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专题04 数据分析初步
知识点一 平均数
有n个数x1、x2、x3 ...... xn，我们把叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记做（读作“x拔”）
像这种形式的平均数叫做加权平均数，其中分母a1、a2......an表示各相同数据的个数，称为权。权越大，对平均数的影响就越大，加权平均数的分母恰好为各权的和。
【典例1】1．（2023秋 汉中期末）小静期末考试语、数，英三科的平均分为92分、她记得语文是88分，英语是95分，则小静的数学成绩为（ ）
A．93分 B．95分 C．82.5分 D．94分
2．（2023秋 东明县期末）学校食堂有15元，18元，20元三种盒饭供学生选择（每人购一份）．某天盒饭销售情况如图所示，则当天学生购买盒饭费用的平均数是（ ）
A．15元 B．16元 C．17元 D．18元
【变式训练】
1．（2023秋 苏州期末）学校利用劳动课采摘白萝卜，从中抽取了5个白萝卜，测得萝卜长（单位：cm）为26，20，25，22，22，则这组数据的平均数是 cm．
2．（2022春 南平期末）如果数据a，b，c的平均数是4，那么数据a+1，b+1，c+1的平均数是 ．
3．（2023秋 高港区期末）有一组数据如下：1，4，a，6，9，它们的平均数是5，则a的值为 ．
4．（2023秋 承德县期末）某部队一军人在一次射击训练时，连续10次的成绩为6次10环，1次9环，3次8环，则该军人这10次射击的平均成绩为（ ）
A．9.2环 B．9.3环 C．9.4环 D．9.5环
5．（2023春 如皋市期末）学校举行科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，再按照创新设计占60%，现场展示占40%计算选手的综合成绩（百分制）．小华本次比赛的各项成绩分别是：创新设计85分，现场展示90分，则他的综合成绩是 分．
6．（2023秋 忻州期末）杭州亚运会期间，3.76万名志愿者“小青荷”给各方宾友留下了难以忘怀的美好印象．想要成为“小青荷”，必须经过层层考验，下面是亚运会志愿者招募时甲、乙两名报名选手的面试成绩（单位：分）：
项目 外语能力 综合素质 形象礼仪 赛事服务经验
甲 10 9 9 7
乙 9 8 10 9
（1）如果根据四项成绩的平均分计算最后成绩，甲、乙两人中成绩高的可入选志愿者，请通过计算说明甲、乙两人谁将成为“小青荷”；
（2）如果将外语能力、综合素质、形象礼仪、赛事服务经验按4：3：2：1的比例确定最后成绩，甲、乙两人中成绩高的可入选志愿者，请通过计算说明甲、乙两人谁将成为“小青荷”．
7．（2023秋 射阳县期末）某校举办七年级数学素养大赛，比赛共设四个项目：速算比赛、数学推理、七巧拼图、魔方复原，每个项目得分（分值都为整数）都按一定百分比折算后计入总分．并规定总分在85分以上（含85分）设为一等奖．甲、乙、丙三位同学的速算比赛得分均为72分，七巧拼图得分均为78分且此两项在总分中所占百分比相等，其余两项得分如图所示（单位：分）．
（1）甲、乙、丙三同学的速算比赛与七巧拼图项经折算后的得分和均为30分，求这两项在计入总分时所占的百分比；
（2）据悉乙、丙两位同学的总分分别为80分和90分，请求出数学推理和魔方复原所占的百分比？
（3）在（1）和（2）的条件下，如果甲获得了第一名，那么甲的魔方复原至少获得 分．
知识点二 中位数和众数
众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于最中间的一个数据（当数据个数为奇数时）或最中间两个数的平均数（当数据个数为偶数时）叫做这组数据的中位数。
平均数、中位数和众数都是数据的代表，它们从不同侧面反映了数据的集中程度，但也存在各自的局限。如平均数容易受极端值得影响；众数、中位数不能充分利用全部数据信息。
【典例2】（2023秋 威宁县期末）2023年9月5日是第八个“中华慈善日”，主题为“携手参与慈善，共创美好生活”．某校为了响应中华慈善总会的号召，举行捐款活动．如表是某班的捐款金额统计情况，则该班捐款金额的众数和中位数分别是（ ）
捐款金额/元 1 2 3 5 10
人数 5 8 9 15 8
A．5，3 B．15，3 C．15，5 D．5，5
【变式训练】
1．（2023秋 常州期末）在2023年杭州第19届亚运会的跳水男子1米板决赛中，中国跳水队的王宗源摘金，六跳的成绩分别是79.50分、69.00分、76.80分、83.30分、69.30分、81.60分，则这六跳成绩的中位数是（ ）
A．78.15分 B．79.50分 C．80.05分 D．83.30分
2．（2023秋 兴化市期末）已知一组数据：2，3，2，5，2，2，4，这组数据的众数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2022春 三门峡期末）为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如图，则在这组数据中，这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（ ）
A．8，9 B．8，8.5 C．16，8.5 D．16，14
4．（2023秋 遵义期末）在一列数1，8，x，4，9，4，11中，众数是4，平均数是7，中位数是8，则数x是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
5．（2023秋 法库县期末）已知5个数据：2，6，1，10，6，下列说法正确的是（ ）
A．这组数据的中位数是1 B．这组数据的平均数是6
C．这组数据的众数是6 D．这组数据的方差是10
6．（2023秋 榆阳区校级期末）学校组织科技知识大赛，8名参赛同学的得分（单位：分）如下：91，89，92，94，92，96，95，92，这组数据的众数是 分．
7．（2022春 西宁期末）在学校组织的“建最美校园，做最美学生”知识竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分，学校将八年级（1）班和（2）班的成绩整理并绘制成如图所示的统计图：
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）将表格补充完整：
成绩班级 平均数 中位数 众数
八（1）班 90
八（2）班 87.6 80
（2）从平均数和中位数的角度对这次竞赛成绩的结果进行分析．
8．（2023秋 高港区期末）某中学为了解学生对航空航天知识的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下．
a．成绩频数分布表：
成绩x（分） 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100
频数 7 9 12 16 6
b．“70≤x＜80”这组的具体成绩（单位：分）是：
70，71，72，72，74，77，78，78，78，79，79，79．
根据以上信息，解决下列问题．
（1）此次测试成绩的中位数是 分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 ；
（2）该测试成绩的平均数是76.4分，甲的成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩”你认为乙的说法正确吗？请说明理由；
（3）请对该校学生航空航天知识的掌握情况作出合理的评价．
知识点三 方差与标准差
在评价数据的稳定性时，我们通常将各数据偏离平均数的波动程度作为指标。
各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差。
方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。
一组数据的方差的算术平方根称为这组数据的标准差。
【典例3】（2023秋 太原期末）某次射击训练中，甲、乙、丙、丁四名运动员10次射击成绩的平均数式（单位：环）与方差s2如表所示．根据表中数据，这四人中成绩好且发挥稳定的是（ ）
甲 乙 丙 丁
9 8 9 9
s2 1.2 0.4 1.8 0.4
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【变式训练】
1．（2022秋 金牛区期末）甲、乙、丙三个人进行排球垫球测试，他们的平均成绩相同，方差分别是：S甲2＝0.62，S乙2＝0.45，S丙2＝0.53，成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．三个都一样
2．（2023秋 潍坊期末）某班30位同学阅读课外读物的本数统计如表所示，其中两个数据被遮盖，下列关于阅读课外读物的统计是中，与被遮盖的数据无关的是 （ ）
本数 2 3 4 5 6 7 8
人数 ■ ■ 2 3 6 7 9
A．平均数，方差 B．中位数，方差 C．平均数，众数 D．中位数，众数
3．（2023秋 邗江区校级期末）某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）是：183、187、190、200、210，现用一名身高为195cm的队员换下场上身高为210cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高方差会（ ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定
4．（2023春 开福区校级期末）在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是7，10，9，8，7，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是8 B．众数是9 C．平均数是8 D．方差是0
5．（2023秋 碑林区校级期末）甲、乙两名射击运动员在相同条件下各射击6次，甲的成绩（单位：环）为：8，8，9，10，5，8，乙的成绩（单位：环）为：6，10，6，10，9，7，这两名射击运动员的平均成绩均为8环，则这两名运动员中发挥得更稳定的是 （填写“甲”或“乙”）．
6．（2023秋 薛城区期末）一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是 ．
7．（2023秋 汉中期末）某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）
甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．
乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 7 a 6 2.6
乙组 b 7 c S乙2
（1）以上成绩统计分析表中a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是 组的学生；
（3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
知识网络
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专题04 数据分析初步
知识点一 平均数
有n个数x1、x2、x3 ...... xn，我们把叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记做（读作“x拔”）
像这种形式的平均数叫做加权平均数，其中分母a1、a2......an表示各相同数据的个数，称为权。权越大，对平均数的影响就越大，加权平均数的分母恰好为各权的和。
【典例1】1．（2023秋 汉中期末）小静期末考试语、数，英三科的平均分为92分、她记得语文是88分，英语是95分，则小静的数学成绩为（ ）
A．93分 B．95分 C．82.5分 D．94分
【点拨】设她的数学分为x分，由题意得，，据此即可解得x的值．
【解析】解：设数学成绩为x，
则，
解得x＝93；
故选：A．
【点睛】本题考查了平均数的应用．一元一次方程的应用，记住平均数的计算公式是解决本题的关键．
2．（2023秋 东明县期末）学校食堂有15元，18元，20元三种盒饭供学生选择（每人购一份）．某天盒饭销售情况如图所示，则当天学生购买盒饭费用的平均数是（ ）
A．15元 B．16元 C．17元 D．18元
【点拨】根据加权平均数的计算方法，分别用单价乘以相应的百分比，计算即可得解．
【解析】解：15×40%+18×50%+20×10%＝17（元），
即当天学生购买盒饭费用的平均数是17元．
故选：C．
【点睛】本题考查了加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的计算公式．数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
【变式训练】
1．（2023秋 苏州期末）学校利用劳动课采摘白萝卜，从中抽取了5个白萝卜，测得萝卜长（单位：cm）为26，20，25，22，22，则这组数据的平均数是 23 cm．
【点拨】根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数计算即可．
【解析】解：＝23（cm）．
故答案为：23．
【点睛】本题考查了算术平均数，算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
2．（2022春 南平期末）如果数据a，b，c的平均数是4，那么数据a+1，b+1，c+1的平均数是 5 ．
【点拨】先根据a，b，c的平均数是得出a+b+c的值，再根据平均数的概念列式计算可得．
【解析】解：∵a，b，c的平均数是4，
∴a+b+c＝3×4＝12，
则数据a+1，b+1，c+1的平均数是＝＝5，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
3．（2023秋 高港区期末）有一组数据如下：1，4，a，6，9，它们的平均数是5，则a的值为 5 ．
【点拨】根据平均数的定义求解即可．
【解析】解：由题意得，
∴a＝5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查算术平均数，解题的关键是掌握相关运算．
4．（2023秋 承德县期末）某部队一军人在一次射击训练时，连续10次的成绩为6次10环，1次9环，3次8环，则该军人这10次射击的平均成绩为（ ）
A．9.2环 B．9.3环 C．9.4环 D．9.5环
【点拨】根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出该军人这10次射击的平均成绩．
【解析】解：由题意可得，
该军人这10次射击的平均成绩为：（10×6+9×1+8×3）÷10＝9.3（环），
故选：B．
【点睛】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
5．（2023春 如皋市期末）学校举行科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，再按照创新设计占60%，现场展示占40%计算选手的综合成绩（百分制）．小华本次比赛的各项成绩分别是：创新设计85分，现场展示90分，则他的综合成绩是 87 分．
【点拨】根据加权平均数的计算方法进行计算即可．
【解析】解：根据题意可得，他的综合成绩是85×60%+90×40%＝87（分），
故答案为：87．
【点睛】本题考查加权平均数，理解加权平均数的定义，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．
6．（2023秋 忻州期末）杭州亚运会期间，3.76万名志愿者“小青荷”给各方宾友留下了难以忘怀的美好印象．想要成为“小青荷”，必须经过层层考验，下面是亚运会志愿者招募时甲、乙两名报名选手的面试成绩（单位：分）：
项目 外语能力 综合素质 形象礼仪 赛事服务经验
甲 10 9 9 7
乙 9 8 10 9
（1）如果根据四项成绩的平均分计算最后成绩，甲、乙两人中成绩高的可入选志愿者，请通过计算说明甲、乙两人谁将成为“小青荷”；
（2）如果将外语能力、综合素质、形象礼仪、赛事服务经验按4：3：2：1的比例确定最后成绩，甲、乙两人中成绩高的可入选志愿者，请通过计算说明甲、乙两人谁将成为“小青荷”．
【点拨】（1）根据算术平均数的计算方法，结合表格中的数据分别求出甲、乙的平均分，再比较即可得到答案；
（2）根据加权平均数的计算方法，结合表格中的数据分别求出甲、乙的平均分，再比较即可得到答案．
【解析】解：（1）甲的平均分为＝8.75（分）．
乙的平均分为＝9（分）．
∵9＞8.75，
∴乙将成为“小青荷”．
（2）甲的平均分为＝9.2（分）
乙的平均分为＝8.9（分）．
∵9.2＞8.9，
∴甲将成为“小青荷”．
【点睛】本题主要考查了加权平均数和算术平均数，熟练掌握加权平均数和算术平均数的计算方法是解答的关键．
7．（2023秋 射阳县期末）某校举办七年级数学素养大赛，比赛共设四个项目：速算比赛、数学推理、七巧拼图、魔方复原，每个项目得分（分值都为整数）都按一定百分比折算后计入总分．并规定总分在85分以上（含85分）设为一等奖．甲、乙、丙三位同学的速算比赛得分均为72分，七巧拼图得分均为78分且此两项在总分中所占百分比相等，其余两项得分如图所示（单位：分）．
（1）甲、乙、丙三同学的速算比赛与七巧拼图项经折算后的得分和均为30分，求这两项在计入总分时所占的百分比；
（2）据悉乙、丙两位同学的总分分别为80分和90分，请求出数学推理和魔方复原所占的百分比？
（3）在（1）和（2）的条件下，如果甲获得了第一名，那么甲的魔方复原至少获得 74 分．
【点拨】（1）据甲、乙、丙三同学的速算比赛与七巧拼图得分以及经折算后的得分和均为30分，即可得解；
（2）设数学推理在计入总分时所占的百分比为x，巧解方程在计入总分时所占的百分比为y，根据题意列方程组即可得解；
（3）根据甲获得了第一名，可得甲同学的总分大于90分，列出相应的一元一次不等式，从而可以求得甲的魔方复原至少获得的最少得分．
【解析】解：（1）×100%＝20%，
答：这两项在计入总分时所占的百分比为20%；
（2）设数学推理百分比为x，魔方复原的百分比为y，
根据题意得，
解得x＝40%，y＝30%，
答：数学推理和魔方复原所占的百分比分别为40%、30%；
（3）∵甲获得了第一名，
∴甲同学的总分大于90分，
设甲的魔方复原至少获得m分，
根据题意得95×40%+30% m+30＞90，
解得m＞，
∵分值都为整数，
∴m≥74（m为整数），
故答案为：74．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的运用，加权平均数的运用，理解题意是解答本题的关键．
知识点二 中位数和众数
众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于最中间的一个数据（当数据个数为奇数时）或最中间两个数的平均数（当数据个数为偶数时）叫做这组数据的中位数。
平均数、中位数和众数都是数据的代表，它们从不同侧面反映了数据的集中程度，但也存在各自的局限。如平均数容易受极端值得影响；众数、中位数不能充分利用全部数据信息。
【典例2】（2023秋 威宁县期末）2023年9月5日是第八个“中华慈善日”，主题为“携手参与慈善，共创美好生活”．某校为了响应中华慈善总会的号召，举行捐款活动．如表是某班的捐款金额统计情况，则该班捐款金额的众数和中位数分别是（ ）
捐款金额/元 1 2 3 5 10
人数 5 8 9 15 8
A．5，3 B．15，3 C．15，5 D．5，5
【点拨】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解析】解：由表格可知5元出现次数最多，有15次，所以众数为5元；
中位数为第23个数据，即中位数为5元．
故选：D．
【点睛】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【变式训练】
1．（2023秋 常州期末）在2023年杭州第19届亚运会的跳水男子1米板决赛中，中国跳水队的王宗源摘金，六跳的成绩分别是79.50分、69.00分、76.80分、83.30分、69.30分、81.60分，则这六跳成绩的中位数是（ ）
A．78.15分 B．79.50分 C．80.05分 D．83.30分
【点拨】根据题目中的数据，可以先按照从小到大排列，然后即可得到相应的中位数．
【解析】解：∵这组数据按照从小到大排列是：69.00分、69.30分、76.80分、79.50分、81.60分、83.30分．
∴这组数据的中位数是＝78.15（分），
故选：A．
【点睛】本题考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
2．（2023秋 兴化市期末）已知一组数据：2，3，2，5，2，2，4，这组数据的众数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【点拨】根据众数的定义确定答案即可．
【解析】解：∵数据：2，3，2，5，2，2，4中2出现的次数最多，
∴众数为2，
故选：A．
【点睛】本题考查了众数的定义，找到出现次数最多的数是解答本题的关键，难度不大．
3．（2022春 三门峡期末）为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如图，则在这组数据中，这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（ ）
A．8，9 B．8，8.5 C．16，8.5 D．16，14
【点拨】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解析】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中8小时是出现次数最多的，故众数是8小时；
而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数的是第20、21个数的平均数，则这组数据的中位数是＝9（小时）．
故选：A．
【点睛】本题考查了中位数和众数的概念．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
4．（2023秋 遵义期末）在一列数1，8，x，4，9，4，11中，众数是4，平均数是7，中位数是8，则数x是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【点拨】根据算术平均数为7列出关于x的方程，解之即可得出答案．
【解析】解：由题意知＝7，
解得x＝12，
故选：D．
【点睛】本题主要考查算术平均数，解题的关键是根据平均数的定义列出关于x的方程．
5．（2023秋 法库县期末）已知5个数据：2，6，1，10，6，下列说法正确的是（ ）
A．这组数据的中位数是1 B．这组数据的平均数是6
C．这组数据的众数是6 D．这组数据的方差是10
【点拨】根据中位数、平均数、众数和方差的定义求解即可判定出答案．
【解析】解：5个数据从小到大排列为：1，2，6，6，10，
中位数为6，
平均数为＝5，
这组数据中6出现2次，次数最多，
所以众数为6，
方差为：×[（2﹣5）2+（6﹣5）2+（1﹣5）2+（10﹣5）2+（6﹣5）2]＝，
故选项C符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了平均数、中位数、众数、方差，熟练掌握定义和计算公式是解题的关键．
6．（2023秋 榆阳区校级期末）学校组织科技知识大赛，8名参赛同学的得分（单位：分）如下：91，89，92，94，92，96，95，92，这组数据的众数是 92 分．
【点拨】根据众数的定义求解即可．
【解析】解：这组数据中92出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数是92分，
故答案为：92．
【点睛】本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
7．（2022春 西宁期末）在学校组织的“建最美校园，做最美学生”知识竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分，学校将八年级（1）班和（2）班的成绩整理并绘制成如图所示的统计图：
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）将表格补充完整：
成绩班级 平均数 中位数 众数
八（1）班 87.6 90 90
八（2）班 87.6 80 100
（2）从平均数和中位数的角度对这次竞赛成绩的结果进行分析．
【点拨】（1）求出每班参赛人数，根据平均数、中位数、众数的定义即可求解；
（2）根据八年级（1）班和（2）班的成绩，作出合理的分析即可．
【解析】解：（1）根据题意得：每班参加比赛的人数是6+12+2+5＝25（人），
八（1）班的平均数：×（100×6+90×12+80×2+70×5）＝87.6（分），
∵共有25人，中位数是第13个数，
∴八（1）班的中位数是90；
∵八（2）班100出现的次数最多，出现了25×44%＝11（次），
∴八（2）班的众数是100，
将表格补充完整：
成绩班级 平均数 中位数 众数
八（1）班 87.6 90 90
八（2）班 87.6 80 100
（2）从平均数的角度看两班成绩一样；从中位数的角度看八（1）班比八（2）班的成绩好，
所以八（1）班成绩好．
【点睛】本题考查的是平均数、中位数、众数，条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
8．（2023秋 高港区期末）某中学为了解学生对航空航天知识的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下．
a．成绩频数分布表：
成绩x（分） 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100
频数 7 9 12 16 6
b．“70≤x＜80”这组的具体成绩（单位：分）是：
70，71，72，72，74，77，78，78，78，79，79，79．
根据以上信息，解决下列问题．
（1）此次测试成绩的中位数是 78.5 分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 44% ；
（2）该测试成绩的平均数是76.4分，甲的成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩”你认为乙的说法正确吗？请说明理由；
（3）请对该校学生航空航天知识的掌握情况作出合理的评价．
【点拨】（1）根据中位数的定义求解即可，用不低于80分的人数除以被测试人数即可；
（2）根据中位数的意义求解即可；
（3）答案不唯一，合理均可．
【解析】解：（1）这次测试成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据的平均数为 ＝78.5（分），
所以这组数据的中位数是78.5分，
成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 ×100%＝44%，
故答案为：78.5，44%；
（2）不正确，
因为甲的成绩77分低于中位数78.5分，
所以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩；
（3）测试成绩不低于80分的人数占测试人数的44%，说明该校学生对“航空航天知识”的掌握情况较好（答案不唯一，合理均可）．
【点睛】本题考查了中位数，频数分布表等知识，掌握中位数的定义及其意义是解决问题的关键．
知识点三 方差与标准差
在评价数据的稳定性时，我们通常将各数据偏离平均数的波动程度作为指标。
各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差。
方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。
一组数据的方差的算术平方根称为这组数据的标准差。
【典例3】（2023秋 太原期末）某次射击训练中，甲、乙、丙、丁四名运动员10次射击成绩的平均数式（单位：环）与方差s2如表所示．根据表中数据，这四人中成绩好且发挥稳定的是（ ）
甲 乙 丙 丁
9 8 9 9
s2 1.2 0.4 1.8 0.4
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【点拨】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛．
【解析】解：由表知甲、丙、丁射击成绩的平均数相等，且大于乙的平均数，
∴从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛，
∵丁的方差较小，
∴丁发挥稳定，
∴选择丁参加比赛．
故选：D．
【点睛】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【变式训练】
1．（2022秋 金牛区期末）甲、乙、丙三个人进行排球垫球测试，他们的平均成绩相同，方差分别是：S甲2＝0.62，S乙2＝0.45，S丙2＝0.53，成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．三个都一样
【点拨】根据方差的意义，方差越小数据越稳定即可求解．
【解析】解：∵S甲2＝0.62，S乙2＝0.45，S丙2＝0.53，
∴S乙2＜S丙2＜S甲2，
∴成绩最稳定的是乙，
故选：B．
【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
2．（2023秋 潍坊期末）某班30位同学阅读课外读物的本数统计如表所示，其中两个数据被遮盖，下列关于阅读课外读物的统计是中，与被遮盖的数据无关的是 （ ）
本数 2 3 4 5 6 7 8
人数 ■ ■ 2 3 6 7 9
A．平均数，方差 B．中位数，方差 C．平均数，众数 D．中位数，众数
【点拨】根据众数和中位数的定义求解可得．
【解析】解：这组数据中本数为2、3的人数和为30﹣（2+3+6+7+9）＝3，
则这组数据中出现次数最多的数8，即众数8，
第15、16个数据都是7，
则中位数为7，
故被遮盖的数据无关的是中位数和众数．
故选：D．
【点睛】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握众数和中位数的概念．
3．（2023秋 邗江区校级期末）某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）是：183、187、190、200、210，现用一名身高为195cm的队员换下场上身高为210cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高方差会（ ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定
【点拨】先分别计算换人前的方差与换人后的方差即可得到答案．
【解析】解：换人前的平均数为：，
方差为：
＝
＝95.6；
换人后的平均数为：，
方差为：
＝
＝35.6；
所以方差变小，
故选：B．
【点睛】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
4．（2023春 开福区校级期末）在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是7，10，9，8，7，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是8 B．众数是9 C．平均数是8 D．方差是0
【点拨】根据中位数、众数、平均数及方差的计算方法分别求解即可得到答案．
【解析】解：A、按照从小到大的顺序排列为7，7，8，8，9，9，9，10，由中位数的求解方法得到这组数据的中位数为，该选项错误，不符合题意；
B、这组数据中众数为9，该选项正确，符合题意；
C、这组数据平均数为，该选项错误，不符合题意；
D、这组数据的平均数为8.375，则方差为
，该选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查统计综合，熟练掌握中位数、众数、平均数及方差的计算方法是解决问题的关键．
5．（2023秋 碑林区校级期末）甲、乙两名射击运动员在相同条件下各射击6次，甲的成绩（单位：环）为：8，8，9，10，5，8，乙的成绩（单位：环）为：6，10，6，10，9，7，这两名射击运动员的平均成绩均为8环，则这两名运动员中发挥得更稳定的是 甲 （填写“甲”或“乙”）．
【点拨】利用算术平均数计算两人的平均成绩，然后利用方差的公式分别计算两人的方差，根据方差越大波动越大，比较方差后谁的方差小谁的成绩就比较稳定．
【解析】解：甲的平均数：＝8，
方差：[（3×（8﹣8）2+（9﹣8）+（10﹣8）2+（5﹣8）2]＝，
乙的平均数：＝8，
方差：[2×（6﹣8）2+2×（10﹣8）2+（9﹣8）2+（7﹣8）2]＝，
∵甲的方差小于乙的方差，
∴甲的成绩更稳定．
故答案为：甲．
【点睛】本题考查了方差及算术平均数的计算，解题的关键是熟练掌握方差的计算公式．
6．（2023秋 薛城区期末）一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是 4.5 ．
【点拨】根据题意可得平均数，再根据方差的定义可得答案．
【解析】解：平均数为：，
故方差是：．
故答案为：4.5．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差及平均数的定义．样本方差，其中n是这个样本的容量，是样本的平均数．
7．（2023秋 汉中期末）某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）
甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．
乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 7 a 6 2.6
乙组 b 7 c S乙2
（1）以上成绩统计分析表中a＝ 6 ，b＝ 7 ，c＝ 7 ；
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是 甲 组的学生；
（3）从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
【点拨】（1）根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案；
（2）根据中位数的意义即可得出答案；
（3）根据平均数与方差的意义即可得出答案．
【解析】解：（1）把甲组的成绩从小到大排列后，中间两个数的平均数是＝6，则中位数a＝6；
b＝×（5+6+6+6+7+7+7+7+9+10）＝7，
乙组学生成绩中，数据7出现了四次，次数最多，所以众数c＝7．
故答案为：6，7，7；
（2）小明可能是甲组的学生，理由如下：
因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分，所以在小组中属中游略偏上，
故答案为：甲；
（3）选乙组参加决赛．理由如下：
S乙2＝＝＝，
∵甲乙组学生平均数差不多，而S甲2＝2.6＞S乙2＝2，
∴乙组的成绩比较稳定，
故选乙组参加决赛．
【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数，方差，正确理解它们的含义是解题关键．
知识网络
精讲精练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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