2024届湖南省长郡中学高三下学期考前保温卷（二）数学试题(含解析)

2024届长郡中学高三数学保温卷2
（2024.06.03）
一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（本题5分）从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数和的分布列如下表一和下表二所示；
表一
6 7 8 9 10
0.07 0.22 0.38 0.30 0.03
表二
6 7 8 9 10
0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
概率分布条形图如下图三和图四所示：
则以下对这两名同学的射击水平的评价，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题5分）函数，则（ ）
A．是偶函数，且在区间上单调递增
B．是偶函数，且在区间上单调递减
C．是奇函数，且在区间上单调递增
D．既不是奇函数，也不是偶函数
3．（本题5分）扇形的半径为1，，点在弧上运动，则的最小值为（ ）
A． B．0 C． D．
4．（本题5分）已知数列，则“（，）”是“数列是等差数列”的（ ）
A．．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．．既不充分也不必要条件
5．（本题5分）已知的三个角，，的对边分别是，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（本题5分）若函数在区间上是减函数，且，，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
7．（本题5分）已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
二．选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
8．（本题6分）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．的图象关于点中心对称
C． D．在上的值域为
9．（本题6分）已知复数，满足：为纯虚数，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最小值为3 D．的最小值为3
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．
10．（本题5分）已知圆锥曲线的焦点在轴上，且离心率为2，则_________．
11．（本题5分）已知矩形中，，以所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为_________．
四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12．（本小题满分13分）
如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，与相交于点，点在上，，，，．
（1）证明：平面；
（2）若与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，求．
13．（本小题满分17分）已知圆：，动圆与圆相内切，且经过定点．
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）若直线：与（1）中轨迹交于不同的两点，，记外接圆的圆心为（为坐标原点），平面上是否存在两定点，，使得为定值，若存在，求出定点坐标和定值，若不存在，请说明理由．
14．（本小题满分17分）对于数列，如果存在等差数列和等比数列，使得，则称数列是“优分解”的。
（1）证明：如果是等差数列，则是“优分解”的．
（2）记，，（），证明：如果数列是“优分解”的，则或数列是等比数列。
（3）设数列的前项和为，如果和都是“优分解”的，并且，，，求的通项公式．
答案
一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】D
2．【答案】A
【解析】的定义域为，为偶函数；当时，，在区间上单调递增，故正确选项为A
3．【答案】A
【详解】以为原点，以所在直线为轴，过作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，
设，则，其中，，，
故，，
，
，，，
，
的取值范围为，故的最小值为；
故选：A．
4．【答案】B
【解析】先判断充分性：，，
令，则，
数列的偶数项成等差数列，
令，则，
数列的奇数项成等差数列，
但数列不一定是等差数列，如：1，1，2，2，3，3，
“（，）”不是“数列是等差数列”的充分条件；
再判断必要性：若数列是等差数列，则，，
“（，）”是“数列是等差数列”的必要条件；
综上，“（，）”是“数列是等差数列”的必要不充分条件，故正确选项为B
5．【答案】D
【解析】，，，，，，，，故正确选项为D．
6．【答案】A
【解析】，
依题意，，
两式相减得，，，故正确选项为A
7．【答案】C
【解析】（方法一）设的重心为，则，
，，点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
的最小值是，故正确选项为C
（方法二）以所在直线为轴，以中垂线为轴建立直角坐标系，则，，，设，，点的轨迹方程为，设圆心为，由圆的性质可知当过圆心时最小，最小值为，故正确选项为C．
二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
8．【答案】AC
【详解】A选项，设的最小正周期为，则，
故，
因为，所以，A正确；
B选项，由图象可知，，，
将代入解析式得，
故，，故，，
因为，所以，故，，
故的图象不关于点中心对称，B错误；
C选项，，C正确；
D选项，，，
故，D错误．
故选：AC
9．【答案】ABD
【解析】为纯虚数，设，，选项A正确；，则所对应点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，，选项B正确；为纯虚数，对应点在轴上（除去原点），的取值范围为，无最小值，选项C错误；，为纯虚数或0，对应的点在轴上（除去点），当时取得最小值3，选项D正确，故正确选项为ABD．
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．
10．【解析】圆锥曲线的离心率为2，该圆锥曲线是双曲线，将方程化成焦点在轴上的标准形式，则，．
11．【答案】
【解析】如图，以所在直线为旋转轴，旋转一周形成两个共底面的圆锥，旋转一周形成一个倒立的相同的几何体，将其体积记为，这两个几何体重叠部分是以圆为底面，，为顶点的两个小圆锥，其体积记为，则所求几何体体积
四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12．【解析】（1）证明：底面是菱形，，
平面，平面，，
又，平面，平面，，
又，平面，
平面，，，
即，平面．
（2）（方法一）由（1）知平面，延长，，相交于点，则即为与平面所成的角
，，
过作，作于点，连接，
平面，，，，
，又，平面，
即为平面与平面的夹角，，，
（方法二）以为原点，以为轴，为轴，过点且平行的直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，
，，，，
，
平面，与平面所成的角为
平面，是平面的一个法向量，
又平面平面，
设只需，则平面，
令，则，，
13．【详解】（1）设圆的半径为，圆与动圆内切于点
点在圆内部，点在圆内部．
，
点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，其方程为．
（2）（方法一）联立与椭圆方程，消得，
设，，则，，
的中垂线方程为：，即①
同理可得的中垂线方程为：②
由①②两式可得，
外接圆圆心的横坐标，
其中
，
又的中垂线方程为，即，
圆心的纵坐标为，
，圆心在双曲线上，
存在定点，，使得（定值）
（方法二）设外接圆方程为，
联立与圆的方程消得，
则，
，，解得，，
设圆心坐标为，则，，，
圆心在双曲线上，
存在定点，，使得（定值）．
14．【解析】（1）是等差数列，设，
令，，
则是等差数列，是等比数列，所以数列是“优分解”的．
（2）因为数列是“优分解”的，设，
其中，（，），
则，．
当时，；
当时，是首项为，公比为的等比数列．
（3）一方面，数列是“优分解”的，设，
其中，（，），
由（2）知
因为，，所以．
，，
是首项为2，公比为的等比数列．
又，，
又，，，，解得，
，
综上所述，．
另一方面，因为是“优分解”的，设，
其中，（，），
，．
是首项为2，公比为的等比数列，
，，且，
，
化简得，，，，，
，
即数列是首项，公比为的等比数列．