鲁教版（五四制）数学七年级下册常考题型专练A组（含解析）

(一)
二元一次方程(组)的解的常见应用
类型一　已知二元一次方程(组)的解,求字母或式子的值
1，若方程kx+y=5的一个解是则k的值是(　　)
A.-3　　　　B.3　　　　C.-2　　　　D.2
2，已知的解,则(m+n)2 023的值为(　　)
A.22 023　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.0
类型二　已知二元一次方程组中的未知数满足某一关系,求字母的值
3，方程组中的x,y满足x比y的2倍少3,则a的值为(　　)
A.-11　　　　B.-22　　　　C.-31　　　　D.-41
4，已知方程组中,a,b互为相反数,则m的值是　　　　.
类型三　已知二元一次方程组与二元一次方程共解,求字母的值
5，若关于x,y的方程组的解满足x+y=2 023,则k的值为(　　)
A.2 020　　　　B.2 021　　　　C.2 022　　　　D.2 023
6，若关于x,y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y=4的解,则k的值为(　　)
A.-2　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.2
类型四　已知两个二元一次方程组共解,求字母的值
7，已知关于x,y的方程组有相同的解,则a,b的值分别为(　　)
A.1,2　　　　 B.-4,-6 C.-6,2　　　　D.14,2
8，已知关于x,y的方程组有相同的解,求a2-2ab+b2的值.
类型五　已知二元一次方程组的错解,求字母的值
9，甲、乙两位同学解方程组时,甲看错了方程组中的a,得到的解为乙看错了方程组中的b,得到的解为则原方程组的解为(　　)
A.
(二)
二元一次方程(组)的常见应用
类型一　数字问题
1，一个两位数,个位上的数字与十位上的数字之和为9,把这个两位数的十位数字和个位数字对调后所得新两位数比原两位数大27,这个两位数是　　　　.
类型二　行程问题
2.甲、乙两地相距100千米,一艘轮船往返两地,顺流航行用4小时,逆流航行用5小时,那么这艘轮船在静水中的速度是(　　)
A.2.5千米/时　　　　B.22.5千米/时
C.4.5千米/时　　　　D.20.5千米/时
3.甲、乙两名同学在300米环形跑道上练习赛跑.若两人同时同地反向跑,则经过25秒两人第一次相遇;若两人同时同地同向跑,则经过150秒甲第一次追上乙.甲、乙两人的速度各是多少
类型三　工程问题
4.一家商店要进行装修,若请甲、乙两个装修组同时施工,则8天可以完成,需付两组费用共3 520元;若先请甲组单独做6天,则再请乙组单独做12天可完成,需付两组费用共3 480元.
(1)甲、乙两组工作一天,商店应分别付多少元
(2)已知甲组单独做需12天完成,乙组单独做需24天完成,单独请哪组,商店所付费用最少
类型四　配套问题
5，某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中,美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒,准备把这些卡纸分成两部分,一部分做侧面,另一部分做底面.已知每张卡纸可以裁出2个侧面,或者裁出3个底面,如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒,那么这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为(　　)
A.6　　　　B.8　　　　C.12　　　　D.16
类型五　图表问题
6，如图,3个塑料凳子叠放在一起的高度为55 cm,5个塑料凳子叠放在一起的高度为65 cm,当有10个塑料凳子整齐地叠放在一起时,其高度是　　　　cm.
7，某商场计划采购潮玩盲盒和高品质精品盲盒,计划采购两种盲盒共500盒,这两种盲盒的进价、售价如下表:
类型 进价(元/盒) 售价(元/盒)
潮玩盲盒 20 25
高品质精品盲盒 68 88
若采购共用了14 800元,则两种盲盒各采购了多少盒
类型六　古代数学问题
8，《九章算术》 书中有一个问题:“今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等,交易其一,金轻十三两,问金、银各重几何 ”意思如下:甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金质量相同),乙袋中装有白银11枚(每枚白银质量相同),称重两袋相等,两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子质量忽略不计),问黄金、白银每枚各重多少两 设每枚黄金重x两,每枚白银重y两.根据题意得　(　　)
A. B.
C. D.
类型七　比赛积分问题
9，一张竞赛试卷有25道题,做对一道题得4分,做错一道题倒扣1分,小明做了全部试题得到70分,则他做对的题有(　　)
A.16道　　　　B.17道　　　　C.18道　　　　D.19道
10，篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分.某队在10场比赛中得到16分,这个队胜、负场数分别是多少
类型八　方案决策问题
11，某市中学生筹款为贫困地区捐赠了32吨消毒液,并将消毒液运往该地区.已知用3辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货17吨;用2辆A型车和3辆B型车装满货物一次可运货18吨.计划同时租用A型车a辆,B型车b辆,一次运完,且恰好每辆车都载满消毒液.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)1辆A型车和1辆B型车都载满消毒液一次可分别运送多少吨
(2)若1辆A型车的租金为200元/次,1辆B型车的租金为240元/次.请设计租车方案,并选出最省钱的租车方案及最少租金.
(三)
平行线的判定和性质的五种常见应用类型
类型一　已知垂直,找线平行
1，已知:如图,DG⊥BC于G,AC⊥BC,∠1=
∠2.求证:CD∥EF.
类型二　已知角的度数,找线平行
2.如图,CD∥AB,∠DCB=70°,∠CBF=20°,∠EFB=130°.解答下列问题:
(1)直线EF与AB有怎样的位置关系 说明理由.
(2)若∠CEF=60°,则∠ACB的度数是多少
类型三　作平行线,构造同位角相等
3，下面是课堂上老师呈现的一个问题:
已知:如图,AB∥CD,MN⊥CD于点O,MP交AB于点G,当∠1=50°时,求∠PMN的度数.
下面提供三种思路:
思路一:过点M作EF∥CD(如图甲);
思路二:过点G作GE∥MN,交CD于点E;
思路三:过点O作OF∥PM,交AB于点F.
解答下列问题:
(1)根据思路一(图甲),可求得∠PMN的度数为　　　　;
(2)根据思路二、思路三分别在图乙和图丙中作出符合要求的辅助线;
(3)请你从思路二、思路三中任选其中一种,写出求∠PMN度数的解答过程.
　　
类型四　作平行线,构造内错角相等
4，如图,∠1+∠2=∠AEC.求证:AB∥CD.
类型五　作平行线,构造同旁内角互补
5，小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的曲臂直杆道闸(如图1),并抽象出如图2所示的模型,已知AB垂直于水平地面AE.当车牌被自动识别后,曲臂直杆道闸的BC段绕点B缓慢向上旋转,CD段则一直保持水平状态上升(即CD与AE始终平行),在该过程中∠ABC+∠BCD始终等于(　　)
　
A.180°　　　　B.250°　　　　C.270°　　　　D.360°
6，如图,∠B+∠BCD+∠D=360°,求证:∠1=∠2.
(四)
三角形内角和的常见应用类型
类型一　三角形内角和定理在求角度中的应用
1，如图,在△ABC中,∠A=40°,∠B=56°,CE平分
∠ACB,CD⊥AB于点D,DF⊥CE于点F,求∠CDF的度数.
类型二　三角形内角和定理在折叠中的应用
2，如图,在三角形纸片ABC中,AB=AC,∠B=20°,点D是边BC上的动点,将三角形纸片沿AD折叠,使点B落在点B'处,当B'D⊥BC时,∠BAD的度数为　　　　.
类型三　三角形内角和定理在类比思想中的应用
3，如图,由线段AB,AM,CM,CD组成的图形像,称为“形BAMCD”.
（1）如图1,形BAMCD中,若AB∥CD,∠AMC=60°,则∠A+∠C
=　　　　°;
（2）如图2,连接形BAMCD中B,D两点,若∠ABD+∠BDC=160°,
∠AMC=α,试猜想∠BAM与∠MCD之间的数量关系,并说明理由.
　
类型四　三角形内角和定理在转化思想中的应用
4，如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=(　　)
A.180°　　　　B.260°　　　　C.270°　　　　D.360°
类型五　三角形内、外角的关系在探究角的关系中的应用
5，如图①②③,若∠A=42°,∠1=∠2,∠3=∠4,则∠O1+∠O2+∠O3=(　　)
A.84°　　　　B.111°　　　　C.225°　　　　D.201°
类型六　方程思想在三角形内、外角的关系中的应用
6，如图,AD平分∠BAC,∠EAD=∠EDA.
(1)∠EAC与∠B相等吗 为什么
(2)若∠B=50°,∠CAD∶∠E=1∶3,求∠E的度数.
类型七　整体思想在三角形内、外角的关系中的应用
7，综合与探究:【情境引入】
(1)如图1,BD,CD分别是△ABC的内角∠ABC,∠ACB的平分线,说明∠D=90°+∠A.
　　
【深入探究】(2)①如图2,BD,CD分别是△ABC的两个外角∠EBC,∠FCB的平分线,∠D与∠A之间的等量关系是　　　　;
②如图3,BD,CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角
∠ACE的平分线,BD,CD交于点D,探究∠D与∠A之间的等量关系,并说明理由.
答案
(一)
1.D　将代入原方程得2k+1=5,解得k=2,
∴k的值是2.故选D.
2.C　∵的解,
∴把
∴(m+n)2 023=(1+0)2 023=1.故选C.
3.C　∵x比y的2倍少3,∴x=2y-3,代入方程组得由5y=a+11得y=,由7y=a+3得y=,∴7a+77=5a+15,解得a=-31,故选C.
4.答案　8
解析　∵a,b互为相反数,∴a=-b③,把③代入①得,
-b-2b=6,解得b=-2,∴a=2,把a=2,b=-2代入②得,3×2-(-2)=m,∴m=8.
5.C　①+②得6x+6y=6k+6,∴x+y=k+1,∵x+y=2 023,∴k+1=2 023,∴k=2 022.故选C.
6.C　①-②得2x+3y=4k,∵关于x,y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y=4的解,∴2x+3y=4k=4,∴k=1,故选C.
7.D　联立5x+y=3与x-2y=5得方程组故选D.
方法解读　两个方程组中有四个二元一次方程,如果两个方程组的解相同,那么这个解同时满足四个二元一次方程,将两个不含参数的二元一次方程联立,可得到新的方程组,解之可得两个方程组的相同的解,再联立两个含参数的二元一次方程,将相同的解代入可求得参数的值.
8.解析　解方程组
把
解得则a2-2ab+b2=22-2×2×1+12=1.
9.B　将代入x+by=7得1+6b=7,解得b=1,
将代入ax+y=10得-a+12=10,解得a=2.
∴原方程组为故选B.
(二)
1.答案　36
解析　设这个两位数的十位数字为x,个位数字为y,
依题意得
∴10x+y=10×3+6=36,故答案为36.
2.B　设轮船在静水中的速度为x千米/时,水流速度为y千米/时,由题意得
故这艘轮船在静水中的速度是22.5千米/时,故选B.
3.解析　设甲的速度是x米/秒,乙的速度是y米/秒,根据题意得
答:甲、乙两人的速度分别是7米/秒、5米/秒.
4.解析　(1)设甲组工作一天商店付x元,乙组工作一天商店付y元.
由题意得
答:甲、乙两组工作一天,商店应分别付300元和140元.
(2)单独请甲组需要的费用:300×12=3 600(元);
单独请乙组需要的费用:140×24=3 360(元).
∵3 360<3 600,∴单独请乙组需要的费用少.
5.C　设用x张卡纸做侧面,用y张卡纸做底面,由题意得∴用6张卡纸做侧面,用8张卡纸做底面,则做出侧面的数量为12个,做出底面的数量为24个,这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12.故选C.
6.答案　90
解析　设1个塑料凳子的高度为x cm,每叠放1个塑料凳子高度增加y cm,
依题意得
∴x+9y=45+9×5=90,
∴10个塑料凳子整齐地叠放在一起的高度为90 cm.
7.解析　设商场采购潮玩盲盒x盒,高品质精品盲盒y盒,由题意得
答:商场采购潮玩盲盒400盒,高品质精品盲盒100盒.
C　∵甲袋中装有黄金9枚,乙袋中装有白银11枚,称重两袋相等,
∴9x=11y.∵两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两,∴(10y+x)-(8x+y)=13.∴可列方程组为故选C.
9.D　设小明做对的题有x道,做错的题有y道,
根据题意得
∴他做对的题有19道,故选D.
10.解析　设这个队在篮球联赛中,胜x场、负y场,
根据题意,得
答:这个队在篮球联赛中,胜6场、负4场.
11.解析　(1)设1辆A型车载满消毒液一次可运送x吨,1辆B型车载满消毒液一次可运送y吨,
根据题意得
答:1辆A型车载满消毒液一次可运送3吨,1辆B型车载满消毒液一次可运送4吨.
(2)根据题意得3a+4b=32,∴b=8-a.
又∵a,b均为非负整数,
∴
∴共有3种租车方案,
方案1:租用A型车0辆,B型车8辆;
方案2:租用A型车4辆,B型车5辆;
方案3:租用A型车8辆,B型车2辆.
方案1所需租金为240×8=1 920(元);
方案2所需租金为200×4+240×5=2 000(元);
方案3所需租金为200×8+240×2=2 080(元).
∵1 920<2 000<2 080,
∴方案1最省钱,即租用A型车0辆,B型车8辆,最少租金为1 920元.
(三)
1.证明　∵DG⊥BC,AC⊥BC,∴DG∥AC,
∴∠2=∠DCA.
∵∠1=∠2,∴∠1=∠DCA,∴CD∥EF.
2.解析　(1)EF和AB的位置关系为平行.
理由如下:∵CD∥AB,∠DCB=70°,
∴∠DCB=∠ABC=70°,
∵∠CBF=20°,∴∠ABF=∠ABC-∠CBF=50°.
∵∠EFB=130°,∴∠ABF+∠EFB=50°+130°=180°,
∴EF∥AB.
(2)∵EF∥AB,CD∥AB,
∴EF∥CD,∴∠CEF+∠ECD=180°,
∵∠CEF=60°,∴∠ECD=120°,
∵∠DCB=70°,
∴∠ACB=∠ECD-∠DCB=50°.
3.解析　(1)∵MN⊥CD,∴∠4=90°,∵AB∥CD,EF∥CD,∴EF∥AB∥CD,∴∠2=∠1=50°,∠3=∠4=90°,∴∠PMN=∠2+∠3=140°.
故答案为140°.
(2)如图乙和图丙所示.
　
(3)∵MN⊥CD,∴∠MOD=90°.
选思路二:如图乙,过点G作GE∥MN,交CD于点E,
∴∠GEO=∠MOD=90°,∠EGM+∠PMN=180°,
∵AB∥CD,∴∠AGE=∠GEO=90°,
∴∠EGM=180°-∠1-∠AGE=40°,
∴∠PMN=140°.
选思路三:如图丙,过点O作OF∥PM,交AB于点F,
∴∠PMN+∠FOM=180°,∠GFO=∠1=50°,
∵AB∥CD,∴∠FOC=∠GFO=50°,
∵∠MOD=90°,∴∠COM=90°,
∴∠FOM=90°-50°=40°,∴∠PMN=140°.
4.证明　如图,过点E作EF∥AB,
∴∠1=∠AEF,
∵∠1+∠2=∠AEC,∠AEF+∠CEF=∠AEC,
∴∠1+∠2=∠AEF+∠CEF,
∴∠2=∠CEF,∴EF∥CD,
∵EF∥AB,∴AB∥CD.
模型解读　平行线拐点模型——“猪蹄”模型
如图,点P在直线AB、CD之间,且在点B、D左侧.
结论1:若AB∥CD,则∠B+∠D=∠P;
结论2:若∠B+∠D=∠P,则AB∥CD.
5.C　如图,过点B作BG∥AE,
∵AB⊥AE,
∴AB⊥BG,
∴∠ABG=90°,
∴∠ABC=∠ABG+∠CBG=90°+∠CBG,
∵CD∥AE,BG∥AE,∴CD∥BG,
∴∠BCD+∠GBC=180°,
∴∠ABC+∠BCD=90°+∠CBG+∠BCD=90°+180°=270°.故选C.
6.证明　如图,过点C作CP∥AB.
∴∠B+∠5=180°,
∵∠B+∠BCD+∠D=360°,
∴∠6+∠D=180°,
∴CP∥ED,
又∵CP∥AB,∴AB∥ED,
∴∠3=∠4,∴∠1=∠2.
模型解读　平行线拐点模型——“铅笔”模型
如图,点P在直线AB、CD之间,且在点B、D右侧.
结论1:若AB∥CD,则∠B+∠D+∠P=360°;
结论2:若∠B+∠D+∠P=360°,则AB∥CD.
(四)
1.解析　在△ABC中,∠A=40°,∠B=56°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-40°-56°=84°,
∵CE平分∠ACB,∴∠BCE=∠ACB=×84°=42°.
∵CD⊥AB,∴∠BDC=90°,
∴∠BCD=90°-∠B=90°-56°=34°,
∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=42°-34°=8°.
∵DF⊥CE,∴∠CFD=90°,
∴∠CDF=90°-∠DCF=90°-8°=82°.
2.答案　25°或115°
解析　由折叠的性质得∠ADB'=∠ADB.
∵B'D⊥BC,∴∠BDB'=90°.
①当B'在BC下方时,如图,∵∠ADB+∠ADB'+∠BDB'=360°,
∴∠ADB=×(360°-90°)=135°,∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB
=25°;
②当B'在BC上方时,如图,∵∠ADB+∠ADB'=90°,
∴∠ADB=×90°=45°,
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=115°.
综上,∠BAD的度数为25°或115°.
故答案为25°或115°.
3.解析　(1)如图,延长AM交CD于E,
∵AB∥CD,∴∠A=∠AEC,
∴∠A+∠C=∠C+∠MEC=∠AMC=60°.
故答案为60.
(2)∠BAM+∠MCD=α+20°.
理由:如图,过A点作AP∥CD交BD于点P,
∴∠APB=∠D,
∵∠BAP+∠APB+∠B=180°,∠B+∠D=160°,
∴∠BAP=180°-160°=20°,
由(1)可得∠AMC=∠PAM+∠MCD,
∵∠AMC=α,∴∠PAM+∠MCD=α,
∴∠BAM+∠MCD=α+20°.
4.A　如图,
∵∠1=∠B+∠2,∠2=∠D+∠E,∠A+∠1+∠C=180°,
∴∠A+∠B+∠D+∠E+∠C=180°,故选A.
5.D　∵∠A=42°,∠1=∠2,∠3=∠4,
∴题图①中,∠2+∠4=(∠1+∠2+∠3+∠4)=×(180°-42°)=69°,故∠O1=180°-69°=111°;
题图②中,∠O2=∠4-∠2=×[(∠3+∠4)-(∠1+∠2)]=∠A=21°;
题图③中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-42°=138°,则∠1+∠2
+∠3+∠4=180°+180°-138°=222°,故∠O3=180°-(∠2+∠3)
=180°-×222°=69°.∴∠O1+∠O2+∠O3=111°+21°+69°=201°,故选D.
解析　(1)相等.理由如下:∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.
又∠EAD=∠EDA,∴∠EAC=∠EAD-∠CAD=∠EDA-∠BAD=∠B.
(2)设∠CAD=x°,则∠E=3x°,由(1)知∠EAC=∠B=50°,∴∠EAD=∠EDA=(x+50)°.在△EAD中,∵∠E+∠EAD+∠EDA=180°,
∴3x+2(x+50)=180,解得x=16.∴∠E=48°.
解析　(1)证明:∵BD,CD分别是△ABC的内角∠ABC,∠ACB的平分线,∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB,∵∠1+∠2+∠D=180°,∠A+
∠ABC+∠ACB=180°,∴∠D=180°-∠1-∠2=180°-(∠ABC+
∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A.
(2)①∵BD,CD分别是△ABC的两个外角∠EBC,∠FCB的平分线,
∴∠DBC=∠EBC=(∠A+∠ACB),∠DCB=∠FCB=(∠A+∠ABC),∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180°-(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)=180°-(180°+∠A)=90°-∠A.故答案为∠D=90°-∠A.
②∠D=∠A.理由如下:∵BD,CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线,∴∠DBC=∠ABC,∠DCE=∠ACE,
∵∠ACE=∠A+∠ABC,∠DCE=∠D+∠DBC,∴∠D+∠ABC=(∠A+∠ABC),∴∠D=∠A.