云南省昆明市2024届”三诊一模“高三复习教学质量检测数学试卷(含解析)

云南省昆明市2024届”三诊一模“高三复习教学质量检测数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．若是等比数列,,,则( )
A.7 B.9 C.25 D.35
2．双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
3．复平面内表示复数的点在直线上,则( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
4．已知下图网格中面积最小的正方形边长为1,平面向量,如图所示,则( )
A.2 B. C. D.1
5．在的展开式中,含项的系数是( )
A.16 B.19 C.21 D.24
6．已知函数,则下列说法正确的是( )
A.为增函数 B.有两个零点
C.的最大值为2e D.的图象关于对称
7．早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆,三个星体的位置如图所示．地球在位置时,测出;行星M绕太阳运动一周回到原来位置,地球运动到了位置,测出,．若地球的轨道半径为R,则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据：）( )
A. B. C. D.
8．已知椭圆的左、右焦点为、,圆与E的一个交点为P,直线与E的另一个交点为Q,,则E的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知函数,若,则的值可以为( )
A. B. C. D.
10．在数列中,,,,记的前n项和为,则下列说法正确的是( )
A.若,,则 B.若,,则
C.若,,则 D.若,,则
11．在矩形中,,,以对角线BD为折痕将进行翻折,折后为,连接得到三棱锥,在翻折过程中,下列说法正确的是( )
A.三棱锥体积的最大值为 B.点,B,C,D都在同一球面上
C.点在某一位置,可使 D.当时,
三、填空题
12．已知,,则__________．
13．已知正六棱锥的侧棱长为,其各顶点都在同一球面上,若该球的表面积为,则该正六棱锥的体积为__________．
14．如图,一个质点从原点O出发,每隔一秒随机、等可能地向左或向右移动一个单位,共移动六次．质点位于4的位置的概率为__________;在质点第一秒位于1的位置的条件下,该质点共经过两次3的位置的概率为__________．
四、解答题
15．如图,在直三棱柱中,D,E为,AB中点,连接,．
（1）证明：平面;
（2）若,,,求二面角的正弦值．
16．某企业响应国家“强芯固基”号召,为汇聚科研力量,准备科学合理增加研发资金．为
了解研发资金的投入额x（单位：千万元）对年收入的附加额y（单位：千万元）的影响,对2017年至2023年研发资金的投入额和年收入的附加额进行研究,得到相关数据如下：
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023
投入额 10 30 40 60 80 90 110
年收入的附加额 7．30
（1）求y关于x的线性回归方程;
（2）若年收入的附加额与投入额的比值大于0.1,则称对应的年份为“优”,从上面的7个年份中任意取3个,记X表示这三个年份为“优”的个数,求X的分布列及数学期望．
参考数据：,,．
附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
,．
17．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程;
（2）当时,,求a的取值范围．
18．已知抛物线的焦点为F,直线与C交于A,B两点,．
（1）求C的方程;
（2）过A,B作C的两条切线交于点P,设D,E分别是线段PA,PB上的点,且直线DE与C相切,求证：．
19．若非空集合A与B,存在对应关系f,使A中的每一个元素a,B中总有唯一的元素b与它对应,则称这种对应为从A到B的映射,记作．
设集合,（,）,且．设有序四元数集合,且,．对于给定的集合B,定义映射,记为,按映射f,若,则;若,则．记．
（1）若,,写出Y,并求;
（2）若,,求所有的总和;
（3）对于给定的,记,求所有的总和（用含m的式子表示）．
参考答案
1．答案：C
解析：是等比数列,,,
则,故．
故选：C．
2．答案：A
解析：双曲线的渐近线方程是：
故选：A.
3．答案：A
解析：复数在复平面内对应的点为,
依题意可得,解得.
故选：A.
4．答案：C
解析：根据题意,如图建立坐标系,
则,,
则,故．
故选：C．
5．答案：B
解析：因为展开式的通项为,
所以的展开式中含项为,
所以展开式中含项的系数是19.
故选：B.
6．答案：D
解析：A：,令,得,
当时,,当时,,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,故A错误;
B：由选项A知,函数在上单调递减,在上单调递增,
且,所以函数在R上没有零点,故B错误;
C：由选项A知,函数在上单调递减,在上单调递增,
所以,即函数的最小值为,故C错误;
D：,所以函数图象关于直线对称,故D正确.
故选：D.
7．答案：A
解析：连接,在中,,又,
则是正三角形,,
由,,得,,
在中,,由正弦定理得,则,
在中,由余弦定理得.
故选：A.
8．答案：B
解析：由题意知,圆过椭圆的两个焦点,
因为P为圆与椭圆的交点,所以,
因为,
设,可得,,
所以,
所以,
在中,,
即,解得或,
解得或（舍去）,
此时点P为椭圆短轴的顶点,
又,解得（负值舍去）,
且,,
在中,由余弦定理可得,
整理可得,所以．
故选：B．
9．答案：BD
解析：令或,,
故或,,,
故,
取和可得或,
故的值可以为或,
故选：BD.
10．答案：ACD
解析：若,,又,则,A正确;
若,,由A选项可知,又,可得,
,可得,B错误;
若,,则,,,可得,
所以数列为等差数列,且,所以,C正确;
且,D正确.
故选：ACD.
11．答案：ABD
解析：如图所示：分别过A,C作,,
对A,当平面平面时,三棱锥的高最大为,
三棱锥体积的最大值为,A正确;
对B,,
的中点为O,则,故O为三棱锥的外接球球心,B正确;
对C,若存在点在某一位置,使,连接,
由于,,,,平面,
则平面,又平面,
,这与相矛盾(M,N不重合）,
不存在点在某一位置,使,C错误;
对D,当,又,,,,平面,
平面,又平面,
,又,,,D正确．
故选：ABD．
12．答案：
解析：由,,,
,
.
故答案为：.
13．答案：
解析：设正六棱锥,底面中心为G,外接球半径为R,底面正六边形边长为a,棱锥的高,
则,,,
当外接球的球心O在棱锥内部时,,在中,,即,
在中,,即,联立,解得,,
所以正六棱锥的体积为.
当外接球的球心O在棱锥外部时,,在中,,即,
在中,,即,联立,解得,,这与矛盾,不合题意舍去.
综上,该正六棱锥的体积为.
故答案为：.
14．答案：①.②.
解析：由题意可得：质点移动6次可能的结果有种,质点位于4的位置则指点向右移动5次向左移动1次,
从质点移动6次中选1次向左移动,其它5次向右移动共有种,
所以质点位于4的位置的概率为;
在质点第一秒位于1的位置的条件下,该质点共经过两次3的位置,可知从1开始的5步中,第1、2步必须向右,
第3步向左或向右均可,若第3步向左则第4步向右,若第3步向右则第4步向左,第5步向左向右均可,则走法有种,
总的质点移动5次可能的结果有种,则在质点第一秒位于1的位置的条件下,该质点共经过两次3的位置的概率为.
故答案为：;.
15．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）连接,,,
因为D,E分别为,AB的中点,所以,
又因为平面,平面,所以平面．
（2）由（1）得,因为,所以,
因为在直三棱柱中,平面ABC,所以,
因为,所以平面,故．
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,
,,
设平面的一个法向量为,
则,可取为平面的一个法向量,
可取为平面的一个法向量,
则,
设二面角的大小为,则,,
所以二面角正弦值为．
16．答案：（1）
（2）分布列见解析,
解析：（1）依题意,,
,
,
,
所以y关于x的线性回归方程为.
（2）由题意,7个年收入的附加额与投入额的比值大于0.1的有3个,
所以X的可能取值为0,1,2,3,
,
,
,
,
X的分布列如下：
X 0 1 2 3
P
所以X的期望是.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由于,则切点坐标为,
因为,所以切线斜率为,
故切线方程为,即．
（2）当时,等价于,
令,,
恒成立,则恒成立,,
当时,,函数在上单调递减,,不符合题意;
当时,由,得,
时,,函数单调递减,,不符合题意;
当时,,因为,所以,则,
所以函数在上单调递增,,符合题意．
综上所述,．
18．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）设,,,
联立,得,
则,,,
则,故,
所以C的方程为．
（2）由（1）知,因为抛物线,则,
则,,则直线PA方程为,即,
同理直线PB方程为．
联立,得,
则,将代入得,
两式相加得,
即,所以点．
设直线DE与抛物线相切于点,则直线DE方程为．
设,,联立,
两式作比,即,同理,
因为,
同理,
故要证,
即证,
即证,
即证,
即证,
即证,
由（1）知,又,故,上式成立,
故．
19．答案：（1）,
（2）40
（3）
解析：（1）由题意知,,
所以．
（2）对1,-3,5是否属于B进行讨论：
①含1的B的个数为,此时在映射f下,;
不含1的B的个数为,此时在映射f下,;
所以所有Y中2总个数和1的总个数均为10;
②含5的B的个数为,此时在映射f下,;
不含5B的个数为,此时在映射f下,;
所以所有Y中6的总个数和5的总个数均为10;
②含的B的个数为,此时在映射f下,,;
不含的B的个数为,此时在映射f下,,;
所以所有y中的总个数和的总个数均为20．
综上,所有的总和为．
（3）对于给定的,考虑在映射f下的变化．
由于在A的所有非空子集中,含有的子集B共个,
所以在映射f下变为;
不含的子集B共个,在映射f下变为;
所以在映射f下得到的所有的和为．
同理,在映射f下得到的所有的和．
所以所有的总和为．