吉林省延边朝鲜族自治州汪清县2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷（含解析）

吉林省延边朝鲜族自治州汪清县2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知集合，，则的子集的个数为( )
A.2 B.3 C.8 D.16
2．已知,,,则的最小值为( )
A.4 B. C. D.
3．已知函数，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
4．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A.在区间上有个极值点 B.在处取得极小值
C.在区间上单调递减 D.在处取得极大值
5．二项式展开式中含x项的系数是( )
A. B. C. D.
6．弘扬国学经典，传承中华文化，国学乃我中华民族五千年留下的智慧精髓，其中“五经”是国学经典著作，“五经”指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》．小明准备学习“五经”，现安排连续四天进行学习且每天学习一种，每天学习的书都不一样，其中《诗经》与《礼记》不能安排在相邻两天学习，《周易》不能安排在第一天学习，则不同安排的方式有( )
A.32种 B.48种 C.56种 D.68种
7．已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数），则下列计算结果正确的是（）
X 0 1 2 3
P 0.2 0.3 0.4 a
A. B. C. D.
8．对于数据组，如果由经验回归方程得到的对应自变量的估计值是，那么将称为对应点的残差.某学校利用实践基地开展劳动教育活动，在其中一块土地上栽种某种蔬菜，并指定一位同学观测其中一棵幼苗生长情况，该同学获得前6天的数据如下：
第x天 1 2 3 4 5 6
高度y（cm） 1 4 7 9 11 13
经这位同学的研究，发现第x天幼苗的高度y（cm）的经验回归方程为，据此计算样本点（5,11）处的残差为（）
A.0.1 B. C.0.9 D.
二、多项选择题
9．2023年，某省继续招募高校毕业生到基层从事支教，支农，支医和帮助乡村振兴的服务工作（简称“三支一扶”），此省某师范院校某毕业班的6名毕业生（其中有3名男生和3名女生，男生中有一名班长）被分配到甲乙丙三地进行支教，且每地至少有一名毕业生.则下列正确的是( )
A.甲乙丙三地各分配一名男生和一名女生，则共有种分配方法
B.6名毕业生平均分配到甲乙丙三地，则共有种分配方法
C.男班长必须到甲地，则共有180种分配方法
D.班长必须到甲地，某女生必须到乙地，则共有65种分配方法
10．设随机变量X的分布列如下表，且，则( )
X 0 1 2 3
P 0.1 a b 0.1
A.a＝0.3 B.b＝0.5 C.P(X≤1)＝0.4 D.P(X＞1)＝0.6
11．若展开式的二项式系数之和为64，则( )
A.展开式中项的系数为-12 B.展开式中二项式系数最大的项为
C.展开式中系数最小的项为 D.展开式中各项系数的和为1
12．已知关于x的方程，下列说法正确的是( )
A.若方程有两个互为相反数的实数根，则
B.若方程没有实数根，则方程必有两个不相等的实数根
C.若二次三项式是完全平方式，则
D.若，则方程必有两个不相等的实数根
三、填空题
13．，恒成立，则实数a的取值范围是________.
14．若随机变量X服从正态分布，且，则的值为________.
15．主人出差，委托邻居浇水，设已知如果浇水，则树活着的概率为0.85：如果不浇水，树活着的概率为0.2，邻居很善于助人，有0.9的把握确定邻居记得浇水.那么主人出差回来树还活着的概率为________.
16．下列说法中正确的有（填正确说法的序号）________.
①若样本数据，，…，的方差为4，则数据，，…，的标准差为4；
②已知随机变量，且，则；
③若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越弱；
④若事件A，B满足，，，则有.
四、解答题
17．已知p：，q：.
（1）记，，当时，求；
（2）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围.
18．已知函数.
（1）若函数在区间上是单调递增函数，求实数k的取值范围；
（2）若对一切实数x都成立，求实数k的取值范围.
19．“城市公交”泛指城市范围内定线运营的公共汽车及轨道交通等交通方式，也是人们日常出行的主要方式.某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间与乘客等候人数之间的关系，经过调查得到如下数据：
间隔时间（分钟） 6 8 10 12 14
等候人数（人） 15 18 20 24 23
（1）根据以上数据作出折线图，易知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于x的回归直线方程，并预测车辆发车间隔时间为30分钟时乘客的等候人数.
附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；相关系数；.
20．已知函数.
（1）若是的极值点，求在上的最大值和最小值；
（2）若在上是增函数，求实数a的取值范围.
21．在今山西怀仁县，故名．明《大明一统志》有“锦屏山在怀仁县西南二十五里，山旧有磁窑”记载．怀仁陶瓷历史已逾千年，始于春秋，兴于辽金，盛于明清．目前怀仁有53家陶瓷企业，某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格概率依次为0.6、0.5、0.75．
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，记合格工艺品的件数为，求随机变量的分布列及数学期望．
22．4月23日是“世界读书日”，读书可以陶冶情操，提高人的思想境界，丰富人的精神世界，为了丰富校园生活，展示学生风采，某中学在全校学生中开展了“阅读半马比赛”活动.活动要求每位学生在规定时间内阅读给定书目，并完成在线阅读检测.通过随机抽样，得到100名学生的检测得分如下：
男生 2 3 5 15 18 12
女生 0 5 10 10 7 13
（1）若检测得分不低于70分的学生称为“阅读爱好者”，得分低于70分的学生称为“非阅读爱好者”.根据所给数据完成下列2×2列联表；
阅读爱好者 非阅读爱好者 总计
男生
女生
总计
（2）请根据所学知识判断是否有95%的把握认为“阅读爱好者”与性别有关
附：，其中.
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参考答案
1．答案：C
解析：因为，所以的子集个数为.
故选：C.
2．答案：D
解析：因为,,,
所以原式
,
当且仅当,即,时取等号,
所以的最小值为.
故选：D.
3．答案：D
解析：由有意义可得，
化简可得，
所以函数的定义域为.
故选：D.
4．答案：C
解析：根据的图象可得，在上，，且仅有，
在上单调递减，
在区间上没有极值点，故A、B、D错误，C正确；
故选：C.
5．答案：C
解析：二项式通项公式，
令，则.
则二项式展开式中含x项的系数是.
故选：C
6．答案：D
解析：①若《周易》不排，先将《诗经》与《礼记》以外的另外2种排列，
再将《诗经》与《礼记》插空，则共有种安排方式．
②若排《周易》且《诗经》与《礼记》都安排，
在《尚书》和《春秋》中先选1种，然后将《诗经》与《礼记》以外的另外2种排列，
再将《诗经》与《礼记》插空，减去将《周易》排在第一天的情况即可，
共有种安排方式；
③若排《周易》且《诗经》与《礼记》只安排一个，
先在《诗经》与《礼记》中选1种，然后将《周易》排在后三天的一天，
最后将剩下的3种书全排列即可，
共有种安排方式．
所以共有种安排方式．
故选：D
7．答案：D
解析：由，解得，
则，
，
，
故选：D
8．答案：B
解析：,，
因为经验回归方程过样本中心点,
所以,解得,
所以经验回归方程为.
当时，.
所以样本点处的残差为.
故选:B.
9．答案：ACD
解析：A选项，甲乙丙三地各分配一名男生和一名女生，
3个男生中选1个到甲地，方法有种；在剩下的2个男生中选1个到乙地，
方法有种；最后1个男生放在丙地；再安排女生，方法有种.所以共有种分配方法，A选项正确.
B选项，6名毕业生平均分配到甲乙丙三地，方法数有种分配方法，B选项错误.
C选项，男班长必须到甲地，方法数有:
种分配方法，C选项正确.
D选项，班长必须到甲地，某女生必须到乙地，方法数有:
种分配方法，D选项正确.
故选：ACD.
10．答案：ABCD
解析：根据题意，解得，故A、B正确；
又，
，故C、D正确.
故选：ABCD.
11．答案：ABD
解析：因为展开式的二项式系数之和为64，所以，得，
所以二项式为，则展开式的通项，
令，则，可得展开式中项的系数为，所以A正确；
展开式中二项式系数最大的项为，所以B正确；
展开式的各项依次为：
，，，，
，，，
故展开式中系数最小的项为，所以C错误；
令，可得二项展开式中各项系数之和为，所以D正确．
故选：ABD.
12．答案：ABC
解析：对A，若方程有两个互为相反数的实数根，，则由韦达定理可得，即，故A正确；
对B，若方程没有实数根，则，故.
又，故，则方程判别式，故方程必有两个不相等的实数根，故B正确；
对C，若二次三项式是完全平方式，则令有，故，则成立，故C正确；
对D，若，则，解得仅有，故D错误.
故选：ABC
13．答案：
解析：因为，整理得，
当时，则不恒成立，不合题意；
当时，则，解得；
综上所述：实数a的取值范围是.
故答案为：.
14．答案：0.72
解析：因为随机变量X服从正态分布，所以正态曲线的对称轴为，
因为，所以，所以.
故答案为：0.72.
15．答案：0.785/
解析：设事件A表示：树活着，B表示邻居记得浇水，
则，，，，
故
,
故答案为：0.785
16．答案：①②④
解析：由于，所以数据，，…，的方差为16，
故标准差为4，因此①正确；
根据正态分布，，故，即，
故，因此②正确；
线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故③错误；
由于等价于“事件A与事件B相互独立，即，
故必有，因此④正确.
故答案为：①②④
17．答案：(1)；
(2)
解析：（1）因为，
当时，，所以
（2）由（1），因为p是q的充分条件，所以，即，解得.
18．答案：(1)；
(2)
解析：（1）因为函数在区间上是单调递增函数，且的对称轴为，
所以，解得.
（2）若对一切实数x都成立，则，解得.
19．答案：(1)说明见解析；
(2)；42人
解析：（1）依题意，可得，，
，
，，
所以，
因为y与x的相关系数近似为，说明y与x的线性相关非常高，所以可以用线性回归模型拟合y与x的关系.
（2）由（1）可得，，则，
所以y关于x的回归直线方程为，
当时，，
所以预测车辆发车间隔时间为30分钟时乘客的等候人数为42人.
20．答案：(1)最大值为15，最小值为-9；
(2)
解析：（1）由题意可得，，且，即，
，则，且.
令，得，（舍）.
当时，，当时，，
即当时，的极小值.
又，，
在上的最小值是，最大值是.
（2）因为在上是增函数，即在上恒成立，
在上为增函数，
当时，，即.
21．答案：（1）0.38
（2）分布列见解析，0.9
解析：（1）第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为：.
（2）经过前后两次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为：
，，.
所以，
故随机变量的可能取值为0，1，2，3，且.
故；；
，
所以随机变量的分布列为
0 1 2 3
P
故随机变量的数学期望.
22．答案：(1)列联表见解析；
(2)没有95%的把握认为“阅读爱好者”与性别有关.
解析：（1）由题可得，男生中不低于70分的学生有45人，低于70分的有10人，
女生中不低于70分的学生有30人，低于70分的有15人，
阅读爱好者 非阅读爱好者 总计
男生 45 10 55
女生 30 15 45
总计 75 25 100
（2）因为