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总复习 期末复习课
期末复习课（四）（第四章 一次函数）
数学 八年级上册 BS版
知识梳理
典例讲练
目录
CONTENTS
1. 函数、一次函数、正比例函数的概念.
（1）函数：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x 和
y ，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与之对
应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是 ， y 是
；
（2）一次函数：若两个变量 x ， y 间的对应关系可以表示成
的形式，则称 y 是 x 的一次
函数；
自变量
因
变量
y
＝ kx ＋ b （ k ， b 为常数， k ≠0）
（3）正比例函数：特别地，当 时，称 y 是 x 的正比例
函数.
b ＝0
2. 一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）的图象与性质.
一次 函数 y ＝ kx ＋ b （ k ， b 为常数， k ≠0） k ， b
的符号 k ＞0 k ＜0 b ＞0 b ＜0 b ＝0 b ＞0 b ＜0 b ＝0
图象
象限 过第 一、
二、 三象限 过第 一、
三、 四象限 过第 一、三 象限 过第 一、
二、 四象限 过第 二、
三、 四象限 过第
二、四
象限
性质 y 的值随着 x 值的 增大而增大 y 的值随着 x 值的 增大而减小 （1）一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）的图象的画法：如图，通常
过图象与两坐标轴的交点 A ， B 作直线，该直
线即为一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）的图象；
（2）一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）的图象与两坐标轴所围成的
三角形的面积为 · · ＝ .
3. 同一直角坐标系中直线的位置关系.
对于直线 y ＝ k1 x ＋ b1（ k1≠0）与 y ＝ k2 x ＋ b2（ k2≠0）：
（1）当 k1＝ k2且 b1≠ b2时，两直线 ；
（2）当 k1＝ k2且 b1＝ b2时，两直线 ；
（3）当 k1≠ k2时，两直线 ；
（4）当 时，两直线互相垂直.
4. 直线 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）平移的口诀.
上加下减，左加右减.
平行
重合
相交
k1 k2＝－1
5. 一次函数在实际问题中的应用.
（1）实际问题中一次函数的表达式及图象.
关键：理解一次函数的表达式与图象上点的坐标的实际意义.
（2）分段的一次函数.
关键：求出各段的函数表达式.
（3）动点问题的函数表达式及图象.
关键：正确分段及求出各段的函数表达式.
（4）同一坐标系中两个一次函数的图象问题.
关键：两个一次函数图象的交点及意义.
数学 八年级上册 BS版
0 2
典例讲练
类型一 一次函数的基础知识
（1）对于一次函数 y ＝－ x －2的相关性质，下列描述错误
的是（ B ）
B
A. 函数图象经过第二、三、四象限
B. 函数图象与 x 轴的交点坐标为（－1，0）
C. y 的值随着 x 值的增大而减小
D. 函数图象与坐标轴围成的三角形的面积为2
【思路导航】根据一次函数图象的性质，一次函数图象上点的
坐标特征，一次函数图象与坐标轴的交点以及三角形的面积公
式进行分析判断.
【解析】A. 由于一次函数 y ＝－ x －2中 k ＝－1＜0， b ＝－2＜
0，∴函数图象经过第二、三、四象限，故A正确，不符合题
意；B. 直线 y ＝－ x －2，令 y ＝0，得－ x －2＝0.解得 x ＝－
2.∴函数图象与 x 轴的交点坐标为（－2，0），故B错误，符合
题意；C. 由于一次函数 y ＝－ x －2中的 k ＝－1＜0，∴ y 的值随着 x 值的增大而减小，故C正确，不符合题意；D. 直线 y ＝－ x －2，令 x ＝0，得 y ＝－2.函数图象与坐标轴围成的三角形的面积为 ×2×2＝2，故D正确，不符合题意.故选B.
【点拨】在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积的填空题
或选择题时，可用 S ＝ 去计算，但是在解答题中不能直
接使用.
（2）已知直线 y ＝ kx ＋ b 经过第一、二、四象限，则一次函数 y
＝ bx － k 的图象可能是（ B ）
A
B
C
D
【思路导航】由直线 y ＝ kx ＋ b 经过的象限判断 k ， b 的取
值范围，再判断一次函数 y ＝ bx － k 的图象经过的象限即可
得出结论.
B
【解析】∵直线 y ＝ kx ＋ b 经过第一、二、四象限，∴ k ＜0， b
＞0.∴－ k ＞0.∴一次函数 y ＝ bx － k 经过第一、二、三象
限.∴选项B中的图象符合题意.故选B.
【点拨】解题时，注意一次函数表达式中 k ， b 所在的位置.
1. 已知直线 y ＝2 kx 如图所示，则 y ＝（ k －2） x ＋1－ k 的图象
可能是（ A ）
A B C D
A
2. 对于函数 y ＝ k2 x （ k 是常数， k ≠0）的图象，下列说法不正
确的是（ D ）
A. 是一条直线
B. 过点
C. y 的值随着 x 值的增大而增大
D. 经过第一、三象限或第二、四象限
D
类型二 一次函数的简单实际应用
某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水
价格.图中直线 l1， l2分别表示去年、今年的水费 y （元）与用水
量 x （m3）之间的关系.
（1）求出直线 l1的函数表达式；
（2）求出直线 l2（当 x ＞120时）的函数表达式；
（3）小雨家去年用水量为150m3，若今年的用水量与去年相
同，则水费将比去年多多少元？
【思路导航】（1）根据函数图象和图象中的数据，可以求得直
线 l1的函数表达式；（2）根据函数图象和图象中的数据，可以
求得直线 l2（当 x ＞120时）的函数表达式；（3）将 x ＝150分别代入（1）和（2）中的函数表达式，求出相应的函数值，然后作差即可.
解：（1）设直线 l1的函数表达式为 y ＝ kx （ k ≠0）.
∵点（160，480）在该函数图象上，
∴480＝160 k ，解得 k ＝3.
故直线 l1的函数表达式为 y ＝3 x .
（2）设图象 l2（当 x ＞120时）的函数表达式为 y ＝ ax ＋ b （ a
≠0）.
∵点（120，480），（160，720）在该函数图象上，
∴解得
故直线 l2（当 x ＞120时）的函数表达式为 y ＝6 x －240.
（3）当 x ＝150时，去年水费： y ＝3×150＝450（元），
今年水费： y ＝6×150－240＝900－240＝660（元）.
660－450＝210（元）.
故小雨家去年用水量为150m3，若今年用水量与去年相同，水费
将比去年多210元.
【点拨】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是求出直
线 l1和直线 l2（当 x ＞120时）的函数表达式.
为鼓励市民节约用电，某地采取用电量按月分段收费的办法.已
知某户居民每月应缴电费 y （元）与用电量 x （kW·h）的函数图象如图所示.根据图象解答下列问题：
解：（1）当0≤ x ≤100时，设 y 与 x 之间的函数关系式为 y ＝ kx
（ k ≠0）.
将（100，65）代入，得100 k ＝65，解得 k ＝0.65.
所以 y ＝0.65 x （0≤ x ≤100）.
当 x ＞100时，设 y 与 x 之间的函数关系式为 y ＝ mx ＋ n （ m ≠0）.
将（100，65），（130，89）代入，得
解得所以 y ＝0.8 x －15（ x ＞100）.
综上所述， y ＝
（1）分别写出当0≤ x ≤100和 x ＞100时， y 与 x 之间的函数关
系式.
（2）根据（1）的函数关系式，得月用电量在0 kW·h到100
kW·h之间时，每千瓦时0.65元；
月用电量超出100 kW·h时，超过部分每千瓦时0.8元.
所以用户月用电62 kW·h时，62×0.65＝40.3（元），
即用户应缴费40.3元.
用户月缴费105元时，即0.8 x －15＝105，
解得 x ＝150.
即该用户该月用电150 kW·h.
（2）若该用户某月用电62 kW·h，则应缴费多少元？若该用户
某月缴费105元，则该用户该月用电多少千瓦时？
类型三 一次函数与几何中的存在性问题
如图，在平面直角坐标系中，已知直线 AB ： y ＝－ x ＋ b 交
y 轴于点 A （0，4），交 x 轴于点 B .
（1）求直线 AB 的函数表达式和点 B 的坐标.
（2）直线 l 垂直平分 OB 交 AB 于点 D ，交 x 轴于点 E . 点 P 是直
线 l 上一动点，且在点 D 的上方，设点 P 的纵坐标为 n .
①用含 n 的代数式表示△ ABP 的面积.
②当 S△ ABP ＝8时，求点 P 的坐标.
③在②的条件下，在坐标轴上是否存在一点 Q ，使得△ ABQ 与
△ ABP 的面积相等？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请
说明理由.
【思路导航】（1）把点 A 的坐标代入直线的函数表达式中，可
求得 b ，进而可求得点 B 的坐标.（2）①由直线 l 垂直平分 OB 可知 OE ＝ BE ，可求得点 D 的坐标，设点 P 的坐标为（2， n ），然后依据 S△ APB ＝ S△ APD ＋ S△ BPD ，可得到△ APB 的面积与 n 的函数关系式；②由 S△ ABP ＝8可求得 n 的值，从而得到点 P 的坐标；③作 AB 的平行线，使点 Q ， P 到 AB 的距离相等.
解：（1）把 A （0，4）代入 y ＝－ x ＋ b ，得 b ＝4.
∴直线 AB 的函数表达式为 y ＝－ x ＋4.
令 y ＝0，得－ x ＋4＝0，解得 x ＝4.
∴点 B 的坐标为（4，0）.
（2）①∵直线 l 垂直平分 OB ，
∴ OE ＝ BE ＝ OB ＝ ×4＝2.
把 x ＝2代入 y ＝－ x ＋4，得 y ＝－2＋4＝2.
∴点 D 的坐标为（2，2）.
∵点 P 的坐标为（2， n ），
∴ PD ＝ n －2.
∵ S△ APB ＝ S△ APD ＋ S△ BPD ，
∴ S△ ABP ＝ PD · OE ＋ PD · BE
＝ （ n －2）×2＋ （ n －2）×2
＝2 n －4.
②∵ S△ ABP ＝8，∴2 n －4＝8，解得 n ＝6.
∴点 P 的坐标为（2，6）.
③如图.情况一：过点 P 作 AB 的平行线 l1交 y 轴于点 Q1，交 x 轴
于点 Q2.
∵ Q1 Q2∥ AB ，
∴△ Q1 AB ，△ Q2 AB 都与△ PAB 的面积相等.
∵直线 AB 的函数表达式为 y ＝－ x ＋4，
∴直线 Q1 Q2的函数表达式为 y ＝－ x ＋8.
∴点 Q1（0，8），点 Q2（8，0）.
情况二：作点 P 关于点 D 的对称点 K （2，－2），过点 K 作 AB
的平行线 l2.
可得直线 l2的函数表达式为 y ＝－ x ，
∴直线 l2经过原点， Q3（0，0）也满足条件.
综上所述，满足条件的点 Q 的坐标为（0，8），（8，0）或
（0，0）.
【点拨】本例（2）③问中使用作平行线的办法找使两个三
角形面积相等的点的坐标，可以避免使用方程求面积带来的
大量运算.
如图，在平面直角坐标系中，已知△ AOB 的边 OA 在 x 轴上，点
A 的坐标为（14，0），点 B 在第一象限，∠ BAO ＝45°， AB
＝8 .点 D 为射线 OB 上一点，过点 D 作直线 l ∥ y 轴交 OA 于点 E ，交射线 AB 于点 G .
解：（1）如答图，过点 B 作 BH ⊥ OA 于点 H .
∵∠ BAO ＝45°， AB ＝8 ，∴ BH ＝ AH ＝ AB ＝8.
∵ A （14，0），∴ OA ＝14.
∴ OH ＝ OA － AH ＝6.
∴点 B 的坐标为（6，8）.
（1）求点 B 的坐标；
答图
（2）当点 D 为线段 OB 的中点时，在直线 l 上找一点 P ，使
△ PBD 为等腰三角形，求点 P 的坐标.
（2）∵点 D 是 OB 的中点，∴点 D 的坐标为（3，4）.
设 P （3， m ）.
∵点 B 的坐标为（6，8），∴ DP ＝｜ m －4｜，
BD ＝ ＝5，
BP2＝（ m －8）2＋9.
∵△ PBD 为等腰三角形，
∴有以下三种情况：
①当 DP ＝ BD 时，则｜ m －4｜＝5.
∴ m ＝9或 m ＝－1.∴点 P 的坐标为（3，9）或（3，－1）；
②当 DP ＝ BP 时，则（ m －4）2＝（ m －8）2＋9.
∴ m ＝ .∴点 P 的坐标为 ；
③当 BD ＝ BP 时，则25＝（ m －8）2＋9.
∴ m ＝4（舍去）或 m ＝12.∴点 P 的坐标为（3，12）.
综上所述，满足条件的点 P 的坐标为（3，9），（3，－1），
或（3，12）.
类型四 一次函数在实际问题中的应用
甲、乙两车分别从B，A两地同时出发，甲车匀速前往A
地，乙车匀速前往B地，且到达B地后立即以另一速度按原路匀
速返回到A地.设甲、乙两车距A地的路程为 y （km），乙车行
驶的时间为 x （h）， y 与 x 之间的函数图象如图所示.请根据图
象解决下列问题：
（1）乙车从A地到B地的速度是 km/h；
（2）乙车到达B地时，甲车距A地的路程是 km；
（3）求乙车返回途中，甲、乙两车相距180 km时，乙车总共行
驶的时间.
120
100
【思路导航】（1）根据题意和函数图象中的数据计算即可；
（2）根据图中的数据，可以先求出 m 的值和甲车的速度，然后
计算即可；（3）根据图中的数据，先计算出乙车从B地返回A
地的速度，然后分两种情况计算即可.
（2）【解析】由图象，得 m ＝300÷120＝2.5，甲车的速度为
（300－180）÷1.5＝80（km/h），则乙车到达B地时甲车距A
地的路程是300－80×2.5＝300－200＝100（km）.故答案为
100.
（1）【解析】由图象，得乙车从A地到B地的速度为180÷1.5
＝120（km/h）.故答案为120.
（3）解：由图象，得乙车从B地返回A地的速度为300÷（5.5
－2.5）＝300÷3＝100（km/h）.
设乙车返回途中，甲、乙两车相距180 km时，乙车总共行驶的
时间为 a h，此时有
80 a －100（ a －2.5）＝180或300－180＝100（ a －2.5），解
得 a ＝3.5或 a ＝3.7.
甲车到达A地需要的时间为 n ＝300÷80＝3.75（h）.
∵300－100×（3.75－2.5＝175＜180），
∴ a ＝3.7不符合题意.
故乙车返回途中，甲、乙两车相距180 km时，乙车总共行驶的
时间为3.5 h.
【点拨】在遇到两车或两人相向而行的距离问题时，分相遇
前、相遇后、其中一个停止等多种情况分别讨论，一般采用列
方程的方法求解.
如图，甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线从A地行驶到B地，
两地相距60 km.请根据图象解决下列问题：
解：（1）设甲行驶的路程 y1（km）与甲行驶的时间 x （h）之
间的函数表达式是 y1＝ kx .
∵点（4，40）在该函数图象上，
∴40＝4 k ，解得 k ＝10.
故甲行驶的路程 y1（km）与甲行驶的时间 x （h）之间的函数表
达式是 y1＝10 x （0≤ x ≤6）.
（1）分别求出甲行驶的路程 y1（km）、乙行驶的路程 y2（km）与甲行驶的时间 x （h）之间的函数表达式；
设乙行驶的路程 y2（km）与甲行驶的时间 x （h）之间的函数表
达式是 y2＝ ax ＋ b .
∵点（3，0），（4，40）在该函数图象上，
∴解得
故乙行驶的路程 y2（km）与甲行驶的时间 x （h）之间的函数表
达式是 y2＝40 x －120（3≤ x ≤4.5）.
（2）当甲、乙都在行驶中，且甲与乙相距的路程为12 km时，
求 x 的值.
（2）甲、乙都行驶，当甲与乙相遇前相距12 km时，
10 x －（40 x －120）＝12，解得 x ＝3.6.
甲、乙都行驶，甲与乙相遇后相距12 km时，
（40 x －120）－10 x ＝12，解得 x ＝4.4.
故当甲、乙都在行驶中，且甲与乙相距的路程为12 km时， x 的
值是3.6或4.4.
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总复习 期末复习课
期末复习课（一）（第一章 勾股定理）
数学 八年级上册 BS版
知识梳理
典例讲练
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CONTENTS
1. 勾股定理.
（1）文字语言：直角三角形两直角边的 等于
的平方.如果用 a ， b 和 c 分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么 ；
平方和
斜
边
a2＋ b2＝ c2
（2）几何语言：在Rt△ ABC 中（如图所示），∵∠ ACB ＝
90°，∴ .
注意：勾股定理成立的前提是已知三角形是直角三角形.
BC2＋ AC2＝ AB2
2. 勾股定理的逆定理.
（1）文字语言：如果一个三角形的三边长为 a ， b ， c 且满
足 ，那么这个三角形是直角三角形；
（2）几何语言：在△ ABC 中（如图所示），∵
，∴ 且∠ ACB ＝ 90°.
3. 勾股数.
（1）满足 a2＋ b2＝ c2的三个 ，称为勾股数.
a2＋ b2 ＝ c2
BC2＋ AC2
＝ AB2
△ ABC 是直角三角形
正整数
（2）常见的勾股数：
勾 a 股 b 弦 c
3 4 5
5 12 13
7 24 25
8 15 17
9 40 41
4. 勾股定理的应用.
（1）求边长（或线段长）.解决此类问题时，若没有直角三角
形，则需要构造直角三角形，常见方法是作垂线段.
（2）运用勾股定理的逆定理判断三角形的形状或求角度.
（3）解决最短距离问题.常见思路：两点之间线段最短；点到
直线上任一点的连线中，垂线段最短.此类问题都是在平面图形
中解决，因此常将几何体展开转化成平面图形来解决问题.
（4）解决实际生活中的问题.
数学 八年级上册 BS版
0 2
典例讲练
类型一 利用勾股定理求边长或面积
（1）如图，将等腰直角三角形 ABC （其中∠ B ＝90°）沿
EF 折叠，使点 A 落在 BC 边的中点 A1处.若 BC ＝8，则线段 AE
的长为 .
5
【思路导航】由折叠的性质，得 A1 E ＝ AE . 可设 AE ＝ A1 E ＝
x ，然后用含 x 的式子表示出 BE ，最后在Rt△ A1 BE 中，利用勾
股定理列出方程即可求得答案.
【解析】由折叠的性质，得 A1 E ＝ AE . ∵△ ABC 为等腰直角三
角形， BC ＝8，∴ AB ＝8.∵点 A1为 BC 的中点，∴ A1 B ＝4.设
AE ＝ A1 E ＝ x ，则 BE ＝8－ x .在Rt△ A1 BE 中，由勾股定理，得
42＋（8－ x ）2＝ x2，解得 x ＝5.故答案为5.
【点拨】利用勾股定理在折叠问题中求线段长的关键点：（1）
折叠后，对应点、对应线段之间的位置、大小关系的变与不
变；（2）抓住折叠问题中的相关点、线，寻找或构造直角三角
形；（3）利用勾股定理列方程求解.
（2）已知点 A ， B ， C 在格点图中的位置如图所示，格点小正
方形的边长为1，则点 C 到线段 AB 所在直线的距离为 .
【思路导航】连接 AC ， BC ，设点 C 到线段 AB 所在直线的距离
是 h ，先利用勾股定理求出 AB 的长，再利用三角形的面积公式
即可得出结论.
【解析】如图，连接 AC ， BC ，设点 C 到线段 AB 所在直线的距
离是 h .∵ AB ＝ ＝ ， S△ ABC ＝ ×3×3－ ×2×1－
×2×1－12＝ －1－1－1＝ ，∴ × h ＝ .∴ h ＝ .故答
案为 .
【点拨】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角
形中，两条直角边的平方和一定等于斜边的平方是解答此题
的关键.
1. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国
古代数学的骄傲.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角
形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长的直
角边长为 b ，较短的直角边长为 a .若 ab ＝8，大正方形的面积
为25，则小正方形的边长为 .
3
2. 在等腰三角形 ABC 中，已知 AB ＝5， BC ＝6，求△ ABC 底边
上的高.
解：分两种情况讨论：①当 AB 为腰， BC 为底时，则 AB ＝ AC
＝5.如图1，过点 A 作 AD ⊥ BC ，交 BC 于点 D . 易得△ ABD
≌△ ACD ，∴ CD ＝3.
在Rt△ ACD 中， AD2＝ AC2－ CD2＝52－32＝16，
∴ AD ＝4；
②当 BC 为腰， AB 为底时，则 BC ＝ AC ＝6.如图2，过点 C 作
CD ⊥ AB ，交 AB 于点 D . 易得△ ADC ≌△ BDC ，∴ AD ＝ .在Rt△ ACD 中， CD ＝ ＝ ＝ .
综上所述，△ ABC 底边上的高为4或 .
类型二 勾股定理的逆定理的应用
如图，在四边形 ABCD 中，已知∠ B ＝90°， AB ＝16 cm，
BC ＝12 cm， AD ＝21 cm， CD ＝29 cm.
（1）求证：∠ DAC ＝90°；
（2）求四边形 ABCD 的面积.
【思路导航】（1）先根据△ ABC 是直角三角形求出 AC 的长，
再根据△ ACD 各边的长判断出△ ACD 是直角三角形；（2）利
用 ＝ ＋ 解答即可.
（1）证明：在△ ABC 中，∵∠ B ＝90°， AB ＝16 cm， BC ＝
12 cm，
∴ AC ＝ ＝ ＝20（cm）.
在△ ACD 中， AD ＝21 cm， CD ＝29 cm， AC ＝20 cm.
∵212＋202＝841，292＝841，
∴212＋202＝292.∴ AD2＋ AC2＝ CD2.
∴△ ACD 是直角三角形，且∠ DAC ＝90°.
（2）解：由（1）知， AC ＝20cm，
∴ ＝ ＋
＝ AB · BC ＋ AD · AC
＝ ×16×12＋ ×21×20
＝306（cm2）.
【点拨】判断一个三角形是否为直角三角形的两种方法：（1）
利用定义，即若已知条件与角度有关，则可借助三角形的内角
和判断；（2）利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边
有关，一般通过计算得出三边的数量关系，看是否符合较短两
边的平方和等于最长边的平方.
1. 在下列各组数据中，其中能构成直角三角形的三边长的是
（ D ）
A. 2，3，4 B. 1，1，2
C. 1.5，2，2.8 D. ， ，
D
2. 如图，已知方格纸中每个小正方形的边长均为1，且△ ABC
的顶点均在格点上.试判断△ ABC 的形状，并说明理由.
解：△ ABC 是直角三角形，理由如下：
由题意，得 AC2＝22＋42＝20，
BC2＝22＋12＝5， AB2＝32＋42＝25.
∵20＋5＝25，∴ AC2＋ BC2＝ AB2.
∴△ ABC 是直角三角形，且∠ ACB ＝90°.
类型三 几何问题中的最短路程问题
（1）如图，一只蚂蚁沿着边长为1的正方体表面从点 A 出
发，经过3个面爬到点 B . 若蚂蚁运动的路线是最短的，则最短
路程为 .
【思路导航】将正方体展开，根据“两点之间线段最短”构造
出直角三角形，进而求出最短路线的长.
【解析】将正方体展开，右边和后面的正方形与前面的正方形
放在一个面上，部分展开图如图所示，此时 AB 最短. AB ＝
＝ .故答案为 .
【点拨】此题考查了平面展开——最短路程问题和勾股定理，
熟练求出 AB 的长是解本题的关键.
（2）如图，已知圆柱形玻璃杯高14 cm，底面圆周长为32 cm，
在杯内壁离杯底5 cm的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好
在杯外壁离杯口3 cm与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外
壁点 A 处爬到内壁点 B 处的最短路程为 cm（杯壁厚度不
计）.
20
【思路导航】将杯子侧面展开，作点 A 关于杯口所在直线的对
称点A'，根据“两点之间线段最短”可知A'B的长度即为所求.
【解析】如图，将杯子侧面展开，作点 A 关于 EM 所在直线的对
称点A'，连接A'B，交 EM 于点 F ，则 AF ＋ BF 为蚂蚁从外壁点 A
处爬到内壁点 B 处的最短路程，即A'B的长度.
∵A'D＝32÷2＝16（cm）， BD ＝ BE ＋ DE ＝14－5＋3＝12
（cm），∴A'B＝ ＝ ＝20（cm）.∴蚂
蚁从外壁点 A 处爬到内壁点 B 处的最短路程为20 cm.故答案为
20.
【点拨】涉及从杯壁外面与里面的最短路程问题时，一般要将
侧面展开，同时找到起始点的对称点，连接对称点和终点，从
而找到最短路程，最后利用勾股定理进行求解即可.
1. 如图，已知圆柱的底面圆直径 BC ＝ ，高 AB ＝3，小虫在圆
柱表面爬行，从点 C 爬到点 A ，然后再沿另一面爬回点 C ，则小
虫爬行的最短路程为 .
6
2. 如图，已知四边形 ABCD 是长方形地面， AB ＝10 m， AD ＝5
m，中间竖有一堵砖墙，高 MN ＝1 m.一只蚂蚁从点 A 爬到点
C ，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 m.
13
【解析】如图，连接 AC . 原图长度增加2 m，则 AB ＝10＋2＝
12（m）.
∵四边形 ABCD 是长方形， AB ＝12 m，宽 AD ＝5 m，∴ AC ＝
＝ ＝13（m）.∴蚂蚁从点 A 爬到点 C ，
它至少要走13 m的路程.故答案为13.
类型四 利用勾股定理解决实际问题
某初中数学兴趣小组开展实践活动.如图，在校园里测量一
块四边形场地 ABCD 的周长，其中边 CD 上有水池和建筑物遮
挡，没有办法直接测量其长度.经测量，得知 AB ＝ AD ＝ BD ＝
60 m， BC ＝80 m，∠ ABC ＝150°.如果你是数学兴趣小组的成
员，请想办法求出四边形 ABCD 的周长.
【思路导航】利用等边三角形的判定与性质得出∠ ABD 的大
小，再利用勾股定理得出 DC 的长.
解：∵ AB ＝ AD ＝ BD ＝60 m，
∴△ ABD 为等边三角形.
∴∠ ABD ＝60°.
∵∠ ABC ＝150°，
∴∠ DBC ＝∠ ABC －∠ ABD ＝150°－60°＝90°.
∴△ DBC 是直角三角形.
∵ BC ＝80 m， BD ＝60 m，
∴ CD ＝ ＝ ＝100（m）.
∴四边形 ABCD 的周长为 AD ＋ AB ＋ BC ＋ CD ＝60＋60＋80＋
100＝300（m）.
故四边形 ABCD 的周长是300 m.
台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米
的范围内形成气旋风暴，具有极强的破坏力.据气象观测，距沿
海某城市所在位置点 A 的东南某方向240 km的点 B 处有一台风
中心（如图所示），其中心风力为12级，该台风中心现在以20
km/h的速度向正西方向往点 F 移动，∠ ABF ＝30°，且台风中
心的风力不变.若每远离台风中心25 km，则风力就会减弱一
级，当城市所受风力达到或超过4级时，城市会受台风影响.
（1）该城市是否受到台风影响？请说明理由.
答图
解：（1）该城市会受到台风的影响.
理由如下：
如答图，过点 A 作 AD ⊥ BF 于点 D .
在Rt△ ABD 中，∵∠ ABD ＝30°， AB ＝240 km，
∴ AD ＝ AB ＝ ×240＝120（km）.
∵受到台风影响的距离为25×（12－4）＝200（km），
且120＜200，
∴该城市会受到台风的影响.
答图
（2）如答图，设当台风移到点 C 处时，该城市开始受台风影
响；当台风移至点 E 处时，该城市脱离台风影响，则 AC ＝ AE
＝200 km.
在Rt△ ADC 中，由勾股定理，得
CD ＝ ＝ ＝160（km）.
同理，得 DE ＝160 km.
∴ CE ＝ CD ＋ DE ＝160＋160＝320（km）.
∴该城市受台风影响的时间为320÷20＝16（h）.
答图
（2）若该城市受到台风影响，则该城市受台风影响持续的时间
有多长？
类型五 利用勾股定理解决动点问题
如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB ∥ CD ， AB ＝12 cm，
CD ＝6 cm， DA ＝3 cm，∠ D ＝∠ A ＝90°，点 P 沿 AB 边从点
A 开始向点 B 以2 cm/s的速度移动，点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点
A 以1 cm/s的速度移动.如果点 P ， Q 同时出发，用 t （单位：s）
表示移动的时间，且0≤ t ≤3.
（1）是否存在这样的 t ，使得∠ PCQ ＝90°？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由.
（2）△ PBC 能否构成直角三角形？若能，请求出 t 的值；若不
能，请说明理由.
【思路导航】（1）假设能使得∠ PCQ ＝90°，利用勾股定理
分别表示出 CQ ， PC ， PQ 的长度，然后在Rt△ PCQ 中利用勾
股定理列方程求解，如果所求解满足0≤ t ≤3，则能构成直角三
角形，否则不能构成直角三角形；（2）分∠ PCB 或∠ CPB 为
直角，分别求出 t 的值即可.
解：（1）不存在 t 值满足要求.理由如下：
如图1，过点 C 作 CE ⊥ AB ，垂足为 E .
∵ AB ∥ CD ， CD ＝6 cm， DA ＝3 cm，
∴ AE ＝6 cm， CE ＝3 cm.
∴ CQ2＝ CD2＋ DQ2＝36＋ t2， CP2＝ CE2＋（ AE － AP ）2＝9＋（6－2 t ）2， PQ2＝（ AD － DQ ）2＋ AP2＝（3－ t ）2＋（2 t ）2.
要使∠ PCQ ＝90°，则 CQ2 ＋ CP2＝ PQ2，
即36＋ t2＋9＋（6－2 t ）2＝（3－ t ）2＋（2 t ）2，解得 t ＝4. ∵0≤ t ≤3，∴不存在使∠ PCQ ＝90°的 t 值.
图1
（2）能.①如图1， CE ⊥ AB ，则 AE ＝ CD ＝6 cm.当点 P 运动
到点 E 时，运动的时间为 t ＝ ＝3（s），此时点 Q 正好运动到
点 A . 在△ PBC 中，∠ CPB ＝90°；
图1
②如图2，当∠ PCB ＝90°时，即点 P 运动到点 M 时，过点 D 作
DG ∥ BC .
又∵ AB ∥ CD ，∴ BG ＝ DC ＝6 cm.
∴ AG ＝ AB － BG ＝12－6＝6（cm）， BC ＝ DG ＝
＝ ＝3 （cm）.
图2
过点 A 作 AF ∥ CM ，则 AF ＝ CM ， CF ＝ AM ＝2 t cm， DF ＝
DC － CF ＝（6－2 t ）（cm）.
∴ CM ＝ AF ＝ ＝ （cm）.
在Rt△ BCM 中， BM2＝ CM2＋ BC2，
即（12－2 t ）2＝32＋（6－2 t ）2＋（3 ）2，
解得 t ＝ （符合题意）.
综上所述，当 t ＝ 或 t ＝3时，△ PBC 能构成直角三角形.
图2
【点拨】解与时间 t 有关的几何动点问题的基本方法：通过公式
“速度×时间＝路程（线段的长度）”，用时间 t 表示出所需要
的线段的长度.当涉及能否构成直角三角形时，就是看该三角形
的三边长度的数量关系是否符合勾股定理，并能求出符合要求
的 t 值，如果可以求出符合要求的 t 值，就能判断能形成直角三
角形，否则不能形成直角三角形，从而解决问题.
如图，在平面直角坐标系中，过原点 O 及点 A （0，2）， C
（6，0）作长方形 OABC ，直线 y ＝2 x 交 AB 于点 D . 点 P 从点 O
出发，以每秒 个单位长度的速度沿射线 OD 方向移动，同时
点 Q 从点 O 出发，以每秒5个单位长度的速度沿 x 轴正方向移动.设移动时间为 t （s）.试探索：当 t 满足何方程时，△ PQB 为直角三角形？
解：由题意可知， P （ t ，2 t ）， B （6，2）， Q （5 t ，0）.
根据勾股定理，得 PB2＝（6－ t ）2＋（2－2 t ）2，
QB2＝（6－5 t ）2＋22，
PQ2＝（5 t － t ）2＋4 t2＝20 t2.
①当 PQ2＋ QB2＝ PB2时，△ PQB 为直角三角形，
则20 t2＋（6－5 t ）2＋22＝（6－ t ）2＋（2－2 t ）2.
整理，得 t 需满足方程 t2－ t ＝0；
③当 PQ2＋ PB2 ＝ QB2时，△ PQB 为直角三角形，
则20 t2＋（6－ t ）2＋（2－2 t ）2＝（6－5 t ）2＋22.
整理，得 t 需满足方程 t ＝0，不符合题意，舍去.
综上所述，当 t 满足方程 t2－ t ＝0或 t2－8 t ＋8＝0时，△ PQB 为
直角三角形.
②当 QB2＋ PB2＝ PQ2时，△ PQB 为直角三角形，
则（6－5 t ）2＋22＋（6－ t ）2＋（2－2 t ）2＝20 t2.
整理，得 t 需满足方程 t2－8 t ＋8＝0；
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总复习 期末复习课
期末复习课（二）（第二章 实 数）
数学 八年级上册 BS版
知识梳理
典例讲练
目录
CONTENTS
1. 无理数与实数.
（1）无理数.
① 叫无理数.
②无理数的三种常见形式：含根式且开不尽；含π类；0.123
456 789 101 112…（小数点后为自然数列）.
无限不循环小数
（2）实数.
①实数： 和 统称为实数.
②实数与数轴上的点的关系：实数和数轴上的点是
的.
有理数
无理数
一一对
应
2. 平方根.
（1）算术平方根：一般地，如果一个 x 的平方等于
a ，即 x2＝ a ，那么这个正数 x 就叫做 a 的 ，记
作 ，读作“ ”；
（2）平方根：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a ，即 x2＝ a ，
那么这个数 x 就叫做 a 的 （也叫做二次方根）.
（3）性质.
正数
算术平方根
根号 a
平方根
①一个正数有 个平方根，它们互为相反数，其中正的平
方根是算术平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数
平方根.
② 的双重非负性： ； 算术平方根
.
两
没
有
被开方数 a ≥0
算术平方根
≥0
3. 立方根的定义及性质.
（1）一般地，如果一个数 x 的立方等于 a ，即 x3＝ a ，那么这个
数 x 就叫做 a 的 （也叫做三次方根），记作 .
（2）立方根性质.
①每个数都只有 个立方根：正数的立方根是 ；负
数的立方根是 ；0的立方根是 .
②互为 的两个数的立方根也互为 ，即
＝－ （ a 取任意实数）.
立方根
1
正数
负数
0
相反数
相反数
4. 重要公式.
（1）（ ）2＝ （ a ≥0）；
（2）（ ）＝ （ a 可以取一切实数）；
（3）（ ）3＝ （ a 可以取一切实数）；
（4） ＝ （ a 可以取一切实数）.
5. 实数的运算.
（1）在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义，运算法
则、运算顺序、运算律都与有理数范围内的一致.
（2）比较实数的大小：
a
｜ a ｜
a
a
①若0≤ m ＜ n ，则 ；
②若 m2＜ a ＜ n2，则 ＜ ＜ ，即 m ＜ ＜ n
（0≤ m ＜ n ）；
③若 m3＜ a ＜ n3，则 ＜ ＜ ，即 m ＜ ＜
n （ m ＜ n ）.
＜
5. 实数的运算.
（1）在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义，运算法
则、运算顺序、运算律都与有理数范围内的一致.
（2）比较实数的大小：
6. 二次根式及其运算.
（1）相关概念.
①二次根式：用 a 表示被开方数，式子 （ a ≥0）叫做
；
②最简二次根式：如果被开方数不含分母也不含能开得尽方的
因数或因式，那么这样的二次根式叫做最简二次根式；
③几个二次根式化成 后，如果被开方数相
同，那么这几个二次根式叫做 ；
二次
根式
最简二次根式
同类二次根式
④合并同类二次根式，就是把同类二次根式前面的 相
加， 部分不变；
⑤分母有理化，如： ＝ ＝ ，
＝ ＝ .
因数
根式
（2）二次根式的运算法则.
①加减法：先把各个二次根式化成最简二次根式或整式，再把
同类二次根式或整式分别 ；
②乘法： · ＝ （ a 0， b 0）；
③除法： ＝ （ a 0， b 0）；
④混合运算：先算乘方、开方、再算 ，最后算加减；
同一级运算按照从 到 的顺序依次进行；有括号的
先算括号里面的.
合并
≥
≥
≥
＞
乘除
左
右
数学 八年级上册 BS版
0 2
典例讲练
类型一 实数与平方根、立方根的概念与性质
（1）下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带
根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④ － 是17的
平方根；⑤在4. ， ， ，－ ， 中，无理数有4
个.其中正确的有（ C ）
C
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【思路导航】根据实数、平方根和立方根的有关概念与性质进
行判断即可.
【解析】∵实数和数轴上的点是一一对应的，∴①说法是正确
的；∵不带根号的数不一定是有理数，如π，∴②说法是错误
的；∵负数有立方根，∴③说法是错误的；∵17的平方根是±
，∴－ 是17的一个平方根，即④说法是正确的；∵ 和
是无理数，∴⑤说法是错误的.故选C.
（2）已知 x ＋10的平方根是±4，3 x ＋ y ＋1的立方根是3，求 x2
＋ y2的平方根.
【思路导航】首先根据平方根和立方根的概念求出 x ， y 的值，
然后把 x ， y 的值代入要求的式子，最后根据平方根的概念即可
得出答案.
解：∵ x ＋10的平方根是±4，
∴ x ＋10＝（±4）2，解得 x ＝6.
∵3 x ＋ y ＋1的立方根是3，
∴3 x ＋ y ＋1＝33.
∴3×6＋ y ＋1＝27，解得 y ＝8.
∴ x2＋ y2＝62＋82＝100.
∵± ＝±10，
∴ x2＋ y2的平方根是±10.
【点拨】本题主要考查了求一个数的立方根和平方根，解题的
关键是正确理解立方根和平方根的概念.
1. 下列计算正确的是（ D ）
A. ＝－3 B. ＝
C. ＝±6 D. － ＝－0.6
D
2. 如图，已知点 A 在数轴上所表示的数为2， AB ⊥ OA 于点 A ，
且 AB ＝1，以点 O 为圆心， OB 的长为半径作弧，交数轴于点
C ，则点 C 表示的数是 .
3. 已知一个正数的两个平方根分别是2 a 与－ a ＋2，则 a 的值
为 .
－2
类型二 实数的求值与大小比较
（1）已知 －1的整数部分为 a ，小数部分为 b ，则
（ ＋ a ）（ b ＋1）＝ .
【思路导航】根据题意先求得 a ， b 的值，然后代入（ ＋
a ）（ b ＋1）中求值即可.
7
【解析】∵ ＜ ＜ ，∴ 的整数部分是3，即
－1的整数部分是2， －1的小数部分是 －3.∴ a ＝2， b
＝ －3.∴（ ＋ a ）（ b ＋1）＝（ ＋2）（ －3
＋1）＝（ ＋2）（ －2）＝（ ）2－22＝11－4＝7.
故答案为7.
【点拨】解这类题的基本方法：先找到题中的无理数在哪两个
连续整数之间，然后判断所求的无理数的整数部分，最后用原
数减去整数部分即可得出小数部分.
（2）比较两个实数的大小：
① 与3.9； ② 与 .
【思路导航】选择恰当的方法比较两个实数的大小即可.
解：①∵（ ）2＝14，3.92＝15.21，且14＜15.21，
∴ ＜3.9.
②∵ ≈ ＝ ＜ ，∴ ＜ .
【点拨】比较两个实数大小的常用方法：（1）作差法；（2）
求值比较法；（3）数轴法；（4）绝对值法；（5）平（开）方
法；（6）估算法；（7）特殊值法；（8）定义法.
1. 已知实数 a ， b 在数轴上的位置如图所示，化简：｜ a － b ｜
－ ＋ ＋｜ ab ｜＋ ＝ .
【解析】由数轴可知， a ＜0， b ＞0， a － b ＜0， b － a ＞0，
∴｜ a － b ｜－ ＋ ＋｜ ab ｜＋ ＝－（ a －
b ）－ a ＋（ b － a ）－ ab ＋ b ＝3 b －3 a － ab .故答案为3 b －3 a
－ ab .
3 b －3 a － ab
2. 比较大小：
（1）－2 与－3 ； （2） 与 .
解：（1）∵2 ＝ ＝ ，3 ＝ ＝ ，
∴ ＜ .∴－2 ＞－3 .
（2）∵ ＝ ＝ ＋ ，
＝ ＝ ＋ ，且 ＋ ＜
＋ ，
∴ ＜ .
类型三 二次根式的定义与性质
（1）若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是
；
（2）已知 x ， y 为实数，且 ＋3（ y －2）2＝0，则 x － y
的值为 ；
（3）若 y ＝ － －4，则 yx 的值是 .
【思路导航】根据二次根式、完全平方的非负性进行计算即可.
x ≥
－6
－1
－64
【解析】（1）由题意，知 x ＋6≥0，∴ x ≥－6.故答案为 x
≥－6.
（2）∵ ≥0，3（ y －2）2≥0，且 ＋3（ y －2）2
＝0，∴ ＝0，3（ y －2）2＝0.∴ x ＝1， y ＝2.∴ x － y ＝
1－2＝－1.故答案为－1.
（3）由题意，知∴3－ x ＝0.∴ x ＝3， y ＝－4.
∴ yx ＝ ＝－64.故答案为－64.
【点拨】本题主要考查二次根式被开方数（式）的非负性质及
其应用.常见的非负数主要有三种：实数的绝对值、实数的算术
平方根、实数的偶次方.非负数（式）有一个非常重要的性质：
若干个非负数（式）的和为0，这几个非负数（式）均为零.
1. 代数式 有意义的条件是 .
2. （1） ＋8的最小值是 ；
（2）已知 a ， b ， c 满足 ＋｜ a － c ＋1｜＝
＋ ，则 a ＋ b ＋ c 的平方根是 ± .
x ≥3且 x ≠4
8
±
类型四 二次根式的直接计算
计算：
（1） －2 ＋ － ；
（2）（5 －6 ＋4 ）÷ ；
（3）（－ ）0＋ ＋ ＋｜1－ ｜－ ；
（4） × － × .
【思路导航】按照实数的有关运算法则和运算顺序计算即可.
解：（1）原式＝4 －10 ＋ －
＝－ .
（2）原式＝（20 －18 ＋4 ）÷
＝（2 ＋4 ）÷
＝2 × ＋4 ×
＝2＋4 .
（3）原式＝1＋9＋3 －（1－ ）－（2＋ ）2
＝10＋3 －1＋ －7－4
＝2.
（4）原式＝ × －5×
＝ ＋1
＝ .
【点拨】在实数范围进行的加、减、乘、除和开方运算，一定
要熟练地运用运算法则、运算顺序，运算顺序依然是从高级到
低级，跟有理数的运算顺序一致.值得注意的是，在进行开方运
算时，正数和零可以开任何次方，负实数能开立方，但不能开
平方，另外，灵活地运用乘法公式和运算律能达到简化运算的
目的.
1. －1的相反数是 1－ ；3－π的绝对值是 ；
－ 的倒数是 － .
1－
π－3
－
2. 计算：
（1） ；
（2） ÷ ；
解：（1）原式＝ ＝ ＝2 .
（2）原式＝ ÷
＝ ÷
＝ .
（3） ；
（4）（ ＋2）（ －2）＋ × .
（3）原式＝ ＝ .
（4）原式＝3－4＋2＝1.
类型五 二次根式的化简求值
先化简，再求值：
（1） － y ＋ ，其中 x ＝4， y ＝ ；
（2） （ a ＋ ）（ a － ）－ a （ a －4），其中 a ＝ .
【思路导航】（1）先利用二次根式的性质进行化简，再合并同
类项得到最简结果，最后把未知数的值代入计算即可；（2）先
利用平方差公式进行化简，再利用二次根式的性质化简 a 的
值，最后代入计算即可.
解：（1）原式＝5 －4 ＋ ＝2 .
当 x ＝4， y ＝ 时，原式＝2 ＝ .
（2） 原式＝ a2－3－ a2＋4 a ＝4 a －3.
当 a ＝ ＝ 时，原式＝4× －3＝2 －3.
【点拨】此题考查了二次根式的化简求值，以及分母有理化，
熟练掌握运算法则及平方差公式是解本题的关键.
已知 a ＝ ，求代数式 － 的值.
解：∵ a ＝ ＝2－ ＜1，∴ a －1＜0.
∴ －
＝ －
＝ a －1＋ .
当 a ＝ ，即 a ＝2－ 时，
原式＝2－ －1＋
＝2－ －1＋2＋
＝3.
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总复习 期末复习课
期末复习课（三）（第三章 位置与坐标，第六章 数据的分析）
数学 八年级上册 BS版
知识梳理
典例讲练
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1. 平面上点的位置的表示.
在平面上确定一个具体位置需要两个数据.在现实生活中，我们
要灵活选取不同的方法来确定物体的位置，一般有以下几种方
法：行列定位法、经纬度定位法、方位角＋距离定位法、区域
定位法、网格定位法.
2. 点的坐标.
（1）对于平面内任意一点 P ，过点 P 分别向 x 轴、 y 轴作垂线，
垂足在 x 轴、 y 轴上对应的数 a ， b 分别叫做点 P 的 、 ，有序数对（ a ， b ）叫做点 P 的坐标.
（2）在平面直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一
的一个 （即点的坐标）与它对应；反过来，对
于任意一个有序实数对，都有平面上 的一点与它对应.
横坐
标
纵坐标
有序实数对
唯一
3. 象限.
在平面直角坐标系中，两条坐标轴把坐标平面分成了四部分.右
上方的部分叫做第 象限，其他三部分按逆时针方向依次
叫做第 象限、第 象限、第 象限.
一
二
三
四
（2）平行于坐标轴的直线上点的坐标的特征.
①平行于 x 轴的直线上任意两点的 相同；
②平行于 y 轴的直线上任意两点的 相同.
纵坐标
横坐标
4. 坐标特征.
（1）坐标轴上点的坐标.
① x 轴上的点可记作 ；
② y 轴上的点可记作 .
（ a ，0）
（0， b ）
（3）象限角平分线上点的坐标的特征.
①若点 P （ x ， y ）在第一、三象限的角平分线上，则 ；
②若点 P （ x ， y ）在第二、四象限的角平分线上，则
.
x ＝ y
x ＝－ y
（或 x ＋ y ＝0）
（4）象限中的坐标特征.
①第一象限内点的坐标符号为 ；
②第二象限内点的坐标符号为 ；
③第三象限内点的坐标符号为 ；
④第四象限内点的坐标符号为 .
（＋，＋）
（－，＋）
（－，－）
（＋，－）
（5）对称点的坐标特征.
①两点关于 x 轴对称，横坐标 ，纵坐标
；
②两点关于 y 轴对称，横坐标 ，纵坐标
；
③两点关于原点对称，横坐标 ，纵坐标
.
相同
互为相反
数
互为相反数
相
同
互为相反数
互为
相反数
5. 平均数、加权平均数、中位数、众数.
（1）平均数与加权平均数.
对于 n 个数 x1， x2，…， xn ，它们的算术平均数
＝ ；有 n 个数，其中 x1有 f1个， x2有 f2
个，…， xk 有 fk 个，且 f1＋ f2＋…＋ fk ＝ n ，则加权平均数
＝ .
（2）将 n 个数据按大小顺序排列：当 n 为奇数时，中位数为
第 个；当 n 为偶数时，中位数是第 个数据与
第 个数据的平均数.
（3）一组数据中出现次数 的数据叫做这组数据的众数
（可能有多个）.
注：平均数、中位数和众数常用来描述一组数据的集中趋势.
＋1
最多
6. 极差、方差与标准差.
（1）极差：极差是刻画数据 的一个统计量，是一
组数据中 与 的差.
（2）方差：方差是各个数据与平均数差的平方的平均数，即 s2
＝ ［ ＋ ＋ ］ ＝
（ ＋ ＋…＋ ）－ （其中 是 x1， x2，…， xn 的平均
数）.
离散程度
最大数据
最小数据
［ ＋ ＋ ］
（3）标准差： 标准差是方差的算术平方根，即 s
＝ .
（4）数据的稳定性.
一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就
越稳定.
①极差仅表示一组数据变化范围的大小，只对极端值较为敏
感；
②方差和标准差常用来比较两组数据的波动大小.方差较大的波
动较大，方差较小的波动较小.在解决实际问题时，常用样本的
方差来估计总体的方差.
7. 平均数、方差、标准差的性质.
样本数据 平均数 方差 标准差
x1， x2， x3，…， xn s2 s
x1＋ a ， x2＋ a ， x3＋ a ，…， xn ＋ a
kx1， kx2， kx3，…， kxn
kx1＋ a ， kx2＋ a ， kx3＋ a ，…， kxn ＋ a
＋ a
s2
s
k
k2 s2
ks
k ＋ a
k2 s2
ks
数学 八年级上册 BS版
0 2
典例讲练
类型一 点的对称点的坐标
（1）填表：
点 P （2,－5）的对称点的位置 点 P （2,－5）的对称点的坐标
点 P 关于 x 轴的对称点
点 P 关于 y 轴的对称点
点 P 关于原点的对称点
点 P 关于直线 y ＝ x 的对称点
点 P 关于直线 y ＝－ x 的对称点
（2，5）
（－2，－5）
（－2，5）
（－5，2）
（5，－2）
【思路导航】根据点的几种对称点的特征填写或通过画图得到
结果.
【点拨】关于 x 轴对称的两个点的坐标横坐标相同，纵坐标
互为相反数；关于 y 轴对称的两个点的坐标纵坐标相同，横
坐标互为相反数；关于原点对称的两个点的横、纵坐标都互
为相反数；点关于 y ＝ x ， y ＝－ x 对称的点的坐标可以构造
全等三角形解决.
（2）点 M （－3，－1）到 y 轴的距离是 ，到原点的距离
是 .
【思路导航】点到 y 轴的距离根据点的横坐标可求得，点到原点
的距离可由勾股定理求得.
【解析】点 M 到 y 轴的距离为 ＝3，点 M 到原点的距离为
＝ .故答案为3， .
【点拨】点（ a ， b ）到 x 轴的距离为｜ b ｜，到 y 轴的距离
为｜ a ｜，到原点的距离为 .需通过多画图形加深理
解、记忆.
3
1. 如图，小刚画了一张脸.若用点 A （1，1）表示左眼的位置，点 B （3，1）表示右眼的位置，则嘴巴点 C 的位置可表示
为 .
（2，－1）
2. （1）已知点 P 在第四象限，且到 x 轴的距离为3，到 y 轴的距
离为1，则点 P 的坐标为 ；
（2）已知点 P （4 x ， x －3）在第三象限的角平分线上，则点 P
的坐标是 .
（1，－3）
（－4，－4）
类型二 平面直角坐标系中图形的面积
如图，在平面直角坐标系中，已知点 A （－3，－2）， B
（－1，－4）.
（1）延长 AB 交 y 轴于点 P ，求点 P 的坐标；
（2） S△ AOB ＝ ；
（3）点 Q 在 y 轴上，若以点 A ， B ， O ， Q 为顶点的四边形的面积为6，求点 Q 的坐标.
5
【思路导航】（1）先求直线 AB 的函数表达式，再求点 P 的坐
标；（2）由割补法求△ AOB 的面积即可；（3）先分点 Q 在 y
轴的正半轴、负半轴两种情况，再结合割补法，根据四边形的
面积列方程解答.
（1）解：如图，延长 AB 交 y 轴于点 P . 设直线 AB 的函数表达式
为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
把 A （－3，－2）， B （－1，－4）代入，
得解得
∴直线 AB 的函数表达式为 y ＝－ x －5.
当 x ＝0时， y ＝－ x －5＝－5，则 P （0，－5）.
（2）【解析】 S△ AOB ＝ S△ AOP － S△ BOP ＝ ×5×3－ ×5×1＝
5.故答案为5.
（3）解：①当点 Q 在 y 轴的正半轴上时，
∵ S四边形 ABOQ ＝ S△ AOB ＋ S△ AOQ ＝6，
∴ S△ AOQ ＝6－5＝1.
∴ ×3 OQ ＝1，解得 OQ ＝ .
则此时点 Q 的坐标为 ；
②当点 Q 在 y 轴的负半轴上时，可知点 Q 在点 O ， P 之间.
∵ S四边形 ABQO ＝ S△ AOB ＋ S△ BOQ ＝6，∴ S△ BOQ ＝6－5＝1.
∴ ×1· OQ ＝1，解得 OQ ＝2.
此时点 Q 的坐标为（0，－2）.
综上所述，点 Q 的坐标为 或（0，－2）.
【点拨】在平面直角坐标系中求图形面积，一般通过割补法，
将其转化为长方形或有一边与坐标轴平行的三角形来计算.当面
积问题中割补的方法不同时，需要分类讨论.
如图，已知四边形 OABC 各个顶点的坐标分别是 O （0，0）， A
（3，0）， B （5，2）， C （2，3）.求这个四边形的面积.
解：如答图，分别过点 C 和点 B 作 x 轴和 y 轴的平行线，则点 E
的坐标为（5，3）.
∴ S四边形 OABC ＝ S长方形 OHEF － S△ ABH － S△ CBE － S△ OCF
＝5×3－ ×2×2－ ×1×3－ ×3×2
＝15－2－ －3
＝ .
答图
类型三 从统计图中分析数据的集中趋势
为了大力弘扬长征精神，继承革命先辈的优良传统，某校
团支部举办了“忆长征精神，庆建党百年”爱国主义教育主题
知识测试活动.现从该校八、九年级各随机抽20名团员的测试成
绩（满分10分，得分均为整数）进行整理、描述和分析，以下
是部分相关信息.
八年级20名团员的测试成绩（单位：分）：10，7，8，9，10，
7，5，8，6，7，10，7，6，9，7，6，9，8，4，7.
九年级20名团员测试成绩扇形统计图
八、九年级抽取的团员测试成绩统计表
年级 平均数/分 众数/分 中位数/分
八年级 7.5 7 a
九年级 7.5 b 7.5
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： a ＝ ， b ＝ ， m ＝ .
（2）若该校八、九年级共有400名团员参加了此次测试活动，
估计参加此次测试活动的八、九年级团员中成绩为满分的团员
有多少名.
（3）根据以上数据，你认为该校八、九年级的团员对“忆长征
精神，庆建党百年”的爱国主义教育主题知识，哪个年级掌握
得更好？请说明理由（写出一条理由即可）.
7
8
25
【思路导航】（1）将数据按顺序排列后可求 a 的值，观察扇形
统计图可求 b 的值，根据扇形统计图和统计表，列二元一次方
程组，可求 m 的值；（2）用样本估计总体；（3）综合比较平
均数、中位数、众数等数据进行回答.
（1）【解析】将八年级20名团员的测试成绩重新排列为4，5，
6，6，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，10，10，
10，∴其中位数 a ＝ ＝7.
设九年级20名团员的测试成绩为8分的人数所占百分比为 x ，10
分的人数所占百分比为 y ，则
整理，得解得
∴ m ％＝25％，即 m ＝25，九年级20名团员的测试成绩的众数 b
＝8.故答案为7，8，25.
（2）解：估计参加此次测试活动的八、九年级团员中成绩为满
分的团员有400× ＝60（名）.
（3）解：九年级掌握得更好.理由如下：
由表格知，八、九年级成绩的平均数相等，而九年级成绩的中
位数大于八年级，且众数大于八年级，
∴九年级掌握得更好.
【点拨】本题考查扇形统计图、用样本估计总体及众数和中位
数的定义.解题的关键要审清题意，综合分析统计图与表格数
据，结合方程思想解题，并且要分析数据，结合实际作出合理
的判断或决策.
某校为了解九年级学生体育测试成绩情况，以九（1）班学生的
体育测试成绩为样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，将
结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
图1 图2
请你结合图中所给信息解答下列问题：
（1）补全条形统计图，并求出扇形统计图中C等级所在扇形圆
心角的度数为 ；
（2）该班学生体育测试成绩的中位数落在 等级内（填
“A”“B”“C”或“D”）；
72°
B
（3）若该校九年级学生共有1 900人，请你估计这次考试中获
得A等级和B等级的九年学生人数.
（1）【解析】九（1）班学生人数为13÷26％＝50，C等级人数为50－13－25－2＝10，C等级所在的扇形圆心角的度数为
10÷50×360°＝72°.故答案为72°.
补全条形统计图如图所示.
（2）【解析】九（1）班共50人，其中A等级人数为13，B等级
人数为25，故该班学生体育测试的中位数落在B等级内.故答案
为B.
（3）解：估计这次考试中获得A等级和B等级的九年级学生共
有（26％＋25÷50）×1 900＝1 444（人）.
类型四 数据的离散程度
某校要从小王和小李两名同学中挑选一人去参加全市知识
竞赛，在最近的五次选拔测试中，他们的成绩分别如下表（单
位：分）：
参加测试者 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
小王 60 75 100 90 75
小李 70 90 100 80 80
根据上表解答下列问题：
（1）完成下表：
参加测 试者 平均成绩/分 中位数/分 众数/分 方差
小王 80 75 75 190
小李
84
80
80
104
（2）在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是谁？若将80分以
上（含80分）的成绩视为优秀，则小王、小李在这五次测试中
的优秀率各是多少？
（3）历届比赛表明，成绩达到80分以上（含80分）就很可能获
奖，成绩达到90分以上（含90分）就很可能获得一等奖，则你
认为选谁参加比赛比较合适？说明你的理由.
【思路导航】（1）将小李的五次成绩按从小到大的顺序排列，
由此可得出小李成绩的众数与中位数，再根据平均数、方差的
计算公式可求出；（2）根据方差的意义即方差反映数据的波动
程度，方差越小越稳定，可作出判断 ；再根据80分以上（含80
分）的成绩视为优秀，分别计算出优秀率比较即可；（3）选谁
参加比赛的答案不唯一，需要结合数据进行合理的分析.
（1）【解析】小李的成绩：70，80，80，90，100.∴众数为80
分，中位数为80分，平均成绩为（70＋80＋80＋90＋100）÷5
＝84（分），方差为[（70－84）2＋（80－84）2＋（80－84）2
＋（90－84）2＋（100－84）2]÷5＝104.故答案为84，80，
80，104.
（2）解：∵小王的方差是190，小李的方差是104，且104＜
190，
∴小李的成绩较稳定.
小王的优秀率为 ×100％＝40％，
小李的优秀率为 ×100％＝80％.
（3）解：选小李参加比赛比较合适.理由如下：
小李的成绩较小王稳定，且优秀率比小王的高，
因此选小李参加比赛比较合适.
【点拨】解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条
件，会计算一组数据的中位数、众数、平均数、方差，并结合
实际情境进行数据分析与判断，合情合理即可.
1. 在对一组样本数据进行分析时，小月列出了方差的计算公
式： s2＝
由公式提供的信息，下列说法错误的是（ B ）
A. 样本的众数是3
B. 样本的中位数是2.5
C. 样本的平均数是3
D. n ＝4
B
2. 已知一组数据 x1， x2， x3的平均数为7，方差为9，则数据3
x1，3 x2，3 xn 的平均数为 ，方差为 .
3. 为了从甲、乙两名同学中选择一个人参加初中物理实验操
作能力竞赛，每个月对他们的实验水平进行了一次测试，并
绘出了两人赛前5次测试成绩（每次测试成绩都是5的倍数）
的统计图.
（1）分别求出甲、乙两名同学5次测试成绩的平均数与方差.
（2）如果你是他们的辅导老师，你会选择哪位同学参加这次竞
赛？请说明理由.
21
81
（3）若要选择一名有潜力的同学冲击奖牌，则应该选择哪位同
学参加竞赛？
解：（1）由折线图，得甲5次测试成绩（单位：分）依次为
65，80，80，85，90；
乙5次测试成绩（单位：分）依次为75，90，80，75，80.
所以甲5次测试成绩的平均数为 ×（65＋80＋80＋85＋90）＝80（分），
甲5次测试成绩的方差为 ×[（65－80）2＋（80－80）2×2＋（85－80）2＋（90－80）2]＝70；
乙5次测试成绩的平均数为 ×（75＋90＋80＋75＋80）＝80（分），
乙5次测试成绩的方差为 ×[（75－80）2×2＋（80－80）2×2＋（90－80）2]＝30.
（2）选乙.理由如下：根据（1）的计算结果可知，甲、乙5次
测试成绩的平均数相等，但甲的方差比乙的方差大，所以乙的
成绩比甲的稳定.故应选乙参加这次竞赛.（答案不唯一，合理
即可）
（3）甲、乙5次测试成绩的平均数相同，乙的成绩一直在80分
上下波动，而甲的成绩总体呈上升趋势，且上升幅度大，所以
为了冲击奖牌，应选择甲参加竞赛.（答案不唯一，合理即可）
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总复习 期末复习课
期末复习课（六）（第七章 平行线的证明）
数学 八年级上册 BS版
知识梳理
典例讲练
目录
CONTENTS
1. 定义、命题、公理、定理、证明.
（1）定义：对一些名称和术语的含义加以描述，作出明确的规
定，就叫这些名称或术语的定义.
（2）命题：判断一件事情的句子叫做命题.正确的命题称
为 ，不正确的命题称为 .要说明一个命题
是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而
不具有命题的 ， 这种例子称为反例.
真命题
假命题
结论
（3）一般地，每个命题都由 和 两部分组成.
条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.命题通常
可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的
部分是 ，“那么”引出的部分是 .
（4）公认的真命题可以称为公理.经过证明的真命题称为定理.
演绎推理的过程称为证明.
条件
结论
条件
结论
2. 平行线的判定及推论.
（1）同位角 ，两直线平行；
（2）内错角 ，两直线平行；
（3）同旁内角 ，两直线平行；
（4）平行于同一直线的两条直线互相平行；
（5）垂直于同一直线的两条直线相互平行.
相等
相等
互补
3. 平行线的性质.
（1）两直线平行，同位角 ；
（2）两直线平行，内错角 ；
（3）两直线平行，同旁内角 .
4. 三角形内角和定理与外角的性质.
（1）三角形内角和定理：三角形的内角和等于 .
（2）三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它
的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不
相邻的内角.
相等
相等
互补
180°
不相
邻
5. 与三角形角平分线有关的几个重要结论.
重要结论 图形
若 BP ， CP 分别为△ ABC 中∠ ABC ，∠ ACB
的平分线，则∠ BPC ＝90°＋ ∠ A
（2）若 BP ， CP 分别是△ ABC 的外角的平
分线，则∠ BPC ＝90°－ ∠ A
（3）若 BP 平分∠ ABC ， CP 是△ ABC 的外
角的平分线，则∠ BPC ＝ ∠ A
数学 八年级上册 BS版
0 2
典例讲练
类型一 命题、公理
如图，在△ ABC 中，已知点 D 在边 AB 上，∠ ACD ＝∠ B ，
CE 平分∠ BCD ，交 AB 于点 E ，点 F 在 CE 上，连接 AF . 请从
“① AF 平分∠ BAC ，② AF ⊥ EC ”中选择一个作为已知条件，
另外一个作为结论，组成真命题，并证明.
【思路导航】根据选择的条件分别组成命题，再利用角平分线
与三角形外角的性质证明命题成立即可.
解：情形1：添加条件①.
证明：∵ CE 平分∠ BCD ，∴∠ BCE ＝∠ DCE .
∵∠ AEC ＝∠ B ＋∠ BCE ，∠ ACE ＝∠ DCE ＋∠ ACD ，∠ B ＝
∠ ACD ，∴∠ AEC ＝∠ ACE .
∵ AF 平分∠ CAE ，∴∠ EAF ＝∠ CAF .
在△ AEF 和△ ACF 中，
∴△ AEF ≌△ ACF （AAS）.
∴∠ AFE ＝∠ AFC .
又∵∠ AFE ＋∠ AFC ＝180°，
∴∠ AFE ＝∠ AFC ＝90°.
∴ AF ⊥ EC .
情形2：添加条件②.
证明：∵ CE 平分∠ BCD ，∴∠ BCE ＝∠ DCE .
∵∠ AEC ＝∠ B ＋∠ BCE ，∠ ACE ＝∠ DCE ＋∠ ACD ，
∠ B ＝∠ ACD ，∴∠ AEC ＝∠ ACE .
∵ AF ⊥ EC ，∴∠ AFE ＝∠ AFC ＝90°.
在△ AEF 和△ ACF 中，
∴△ AEF ≌△ ACF （AAS）.∴∠ EAF ＝∠ CAF .
∴ AF 平分∠ CAE .
【点拨】熟练运用角平分线的性质和三角形外角的性质，会证
明三角形的全等是解题的关键.
1. 把下列命题写成“如果……那么……”的形式.
（1）两个锐角的和是钝角；
（2）一个角的补角大于这个角；
（3）不相等的角不是对顶角.
解：（1）如果两个角都是锐角，那么这两个角的和是钝角.
（2）如果∠ A 是∠ B 的补角，那么∠ A ＞∠ B .
（3）如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角.
2. 判断下列命题是真命题还是假命题.若是假命题，请举一反
例加以说明.
（1）和为180°的两个角是邻补角；
（2）同位角相等；
（3）如果 a2＝ b2，那么 a ＝ b ；
（4）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
解：（1）假命题.反例：如图1，∵ l1∥ l2，
∴∠1＋∠2＝180°.但∠1与∠2不是邻补角.
图1
（2）假命题.反例：如图2，∠1与∠2是同位角，
∵ l1与 l2不平行，∴∠1≠∠2.
（3）假命题.反例：如（－3）2＝32，但－3≠3.
（4）真命题.
图2
类型二 平行线的判定和性质
（1）如图，已知直线 a ， b 都与直线 c 相交.给出下列条
件，其中能判断 a ∥ b 的是（ D ）
①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4＋∠7＝180°；④∠5＋∠8＝
180°.
D
A. ①③ B. ③④
C. ①③④ D. ①②③④
【思路导航】根据平行线的判定方法分别判断四个条件即可.
【解析】①∵∠1＝∠2，∴ a ∥ b .故①正确；
②∵∠3＝∠6，∴ a ∥ b .故②正确；
③∵∠4＋∠7＝180°，∠4＝∠6，
∴∠6＋∠7＝180°.∴ a ∥ b .故③正确；
④∵∠5＋∠8＝180°，∠5＝∠3，∠8＝∠2，
∴∠2＋∠3＝180°.∴ a ∥ b .故④正确.故选D.
【点拨】对于“三线八角”问题，可利用对顶角相等、同角或
等角的补角相等等知识将已知的关系转化为平行线判定的条
件，再利用平行线的判定方法判定.
（2）如图，已知点 D ， E ， F ， G 都在△ ABC 的边上， EF ∥
AC ，且∠1＋∠2＝180°.
①求证： AE ∥ DG ；
②若 EF 平分∠ AEB ，∠ C ＝35°，求∠ BDG 的度数.
【思路导航】①要证 AE ∥ DG ，根据∠1＋∠2＝180°，只需要证明一组相关的同旁内角互补即可；②要求∠ BDG 的度数，由①只需要求出∠ AEB 的度数即可.
①证明：∵ EF ∥ AC ，
∴∠1＝∠ CAE .
∵∠1＋∠2＝180°，
∴∠2＋∠ CAE ＝180°.
∴ AE ∥ DG .
②解：∵ EF ∥ AC ，∠ C ＝35°，
∴∠ BEF ＝∠ C ＝35°.
∵ EF 平分∠ AEB ，
∴∠1＝∠ BEF ＝35°.
∴∠ AEB ＝70°.
由（1）知， AE ∥ DG ，
∴∠ BDG ＝∠ AEB ＝70°.
1. 如图，已知点 E 是长方形纸片 ABCD 的边 AB 上的一点，沿
CE 折叠后交 DC 于点 F ，且∠ EFD ＝76°，则∠ ECF 的度数是
（ B ）
A. 14°
B. 38°
C. 52°
D. 76°
B
2. 如图，某工程队从 A 点出发，沿北偏西67°方向铺设管道
AD . 由于某些原因， BD 段不适宜铺设，需改变方向，由 B 点沿北偏东23°的方向继续铺设 BC 段.到达 C 点后又改变方向，继续铺设 CE 段.当∠ ECB 为多少度时，可使所铺管道 CE ∥ AB ？试说明理由.此时 CE 与 BC 有怎样的位置关系？
解：∠ ECB ＝90°.理由如下：
∵分别过 A ， B 两点的指向正北方的线是平行的，
∴∠1＝∠ A ＝67°（两直线平行，同位角相等）.
∴∠ CBD ＝23°＋67°＝90°.
当∠ ECB ＋∠ CBD ＝180°时，
可得 CE ∥ AB （同旁内角互补，两直线平行）.
∴∠ ECB ＝90°.
此时 CE ⊥ BC （垂直的定义）.
类型三 三角形内角和定理及外角的性质
（1）如图，在△ ABC 中，已知∠1＝∠2＝∠3.
①求证：∠ BAC ＝∠ DEF ；
②若∠ BAC ＝70°，∠ DFE ＝50°，求∠ ABC 的度数.
【思路导航】根据三角形内角和定理及外角的性质进行解答
即可.
①证明：在△ ACE 中，∠ DEF ＝∠3＋∠ CAE .
∵∠1＝∠3，
∴∠ DEF ＝∠1＋∠ CAE ＝∠ BAC ，
即∠ BAC ＝∠ DEF .
②解：在△ BCF 中，∠ DFE ＝∠2＋∠ BCF .
∵∠2＝∠3，
∴∠ DFE ＝∠3＋∠ BCF ＝∠ ACB ，
即∠ DFE ＝∠ ACB .
又∵∠ ABC ＋∠ BAC ＋∠ ACB ＝180°，
∴∠ ABC ＝180°－∠ BAC －∠ DFE
＝180°－70°－50°＝60°.
【点拨】在求角的问题中，常用到三角形内角和定理、三角形
外角定理等，要熟练掌握、灵活运用，理清角之间的数量关系.
（2）如图，将△ ABC 的一角沿 DE 折叠，使点 A 落在点A'处.若
∠ A ＝50°，则∠1＋∠2＝ .
【思路导航】由折叠的性质可得∠ ADE ＝∠A'DE，∠ AED ＝
∠A'ED，由三角形的内角和定理可得∠ ADE ＋∠ AED 的度数，
再由平角的定义可得∠1＋∠2.
100°
【解析】由题意，得∠ ADE ＝∠ A ' DE ，∠ AED ＝∠ A ' ED ，
∴∠ ADA '＝2∠ ADE ，∠ AEA '＝2∠ AED . ∵∠ A ＝50°，
∴∠ ADE ＋∠ AED ＝180°－∠ A ＝130°.∵∠1＝180°－
∠ ADA '，∠2＝180°－∠ AEA '，∴∠1＋∠2＝180°－∠ ADA '＋180°－∠ AEA '＝360°－2∠ ADE －2∠ AED ＝360°－2（∠ ADE ＋∠ AED ）＝360°－2×130°＝360°－260°＝100°.故答案为100°.
【点拨】折叠前后的两个三角形全等，利用全等三角形的性质
求得角的大小是解决折叠问题的关键.
1. 如图，已知点 P 是△ ABC 内一点，且∠ BPC ＝120°.若∠ A
＝50°， BD 平分∠ ABP ， CE 平分∠ ACP ， BD 与 CE 相交于点
F ，则∠ BFC 的度数是 .
85°
【解析】∵∠ A ＝50°，∴∠ ABC ＋∠ ACB ＝130°.∵∠ BPC ＝120°，∴∠ PBC ＋∠ PCB ＝180°－∠ BPC ＝60°.
∴∠ ABP ＋∠ ACP ＝130°－60°＝70°.∵ BD 平分∠ ABP ， CE 平分∠ ACP ，∴∠ FBP ＋∠ FCP ＝35°.∴∠ FBC ＋∠ FCB ＝∠ PBC ＋∠ PCB ＋∠ FBP ＋∠ FCP ＝60°＋35°95°.
∴∠ BFC ＝180°－（∠ FBC ＋∠ FCB ）＝180°－95°＝85°.故答案为85°.
2. （1）探究：如图1，求证：∠ BOC ＝∠ A ＋∠ B ＋∠ C .
（2）应用：如图2，已知∠ ABC ＝100°，∠ DEF ＝130°，求
∠ A ＋∠ C ＋∠ D ＋∠ F 的度数.
图1
图2
（1）证明：如图1，作射线 AO .
∵∠3是△ ABO 的外角，
∴∠2＋∠ B ＝∠3.①
∵∠4是△ AOC 的外角，
∴∠1＋∠ C ＝∠4.②
由①＋②，得∠2＋∠ B ＋∠1＋∠ C ＝∠3＋∠4，
即∠ BOC ＝∠ BAC ＋∠ B ＋∠ C .
图1
（2）解：如图2，连接 AD . 同（1）易得，
∠ F ＋∠2＋∠3＝∠ DEF ， ③
∠1＋∠4＋∠ C ＝∠ ABC . ④
由③＋④，得∠ F ＋∠2＋∠3＋∠1＋∠4＋∠ C
＝∠ DEF ＋∠ ABC ＝130°＋100°＝230°，
即∠ BAF ＋∠ C ＋∠ CDE ＋∠ F ＝230°.
图2
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总复习 期末复习课
期末复习课（五）（第五章 二元一次方程组）
数学 八年级上册 BS版
知识梳理
典例讲练
目录
CONTENTS
1. 二元一次方程及二元一次方程的解.
（1）含有 个未知数，并且所含未知数的项的次数都
是 的方程叫做二元一次方程；
（2）适合一个二元一次方程的 的值，叫做这个
二元一次方程的一个解.
两
1
一组未知数
2. 二元一次方程组及二元一次方程组的解.
（1）共含有 个未知数的 个 次方程所组成的
一组方程，叫做二元一次方程组；
（2）二元一次方程组中各个方程的 ，叫做二元一次
方程组的解.
两
两
一
公共解
3. 解二元一次方程组.
（1）解二元一次方程组的基本思路是通过 将二元一次
方程组转化为一元一次方程求解；
（2）解二元一次方程组的常用方法为 和
.
消元
代入法
加减
法
4. 应用二元一次方程组解应用题的基本步骤.
（1）审：审题，看题目中的已知量、未知量；
（2）设：设出 个未知数，并用代数式表示相关量；
（3）找：找出 个等量关系式；
（4）列：根据等量关系式列 ；
（5）解：解二元一次方程组；
（6）答：检验后作答，一验解是否正确，二验解是否符合
；问什么，答什么.
两
两
二元一次方程组
实
际
5. 二元一次方程与一次函数.
（1）二元一次方程 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）的一组解就是
对应一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）图象上的一个点的坐
标： ；
（2）二元一次方程组的解就
是一次函数 y ＝ k1 x ＋ b1（ k1≠0）与 y ＝ k2 x ＋ b2（ k2≠0）图象
的交点坐标： .
（ m ， n ）
（ m ， n ）
6. 三元一次方程（组）及其解.
（1）含有 个未知数，并且所含未知数的项的次数都
是 的方程叫做三元一次方程；
（2）三元一次方程组中各方程的 ，叫做三元一次方
程组的解.
三
1
公共解
数学 八年级上册 BS版
0 2
典例讲练
类型一 二元一次方程及其解
已知 x｜ k｜＋ ky ＝2＋ y 是关于 x ， y 的二元一次方程，则 k 的
值为（ B ）
A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0
【思路导航】根据二元一次方程的概念列出关于 k 的方程和不等
式，求解即可.
B
【解析】原方程整理，得 ＋（ k －1） y ＝2.由题意，得
＝1，且 k －1≠0，解得 k ＝－1.故选B.
【点拨】二元一次方程的概念要抓住三个要素：（1）是方程；
（2）有两个未知数；（3）所含未知数的项的次数为1.注意：
需要移项、合并、整理后观察.
1. 已知 x｜2 m－3｜＋（ m －2） y ＝6是关于 x ， y 的二元一次方
程，则 m 的平方根是 .
2. 已知是方程2 x － y ＝3的一个解，则代数式4 a －2 b －17的值是 .
±1
－11
类型二 二元一次方程组及其解
已知是方程组的解，则
（ m ＋ n ）2 024的值为（ C ）
A. －1 B. 0 C. 1 D. －2
【思路导航】将方程组的解代入方程，得出关于 m ， n 的方程
组，求解即可.
C
【解析】将代入得
解得所以（ m ＋ n ）2 024＝
（－1）2 024＝1.故选C.
【点拨】方程组的解是使方程组两边成立的未知数的值，将其
代入方程组，等式成立.据此可以解决求方程组中的参数问题.
1. 已知关于 x ， y 的方程组的解与方程组
的解相同，则 a ＋ b 的值为（ B ）
A. －1 B. 1 C. 2 D. 0
B
2. 已知是一个二元一次方程组的解，则这个方程组
可以是 （只需写出一个）.
（答案不唯一）
类型三 解二元一次方程组
解下列方程组：
（1）
（2）
【思路导航】解方程组的基本思路是消元.
解：（1）
由①×3＋②×2，得19 x ＝114，解得 x ＝6.
把 x ＝6代入①，得18＋4 y ＝16，解得 y ＝－ .
则原方程组的解为
（2）解：原方程组整理，得
由①，得 x ＝5 y －3. ③
把③代入②，得5（5 y －3）－11 y ＝－1.解得 y ＝1.
把 y ＝1代入③，得 x ＝2.则原方程组的解为
【点拨】解二元一次方程组的核心是消元，常用的方法是代入
法和加减法，在解方程时要根据方程的特点选择恰当的方法进
行消元.
解下列方程组：
（1） （2）
解：（1）
由①化简，得8 x ＋15 y ＝54.③
由②化简，得12 x －15 y ＝6.④
由①＋②，得20 x ＝60，解得 x ＝3.
把 x ＝3代入③，得 y ＝2.
故原方程组的解为
（2）原方程组整理，得
由②×2－①，得 x ＝370.
把 x ＝370代入②，得740－5 y ＝190，解得 y ＝110.
故原方程组的解为
类型四 二元一次方程组在实际问题中的应用
在某市举行的运动会中，大批的大学生报名参与志愿者服
务工作.某大学计划组织本校大学生志愿者乘车去了解比赛场馆
情况，若单独调配36座（不含司机）新能源客车若干辆，则有2
人没有座位；若只调配22座（不含司机）新能源客车，则用车
数量将增加4辆，并空出2个座位.
（1）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名大学
生志愿者？
（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保
证每车不空座，则两种车型各需多少辆？
【思路导航】（1）设计划调配36座新能源客车 x 辆，该大学共
有 y 名大学生志愿者，根据题意列二元一次方程组解答即可；
（2）设需调配36座客车 m 辆，22座客车 n 辆，列出关系式，根
据客车数是整数进行判断求解.
解：（1）设计划调配36座新能源客车 x 辆，该大学共有 y 名
大学生志愿者.
根据题意，得解得
故计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名大学生志
愿者.
（2）设需调配36座客车 m 辆，22座客车 n 辆.
根据题意，得36 m ＋22 n ＝218.
∴ n ＝ ＝10－ m － .
又∵ m ， n 均为正整数，∴
故需调配36座客车3辆，22座客车5辆.
【点拨】利用方程组解决实际问题时，方程的解既要满足方程
组，同时需要符合实际要求，如本题中客车的数量是正整数.
经过一年多的精准帮扶，小明家的网络商店（简称网店）将红
枣、小米等优质土特产迅速销往全国.小明家网店中红枣和小米
这两种商品的相关信息如下表：
商品 红枣 小米
规格 1 kg/袋 2 kg/袋
成本/（元/袋） 40 38
售价/（元/袋） 60 54
根据上表提供的信息，解答下列问题：
（1）已知今年前五个月，小明家网店销售红枣和小米共
3 000 kg，获得利润4.2万元，求前五个月小明家网店销售红
枣多少袋.
解：（1）设前五个月小明家网店销售红枣 a 袋，销售小米 b 袋.
根据题意，得
解得
故前五个月小明家网店销售红枣1 500袋.
（2）根据之前的销售情况，估计今年6月到10月这五个月，小
明家网店还能销售红枣和小米共2 000 kg.其中，红枣的销售量
不低于600 kg.假设这后五个月，销售红枣 x kg，销售红枣和小
米获得的总利润为 y 元，求 y 与 x 之间的函数关系式，并求这五
个月小明家网店销售红枣和小米至少获得的利润.
（2）根据题意，得 y ＝（60－40） x ＋（54－38）× ＝
12 x ＋16 000.
∵ k ＝12＞0，∴ y 的值随着 x 值的增大而增大.
∵ x ≥600，∴当 x ＝600时， y 取得最小值，为 y ＝12×600＋
16 000＝23 200.∴小明家网店销售红枣和小米至少获得的利润为23 200元.
类型五 二元一次方程组与一次函数图象的应用
周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游.从家出发0.5 h
后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地.小明离家 h后，
妈妈驾车沿相同路线前往乙地.他们离家的路程 y （km）与小明
离家时间 x （h）的函数图象如图所示.已知妈妈驾车的速度是小
明骑车速度的3倍.
（1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；
（2）小明从家出发多久后被妈妈追上？此时离家多远？
（3）若妈妈比小明早10 min到达乙地，求从家到乙地的路程.
【思路导航】（1）根据“速度＝路程÷时间”得出小明骑车的
速度，由与 x 轴平行的线段端点坐标的横坐标可知小明在甲地游
玩的时间；（2）先求得线段 BC 和线段 DE 所在直线的函数表达
式，再求得它们的交点坐标，即可求得被妈妈追上的时间；
（3）设从相遇地点到乙地的路程为 n km，列出方程，求得 n 的
值，加上相遇时的路程即可得出从家到乙地的路程.
解：（1）由图象可知，小明骑车的速度为 ＝20（km/h），
在甲地游玩的时间是1－0.5＝0.5（h）.
（2）由题意，得妈妈驾车的速度为20×3＝60（km/h）.
设直线 BC 的函数表达式为 y ＝20 x ＋ b1.
把点 B （1，10）代入，得 b1＝－10.
∴直线 BC 的函数表达式为 y ＝20 x －10.
设直线 DE 的函数表达式为 y ＝60 x ＋ b2.
把点 D 代入，得 b2＝－80.
∴直线 DE 的函数表达式为 y ＝60 x －80.
联立解得
∴交点 F （1.75，25）.
故小明出发1.75 h被妈妈追上，此时离家25 km.
（3）设从相遇地点到乙地的路程为 n km.
根据题意，得 － ＝ ，解得 n ＝5.
则从家到乙地的路程为5＋25＝30（km）.
【点拨】解答二元一次方程组和一次函数图象的综合问题时，
要仔细观察图象，通过题干和图象给出的数据，列二元一次方
程组求出一次函数表达式，进一步结合图象解决问题.
如图1，在A，B两地之间有汽车站C，客车由A地驶往C站，货
车由B地经过C站驶往A地，两车同时出发，匀速行驶.客车、货
车到C站的路程 y1， y2（km）与行驶时间 x （h）之间的函数关
系图象如图2所示.
图1
图2
（1）A，B两地相距 km；
520
（1）【解析】观察函数图象可知，A，C两地相距400 km，B，
C两地相距120 km.∴A，B两地的距离为400＋120＝520
（km）.故答案为520.
图1
图2
（2）解：①当0≤ x ≤1.5时，设 y2＝ k2 x ＋ b2（ k2≠0）.由函数
图象过点（0，120）和点（1.5，0），得
解得
∴当0≤ x ≤1.5时， y2＝－80 x ＋120；
（2）求货车到C站的路程 y2与行驶时间 x 之间的函数关系式；
②当 x ＞1.5时，∵货车匀速运动，且速度为120÷1.5＝80
（km/h），∴ y2＝80（ x －1.5）＝80 x －120.
令 y2＝400，得80 x －120＝400， x ＝6.5.
∴ y2＝80 x －120（1.5＜ x ≤6.5）.
综上所述，货车到C站的路程 y2与行驶时间 x 之间的函数关系式
为 y2＝
（3）解：设客车到C站的路程 y1与行驶时间 x 之间的函数关系
式为 y1＝ k1 x ＋ b1（ k1≠0）.
由图2可知， y1＝ k1 x ＋ b1的函数图象过点（0，400）和点（4，0），
∴
解得
（3）两车出发后，几小时相遇？
图2
∴客车到C站的路程 y1与行驶时间 x 之间的函数关系式为 y1＝－100 x ＋400.
观察图2可知，当 x ＞1.5时，两车相遇.
令80 x －120＝－100 x ＋400，解得 x ＝ .
故两车出发后， h相遇.
图2
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