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专题03 一元二次方程的应用
知识点一 平均增长率(降低率)问题
如果基数用a表示，末数用b表示，增长率(下降率)用x表示，时间间隔用n表示，那么可用等量关系表示为a(1±x)n＝b．
【典例1】39．（2023秋 华亭市校级期末）随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省2018年公共充电桩的数量为2万个，2020年公共充电桩的数量为2.88万个．
（1）求2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率；
（2）按照这样的增长速度，预计2021年该省将新增多少万个公共充电桩？
【变式训练】
1．（2023秋 泉州期末）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242
C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝242
2．（2023秋 新都区期末）目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校2021年给贫困学生每人400元补贴，2023年给贫困学生每人560元补贴，设每年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A．400（1+x）2＝560 B．400+400（1+x）2＝560
C．400（1+2x）＝560 D．400+400（1+x）+400（1+x）2＝560
3．（2024 江都区二模）某公司今年一月盈利30万元，三月盈利36.3万元，从一月到三月，每月盈利的增长率都相同，设月平均增长率为x，根据题意可列方程为 ．
4．（2024 莱芜区校级模拟）某工厂为了提高产品的销售量，决定降价销售，计划用两个月的时间价格下降到原来的64%，则这两个月价格平均每个月降低的百分率为 ．
5．（2024 东营区二模）某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，政府送技术下乡，加强对蛋鸡养殖的科学指导，蛋鸡的产蛋率不断提高．三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万kg与3.6万kg，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．
（1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；
（2）六月份按此增长率继续增长，为完成销售任务，需要增加销售门店．经调查，每个销售门店每月平均销售量最多为0.32万kg．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售门店的基础上至少再增加多少个销售门店？
6．（2023秋 靖江市期末）我国通过药品集中采购，大大减轻了群众的医药负担．如果某种药品经过两次降价，药价从每盒140元下调至35元，求平均每次降价的百分率是多少？
知识点二 利润问题
利润＝售价－成本，利润率＝×100%，
销售价＝(1＋利润率)×进货价．
【典例1】（2023秋 铜梁区期末）杭州亚运会期间，某旗舰店以相同的价格购进了两批亚运会吉祥物毛线玩具玩偶套装，第一批100套，售价108元；第二批150套，售价98元，两批全部售出，该旗舰店共获利10500元．
（1）求玩偶套装的进价是多少元？
（2）该店以相同的价格购进第三批玩偶套装200套，当每套售价为90元时，第一天卖出80套．随着亚运会接近尾声，该玩偶开始滞销，店家决定降价促销，通过调查发现每件下降5元，在第一天的销量基础上增加10套．第二天按某一固定价格出售，销售结束时，这批玩偶已卖出的部分获利4400元．求第二天销售结束后还剩余多少套玩偶套装？
【变式训练】
1．（2023秋 南安市期末）毛主席在《水调歌头 重上井冈山》上写道“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”，为我们描绘了科技发展的美好蓝图．如今，我国的航天航海事业飞速发展，取得了举世瞩目的成就2023年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功．某商家抓住这一商机，购进了某种航天模型玩具，每件进价30元．经市场预测，销售定价为50元时，每周可卖出300件；每降低一元，每周可多卖出20件．如果商家想在一周时间获利6080元，设每件玩具降价x元，则可列方程为（ ）
A．（50﹣x）（300+20x）＝6080 B．（50﹣x﹣30）（300﹣20x）＝6080
C．（50﹣x）（300﹣20x）＝6080 D．（50﹣x﹣30）（300+20x）＝6080
2．（2023秋 洛阳期末）水果店花1000元进了一批水果，按50%利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，于是又一次打折后才售完，经结算，这批水果共盈利400元若两次打折的折扣相同，设每次打x折，（打x折，即按原价的十分之x出售．）根据题意列方程为（ ）
A．1000×（1+50%）×＝1000+400 B．1000×（1+50%）×（1+x）2＝1000+400
C．＝1000+400 D．1000×（1+50%）×＝1000+400
3．（2023秋 望奎县期末）某宾馆有50个房间供游客居住，当每间房每天的价格为120元时，房间会全部住满，当价格每增加10元时，就会有一个房间空闲，已知宾馆每天需对当天居住的每个房间支出30元的相关费用，设当天房价定为x（x≥120）元/间，若宾馆每天利润为5000元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023秋 吉安县期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？
5．（2023秋 于都县期末）某商品成本价为16元/瓶，当定价为20元/瓶时，每天可售出60瓶．市场调查反映：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．设销售单价上涨x元，每天的利润为y元．
（1）每天的销售量为 瓶，每瓶的利润为 元（用含x的代数式表示）．
（2）若日销售利润销达到300元，求x的值．
（3）每天的销售利润能否达到400元？若能，求出x的值；若不能，说明理由．
6．（2023秋 连云港期末）元旦节期间，两位同学一同去商场调查某种服装的销售情况，下面是两位同学的对话：
求这种服装每件售价是多少元？
7．（2023秋 昌图县期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
知识点三 面积问题
【典例1】（2024 民勤县三模）如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为多少米？
【变式训练】
1．（2024春 义乌市校级月考）某农场拟建一间长方形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留2m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m．设饲养室长为x（m），占地面积为240m2，则根据题意可列方程为（ ）
A．﹣x2+50x＝40 B．﹣0.5x2+24x＝240 C．﹣0.5x2+25x＝240 D．﹣0.5x2+26x＝240
2．（2023秋 邻水县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始沿AB，BC运动（运动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，当点Q移动到点C时，两点同时停止运动．设运动的时间为t s，当△PBQ的面积为12cm2时，则可列方程为（ ）
A．t（8﹣t）＝12 B．2t（8﹣t）＝12 C．t（8﹣2t）＝12 D．t（8﹣t）＝12
3．（2023秋 永修县期末）我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则所列方程为 ．
4．（2022春 湖里区期末）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x（x+5）＝24的方程的正数解，其步骤为：
第一步：如图，将四个长为x+5，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形．
第二步：∵大正方形的面积＝24×4+25＝121，
∴大正方形的边长＝11．
第三步：列出方程x+（x+5）＝11，解得x＝3．
∴方程x（x+5）＝24的正数解为x＝3．
小明按此方法解关于x的方程x2+mx＝n时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为16，小正方形的面积为4，则方程的正数解为 ．
5．（2023秋 电白区期末）如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为 米．
6．（2024 凉州区三模）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米．
（1）矩形ABCD的面积为72m2，求出AB的长．
（2）矩形ABCD的面积能否为80m2，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由．
7．（2024春 莱西市月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动，设运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PBQ的面积是△ABC面积的？
（2）当t为何值时，PQ的长为？
知识网络
精讲精练
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专题03 一元二次方程的应用
知识点一 平均增长率(降低率)问题
如果基数用a表示，末数用b表示，增长率(下降率)用x表示，时间间隔用n表示，那么可用等量关系表示为a(1±x)n＝b．
【典例1】39．（2023秋 华亭市校级期末）随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省2018年公共充电桩的数量为2万个，2020年公共充电桩的数量为2.88万个．
（1）求2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率；
（2）按照这样的增长速度，预计2021年该省将新增多少万个公共充电桩？
【点拨】（1）设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x，利用该省2020年公共充电桩的数量＝该省2018年公共充电桩的数量×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用该省2021年新增公共充电桩的数量＝该省2020年公共充电桩的数量×年平均增长率，即可求出结论．
【解析】解：（1）设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x，
依题意得：2（1+x）2＝2.88，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为20%．
（2）2.88×20%＝0.576（万个）．
答：预计2021年该省将新增0.576万个公共充电桩．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋 泉州期末）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242
C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝242
【点拨】设该快递店揽件日平均增长率为x，关系式为：第三天揽件数＝第一天揽件数×（1+揽件日平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【解析】解：根据题意，可列方程：200（1+x）2＝242，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
2．（2023秋 新都区期末）目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校2021年给贫困学生每人400元补贴，2023年给贫困学生每人560元补贴，设每年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A．400（1+x）2＝560 B．400+400（1+x）2＝560
C．400（1+2x）＝560 D．400+400（1+x）+400（1+x）2＝560
【点拨】设每年发放的资助金额的平均增长率为x，根据2021年及2023年发放给每个经济困难学生的金额，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】解：由题意，得：400（1+x）2＝560．
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题，是中考常考题．
3．（2024 江都区二模）某公司今年一月盈利30万元，三月盈利36.3万元，从一月到三月，每月盈利的增长率都相同，设月平均增长率为x，根据题意可列方程为 30（1+x）2＝36.3 ．
【点拨】设月平均增长率为x，根据等量关系：一月份盈利额×（1+增长率）2＝三月份的盈利额列出方程即可．
【解析】解：设每月盈利的平均增长率为x，
根据题意，得30（1+x）2＝36.3．
故答案为：30（1+x）2＝36.3．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x）2＝后来的量，其中增长用“+”，减少用“﹣”，难度一般．
4．（2024 莱芜区校级模拟）某工厂为了提高产品的销售量，决定降价销售，计划用两个月的时间价格下降到原来的64%，则这两个月价格平均每个月降低的百分率为 20% ．
【点拨】设初始价格为a，平均每个月降低的百分率为x，经过了两次变化，价格变为 a（1﹣x）（1﹣x），最终价格为初始价格的64%，从而可列方程求解．
【解析】解：设初始价格为a，平均每个月降低的百分率为x，
则根据题意可得，a（1﹣x）（1﹣x）＝a×64%，
即（1﹣x）2＝0.64，
解得 x1＝0.2，x2＝1.8，
∵x为下降率，故0＜x＜1，
∴x＝0.2，即20%．
故答案为：20%．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键．
5．（2024 东营区二模）某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，政府送技术下乡，加强对蛋鸡养殖的科学指导，蛋鸡的产蛋率不断提高．三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万kg与3.6万kg，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．
（1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；
（2）六月份按此增长率继续增长，为完成销售任务，需要增加销售门店．经调查，每个销售门店每月平均销售量最多为0.32万kg．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售门店的基础上至少再增加多少个销售门店？
【点拨】（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，根据题意列方程即可得到结论；
（2）根据题意列式计算结论．
【解析】解：（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，
根据题意得，2.5（1+x）2＝3.6，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意舍去），
答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%；
（2）3.6×（1+20%）＝4.32万（kg），
4.32÷0.32＝13.5（个），即六月份应至少14个，
3.6÷0.32＝11.25（个），即五月份销售点应为12个
则需增加14﹣12＝2（个），
故至少再增加2个销售点．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．
6．（2023秋 靖江市期末）我国通过药品集中采购，大大减轻了群众的医药负担．如果某种药品经过两次降价，药价从每盒140元下调至35元，求平均每次降价的百分率是多少？
【点拨】设平均每次降价的百分率是x，根据药价从每盒140元下调至35元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解析】解：设平均每次降价的百分率是x，
由题意得：140（1﹣x）2＝35，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝1.5（不合题意，舍去），
答：平均每次降价的百分率是50%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
知识点二 利润问题
利润＝售价－成本，利润率＝×100%，
销售价＝(1＋利润率)×进货价．
【典例1】（2023秋 铜梁区期末）杭州亚运会期间，某旗舰店以相同的价格购进了两批亚运会吉祥物毛线玩具玩偶套装，第一批100套，售价108元；第二批150套，售价98元，两批全部售出，该旗舰店共获利10500元．
（1）求玩偶套装的进价是多少元？
（2）该店以相同的价格购进第三批玩偶套装200套，当每套售价为90元时，第一天卖出80套．随着亚运会接近尾声，该玩偶开始滞销，店家决定降价促销，通过调查发现每件下降5元，在第一天的销量基础上增加10套．第二天按某一固定价格出售，销售结束时，这批玩偶已卖出的部分获利4400元．求第二天销售结束后还剩余多少套玩偶套装？
【点拨】（1）设玩偶套装的进价是x元，利用总利润＝每套的销售利润×销售数量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设应降价y元，则第二天的销量为（80+2y）套，售价为（90﹣y）元，根据销售结束时，这批玩偶已卖出的部分获利4400元，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y值，再结合要在第四天内全部卖出，即可确定结论．
【解析】（1）设玩偶套装的进价是x元，
根据题意有：100（108﹣x）+150（98﹣x）＝10500，
解得：x＝60，
即玩偶套装的进价是60元；
（2）设第二天降价y元，则第二天的销量为（80+2y）套，售价为（90﹣y）元，
根据题意有：（90﹣60）×80+（90﹣60﹣y）（80+2y）＝4400，
解得：y＝10 或 y＝﹣20不符合题意舍去，
则第二天销量为80+20＝100（套），
∴第二天销售后，剩余的数量为：200﹣80﹣100＝20 （套），
答：第二天销售结束后还剩余20套玩偶套装．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
【变式训练】
1．（2023秋 南安市期末）毛主席在《水调歌头 重上井冈山》上写道“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”，为我们描绘了科技发展的美好蓝图．如今，我国的航天航海事业飞速发展，取得了举世瞩目的成就2023年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功．某商家抓住这一商机，购进了某种航天模型玩具，每件进价30元．经市场预测，销售定价为50元时，每周可卖出300件；每降低一元，每周可多卖出20件．如果商家想在一周时间获利6080元，设每件玩具降价x元，则可列方程为（ ）
A．（50﹣x）（300+20x）＝6080 B．（50﹣x﹣30）（300﹣20x）＝6080
C．（50﹣x）（300﹣20x）＝6080 D．（50﹣x﹣30）（300+20x）＝6080
【点拨】设每件降价x元，则定价为（50﹣x）元，根据在一周时间获利6080元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解析】解：设每件降价x元，则定价为（50﹣x）元，
由题意得：（50﹣x﹣30）（300+20x）＝6080，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2023秋 洛阳期末）水果店花1000元进了一批水果，按50%利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍无人购买，于是又一次打折后才售完，经结算，这批水果共盈利400元若两次打折的折扣相同，设每次打x折，（打x折，即按原价的十分之x出售．）根据题意列方程为（ ）
A．1000×（1+50%）×＝1000+400 B．1000×（1+50%）×（1+x）2＝1000+400
C．＝1000+400 D．1000×（1+50%）×＝1000+400
【点拨】利用售价＝原价×折扣率2，结合销售收入＝销售单价×销售数量（销售数量不变），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】解：根据题意得：1000×（1+50%）×（）2＝1000+400．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2023秋 望奎县期末）某宾馆有50个房间供游客居住，当每间房每天的价格为120元时，房间会全部住满，当价格每增加10元时，就会有一个房间空闲，已知宾馆每天需对当天居住的每个房间支出30元的相关费用，设当天房价定为x（x≥120）元/间，若宾馆每天利润为5000元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【点拨】设房价定为x元，根据利润＝房价的净利润×入住的房间数可得方程．
【解析】解：设房价定为x元，
根据题意，得，
故选：C．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象列出于一元二次方程，能够根据题意列出方程是解题的关键．
4．（2023秋 吉安县期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？
【点拨】设每件衬衫降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，每天可以售出（10+x）件，根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【解析】解：设每件衬衫降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，每天可以售出（10+x）件，
依题意，得：（40﹣x）（10+x）＝600，
整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
∵为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，
∴x的值应为20．
答：若商场平均每天要盈利600元，每件衬衫应降价20元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．（2023秋 于都县期末）某商品成本价为16元/瓶，当定价为20元/瓶时，每天可售出60瓶．市场调查反映：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．设销售单价上涨x元，每天的利润为y元．
（1）每天的销售量为 （60﹣5x） 瓶，每瓶的利润为 （x+4） 元（用含x的代数式表示）．
（2）若日销售利润销达到300元，求x的值．
（3）每天的销售利润能否达到400元？若能，求出x的值；若不能，说明理由．
【点拨】（1）由题意即可得出结论；
（2）由日销售利润销达到300元，列出一元二次方程，解方程即可；
（3）由日销售利润销达到400元，列出一元二次方程，即可解决问题．
【解析】解：（1）每天的销售量为（60﹣5x）瓶，每瓶的利润为：20+x﹣16＝（x+4）（元），
故答案为：（60﹣5x），（x+4）；
（2）根据题意，得：（x+4）（60﹣5x）＝300，
解得：x1＝2，x2＝6，
答：x的值为2或6；
（3）每天的销售利润销不能达到400元，理由如下：
根据题意，得：（x+4）（60﹣5x）＝400，
整理得：x2﹣8x+32＝0，
∵Δ＝（﹣8）2﹣4×1×32＜0，
∴此方程没有实数解，
∴每天的销售利润销不能达到400元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（2023秋 连云港期末）元旦节期间，两位同学一同去商场调查某种服装的销售情况，下面是两位同学的对话：
求这种服装每件售价是多少元？
【点拨】设这种服装每件售价是x元，则销售量为（800﹣×100）件，根据获利12000元，列出一元二次方程，解方程即可．
【解析】解：设这种服装每件售价是x元，则销售量为（800﹣×100）件，
由题意得：（x﹣50）（800﹣×100）＝12000，
整理得：x2﹣150x+5600＝0，
解得：x1＝70，x2＝80，
答：这种服装每件售价是70元或80元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（2023秋 昌图县期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【点拨】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据月销售利润＝每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．
【解析】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：150（1+x）2＝216，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，
整理，得：y2﹣130y+4000＝0，
解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
知识点三 面积问题
【典例1】（2024 民勤县三模）如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为多少米？
【点拨】假设出修建的路宽应x米，利用图形的平移法，将两条道路平移的耕地两边，即可列出方程，进一步求出x的值即可．
【解析】解：设修建的路宽应x米，可列出方程：
（20﹣x）（30﹣x）＝551，
整理得：x 2﹣50x+49＝0，
解得：x 1＝1米，x 2＝49米（不合题意舍去），
答：修建的道路宽为1米．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，对于修路问题最简单的方法是平移道路进而列出等式方程从而解决问题．
【变式训练】
1．（2024春 义乌市校级月考）某农场拟建一间长方形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留2m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m．设饲养室长为x（m），占地面积为240m2，则根据题意可列方程为（ ）
A．﹣x2+50x＝40 B．﹣0.5x2+24x＝240 C．﹣0.5x2+25x＝240 D．﹣0.5x2+26x＝240
【点拨】根据题意表示出矩形的宽，再利用矩形面积求法得出答案．
【解析】解：设饲养室长为x（m），
由题意可得：，
即﹣0.5x2+26x＝240，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了从实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出矩形的宽是解题关键．
2．（2023秋 邻水县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始沿AB，BC运动（运动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，当点Q移动到点C时，两点同时停止运动．设运动的时间为t s，当△PBQ的面积为12cm2时，则可列方程为（ ）
A．t（8﹣t）＝12 B．2t（8﹣t）＝12 C．t（8﹣2t）＝12 D．t（8﹣t）＝12
【点拨】当运动的时间为t s时，PB＝（8﹣t）cm，BQ＝2t cm，根据△PBQ的面积为12cm2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】解：当运动的时间为t s时，PB＝（8﹣t）cm，BQ＝2t cm，
根据题意得：×2t（8﹣t）＝12，
即t（8﹣t）＝12．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2023秋 永修县期末）我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则所列方程为 x（x+12）＝864 ．
【点拨】利用长乘以宽＝864，进而得出答案．
【解析】解：设阔（宽）为x步，则所列方程为：x（x+12）＝864．
故答案为：x（x+12）＝864．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出矩形的长是解题关键．
4．（2022春 湖里区期末）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x（x+5）＝24的方程的正数解，其步骤为：
第一步：如图，将四个长为x+5，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形．
第二步：∵大正方形的面积＝24×4+25＝121，
∴大正方形的边长＝11．
第三步：列出方程x+（x+5）＝11，解得x＝3．
∴方程x（x+5）＝24的正数解为x＝3．
小明按此方法解关于x的方程x2+mx＝n时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为16，小正方形的面积为4，则方程的正数解为 1 ．
【点拨】把方程变形得到x（x+m）＝n，设图中长方形的长为（x+m），宽为x，则图中小正方形的边长为x+m﹣x ＝m＝2，大正方形的边长为x+m+x ＝2x+m＝4，解得x＝1即可．
【解析】解：∵x2+mx﹣n＝0，
∴x（x+m）＝n，
∴图中长方形的长为（x+m），宽为x，
∴图中小正方形的边长为x+m﹣x ＝m＝2，
大正方形的边长为x+m+x ＝2x+m＝4，
∴x＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5．（2023秋 电白区期末）如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为 1 米．
【点拨】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可．
【解析】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）＝532，
整理，得x2﹣35x+34＝0．
解得，x1＝1，x2＝34．
∵34＞30（不合题意，舍去），
∴x＝1．
答：小道进出口的宽度应为1米．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据种植花草的面积为532m2找到正确的等量关系并列出方程．
6．（2024 凉州区三模）为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形ABCD的一边CD长为x米．
（1）矩形ABCD的面积为72m2，求出AB的长．
（2）矩形ABCD的面积能否为80m2，若能，请求出AB的长；若不能，请说明理由．
【点拨】（1）设AB＝x m，则BC＝（28+2﹣3x）m，根据矩形ABCD的面积为72m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）矩形ABCD的面积不能为80m2，假设矩形ABCD的面积能为80m2，设AB＝y m，则BC＝（28+2﹣3y）m，根据矩形ABCD的面积为80m2，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣60＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即矩形ABCD的面积不能为80m2．
【解析】解：（1）设AB＝x m，则BC＝（28+2﹣3x）m，
根据题意得：x（28+2﹣3x）＝72，
整理得：x2﹣10x+24＝0，
解得：x1＝4，x2＝6，
当x＝4时，28+2﹣3x＝28+2﹣3×4＝18＞15，不符合题意，舍去；
当x＝6时，28+2﹣3x＝28+2﹣3×6＝12＜15，符合题意．
答：AB的长为6m；
（2）矩形ABCD的面积不能为80m2，理由如下：
假设矩形ABCD的面积能为80m2，设AB＝y m，则BC＝（28+2﹣3y）m，
根据题意得：y（28+2﹣3y）＝80，
整理得：3y2﹣30y+80＝0，
∵Δ＝（﹣30）2﹣4×3×80＝﹣60＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即矩形ABCD的面积不能为80m2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程没有实数根”．
7．（2024春 莱西市月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A出发沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动，设运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PBQ的面积是△ABC面积的？
（2）当t为何值时，PQ的长为？
【点拨】（1）由题意可求得BQ、BP的长，从而可得关于t的一元二次方程，解方程即可；
（2）根据勾股定理即可得到关于t的一元二次方程，解方程即可．
【解析】解：（1）根据题意知BQ＝2t cm，AP＝t cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（6﹣t）cm，
∴，
∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴，
∵△PBQ的面积是△ABC面积的，
∴，
∴﹣t2+6t＝5，
解得t1＝1，t2＝5（舍去）．
∴当t为1时，△PBQ的面积是△ABC面积的；
（2）设t秒后，PQ的长度等于，
根据勾股定理，得PQ2＝BP2+BQ2，即，
整理得，5t2﹣12t+4＝0，
解得t1＝2，．
∴当t为或2时，PQ的长度等于．
【点睛】本题是与三角形有关的动点问题，考查了勾股定理，一元二次方程，由题意得一元二次方程是关键．
知识网络
精讲精练
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