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第四章 一次函数
专题6 一次函数中的规律探索问题
数学 八年级上册 BS版
专题解读
典例讲练
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CONTENTS
◎问题综述
一次函数背景下的规律探究性问题，是一次函数的难点，
也是必考点.常常出现在填空题或选择题的压轴题中，有时也会
在最后解答题的压轴题中考查.这种问题主要涉及坐标的计算、
线段长度的计算、面积的计算.
◎要点归纳
1. 探索规律的方法.
（1）从“数”的角度；
（2）从“形”的角度.
2. 表达规律的关键：把每一个的结果与序号建立起联系，重要
的是前三个的规律.
常用公式：
（1）前 n 项和公式：1＋2＋3＋…＋ n ＝ n ；
（2）裂项公式： ＝ － ， ＝ ；
（3） 符号公式： ＝
3. 常见规律类型.
（1）循环；（2）均匀变化（倍数关系）；（3）乘方关系.
数学 八年级上册 BS版
0 2
典例讲练
类型一 与一次函数有关的点的坐标的规律
如图，已知直线 OD 与 x 轴所夹的锐角为30°， OA1的长为
1，△ A1 A2 B1，△ A2 A3 B2，△ A3 A4 B3，…，△ AnAn＋1 Bn 均为等
边三角形，点 A1， A2， A3，…， An＋1在 x 轴的正半轴上依次排
列，点 B1， B2， B3，…， Bn 在直线 OD 上依次排列，则点 Bn 的
坐标为 .
（3×2 n－2， ×2 n－2）
【思路导航】 根据题意，得∠ B1 OA2＝∠ A1 B1 O ， OA2＝2
OA1，同理可求得 OAn ，再结合含30°角的直角三角形的性质可
求得△ AnAn＋1 Bn 的边长，进一步可求得点 Bn 的坐标.
【解析】因为△ A1 A2 B1为等边三角形，所以∠ B1 A1 A2＝60°.
因为∠ B1 OA2＝30°，所以∠ B1 OA2＝∠ A1 B1 O ＝30°.可得
OA2＝2 OA1＝2.因为△ A2 A3 B2为等边三角形，所以∠ B2 A2 A3＝
60°.因为∠ B2 OA3＝30°.所以∠ B2 OA3＝∠ A2 B2 O ＝30°.可
得 OA3＝2 OA2＝22；…；同理，得 OAn ＝2 n－1.因为∠ BnOAn＋1
＝30°，∠ BnAnAn＋1＝60°，所以∠ BnOAn＋1＝∠ OBnAn ＝
30°.
所以 BnAn ＝ OAn ＝2 n－1，即△ AnBnAn＋1的边长为2 n－1.由勾股定
理，得其高为 ＝ ×2 n－2.故点 Bn 的纵坐标为 ×2 n－2.而点 Bn 的横坐标为 ×2 n－1＋2 n－1＝ ×2 n－1＝3×2 n－2，所以点 Bn 的坐标为（3×2 n－2， ×2 n－2）.故答案为（3×2 n－2， ×2 n－2）.
【点拨】本题利用了数与数之间存在的倍数规律.
如图，直线 l1： y ＝ x ＋1与直线 l2： y ＝ x ＋ 在 x 轴上相交于点 P （－1，0），直线 l1与 y 轴交于点 A . 一动点 C 从点 A 出发，先沿平行于 x 轴的方向运动，到达直线 l2上的点 B1处后，改为沿垂直于 x 轴的方向运动，到达直线 l1上的点 A1处，再沿平行于 x 轴的方向运动，到达直线 l2上的点 B2处后，又改为沿垂直于 x 轴的方向运动，到达直线 l1上的点 A2处，然后沿平行于 x 轴的方向运动……一直照此规律运动，动点依次经过点 B1， A1， B2， A2， B3， A3，…，则当动点 C 到达点 B6处时，点 B6的坐标为 .
（63，32）
类型二 与一次函数有关的线段的规律
如图，已知直线 b 的函数表达式为 y ＝ x ，过点 A1
作 x 轴的垂线交直线 b 于点 B1，以 A1 B1为边作第1个正方形 A1 B1
C1 A2，点 A2在 x 轴上， A2 C1的延长线交直线 b 于点 B2，以 A2 B2
为边作第2个正方形 A2 B2 C2 A3……按此作法继续下去，则第2
021个正方形 A2 021 B2 021 C2 021 A2 022的边长为 .
22 020·
【思路导航】先根据一次函数的表达式求出点 B1的坐标，再根
据点 B1的坐标求出点 A2的坐标，以此类推，总结规律便可求出
点 Bn 的坐标，即可求得 AnBn .
【解析】由题意，知点 B1， B2， B3，…， Bn 在直线 y ＝ x 的图
象上，即 A1 B1＝ A1 A2＝ OA1， A2 B2＝ OA2， A3 B3＝ OA3，…，
AnBn ＝ AnAn＋1＝ OAn .又因为点 A1的坐标为 A1 ，所以 A1
B1＝ OA1＝ .所以 A2 B2＝ OA2＝ OA1＋ A1 A2＝ ＋ ＝2
， A3 B3＝ OA3＝ OA2＋ A2 A3＝2 ＋2 ＝4 ＝
22· ，…，所以 AnBn ＝ OAn ＝ OAn－1＋ An－1 An ＝2 n－1· .所
以 A2 021 B2 021＝22 021－1· ＝22 020· .故答案为22 020· .
【点拨】此题的关键是找出前后对应线段长度的数量关系.
如图，在平面直角坐标系中，函数 y ＝3 x 和 y ＝－ x 的图象分别
为直线 l1， l2，过点（1，0）作 x 轴的垂线交 l1于点 A1，过点 A1
作 y 轴的垂线交 l2于点 A2，过点 A2作 x 轴的垂线交 l1于点 A3，过
点 A3作 y 轴的垂线交 l2于点 A4……依次进行下去，则点
A2 023 A2 024的长为 .
4×31 011
类型三 与一次函数有关的面积的规律
如图，直线 y ＝－2 x ＋2分别交 x 轴、 y 轴于 A ， B 两点，将
线段 OA 分成 n 等份，等分点分别为 P1， P2， P3，…， Pn－1，过
每个等分点作 x 轴的垂线分别交直线 AB 于点 T1， T2， T3，…，
Tn－1，用 S1， S2， S3，…， Sn－1分别表示Rt△ T1 OP1，
Rt△ T2 P1P2，…，Rt△ Tn－1 Pn－2 Pn－1的面积，则当 n ＝2 023时， S1＋ S2＋ S3＋…＋ Sn－1＝ .
【思路导航】根据图象上点的坐标性质得出点 T1， T2，
T3，…， Tn－1的纵坐标，利用三角形的面积公式得出 S1， S2，
S3，…， Sn－1，再计算.
【解析】因为 P1， P2， P3，…， Pn－1是 x 轴上的点， OA ＝1，
所以 OP1＝ P1 P2＝ P2 P3＝…＝ Pn－2 Pn－1＝ .所以点 T1的横坐标
为 ，纵坐标为2－ .所以 S1＝ × × ＝ .同
理，得点 T2的横坐标为 ，纵坐标为2－ .所以 S2＝ .
T3的横坐标为 ，纵坐标为2－ ，所以 S3＝ ；…； Sn－
1＝ .所以 S1＋ S2＋ S3＋…＋ Sn－1＝ ［ n －1－ （ n
－1）］＝ × （ n －1）＝ .因为 n ＝2 023，所以 S1＋ S2＋
S3＋…＋ S2 021＝ .故答案为 .
【点拨】此题的关键是发现 Sn－1＝ .
如图，在平面直角坐标系中，直线 l 为正比例函数 y ＝ x 的图
象，点 A1的坐标为（1，0），过点 A1作 x 轴的垂线交直线 l 于点 D1，以 A1 D1为边作正方形 A1 B1 C1 D1；过点 C1作直线 l 的垂线，垂足为 A2，交 x 轴于点 B2，以 A2 B2为边作正方形 A2 B2 C2 D2；过点 C2作 x 轴的垂线，垂足为 A3，交直线 l 于点 A3，以 A3 D3为边作正方形 A3 B3 C3 D3……按此规律操作下去，所得到的正方形 A2 024 B2 024 C2 024 D2 024的面积是 .
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第二章 实 数
专题2 与二次根式有关的计算问题
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专题解读
典例讲练
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◎问题综述
二次根式是初中数学中一个重要的内容，一方面它与平面
几何中著名的勾股定理有着密切的联系，另一方面它也为学习
初中数学中重要的一元二次方程打下了必要的基础.因此，二次
根式在初中数学和实际生活中有广泛的应用.
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0 2
典例讲练
类型一 二次根式的混合运算
计算：
（1） － － （ － ）；
（2） － ＋（ ＋1）（ －1）.
【思路导航】根据二次根式的运算法则进行计算即可.
解：（1）原式＝ －（1－2 ＋3）－6＋1
＝6－4＋2 －6＋1
＝－3＋2 .
（2）原式＝3 －（3＋2 ＋1）＋3－1
＝ －2.
【点拨】在二次根式的混合运算中，需要注意运算顺序，并合
理运用运算律及公式（完全平方公式、平方差公式）.计算后要
进行检查.
计算：
（1） － × ；
解：（1）原式＝ －
＝2－ －
＝2－ －2
＝－ .
（2） · ÷3 （ a ＞0， b ＞0）.
（2）原式＝ · b2 · ÷3
＝－3 a2 b2÷3
＝－ a2 b .
类型二 二次根式非负性的应用
已知 x ， y ， a ， b 满足关系式： ＋ ＝
· ，试求 x ， y 的值.
【思路导航】先根据二次根式中的被开方数为非负数，得到 a
＋ b 的值，再利用二次根式的非负性，求出 x ， y 的值即可.
解：因为二次根式中的被开方数为非负数，
所以
所以 a ＋ b －2 024＝2 024－ a － b ＝0.
所以 ＋ ＝0.
所以解得
故 x 的值是2， y 的值是 .
【点拨】二次根式 （ a ≥0）是表示非负数 a 的算术平方根的
代数式，可见二次根式 （ a ≥0）具有双重非负性，即 a
≥0， ≥0.
1. 已知 x ， y 为实数，且 y ＝ － ＋2000，
则 ＝ 2 .
2. 已知4 a2＋4 a ＋1＋ ＝0，试计算 ＋
－ 的值.
2
解：由已知，得（2 a ＋1）2＋ ＝0.
又因为（2 a ＋1）2≥0， ≥0，
所以2 a ＋1＝0，2 a －3 b －5＝0，
解得 a ＝－ ， b ＝－2.
所以原式＝ ＋ －
＝1＋4－5＝0.
类型三 二次根式的代入求值
已知 a ＝ ＋2， b ＝ －2，求（ a ＋ b ）（ a2＋ b2－
ab ）的值.
【思路导航】先计算出 a ＋ b 和 ab 的值，再把原式转化成用 a ＋
b 和 ab 表示的形式，最后整体代入计算即可.
解：因为 a ＝ ＋2， b ＝ －2，
所以 a ＋ b ＝2 ， ab ＝（ ＋2）（ －2）＝（ ）2－22
＝1.
所以原式＝（ a ＋ b ）（ a2＋2 ab ＋ b2－3 ab ）＝（ a ＋ b ）[（ a
＋ b ）2－3 ab ]＝2 ×[（2 ）2－3×1]＝2 ×17＝34 .
【点拨】在解答代入求值问题时，若直接代入，可能遇到计算
量较大的困难，一般情况下，我们可以将其转化为用两数之
和、两数之差、两数之积来表示，最后整体代入，这样可以减
少计算量.
1. 先化简，再求值： － y ＋ ，其中 x ＝4， y
＝ .
解：原式＝5 －4 ＋ ＝2 .
当 x ＝4， y ＝ 时，原式＝2 ＝ .
2. 已知 a ＝ ， b ＝ ，求 a2－ ab ＋ b2的值.
解： a ＝ ＝ ＝ .同理可得， b ＝
.
所以 a ＋ b ＝ ＋ ＝ ，
ab ＝ × ＝ .
所以 a2－ ab ＋ b2＝ a2＋2 ab ＋ b2－ ab －2 ab ＝（ a ＋ b ）2－3 ab
＝5－ ＝ .
类型四 与二次根式有关的无理数的整数部分和小数部分
已知9＋ 与9－ 的小数部分分别是 a 和 b ，求 ab －3
a ＋4 b ＋8的值.
【思路导航】根据 的整数部分，先确定所给数的小数部
分，再代入所给代数式求解即可.
解：因为3＜ ＜4，所以12＜9＋ ＜13，5＜9－ ＜6.
所以9＋ 的小数部分 a ＝9＋ －12＝ －3，9－
的小数部分 b ＝9－ －5＝4－ .
所以 ab －3 a ＋4 b ＋8＝ a （ b －3）＋4 b ＋8＝（ －3）·
（1－ ）＋4（4－ ）＋8＝ －13－3＋3 ＋16－4
＋8＝8.
【点拨】无限不循环小数称为无理数，无理数由整数部分和小
数部分组成.解像本例这类题目的基本思路和方法：先确定其值
的范围（把它的值限制在两个连续整数之间），再求出其整数
部分和小数部分.但要注意的是，在求无理数的小数部分时，不
要将小数部分写成小数的形式，如对于“ a ＋ b ”型的无理
数，确定它的整数部分和小数部分，按如下的步骤进行：先确
定 的整数部分，再将这个整数代入计算，从而确定 a ＋ b
的整数部分为 m ，则 a ＋ b － m 即为它的小数部分.
已知实数 的整数部分为 x ，小数部分为 y ，求 的值.
解：根据题意，得 x ＋ y ＝ ＝2＋ .
因为1＜ ＜2，所以3＜2＋ ＜4.
所以整数部分 x ＝3，即3＋ y ＝2＋ .
所以小数部分 y ＝2＋ －3＝ －1.
所以 ＝ ＝ ＝
＝ ＝－ － .
类型五 求与二次根式有关的最值问题
如图，点 C 为线段 BD 上一动点，分别过点 B ， D 作 AB ⊥
BD ， ED ⊥ BD ，连接 AC ， EC . 已知 AB ＝5， DE ＝1， BD ＝
8.设 CD ＝ x .
（1）用含 x 的代数式表示 AC ＋ CE 的长.
（2）当点 C 满足什么条件时， AC ＋ CE 的值最小？求这个
最小值.
（3）根据（2）中的规律和结论，画图求出代数式 ＋
的最小值.
【思路导航】（1）由于△ ABC 和△ CDE 都是直角三角形，利
用勾股定理求得 AC ， CE 即可；（2）由“两点之间，线段最
短”，确定 AE 的长为其最小值，再构造直角三角形计算即可；
（3）根据题目中的图，用3， x ，15－ x ，5分别替换为对应直
角边长，再运用（2）中的方法计算即可.
解：（1）在Rt△ ABC 中，由勾股定理，得
AC ＝ ＝ .
在Rt△ CDE 中，由勾股定理，得
CE ＝ ＝ .
所以 AC ＋ CE ＝ ＋ .
（2）如图1，当 A ， C ， E 三点共线，即点 C 在点C'位置时，
AC ＋ CE 的值最小.
过点 A 作 AF ⊥ DE ，交 ED 的延长线于点 F .
所以 DF ＝ AB ＝5， AF ＝ BD ＝8.所以 EF ＝ DE ＋ DF ＝6.
在Rt△ AEF 中，由勾股定理，得
AE ＝ ＝ ＝10.
所以 AC ＋ CE 的最小值为10.
图1
（3）如图2，作 BD ＝15，过点 B 作 BA ⊥ BD ，过点 D 作 DE ⊥
BD ，使 AB ＝3， ED ＝5.连接 AE ，交 BD 于点 C . 设 BC ＝ x ，
则 AE 的长即为代数式 ＋ 的最小值.
过点 A 作 AF ⊥ DE ，交 ED 的延长线于点 F ，得长方形 ABDF .
所以 DF ＝ AB ＝3， AF ＝ BD ＝15，
EF ＝ ED ＋ DF ＝5＋3＝8.
所以 AE ＝ ＝ ＝17，
即 ＋ 的最小值为17.
图2
【点拨】本例是一道典型的几何最值问题，解这类题目的基本
思路和方法是：利用“三角形的任意两边之和大于第三边”或
“两点之间，线段最短”，知当动点 C 在线段 BD 上移动到 A ，
C ， E 三点共线时， AC ＋ CE 取得最小值，然后构造出以 AE 为
斜边的直角三角形，再利用勾股定理求 AE 的长.
1. 当 x 取何值时，5－ 的值最大？最大值是多少？
解：因为 ≥0，所以要使5－ 的值最大，只需使
取最小值.
所以当3 x －2＝0，即 x ＝ 时，5－ 的值最大，最大值
是5.
2. 设 a ， b ， c ， d 为正实数，且 a ＜ b ， c ＜ d ， bc ＞ ad .现有
一个三角形的三边长分别是 ， ，
，求此三角形的面积.
解：如图，作长方形 ABCD ，使 AB ＝ b － a ， AD ＝ c ，延长 DA
至点 E ，使 AE ＝ d － c .延长 DC 至点 F ，使 CF ＝ a ，连接 EF ，
FB ， BE .
所以 BF ＝ ， EF ＝ ，
BE ＝ .
所以△ BEF 的面积就是所求三角形的面积.
所以 S△ BEF ＝ S长方形 ABCD ＋ S△ BCF ＋ S△ ABE － S△ DEF ＝ c ＋
ac ＋ （ d － c ）（ b － a ）－ bd ＝ （ bc － ad ）.
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第四章 一次函数
专题5 一次函数中的综合问题
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◎问题综述
一次函数的综合问题，常常涉及三角形全等、三角形存在
性问题、相交型图象信息问题等.在遇到这些问题时，关键是要
认真审题，理清题意，熟练运用一次函数的知识正确解答.
◎要点归纳
1. 一次函数与三角形全等中“三垂直”模型相结合.右图为
“三垂直”全等模型，其中△ ABC 为等腰直角三角形， AE ⊥
EC ， BF ⊥ CF ， E ， C ， F 三点共线，则有△ ACE ≌△ CBF .
在与一次函数的综合题中需要作垂线构造全等三角形.
2. 一次函数中的三角形存在性问题的解题步骤.
（1）找点：利用尺规作图确定点的位置；
（2）求点：利用等量关系或联立函数表达式，直角三角形需要
根据直角顶点分类讨论，再由等腰直角三角形的特殊性，利用
勾股定理或构造全等三角形求解；
（3）定点：依据题意确定符合要求的点的坐标.
3. 相交型图象信息问题.
若两个一次函数 y1与 y2的图象的交点坐标为（ x0， y0），则当 x
＝ x0时，函数值 y1＝ y2＝ y0；当函数值 y ＝ y0时，自变量的值 x1
＝ x2＝ x0.
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0 2
典例讲练
类型一 一次函数中的三角形全等问题
如图，已知一次函数 y ＝－2 x ＋2的图象与 y 轴交于点 A ，
与 x 轴交于点 B ，过点 B 作线段 BC ⊥ AB 且 BC ＝ AB ，直线 AC
交 x 轴于点 D .
（2）若点 Q 是图中坐标平面内不同于点 B ， C 的一点，当以点
B ， D ， Q 为顶点的三角形与△ BCD 全等时，直接写出点 Q 的
坐标.
（1）求点 A ， B ， C 的坐标和直线 AC 的函数表达式；
【思路导航】（1）过点 C 作 CM ⊥ x 轴于点 M ，得到△ AOB
≌△ BMC ，推出点 C 的坐标，再利用待定系数法求得直线 AC
的函数表达式；（2）以点 B ， D ， Q 为顶点的三角形与△ BCD
全等时，分情况讨论求出点 Q 的坐标.
（1）解：把 x ＝0代入 y ＝－2 x ＋2中，得 y ＝2.
所以点 A 的坐标为（0，2）.
把 y ＝0代入 y ＝－2 x ＋2，得－2 x ＋2＝0，解得 x ＝1.所以点 B
的坐标为（1，0）.
如图1，过点 C 作 CM ⊥ x 轴于点 M ，
图1
图1
所以∠ AOB ＝∠ BMC ＝90°.
因为 AB ⊥ BC ，
所以∠ ABC ＝90°.
所以∠ ABO ＋∠ MBC ＝90°.
所以∠ OAB ＝∠ MBC .
在△ AOB 和△ BMC 中，
所以△ AOB ≌△ BMC （AAS）.
所以 BM ＝ OA ＝2， CM ＝ OB ＝1.
所以 OM ＝3.所以点 C 的坐标为（3，1）.
设直线 AC 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
由题意，得 b ＝2，3 k ＋ b ＝1.所以 k ＝－ .
因为∠ ABO ＋∠ OAB ＝90°，
所以直线 AC 的函数表达式为 y ＝－ x ＋2.
（2）点 Q 的坐标为（3，－1），（4，－1）或（4，1）.
【解析】如图2，以点 B ， D ， Q 为顶点的三角形与△ BCD 全等时，点 Q 有三种情形.由图形的全等，知点 Q1与点 C 关于 x 轴对称.故点 Q1（3，－1）；由直线 AC ，知 D （60），点 C 与点 Q3关于 BD 的中垂线对称，故点 Q3（4，1）；点 Q2和点 Q3关于 x 轴对称，故点 Q2（4，－1）.故点 Q 的坐标为（3，－1），（4，－1）或（4，1）.
图2
【点拨】在解答一次函数与三角形的综合性问题时，常会用到
三角形全等中的常见模型，例如本题中用到的“三垂直”模
型，也常常会利用轴对称的知识去解题.
如图，在平面直角坐标系中，已知直线 y ＝ kx ＋ b 与 x 轴交于点
A ，与 y 轴交于点 B （0，6），与直线 y ＝2 x 交于点 C （ a ，
4）.
（1）求点 C 的坐标及直线 AB 的函数表达式.
（2）若点 E 的坐标是（4，0），过点 E 作直线 l ⊥ x 轴，交直线
y ＝2 x 于点 F ，交直线 y ＝ kx ＋ b 于点 G .
①求△ CGF 的面积.
②直线 l 上是否存在点 P ，使 OP ＋ BP 的值最小？若存在，直接
写出点 P 的坐标；若不存在，说明理由.
（3）若点 E 是 x 轴上的一个动点，点 E 的横坐标为 m （ m ＞
0），当点 E 在 x 轴上运动时，当 m 取何值时，直线 l 上存在点
Q ，使得以点 A ， C ， Q 为顶点的三角形与△ AOC 全等？请直
接写出相应的 m 的值.
备用图
解：（1）将点 C （ a ，4）代入 y ＝2 x ，可得 a ＝2，
所以点 C 的坐标为（2，4）.
将点 B （0，6），点 C （2，4）代入 y ＝ kx ＋ b ，可得
b ＝6，2 k ＋ b ＝4，所以 k ＝－1.
所以直线 AB 的函数表达式为 y ＝－ x ＋6.
（2）①因为直线 l ⊥ x 轴，点 E ， F ， G 都在直线 l 上，且点 E 的
坐标为（4，0），
所以点 F ， G 的横坐标均为4.
设点 F （4， y1）， G （4， y2），分别代入 y ＝2 x 和 y ＝－ x ＋
6，可得 y1＝8， y2＝2，
所以 F （4，8）， G （4，2）.
所以 FE ＝8， GE ＝2.所以 FG ＝6.
图1
如图1，过点 C 作 CH ⊥ FG 于点 H .
因为 C （2，4）， E （4，0），
所以 CH ＝4－2＝2.
所以 S△ FGC ＝ FG · CH ＝ ×6×2＝6.
图1
②存在点 P （4，3），使得 BP ＋ OP 的值最小.理由如下：
如图2，设点 O 关于直线 l 的对称点为 D （8，0），连接 BD .
设直线 BD 的函数表达式为 y ＝ mx ＋ n （ m ≠0）.
图2
图2
将点 B （0，6）， D （8，0）代入 y ＝ mx ＋ n ，
可得 n ＝6，8 m ＋ n ＝0.
所以 m ＝－ .
所以直线 BD 的函数表达式为 y ＝－ x ＋6.
因为点 P 在直线 l ： x ＝4上，令 x ＝4，则 y ＝3，
所以点 P 的坐标为（4，3）.
（3） m 的值为2，6或8.理由如下：
因为直线 AB 的函数表达式为 y ＝－ x ＋6，
所以 A （6，0）.
分三种情况讨论：
①如图3，当△ OAC ≌△ QCA ，点 Q 在第四象限时，
则∠ ECA ＝∠ EAC .
所以 AE ＝ CE ＝4， OE ＝6－4＝2.
所以 m ＝2；
图3
②如图4，当△ ACO ≌△ ACQ ，点 Q 在第一象限时，
因为 A （6，0）， B （0，6），
所以 OA ＝ OB .
所以∠ OAC ＝∠ OBC ＝45°.
图4
因为△ ACO ≌△ ACQ ，
所以∠ OAC ＝∠ QAC ＝45°.
所以∠ OAQ ＝90°.
所以点 E 与点 A 重合.
所以 OE ＝ AO ＝6.
所以 m ＝6；
③如图5，当△ ACO ≌△ CAQ ，点 Q 在第一象限时，
图5
∠ ACO ＝∠ CAQ ，∠ CAO ＝∠ ACQ .
所以 CQ ＝ AO ＝6.易得 AE ＝2，
所以 OE ＝8.
图5
所以 m ＝8.
综上所述， m 的值为2或6或8.
类型二 一次函数与三角形的存在性问题
如图，已知四边形 ABCO 是长方形， O 为坐标原点，点 B 的
坐标为（8，6），点 A ， C 都在坐标轴上， P 是线段 BC 上的一
动点， PC ＝ m .直线 y ＝2 x ＋6向右平移6个单位长度后，在该
直线上是否存在点 G ，使△ APG 是等腰直角三角形？若存在，
请求出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由.
解：存在点 G ，使△ APG 是等腰直角三角形.理由如下：
直线 y ＝2 x ＋6向右平移6个单位长度后的函数表达式为 y ＝2（ x
－6）＋6＝2 x －6.
如图1，当∠ AGP （ B ）＝90°， AG ＝ PG 时，易得点 G 的坐标
为（4，2），且在直线 y ＝2 x －6上；
图1
【思路导航】利用平移的规律求出 y ＝2 x ＋6向右平移后的函数
表达式，再分三种情况讨论，求出每种情况下点 G 的坐标即可.
如图2，当∠ APG ＝90°， AP ＝ PG 时，过点 P 作 PE ⊥ y 轴于点
E ， GF ⊥ x 轴与 EP 的延长线交于点 F . 易得△ AEP ≌△ PFG
（AAS）.由点 P 的坐标为（8， m ），可得点 G 的坐标为（14
－ m ， m ＋8），代入直线 y ＝2 x －6中，得 m ＋8＝2×（14－
m ）－6，解得 m ＝ .所以点 G 的坐标为 ；
图2
如图3，当∠ AGP ＝90°， AG ＝ PG 时，过点 G 作 GE ⊥ y 轴于
点 E ， EG 的延长线与 CB 的延长线交于点 F ，易得△ AEG ≌
△ GFP （AAS）.设 AE ＝ n ，可得点 G 的坐标为（8－ n ，6＋ n ）.代入直线 y ＝2 x －6中，得6＋ n ＝2×（8－ n ）－6，解得 n ＝ .所以点 G 的坐标为（ ， ）.综上所述，存在符合条件的点 G ，且其坐标为（4，2）， 或 .
图3
图3
【点拨】等腰直角三角形的存在性问题要抓住腰相等，然后构
造全等三角形解决问题.
如图，在平面直角坐标系中，直线 l1： y ＝－ x ＋3与 x 轴交于
点 A ，与 y 轴交于点 B ，直线 l2： y ＝ kx ＋2 k 与 x 轴交于点 C ，与
直线 l1交于点 P .
解：（1）经过.因为 y ＝ kx ＋2 k ，所以 y ＝ k （ x ＋2）.
所以当 x ＝－2时， y ＝0.
所以直线 l2经过定点（－2，0）.
（1）直线 l2是否经过 x 轴上一定点？若经过，求该定点的坐
标；若不经过，请说明理由.
（2）过点 M （0，6）作平行于 x 轴的直线 l3，点 Q 为直线 l3上的一个动点，当△ QAB 是不以点 A 为顶角顶点的等腰三角形时，求点 Q 的坐标.
（2）将 x ＝0代入 y ＝－ x ＋3，解得 y ＝3.
将 y ＝0代入 y ＝－ x ＋3，解得 x ＝6.
所以点 B 的坐标为（0，3），点 A 的坐标为（6，0）.
如图，设点 Q 的坐标为（ n ，6）.
①当 QB ＝ QA 时，在Rt△ BMQ 中， BQ2＝ BM2＋ MQ2＝（6－
3）2＋ n2.所以 n2＋（6－3）2＝（6－ n ）2＋62，解得 n ＝ .
所以点 Q 的坐标为 ；
②当 BQ ＝ BA 时，同理可得， n2＋（6－3）2＝62＋32，解得 n
＝6或 n ＝－6.
所以点 Q 的坐标为（6，6）或（－6，6）.
将 Q （－6，6）代入 y ＝－ x ＋3中，
得 y ＝－ ×（－6）＋3＝6.
所以点 Q 在直线 AB 上，此时点 A ， B ， Q 不能构成三角形.所以
舍去 Q （－6，6）.
所以点 Q 的坐标为（6，6）.
综上所述，点 Q 的坐标为（6，6）或 .
类型三 相交型图象信息问题
甲、乙两个工程队同时挖掘两段长度相等的隧道，甲、乙
两队挖掘隧道长度 y （m）与挖掘时间 x （天）之间关系的部分
图象如图所示.请解答下列问题：
（1）在前2天的挖掘中，甲队的挖掘速度为 m/天，乙队
的挖掘速度为 m/天.
（2）①当2＜ x ＜6时，求 y乙与 x 之间的函数表达式；
②开挖几天后，两工程队挖掘的隧道长度相差5 m？
【思路导航】（1）利用“速度＝路程÷时间”分别列式计算即
可；（2）①利用待定系数法即可求得；②求出甲队的函数表达
式，再根据 y甲－ y乙＝5或 y乙－ y甲＝5，列出方程求解即可.
10
15
（1）【解析】甲队挖掘速度：60÷6＝10（m/天），乙队前2天
挖掘速度：30÷2＝15（m/天）.故答案为10，15.
（2）解：①当2＜ x ＜6时，设 y乙＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
根据图象，得2 k ＋ b ＝30，6 k ＋ b ＝50，
解得 k ＝5， b ＝20.
所以当2＜ x ＜6时， y乙＝5 x ＋20.
②由题可得，当0≤ x ≤2时， y乙＝15 x ；
当2＜ x ≤6时， y乙＝5 x ＋20.
当0≤ x ≤6时， y甲＝10 x .
由10 x ＝5 x ＋20，解得 x ＝4.
当0≤ x ≤2时，15 x －10 x ＝5，解得 x ＝1；
当2＜ x ≤4时，（5 x ＋20）－10 x ＝5，解得 x ＝3；
当4＜ x ≤6时，10 x －（5 x ＋20）＝5，解得 x ＝5.
故挖掘1天或3天或5天后，两工程队挖掘的隧道长度相差5 m.
【点拨】特别注意分段函数的图象和自变量的取值范围，不同
的取值范围内，对应不同的图象.
1. 如图， l1表示某机床公司一天的销售收入与销售量的关
系， l2表示该公司一天的销售成本与销售量的关系.有以下四
个结论：
① l1对应的函数表达式是 y ＝ x ；② l2对应的函数表达式是 y ＝ x
＋1；
③当销售量为2件时，销售收入等于销售成本；④利润与销售量
之间的函数表达式是 W ＝0.5 x －1.
其中正确的结论是 （填序号）.
①③④
【解析】①观察图象知，直线 l1经过原点，设 l1的函数表达式为
y1＝ kx （ k ≠0）.将点（2，2）代入，得2＝2 k ，解得 k ＝1.所
以直线 l1的函数表达式为 y1＝ x .故①正确；②观察图象可知，
直线 l2不经过原点，设直线 l2的函数表达式为 y2＝ kx ＋ b （ k
≠0）.将点（0，1），（2，2）代入，得 b ＝1，2 k ＋ b ＝2.所
以 k ＝ .
故直线 l2的函数表达式为 y2＝ x ＋1.故②错误；
③观察图象可知，直线 l1与直线 l2交于点（2，2），所以当销售
量为2时，销售收入等于销售成本；故③正确.④利润 W ＝ y1－
y2＝ x － ＝0.5 x －1.故④正确.故答案为①③④.
2. 一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两
车同时出发，设客车离甲地的距离为 y1（km），出租车离甲地
的距离为 y2（km），客车行驶时间为 x （h）， y1， y2与 x 的函
数关系图象如图所示.
解：（1） y1＝60 x （0≤ x ≤10），
y2＝－100 x ＋600（0≤ x ≤6）.
（1）根据图象，直接写出 y1， y2关于 x 的函数关系式；
解得 x ＝ .
∴ S1＝ y2－ y1＝－160 x ＋600（0≤ x ≤ ）.
S2＝ y1－ y2＝160 x －600（ ＜ x ≤6）.
S3＝60 x （6＜ x ≤10）.
（2）令 y1＝ y2，
即60 x ＝－100 x ＋600，
（2）若设两车间的距离为 S （km），请写出 S 关于 x 的函数关
系式；
（3）甲、乙两地间有A，B两个加油站，相距200km，若客车进入A站加油时，出租车恰好进入B站加油，求A加油站到甲地的距离.
①当0≤ x ≤ 时，－160 x ＋600＝200.
解得 x ＝ .所以 y1＝60 x ＝150；
②当 ＜ x ≤6时，160 x －600＝200.
解得 x ＝5.所以 y1＝60 x ＝300；
③当6＜ x ≤10时，60 x ≥360，不合题意.
即A加油站到甲地距离为150km或300km.
（3）由题意，得 S ＝200，
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第二章 实 数
专题1 勾股定理及其逆定理在平面几何中的应用
数学 八年级上册 BS版
专题解读
典例讲练
目录
CONTENTS
◎问题综述
勾股定理及其逆定理是平面几何中十分重要的定理，是数
与形的完美结合.勾股定理作为平面几何有关度量的基本定理，
它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征.学习勾股定理及
其逆定理是进一步认识和理解直角三角形的需要，也是后续有
关几何度量运算和代数学习的基础.因而勾股定理及其逆定理具
有学科的基础性和广泛的应用性.
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0 2
典例讲练
类型一 求线段的长度
如图，在△ ABC 中，已知∠ ACB ＝90°， BC ＝1， AC ＝
2， AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D ，交 AC 于点 E . 延长 DE ，
交 BC 的延长线于点 F ，连接 AF .
（2）求 AF 的长.
【思路导航】（1）根据勾股定理求 AB 的长，即可求 AD 的长；
（2）根据 AF ＝ BF ，在Rt△ ACF 中，由勾股定理列出关于 AF
长的方程，解方程即可.
解：（1）在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， BC ＝1， AC ＝2，
所以 AB ＝ ＝ ＝ .
因为 AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D ，
所以 AD ＝ AB ＝ .
（1）求 AD 的长；
（2）因为 DF 是线段 AB 的垂直平分线，
所以 BF ＝ AF . 所以 CF ＝ BF － BC ＝ AF －1.
因为∠ ACF ＝90°，
所以 CF2＋ AC2＝ AF2，即（ AF －1）2＋22＝ AF2，
解得 AF ＝ .故 AF 的长为 .
【点拨】利用勾股定理表示出直角三角形三边的数量关系求线
段的长度，是一种十分重要的方法.需要注意的是，应用勾股定
理时，必须把要求的线段放到直角三角形中，如果没有直角三
角形，可以通过添加辅助线构造出直角三角形来解决问题，切
忌乱用勾股定理.在求得相应的线段后，可进一步求其他线段的
长度、图形的周长和面积.
如图，在△ ABC 中，已知 AD ， BE 分别为边 BC ， AC 的中线，
分别交 BC ， AC 于点 D ， E .
（1）若 CD ＝4， CE ＝3， AB ＝10，试说明：∠ C ＝90°；
（2）若∠ C ＝90°， AD ＝6， BE ＝8，求 AB 的长.
解：（1）因为 AD ， BE 分别为边 BC ， AC 的中线， CD ＝4，
CE ＝3，所以 BC ＝8， AC ＝6.
因为 AB ＝10，
所以 AB2＝ AC2＋ BC2.
所以△ ABC 是直角三角形，且∠ C ＝90°.
（2）因为∠ C ＝90°， AD ＝6， BE ＝8，
所以 AC2＋ CD2＝ AD2， BC2＋ CE2＝ BE2.
因为 AD ， BE 分别为边 BC ， AC 的中线，
所以 CD ＝ BC ， CE ＝ AC .
所以 AC2＋（ BC ）2＝36， BC2＋（ AC ）2＝64.
所以 AC2＋ BC2＝100.所以 AC2＋ BC2＝80.
所以 AB ＝ ＝4 .
类型二 求角的度数
如图，已知点 E 是正方形 ABCD 内一点，连接 AE ， BE ，
CE ，将△ ABE 绕点 B 按顺时针方向旋转90°到△CBE'的位置，
且 AE ＝1， BE ＝2， CE ＝3，求∠BE'C的度数.
【思路导航】连接EE'，由旋转的性质和勾股定理可得EE'的长
和∠BE'E的度数，再由勾股定理的逆定理证得△EE'C是直角三
角形，便可得到∠BE'C的度数.
解：如图，连接EE'.因为△CBE'是由△ ABE 绕点 B 按顺时针方
向旋转90°得到的， AE ＝1， BE ＝2， CE ＝3，
所以∠EBE'＝90°，BE'＝ BE ＝2，CE'＝ AE ＝1.
所以∠BE'E＝∠BEE'＝45°.
在Rt△EBE'中，由勾股定理，得
EE'＝ ＝ ＝2 .
因为EE'2＋CE'2＝8＋1＝9， CE2＝9，
所以EE'2＋CE'2＝ CE2.
由勾股定理的逆定理，得△EE'C是直角三角形，
且∠EE'C＝90°.
所以∠BE'C＝∠BE'E＋∠EE'C＝45°＋90°＝135°.
【点拨】勾股定理常用来求直角三角形的边长，而勾股定理的
逆定理常用来判定直角三角形，同时说明一个角为90°，所以
常通过勾股定理的逆定理及其他条件（如两边相等）来求角的
度数.
如图，已知点 P 是等边三角形 ABC 内的一点，且 AP ＝3， BP ＝
4， CP ＝5，求∠ APB 的度数.
解：如答图，以 AP 为边作等边三角形 APD ，连接 BD ，则∠ APD ＝60°，∠ DAB ＝∠ DAP －∠ BAP ＝60°－∠ BAP ＝∠ PAC ， AP ＝ AD ＝ PD .
在△ ADB 和△ APC 中，
所以△ ADB ≌△ APC （SAS）.
所以 BD ＝ CP ＝5.
所以 BP2＋ PD2＝42＋32＝52＝ BD2.
所以△ BPD 是直角三角形，且∠ BPD ＝90°.
所以∠ APB ＝∠ APD ＋∠ BPD ＝60°＋90°＝150°.
答图
类型三 证明线段的平方关系
如图，已知∠ BAC ＝∠ DAF ＝90°， AB ＝ AC ， AD ＝
AF ，点 D ， E 为边 BC 上的两点，且∠ DAE ＝45°，连接 EF ，
BF .
试说明： BE2＋ CD2＝ DE2.
【思路导航】先说明△ AED ≌△ AEF ，得到 DE ＝ FE ；再说明
△ ACD ≌△ ABF ，得到 CD ＝ BF ；最后在Rt△ BEF 中，由勾股
定理即可得到结论.
解：因为∠ BAC ＝90°， AB ＝ AC ，
所以∠ ABC ＝∠ C ＝45°.
因为∠ DAF ＝90°，∠ DAE ＝45°，
所以∠ FAE ＝∠ DAF －∠ DAE ＝90°－45°＝45°.
在△ AED 和△ AEF 中，，
所以△ AED ≌△ AEF （SAS）.所以 DE ＝ FE .
因为∠ BAC ＝∠ DAF ＝90°，
所以∠ BAC －∠ BAD ＝∠ DAF －∠ BAD ，
即∠ CAD ＝∠ BAF .
在△ ACD 和△ ABF 中，，
所以△ ACD ≌△ ABF （SAS）.
所以∠ C ＝∠ ABF ＝45°， CD ＝ BF .
所以∠ EBF ＝∠ ABE ＋∠ ABF ＝45°＋45°＝90°.
在Rt△ BEF 中，由勾股定理，得 BE2＋ BF2＝ EF2.
因为 BF ＝ CD ， EF ＝ DE ，
所以 BE2＋ CD2＝ DE2.
【点拨】因为勾股定理是以线段（边）的平方关系式实现的，
所以遇到需要证明线段的平方关系式时，就应自然地联想到利
用勾股定理来证明.一般地，结论中的线段并非同一个直角三角
形的三边时，常需通过全等三角形进行等量代换.
在△ ABC 中，已知 AB ＝ AC ， AD ⊥ BC 于点 D ，在 AD 上取一点
F ，使得 DF ＝ DB ，连接 BF 并延长，交 AC 于点 E .
（1）如图1，若 AB ＝13， BC ＝10，求 AF 的长；
（2）如图2，若 AF ＝ BC ，试说明： BF2＋ EF2＝ AE2.
图1 图2
解：（1）因为 AB ＝ AC ， AD ⊥ BC ，
可证得△ ABD ≌△ ACD ， BD ＝ CD .
因为 BC ＝10，所以 BD ＝5.
在Rt△ ABD 中，由勾股定理，得
AD ＝ ＝ ＝12.
因为 DF ＝ DB ＝5，
所以 AF ＝ AD － DF ＝12－5＝7.
（2）如图，在 BF 上取一点 H ，使 BH ＝ EF ，连接 CF ， CH .
在Rt△ BDF 中，因为 DF ＝ DB ，所以∠ DBF ＝∠ DFB ＝45°.
又因为∠ AFE ＝∠ DFB ，所以∠ DBF ＝∠ AFE .
在△ CHB 和△ AEF 中，
所以△ CHB ≌△ AEF （SAS）.
所以 CH ＝ AE ，∠ CHB ＝∠ AEF .
所以∠ CEF ＝∠ CHE . 所以 CE ＝ CH .
因为 BD ＝ CD ， FD ⊥ BC ，所以 CF ＝ BF .
所以∠ FCD ＝∠ FBD ＝45°.所以∠ CFB ＝90°.
所以 EF ＝ FH ， CF2＋ FH2＝ CH2.
所以 BF2＋ EF2＝ AE2.
类型四 图形折叠问题
如图，四边形 ABCD 是边长为8的正方形纸片，将其沿 MN
折叠，使点 B 落在 CD 边上的点B'处，点 A 的对应点为点A'，且
B'C＝4.求：
（1） CN 的长；
（2） AM 的长；
（3） MN 的长.
【思路导航】（1）根据折叠变换的性质得到B'N＝ BN ，再根据
勾股定理列方程求解即可；（2）连接 MB ，MB'，在Rt△ ABM
和Rt△MDB'中，由 MB ＝MB'及勾股定理列方程求解即可得到
AM 的长；（3）过点 M 作 MG ⊥ BC 于点 G ，在Rt△ MGN 中，
根据勾股定理即可求得 MN 的长.
解：（1）由题意，得 B ' N ＝ BN ， CN ＝8－ BN .
在Rt△B'CN中，由勾股定理，得
B'N2＝B'C2＋ CN2，
即B'N2＝42＋（8－B'N）2.解得B'N＝5.
所以 CN ＝8－ BN ＝8－B'N＝8－5＝3.
（2）如图，连接 MB ，MB'.
由折叠的性质，得 MB ＝MB'.
设 AM ＝ x ，
则有 AB2＋ AM2＝ BM2＝B'M2＝ MD2＋DB'2，
即82＋ x2＝（8－ x ）2＋（8－4）2，
解得 x ＝1.所以 AM ＝1.
（3）如图，过点 M 作 MG ⊥ BC 于点 G ，则 BG ＝ AM ＝1， MG
＝ AB ＝8.
因为 BN ＝B'N＝5，
所以 GN ＝ BN － BG ＝5－1＝4.
在Rt△ MGN 中，由勾股定理，得
MN ＝ ＝ ＝4 .
【点拨】（1）折叠是一种轴对称变换，折叠前后图形的形
状和大小不变，只是位置发生变化，也就是说对应边和对应
角相等；（2）折叠的图形是直角三角形，并且都涉及到求
线段的长度时，利用勾股定理；（3）在解决具体问题时，
首先弄清楚折叠和轴对称能够提供的隐含且可利用的条件，
同时为了方便，常常设要求的线段为 x ，然后根据条件用含 x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列方程求解.
1. 如图，折叠长方形纸片 ABCD ，使顶点 B 和点 D 重合，折痕
为 EF . 若 AB ＝3 cm， BC ＝5 cm，则重叠部分（△ DEF ）的面
积为 cm2.
【解析】设 ED ＝ x cm，则根据折叠和长方形的性质，得A'E＝
AE ＝（5－ x ）cm，A'D＝ AB ＝3 cm.在Rt△A'DE中，根据勾股
定理，得 ED2＝A'E2＋A'D2，即 x2＝（5－ x ）2＋32，解得 x ＝
.所以 S△ DEF ＝ × ×3＝ （cm2）.故答案为 .
2. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC ＝30 cm， BC
＝40 cm.现将直角边 AC 沿 AD 折叠，使点 C 落在斜边 AB 上的点
E 处.求△ DEB 的面积.
解得 AB ＝50 cm（负值舍去）.
由折叠的性质，得∠ AED ＝∠ C ＝90°， AE ＝ AC ＝30 cm，
CD ＝ DE .
所以∠ BED ＝90°， BE ＝ AB － AE ＝20（cm）.
设 CD ＝ DE ＝ x cm，则 BD ＝ BC － CD ＝（40－ x ）cm.
在Rt△ BED 中，根据勾股定理，得
DE2＋ BE2＝ BD2，
即 x2＋202＝（40－ x ）2，解得 x ＝15.
所以 DE ＝15 cm.
所以 S△ DEB ＝ BE · DE ＝ ×20×15＝150（cm2）.
解：在Rt△ ABC 中， AC ＝30 cm， BC ＝40 cm，根据勾股定
理，得 AB2＝ AC2＋ BC2＝302＋402＝2 500＝502，
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第四章 一次函数
专题4 一次函数在图形中的应用
数学 八年级上册 BS版
专题解读
典例讲练
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问题综述
一次函数是初中阶段所接触的第一种初等函数，体现了数
形结合的数学思想，在中考中是重要的考点.在解决问题时，除
了一些基础的问题，例如点的坐标、字母系数的取值及取值范
围，还常常涉及面积问题、最值问题等综合性较强的问题.我们
要掌握常见的解题方法，化繁为简，达到事半功倍的效果.
要点归纳
1. 边在坐标轴上或边与坐标轴平行的三角形，叫做坐标三角
形.
2. 一般三角形的面积问题 坐标三角形的面积问题.
3. 四边形的面积问题 坐标三角形的面积问题.
4. 求坐标系中三角形面积的方法：补、割、移.
数学 八年级上册 BS版
0 2
典例讲练
类型一 一次函数与坐标三角形的面积问题
已知一次函数 y1＝ k1 x －4（ k1≠0）和一次函数 y2＝4 x ＋ b
与坐标轴围成的三角形的面积都是24，求这两个一次函数的表
达式.
【思路导航】先分别求出一次函数的图象与坐标轴的交点坐
标，再根据三角形的面积公式求解即可.
解：令 x ＝0，则 y1＝－4；令 y ＝0，则 x ＝ .
所以一次函数 y1＝ k1 x －4与坐标轴的交点为（0，－4），
.
因为一次函数 y1＝ k1 x －4与坐标轴围成的三角形的面积是24，
所以 ×｜－4｜× ＝24.
所以 k1＝± .
所以 y1＝ x －4或 y1＝－ x －4.
同理可得，一次函数 y2＝4 x ＋ b 与坐标轴的交点为（0， b ），
.
因为一次函数 y2＝4 x ＋ b 与坐标轴围成的三角形的面积是24，
所以 ×｜ b ｜× ＝24，解得 b ＝±8 .
所以 y2＝4 x －8 或 y2＝4 x ＋8 .
【点拨】已知直线与两坐标轴所围成的三角形的面积，求一次
函数的表达式时，先设出一次函数的表达式，再用待定字母表
示出直线与两坐标轴的交点坐标（这一步要考虑直线与 x 抽、 y
轴相交时的位置的不同情况），然后利用已知三角形的面积求
出待定字母的值，最后代回所设的一次函数的表达式即可.
已知四条直线 y ＝ kx －3， y ＝－1， y ＝3， x ＝1所围成的四边
形的面积是12，求 k 的值.
解：在平面直角坐标系中画出四条直线如图所示，根据题意，
得交点 A （1，3）， B （1，－1）， C ， D .
①当 k ＜0时， BC ＋ AD ＝6，即1－ ＋1－ ＝6，所以2－ ＝
6，解得 k ＝－2；
②当 k ＞0时，BC'＋AD'＝6，即 －1＋ －1＝6，
所以 ＝8，解得 k ＝1.
综上所述， k ＝－2或1.
显然四边形 ABCD 是梯形，且梯形的高是4，根据梯形的面积是
12，则梯形的上、下底的和是6.
类型二 由面积关系求点的坐标
如图1，在平面直角坐标系中，已知直线 l1： y ＝ x ＋1与 x 轴
交于点 A ，直线 l2： y ＝3 x －3与 x 轴交于点 B ，与 l1相交于点 C .
（1）写出点 A ， B ， C 的坐标： A ， B ， C .
（－1，0）
（1，
0）
（2，3）
图1
图2
（2）如图2，动直线 x ＝ t 分别与直线 l1， l2交于 P ， Q 两点.
①若 PQ ＝2，求 t 的值.
②是否存在点 Q ，使得 S△ AQC ＝2 S△ ABC ？若存在，请求出此时
点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
【思路导航】（1）根据一次函数与一元一次方程的关系求解；
（2）①先用 t 表示点 P ， Q 的坐标，再列方程求解；②先分类
讨论，再列方程求解.
（1）【解析】对于直线 l2： y ＝3 x －3，令 y ＝3 x －3＝0，解得
x ＝1，故点 B 的坐标为（1，0）.对于 l1： y ＝ x ＋1，同理可
得，点 A 的坐标为（－1，0）.由3 x －3＝ x ＋1，解得 x ＝2.则 y
＝3 x －3＝3.故点 C 的坐标为（2，3）.故答案为（－1，0），
（1，0），（2，3）.
（2）解：①点 P 在直线 l1上，则设点 P （ t ， t ＋1），
同理点 Q （ t ，3 t －3），
则 PQ ＝｜ t ＋1－3 t ＋3｜＝2，解得 t ＝1或 t ＝3.
②存在.理由如下：
当 t ＜2时， BQ ＝ BC ，可得点 Q 的坐标为（0，－3）；
当 t ＝2时，△ AQC 不存在；
当 t ＞2时， CQ ＝2 BC ，所以点 Q 的纵坐标为9.
当 y ＝9时，9＝3 x －3，解得 x ＝4.所以点 Q 的坐标为（4，9）.
综上所述，存在点 Q ，使得 S△ AQC ＝2 S△ ABC ，点 Q 的坐标为
（0，－3）或（4，9）.
【点拨】在涉及面积问题时要结合图形具体分析，这样考虑更
全面，解题更简单.
如图，在平面直角坐标系中，已知点 O 为坐标原点，直线 AB 分
别与 x 轴、 y 轴交于点 A （5，0）， B （0，5），动点 P 的坐标
为（ a ， a －1）.
（1）求直线 AB 的函数表达式；
解：（1）设直线 AB 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
由题意，得 b ＝5，5 k ＋ b ＝0.
所以 k ＝－1.
所以直线 AB 的函数表达式为 y ＝－ x ＋5.
（2）如答图，取 BO 的中点 M ，所以点 M .
因为直线 AP 将△ AOB 的面积分成相等的两部分，
所以直线 AP 必过点 M .
设直线 AP 的函数表达式为 y ＝ mx ＋ n .
由题意，得 n ＝ ，5 m ＋ n ＝0.
所以 m ＝－ .
所以直线 AP 的函数表达式为 y ＝－ x ＋ .
因为点 P 在直线 AP 上，
答图
（2）连接 AP ，若直线 AP 将△ AOB 的面积分成相等的两部分，
求此时点 P 的坐标.
所以 a －1＝－ a ＋ .
所以 a ＝ .所以 a －1＝ .
所以点 P 的坐标为 .
类型三 一次函数图象的平移问题
已知一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ， b 为常数，且 k ≠0）的图象
过点（3，2）和（0，－4），交 x 轴于点 A ，交 y 轴于点 B .
（1）求一次函数的表达式.
（2）规定：横、纵坐标都为整数的点为整点；该一次函数的图
象与 y ＝ x 的图象及 y 轴围成的区域（不含边界）称为区域 W .
①求区域 W 中整点的个数；
②将一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象至少向上平移多少个单位长度，
才能使得区域 W 中整点的个数为0？
【思路导航】（1）根据待定系数法可以求得该函数的表达式；
（2）①求两直线的交点坐标，分析可得整点的个数；②设出平
移后的直线的表达式，把对应点代入后求得平移的距离.
解：（1）根据题意，得 b ＝－4，3 k ＋ b ＝2.所以 k ＝2.
所以一次函数的表达式为 y ＝2 x －4.
（2）①令2 x －4＝ x ，解得 x ＝4.当 x ＝4时， y ＝4.
所以两直线的交点坐标为（4，4）.
画出函数 y ＝ x 和 y ＝2 x －4的图象如图所示.
分析可知区域 W 内的整点有（1，－1），（1，0），（2，1），共3个.故区域 W 内的整点有3个.
②当平移后的直线经过点（1，0）时，区域 W 内有0个整点.
设平移后的直线的函数表达式为 y ＝2 x ＋ n .
把（1，0）代入，得0＝2＋ n ，解得 n ＝－2.
所以－2－（－4）＝2.
所以将一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象至少向上平移2个单位长度，
才能使得区域 W 中整点的个数为0.
【点拨】对于此类题目通常需要结合图象进行解题，所以准确
作出图象是解题的关键.
在平面直角坐标系中，已知一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）的图
象由函数 y ＝ x 的图象向下平移2个单位长度得到.
（1）求这个一次函数的表达式；
解：（1）因为一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）的图象由函数 y ＝
x 的图象向下平移2个单位长度得到，
所以这个一次函数的表达式为 y ＝ x －2.
（2）当 x ≥－4时，对于 x 的每一个值，函数 y ＝ mx （ m ≠0）
的值都大于一次函数 y ＝ kx ＋ b 的值，求 m 的取值范围.
（2）把 x ＝－4代入 y ＝ x －2中，得 y ＝－4.
当函数 y ＝ mx （ m ≠0）的图象与一次函数 y ＝ x －2的图象的
交点为（－4，－4）时，
把点（－4，－4）代入 y ＝ mx 中，得－4＝－4 m ，
解得 m ＝1.
因为当 x ≥－4时，对于 x 的每一个值，函数 y ＝ mx （ m ≠0）的
值都大于一次函数 y ＝ x －2的值，所以 ≤ m ＜1.
类型四 一次函数与图形的综合问题
如图1，已知直线 AB 分别交平面直角坐标系中 x 轴和 y 轴于
A ， B 两点，点 A 的坐标为（－3，0），点 B 的坐标为（0，6），点 C 在直线 AB 上，且点 C 的坐标为（－ a ， a ）.
（1）求直线 AB 的函数表达式和点 C 的坐标；
（2）点 D 是 x 轴上的一动点，当 S△ AOB ＝ S△ ACD 时，求点 D
的坐标；
（3）如图2，点 E 坐标为（0，－1），连接 CE ，点 P 为直线 AB
上一点，且∠ CEP ＝45°，求点 P 的坐标.
图1
图2
备用图
【思路导航】（1）求出直线 AB 的函数表达式，再将点 C （－
a ， a ）代入表达式即可求出点 C 的坐标；（2）求出 AD ，即可
求得点 D 的坐标；（3）分两种情况讨论：①当点 P 在射线 CB
上时，②当点 P 在射线 CA 上时分别求出点 P 的坐标.
解：（1）设直线 AB 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
因为 A （－3，0）， B （0，6），
所以 b ＝6，－3 k ＋ b ＝0.所以 k ＝2.
所以直线 AB 的函数表达式为 y ＝2 x ＋6.
因为点 C （－ a ， a ）在直线 AB 上，
所以 a ＝－2 a ＋6，解得 a ＝2.
所以点 C 的坐标为（－2，2）.
（2）因为 S△ AOB ＝ ×3×6＝9， S△ AOB ＝ SACD ，
所以 S△ ACD ＝ ×2 AD ＝9.所以 AD ＝9.
设 D （ x ，0），则｜ x ＋3｜＝9.
所以 x ＝6或 x ＝－12.
所以点 D 的坐标为（6，0）或（－12，0）.
（3）①如图1，当点 P 在射线 CB 上时，过点 C 作 CF ⊥ CE 交直
线 EP 于点 F .
因为∠ CEF ＝45°，所以 CE ＝ CF .
过点 C 作 x 轴的垂线 l ，分别过点 F ， E 作 FM ⊥ l ， EN ⊥ l ，
所以∠ FMC ＝∠ CNE ＝90°，∠ MCF ＋∠ MFC ＝90°.
因为 CF ⊥ CE ，
因为∠ MCF ＋∠ NCE ＝90°.
所以∠ MFC ＝∠ NCE .
所以△ FMC ≌△ CNE （AAS）.
图1
所以 FM ＝ CN ＝3， CM ＝ EN ＝2，
即点 F 的坐标为（1，4）.
设直线 EF 的函数表达式为 y ＝ mx ＋ n （ m ≠0），
由题意，得 n ＝－1， m ＋ n ＝4.
所以 m ＝5.
所以直线 EF 的函数表达式为 y ＝5 x －1.
令5 x －1＝2 x ＋6，解得 x ＝ .
当 x ＝ 时， y ＝5× －1＝ .
所以点 P 的坐标为 ；
②如图2，当点 P 在射线 CA 上时，过点 C 作 CH ⊥ PE 交直线 PE
于点 H ，过点 H 作 HK ⊥ y 轴于点 K ，过点 H 作 GH ⊥ x 轴，过点
C 作 CG ⊥ GH 于点 G .
因为∠ GHK ＝∠ CHE ＝90°，
所以∠ CHG ＋∠ CHK ＝∠ CHK ＋∠ EHK .
所以∠ CHG ＝∠ EHK .
因为∠ CEP ＝45°，
所以 CH ＝ HE .
所以△ CHG ≌△ EHK （AAS）.
图2
所以 CG ＝ KE ， GH ＝ HK .
因为 E （0，－1）， C （－2，2），
所以 GH ＝3－ CG ＝2＋ OK ＝2＋ CG ，
所以 CG ＝ .
所以点 H 的坐标为 .
设直线 HE 的函数表达式为 y ＝k'x＋b'（k'≠0）.
由题意，得b'＝－1，－ k'＋b'＝－
所以k'＝－ .
所以直线 HE 的函数表达式为 y ＝－ x －1.
令－ x －1＝2 x ＋6，解得 x ＝－ .
当 x ＝－ 时， y ＝－ × －1＝－ .
所以点 P 的坐标为 .
综上所述，点 P 的坐标为 或 .
【点拨】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象
及性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键.
如图，直线 AB ： y ＝ x －2与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，点
C 是线段 AB 上一点（不与点 A ， B 重合）.以 OC 为一边作
△ OCD ，其中∠ COD ＝90°， OC ＝ OD ，连接 AD .
（1）求点 A ， B 的坐标和线段 AB 的长；
（2）试猜想线段 AD 和 BC 之间的数量与位置关系，并说明
理由；
（3）当 BC ＝ OB 时，求点 D 的坐标.
解：（1）因为直线 AB ： y ＝ x －2与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于
点 B ，所以令 x ＝0，则 y ＝－2.
所以点 B 的坐标为（0，－2）.
所以 OB ＝2.
令 y ＝0，则 x －2＝0，解得 x ＝2.
所以点 A 的坐标为（2，0）.所以 OA ＝2.
所以 AB ＝ ＝2 .
（2）猜想： AD ＝ BC ， AD ⊥ BC . 理由如下：
因为∠ COD ＝90°， OA ⊥ OB ，
所以∠ COD ＝∠ AOB ＝90°.
所以∠ DOA ＝∠ COB .
因为点 A （2，0），点 B （0，－2），
所以 OA ＝ OB .
在△ DOA 和△ COB 中，
所以△ DOA ≌△ COB （SAS）.
所以 AD ＝ BC ，∠ DAO ＝∠ CBO .
因为∠ CBO ＋∠ OAB ＝90°，
所以∠ DAO ＋∠ OAB ＝90°，即∠ DAB ＝90°.
所以 AD ⊥ BC .
所以 AD ＝ BC ， AD ⊥ BC .
（3）如图，过点 C 作 CE ⊥ OB 于点 E ，过点 D 作 DF ⊥ OA 于点 F .
设点 C 的坐标为（ a ， a －2），
所以 CE ＝ a ， OE ＝2－ a .
所以 BE ＝2－（2－ a ）＝ a .
因为 BC ＝ OB ， OB ＝2，所以 BC ＝2.
在Rt△ EBC 中， BE2＋ CE2＝ BC2，
所以 a2＋ a2＝22，解得 a ＝ （负值舍去）.
所以 CE ＝ ， OE ＝2－ .
因为∠ COD ＝90°， OA ⊥ OB ，
所以∠ DOF ＝∠ COE .
因为 CE ⊥ OB ， DF ⊥ OA ，
所以∠ DFO ＝∠ CEO ＝90°.
在△ DFO 和△ CEO 中，
所以△ DFO ≌△ CEO （AAS）.
所以 DF ＝ CE ＝ ， OF ＝ OE ＝2－ .
所以点 D 的坐标为（2－ ， ）.
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第三章 位置与坐标
专题3 平面直角坐标系中点的坐标问题
数学 八年级上册 BS版
专题解读
典例讲练
目录
CONTENTS
◎问题综述
平面直角坐标系是一种重要的数学工具，是数与形之间的
桥梁.通过平面直角坐标系的建立，平面上的点和有序实数对建
立了一一对应关系，为后续学习、研究函数的性质、函数与方
程和不等式的关系打下基础，这就使得用代数方法研究几何问
题，用几何方法研究代数问题成为可能.
数学 八年级上册 BS版
0 2
典例讲练
类型一 与面积有关的坐标问题
（1）如图，已知△ ABC 的三个顶点恰好在正方形网格的格
点上.
①写出△ ABC 各顶点的坐标；
②求△ ABC 的面积.
【思路导航】①由图即可得到各个顶点的坐标；②将△ ABC 放
到一个正方形中，利用割补法即可解答.
解：①由图可得， A （3，3）， B （－2，－2）， C （4，－
3）.
② S△ ABC ＝6×6－ ×6×1－ ×5×5－ ×6×1＝36－3－12.5
－3＝17.5.
【点拨】在平面直角坐标系中，利用点的坐标求面积问题或利
用面积求点的坐标问题是常见的题型.一般情况下，对于一些不
规则图形的面积，可以对图形进行割补，将图形转化为规则的
图形，再进行计算.
（2）在平面直角坐标系中，已知△ ABC 的边 AB 在 x 轴上，点 A
的坐标为（－2，0），点 C 的坐标为（2，4）， S△ ABC ＝6.请在
图中画出符合条件的△ ABC ，并写出点 B 的坐标.
【思路导航】根据题意，先求 AB 的长度，分点 B 在点 A 的左边
和右边两种情况，在平面直角坐标系中画出△ ABC ，再写出点
B 的坐标即可.
解：因为 AB 在 x 轴上，点 A 的坐标为（－2，0），点 C 的坐标
为（2，4）， S△ ABC ＝6，
所以△ ABC 的边 AB 上的高为4.
所以 ×4 AB ＝6.所以 AB ＝3.
画出符合条件的△ ABC 如图所示.
①当点 B 在点 A 的左边时，－2－3＝－5，
所以点 B1的坐标为（－5，0）；
②当点 B 在点 A 的右边时，－2＋3＝1，
所以点 B2的坐标为（1，0）.
综上所述，点 B 的坐标为（－5，0）或（1，0）.
【点拨】已知面积求点的坐标时，常常先利用面积求得线段
长，再转化为点的坐标.注意：由线段长到点的坐标，有可能需
要分类讨论.
如图，已知点 A （－1，0）， C （1，4），点 B 在 x 轴上，且 AB
＝3.
（1）求△ ABC 的面积.
（2）求点 B 的坐标.
（3）在 y 轴上是否存在点 P ，使以点 A ， B ， P 为顶点的三角形
的面积为10？若存在，请写出点 P 的坐标；若不存在，请说明
理由.
解：（1） S△ ABC ＝ ×3×4＝6.
（2）如图，当点 B 在点 A 的左边时，－1－3＝－4，
所以点 B1的坐标为（－4，0）；
当点 B 在点 A 的右边时，－1＋3＝2，
所以点 B2的坐标为（2，0）.
综上所述，点 B 的坐标为（－4，0）或（2，0）.
（3）存在.理由如下：
设点 P 到 x 轴的距离为 h ，
则 ×3 h ＝10，解得 h ＝ .
当点 P 在 y 轴的正半轴上时， P ；
当点 P 在 y 轴的负半轴上时， P .
综上所述，存在符合条件的点 P ，点 P 的坐标为 或
.
类型二 与轴对称有关的坐标问题
（1）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A （－1，3），
B （2，0）， C （－3，－1）.
①在图中作出△ ABC 关于 y 轴对称的图形△ A1 B1 C1，并写出点
A1， B1， C1的坐标；
②在 y 轴上找一点 P ，使 PA ＋ PC 的值最小，并求出点 P 的
坐标.
【思路导航】①先找出点 A ， B ， C 关于 y 轴对称的点，再依次
连接各对称点即可得到△ A1 B1 C1；②连接 A1 C ，交 y 轴于点
P ，这时 PA ＋ PC 的值最小，利用△ A1 OC 的面积的两种求法，
列方程求出 OP 的长即可.
解：①如图，△ A1 B1 C1即为所求作图形.
由图可得， A1（1，3）， B1（－2，0）， C1（3，－1）.
②连接 A1 C ，交 y 轴点于点 P .
因为△ ABC 和△ A1 B1 C1关于 y 轴对称，
所以 PA ＝ PA1.所以 PA ＋ PC ＝ PA1＋ PC ＝ A1 C .
此时 PA ＋ PC 的值最小.
如图，过点 A1作 A1 D ⊥ x 轴，过点 C 作 CD ⊥ y 轴交 A1 D 于点
D ，连接 OA1， OC ， OD .
因为 ＝ － － S△ DOC ＝ ×4×4－
×4×1－ ×4×1＝8－2－2＝4.
＝ ＋ S△ OPC ＝ OP ·（1＋3）＝2 OP .
所以2 OP ＝4.所以 OP ＝2.
所以点 P 的坐标为（0，2）.
【点拨】在平面直角坐标系中，常考查最短路径问题.解决此类
问题常通过作点的对称点，使路径的点在一条直线上，再结合
面积相等即可求出点的坐标.
（2）在直角坐标平面中有一个轴对称图形， A ， B
两点在该图形上且为对称点.若该图形上有一点 C （－
2，－9），则点 C 的对称点的坐标为 .
【思路导航】根据 A ， B 两点的坐标，找出对称轴，即可据此求
出点 C 的对称点的坐标.
（－2，1）
【解析】因为点 A ， B 关于某条直线对称，且点 A ， B 的横坐标
相同，所以对称轴平行于 x 轴.又因为点 A 的纵坐标为－ ，点 B
的纵坐标为－ ，所以对称轴为直线 y ＝ ＝－4.设点 C
（－2，－9）关于 y ＝－4的对称点为（－2， m ），则 ＝
－4.解得 m ＝1.故点 C 的对称点的坐标为（－2，1）.故答案为
（－2，1）.
【点拨】（1）解决此类关于某条特殊的直线对称的坐标问题
时，可以画图形，根据轴对称求出对应线段的长度，再解决相
关的坐标问题.（2）中点坐标公式：在平面直角坐标系中， A
（ x1， y1）， B （ x2， y2）两点的中点坐标为
.
1. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ ABC 各顶点的坐标为 A
（－2，3）， B （2，1）， C （－3，－2）.若点 P 是 y 轴上的
一动点，则 PA ＋ PC 的最小值为 .
5
2. 在平面直角坐标系中，已知直线 l 经过点（1，0）且平行于 y
轴，点 A （ m －1，3）与点 B （2， n －1）关于直线 l 对称，则
（ m ＋ n ）2 024的值为 .
52 024
类型三 特殊三角形中的点的坐标问题
在平面直角坐标系中，已知点 A （2，3），在坐标轴上找
一点 P ，使得△ AOP 是等腰三角形，则这样的点 P 共有
个.
【思路导航】求出 OA 的长，然后画出平面直角坐标系，分
类讨论两条相等的腰，作出符合等腰三角形的点 P 的位置，
即可得解.
【解析】依题意，得 OA ＝ ＝ .
8
（1）如图，当 OA 为腰时，①以点 O 为圆心， OA 的长为半径画
圆，与坐标轴交于四点： P1， P2， P3， P4；
②以点 A 为圆心， OA 的长为半径画圆，与坐标轴交于两点（原
点舍去）： P5， P6；
（2）当 OA 为底时，作 OA 的垂直平分线，与坐标轴有两个交
点： P7， P8.
综上所述，符合题意的点有8个.故答案为8.
【点拨】（1）因为等腰三角形 AOP 没有指明哪条边为底边，也
就需要分类讨论.（2）解决等腰三角形存在性问题有两种方法.
方法1（两圆一线）：①以已知线段为腰，用线段的两个端点为
圆心，线段长为半径，分别作圆；②以已知线段为底，作它的
垂直平分线.方法2：用两点之间的距离公式表示三条线段，由
两两相等进行计算.
如图，点 A ， B 的坐标分别为（0，2），（8，8），点 C （ m ，
0）为 x 轴正半轴上一个动点.是否存在点 C ，使△ ABC 为直角
三角形？若存在，请求出这个三角形的面积；若不存在，请说
明理由.
解：存在点，使△ ABC 为直角三角形.理由如下：
由题意，得
AB ＝ ＝10，
AC2＝ m2＋4， BC2＝（ m －8）2＋64.
①当∠ ACB ＝90°时，有 AB2＝ AC2＋ BC2，
所以102＝ m2＋4＋（ m －8）2＋64.
整理，得2（ m －4）2＝0，解得 m ＝4.
此时 AC ＝2 ， BC ＝4 .
所以 S△ ABC ＝ AC · BC ＝ ×2 ×4 ＝20；
②当∠ ABC ＝90°时，有 BC2＋ AB2＝ AC2，
所以（ m －8）2＋64＋102＝ m2＋4，解得 m ＝14.
此时 BC ＝10.
所以 S△ ABC ＝ AB · BC ＝ ×10×10＝50；
③当∠ BAC ＝90°时，有 AC2＋ AB2＝ BC2，
所以 m2＋4＋102＝（ m －8）2＋64，解得 m ＝1.5.
此时 AC ＝2.5.
所以 S△ ABC ＝ AB · AC ＝ ×10×2.5＝12.5.
综上所述，存在符合条件的点，使△ ABC 为直角三角形，△
ABC 的面积为12.5，20或50.
类型四 点的坐标规律问题
如图，在平面直角坐标系中，对△ ABC 进行循环往复的轴
对称变换.若原来点 A 的坐标是（ a ， b ），则经过第2023次变
换后所得的点 A 的坐标是 .
（－ a ， b ）
【思路导航】观察图形可知，每4次变换为一个循环组，用2
023除以4，根据余数的情况确定图形所在的位置，得出规律即
可解答.
【解析】由图可知，4次变换为一个循环组.因为2023÷4＝
505……3，所以第2023次变换后为第506个循环组的第3次变
换，相当于直接作关于 y 轴对称的变换.因为原来点 A 的坐标是
（ a ， b ），所以经过第2023次变换后所得的点 A 坐标是（－
a ， b ）.故答案为（－ a ， b ）.
【点拨】本题考查了坐标与图形变化——对称，准确识图，观
察出4次变换为一个循环组是解题的关键.
如图，在平面直角坐标系中，△ ABO 的顶点 A ， B ， O 的坐标
分别为（1，0），（0，1），（0，0），点列 P1， P2， P3，…
中的相邻两点都关于△ ABO 的一个顶点对称，点 P1与点 P2关于
点 A 对称，点 P2与点 P3关于点 B 对称，点 P3与点 P4关于点 O 对
称，点 P4与点 P5关于点 A 对称，点 P5与点 P6关于点 B 对称，点
P6与点 P7关于点 O 对称……且这些对称中心依次循环.已知点 P1
的坐标是（1，1），则点 P2023的坐标为 .
（1，1）
答图
答图
【解析】如答图，作点 P1关于点 A 的对称点，即可得到 P2（1，
－1），同理可得 P3（－1，3）， P4（1，－3）， P5（1，3），
P6（－1，－1）， P7（1，1）， P8（1，－1）……所以这些点
的坐标每6个一循环.因为2 023÷6＝337……1，所以点 P2 023的
坐标与点 P1的坐标相同.所以点 P2023的坐标为（1，1）.故答案
为（1，1）.
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第五章 二元一次方程组
专题7 二元一次方程组中的参数问题
数学 八年级上册 BS版
专题解读
典例讲练
目录
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◎问题综述
二元一次方程是初中数学中的重要内容，常与函数等知
识综合来考查参数求值的问题.二元一次方程组中的参数问
题分为解的讨论和求值问题.方程（组）中参数的问题，一
般将方程（组）的解代入方程（组）中，得到以参数为未知
数的方程（组），通过问题的解再进行讨论或者解方程从而
得到参数的值.
数学 八年级上册 BS版
0 2
典例讲练
类型一 解的个数问题
当 k ， b 为何值时，方程组
满足下列条件？
（1）有唯一一组解；
（2）无解；
（3）有无数组解.
【思路导航】通过消元，将方程组解的情况的讨论转化为一元
一次方程解的情况讨论.
解：
由②－①，得（2 k －1） x ＝ b －2.③
（1）当2 k －1≠0，即 k ≠ 时，方程③有唯一解，从而原方程
组有唯一一组解.
（2）当2 k －1＝0且 b ≠2时，即 k ＝ 且 b ≠2时，方程③无解，
从而原方程组也无解.
（3）当2 k －1＝0且 b －2＝0时，即 k ＝ 且 b ＝2时，方程③有
无数个解，从而原方程组也有无数组解.
【点拨】在解一些复杂的方程组时，若方程组未知数系数有规
律可循，可直接把方程相加或相减，达到消元的目的.
1. 当 a 为何值时，方程组有唯一解？
解：
由②×2，得6 x ＋2 y ＝6. ③
由③－①，得（6－ a ） x ＝5.
所以当 a ≠6时，原方程组有唯一解.
2. 当 m 为何值时，方程组有无数组解？
解：
由①×2，得2 x ＋4 y ＝2. ③
由③－②，得（4－ m ） y ＝0.
所以当4－ m ＝0，即 m ＝4时，原方程组有无数组解.
类型二 整数解问题
已知关于 x ， y 的方程组
（1）请写出方程 x ＋2 y ＝5的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足 x ＋ y ＝0，求 m 的值；
（3）已知方程组有整数解，求整数 m 的值.
【思路导航】（1）先把 y 看作已知数并表示出 x ，再确定方程
的正整数解；（2）先联立不含参数的方程并求解，再求 m 的
值；（3）先用 m 表示 x ， y ，再确定整数 m 的值.
解：（1）由方程 x ＋2 y ＝5，得 x ＝－2 y ＋5.
当 y ＝1时， x ＝3；当 y ＝2时， x ＝1.
所以方程 x ＋2 y ＝5的所有正整数解为或
（2）联立解得
代入含 m 的方程，得－5－10－5 m ＋9＝0，
解得 m ＝－ .
（3）令
由①＋②，得（ m ＋2） x ＝－4.
由题意，知 m ＋2≠0.
所以 x ＝－ .
把 x ＝－ 代入①，解得 y ＝ .
当 m ＋2＝－4，－2，－1，1，2，4时， x 为整数，
此时 m ＝－6，－4，－3，－1，0，2.
当 m ＝－6时， y ＝2，符合题意；
当 m ＝－4时， y ＝ ，不符合题意；
当 m ＝－3时， y ＝ ，不符合题意；
当 m ＝－1时， y ＝ ，不符合题意；
当 m ＝0时， y ＝ ，不符合题意；
当 m ＝2时， y ＝3，符合题意.
综上所述，整数 m 的值为－6或2.
【点拨】（1）方程组整数解问题一般有多种结果，需注意按顺
序罗列，做到不重不漏.（2）方程组整数解问题常用到2，3，5
的倍数的特征，如第（3）问，由 x ＝－ ，得 m ＋2＝±1，
±2，±4；由 x ＋2 y ＝5，得 x 为奇数，则 m ＋2＝±4.由此简化
分类的情形.
1. 已知 m 是整数，方程组有整数解，求 m 的值.
解：由②×2－①×3，得（2 m ＋9） y ＝34.
由题意知，2 m ＋9≠0，所以 y ＝ .因为 m ， y 为整数，
所以2 m ＋9＝±1，±2，±17或±34.
经检验，当2 m ＋9＝±1或±17，
即 m ＝4，－4，－5，－13时， x 也为整数.
所以 m ＝4，－4，－5或－13.
2. 某市某小区购买了若干瓶消毒剂和若干支红外线测温枪.其
中，每瓶消毒剂5元，每支红外线测温枪560元，总共消费金额
为 3000 元.求此小区购买消毒剂和测温枪的数量.
解：设此小区购买消毒剂和测温枪的数量分别为 x 瓶和 y 支.
根据题意，得5 x ＋560 y ＝3 000.
化简，得 x ＋112 y ＝600，即 x ＝600－112 y .
当 y ＝1时， x ＝488；当 y ＝2时， x ＝376；
当 y ＝3时， x ＝264；当 y ＝4时， x ＝152；
当 y ＝5时， x ＝40.
故此小区购买消毒剂和测温枪的数量分别为488，1，或376，
2，或264，3，或152，4，或40，5.
类型三 根据已知解求参数的值
已知关于 x ， y 的二元一次方程组的解也
满足方程4 x －3 y ＝21，求 k 的值.
【思路导航】先用 k 表示 x ， y ，再代入4 x －3 y ＝21，即可求出
k 的值.
解：
由①×2＋②，得11 x ＝22 k ，解得 x ＝2 k .
把 x ＝2 k 代入①，得6 k ＋2 y ＝16 k ，解得 y ＝5 k .
所以原方程组的解是
因为方程组的解也满足4 x －3 y ＝21，
所以8 k －15 k ＝21，解得 k ＝－3.
【点拨】求解二元一次方程组中的参数问题时，可把参数看作
已知数并解方程组，根据方程组的解的特点得到关于参数的方
程（组），解方程（组）即可求得参数的值.
1. 已知关于 x ， y 的二元一次方程组的解互
为相反数，求 x ， y ， a 的值.
解：由题意，得
由①＋②，得5 x ＋3 y ＝4.④
由④－③×3，得2 x ＝4，解得 x ＝2.
把 x ＝2代入③，得2＋ y ＝0，则 y ＝－2.
把 x ＝2， y ＝－2代入①，得2×2－2＝2 a ，则 a ＝1.
所以 x ＝2， y ＝－2， a ＝1.
2. 已知关于 x ， y 的二元一次方程组和
的解相同，求（ m ＋2 n ）2024的值.
解：因为方程组和方程组的
解相同，所以联立解得
把 x ＝2， y ＝－6分别代入 mx － ny ＝－4和 nx ＋ my ＝－8，得
解得
所以原式＝[1＋2×（－1）]2024＝（－1）2024＝1.
类型四 根据错解求参数的值
甲、乙两人同时解关于 x ， y 的二元一次方程组
甲解对了，得乙写错了 m ，得
试求方程组中 a ， b ， m 的值.
【思路导航】把甲与乙的结果代入方程组第一个方程求出 a ， b
的值；将甲的结果代入第二个方程即可求出 m 的值.
解：由甲的运算结果，得3 a ＋2 b ＝2，3 m －7×2＝10，
解得 m ＝8.
由乙的运算结果，得－2 a －2 b ＝2.
联立
由①＋②，得 a ＝4.
把 a ＝4代入①，得12＋2 b ＝2，解得 b ＝－5.
所以方程组中 a ， b ， m 的值分别是4，－5，8.
【点拨】当看错了方程组中的某个方程时，得到的解应满足另
一个方程，这是解答此类问题的关键.
甲、乙两位同学同时解二元一次方程组甲
看错了方程①中的 m ，得到的解为乙看错了方程②
中的－5，得到的解为求原方程组的正确解.
解：将代入方程②，代入方程①，得
解得
所以原方程组为解得
所以原方程组的正确解是
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