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第四章 一次函数
回顾与思考
数学 八年级上册 BS版
要点回顾
典例讲练
目录
CONTENTS
1. 函数的定义.
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y ，并且对于变
量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，那么我们称 y
是 x 的 ，其中 x 是自变量.
2. 函数的三种表示方式.
、 、 .
函数
列表法
图象法
关系式法
3. 一次函数的表达式为
.当 b ＝0时，该一次函数的表达式为
，它是正比例函数.
4. 正比例函数 y ＝ kx （ k ≠0）的性质.
y ＝ kx ＋ b （ k ， b 为常数， k
≠0）
y ＝ kx （ k
≠0）
当 k ＞0时，图象过第 象限；当 k ＜0时，图象过
第 象限.
注：当 k ＝1时，该函数图象平分第一、三象限，这条直线上的
任何一点的横坐标都等于它的纵坐标；当 k ＝－1时，该函数图
象平分第二、四象限，这条直线上的任何一点的横坐标都等于
它的纵坐标的相反数.
一、三
二、四
5. 一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）的图象.
当 x ＝0时，图象与 y 轴的交点坐标为 ；当 y ＝0
时，图象与 x 轴的交点坐标为 .
（0， b ）
6. 一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）的性质.
（1）当 k ＞0时， y 的值随着 x 值的 而 ；当 k
＜0时， y 的值随着 x 值的 而 ；
（2）当 k ＞0且 b ＞0时，函数的图象过第 象
限；当 k ＞0且 b ＜0时，函数的图象过第 象限；
当 k ＜0且 b ＞0时，函数的图象过第 象限；当 k
＜0且 b ＜0时，函数的图象过第 象限.
增大
增大
增大
减小
一、二、三
一、三、四
一、二、四
二、三、四
7. 确定函数的表达式.
（1）一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）中有两个未知系数，所以需
要两个点，通过将两个点的坐标的代入，就可以求出一次函数
的表达式；
（2）正比例函数 y ＝ kx 只有一个未知系数，所以只要知道
就可以求出它的表达式.
一
个点的坐标
8. 一次函数图象的位置关系.
因为一次函数的图象是一条直线，所以两个一次函数的图象的
位置关系有两种：平行和相交.
设两条直线分别为 y ＝ k1 x ＋ b1， y ＝ k2 x ＋ b2.当 k1＝ k2， b1≠ b2
时，两条直线平行；当 k1≠ k2时，两条直线相交.
9. 一元一次方程与一次函数的联系.
一般地，当一次函数 y ＝ kx ＋ b 的函数值为0时，相应的自变量
的值就是方程 kx ＋ b ＝0的解.从图象上看，一次函数 y ＝ kx ＋ b
的图象与 x 轴交点的横坐标就是方程 kx ＋ b ＝0的解.
数学 八年级上册 BS版
0 2
典例讲练
要点一 函数的定义
（1）下列表示两个变量间的关系的图象中， y 不是 x 的函
数的是（ D ）
A
B
C
D
D
【思路导航】由函数的定义判断即可.
【解析】A，B，C三个选项中，对于 x 的每一个值， y 都有唯一
的值与它对应，不符合题意；选项D中， y 轴右侧一个 x 值对应
两个 y 值，所以 y 不是 x 的函数，符合题意.故选D.
【点拨】判断一个关系是函数关系的方法：（1）存在一个变化
过程；（2）变化过程中有两个变量；（3）对于自变量每取一
个确定的值，因变量都有唯一确定的值与之对应.三者必须同时
满足.
（2）函数 y ＝ 中自变量 x 的取值范围是 .
【思路导航】根据二次根式、分式有意义的条件列出不等式，
解不等式即可得到答案.
【解析】由题意，得 x －2≥0且 x －5≠0.解得 x ≥2且 x ≠5.故
答案为 x ≥2且 x ≠5.
【点拨】解答这类题目时要注意二次根式 中， a ≥0，分式
中分母不能为0.
x ≥2且 x ≠5
1. 下列函数中，自变量 x 的取值范围为 x ≥3的是（ B ）
A. y ＝ B. y ＝
C. y ＝ D. y ＝
2. 下列式子：① y ＝3 x －5；② y ＝ ；③ y ＝ ；④ y2＝
x ；⑤ y ＝｜ x ｜.其中 y 是 x 的函数的有 （填序
号）.
B
①②③⑤
要点二 一次函数的图象和性质
已知一次函数 y ＝（4＋2 m ） x ＋ m －4.
（1）当 m 为何值时， y 的值随着 x 值的增大而减小？
（2）当 m 为何值时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴下方？
（3）若 m ＝－1，求该函数的图象与两坐标轴的交点坐标.
【思路导航】（1）根据 y 的值随着 x 值的增大而减小，列出不
等式，解答即可；（2）根据函数图象与 y 轴的交点在 x 轴下方
时，列出两个不等式，解答即可；（3）根据函数图象与两坐标
轴的交点坐标特征列方程，解答即可.
解：（1）因为 y 的值随着 x 值的增大而减小，
所以4＋2 m ＜0，解得 m ＜－2.
所以当 m ＜－2时， y 的值随着 x 值的增大而减小.
（2）因为该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴下方，
所以 m －4＜0且4＋2 m ≠0，
解得 m ＜4且 m ≠－2.
所以当 m ＜4且 m ≠－2时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x
轴下方.
（3）若 m ＝－1，则一次函数的表达式为 y ＝2 x －5.
当该函数的图象与 x 轴相交时，交点的纵坐标为0，
所以0＝2 x －5，解得 x ＝ .
当该函数的图象与 y 轴相交时，交点的横坐标为0，
所以 y ＝2×0－5，即 y ＝－5.
所以此函数图象与 x 轴的交点坐标为 ，
与 y 轴的交点坐标为（0，－5）.
【点拨】解答这类题目时，一定要注意隐含条件 k ≠0.
已知关于 x 的一次函数 y ＝ mx ＋4 m －2.
（1）若这个函数的图象经过原点，求 m 的值；
（2）若这个函数的图象不过第四象限，求 m 的取值范围；
（3）不论 m 取何实数，这个函数的图象都过一个定点，试求这
个定点的坐标.
解：（1）因为这个函数的图象经过原点，
所以当 x ＝0时， y ＝0，即4 m －2＝0，
解得 m ＝ .
（2）因为这个函数的图象不经过第四象限，
所以 m ＞0且4 m －2≥0，
解得 m ≥ .
（3）将一次函数 y ＝ mx ＋4 m －2变形为
m （ x ＋4）＝ y ＋2.
因为不论 m 取何实数这个函数的图象都过定点，
所以 x ＋4＝0， y ＋2＝0，
解得 x ＝－4， y ＝－2.
则不论 m 取何实数，这个函数的图象都过定点（－4，－2）.
要点三 一次函数在实际问题中的应用
小玲和小东姐弟俩分别从家和图书馆同时出发，沿同一条
路相向而行.小玲开始跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用
30 min.小东骑自行车以300 m/min的速度直接回家，两人离家的
路程 y （m）与各自离开出发地的时间 x （min）之间的函数图象
如图所示.
请解答下列问题：
（1）家与图书馆之间的路程为 m，小玲步行的速度
为 m/min；
（2）求小东离家的路程 y 与时间 x 之间的函数关系式，并写出
自变量的取值范围；
4 000
100
（3）当两人相遇时，他们离图书馆多远？
【思路导航】（1）根据图中的数据，可以得到家与图书馆
之间的路程，再根据小玲步行的时间和路程，可以计算出小
玲步行的速度；（2）先求点 D 的坐标，再由待定系数法求
解即可；（3）先根据两人的速度求出相遇时间，再求到图
书馆的路程即可.
（1）【解析】由图象，得家与图书馆之间的路程为4 000 m，
小玲步行的速度为（4 000－2 000）÷（30－10）＝100
（m/min）.故答案为4 000，100.
（2）解：因为4 000÷300＝ （min），
所以点 D 的横坐标为 .
所以点 D 的坐标为 .
设小东离家的路程 y 与时间 x 之间的函数关系式为 y ＝ kx ＋ b （ k
≠0）.
因为点 C （0，4 000）， D 在该函数图象上，
所以 b ＝4 000， k ＋ b ＝0.所以 k ＝－300.
故小东离家的路程 y 与时间 x 之间的函数关系式为 y ＝－300 x ＋
4 000 .
（3）解：当两人相遇时，设他们走的时间为 m min.
由点 A （10，2 000），易得
OA 的函数表达式为 y ＝200 x （0≤ x ≤10）.
由图象，得300 m ＋200 m ＝4 000，解得 m ＝8.
所以当两人相遇时，他们离图书馆路程为300×8＝2 400（m）.
故当两人相遇时，他们离图书馆2 400 m.
【点拨】此类问题一般先观察图象特征，根据变量之间的关
系，判断函数的类型，当确定是一次函数关系时，用待定系数
法确定函数表达式，最后运用一次函数的图象和性质进一步求
得所需结果.
甲、乙两个圆柱形水槽的横截面示意图如图1所示，乙槽中有一
圆柱形实心铁块（圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面
上）.现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深
度 y （cm）与注水时间 x （min）之间的关系如图2所示.根据图
象解答下列问题：
图1
图2
（1）图2中折线 EDC 表示 槽中水的深度 y 与注水时间 x 之
间的关系，铁块的高度为 cm；
（2）求 AB 的函数表达式；
（3）求当甲、乙两个水槽中水的深度相同时的注水时间.
乙
16
（2）解：设 AB 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
将点（0，14），（7，0）代入，得 b ＝14，7 k ＋ b ＝0.
所以 k ＝－2.
所以 AB 的函数表达式为 y ＝－2 x ＋14（0≤ x ≤7）.
（1）【解析】由题意，知乙槽在注水的过程中，水的高度不断
增加，当水位达到铁块顶端时，高度变化情况又同前面不同，
所以折线 EDC 表示的是乙槽的水深 y 与注水时间 x 的关系.折线
EDC 中，点 D 表示乙槽水深16 cm，也就是铁块的高度为16 cm.
故答案为乙，16.
（3）解：设 ED 的函数表达式为 y ＝ mx ＋ n （ m ≠0）.
将点（0，4），（4，16）代入，得 n ＝4，4 m ＋ n ＝16.
所以 m ＝3.
所以 ED 的函数表达式为 y ＝3 x ＋4（0≤ x ≤4）.
根据题意，得－2 x ＋14＝3 x ＋4，解得 x ＝2.
故注水2 min，甲、乙两个水槽中水的深度相同.
要点四 一次函数在几何图形中的应用
如图，在平面直角坐标系中，已知直线 m 经过点（－1，
2），交 x 轴于点 A （－2，0），交 y 轴于点 B ，直线 n 与直线 m
交于点 P ，分别与 x 轴、 y 轴交于点 C ， D （0，－2）.连接
BC ，点 P 的横坐标为－4.
（1）求直线 m 的函数表达式和点 P 的坐标.
（2）试说明：△ BOC 是等腰直角三角形.
（3）直线 m 上是否存在点 E ，使得 S△ ACE ＝ S△ BOC ？若存在，
求出所有符合条件的点 E 的坐标；若不存在，请说明理由.
【思路导航】（1）由待定系数法可求直线 m 的函数表达式，解
方程即可解答；（2）求得点 B ， C 的坐标即可解答；（3）根
据三角形的面积公式得到 S△ BOC ，再根据题意列方程即可解答.
解：（1）设直线 m 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
因为直线 m 经过点（－1，2）， A （－2，0），
所以－ k ＋ b ＝2，－2 k ＋ b ＝0.所以 k ＝2， b ＝4.
所以直线 m 的函数表达式为 y ＝2 x ＋4.
将 x ＝－4代入 y ＝2 x ＋4，得 y ＝2×（－4）＋4＝－4.
所以点 P 的坐标为（－4，－4）.
（2）设直线 n 的函数表达式为 y ＝ sx ＋ t （ s ≠0）.
因为直线 n 经过点 D （0，－2）， P （－4，－4），
所以－4 s ＋ t ＝－4， t ＝－2.所以 s ＝ .
所以直线 n 的函数表达式为 y ＝ x －2.
在 y ＝2 x ＋4中，令 x ＝0，得 y ＝4.
所以点 B 的坐标为（0，4）.所以 OB ＝4.
在 y ＝ x －2中，令 y ＝0，得 x －2＝0，解得 x ＝4.
所以点 C 的坐标为（4，0）.所以 OC ＝ OB ＝4.
又因为∠ BOC ＝90°，
所以△ BOC 是等腰直角三角形.
（3）因为 OB ＝ OC ＝4，∠ BOC ＝90°，
所以 S△ BOC ＝ · OB · OC ＝ ×4×4＝8.
要使 S△ ACE ＝ S△ BOC ＝8，
则有 · AC ·｜ yE ｜＝8.
因为 AC ＝2＋4＝6，所以｜ yE ｜＝ .
所以 yE ＝ 或 yE ＝－ .
①当 yE ＝ 时，得2 x ＋4＝ ，解得 x ＝－ .
此时点 E 的坐标为 ；
②当 yE ＝－ 时，得2 x ＋4＝－ ，
解得 x ＝－ .
此时点 E 的坐标为 .
综上所述，直线 m 上存在点 E ，使得 S△ ACE ＝ S△ BOC ，点 E 的坐
标为 或 .
【点拨】解答这类动点问题时，要注意动点所在位置，可以在
图上画出使面积相等的点的大概位置，这样有助于分析题目，
在分类讨论时不会遗漏和重复.
如图，已知一次函数 y ＝ x －2的图象交 y 轴于点 A ，一次函数 y
＝4 x ＋ b 的图象交 y 轴于点 B ，且分别与 x 轴，一次函数 y ＝ x －
2的图象交于点 C ， D ，点 D 的坐标为（－2，－4）.
（1）求△ ABD 的面积.
（2）在 x 轴上是否存在点 E ，使得以点 C ， D ， E 为顶点的三
角形是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 E 的坐
标；若不存在，请说明理由.
解：（1）把点 D 的坐标代入一次函数 y ＝4 x ＋ b ，得
4×（－2）＋ b ＝－4，
解得 b ＝4.
所以一次函数 y ＝4 x ＋ b ＝4 x ＋4.
在 y ＝4 x ＋4中，令 x ＝0，得 y ＝4.
所以 B （0，4）.
在 y ＝ x －2中，含 x ＝0，得 y ＝－2，
所以 A （0，－2）.
所以 AB ＝4－（－2）＝6.
所以 S△ ABD ＝ · AB ·｜ xD ｜＝ ×6×2＝6.
（2）存在符合条件的点 E .
①如图1，当点 E 为直角顶点时，过点 D 作 DE ⊥ x 轴于点 E .
图1
因为 D （－2，－4），
图1
所以点 E 的坐标为（－2，0）；
②当点 C 为直角顶点时， x 轴上不存在符合条件的点 E ；
③如图2，当点 D 为直角顶点时，过点 D 作 DE ⊥ CD 交 x 轴于点
E ，作 DF ⊥ x 轴于点 F .
图2
设 E （ t ，0）.当 y ＝0时，得4 x ＋4＝0.
所以 x ＝－1.
图2
所以 C （－1，0）.
因为 F （－2，0），
所以 CF ＝1， CE ＝－1－ t ， EF ＝－2－ t .
因为 D （－2，－4），
所以 DF ＝4.
在Rt△ DEF 中，根据勾股定理，得
DE2＝ EF2＋ DF2＝（－2－ t ）2＋42＝ t2＋4 t ＋20.
在Rt△ CDF 中，根据勾股定理，得
CD2＝ CF2＋ DF2＝12＋42＝17.
在Rt△ CDE 中，根据勾股定理，得
CE2＝ DE2＋ CD2.
所以（－1－ t ）2＝ t2＋4 t ＋20＋17；
解得 t ＝－18.
所以 E （－18，0）.
综上所述，点 E 的坐标为（－2，0）或（－18，0）.
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第四章 一次函数
2 一次函数与正比例函数
数学 八年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
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CONTENTS
数学 八年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 一次函数.
若两个变量 x ， y 之间的关系式可以表示成 y ＝ kx ＋ b （ k ， b 为
常数， k ≠0）的形式，则称 y 是 x 的 函数（其中 x 为自
变量， y 是因变量）.
2. 正比例函数.
特别地，当 b ＝0时，称 y 是 x 的 .
一次
正比例函数
数学 八年级上册 BS版
0 2
典例讲练
（1）下列函数：① y ＝5－2 x ；② y ＝3 x ；③ y ＝2 x －1；④ y
＝ ；⑤ y ＝ x2－ x （ x －1）；⑥ y ＝ kx ＋ b .其中
是一次函数， 是正比例函数.（填序号）
【思路导航】函数通过恒等变形，若能转化为 y ＝ kx ＋ b （ k ，
b 为常数， k ≠0）的形式，则它是一次函数；若能转化为 y ＝ kx
（ k 为常数， k ≠0）的形式，则它是正比例函数.
①②③⑤
②⑤
【解析】 y ＝5－2 x ， y ＝3 x ， y ＝2 x －1都符合一次函数的定
义，属于一次函数. y ＝ x2－ x （ x －1）经过变形之后得到 y ＝
x ，符合一次函数的定义，属于一次函数. y ＝3 x ， y ＝ x2－ x
（ x －1）符合正比例函数的定义，属于正比例函数. y ＝ 既不
是一次函数，也不是正比例函数. y ＝ kx ＋ b 需满足 k ≠0的条
件，才是一次函数.故答案为①②③⑤，②⑤.
【点拨】判断一个函数是一次函数的方法：（1）等号两边是整
式；（2）将整式恒等变形，能表示成 y ＝ kx ＋ b （ k ， b 为常
数， k ≠0）的形式.判断一个函数是正比例函数的方法：（1）
等号两边是整式；（2）将整式恒等变形，能表示成 y ＝ kx （ k
为常数， k ≠0）的形式.正比例函数是特殊的一次函数.
（2）已知函数 y ＝（ m －1） ＋ m 是关于 x 的一次函数，则
m ＝ .当 x ＝2时， y ＝ .
【思路导航】根据一次函数的定义：① x 的次数为1；② x 的系
数不等于0求解即可.
－1
－5
【解析】因为函数 y ＝（ m －1） ＋ m 是关于 x 的一次函
数，所以 m2＝1且 m －1≠0，即 m ＝±1且 m ≠1.所以 m ＝－1.
把 x ＝2， m ＝－1代入函数式，得 y ＝（－1－1）×2＋（－1）
＝－4－1＝－5.故答案为－1，－5.
【点拨】根据一次函数求待定字母的值时，要注意：（1）函数
关系式是自变量的一次式，若含有一次以上的项，此项的系数
必为0；（2）一次项的系数不为0.
1. 下列说法错误的是（ D ）
A. 正比例函数也是一次函数
B. 一次函数不一定是正比例函数
C. 不是一次函数就一定不是正比例函数
D. 不是正比例函数就一定是一次函数
D
2. 已知函数 y ＝（ k ＋1） x ＋ k2－1.
（1）当 k 时，它是一次函数；
（2）当 k 时，它是正比例函数.
≠－1
＝1
某通信公司的手机收费标准有两类.A类：月租费12元，通话费
0.2元/min；B类：没有月租费，通话费0.25元/min.
（1）分别写出A类、B类每月应缴费用 y （元）与通话时间 x
（min）之间的关系式；
（2）若每月平均通话时间为200 min，则选择哪类收费方式更
划算？
（3）每月通话多长时间，按A，B两类收费标准缴费所缴话费
相等？
【思路导航】（1）根据题意列出A类、B类每月应缴费用 y
（元）与通话时间 x （min）之间的关系式即可；（2）结合
（1）的答案，分别求出按A类和按B类收费方式所缴的话费，
即可得到答案；（3）根据“按A，B两类收费标准所缴话费相
等”，列出关于 x 的一元一次方程解答即可.
解：（1）A类每月应缴费用 y （元）与通话时间 x （min）之间
的关系式为 y ＝0.2 x ＋12.
B类每月应缴费用 y （元）与通话时间 x （min）之间的关系式为 y ＝0.25 x .
（2）若选择A类收费方式，则
y ＝0.2×200＋12＝52.
若选择B类收费方式，则 y ＝0.25×200＝50.
因为52＞50，所以选择B类收费方式更划算.
（3）由题意，得12＋0.2 x ＝0.25 x ，解得 x ＝240.
故每月通话240 min，按A，B两类收费标准缴费所缴话费相等.
【点拨】求解一次函数实际问题时，需要读懂题意，分析清楚
各变量之间的关系，找到与之对应的等量关系，列出函数表达
式.注意自变量的取值范围.
某批发商家批发苹果采取分段计价的方式，其价格如下表：
购买苹果 的质量x/kg 不超过50 kg 的部分 超过50 kg
的部分
价格/（元/kg） 10 8
（1）若小刚购买苹果40 kg，应付多少元？
（2）若小刚购买苹果 x kg，用去了 y 元.分别写出当0≤ x ≤50和
x ＞50时， y 与 x 之间的关系式；
（3）求小刚一次性购买80 kg所付的费用比分两次共购买80 kg
（每次都购买40 kg）所付的费用少多少元.
解：（1）由表格，得40×10＝400（元）.
故小刚购买苹果40 kg，应付400元.
（2）由题意，得当0≤ x ≤50时，
则 y 与 x 之间的关系式为 y ＝10 x ；
当 x ＞50时， y 与 x 之间的关系式为 y ＝10×50＋8（ x －50）＝8
x ＋100，即当 x ＞50时，则 y 与 x 的关系式为 y ＝8 x ＋100.
（3）若一次性购买80 kg，
所付的费用为8×80＋100＝740（元），
若分两次共购买80 kg（每次都购买40 kg），所付的费用为
40×10×2＝800（元），
800－740＝60（元）.
故小刚一次性购买80 kg所付的费用比分两次共购买80 kg（每次
都购买40 kg）所付的费用少60元.
已知 y1与 x ＋1成正比例， y2与 x －1成正比例， y ＝ y1＋ y2.当 x
＝1时， y ＝4；当 x ＝3时， y ＝14.求 y 与 x 之间的关系式.
【思路导航】根据题意，设出 y1和 y2的函数关系式.将已知的 x
和 y 的值分别代入 y1和 y2，列出方程，求出参数的值即可得到所
求的函数关系式.
解：因为 y1与 x ＋1成正比例，所以设 y1＝ k1（ x ＋1）
（ k1≠0）.
因为 y2与 x －1成正比例，所以设 y2＝ k2（ x －1）（ k2≠0）.
因为 y ＝ y1＋ y2，所以 y ＝ k1（ x ＋1）＋ k2（ x －1）.
因为当 x ＝1时， y ＝4，所以2 k1＝4. ①
因为当 x ＝3时， y ＝14，所以4 k1＋2 k2＝14. ②
由①，得 k1＝2.把 k1＝2代入②中，得8＋2 k2＝14.
解得 k2＝3.所以 y ＝2（ x ＋1）＋3（ x －1）＝5 x －1.
【点拨】本例有两个不同的一次（正比例）函数 y1和 y2，要特
别注意不能用同一个 k 设出它们的函数关系式，而要用 k1和 k2进
行区分，也可以用 m 和 n 等表示它们的一次项系数.
1. 已知 y ＝ y1＋ y2， y1与 x 成正比例， y2与 x －2成正比例.当 x ＝
1时， y ＝0；当 x ＝－3时， y ＝4.
（1）求 y 与 x 之间的关系式，并指出 y 是 x 的什么函数；
（2）当 x ＝－2时，求 y 的值；
（3）当 y ＝－3时，求 x 的值.
解：（1）设 y ＝ k1 x ＋ k2（ x －2）.
由题意，得 k1＋ k2（1－2）＝0 ①，－3 k1－5 k2＝4 ②.
由①，得 k1＝ k2.所以－3 k1－5 k2＝－8 k1＝4.
所以 k1＝ k2＝－ .
所以 y ＝－ x － （ x －2）＝－ x ＋1， y 是 x 的一次函数.
（2）当 x ＝－2时， y ＝－（－2）＋1＝3.
（3）当 y ＝－3时，－ x ＋1＝－3.解得 x ＝4.
2. 生态公园计划在园内的坡地上造一片有A，B两种树的混合
林，需要购买这两种树苗2 000棵.种植A，B两种树苗的相关信
息如下表：
品种 价格/（元/棵） 成活率 劳务费/
（元/棵）
A 15 95％ 3
B 20 99％ 4
设购买A种树苗 x 棵，造这片混合林的总费用为 y 元.根据相关信息解答下列问题：
（1）写出 y （元）与 x （棵）之间的函数关系式. y 是 x 的正比
例函数吗？
解：（1）由题意，得 y ＝（15＋3） x ＋（20＋4）·（2 000－
x ）＝－6 x ＋48 000（0＜ x ＜2 000）.
所以 y 不是 x 的正比例函数.
（2）假设这批树苗种植后成活1 960棵，则造这片混合林的总
费用为多少元？
（2）由题意，得95％ x ＋99％（2 000－ x ）＝1 960，
解得 x ＝500.
当 x ＝500时， y ＝－6×500＋48 000＝45 000.
故造这片混合林的总费用为45 000元.
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第四章 一次函数
4 一次函数的应用（第三课时）
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典例讲练
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数学 八年级上册 BS版
0 1
课前预习
两个一次函数图象的应用.
从图中我们可以得出以下信息：
（1）两直线的交点坐标为（ x0， y0）；
（2）两个一次函数，当 x ＝ x0时，函数值为 y1＝ y2＝ y0；当函
数值为 y0时，自变量的值为 x1＝ x2＝ x0.
（3）当自变量的值 x ＞ x0时，函数值 y1＞ y2，即对同一自变量 x
的值，图象在上面的函数值大；当自变量的值 x ＜ x0时，函数值
y1＜ y2，即对同一自变量 x 的值，图象在下面的函数值小.
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0 2
典例讲练
某工厂生产小型装载机，由于质量好，受到客户的好评，产品
一直畅销.如图， l1表示该工厂一周的装载机销售金额与销售数
量的关系， l2表示该工厂一周的装载机生产成本（含装载机生
产成本、维持工厂运行及销售的所有费用）与装载机销售数量
的关系.观察图象，解决以下问题：
（1）当一周销售 台时，销售金额等于生产成本；当一周
销售数量大于 台时，该工厂实现盈利.
4
4
（2）若设利润为 W （万元），请写出利润 W 与销售数量 x 之间
的函数关系式，并求出一周内的销售数量 x 为多少台时，利润达
到5万元.
【思路导航】（1）根据题意，观察分析图象中交点的含义可得
出答案；（2）根据图象中的坐标，求出直线 l1和 l2的函数表达
式，再根据利润＝销售金额－生产成本即可得到利润 W 与销售
数量 x 之间的函数关系式.令 W ＝5，求出 x 的值即可.
（2）解：设直线 l1的函数表达式为 y ＝ k1 x （ k ≠0）.
根据题意，得4 k1＝4，解得 k1＝1.
所以直线 l1的函数表达式为 y ＝ x .
设直线 l2的函数表达式为 y ＝ k2 x ＋ b （ k ≠0）.
将（0，2），（4，4）代入，得 b ＝2，4 k2＋ b ＝4.
所以 k2＝ .
（1）【解析】根据图象，知当销售数量为4台时，销售金额等
于生产成本.当销售数量超过4台时，工厂才能获利.故答案为
4，4.
所以直线 l2的函数表达式为 y ＝ x ＋2.
所以 W ＝ x － ＝ x －2.
当 W ＝5时，5＝ x －2，解得 x ＝14.
所以当一周内的销售数量 x 为14台时，利润达到5万元.
【点拨】理解交点的几何意义：两函数图象的交点表示两条直
线的公共点，即点同时在两条直线上.
某通讯公司就手机流量套餐推出A，B，C三种方案（如表），
三种方案每月所需的费用 y （元）与每月使用的流量 x （兆）之
间的函数图象如图.
方案 A 方案 B 方案 C 方案
每月基本费用/元 20 56 266
每月免费使用流量/
兆 1024 m 无限
超出后每兆收费/元 n n —
（1）结合图表解答下列问题：表中 m ＝ ， n ＝ ；
3072
0.3
（1）【解析】根据图象，得 m ＝3072， n ＝（56－20）÷
（1144－1024）＝0.3.故答案为3072，0.3.
（2）在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每
月所需的费用 y （元）与每月使用的流量 x （兆）之间的函
数关系式；
（2）解：在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，根
据题意，得 y ＝20＋0.3（ x －1024）＝0.3 x －287.2.
所以 y 与 x 之间的函数关系式为 y ＝0.3 x －287.2（ x ≥1024）.
（3）解：在B方案中，当每月使用的流量不少于3072兆时，
根据题意，得 y ＝56＋0.3（ x －3072）.
令56＋0.3（ x －3072）＝266，解得 x ＝3772.
由图象，得当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最
划算.
（3）在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择
C方案最划算？
某快递公司每天9：00～10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库
用来揽收快递，乙仓库用来派发快递，快递数量 y （件）与时间
x （min）之间的函数图象如图所示.
（1）求甲仓库快递数量 y （件）与时间 x （min）之间的关
系式.
（2）若乙仓库快递数量 y （件）与时间 x （min）之间的函数关
系式是 y ＝－4 x ＋240（0＜ x ＜60）.问：经过多少min，两仓库的快递数量相同？都是多少件？
【思路导航】（1）设甲仓库快递数量 y （件）与时间 x （min）
之间的函数关系式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0），把点（0，40），
（60，400）代入，求出 k ， b 的值即可；（2）根据“经过多少
min，两仓库快递件数相同”，可知此时两函数 x ， y 的值相
同，列出方程求出 x 的值即可.
解：（1）设甲仓库快递数量 y （件）与时间 x （min）之间的函
数关系式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
因为 y ＝ kx ＋ b 过点（0，40），（60，400），
所以 b ＝40，60 k ＋ b ＝400.所以 k ＝6.
所以甲仓库快递数量 y （件）与时间 x （min）之间的函数关系
式为 y ＝6 x ＋40（0≤ x ≤60）.
（2）根据题意，得6 x ＋40＝－4 x ＋240，解得 x ＝20.
则 y ＝6 x ＋40＝6×20＋40＝160.
故经过20 min时，两仓库的快递数量相同，都是160件.
【点拨】在求直线 y1＝ k1 x ＋ b1与 y2＝ k2 x ＋ b2交点坐标时，可
以根据图象中交点的性质得到 k1 x ＋ b1＝ k2 x ＋ b2，解一元一次
方程得到结果.
某企业有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水以一定的速
度注入乙池中，甲、乙两个蓄水池中水的深度 y （m）与注水时
间 x （h）之间的函数图象如图所示.结合图象回答下列问题：
（1）求甲蓄水池中水的深度 y 与注水时间 x 之间的关系式；
解：（1）设甲蓄水池中水的深度 y 与注水时间 x 的关系式为 y甲
＝ kx ＋ b .
因为函数图象经过点（0，2）和（3，0），
所以 b ＝2，3 k ＋ b ＝0.
所以 k ＝－ .
所以甲蓄水池中水的深度 y （m）与注水时间 x （h）之间的关系式为 y甲＝－ x ＋2（0≤ x ≤3）.
（2）由题意，知深度相同时即为函数值相同.
根据题意，得－ x ＋2＝ x ＋1，解得 x ＝0.6.
故注水0.6 h，甲、乙两个蓄水池中水的深度相同.
（2）乙蓄水池中水的深度 y 与注水时间 x 之间的函数表达式
为 y乙＝ x ＋1，求注水多长时间，甲、乙两个蓄水池中水的
深度相同；
（3）设甲、乙两个水池底面积之比为3∶2，求注水多长时间，
甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同.
（3）根据题意，得3 y甲＝2 y乙.
即3× ＝2×（ x ＋1），解得 x ＝1.
故注水1 h，甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同.
小刚与小慧两人相约登山，两人距地面的高度 y （m）与登
山时间 x （min）之间的函数图象如图所示.根据信息解答下
列问题：
（1）小刚登山上升的速度是 m/min，小慧在A地距地面
的高度为 m；
（2）若小慧提速后，登山上升速度是小刚登山上升速度的3
倍，求小慧登山全程中，距地面的高度 y （m）与登山时间 x
（min）之间的函数关系式；
10
30
（3）登山多长时间后，两人距地面的高度差为70 m？
【思路导航】（1）根据高度、时间、速度的关系分别求解；
（2）分0≤ x ＜2和 x ≥2两种情况得出 y 关于 x 的函数关系式；
（3）分三种情况讨论：相遇前，相遇后且小慧登顶前，小慧登
顶后且小刚登顶前.
（2）解：当0≤ x ＜2时，可得 y ＝15 x ；
当 x ≥2时， y ＝30＋10×3（ x －2）＝30 x －30.
令30 x －30＝300，解得 x ＝11.
所以小慧登山全程中，距地面的高度 y 与登山时间 x 之间的函数
关系式为 y ＝
（1）【解析】小刚登山上升的速度为（300－100）÷20＝10
（m/min），A地距地面的高度为15÷1×2＝30（m）.故答案为
10，30.
（3）解：设小刚登山全程中，距地面的高度 y 与登山时间 x 之
间的函数关系式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
把（0，100）和（20，300）代入，
得 b ＝100，20 k ＋ b ＝300.所以 k ＝10.
所以小刚登山全程中，距地面的高度 y 与登山时间 x 之间的函数
关系式为 y ＝10 x ＋100（0≤ x ≤20）.
当10 x ＋100－（30 x －30）＝70时，解得 x ＝3；
当30 x －30－（10 x ＋100）＝70时，解得 x ＝10；
当300－（10 x ＋100）＝70时，解得 x ＝13.
综上所述，登山3 min，10 min或13 min时，小刚、小慧两人距
地面的高度差为70 m.
【点拨】当题目中涉及到高度差、距离差、路程差时，常常要
考虑是否要分类讨论.
小聪和小丽去某风景区游览，约好在观景点见面.小聪步行先从
景区入口处出发，中途休息片刻后继续以原速度前行，此时小
丽乘观光车从景区入口处出发，他们沿相同路线先后到达观景
点.如图， l1， l2分别表示小聪与小丽离景区入口的路程 y
（km）与时间 x （min）之间的关系.根据图象解决下列问题：
（1）小聪步行的速度是 km/min，中途休息 min.
0.1
3
（1）【解析】由图象，得小聪步行的速度为1÷10＝0.1
（km/min），中途休息13－10＝3（min）.故答案为0.1，3.
（2）解：小聪到第18 min步行的路程为1＋（18－13）×0.1＝
1.5（km），则第18 min时，小聪和小丽相遇，此时他们行的路程为1.5 km.
设小丽离景区入口的路程 y （km）关于时间 x （min）的函数表
达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
因为点（13，0），（18，1.5）在该函数图象上，
所以13 k ＋ b ＝0，18 k ＋ b ＝1.5.
所以 k ＝0.3， b ＝－3.9.
即小丽离景区入口的路程 y （km）与时间 x （min）的函数表达
式为 y ＝0.3 x －3.9.
（2）求小丽离景区入口的路程 y （km）与时间 x （min）的函数表达式.
（3）解：小丽比小聪早10 min到达观景点.理由如下：
当 y ＝3时，3＝0.3 x －3.9，解得 x ＝23.
小聪到达景点用的总的时间为13＋（3－1）÷0.1＝33（min）.
因为33－23＝10（min），
所以小丽比小聪早10 min到达观景点.
（3）小丽比小聪早几分钟到达观景点？请说明理由.
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第四章 一次函数
1 函 数
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0 1
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1. 一般地，如果在一个变化过程中有两个 x 和 y ，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有 的值与它对应，那么我们称 是 x 的函数.其中 x 是 .
2. 表示函数的一般方法.
、 和 .
变量
唯一
y
自变量
列表法
关系式法
图象法
3. 函数值.
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a ，函数有唯一确
定的对应值，这个对应值称为当自变量等于 时的
.
a
函数
值
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0 2
典例讲练
（1）下列图象中，不能表示 y 是 x 的函数的是（ C ）
A
B
C
D
【思路导航】要判断 y 是不是 x 的函数，只需给定一个 x 的值，
看是否有唯一的 y 值与之对应即可.
C
【解析】C. 在图象的原点右侧任取一个 x 值，都有两个 y 值与
之对应，故该图象不能表示 y 是 x 的函数.故选C.
【点拨】判断一个关系是函数关系的方法：自变量每取一个确
定的值，因变量都有唯一的值与它对应.
（2）小明在银行存入本金1 000元，若银行的月利率是
0.36％，则本息和 y （元）与所存时间 x （月）之间的关系式为
，化简得 .
【思路导航】根据“本息和＝本金×（1＋利率×存期）”，代
入字母、数值即可解答.
y
＝1 000（1＋0.36％ x ）
y ＝3.6 x ＋1 000
【解析】根据本息和公式，得 y ＝1 000（1＋0.36％ x ）.化简，
得 y ＝3.6 x ＋1 000.故答案为 y ＝1 000（1＋0.36％ x ）， y ＝
3.6 x ＋1 000.
【点拨】（1）先写出公式，再代入字母、数值即可.列关系式
常用到的公式：利息＝本金×利率×存期，路程＝速度×时
间，利润＝成本×利润率等.（2）函数的常用表示方法有三
种：列表法、关系式法、图象法.
1. 下列各图中，是函数图象的是（ B ）
A
B
C
D
B
2. 下列关于变量 x ， y 的关系式中， y 不是 x 的函数的是
（ B ）
A. y ＝ x2－1 B. ｜ y ｜＝ x
C. y ＝｜ x ｜ D. 3 x － y ＝5
B
3. 现有一棵小树苗高100 cm，以后平均每年长高50 cm，则树苗的总高度 y （cm）与年份 x （年）之间的关系式是 .
y ＝50 x ＋
100
求下列函数中自变量的取值范围：
（1） y ＝2 x －1； （2） y ＝ ；
（3） y ＝ ； （4） y ＝ .
【思路导航】自变量的取值必须使函数关系式有意义.
解：（1）因为 x 取任意实数时，函数 y ＝2 x －1都有意义，所以
函数 y ＝2 x －1的自变量 x 的取值范围是一切实数.
（2）要使 y ＝ 有意义，必有 x ＋1≠0，即 x ≠－1.
所以函数 y ＝ 的自变量 x 的取值范围是 x ≠－1.
（3）要使 y ＝ 有意义，必有 x －3≥0，即 x ≥3.
所以函数 y ＝ 的自变量 x 的取值范围是 x ≥3.
（4）要使 y ＝ 有意义，必有 x ＋1≥0，且 x －2≠0.所以 x
≥－1，且 x ≠2.
所以函数 y ＝ 的自变量 x 的取值范围是 x ≥－1且 x ≠2.
【点拨】函数自变量的取值范围问题已接触到的有四种形式：
（1）整式型；（2）分式型；（3）二次根式型；（4）分式与
二次根式的综合型.其中（1）型自变量的取值为一切实数；
（2）型满足分母不等于0；（3）型满足被开方数大于或等于
0；（4）型既要满足分母不为0，又要满足被开方数为非负数.
在实际问题中，还要考虑取值是否符合实际意义.
1. 函数 y ＝ 的自变量 x 的取值范围是（ A ）
A. x ≥2 B. x ≠0
C. x ≤2且 x ≠0 D. x ≤2
A
2. 函数 y ＝ ＋ 的自变量 x 的取值范围是 .
x ＞
10
已知某品牌玉米种子的价格为5元/kg.如果一次购买2 kg以上的
玉米种子，超过2 kg的部分的种子的价格打八折.
（1）根据题意，填写下表：
购买种子的质量/kg 1.5 2 3.5 4 …
付款金额/元 7.5 16 …
（2）设购买种子的质量为 x （kg），付款金额为 y （元），求 y
与 x 之间的关系式；
10
18
（3）若小周一次购买该种子花费了34元，求他购买种子的
质量.
【思路导航】（1）根据购买量及价格，分别计算；（2）分两
种情况求 y 与 x 之间的关系式：0≤ x ≤2， x ＞2；（3）选择合
适的关系式，代入解方程即可.
（1）【解析】由题意，得当购买种子2 kg时，需要付款2×5＝
10（元）；当购买种子4 kg时，需要付款2×5＋（4－2）
×5×0.8＝18（元）.故从左到右的答案为10，18.
（2）解：当0≤ x ≤2时， y ＝5 x ；
当 x ＞2时， y ＝5×2＋（ x －2）×5×0.8＝4 x ＋2.
即 y ＝
（3）解：因为34＞10，所以他购买种子的质量超过了2 kg.所
以4 x ＋2＝34.解得 x ＝8.
所以他购买种子的质量为8 kg.
【点拨】解答此题的关键在于明确在 x 不同的取值范围内， y 与
x 有不同的关系式.根据题意，选择合适的函数关系式进行解答.
需要注意的是 x 的取值范围要使实际问题有意义.
为鼓励居民节约用水，某市决定对居民用水实行“阶梯性”收
费，即当每月用水量不超过15 t时，采用基本价收费；当每月用
水量超过15 t时，超过部分每吨采用市场价收费.小兰家4，5月
份的用水量及收费情况如下表：
月份 用水量/t 水费/元
4 22 51
5 20 45
（1）求该市每吨水的基本价和市场价；
解：（1）由题意，得该市每吨水的市场价为（51－45）÷（22
－20）＝3（元/t）.
设该市每吨水的基本价为为 x 元/t.
根据题意，得15 x ＋（22－15）×3＝51，解得 x ＝2.
故该市每吨水的基本价和市场价分别为2元/t，3元/t.
（2）当 n ≤15时， m ＝2 n ；
当 n ＞15时， m ＝15×2＋（ n －15）×3＝3 n －15.
所以 m ＝
（2）设每月用水量为 n （t），应缴水费为 m （元），请写出 m
与 n 之间的关系式；
（3）若小兰家6月份的水费为165元，则她家6月份用水多少
吨？
（3）因为165＞15×2＝30，
所以6月份用水量超过了15 t.
所以3 n －15＝165，解得 n ＝60.
故她家6月份用水60 t.
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第四章 一次函数
4 一次函数的应用（第一课时）
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课前预习
1. 确定正比例函数的表达式.
确定正比例函数 y ＝ kx （ k ≠0）的表达式只需要一个条件，这
个条件通常是一对对应的 x ， y 的值或一个点的坐标（除原点
外）.
2. 确定一次函数的表达式.
（1）确定一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）的表达式需要两个
独立的条件，这两个条件通常是两对对应的 x ， y 的值或两
个点的坐标；
（2）利用待定系数法确定一次函数的表达式.
待定系数法：先设出式子中的未知系数，再根据条件求出未知
系数，从而求出这个式子的方法称为待定系数法，其中的未知
系数称为待定系数.
3. 用待定系数法确定一次函数的表达式的一般步骤.
（1）若题目中没有一次函数的表达式，则需设一次函数的表达
式为 y ＝ kx ＋ b （正比例函数为 y ＝ kx ）（ k ≠0）；
（2）将已知点的坐标（或对应的 x ， y 的值）代入所设的表达
式中，得到关于待定系数 k 和 b 的方程；
（3）解方程，求出 k ， b 的值，从而写出函数的表达式.
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典例讲练
已知一条直线经过 M （0，2）， N （1，3）两点.
（1）求该直线的函数表达式；
（2）请判断点 P （2，4）是否在该直线上.
【思路导航】（1）设出一次函数的表达式，将点的坐标代入求
出待定系数的值，即可得出直线的函数表达式；（2）把 x ＝2代入直线的函数表达式进行判断即可.
解：（1）设该直线的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
因为直线经过点 M （0，2）和点 N （1，3），
所以 b ＝2， k ＋ b ＝3.
所以 k ＝1.
则该直线的函数表达式为 y ＝ x ＋2.
（2）把 x ＝2代入 y ＝ x ＋2中，
得 y ＝2＋2＝4.
所以点 P （2，4）在该直线上.
【点拨】求一次函数的表达式都要经过“设、列、解、代”四
步，“设”就是设出一次函数的表达式；“列”就是把已知两
点的坐标代入所设表达式，列出两个一次方程；“解”就是解
这两个方程；“代”就是将解得的值代回所设表达式.
已知 y 是关于 x 的一次函数，且当 x ＝0时， y ＝3；当 x ＝1时， y
＝－1.
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当 x ＞－2时，求函数值 y 的取值范围.
解：（1）设这个一次函数的表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
根据题意，得 b ＝3， k ＋ b ＝－1.
所以 k ＝－4.
所以这个一次函数的表达式为 y ＝－4 x ＋3.
（2）当 x ＝－2时， y ＝－4 x ＋3＝－4×（－2）＋3＝11.
因为 k ＝－4＜0，
所以 y 的值随着 x 值的增大而减小.
所以当 x ＞－2时， y ＜11.
如图，已知一次函数 y ＝ x ＋ m 的图象与 x 轴交于点 A （－6，
0），与 y 轴交于点 B .
（1）求一次函数的表达式；
（2）若点 C 在 y 轴上，且△ ABC 的面积为15，求点 C 的坐标.
【思路导航】（1）把点 A （－6，0）代入 y ＝ x ＋ m ，求出 m
即可；（2）设点 C 的坐标为（0， b ），根据三角形的面积公式列方程，解方程即可.
解：（1）把点 A （－6，0）代入 y ＝ x ＋ m ，得
×（－6）＋ m ＝0，解得 m ＝8.
所以一次函数的表达式为 y ＝ x ＋8.
（2）当 x ＝0时， y ＝8，则 OB ＝8.
设点 C 的坐标为（0， b ），
所以 BC ＝｜8－ b ｜.
由三角形的面积公式，得 ×6×｜8－ b ｜＝15，
解得 b ＝3或 b ＝13.
所以点 C 的坐标为（0，13）或（0，3）.
【点拨】设点的坐标表示坐标轴上的两点之间的距离时，一般
采用绝对值的方法进行表示，如 d ＝｜ x1－ x2｜.
如图，在平面直角坐标系中，直线 l 经过原点 O 和点 A （6，4），经过点 A 的另一条直线交 x 轴于点 B （12，0）.
（1）求直线 l 的函数表达式.
（2）求△ AOB 的面积.
（3）在 x 轴上是否存在一点 P ，使 S△ ABP ＝ S△ AOB ？若存在，
求出点 P 的坐标.
解得 k ＝ .
所以直线 l 的函数表达式为 y ＝ x .
（2）因为 A （6，4）， B （12，0），
所以△ AOB 的面积＝ ×12×4＝24.
解：（1）设直线 l 的函数表达式为 y ＝ kx （ k ≠0）.
把 A （6，4）代入，得4＝6 k ，
（3）存在满足条件的点 P ，它的坐标为（16，0）或（8，0）.
理由如下：
设点 P 的坐标为（ m ，0）.
要使 S△ ABP ＝ S△ AOB ，
则有 ·｜ m －12｜·4＝ ×24＝8，
解得 m ＝16或 m ＝8.
所以点 P 的坐标为（16，0）或（8，0）.
如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y1＝ kx ＋ b 的图象分别
交 x 轴与 y 轴于点 A ， B ，且 OB ＝2，与直线 y2＝ ax 交于点 P
（2，1）.
（3）点 D 为直线 y1＝ kx ＋ b 上一点，其横坐标为 m （ m ＜2），
过点 D 作 DF ⊥ x 轴于点 F ，与 y2＝ ax 交于点 E ，且 DF ＝2 FE ，
求点 D 的坐标.
（1）求直线 y2的函数表达式；
（2）求 y1的函数表达式及点 A 的坐标；
【思路导航】（1）由待定系数法求解；（2）由待定系数法求
得 y1的表达式，进而求得点 A 的坐标；（3）表示出点 D ， E 的
坐标，得出 EF ， DE 的长度，由题意得出关于 m 的一元一次方
程，解方程即可.
解：（1）将 P （2，1）代入 y2＝ ax ，得1＝2 a .
所以 a ＝ .所以直线 y2的函数表达式为 y2＝ x .
（2）由题意，得 y1＝ kx ＋2.
将 P （2，1）代入，得1＝2 k ＋2，解得 k ＝－ .
所以 y1＝－ x ＋2.
令 y ＝0，则－ x ＋2＝0，解得 x ＝4.
所以点 A 的坐标为（4，0）.
（3）因为点 D 为直线 y1＝ kx ＋ b 上一点，其横坐标为 m （ m ＜
2），
所以点 D 的坐标为 ，点 E 的坐标为 .
DF ＝2 FE ，分两种情况：
当点 E 在第一象限时， yD ＝2 yE ，
即－ m ＋2＝ m ，解得 m ＝ .
当点 E 在第三象限时， yD ＝－2 yE ，
即－ m ＋2＝－ m ，解得 m ＝－4.
所以点 D 的坐标为 或（－4，4）.
【点拨】解答这种类型的题时要认真读题，结合图象理解到点
D 是一个动点，在不同的位置会有不同的情况，需要进行分类
讨论.
如图1，在平面直角坐标系中，一次函数 y ＝－2 x ＋2的图象与 x
轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B . 线段 AB 的垂直平分线交 y 轴于点
C .
图1
图2
（1）点 A 的坐标为 ，点 B 的坐为 ；
（2）试求点 C 的坐标；
（3）如图2，作直线 AC ，直线 AC 在第二象限的部分上存在一
点 P ，使得△ PAB ≌△ OBA ，连接 OP ，试说明： OP ∥ AB .
（1，0）
（0，
2）
（1）【解析】当 y ＝0时，－2 x ＋2＝0，所以 x ＝1.
所以点 A 的坐标为（1，0）.
当 x ＝0时， y ＝－2×0＋2＝2，
所以点 B 的坐标为（0，2）.
故答案为（1，0），（0，2）.
（2）解：如图，连接 AC . 设 OC ＝ a ，则 BC ＝2－ a .
在Rt△ AOC 中，根据勾股定理，得
AC2＝ OC2＋ OA2＝ a2＋1.
因为 AB 的垂直平分线交 y 轴于点 C ，
所以 AC ＝ BC .
所以 a2＋1＝（2－ a ）2，
解得 a ＝ .
所以点 C 的坐标为 .
（3）解：因为 AC ＝ BC ，所以∠ PAB ＝∠ OBA .
因为△ PAB ≌△ OBA ，所以 PA ＝ OB .
所以 PA － AC ＝ OB － BC . 所以 PC ＝ OC .
所以∠ CPO ＝∠ COP .
因为∠ PCO ＝∠ ACB ，
所以∠ CPO ＋∠ COP ＝∠ PAB ＋∠ OBA .
所以∠ COP ＝∠ ABO .
所以 OP ∥ AB .
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第四章 一次函数
4 一次函数的应用（第二课时）
数学 八年级上册 BS版
课前预习
典例讲练
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CONTENTS
数学 八年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 运用一次函数解决实际问题的一般步骤.
一审：认真审题，分析题中各个量之间的关系；
二设：根据各个量之间的关系设出满足题意的自变量；
三列：根据各个量之间的关系列出函数表达式；
四解：求出满足题意的结果.
2. 一元一次方程与一次函数的关系.
一般地，当一次函数 y ＝ kx ＋ b 的函数值为0时，对应的自变量
的值就是方程 kx ＋ b ＝0的解.从图象上看，一次函数 y ＝ kx ＋ b
的图象与 x 轴交点的横坐标就是方程 kx ＋ b ＝0的解.
数学 八年级上册 BS版
0 2
典例讲练
一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量 y （L）与行驶
路程 x （km）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示.
（1）求 y 关于 x 的函数表达式（不需要写自变量 x 的取值范
围）；
（2）已知当油箱中的剩余油量为8 L时，该汽车会开始提示加
油.在此次行驶过程中，行驶了500 km时，司机发现离前方最近
的加油站有30 km的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提
示加油，这时离加油站的路程是多少千米？
【思路导航】（1）根据图象上点的坐标，用待定系数法求出一
次函数表达式；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征求剩余
油量为8 L时行驶的路程.
解：（1）设该一次函数的表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
将（0，60），（150，45）代入 y ＝ kx ＋ b 中，
得 b ＝60，150 k ＋ b ＝45.
所以 k ＝－ .
所以该一次函数的表达式为 y ＝－ x ＋60.
（2）当 y ＝－ x ＋60＝8时，解得 x ＝520.
即行驶520 km时，油箱中的剩余油量为8 L.
500＋30－520＝10（km），
故油箱中的剩余油量为8 L时，距离加油站10 km.
所以在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油
站的路程是10 km.
（2）二转，将图象上的特殊点（如图象与 x 轴、 y 轴的交点）
的坐标转换成数学语言，建立数学模型；
（3）三答，在解决问题的过程中要注意不能遗漏自变量的取值
范围.
【点拨】通过函数图象获取信息的步骤：
（1）一看，看清横轴、纵轴所代表的意义；
如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行
楼梯.甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼
梯，甲离一楼地面的高度 h （m）与下行时间 x （s）之间具有函
数关系 h ＝－ x ＋6，乙离一楼地面的高度 y （m）与下行时间
x （s）之间的函数关系如图2所示.
图1
图2
（1）求 y 与 x 之间的函数表达式（不需要写自变量 x 的取值范
围）；
解：（1）设 y 与 x 之间的函数关系式是 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
得（0，6）与（15，3）代入 y ＝ kx ＋ b 中，
得 b ＝6，15 k ＋ b ＝3.
所以 k ＝－ .
所以 y 关于 x 的函数表达式为 y ＝－ x ＋6.
（2）当 h ＝0时，0＝－ x ＋6，解得 x ＝20.
当 y ＝0时，0＝－ x ＋6，解得 x ＝30.
因为20＜30，所以甲先到达一楼地面.
（2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面.
如图，根据函数 y ＝ kx ＋ b （ k ， b 是常数，且 k ≠0）的图
象.求：
（1）方程 kx ＋ b ＝0的解；
（2）式子 k ＋ b 的值；
（3）方程 kx ＋ b ＝－3的解.
【思路导航】（1）求出直线与 x 轴交点的横坐标即可；（2）利
用待定系数法求得 k ， b 的值即可解答；（3）根据图象直接得
到 y ＝－3时 x 的值.
解：（1）由图，知当 y ＝0时， x ＝2.
故方程 kx ＋ b ＝0的解是 x ＝2.
（2）根据图示知，该直线经过点（2，0）和点（0，－2），则 b ＝－2，2 k ＋ b ＝0.所以 k ＝1.
故 k ＋ b ＝1－2＝－1，即 k ＋ b ＝－1.
（3）根据图示知，当 y ＝－3时， x ＝－1.
故方程 kx ＋ b ＝－3的解是 x ＝－1.
【点拨】一元一次方程与一次函数的“两个联系”：（1）从
“数”的角度看：当一次函数 y ＝ kx ＋ b 的函数值为0时，相应
的自变量的值是关于 x 的方程 kx ＋ b ＝0的解；（2）从“形”的
角度看：一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象与 x 轴的交点坐标为
，从而可知与 x 轴的交点横坐标即为关于 x 的方程 kx ＋ b ＝0的解.
1. 已知关于 x 的方程 kx ＋ b ＝3的解为 x ＝7，则直线 y ＝ kx ＋ b
一定过点（ D ）
A. （3，0） B. （7，0）
C. （3，7） D. （7，3）
D
2. 如图，已知直线 y ＝ ax － b ，则关于 x 的方程 ax － b ＝1的解
为 .
x ＝4
根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水才能对外开
放.在换水时需要经“排水－清洗－注水”的过程.某游泳馆从
8：00开始对游泳池进行换水，已知该游泳池的排水速度是注水
速度的2倍，其中游泳池内剩余的水量 y （m3）与换水时间
x （h）之间的函数图象如图所示.根据图象解答下列问题：
（1）该游泳池清洗需要 h；
（2）求排水过程中，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变
量 x 的取值范围；
1.2
（3）求该游泳馆换水结束的时间.
【思路导航】（1）根据函数图象中的数据可以解答；（2）用
待定系数法即可求解；（3）依次求得排水速度、注水速度、注
水时间即可.
（2）解：设排水过程中的 y （m3）与 x （h）之间的函数关系为
y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
根据图象，知函数图象过点（0，1 200），（1.5，0），
所以 b ＝1 200，1.5 k ＋ b ＝0.
所以 k ＝－800.
所以排水过程中 y 与 x 之间的函数关系式为 y ＝－800 x ＋1 200
（0≤ x ≤1.5）.
（1）【解析】由题意可得，该游泳池清洗需要2.7－1.5＝1.2
（h）.故答案为1.2.
（3）解：排水的速度为1 200÷1.5＝800（m3/h）.
注水的速度为800÷2＝400（m3/h）.
注水用的时间为1 200÷400＝3（h）.
8＋2.7＋3＝13.7（h）＝13时42分.
所以该游泳馆换水结束的时间为13：42.
【点拨】函数图象为分段函数，在不同的取值范围内有不同的
函数表达式，所以需要理清题目中的条件，并结合图象去解答.
1. 张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500 km，汽车出发前油
箱里有油25 L，途中加油若干升（加油时间忽略不计），加油
前后汽车都以100 km/h的速度匀速行驶.已知油箱中剩余油量 y
（L）与行驶时间 t （h）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ C ）
C
A. 加油前油箱中剩余油量 y （L）与行驶时间 t （h）的函数关系式是 y ＝－8 t ＋25
B. 途中加油21 L
C. 汽车加油后还可以行驶4 h
D. 汽车到达乙地时油箱中还剩油6 L
2. 某医药研究所开发了一种新药，在实验药效时发现，如果成
人按规定剂量服用，每毫升血液中含药量 y （μg）随时间 x （h）的变化情况如图所示.
根据图象回答下列问题：
（1）服药后 h，血液中的含药量最高，达到每毫
升 μg，接着逐步衰减.服药后5 h，血液中含药量为每毫
升 μg.
2
6
3
（1）【解析】由函数图象，得服药后2 h，血液中的含药量最
高为每毫升6 μg.当2≤ x ≤8时，设 y 与 x 之间的函数关系式为 y
＝ kx ＋ b （ k ≠0）.根据题意，知函数图象过（2，6），（8，
0），所以6＝2 k ＋ b ，0＝8 k ＋ b .所以 k ＝－1， b ＝8.所以 y 与
x 之间的函数关系式是 y ＝－ x ＋8.当 x ＝5时， y ＝－5＋8＝3.
故答案为2，6，3.
（2）解：当 x ≤2时，设 y 与 x 之间的函数关系式 y ＝ k1 x （ k
≠0）.
根据题意，得6＝2 k1，
（2）如果每毫升血液中含药量为3 μg及以上时治疗疾病有效.
某老师要在8：00～11：30去治疗疾病，则该老师在哪个时间段
内服药，才能使药效持续有效？请你通过计算说明.
解得 k1＝3.所以 y ＝3 x .
当 y ＝3时， x ＝1，所以有效时间的范围是服药1 h至5 h时，持
续时间为5－1＝4（h），
要在8：00开始有效，则最迟服药时间为8－1＝7（时），要使
11：30刚好结束有效，则最早服药时间为11.5－5＝6.5（时）.
所以该老师在6：30～7：00时间段内服药，才能使药效持续
有效.
8：00～11：30共3.5 h.
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第四章 一次函数
3 一次函数的图象（第二课时）
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课前预习
典例讲练
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0 1
课前预习
1. 一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）的图象和性质.
（1）①当 k ＞0， b ＞0时，图象经过第一、二、三象限；
②当 k ＞0， b ＜0时，图象经过第一、三、四象限；
③当 k ＜0， b ＞0时，图象经过第一、二、四象限；
④当 k ＜0， b ＜0时，图象经过第二、三、四象限.
（2）一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）的图象经过点
（0， ）.当 k ＞0时， y 的值随着 x 值的增大而增大；当 k
＜0时， y 的值随着 x 值的增大而 .
2. 一次函数图象的位置关系.
若两条直线 y1＝ k1 x ＋ b1与 y2＝ k2 x ＋ b2平行，则 k1＝ k2，且 b1≠
b2.
b
减小
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0 2
典例讲练
（1）完成填空并在所给的平面直角坐标系中画出这个函数的图
象（不必再列表）：一次函数 y ＝－ x ＋3的图象过点
（0， ）和点（ ，0）.
3
3
【思路导航】根据题目中的函数表达式，可以得到其图象与 x 轴
和 y 轴的交点，即可画出相应的函数图象.
解：因为一次函数 y ＝－ x ＋3，所以当 x ＝0时， y ＝3；当 y ＝0时， x ＝3.所以一次函数 y ＝－ x ＋3的图象过点（0，3）和点（3，0）.函数图象如图所示：
【点拨】一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）的图象的画法：通常过
图象与两坐标轴的交点 ，（0， b ）作直线，该直线即
为一次函数的图象.
（2）一次函数 y ＝－ x ＋1的图象不经过（ C ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【思路导航】根据一次函数的系数 k ， b 的值即可得出答案.
C
【解析】因为 k ＝－ ＜0， b ＝1＞0，所以一次函数的图象经过
第一、二、四象限.故选C.
【点拨】此题还可以在平面直角坐标系中找到图象与 x 轴、 y 轴
的交点，作出直线得出答案，这种解法会更直观.
1. 在平面直角坐标系中，一次函数 y ＝ kx －3（ k ＜0）的图象
大致是（ C ）
A
B
C
C
D
2. 一次函数 y ＝ kx ＋ b 的图象如图所示，其中 k ＝ ， b
＝ .
－
3
已知点 A （ m ， p ）， B （ m ＋3， q ）为一次函数 y ＝ kx ＋4（ k
＜0）的图象上的两点.
（1）若 k ＝－2，将此函数图象沿 y 轴向上平移3个单位长度，
求平移后的函数表达式；
（2）若直线 y ＝ kx ＋4与直线 y ＝（3 k ＋2） x －4平行，求
k 的值；
（3）比较 p ， q 的大小，并说明理由.
【思路导航】（1）根据平移的规律即可求解；（2）在平面直
角坐标系中，若两直线平行，则 k1＝ k2，列式求解即可；（3）
根据一次函数的性质即可判断.
解：（1）当 k ＝－2时，将此函数图象沿 y 轴向上平移3个单
位长度，平移后的函数图象的表达式为 y ＝－2 x ＋4＋3＝－
2 x ＋7.
（2）因为直线 y ＝ kx ＋4与直线 y ＝（3 k ＋2） x －4平行，所以
k ＝3 k ＋2，解得 k ＝－1.
（3） p ＞ q .理由如下：
因为在一次函数 y ＝ kx ＋4中， k ＜0，
所以 y 的值随着 x 值的增大而减小.
因为点 A （ m ， p ）， B （ m ＋3， q ）为一次函数 y ＝ kx ＋4（ k
＜0）的图象上的两点，且 m ＜ m ＋3，所以 p ＞ q .
【点拨】（1）函数图象的平移需要记住口诀“上加下减，左加
右减”.（2）同一平面直角坐标系中两直线 y ＝ k1 x ＋ b1与 y ＝
k2 x ＋ b2，当 k1＝ k2且 b1≠ b2时，两直线平行；当 k1＝ k2且 b1＝
b2时，两直线重合；当 k1≠ k2时，两直线相交；当 k1 k2＝－1
时，两直线互相垂直.
已知一次函数 y ＝ mx －3｜ m ｜＋12.
（1）当 m 为何值时，函数图象过原点，且 y 的值随着 x 值的增
大而减小？
解：（1）因为函数图象过原点，所以函数是正比例函数.
所以－3｜ m ｜＋12＝0，解得 m ＝±4.
因为 y 的值随着 x 值的增大而减小，
所以 m ＜0.所以 m ＝－4.
（2）因为一次函数 y ＝ mx －3｜ m ｜＋12的图象平行于直线 y
＝－ x ，所以 m ＝－1.
所以－3｜ m ｜＋12＝－3×｜－1｜＋12＝9.
所以一次函数的表达式为 y ＝－ x ＋9.
（2）若函数图象平行于直线 y ＝－ x ，求该一次函数的表达
式；
（3）该函数图象向下平移3个单位长度，得
y ＝ mx －3｜ m ｜＋12－3＝ mx －3｜ m ｜＋9.
因为平移后的图象过点（0，－15），
所以 m ·0－3｜ m ｜＋9＝－15，
解得 m ＝±8.
（3）若点（0，－15）在该函数图象向下平移3个单位长度后的
函数图象上，求 m 的值.
已知一次函数 y ＝－2 x ＋4.
（1）在图中画出此函数的图象.观察图象，当0≤ y ≤4时， x 的
取值范围是 ；
（2）求此函数图象与坐标轴围成图形的面积；
（3）一次函数 y ＝－2 x ＋4的图象平移一次后经过点（－3，
1），求平移后的函数表达式.
0≤ x ≤2
【思路导航】（1）作出图象，根据函数的图象与坐标轴的
交点可直接得出结论；（2）根据图象得出直线与 x 轴、 y 轴
的交点，利用三角形面积公式求解即可；（3）设平移后的
函数表达式为 y ＝－2 x ＋ b ，把（－3，1）代入求出 b 的值
即可得出结论.
解：（1）画出的函数图象如图所示.
由图象可知，当0≤ y ≤4时，则 x 的取值范围是0≤ x ≤2.
（2）由图象可知，直线与 y 轴的交点为（0，4），与 x 轴的交
点为（2，0），
所以函数 y ＝－2 x ＋4的图象与坐标轴围成图形的面积为
×4×2＝4.
（3）设平移后的函数表达式为 y ＝－2 x ＋ b .
将（－3，1）代入，得1＝－2×（－3）＋ b ，
解得 b ＝－5.
所以平移后的函数表达式为 y ＝－2 x －5.
【点拨】平移最简单的作法是进行上下平移，所以在题目没有
特殊要求时尽量使用上下平移解决问题.
将一次函数 y ＝ kx －1的图象向上平移 k 个单位长度后恰好经过
点 A （3，2＋ k ）.
（1）求 k 的值；
解：（1）根据平移规律，
平移后的函数表达式为 y ＝ kx －1＋ k .
将点 A （3，2＋ k ）代入，得
3 k －1＋ k ＝2＋ k ，
解得 k ＝1.
（2）若一条直线与函数 y ＝ kx －1的图象平行，且与两个坐标
轴所围成的三角形的面积为 ，求该直线的函数表达式.
（2）由（1）知，该一次函数表达式为 y ＝ x －1.
设所求直线的函数表达式为 y ＝ x ＋ b ，
则直线与坐标轴两交点坐标为（－ b ，0），（0， b ）.
由三角形的面积公式，得 ×｜ b ｜×｜－ b ｜＝ ，
解得 b ＝±1.
所以 y ＝ x ＋1或 y ＝ x －1（不符合题意，舍去）.
故所求直线的函数表达式为 y ＝ x ＋1.
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第四章 一次函数
3 一次函数的图象（第一课时）
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课前预习
典例讲练
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数学 八年级上册 BS版
0 1
课前预习
1. 函数的图象.
把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点
的 坐标和 坐标，在平面直角坐标系内描出相应
的 ，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.
2. 画函数图象的一般步骤.
、 、 .
横
纵
点
列表
描点
连线
3. 正比例函数 y ＝ kx （ k ≠0）的图象和性质.
（1）正比例函数 y ＝ kx （ k ≠0）的图象是一条经过 的
直线；
（2）当 k ＞0时，图象经过第一、三象限， y 的值随着 x 值的增
大而 ；
（3）当 k ＜0时，图象经过第二、四象限， y 的值随着 x 值的增
大而 .
原点
增大
减小
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0 2
典例讲练
在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象： y ＝2 x ； y ＝
x .
【思路导航】依次列表、描点、连线.除原点外，再确定一点，
画一条过此点与原点的直线即可.
解：列表：
x … 0 1 …
y ＝2 x … 0 2 …
描点（0，0），（1，2），连线，得函数 y ＝2 x 的图象，如
图所示.
x … 0 2 …
y ＝ x … 0 1 …
描点（0，0），（2，1），连线，得函数 y ＝ x 的图象，如
图所示.
【点拨】由函数关系式画图象的一般步骤：（1）列表：根据函
数关系式列表给出自变量与函数值的各组对应值；（2）描点：
以表中每组对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出相应的
点；（3）连线：按照自变量从小到大的顺序依次连接.在选点
时，要利于计算和描点.
1. 在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象： y ＝－ x ；
y ＝－ x .
解：列表：
x … 1 2 …
y ＝－ x … －1 －2 …
描点（1，－1），（2，－2），连线，得函数 y ＝－ x 的图
象，如图所示.
x … 3 －3 …
y ＝－ x … －1 1 …
描点（3，－1），（－3，1），连线，得函数 y ＝－ x 的图
象，如图所示.
2. （1）函数 y ＝6 x 的图象是经过（0， ）和（ ，6）
两点的一条直线，点 A （2，4） （填“在”或“不
在”）直线 y ＝6 x 上；
（2）若点 A （－2， m ）在正比例函数 y ＝－3 x 的图象上，则 m
的值是 .
【解析】（1）当 x ＝0时， y ＝6×0＝0.当 y ＝6时，6＝6 x .解
得 x ＝1.当 x ＝2时， y ＝2×6＝12.因为12≠4，所以点 A （2，
4）不在直线 y ＝6 x 上.故答案为0，1，不在.
（2）因为点 A （－2， m ）在正比例函数 y ＝－3 x 的图象上，所
以 m ＝－3×（－2）＝6.故答案为6.
0
1
不在
6
已知函数 y ＝3 x 的图象经过点 A （－1， y1）和点 B （－2，
y2），则 y1 y2（填“＞”“＜”或“＝”）.
【思路导航】方法一：直接代入 A ， B 两点的横坐标，比较 y1与 y2的大小即可.方法二：根据 k ＝3＞0，该正比例函数的函数值 y 随着 x 值的增大而增大解答.
＞
【解析】方法一：当 x ＝－1时， y1＝3×（－1）＝－3.
当 x ＝－2时， y2＝3×（－2）＝－6.
因为－3＞－6，所以 y1＞ y2.故答案为＞.
方法二：因为 k ＝3＞0，所以正比例函数的函数值 y 随着 x 值的
增大而增大.所以 y1＞ y2.故答案为＞.
【点拨】正比例函数的性质：当 k ＞0时， y 的值随着 x 值的增大
而增大；当 k ＜0时， y 的值随着 x 值的增大而减小.利用该性质
解此类题，可以减少计算量.
1. 关于函数 y ＝ x ，下列结论中，正确的是（ D ）
A. 函数图象经过点（1，3）
B. 不论 x 为何值，总有 y ＞0
C. y 的值随着 x 值的增大而减小
D. 函数图象经过第一、三象限
D
【解析】A. 当 x ＝1时， y ＝ ，故此选项错误；B. 当 x ＜0时，
y ＜0，故此选项错误；C. 因为 k ＝ ＞0，所以 y 的值随着 x 值的
增大而增大，故此选项错误；D. 因为 k ＝ ＞0，所以函数图象
经过第一、三象限，此选项正确.故选D.
2. 在正比例函数 y ＝（ m ＋1） x｜ m｜－1中，若 y 的值随 x 值的增
大而减小，则 m ＝ .
【解析】因为｜ m ｜－1＝1，所以 m ＝±2.又因为 y 的值随 x 值
的增大而减小，所以 m ＋1＜0，即 m ＜－1.所以 m ＝－2.故答
案为－2.
－2
【实际操作】在图1中的平面直角坐标系中画出 y ＝ x ， y ＝－2
x ， y ＝ x ， y ＝3 x 的函数图象.
图1
图2
【探索发现】观察这些函数的图象，随着｜ k ｜的增大，直线与
y 轴的位置关系有何变化？
【灵活运用】已知正比例函数 y1＝ k1 x ， y2＝ k2 x 在同一平面直
角坐标系中的图象如图2所示，则 k1与 k2的大小关系为
.
k1＞
k2
【思路导航】由直线的函数表达式可知其图象均过原点，再分
别令 x ＝1求出 y 的值，描出各点，根据两点确定一条直线画出
函数图象；比较分析图象可得直线与 y 轴的位置关系；由分析的规律即可判断 k1与 k2的大小关系.
【探索发展】解：观察这些函数的图象可以发现，随着｜ k ｜的增大，直线与 y 轴的夹角变小.
【实际操作】解：画出函数图象如图所示：
【灵活运用】【解析】由（2）得出的规律可知，｜ k1｜＜｜
k2｜.又因为 k1＜0， k2＜0，所以 k1＞ k2.故答案为 k1＞ k2.
【点拨】根据此题我们还可以得出｜ k ｜越大，函数值的变
化越快.
正比例函数 y ＝ kx ， y ＝ mx ， y ＝ nx 在同一平面直角坐标系中
的图象如图所示，则比例系数 k ， m ， n 按从大到小排列的顺序
是 （用“＞”连接）.
k ＞ m ＞ n
【解析】因为正比例函数 y ＝ kx ， y ＝ mx 的图象过第一、三象
限，所以 k ＞0， m ＞0.因为 y ＝ kx 的图象与 y 轴的夹角比 y ＝ mx 的图象小，所以 k ＞ m ＞0.因为 y ＝ nx 的图象过第二、四象限，所以 n ＜0.所以 k ＞ m ＞ n .故答案为 k ＞ m ＞ n .
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