2023-2024学年吉林省长春市东北师大附中高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年吉林省长春市东北师大附中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列，，，的一个通项公式是( )
A. B.
C. D.
2.已知函数和在区间上的图象如图所示，那么下列说法正确的是( )
A. 在到之间的平均变化率大于在到之间的平均变化率
B. 在到之间的平均变化率小于在到之间的平均变化率
C. 对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率
D. 存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率
3.已知数列中，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知随机变量，若，则( )
A. B. C. D.
5.在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“扩展”已知数列，第一次“扩展”后得到，，；第二次“扩展”后得到，，，，那么第次“扩展”后得到的数列的项数为( )
A. B. C. D.
6.已知数列是正项数列，且，则( )
A. B. C. D.
7.如图，将，，，，，个字母放入的表格中，每个格子各放一个字母，且同列字母不相同，若共有行字母相同，则的均值为( )
A. B. C. D.
8.满足的最小正整数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 若，则函数在处无切线
B. 函数的切线与函数的图象可以有两个公共点
C. 曲线在处的切线方程为，则当时，
D. 已知函数，则函数在处的切线方程为
10.一个不透明的袋子中装有个球，其中有个白球，其他均为黑球，这些球除颜色外动大小、质地完全相同，从中任意取出个球，已知取出个黑球，个白球的概率为，设为取出白球的个数，则( )
A. B.
C. D.
11.数列的前项和为，且，，则下列选项正确的有( )
A. 数列的通项公式为
B. 数列是等比数列
C. 数列的最大项为
D. 数列的前项和为
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。
12.已知随机变量服从正态分布，若，则______．
13.已知变量，的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据如下：
由上表可得线性回归方程，则______．
14.数列定义如下：，当时，若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
甲、乙两个车间生产同一种产品，为了解这两个车间的产品质量情况，随机抽查了两个车间生产的件产品，得到下面列联表：
非特等品件数 特等品件数
甲车间
乙车间
根据上表，分别估计这两个车间生产的产品的特等品率；
依据小概率值的独立性检验，能否推断两个车间生产的产品特等品率有差异？并对的结果作出解释．
附：
16.本小题分
已知等差数列的公差，前三项之和为，是和的等比中项．
求数列的通项公式；
已知数列满足：，，是否存在实数，，使数列是等比数列，若存在，求出，的值，并求数列的前项和；若不存在，请说明理由．
17.本小题分
品酒师需要定期接受品酒鉴别能力测试，测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序这称为一轮测试设在第一次排序时被排为，，，，的种酒，在第二次排序时的序号为，，，，，并令，称是两次排序的偏离度评委根据一轮测试中的两次排序的偏离度的高低为其评分．
当时，若，，等可能地为，，的各种排列，求的分布列；
当时，
若，，，等可能地为，，，的各种排列，计算的概率；
假设某品酒师在连续四轮测试中，恰有三轮各轮测试相互独立，你认为该品酒师的鉴别能力如何，请说明理由附：概率小于的事件为小概率事件，通常认为，小概率事件几乎不会发生
18.本小题分
已知抛物线的准线过椭圆：的左焦点，且椭圆的上顶点与两个焦点构成一个正三角形．
求椭圆的方程；
直线交椭圆于，两点，点在线段上移动，连接交椭圆于，两点，过作的垂线交轴于，求面积的最小值．
19.本小题分
已知数列与满足，．
若，且，求的通项公式；
设的第项是最大项，即，求证：的第项是最大项；
设，，求的取值范围，使得有最大值与最小值，且．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：数列，，，，可化为：，，，，
所以数列的一个通项公式是
故选：．
把数列化为：，，，，再结合数列通项公式的定义求解．
本题主要考查了数列的递推式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了导数的概念及其应用问题，属于基础题解题时应结合平均变化率与瞬时变化率以及导数的几何意义，判定每一个选项是否正确．
由函数在某一区间上的平均变化率的定义，可以判定选项A、B错误；由函数在某一点处的瞬时变化率是函数在该点处的导数，即函数在该点处的切线的斜率，可以判定选项C错误，D正确．
【解答】
解：对于、，在到之间的平均变化率是，
在到之间的平均变化率是，
，即二者相等；
选项A、B错误；
对于、，函数在处的瞬时变化率是函数在处的导数，即函数在该点处的切线的斜率，同理函数在处的瞬时变化率是函数在处的导数，即函数在处的切线的斜率，由图形知，选项C错误，D正确．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：由且，
可得，
则数列是首项为，公差为的等差数列，
即有，
即，
则．
故选：．
对数列的递推式两边取倒数，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求值．
本题考查数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：因为随机变量，且，
所以，
所以，解得，
所以．
故选：．
根据题意利用的概率求出，再计算的值．
本题考查了二项分布与次独立重复实验的概率计算问题，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：设第次“扩展”后得到的数列的项数为，
则第次“扩展”后得到的数列的项数为，
，
又，
是以为首项，为公比的等比数列，
，
，
；
故选B．
化简可得，从而可得是以为首项，为公比的等比数列，从而解得．
本题考查了等比数列的性质的判断与应用，关键在于构造等比数列．
6.【答案】
【解析】解：由，
可得时，，即，
时，，
即，对也成立，
则，
即有．
故选：．
由条件可得，，由等差数列的求和公式，可得所求和．
本题考查数列的通项与求和的关系，以及等差数列的求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：第一种：当每一列都不一样时有：
第一列，，三个全排有，第二列剩下的，，三个全排也有，
所以共有种排列方法，
若共有行字母相同，则的可能取值为，，，
，，，
所以共有行字母相同的均值为．
故选：．
分类讨论计算出满足条件的基本事件个数，以及所有的基本事件个数，计算出行字母相同的概率，代入期望公式即可．
本题主要考查合情推理，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：，
则
，
即为，
由，，
可得满足条件的最小正整数为．
故选：．
由，运用数列的裂项相消求和，可得，可得所求最小值．
本题考查数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，若，则函数在处的切线斜率为，错误；
对于，函数的切线与函数的图象可以有两个公共点，如在处的切线方程为，与函数的图象还有一个公共点，正确；
对于，由于曲线在处的切线方程为，
则，
则，正确；
对于，，又，
则函数在处的切线方程为，即，正确．
故选：．
对于，由导数的几何意义可判断；对于，举例子可判断；对于，由导数的几何意义结合极限的运算可判断；对于，由导数的几何意义求得切线方程，即可判断．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：由题可知，，解得，
的可能取值为，，，，
，
，
，
，
所以，
．
分析选项可知，C正确，，D错误．
故选：．
根据取出个黑球，个白球的概率为求出的值，再求出的分布列，从而可得数学期望和方差，从而可得答案．
本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：当时，因为，
所以，两式作差得，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确；
所以，即，所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，即，故A错误；
，
令，则，
则，
则时，取得最大值，C正确；
数列的前项和，
，
两式相减得，，
故，D正确．
故选：．
由已知和与项的递推关系转化为项与项的递推，结合等比数列的定义及等差数列的通项公式检验选项A，，结合数列单调性检验选项C，结合错位相减求和检验选项D．
本题主要考查了数列的递推关系，等差数列与等比数列通项公式的应用，还考查了数列的单调性及错位相减求和方法的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：随机变量服从正态分布，
正态曲线的对称轴是，
，
．
故答案为：．
根据随机变量服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得．
本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题．
13.【答案】
【解析】解：由表中数据可得，，，
线性回归方程，
，解得，
，
，
，即．
故答案为：．
先求出，的平均数，将其代入性回归方程，求出，再结合对数函数的公式，即可求解．
本题主要考查线性回归方程的性质，考查转化能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由，当时，，
可得，，，
，，，，
，即．
故答案为：．
由数列的递推式，分别计算，，，，，，可得结论．
本题考查数列的递推式的运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
15.【答案】解：根据表中数据，计算甲车间生产的产品中特等品率为，
乙车间生产的产品中特等品率为；
零假设：两个车间生产的产品特等品率没有差异，
根据列联表中数据，计算，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为两个车间生产的产品特等品率没有差异．
【解析】根据表中数据，分别计算两个车间生产的产品中特等品率即可；
零假设，计算，比较即可得出结论．
本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．
16.【答案】解：等差数列的公差，前三项之和为，是和的等比中项，
可得，即，即有，
又，即，
解得舍去，
则；
，
假设存在实数，，使数列是等比数列，
可得，
即为，
可得，，，
解得，，，
即有，
则存在实数，，
使数列是首项和公比均为的等比数列，
即有，
即，
．
【解析】由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得公差，进而得到所求；
假设存在实数，，使数列是等比数列，解方程可得，，，再由等比数列的通项公式和数列的分组求和，可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：由题知，，，的排序共有，且每种排序等可能，
若，，的排序为，，，则，，
若，，的排序为，，或，，，则，，
若，，的排序为，，或，，或，，，则，，
所以的分布列为：


，，，的排序共有，且每种排序等可能，
当，，，的排序与第一次排序无变化时，此时仅有种排序：，，，，则，，
当，，，的排序与第一次排序相比仅有相邻两个位置变化时，此时有种排序：，，，、，，，、，，，，
则，，
当，，，的排序与第一次排序相比有不相邻两个位置变化时，此时，不满足，
所以；
因为各轮测试相互独立，
所以“连续三轮测试中，都有”的概率为，
所以是一个小概率，这表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有的结果的可能性很小，
所以我们认为该品酒师有良好的鉴别能力，不是靠随机猜测．
【解析】计算每 种，，排序的值以及对应概率，由此可得的分布列；
先计算出，的值，然后可求；
先分析连续三轮测试中，都有的概率，然后根据概率值的大小进行分析即可．
本题考查离散型随机变量与概率的综合运用，着重考查学生理解问题与分析问题的能力，属于难题．
18.【答案】解：由已知抛物线的准线为，所以，
因为椭圆的上顶点与两个焦点构成一个正三角形，所以，，
因此，椭圆的标准方程为：．
因为的垂线交轴于，所以的斜率存在，设为，
因为与椭圆的交点为，所以．
由，得，
由，得，
设，，则，，
，
设，因为，
所以，
解得，
到直线的距离为：，
，
因为，所以．
因为函数在上是增函数，
所以的最小值为，
因此，当时，面积的最小值为．
【解析】由抛物线方程求出，由焦点三角形可求出，，进而可得椭圆的方程；
由题意的斜率存在，设为，求出的取值范围，联立方程组，求出点的坐标，联立直线与椭圆方程，可得根与系数的关系，从而可表示，由点到直线的距离公式可得点到直线的距离，由三角形面积公式结合函数的单调性即可求解面积的最小值．
本题主要考查椭圆的性质及椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．
19.【答案】解：若，则，
所以，
所以时，
，
符合上式，
所以．
证明：由，得，
所以为常数列，，即，
因为，所以，即，
故的第项是最大项．
因为，所以，
当时，
．
当时，符合上式，
所以，
因为，所以，．
当时，由指数函数的单调性知，不存在最大、最小值；
当时，的最大值为，最小值为，而；
当时，由指数函数的单调性知，的最大值，最小值，
由，得．
综上，的取值范围是．
【解析】由题意可得，利用累加法即可求解的通项公式；
由题得为常数列，即可得证；
由可得，由指数函数的单调性知的最大值，最小值，结合条件即可得解．
本题主要考查数列递推式，数列与不等式的综合，考查运算求解能力，属于难题．
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