2023-2024学年江苏省无锡市江阴市南菁高级中学高一（下）段考数学试卷（5月份）（含解析）

2023-2024学年江苏省无锡市江阴市南菁高级中学高一（下）段考数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为实数，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则在上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
4.已知中，，，若满足上述条件的三角形有两个，则的范围是( )
A. B. C. D.
5.已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题，其中真命题是( )
A. 若，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，，则
D. ，，，，，则
6.已知球为棱长为的正四面体的外接球，若点是正四面体的表面上的一点，为球表面上的一点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.在中，有，则的最大值是( )
A. B. C. D.
8.如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A. B. 的虚部为 C. 为纯虚数 D.
10.如图，的角，，所对的边分别为，，，，且若点在外，，，则下列说法中正确的有( )
A.
B.
C. 四边形面积的最大值为
D. 四边形面积的最大值为
11.如图，在棱长为的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，点满足，，下列说法正确的是( )
A. 平面
B. 若，，，四点共面，则
C. 若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为
D. 若，由平面分割该正方体所成的两个空间几何体为和，某球能够被整体放入或，则该球的表面积最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，为非零不共线向量，向量与共线，则 ______．
13.已知，则的值为______．
14.在三棱锥中，，，两两垂直，，，为棱上一点，于点，则当的面积取最大值时，三棱锥的外接球表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知在中，是边的中点，且，设与交于点记，．
用，表示向量，；
若，且，求的余弦值．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点．
求证：平面；
在线段上是否存在一点，使平面平面？请说明理由．
17.本小题分
如图所示，平面平面，平面平面．
求证：直线平面；
若，菱形中，，且，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形此等边三角形称为拿破仑三角形的顶点”已知在中，以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，若角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，求的面积最大值．
19.本小题分
已知四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，．
设为中点，问：在线段上是否存在这样的点，使得平面平面成立．若存在，求出的长；若不存在，请说明理由；
已知．
求二面角的平面角的余弦值；
求直线和平面所成角的正弦值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为复数为纯虚数，则，解得，
所以复数在复平面内对应的点位于第四象限．
故选：．
利用纯虚数的定义求出，即可判断作答．
本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，如图：水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，
已知，，则矩形的面积，
则四边形的面积．
故选：．
根据题意，求出矩形的面积，由直观图面积与原图面积的关系分析可得答案．
本题考查斜二测画法，涉及平面图形的直观图，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，，
故，解得．
所以，，
，，
所以在上的投影向量为．
故选：．
由向量垂直的坐标表示求解，再根据投影向量的公式进行求解即可．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为满足条件的三角形有两个，
所以，即，
所以，
故选：．
由，可得解．
本题考查三角形有两解的条件，属基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查线线、线面、面面的位置关系，属于基础题．
由线线、线面、面面的位置关系逐一判断即可．
【解答】
解：在中，若，，则或，故A错误；
在中，由，可得，又，，可得，选项正确；
在中，若，，，则与可能平行、相交或异面，故C错误
在中，当，，，，时，与可能平行或相交，故D错误．
故选B．
6.【答案】
【解析】解：如图：正四面体与正方体有同一个外接球，
因为正四面体的棱长为，
所以正方体的棱长为，
由于是正四面体的表面上的一点，为球表面上的一点，
所以当点运动到点，当运动到点，
此时正方体的体对角线最长，
所以的最大值为．
故选：．
把棱长为的正四面体补成一个正方体，棱长为，根据它们具有相同的外接球，当是正方体的体对角线时，有最大值．
本题考查割补法的应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：，
，
又，，
，
，即，
由余弦定理得，当且仅当即时等号成立，
在中，为锐角，要使取最大值，则取最小值，此时，
，即的最大值是．
故选：．
利用余弦定理和数量积定义化简得出三角形三边，，的关系，利用基本不等式求出的最小值，显然为锐角，要使取最大值，则取最小值，从而得出的最大值，即可得出答案．
本题考查平面向量的数量积运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查棱柱的结构特征，平面展开图的应用，余弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
由题意构造三棱锥，求解展开图中三角形的边长，即可得出结论．
【解答】
解：如图，
连接，，则为的中点，
将三棱锥沿展开成平面图形如下图，
即为三角形周长的最小值，
正方体的棱长为，为中点，
其中，，
．
故本题选B．
9.【答案】
【解析】解：，
对于，，A正确；
对于，由虚部定义知：的虚部为，B正确；
对于，为纯虚数，C正确；
对于，由共轭复数定义知：，D错误．
故选：．
根据复数模长、虚部定义、乘方运算和共轭复数定义依次判断各个选项即可．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：在中，由正弦定理及，
得，即，有，
而，，解得，
而，则有，
因此，故AB正确；
显然是等边三角形，
四边形面积等于
，
当且仅当，即时取等号，故C正确，D错误．
故选：．
根据给定条件，利用正弦定理边化角求出角判断；利用三角形面积公式及余弦定理，借助三角函数性质求解判断．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，在正方体中，平面平面，
因为平面，所以平面，故A正确；
对于，，分别是棱，的中点，点为中点时，
平面在正方体上的截面为正六边形，
则，，，四点共面，有，故B错误；
对于，若，则为上靠近点的三等分点，
取上靠近的三等分点，的中点，连接，，
则在正方形中，可得，
平面，平面，则有平面，
同理可由，证明平面，
，平面，，所以平面平面，
点在侧面内，且平面，所以即为点的轨迹，
，故C正确；
对于，若，则为的中点，
平面分割该正方体所成的两个空间几何体和，
平面在正方体上的截面为正六边形，
某球能够被整体放入或，该球的表面积最大时，
是以为顶点，底面为正六边形的正六棱锥的内切球，
正六边形的边长为，面积为，
正六棱锥，侧棱长，每个侧面面积为，棱锥的高为，
设该球的半径为，由体积法可得，
解得，所以该球的表面积为，故D正确．
故选：．
对于，根据正方体结构特征直接判断；
对于，根据正方体性质和共面判定方法找到过点、、三点的正方体的截面，从而确定点位置，进而判断；
对于，对未知点或动点的位置或轨迹，抓住定点和平行位置关系的不变性进行面的延展可作出未知点或动点的位置或轨迹；
对于为空间几何体内切球问题，根据正方体结构特征以及内切球相关的几何体体积公式为内切球半径进行研究即可．
本题主要考查了正方体的截面性质，点共面的判断及应用，还考查了线面平行的性质，及几何体内切球的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，为非零不共线向量，所以，可以作为平面内的一组基底，
又向量与共线，所以，即，
所以，解得．
故答案为：．
依题意，可以作为平面内的一组基，则，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可．
本题主要考查了两个向量共线的性质，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为，
则，两边平方可得，
且，
所以，
可得，，可得，
所以．
故答案为：．
利用已知求出，，的值，进而求出，，的值，然后代入所求关系式即可求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：设，且，，
因为，，两两垂直，所以，
所以，可得，
因为，且，，平面，所以平面，
又因为平面，所以，所以，
因为，且，，平面，所以平面，
又因为平面，所以，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
设三棱锥的外接球的半径为，
则，
所以三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：．
设，求得，结合，求得，进而求得和，根据，求得面积的最大值，再根据正方体的性质求得三棱锥的外接球的半径为，进而求得外接球的表面积．
本题主要考查了几何体外接球的应用，还考查了球的表面积公式的应用，属于中档题．
15.【答案】解：，
，
；
，，三点共线，又，
，
，即，
，
，的余弦值为．
【解析】根据平面向量的基底与三角形法则即可用，表示向量，；
由得，代入向量数量积公式即可求得的余弦值．
本题考查向量的线性运算，向量数量积的运算，属中档题．
16.【答案】证明：因为，分别为线段的中点，
所以，
因为，所以，
又因为平面，平面，所以平面．
解：取的中点，连接，，
因为为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
同理可得，平面，
又因为，，平面，所以平面平面，
故在线段上存在一点，使平面平面．
【解析】根据中位线的性质可得，再根据线面平行的判定可得即可；
取的中点，连接，，根据中位线的性质判定即可．
本题主要考查了空间中的平行关系，属于基础题．
17.【答案】解：证明：在平面内任取一点，过作，交于，
过作，交于，如图，
平面平面，平面平面，
平面平面，平面平面，
平面，平面，
平面，平面，，，
，直线平面．
，菱形中，，且，
是等边三角形，取中点，连接，则，
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：
．
【解析】在平面内任取一点，过作，交于，过作，交于，推导出，，由此能证明直线平面．
取中点，连接，则，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．
本题考查面面垂直的性质、线面垂直的判定与性质、线面角的定义及正弦值的求法，向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】解：由正弦定理得，
因为，
，
，
因为，
所以即，
则或，
因为为三角形的内角，，
；
由余弦定理得，当时取等号，取的中点，
，
，
同理，
，
，
，
．
【解析】由正弦定理边化角及三角形内角和定理化简即可得到，再由辅助角公式及特殊角的三角函数值即可求得；
利用余弦定理及基本不等式求得的最大值，再次利用基本不等式及三角形的面积公式可求得的面积最大值．
本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于难题．
19.【答案】解：存在这样的点；且当时，
过点作交于点，为正三角形，
，，，
又，，，
而，平面，故平面平面，
由知，，，
即为所求二面角的平面角．分
，，又，，
在中，；
设与平面所成角为，设为点到平面的距离，
则，
，，，，
面，到平面的距离等于点到平面的距离．
由知，到平面的距离等于到的距离，
在中，，，，
则，又，
，，
，即直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】可证，，进而证明而，可证结论成立；
可得即为所求二面角的平面角，运用余弦定理可求二面角的平面角的余弦值；
设与平面所成角为，设为点到平面的距离，由已知可得到平面的距离等于点到平面的距离．求得，可求直线和平面所成角的正弦值．
本题考查二面角与线面角的求法，考查符合条件的点是否存在，属中档题．
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