北师大版八年级数学下册 1.2直角三角形 自主学习解答题专题提升训练题 （含解析）

北师大版八年级数学下册《1.2直角三角形》
自主学习解答题专题提升训练题
1．如图是单位长度为1的正方形网格．

(1)在图1中画出一条长度为的线段；
(2)在图2中画出一个以格点为顶点，三边长都是无理数的直角三角形．
2．（1）在中，，，，求的长．
（2）在中，，，，判断是否是直角三角形．
3．如图，在中，，求边上的高．

4．如图，D为边上的一点，，，，，求的长．
5．如图，，，E是上的一点，且，．求证：．

6．如图，现有一块花坛，将其内部设置成观赏区，其他区域种植花卉，已知，每平方米的种植成本为20元，求种植花卉所需的费用．
7．如图，中，，，为延长线上一点，点在上，且．

(1)求证：；
(2)判断和的位置关系并证明．
8．如图，中，、分别是上的高，与交于点O，．

(1)求证：为等腰三角形．
(2)问点O在的平分线上吗？为什么？
9．如图，，，的延长线交于点F．

(1)求证：；
(2)求证：．
10．如图，在中，，，边上的中线，延长到点，使，连接．
(1)求证：；
(2)求的长．
11．如图，，交于点，，．
(1)求证：；
(2)若，则的度数为 °．
12．兰州的东湖广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场，成为不少市民放风筝的最佳场所．某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，他们进行了如下操作：
①测得的长为15米（注：）；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；
③牵线放风筝的小明身高1.7米．
求风筝的高度．
13．如图，在中，，于D．
(1)求证：；
(2)若平分分别交、于E、F，求证：．
14．在中，，D为内一点．连接，，延长到点E，使得．
(1)如图1，延长到点F．使得．连接，．求证：；
(2)连接，交的延长线于点H．依题意补全图2．若．判断与位置关系．并证明．
15．如图，在四边形中，，，，是上一点，且，过点作，垂足为．
(1)证明：．
(2)猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
16．在中，，，过点作直线，于点，于点．

(1)若在外（如图1），求证：；
(2)若与线段相交（如图2），且，，则　　．
17．如图，在中，，点是上一动点，连接，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角，交于点．
(1)如图1，若，当为等腰三角形时，请直接写出此时的度数；
(2)如图2，若，点为上一点，．
①求证：；
②求证：．
18．（1）阅读理解：如图①，在中，，，，垂足分别为，，且，与交于点．图中与全等的三角形是 ，与全等的三角形是 ；
（2）问题探究：如图②，在中，，，平分，，垂足为．探究线段，，之间的关系，并证明；
（3）问题解决：如图③，在中，，，平分，交的延长线于点．求证：．

19．我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
(1)[概念理解]
如图1，四边形的对角线与相交于点O，若，试证明四边形为垂美四边形，并求的长度；
(2)[性质探索]
如图2，垂美四边形的对角线与相交于点O，猜想与有何关系 并证明你的猜想．
(3)[解决问题]
如图3，是长方形的一条对角线，过点A作于E，延长交于点F，，若，求的长度．
20．【问题情景】某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．

（1）如图（a）所示，已知：在中，，直线经过点，，垂足分别为．则请证明．
（2）这时组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图（b）所示，现将（1）的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．则请证明．
【类比探究】数学老师赞扬了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：
（3）如图（c）所示，以的边向外作正方形和正方形是边上的高，延长交于点，求证：是的中点．
参考答案
1．解：（1）如图：根据勾股定理．

故即为所求；
（2）如图：根据勾股定理得：，，

，
故直角三角形即为所求．
2．解：（1）在中，，，，
由勾股定理得：，
∴的长为．
（2）在中，，，，
∵，，
∴，
∴是直角三角形．
3．解：，
，
是直角三角形，
，
即，
．
4．解：∵，，，且，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∵，，
∴ 16．
5．解：，
，
和都是直角三角形，
，
，
在和中，，
．
∴
∵，
∴
∴
∴
6．解：
，
，
，
是直角三角形，，
种植花卉区域的面积为，
种植花卉所需的费用为（元．
7．（1）解：在，中，
∵
∴
（2）解：根据题意，画图如下，

延长交于点，由（1）可知，，，
∴在中，，
∵在中，，
∴，
∵，
∴在中，，
∴是直角三角形，即，
∵点、、在同一条线段上，
∴，
故和的位置关系是垂直．
8．（1）证明：∵、为的高，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）证明：连接，

∵，
∴，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴点O在的平分线上．
9．（1）证明：∵，
∴和都是直角三角形，
在和中，
，
∴；
（2）证明：如图，过点D作交的延长线于点H，

∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
10．（1）证明：∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∵中，
∴是直角三角形，；
（2）解：在中，，
∴，
∵，
∴；
11．（1）解：证明：在和中，
，
，
；
（2），，
，
∵，
∴，
，
，
，
的度数是．
12．解：∵
∴∠BDC=90°，
在中，
，，
（米）．
∵AB⊥AE，DE⊥AF，BD⊥DE，
∴∠BAE=∠DEA=∠BDE=90°，
∴四边形ABDE为矩形，
∴ED=AB=1.7米，
（米），
答：风筝的高度为米．
13．（1）证明：，于D，
，，
；
（2）证明：在中，，
同理在中，．
又平分，
，
，
又，
．
14．解：（1）在和中，
∴，
∴
（2），理由如下：
延长至点M，使，延长交于G，连接，，
在和中，
∴，
∴，，
∴
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∵，
∴，
∴．
15．（1）证明：，
，
在和中，
，
，
；
（2），理由如下：
如图，连接，
，，
，
在和中，
，
，
．
16．（1）证明：，，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
（2）解：于，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
故答案为：1.5．
17．解：（1）为等腰直角三角形
为等腰三角形
（2）①
在和中
为公共角
②
取AB得中点M，连接CM
为等腰直角三角形
即
由（1）得，
18．（1）解：，
，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
故答案为：，；
（2），理由如下：
，，
，
，
，
，
平分，
，
又，，
，
，，
；
（3）如图，延长，交于点，

平分，
，
又，，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
．
19．（1）解：四边形是垂美四边形，理由如下：
∵，
∴，
∵即，
∴为直角三角形，
∴，
∴四边形是垂美四边形；
∴；
（2）猜想，证明如下：
∵四边形是垂美四边形，
∴，
∴，
由勾股定理得：，，
∴；
（3）如图所示，连接，则四边形是垂美四边形，

∵，长方形，，
∴，，
由（2）结论得：
即，
∴，
解得：，
∴．
20．解：（1）如图1，

∵直线l，直线l，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）．
如图，

证明如下：
∵，
∴，
∴，
在和中．
．
∴，
∴，
∴；
（3）证明：过E作于M，的延长线于N．

∴，
由（1）和（2）的结论可知，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴I是的中点．