2023-2024学年浙江省台州市六校联盟高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年浙江省台州市六校联盟高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部是( )
A. B. C. D.
2.如图，向量，，，则向量可以表示为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
4.设，是两个不共线的向量，已知，，，若三点，，共线，则的值为( )
A. B. C. D.
5.的内角，，的对边分别为，，，若，，的面积为，则( )
A. B. C. D.
6.已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比是( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
7.如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为且半径为的扇形，记该圆锥的内切球半径为，外接球半径为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，，则下列正确的是( )
A. 与同向的单位向量坐标是 B. 若，则
C. 在上的投影向量坐标是 D. 若，则
10.如图，在海面上有两个观测点，，在的正北方向，距离为，在某天：观察到某航船在处，此时测得，分钟后该船行驶至处，此时测得，，，则( )
A. 观测点位于处的北偏东方向
B. 当天：时，该船到观测点的距离为
C. 当船行驶至处时，该船到观测点的距离为
D. 该船在由行驶至的这内行驶了
11.如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列正确的是( )
A. 正三棱柱的外接球表面积为
B. 若是棱中点，则三棱锥的体积为
C. 周长的最小值为
D. 棱上总存在点，使得直线平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.是虚数单位，复数，则的共轭复数 ______．
13.已知向量，，且，，则向量与的夹角为______．
14.如图，在矩形中，，点为的中点，点在边上，若，则的值是______．
四、解答题：本题共6小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量，，若与平行，求实数的值．
已知平面向量的夹角为，且，，若与垂直，求实数的值．
16.本小题分
已知复平面内平行四边形，点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求：
点对应的复数；
三角形的面积．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别是，，的中点．
求证：，，，四点共面；
求证：平面．
18.本小题分
如图，在中，是边上的一点，，．
若，，求的长；
若，设，，求的值．
19.本小题分
的内角、、的对边分别为，，，已知．
求的大小；
若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
20.本小题分
如图，在中，，，是边上的点．
若直线与的交点恰好是线段的中点，设，求实数的值；
若，，，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：复数的虚部是．
故选：．
直接利用复数的基本概念得答案．
本题考查复数的基本概念，是基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
通过向量的加法减法的运算法则，表示出结果即可．
本题考查向量的基本运算，考查计算能力．
【解答】
解：如图，
向量，，，则向量，
．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：向量，，
所以，
所以，
．
故选：．
根据平面向量的坐标表示，求出和的坐标，再求．
本题考查了平面向量的坐标运算应用问题，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：由已知得，
三点，，共线，
存在实数使，
，
，解得．
故选：．
先求出，然后利用存在实数使，列方程求的值．
本题主要考查向量相等，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由于，故，
由于，的面积为，
故，
整理得，解得，，
利用余弦定理，
解得．
故选：．
直接利用三角形的面积公式和余弦定理求出结果．
本题考查的知识点：三角形的面积公式，余弦定理，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：设，
所以，
因为，
所以，即，
所以：：，
所以与的面积之比是：．
故选：．
设，根据平面向量的线性运算可得，与已知条件对比，知，进而得：：，再由面积比等于相似比，得解．
本题考查平面向量的应用，熟练掌握平面向量基本定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，矩形，，，
则，
如图：平面图形是平行四边形，
，，
，
则四边形的周长．
故选：．
根据题意，作出原图矩形，分析原图中、的值，进而计算可得答案．
本题考查斜二测画法，涉及平面图形的直观图，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：圆锥的侧面展开图是一个圆心角为且半径为的扇形，圆锥的底面圆的周长为，
底面圆的直径为：，圆锥的高为：，
可得，
外接球半径为，
可得，
，
．
故选：．
求解圆锥的底面圆的周长，得到圆的直径，然后求解圆锥的内切球半径为，外接球半径为，即可得到选项．
本题考查圆锥与球的位置关系，考查空间想象能力，转化思想，计算能力，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，，所以与同向的单位向量的坐标是，故A项正确；
对于，，且，若，则：：，解得，故B项不正确；
对于，，，
所以在上的投影向量为，故C项正确；
对于，，且，若，则，解得，故D项正确．
故选：．
根据向量模的公式与单位向量的概念，判断出项的正误；根据两个向量平行与垂直的坐标表示，判断出、两项的正误；根据投影向量的公式进行计算，判断出项的正误．
本题主要考查两个向量平行与垂直的条件、投影向量的概念、向量的数量积公式与向量的模的公式等知识，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于：，
因为在的正北方向，所以观测点位于的北偏东方向，故 A正确；
对于：在中，，，即，则，
则，故B错误；
对于：在中，，，则，
由正弦定理得，即，故C正确；
对于：在中，由余弦定理得，即，D正确．
故选：．
由已知结合方位角检验选项A；结合勾股定理检验选项B；结合正弦定理检验选项C；结合余弦定理检验选项D．
本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于：在正三棱柱中，，
设外接球半径为，底面外接圆半径为，
所以，即，
因为，
所以正三棱柱的外接球表面积为，故A正确；
对于：因为是棱中点，所以，
因为，
所以三棱锥的体积为，故B正确；
对于：由侧面展开图所示，
周长，
所以周长的最小值为，故C错误；
对于：在上取一点作，则，
当时，四边形为平行四边形，故CE，
又平面，平面，
所以直线平面，故D正确．
故选：．
对于：设外接球半径为，底面外接圆半径为，根据，即可求解；
对于：利用等体积转换即可求解；
对于：由侧面展开图确定周长最小值即可求解；
对于：在上取一点使得，当时，四边形为平行四边形，从而可得，再由线面平行的判定定理得到直线平面．
本题考查线面平行的判定以及几何体外接球体积的计算，考查等体积转换法的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，
则．
故答案为：．
结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：设向量与的夹角为，，
，
则，即，解得，
故，解得．
故答案为：．
将同时平方，求出，再结合向量的夹角公式，即可求解．
本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：建立如图所示的坐标系，可得，
，，，
，
即有．
即，，
则
．
故答案为：．
建立直角坐标系，由已知条件可得的坐标，进而可得向量和的坐标，可得数量积．
本题考查平面向量的数量积的坐标公式，考查运用坐标法解题，考查运算能力，属于中档题．
15.【答案】解：因为，，
所以，，
因为与平行，所以，
解得：；
因为的夹角为，且，，
所以，
因为与垂直，所以，
所以，得，解得．
【解析】由向量平行的坐标表示建立方程，求解即可；
由平面向量的数量积运算可得，再由平面向量垂直的性质建立方程，求解即可．
本题考查平面向量平行与垂直的性质，数量积的运算，属于基础题．
16.【答案】解：设点坐标，对应复数由题意知，点坐标，
，
平行四边形中，，
，，
点对应的复数为；
，，
，
又，
，
三角形面积．
【解析】设点坐标，再结合求解即可；
先利用向量的数量积运算求出，进而求出，再利用三角形面积公式求解．
本题主要考查了复数的几何意义，考查了向量的数量积运算，以及三角形面积公式，属于基础题．
17.【答案】证明：因为，分别是，的中点，
所以，
在平行四边形中，，
所以，
即证得，，，四点共面；
取中点，连，，
因为，分别是，的中点，
所以，且，
又因为平行四边形中，，且，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
【解析】，分别是，的中点，可证得，再由题意可证得，即证得结论；
取的中点，连，，由题意可证得，进而可证得结论．
本题考查线面平行的证法及四点共面的证法，属于中档题．
18.【答案】解：在中，，由正弦定理可得，
，
或，
，
只能是，
，
是等边三角形，
，
又在中，，，
，
，
；
，
，
在中，余弦定理，
在中，余弦定理，
两式联合，得，
，整理得，
，
，即．
【解析】在中，由题意利用正弦定理可得，可求，可得是等边三角形，在中，可求，进而可求；
由题意在中，由余弦定理可得，在中，余弦定理，可得，即可求解．
本题考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和方程思想，属于中档题．
19.【答案】解：由题设及正弦定理得，
，
，
，又，可得，
又，
化简得，
，
则，可得，
；
由知，又，
，
由正弦定理，可得，
为锐角三角形，
，
，
可得，由，可得，
，
从而，即面积的取值范围是．
【解析】由题设利用正弦定理，三角函数恒等变换可得，可求，进而可求的值；
由利用三角形的面积公式，正弦定理可求，由题意可求，进而利用正切函数的性质和三角形的面积公式即可求解．
本题考查了正弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换以及三角函数的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．
20.【答案】解：，
，
是线段的中点，
，
又，，
，，
，
，，三点共线，
，解得；
，，正弦定理得，，
，，
，，
则，
，，则，
的取值范围是．
【解析】由已知结合向量的线性运算及向量共线定理即可求解；
先利用正弦定理表示，，进而可表示，，结合和差角公式，辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了向量的线性运算，共线定理的应用，还考查了正弦定理，和差角公式，辅助角公式及正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
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