知关于 x ， y 的二元一次方程组的解满足2 x ＋ y ＝4，求 m 的值.
解：
由②×2－①，得 y ＝3 m ＋2.
将 y ＝3 m ＋2代入②，得 x ＋6 m ＋4＝2 m ，
解得 x ＝－4 m －4.
所以原方程组的解是
将代入2 x ＋ y ＝4，得
2（－4 m －4）＋3 m ＋2＝4，
解得 m ＝－2.
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第五章 二元一次方程组
2 求解二元一次方程组（第一课时）
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课前预习
典例讲练
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课前预习
1. 解二元一次方程组的基本思路.
通过 将二元一次方程组转化为一元一次方程求解.
2. 代入消元法.
解二元一次方程组时，将其中一个方程中的某个未知数用
含 的代数式表示出来，并代入 方
程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为
.这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.
消元
另一个未知数
另一个
一元一次
方程
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典例讲练
用代入法解方程组下列四种说法中正确的是
（ C ）
C
A. 由②，得 t ＝ ，再代入①
B. 由②，得 s ＝ ，再代入①
C. 由①，得 t ＝1－2 s ，再代入②
D. 由①，得 s ＝ ，再代入②
【思路导航】用代入法解二元一次方程组时，先消去系数为1或
－1的未知数.
【解析】用代入法解方程组 由②，得 t ＝
，再代入①求解，A选项错误；由②，得 s ＝ ，再代入
①求解，B选项错误；由①，得 t ＝1－2 s ，再代入②求解，C选
项正确；由①，得 s ＝ ，再代入②求解，D选项错误.故选C.
【点拨】用代入消元法解方程组时要准确用一个未知数表示另
一个未知数.
解方程组由①，得 y ＝1－2 x ，将其代入②，下
列变形正确的是（ D ）
A. 4 x －3－2 x ＝6 B. 4 x －3＋2 x ＝6
C. 4 x －3－6 x ＝6 D. 4 x －3＋6 x ＝6
D
解方程组：
（1） （2）
【思路导航】（1）通过消元将二元一次方程组转化为一元一次
方程求解；（2）先化简，再求解.
解：（1）
由②，得 x ＝－3 y ＋7.③
将③代入①，得3（－3 y ＋7）－2 y ＝－1，解得 y ＝2.
将 y ＝2代入③，得 x ＝－6＋7＝1.
所以原方程组的解是
（2）原方程组整理，得
由②，得 x ＝9 y －2.③
将③代入①，得5（9 y －2）＋ y ＝36，解得 y ＝1.
将 y ＝1代入③，得 x ＝9－2＝7.
所以原方程组的解是
【点拨】（1）对于稍复杂的二元一次方程组，一般先化简，再
求解.（2）解一元二次方程组后，要养成代入检验的好习惯，
这样可以减少错误.
1. 用代入消元法解下列方程组：
（1）
解：
由①，得 y ＝－8＋3 x .③
将③代入②，得2 x －5（－8＋3 x ）＝14，
解得 x ＝2.
将 x ＝2代入③，得 y ＝－8＋3×2＝－2.
所以原方程组的解是
（2）
解：原方程组整理，得
由②，得 m ＝5 n －3.③
将③代入①，得5（5 n －3）＋11 n ＝21，
解得 n ＝1.
将 n ＝1代入③，得 m ＝2.
所以原方程组的解是
2. 已知方程组与
有相同的解，求3 m ＋2 n 的值.
解：由题意，得解得
将代入得
解得
所以3 m ＋2 n ＝3×4＋2×（－1）＝12－2＝10.
解方程组：
【思路导航】运用整体思想，换元后利用代入法解方程.
解：令 m ＝ x ＋ y ， n ＝ y －2.
原方程组可化为解得
即解得
【点拨】对于含有固定且相同结构的代数式，如本例的 x ＋
y ， y －2，常采用整体思想进行换元，即设 m ＝ x ＋ y ， n ＝ y －2，使原方程组和新方程组都得以简化.此题也可以先化简，再求解.
已知关于 p ， q 的方程组的解是
解下面关于 x ， y 的方程组：
解：设 x2－1＝ m ， ＝ n .
所以方程组
可变形为
对比方程组
可得即解得
所以方程组的解是
或
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第五章 二元一次方程组
7 用二元一次方程组确定一次函数表达式
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课前预习
1. 待定系数法.
先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系
数，从而得到函数表达式的方法，叫做 .
待定系数法
2. 用待定系数法求函数表达式的一般步骤.
（1）设：设出函数表达式，如 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）；
（2）代：把已知条件代入表达式中，得到关于 k ， b 的方程
组；
（3）求：解方程组，求出未知数 k ， b ；
（4）写：写出函数的表达式.
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典例讲练
已知 y 是 x 的一次函数，当 x ＝1时， y ＝5；当 x ＝－1时， y ＝1.
（1）求该一次函数的表达式；
（2）若点 A ， B （2， b ）在该函数的图象上，则 a ， b
的大小关系为 .
【思路导航】（1）设一次函数的表达式，将 x ＝1， y ＝5及 x ＝
－1， y ＝1代入并求解即可；（2）根据一次函数的增减性可得
a ， b 的大小关系.
a ＜ b
（1）解：设一次函数的表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
根据题意，得解得
所以该一次函数的表达式为 y ＝2 x ＋3.
（2）【解析】因为 k ＝2＞0，所以 y 的值随 x 值的增大而增大.
因为 ＜2，所以 a ＜ b .故答案为 a ＜ b .
【点拨】求一次函数的表达式一般都要经过“设、代、求、
写”四步：设出一次函数的表达式；把已知两点的坐标代入所
设的表达式，得到二元一次方程组；求解这个方程组；最后将
求得的值代入所设的表达式，写出一次函数的表达式.
如图，已知直线 l1： y ＝ kx ＋ b 与直线 l2： y ＝－ x ＋4交于点 C
（ m ，2），直线 l1经过点（4，6）.
解：（1）当 y ＝2时，－ x ＋4＝2，解得 x ＝2，
即点 C 的坐标为（2，2）.
（1）求直线 l1的函数表达式；
由 y ＝ kx ＋ b 与直线 l2： y ＝－ x ＋4交于点 C （2，2），直线 l1经过点（4，6），得解得
故直线 l1的函数表达式为 y ＝2 x －2.
（2）请直接写出关于 x ， y 的二元一次方程组
的解.
（2）由图象的交点坐标，知关于 x ， y 的二元一次方程组的解是
如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数 y ＝－ x ＋5的图象
l1分别与 x ， y 轴交于 A ， B 两点，正比例函数的图象 l2与 l1交于
点 C （ m ，3）.
（1）求 m 的值及 l2的函数表达式；
（2）求 S△ AOC － S△ BOC 的值；
（3）在坐标轴上找一点 P ，使△ OCP 是以 OC 为腰的等腰三角
形，求点 P 的坐标.
【思路导航】（1）先求得点 C 的坐标，再运用待定系数法即可
得到 l2的函数表达式；（2）作两个三角形的高，计算其面积，
相减即可；（3）分以点 O 或点 C 为顶角顶点，进行讨论，求出
点 P 的坐标.
解：（1）把 C （ m ，3）代入一次函数 y ＝－ x ＋5，
得3＝－ m ＋5，解得 m ＝4.所以点 C （4，3）.
设直线 l2的函数表达式为 y ＝ ax ，
把 C （4，3）代入得3＝4 a ，解得 a ＝ .
所以直线 l2的函数表达式为 y ＝ x .
（2）如图，过点 C 作 CD ⊥ AO 于点 D ， CE ⊥ BO 于点 E ，则 CD ＝3， CE ＝4.
在 y ＝－ x ＋5中，令 x ＝0，得 y ＝5；令 y ＝0，得 x ＝10.所以点 A （10，0），点 B （0，5）.
所以 AO ＝10， BO ＝5.
所以 S△ AOC － S△ BOC ＝ ×10×3－ ×5×4＝15－10＝5.
（3）因为 C （4，3），所以 OC ＝5.
因为△ OCP 是以 OC 为腰的等腰三角形，
所以有以下几种情形：
①若点 O 为顶角顶点，则 OP ＝ OC ＝5.又因为点 P 在坐标轴
上，所以点 P 的坐标为（－5，0），（5，0），（0，－5）或
（0，5）；
②若点 C 为顶角顶点，则 CP ＝ CO ＝5， OP 为等腰三角形 OCP 的底边.结合点 O ， C 的坐标，及等腰三角形“三线合一”知，点 P 的坐标为（8，0）或（0，6）.
综上所述，点 P 的坐标为（－5，0），（5，0），（0，5），（0，5），（8，0）或（0，6）.
【点拨】（1）在平面直角坐标系中求面积常抓坐标关系求三角
形的底或者高.（2）在平面直角坐标系中构造等腰三角形要注
意分类讨论，再利用勾股定理或对称性找坐标.
如图，已知直线 y1＝2 x －2与 y 轴交于点 A ，直线 y2＝－2 x ＋6与
y 轴交于点 B ，两者相交于点 C .
（1）求△ ABC 的面积；
解：（1）令 x ＝0，得 y1＝－2， y2＝6.
所以点 A （0，－2）， B （0，6）.所以 AB ＝8.
联立解得
所以点 C （2，2）.所以 ＝ ×8×2＝8.
（2）在直线 y1＝2 x －2上存在异于点 C 的另一点 P ，使得△ABP 与△ ABC 的面积相等，求点 P 的坐标.
（2）令点 P （ x0，2 x0－2），
则 ＝ ×8×｜ x0｜＝8，
解得 x0＝±2.
因为点 P 异于点 C ，
所以 x0＝－2，2 x0－2＝－6.
所以点 P 的坐标为（－2，－6）.
小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙
地参加社会实践活动.如图，折线 OAB 和线段 CD 分别表示小泽
和小帅离甲地的距离 y （km）与时间 x （h）之间的函数关系的
图象.根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）小帅的骑车速度为 km/h，点 C 的坐标为
；
（2）求线段 AB 对应的函数表达式；
16
（0.5，
0）
（3）当小帅到达乙地时，小泽距乙地还有多远？
【思路导航】（1）根据函数图象中的数据可求得小帅的骑车速
度和点 C 的坐标；（2）根据函数图象中的数据可求得线段 AB
对应的函数表达式；（3）将 x ＝2代入（2）中的函数表达式求
出相应的 y 的值，再用24减去此时的 y 值即可求得当小帅到达乙
地时小泽距乙地的距离.
（1）【解析】由图象，得小帅的骑车速度为（24－8）÷（2－
1）＝16（km/h）.则点 C 的横坐标为1－8÷16＝0.5，所以点 C
的坐标为（0.5，0）.故答案为16，（0.5，0）.
（2）解：设线段 AB 对应的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b .
将 A （0.5，8）， B （2.5，24）代入，得
解得
所以线段 AB 对应的函数表达式为 y ＝8 x ＋4（0.5≤ x ≤2.5）.
（3）解：当小帅到达乙地时， x ＝2，则 y ＝8×2＋4＝20，
此时小泽距乙地24－20＝4（km）.
故当小帅到达乙地时，小泽距乙地还有4 km.
【点拨】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题
意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答.
甲、乙两列火车分别从A，B两城同时匀速驶出，甲车开往B
城，乙车开往A城.由于墨迹遮盖，图中只能提供两车距B城的
路程 s甲（km）， s乙（km）与行驶时间 t （h）的函数图象的一
部分.
120
（1）【解析】120÷1＝120（km/h）.
故答案为120.
（1）乙车的速度为 km/h；
（2）解：设 s甲与 t 的函数关系式为 s甲＝ k1 t ＋ b .
因为图象过点（3，60）与（1，420），
所以解得
所以 s甲与 t 的函数关系式为 s甲＝－180 t ＋600.
设 s乙与 t 的函数关系式为 s乙＝ k2 t .
因为图象过点（1，120），所以 k2＝120.
所以 s乙与 t 的函数关系式为 s乙＝120 t .
（2）分别求出 s甲， s乙与 t 的函数关系式（不必写出 t 的取值范
围）；
（3）求出A，B两城之间的路程及 t 为何值时两车相遇；
（3）解：当 t ＝0时， s甲＝600，
所以甲、乙两城之间的路程为600 km.
因为甲、乙两车相遇时， s甲＝ s乙，
即－180 t ＋600＝120 t ，解得 t ＝2.
所以当 t ＝2 h时，两车相遇.
（4）当甲、乙两车相距300 km时，求 t 的值.
（4）解：当相遇前甲、乙两车相距300 km时，
s甲－ s乙＝300，即－180 t ＋600－120 t ＝300，
解得 t ＝1.
当相遇后甲、乙两车相距300 km时， s乙－ s甲＝300，即120 t ＋
180 t －600＝300，解得 t ＝3.
综上所述，当甲、乙两车相距300 km时， t ＝1或3.
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