数学归纳法 学案
图片预览
文档简介
数学归纳法
【考纲解读】
理解数学归纳法的定义，理解并掌握数学归纳法的基本原理，能够运用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
【知识精讲】
一、数学归纳法的概念：
【问题】认真观察分析下列问题，然后回答如下的思考问题：
1、设等差数列｛｝的首项为，公差为d，推导数列｛｝的通项公式；
2、已知数列｛｝的前几项分别是：4，- ，2，- ，-------求数列｛｝的一个通项公式；
3、已知数列｛｝的前几项分别是：3，5，9，17，33，-------求数列｛｝的一个通项公式。
『思考问题』
【问题】中涉及的几个问题的共同特点是：①已知一个问题有限的几个特殊项的结果；
②需要得出该问题能够符合各项的一个表示式；
解答【问题】中问题时，为得到问题能够符合各项的一个表示式的基本方法是：①把已知有限的几个特殊项化成相同的结构；②认真观察分析它们的结构，寻找其共同的特征，推测出项的各部分与项数n的关系；③确定各项的符号特征；④注意运用“因数分解”和“”的技巧。
1、归纳法的定义：
（1）归纳法的定义：由一系列有限特殊事件得出一般结论的推理方法，叫做归纳法；
（2）归纳法的特征：运用归纳法得到的结论不一定正确。
2、数学归纳法的定义：
（1）数学归纳法的定义：为证明一个与自然数n相关的命题，先证明n取某一个值时命题成立，再假设n=k时命题成立，只要能够证明n=k+1时，命题也成立，就可得出结论命题对一切自然数n都成立的结论，这种推理的方法，叫做数学归纳法；
（2）数学归纳法的特征：运用数学归纳法得到的结论一定正确，但数学归纳法只适用于与自然数相关的命题的证明；同时数学归纳法证明命题的步骤和格式都是固定的规范模式。
二、数学归纳法的原理：
1、数学归纳法的基本方法：
数学归纳法的基本方法是：①证明当n取某一个值时命题成立（这一步是递推的基础）；
②假设n=k（kN，且k≥）时命题成立（具有已知条件的作用），证明n=k+1时，命题成立（这一步是关键，需要“一凑假设”，“二凑结论”）；③ 得出结论命题对一切自然数n（nN，且n≥）都成立；
2、数学归纳法第二步的基本方法：
（1）数学归纳法第二步采用“进”的基本方法是：①把假设n=k命题成立作为已知条件；②将n=k换成n=k+1，通过“一凑假设”，“二凑结论”的基本方法证明结论成立；
（2）数学归纳法第二步采用“退”的基本方法是：①把假设n=k命题成立作为已知条件；②将n=k换成n=k+1，再把命题式子中n=k的部分换成假设式，从而证明结论成立。
【探导考点】
考点1数学归纳法的定义：热点①给出命题的证明过程，判断证明方法是不是数学归纳法；
热点②给出用数学归纳法证明命题的过程，判断证明方法是否正确；
考点2数学归纳法的运用：热点①直接给出命题，运用数学归纳法证明命题；热点②给出问题的几个特殊项，从而得出一般的结论并用数学归纳法对结论的正确性进行证明。
【典例解析】
【问题1】解答下列问题：
用数学归纳法证明命题“（n）当n是3的倍数时为实数”时，在验证n=3时命题成立之后要判定命题成立，还需要（ ）
A 在假设n=k(k是3的倍数）成立后，证明n=k+1时命题也成立
B 在假设n=3k(k）成立后，证明n=3k+1时命题也成立
C 在假设n=3k(k）成立后，证明n=3k+2时命题也成立
D 在假设n=3k(k）成立后，证明n=3k+3时命题也成立
2、判断下面的证明过程是否正确，用数学归纳法证明：
3+7+11+-------+（4n-1）=n(2n+1)。
证明：①当n=1时，右边=1×（2×1+1）=1×3=3=左边，命题成立；②假设当n=k时，命题成立，即3+7+-----+(4k-1)=k(2k+1)，当n=k+1时，3+7+-----+(4k-1)+(4k+3)=(k+1)
(4k+3+3)=(k+1)(2k+3)，当n=k+1时，命题成立,根据①②得到，对一切自然数n，3+7+11+-------+（4n-1）=n(2n+1)成立。
3、比较与的大小（n）。
『思考问题1』
【问题1】是与数学归纳法定义相关的问题，解答这类问题，需要理解数学归纳法的定义，掌握数学归纳法的原理；
理解数学归纳法定义，掌握数学归纳法原理时，一点注意数学归纳法的基本步骤和正确的推理过程。
某个命题与自然数n相关，若n=k(k）时该命题成立，那么可以推出n=k+1时该命题成立，现在验证当n=5时该命题不成立，那么可以推出（ ）
A 当n=6时该命题不成立 B 当n=6时该命题成立
C 当n=4时该命题不成立 D 当n=4时该命题成立
用数学归纳法证明不等式+++------+>的过程中，由k推到k+1时，不等式左边增加了（ ）
A B +- C + D -
用数学归纳法证明>+1，对n≥的正整数n都成立，则第一步证明中的起始值应取（ ）
A 1 B 3 C 5 D 6
【问题2】解答下列问题：
1、用数学归纳法证明：+++------+=。
2、用数学归纳法证明：1+3+5+------+（2n-1）=。
3、证明命题：若a、b∈，n∈N,则≤。
4、用数学归纳法证明：1+++-------+＜2（n∈）。
5、用数学归纳法证明：当n∈时，f(n)= -8n-9能被64整除。
6、用数学归纳法证明：- 能被x+y整除。
『思考问题2』
【问题2】是运用数学归纳法证明命题成立的问题，解答这类问题需要理解并掌握数学归纳法原理，掌握运用数学归纳法证明命题成立的基本方法；
运用数学归纳法证明命题成立的基本方法是：①验证当n取某一个值时命题成立；②假设n=k成立时，推证n=k+1时命题也成立；③ 得出结论命题对一切自然数n（nN，且n≥）都成立；
运用数学归纳法证明命题成立的过程中，假设n=k成立时，推证n=k+1时命题也成立是关键的一步，解决的主要方法有两种：①采用“进”的基本方法；②采用“退”的基本方法；有时还需要运用“一凑假设”，“二凑结论”的解题技巧。
〔练习2〕解答下列问题：
1、用数学归纳法证明：+++-------+=n(4-1)。
2、用数学归纳法证明：1×2+2×3+3×4+-------+n(n+1)= n(n+1)(n+2)。
3、用数学归纳法证明：1+≤1+++------+≤+n。
4、已知a，b为正实数，且+=1，试证明对每一个n∈，都有--≥
-。
5、用数学归纳法证明：两个连续正整数的积能被2整除；
6、用数学归纳法证明-（n∈）能被x-y整除；
【问题3】解答下列问题：
1、设数列｛｝满足：=-n+1，n=1，2，3-------。
（1）当=2，求，，并由此猜想出的一个通项公式；
（2）当≥3时，证明对所有的n≥1，有：① ≥n+2；
②++-------+≤。
2、数列｛｝满足：=2n-（n∈）。
（1）计算，，，并由此猜想通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想。
3、是否存在常数a、b，使等式1×n+2(n-1)+3(n-2)+-------+(n-2)×3+(n-1)×2+n×1=n(n+a)(n+b)对一切自然数n都成立，并证明你的结论。
『思考问题3』
（1）【问题3】是通过猜想得出命题，运用数学归纳法证明命题成立的问题，解答这类问题需要理解归纳法的定义，理解并掌握数学归纳法原理，掌握运用数学归纳法证明命题成立的基本方法；
（2）归纳法是由一系列有限特殊事件得出一般结论的推理方法，在解答问题时，需要对已知的有限特殊事件，寻找出共同的特征与规律，从而得出一般的结论。
〔练习3〕解答下列问题：
已知首项是，公比是q的等比数列。
猜想等比数列的通项公式；
用数学归纳法证明（1）的结论。
2、平面内有n(n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数f(n)等于；
3、已知x（0，+），观察下列各式：x+≥2，x+=++≥3，x+=+++
≥4，---类比得x+≥n+1（n∈），则a= 。
【雷区警示】
【问题4】解答下列问题：
1、用数学归纳法证明命题“（n）当n是3的倍数时为实数”时，在验证n=3时命题成立之后要判定命题成立，还需要（ ）
A 在假设n=k(k是3的倍数）成立后，证明n=k+1时命题也成立
B 在假设n=3k(k）成立后，证明n=3k+1时命题也成立
C 在假设n=3k(k）成立后，证明n=3k+2时命题也成立
D 在假设n=3k(k）成立后，证明n=3k+3时命题也成立
2、已知｛｝是由非负整数组成的数列，满足=0，=3，.=（+3）（+2），n=3，4，5，------
（1）求；
（2）证明：=+2，n=3，4，5，------
（3）求｛｝的通项公式及其前n项和。
3、已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a，bR，都满足f(a+b)=af(b)+bf(a)。
（1）求f(0)，f(1)的值；
（2）判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若f(2)=2，=（nN），求数列｛｝的前n项和。
『思考问题4』
【问题4】是解答与数学归纳法相关问题时，容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要包括：①忽视正确理解数学归纳法的定义，导致解答问题出现错误；②忽视数学归纳法的原理及运用，导致解答问题出现错误；
解答与数学归纳法相关问题时，为避免忽视正确理解数学归纳法定义的雷区，需要正确理解数学归纳法的定义，注意数学归纳法的特征及适用范围；
解答与数学归纳法相关问题时，为避免忽视数学归纳法的原理及运用的雷区，需要理解并掌握数学归纳法的原理，掌握数学归纳法原理运用的基本方法。
〔练习4〕解答下列问题：
1、某个命题与自然数n相关，若n=k(k）时该命题成立，那么可以推出n=k+1时该命题成立，现在验证当n=5时该命题不成立，那么可以推出（ ）
A 当n=6时该命题不成立 B 当n=6时该命题成立
C 当n=4时该命题不成立 D 当n=4时该命题成立
已知数列｛｝是等差数列，=1，+++------+=145。
求数列｛｝的图像公式；
设数列｛｝的通项=（1+）（其中b>0，b1），记是数列｛｝的前n项和，试比较与的大小，并证明你的结论。
【追踪考试】
【问题5】解答下列问题：
1、第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日在成都举行，比赛项目包括15个必选项目和武术，赛艇，射击3个自选项目，共18个大项，269个小项，小张，小王，小李三位大学生在谈论自己是否会武术，赛艇，射击3个自选项目时，小张说，我和小王都不会赛艇；小王说，我会的自选项目比小张多一个；小李说，三个自选项目中我们都会的自选项目只有一个，但我不会射击，假如他们三人都说的是真话，则由此可判断小张会的自选项目是 （填写具体项目名称）（成都市高2021级高三零诊）
2、已知数列{}满足=.（n），且=2，=16。
（1）求数列{}的通项公式；
（2）设=（2n-1），求数列{ }的前n项和为；
（3）设=，记数列{}的前n项和为，证明： <2（成都市高2020级2020-2021学年度下期期末名校联盟考试）
『思考问题5』
（1）【典例5】是近几年高考（或成都市高三诊断考试或成都市高一期末考试）试卷中涉及数学归纳法的问题，归结起来主要包括：①数学归纳法定义及运用；②数学归纳法原理及运用；③运用数学归纳法的推理方法解答数学问题等几种类型；
（2）解答问题的基本方法是：①根据问题结构特征，判断问题属于哪一种类型；②运用解答该种类型问题的解题思路和解答方法对问题实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、我国南北朝时代的数学家祖桓提出体积的计算原理（祖桓原理）：“幂势既同，则积不容异”，“势”即是高，“幂”是面积。意思是：如果两等高的几何体在同高出截得的两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖桓原理，（理）如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为1的梯形，且当实数t取［0，3］上任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为 （文）如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t取［0，4］上任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的线段长始终相等，则图1的面积为 （2017成都市高三一珍）
（理科图） （文科图）
2、已知数列{}的前n项和为，且满足2=3-3。
（1）证明：数列{}是等比数列；
（2）若数列{ }满足= ，记数列{ }的前n项和为，证明： <（成都市高2019级2019-2010学年度下期期末调研考试）
数学归纳法
【考纲解读】
理解数学归纳法的定义，理解并掌握数学归纳法的基本原理，能够运用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
【知识精讲】
一、数学归纳法的概念：
【问题】认真观察分析下列问题，然后回答如下的思考问题：
1、设等差数列｛｝的首项为，公差为d，推导数列｛｝的通项公式；
2、已知数列｛｝的前几项分别是：4，- ，2，- ，-------求数列｛｝的一个通项公式；
3、已知数列｛｝的前几项分别是：3，5，9，17，33，-------求数列｛｝的一个通项公式。
『思考问题』
【问题】中涉及的几个问题的共同特点是：①已知一个问题有限的几个特殊项的结果；
②需要得出该问题能够符合各项的一个表示式；
解答【问题】中问题时，为得到问题能够符合各项的一个表示式的基本方法是：①把已知有限的几个特殊项化成相同的结构；②认真观察分析它们的结构，寻找其共同的特征，推测出项的各部分与项数n的关系；③确定各项的符号特征；④注意运用“因数分解”和“”的技巧。
1、归纳法的定义：
（1）归纳法的定义：由一系列有限特殊事件得出一般结论的推理方法，叫做归纳法；
（2）归纳法的特征：运用归纳法得到的结论不一定正确。
2、数学归纳法的定义：
（1）数学归纳法的定义：为证明一个与自然数n相关的命题，先证明n取某一个值时命题成立，再假设n=k时命题成立，只要能够证明n=k+1时，命题也成立，就可得出结论命题对一切自然数n都成立的结论，这种推理的方法，叫做数学归纳法；
（2）数学归纳法的特征：运用数学归纳法得到的结论一定正确，但数学归纳法只适用于与自然数相关的命题的证明；同时数学归纳法证明命题的步骤和格式都是固定的规范模式。
二、数学归纳法的原理：
1、数学归纳法的基本方法：
数学归纳法的基本方法是：①证明当n取某一个值时命题成立（这一步是递推的基础）；
②假设n=k（kN，且k≥）时命题成立（具有已知条件的作用），证明n=k+1时，命题成立（这一步是关键，需要“一凑假设”，“二凑结论”）；③ 得出结论命题对一切自然数n（nN，且n≥）都成立；
2、数学归纳法第二步的基本方法：
（1）数学归纳法第二步采用“进”的基本方法是：①把假设n=k命题成立作为已知条件；②将n=k换成n=k+1，通过“一凑假设”，“二凑结论”的基本方法证明结论成立；
（2）数学归纳法第二步采用“退”的基本方法是：①把假设n=k命题成立作为已知条件；②将n=k换成n=k+1，再把命题式子中n=k的部分换成假设式，从而证明结论成立。
【探导考点】
考点1数学归纳法的定义：热点①给出命题的证明过程，判断证明方法是不是数学归纳法；
热点②给出用数学归纳法证明命题的过程，判断证明方法是否正确；
考点2数学归纳法的运用：热点①直接给出命题，运用数学归纳法证明命题；热点②给出问题的几个特殊项，从而得出一般的结论并用数学归纳法对结论的正确性进行证明。
【典例解析】
【问题1】解答下列问题：
用数学归纳法证明命题“（n）当n是3的倍数时为实数”时，在验证n=3时命题成立之后要判定命题成立，还需要（ ）
A 在假设n=k(k是3的倍数）成立后，证明n=k+1时命题也成立
B 在假设n=3k(k）成立后，证明n=3k+1时命题也成立
C 在假设n=3k(k）成立后，证明n=3k+2时命题也成立
D 在假设n=3k(k）成立后，证明n=3k+3时命题也成立
【解析】
【知识点】①数学归纳法定义与性质；②数学归纳法原理及运用。
【解题思路】根据数学归纳法的性质，运用数学归纳法的原理，结合问题条件确定出在验证n=3时命题成立之后要判定命题成立，还需要的步骤就可得出选项。
【详细解答】用数学归纳法证明命题“（n）当n是3的倍数时为实数”时，在验证n=3时命题成立之后要判定命题成立，还需要在假设n=3k(k）成立后，证明n=3（k+1）=3k+3时命题也成立，D正确，选D。
2、判断下面的证明过程是否正确，用数学归纳法证明：
3+7+11+-------+（4n-1）=n(2n+1)。
证明：①当n=1时，右边=1×（2×1+1）=1×3=3=左边，命题成立；②假设当n=k时，命题成立，即3+7+-----+(4k-1)=k(2k+1)，当n=k+1时，3+7+-----+(4k-1)+(4k+3)=(k+1)
(4k+3+3)=(k+1)(2k+3)，当n=k+1时，命题成立,根据①②得到，对一切自然数n，3+7+11+-------+（4n-1）=n(2n+1)成立。
【解析】
【知识点】①数学归纳法定义与性质；②数学归纳法原理及运用。
【解题思路】根据数学归纳法的性质，运用数学归纳法的原理，结合问题条件对证明过程的正确性进行判断，就可得出结果。
【详细解答】当假设当n=k时，命题成立，证明n=k+1时，命题成立的过程中，没有运用n=k时，命题成立的条件，用数学归纳法证明3+7+11+-------+（4n-1）=n(2n+1)的推理是错误的。
比较与的大小（n）。
【解析】
【知识点】①数学归纳法定义与性质；②数学归纳法原理及运用；③ 比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据数学归纳法的性质，运用实数比较大小的基本方法，结合问题条件可以验证n=1时，>，n=2或n=4时，=，n=3时，<，利用数学归纳法的原理，可以证明当n≥5时，>恒成立，从而就可得出与的大小关系。
【详细解答】当n=1时，=2，=1，2>1，>；当n=2或n=4时，=4，=4，或=16，=16，=；n=3时，=8，=9，<，当n=5时，=32，=25，32>25，>成立，假设n=k(k，且k>5）时，>成立，即>，当n=k+1(k，且k>5）时，=2=+>+，2-，=-2k-1
=-2>16-2>14，>成立，即对一切n≥5的自然数，都有>成立，综上所述，n=3时，<；当n=2或n=4时，=；当n=1或n≥5时，>。
『思考问题1』
【问题1】是与数学归纳法定义相关的问题，解答这类问题，需要理解数学归纳法的定义，掌握数学归纳法的原理；
理解数学归纳法定义，掌握数学归纳法原理时，一点注意数学归纳法的基本步骤和正确的推理过程。
某个命题与自然数n相关，若n=k(k）时该命题成立，那么可以推出n=k+1时该命题成立，现在验证当n=5时该命题不成立，那么可以推出（ ）（答案：C）
A 当n=6时该命题不成立 B 当n=6时该命题成立
C 当n=4时该命题不成立 D 当n=4时该命题成立
用数学归纳法证明不等式+++------+>的过程中，由k推到k+1时，不等式左边增加了（ ）（答案：B）
A B +- C + D -
用数学归纳法证明>+1，对n≥的正整数n都成立，则第一步证明中的起始值应取（ ）（答案：C）
A 1 B 3 C 5 D 6
【问题2】解答下列问题：
用数学归纳法证明：+++------+=。
【解析】
【知识点】①数学归纳法定义与性质；②数学归纳法原理及运用。
【解题思路】根据数学归纳法的性质，运用数学归纳法的原理，结合问题条件就可证明+++------+=。
【详细解答】当n=1时，=1，=1，结论成立；假设当n=k时，结论成立，即+++------+=，当n=k+1时，+++------
++=+=
=结论成立，对一切自然数n，都有+++------
+=成立。
用数学归纳法证明：1+3+5+------+（2n-1）=。
【解析】
【知识点】①数学归纳法定义与性质；②数学归纳法原理及运用。
【解题思路】根据数学归纳法的性质，运用数学归纳法的原理，结合问题条件就可证明1+3+5+------+（2n-1）=。
【详细解答】当n=1时，2n-1=2-1=1，=1，结论成立；假设当n=k时，结论成立，即1+3+5+------+（2,k-1）=，当n=k+1时，1+3+5+------+（2k-1）+[2（k+1）-1]=+（2k+1）]=+2k+1=结论成立，对一切自然数n，都有1+3+5+------+（2n-1）=成立。
证明命题：若a，b∈，n∈N,则≤。
【解析】
【知识点】①数学归纳法定义与性质；②数学归纳法原理及运用。
【解题思路】根据数学归纳法的性质，运用数学归纳法的原理，结合问题条件就可证明若a，b∈，n∈N,则≤。
【详细解答】当n=1时，=，=，结论成立；假设当n=k时，结论成立，即≤，当n=k+1时，=≤
（）≤≤结论成立，对一切自然数n，都有若a，b∈，n∈N,则≤。
用数学归纳法证明：1+++-------+＜2（n∈）。
【解析】
【知识点】①数学归纳法定义与性质；②数学归纳法原理及运用。
【解题思路】根据数学归纳法的性质，运用数学归纳法的原理，结合问题条件就可证明1+++-------+＜2（n∈）。
【详细解答】当n=1时，=1，2=2，1<2，结论成立；假设当n=k时，结论成立，即1+++-------+＜2（k∈），当n=k+1时，1+++-------++＜2+＜<<2
（k∈），对一切自然数n，都有1+++-------+＜2（n∈）。
用数学归纳法证明：当n∈时，f(n)= -8n-9能被64整除。
【解析】
【知识点】①数学归纳法定义与性质；②数学归纳法原理及运用。
【解题思路】根据数学归纳法的性质，运用数学归纳法的原理，结合问题条件就可证明当n∈时，f(n)= -8n-9能被64整除。
【详细解答】当n=1时，f(1)= 81-8-9=64能被64整除；假设当n=k时，结论成立，即f(k)=-8k-9=64m（k，m∈），当n=k+1时，f(k+1)=9-8k-8-9=9（-8k-9）+64k+64=9×64m+64(k+1）=64（9m+k+1）（k，m∈）能被64整除，对一切自然数n，都有f(n)= -8n-9能被64整除。
用数学归纳法证明：- 能被x+y整除。
【解析】
【知识点】①数学归纳法定义与性质；②数学归纳法原理及运用。
【解题思路】根据数学归纳法的性质，运用数学归纳法的原理，结合问题条件就可证明- 能被x+y整除。
【详细解答】当n=1时，- =-=（x+y）（x-y）能被x+y整除；假设当n=k时，结论成立，即-=m（x+y）（k，m∈），当n=k+1时，- =（-）+（-）=（x+y）（m+x-）能被x+y整除，对一切自然数n，都有- 能被x+y整除。
『思考问题2』
【问题2】是运用数学归纳法证明命题成立的问题，解答这类问题需要理解并掌握数学归纳法原理，掌握运用数学归纳法证明命题成立的基本方法；
运用数学归纳法证明命题成立的基本方法是：①验证当n取某一个值时命题成立；②假设n=k成立时，推证n=k+1时命题也成立；③ 得出结论命题对一切自然数n（nN，且n≥）都成立；
运用数学归纳法证明命题成立的过程中，假设n=k成立时，推证n=k+1时命题也成立是关键的一步，解决的主要方法有两种：①采用“进”的基本方法；②采用“退”的基本方法；有时还需要运用“一凑假设”，“二凑结论”的解题技巧。
〔练习2〕解答下列问题：
1、用数学归纳法证明：+++-------+=n(4-1)（提示：运用数学归纳法原理）
2、用数学归纳法证明：1×2+2×3+3×4+-------+n(n+1)= n(n+1)(n+2)（提示：运用数学归纳法原理）
3、用数学归纳法证明：1+≤1+++------+≤+n（提示：运用数学归纳法原理）
4、已知a，b为正实数，且+=1，试证明对每一个n∈，都有--≥
-（提示：运用数学归纳法原理）
5、用数学归纳法证明：两个连续正整数的积能被2整除（提示：运用数学归纳法原理）
6、用数学归纳法证明-（n∈）能被x-y整除（提示：运用数学归纳法原理）
【问题3】解答下列问题：
1、设数列｛｝满足：=-n+1，n=1，2，3-------。
（1）当=2，求，，并由此猜想出的一个通项公式；
（2）当≥3时，证明对所有的n≥1，有：① ≥n+2；
②++-------+≤。
【解析】
【知识点】①数列定义与性质；②数列通项公式定义与性质；③数学归纳法定义与性质；④数学归纳法原理及运用。
【解题思路】（1）根据数列和数列通项公式的性质，结合问题条件就可求出，，的值；（2）根据数学归纳法的性质，运用数学归纳法的原理，结合问题条件就可证明对所有的n≥1，有：① ≥n+2；②++-------+≤。
【详细解答】（1）=2，=-n+1，n=1，2，3------，=4-2+1=3，=9-6+1=4，=16-12+1=5，------由此猜想出的一个通项公式=n+1（n∈）；（2）①当n=1时，≥3≥1+2，结论成立；假设当n=k时，结论成立，即≥k+2成立，当n=k+1时，=（-k）+1≥(k+2)(k+2-k)+1≥2(k+1)+1≥2k+5≥k+1+2结论成立，对一切自然数n，都有 ≥n+2；②当n=1时，≥3,≤≤≤结论成立，假设当n=k时，结论成立，即++-------+≤成立，≥3，=（-k）+1≥（k+2-k）+1≥2+1，=≥-1，1+≥，++-------+≤（1++-----+）≤×（2-）≤×2≤结论成立，对一切自然数n，都有 ++-------+≤。
2、数列｛｝满足：=2n-（n∈）。
（1）计算，，，并由此猜想通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想。
【解析】
【知识点】①数列定义与性质；②数列通项公式定义与性质；③数学归纳法定义与性质；④数学归纳法原理及运用。
【解题思路】（1）根据数列和数列通项公式的性质，结合问题条件就可求出，，的值；（2）根据数学归纳法的性质，运用数学归纳法的原理，结合问题条件就可证明（1）中的猜想。
【详细解答】（1）①当n=1时，=2n-（n∈），=2-，=1，
+=4-，=，++=6-，=，+++=8-，=，
由此猜想通项公式=2-；（2）当n=1时，=2-=2-1=1，结论成立；假设当n=k时，结论成立，即=2-，当n=k+1时，+++----++=2（k+1）-，
2=2（k+1）-2k+（1+++------+）=2+2-=4-，=2-=2-结论成立，对一切自然数n，都有=2-。
3、是否存在常数a、b，使等式1×n+2(n-1)+3(n-2)+-------+(n-2)×3+(n-1)×2+n×1=n(n+a)(n+b)对一切自然数n都成立，并证明你的结论。
【解析】
【知识点】①解答探索性问题的基本方法；②数学归纳法定义与性质；③数学归纳法原理及运用。
【解题思路】根据解答探索性问题的基本方法，结合问题条件得到关于a，b的方程组，求解方程组就可求出a，b的值，运用数学归纳法的性质和原理就可证明结论。
【详细解答】假设存在常数a、b，等式1×n+2(n-1)+3(n-2)+-------+(n-2)×3+(n-1)×2+n×1=n(n+a)(n+b)对一切自然数n都成立，当n=1时，1×1=1=(1+a)(1+b)①，当n=2时，1×1+2×1+1×1=4=(2+a)(2+b)②，联立①②解得：a=1，b=2，用数学归纳法证明等式1×n+2(n-1)+3(n-2)+-------+(n-2)×3+(n-1)×2+n×1=n(n+1)(n+2)对一切自然数n都成立，当n=1时，左边=1×1=1，右边=(1+1)(1+2)=1，等式成立；假设当n=k时，结论成立，即1×k+2(k-1)+3(k-2)+-------+(k-2)×3+(k-1)×2+k×1=k(k+1)(k+2)成立，当n=k+1时，左边=1×（k+1）+2(k+1-1)+3(k+1-2)+-------+(k+1-2)×3+(k+1-1)×2+(k+1)×1=1×k+2(k-1)+3(k-2)+-------+(k-2)×3+(k-1)×2+k×1+（1+2+3+----+k+k+1）=
k(k+1)(k+2)+=(k+1)(k+2)(k+3)=右边，对一切自然数n，都有1×n+2(n-1)+3(n-2)+-------+(n-2)×3+(n-1)×2+n×1=n(n+1)(n+2)成立。
『思考问题3』
（1）【问题3】是通过猜想得出命题，运用数学归纳法证明命题成立的问题，解答这类问题需要理解归纳法的定义，理解并掌握数学归纳法原理，掌握运用数学归纳法证明命题成立的基本方法；
（2）归纳法是由一系列有限特殊事件得出一般结论的推理方法，在解答问题时，需要对已知的有限特殊事件，寻找出共同的特征与规律，从而得出一般的结论。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知首项是，公比是q的等比数列。
（1）猜想等比数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）的结论（答案：（1）猜想等比数列的通项公式=；（2）提示：运用数学归纳法原理。）
2、平面内有n(n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数f(n)等于（提示：运用数学归纳法原理）
3、已知x（0，+），观察下列各式：x+≥2，x+=++≥3，x+=+++
≥4，---类比得x+≥n+1（n∈），则a= （答案：a=）
【雷区警示】
【问题4】解答下列问题：
1、用数学归纳法证明命题“（n）当n是3的倍数时为实数”时，在验证n=3时命题成立之后要判定命题成立，还需要（ ）
A 在假设n=k(k是3的倍数）成立后，证明n=k+1时命题也成立
B 在假设n=3k(k）成立后，证明n=3k+1时命题也成立
C 在假设n=3k(k）成立后，证明n=3k+2时命题也成立
D 在假设n=3k(k）成立后，证明n=3k+3时命题也成立
【解析】
【知识点】①数学归纳法定义与性质；②数学归纳法原理及运用。
【解题思路】根据数学归纳法的性质，运用数学归纳法的原理，结合问题条件确定出在验证n=3时命题成立之后要判定命题成立，还需要的步骤就可得出选项。
【详细解答】用数学归纳法证明命题“（n）当n是3的倍数时为实数”时，在验证n=3时命题成立之后要判定命题成立，还需要在假设n=3k(k）成立后，证明n=3（k+1）=3k+3时命题也成立，D正确，选D。
2、已知｛｝是由非负整数组成的数列，满足=0，=3，.=（+2）（+2），n=3，4，5，------
（1）求；
（2）证明：=+2，n=3，4，5，------
（3）求｛｝的通项公式及其前n项和。
【解析】
【知识点】①数列定义与性质；②数列递推公式定义与性质；③数列通项公式定义与性质；④数列前n项和公式定义与性质；⑤数学归纳法定义与性质；⑥数学归纳法原理及运用。
【解题思路】（1）根据数列和数列递推公式的性质，结合问题条件就可求出的值；（2）根据数学归纳法的性质，运用数学归纳法的原理，结合问题条件就可证明=+2，n=3，4，5，------；（3）根据数列通项公式与前n项和公式的性质，结合问题条件就可求出数列｛｝的通项公式及其前n项和。
【详细解答】（1）=0，=3，.=（+3）（+2），.=（+2）（+2）
=5×2=10，数列｛｝是由非负整数组成的数列，可能的值为1，2，5，10，当
=1时，=10，==不是整数；当=2时，=5，==4是整数；当=5时，=2，==不是整数；当=10时，=1，=（10+2）（3+2）=60是整数，==不是整数，=2；（2）当n=3时，=+2=0+2=2，结论成立，假设n=k时，结论成立，即=+2，当n=k+1时，==+2=+2结论成立，
对一切自然数n，都有=+2n=3，4，5，------；（3）=+2=+2，=+2=+2，=0，=3，=2(k-1)，=2k+1，k=1，2，3，------，=n+，n=1，2，3，------，=n（n+1），n为偶数，
n（n+1）-1，n为奇数。
3、已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a，bR，都满足f(a.b)=af(b)+bf(a)。
（1）求f(0)，f(1)的值；
（2）判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若f(2)=2，=（nN），求数列｛｝的前n项和。
【解析】
【知识点】①抽象函数定义与性质；②函数奇偶性定义与性质；③求抽象函数值的基本方法；④判断函数奇偶性的基本方法；⑤数学归纳法定义与性质；⑥数学归纳法原理及运用；⑦数列前n项和公式及运用。
【解题思路】（1）根据抽象函数的性质，运用求抽象函数值的基本方法，结合问题条件就可求出f(0)，f(1)的值；（2）根据函数奇偶性的性质，运用判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件就可判断并证明函数f(x)的奇偶性；（3）根据数学归纳法的性质，运用数学归纳法的原理，结合问题条件得到f()=nf(a)，从而得到数列｛｝的通项公式，利用数列前n项和公式就可求出数列｛｝的前n项和。
【详细解答】（1）f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a，bR，都满足f(a.b)=af(b)+bf(a)，令a=b=0有f(0.0)=0f(0)+0f(0)，f(0)=0，令a=b=1有f(1×1)=1×f(1)+1×f(1)，f(1)=0；（2）令a=b=-1有f(-1×（-1）)=-1×f(-1)-1×f(-1)，f(-1)=0，令a=-1，b=x有f(-1×x)=-1×f(x)+xf(-1)，f(-x)=-f(x)，函数f(x)是奇函数；（3）f(a×a)=f()=af(a)
+af(a)=2af(a)，f(a×)=f()=f(a)++af()==3f(a)，----由此猜想f()=nf(a)，下面用数学归纳法证明结论是正确的：当n=1时，f(a)=1×1×f(a)=f(a)成立，，假设n=k时，结论成立，即f()=kf(a)，当n=k+1时，f()=f(a×)=f(a)+af()=f(a)
+akf(a)=(k+1)f(a)结论成立，对一切自然数n，都有f()=nf(a)成立，
==f()（nN），f(1)=f(2×)=×f(2)+2×f()=0，f()=-×f(2)
=-，=×(-）（nN），==-1（nN）
『思考问题4』
【问题4】是解答与数学归纳法相关问题时，容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要包括：①忽视正确理解数学归纳法的定义，导致解答问题出现错误；②忽视数学归纳法的原理及运用，导致解答问题出现错误；
解答与数学归纳法相关问题时，为避免忽视正确理解数学归纳法定义的雷区，需要正确理解数学归纳法的定义，注意数学归纳法的特征及适用范围；
解答与数学归纳法相关问题时，为避免忽视数学归纳法的原理及运用的雷区，需要理解并掌握数学归纳法的原理，掌握数学归纳法原理运用的基本方法。
〔练习4〕解答下列问题：
1、某个命题与自然数n相关，若n=k(k）时该命题成立，那么可以推出n=k+1时该命题成立，现在验证当n=5时该命题不成立，那么可以推出（ ）（答案：C）
A 当n=6时该命题不成立 B 当n=6时该命题成立
C 当n=4时该命题不成立 D 当n=4时该命题成立
2、已知数列｛｝是等差数列，=1，+++------+=145。
（1）求数列｛｝的通项公式；
设数列｛｝的通项=（1+）（其中b>0，b1），记是数列｛｝的前n项和，试比较与的大小，并证明你的结论（答案：（1）数列｛｝的通项公式为=3n-2；（2）=（1+1）（1+）----（1+），运用数学归纳法原理可以证明（1+1）（1+）----（1+）>，当b>1时，>；当0【追踪考试】
【问题5】解答下列问题：
第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日在成都举行，比赛项目包括15个必选项目和武术，赛艇，射击3个自选项目，共18个大项，269个小项，小张，小王，小李三位大学生在谈论自己是否会武术，赛艇，射击3个自选项目时，小张说，我和小王都不会赛艇；小王说，我会的自选项目比小张多一个；小李说，三个自选项目中我们都会的自选项目只有一个，但我不会射击，假如他们三人都说的是真话，则由此可判断小张会的自选项目是 （填写具体项目名称）（成都市高2021级高三零诊）
【解析】
【考点】①逻辑推理定义与性质；②逻辑推理的基本方法。
【解题思路】根据逻辑推理的性质，运用逻辑推理的基本方法，结合问题条件就可得出小张会的自选项目。
【详细解答】他们三人都说的是真话，小张和小王都不会赛艇，小李不会射击，三个自选项目中我们都会的自选项目只有一个，三个人都会的自选项目是武术，小王会的自选项目比小张多一个，小张会的自选项目只有武术。
2、已知数列{}满足=.（n），且=2，=16。
（1）求数列{}的通项公式；
（2）设=（2n-1），求数列{ }的前n项和为；
（3）设=，记数列{}的前n项和为，证明： <2（成都市高2020级2020-2021学年度下期期末名校联盟考试）
【解析】
【考点】①等比数列定义与性质；②等比数列通项及运用；③求数列前n项和的基本方法；④数学归纳法定义与性质；⑤数学归纳法原理及运用。
【解答思路】（1）根据等比数列的性质，运用等比数列的通项公式，结合问题条件就可求出数列{}的通项公式；（2）由（1）得到数列{}的通项公式，运用求数列前n项和的基本方法就可求出数列{ }前n项和的值；（3）根据数学归纳法的性质，运用数学归纳法原理，由（1）得到数列{}的通项公式，得到<，运用求数列前n项和的基本方法求出的表示式就可证明<2。
【详细解答】（1）数列{}满足=.（n），数列{}是等比数列，设数列{}的公比为q，=2，=16，2=16，q=2，数列{}的通项公式为
=2=；（2）=（2n-1）==（2n-1），=2+3+5+-----
+（2n-3）. +（2n-1）①，2=+3+5+-----+（2n-3）. +（2n-1）②，①-②得：-=2+2（++------+）-（2n-1）=2+2-（2n-1）
=2-8+2-（2n-1）=-6-（2n-3），=6+（2n-3）；（3）=
=<，当n=1时，-=-==<2成立，假设n=k时，结论成立，即=<+++----+<2-2<2成立，当n=k+1时，<，<+++-------++<2-（2-）<2-2<2结论成立，对一切自然数n，都有 <2。
『思考问题5』
（1）【典例5】是近几年高考（或成都市高三诊断考试或成都市高一期末考试）试卷中涉及
数学归纳法的问题，归结起来主要包括：①数学归纳法定义及运用；②数学归纳法原理及运
用；③运用数学归纳法的推理方法解答数学问题等几种类型；
（2）解答问题的基本方法是：①根据问题结构特征，判断问题属于哪一种类型；②运用解答该种类型问题的解题思路和解答方法对问题实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、我国南北朝时代的数学家祖桓提出体积的计算原理（祖桓原理）：“幂势既同，则积不容异”，“势”即是高，“幂”是面积。意思是：如果两等高的几何体在同高出截得的两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖桓原理，（理）如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为1的梯形，且当实数t取［0，3］上任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为 （文）如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t取［0，4］上任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的线段长始终相等，则图1的面积为 （2017成都市高三一珍）
（理科图） （文科图）（答案：理；文8。）
2、已知数列{}的前n项和为，且满足2=3-3。
（1）证明：数列{}是等比数列；
（2）若数列{ }满足= ，记数列{ }的前n项和为，证明： <（成都市高2019级2019-2010学年度下期期末调研考试）（答案：（1）=；（2）提示：先用错项相减法求出关于n的表示式，再运用数学归纳法原理证明）
【考纲解读】
理解数学归纳法的定义，理解并掌握数学归纳法的基本原理，能够运用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
【知识精讲】
一、数学归纳法的概念：
【问题】认真观察分析下列问题，然后回答如下的思考问题：
1、设等差数列｛｝的首项为，公差为d，推导数列｛｝的通项公式；
2、已知数列｛｝的前几项分别是：4，- ，2，- ，-------求数列｛｝的一个通项公式；
3、已知数列｛｝的前几项分别是：3，5，9，17，33，-------求数列｛｝的一个通项公式。
『思考问题』
【问题】中涉及的几个问题的共同特点是：①已知一个问题有限的几个特殊项的结果；
②需要得出该问题能够符合各项的一个表示式；
解答【问题】中问题时，为得到问题能够符合各项的一个表示式的基本方法是：①把已知有限的几个特殊项化成相同的结构；②认真观察分析它们的结构，寻找其共同的特征，推测出项的各部分与项数n的关系；③确定各项的符号特征；④注意运用“因数分解”和“”的技巧。
1、归纳法的定义：
（1）归纳法的定义：由一系列有限特殊事件得出一般结论的推理方法，叫做归纳法；
（2）归纳法的特征：运用归纳法得到的结论不一定正确。
2、数学归纳法的定义：
（1）数学归纳法的定义：为证明一个与自然数n相关的命题，先证明n取某一个值时命题成立，再假设n=k时命题成立，只要能够证明n=k+1时，命题也成立，就可得出结论命题对一切自然数n都成立的结论，这种推理的方法，叫做数学归纳法；
（2）数学归纳法的特征：运用数学归纳法得到的结论一定正确，但数学归纳法只适用于与自然数相关的命题的证明；同时数学归纳法证明命题的步骤和格式都是固定的规范模式。
二、数学归纳法的原理：
1、数学归纳法的基本方法：
数学归纳法的基本方法是：①证明当n取某一个值时命题成立（这一步是递推的基础）；
②假设n=k（kN，且k≥）时命题成立（具有已知条件的作用），证明n=k+1时，命题成立（这一步是关键，需要“一凑假设”，“二凑结论”）；③ 得出结论命题对一切自然数n（nN，且n≥）都成立；
2、数学归纳法第二步的基本方法：
（1）数学归纳法第二步采用“进”的基本方法是：①把假设n=k命题成立作为已知条件；②将n=k换成n=k+1，通过“一凑假设”，“二凑结论”的基本方法证明结论成立；
（2）数学归纳法第二步采用“退”的基本方法是：①把假设n=k命题成立作为已知条件；②将n=k换成n=k+1，再把命题式子中n=k的部分换成假设式，从而证明结论成立。
【探导考点】
考点1数学归纳法的定义：热点①给出命题的证明过程，判断证明方法是不是数学归纳法；
热点②给出用数学归纳法证明命题的过程，判断证明方法是否正确；
考点2数学归纳法的运用：热点①直接给出命题，运用数学归纳法证明命题；热点②给出问题的几个特殊项，从而得出一般的结论并用数学归纳法对结论的正确性进行证明。
【典例解析】
【问题1】解答下列问题：
用数学归纳法证明命题“（n）当n是3的倍数时为实数”时，在验证n=3时命题成立之后要判定命题成立，还需要（ ）
A 在假设n=k(k是3的倍数）成立后，证明n=k+1时命题也成立
B 在假设n=3k(k）成立后，证明n=3k+1时命题也成立
C 在假设n=3k(k）成立后，证明n=3k+2时命题也成立
D 在假设n=3k(k）成立后，证明n=3k+3时命题也成立
2、判断下面的证明过程是否正确，用数学归纳法证明：
3+7+11+-------+（4n-1）=n(2n+1)。
证明：①当n=1时，右边=1×（2×1+1）=1×3=3=左边，命题成立；②假设当n=k时，命题成立，即3+7+-----+(4k-1)=k(2k+1)，当n=k+1时，3+7+-----+(4k-1)+(4k+3)=(k+1)
(4k+3+3)=(k+1)(2k+3)，当n=k+1时，命题成立,根据①②得到，对一切自然数n，3+7+11+-------+（4n-1）=n(2n+1)成立。
3、比较与的大小（n）。
『思考问题1』
【问题1】是与数学归纳法定义相关的问题，解答这类问题，需要理解数学归纳法的定义，掌握数学归纳法的原理；
理解数学归纳法定义，掌握数学归纳法原理时，一点注意数学归纳法的基本步骤和正确的推理过程。
某个命题与自然数n相关，若n=k(k）时该命题成立，那么可以推出n=k+1时该命题成立，现在验证当n=5时该命题不成立，那么可以推出（ ）
A 当n=6时该命题不成立 B 当n=6时该命题成立
C 当n=4时该命题不成立 D 当n=4时该命题成立
用数学归纳法证明不等式+++------+>的过程中，由k推到k+1时，不等式左边增加了（ ）
A B +- C + D -
用数学归纳法证明>+1，对n≥的正整数n都成立，则第一步证明中的起始值应取（ ）
A 1 B 3 C 5 D 6
【问题2】解答下列问题：
1、用数学归纳法证明：+++------+=。
2、用数学归纳法证明：1+3+5+------+（2n-1）=。
3、证明命题：若a、b∈，n∈N,则≤。
4、用数学归纳法证明：1+++-------+＜2（n∈）。
5、用数学归纳法证明：当n∈时，f(n)= -8n-9能被64整除。
6、用数学归纳法证明：- 能被x+y整除。
『思考问题2』
【问题2】是运用数学归纳法证明命题成立的问题，解答这类问题需要理解并掌握数学归纳法原理，掌握运用数学归纳法证明命题成立的基本方法；
运用数学归纳法证明命题成立的基本方法是：①验证当n取某一个值时命题成立；②假设n=k成立时，推证n=k+1时命题也成立；③ 得出结论命题对一切自然数n（nN，且n≥）都成立；
运用数学归纳法证明命题成立的过程中，假设n=k成立时，推证n=k+1时命题也成立是关键的一步，解决的主要方法有两种：①采用“进”的基本方法；②采用“退”的基本方法；有时还需要运用“一凑假设”，“二凑结论”的解题技巧。
〔练习2〕解答下列问题：
1、用数学归纳法证明：+++-------+=n(4-1)。
2、用数学归纳法证明：1×2+2×3+3×4+-------+n(n+1)= n(n+1)(n+2)。
3、用数学归纳法证明：1+≤1+++------+≤+n。
4、已知a，b为正实数，且+=1，试证明对每一个n∈，都有--≥
-。
5、用数学归纳法证明：两个连续正整数的积能被2整除；
6、用数学归纳法证明-（n∈）能被x-y整除；
【问题3】解答下列问题：
1、设数列｛｝满足：=-n+1，n=1，2，3-------。
（1）当=2，求，，并由此猜想出的一个通项公式；
（2）当≥3时，证明对所有的n≥1，有：① ≥n+2；
②++-------+≤。
2、数列｛｝满足：=2n-（n∈）。
（1）计算，，，并由此猜想通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想。
3、是否存在常数a、b，使等式1×n+2(n-1)+3(n-2)+-------+(n-2)×3+(n-1)×2+n×1=n(n+a)(n+b)对一切自然数n都成立，并证明你的结论。
『思考问题3』
（1）【问题3】是通过猜想得出命题，运用数学归纳法证明命题成立的问题，解答这类问题需要理解归纳法的定义，理解并掌握数学归纳法原理，掌握运用数学归纳法证明命题成立的基本方法；
（2）归纳法是由一系列有限特殊事件得出一般结论的推理方法，在解答问题时，需要对已知的有限特殊事件，寻找出共同的特征与规律，从而得出一般的结论。
〔练习3〕解答下列问题：
已知首项是，公比是q的等比数列。
猜想等比数列的通项公式；
用数学归纳法证明（1）的结论。
2、平面内有n(n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数f(n)等于；
3、已知x（0，+），观察下列各式：x+≥2，x+=++≥3，x+=+++
≥4，---类比得x+≥n+1（n∈），则a= 。
【雷区警示】
【问题4】解答下列问题：
1、用数学归纳法证明命题“（n）当n是3的倍数时为实数”时，在验证n=3时命题成立之后要判定命题成立，还需要（ ）
A 在假设n=k(k是3的倍数）成立后，证明n=k+1时命题也成立
B 在假设n=3k(k）成立后，证明n=3k+1时命题也成立
C 在假设n=3k(k）成立后，证明n=3k+2时命题也成立
D 在假设n=3k(k）成立后，证明n=3k+3时命题也成立
2、已知｛｝是由非负整数组成的数列，满足=0，=3，.=（+3）（+2），n=3，4，5，------
（1）求；
（2）证明：=+2，n=3，4，5，------
（3）求｛｝的通项公式及其前n项和。
3、已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a，bR，都满足f(a+b)=af(b)+bf(a)。
（1）求f(0)，f(1)的值；
（2）判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若f(2)=2，=（nN），求数列｛｝的前n项和。
『思考问题4』
【问题4】是解答与数学归纳法相关问题时，容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要包括：①忽视正确理解数学归纳法的定义，导致解答问题出现错误；②忽视数学归纳法的原理及运用，导致解答问题出现错误；
解答与数学归纳法相关问题时，为避免忽视正确理解数学归纳法定义的雷区，需要正确理解数学归纳法的定义，注意数学归纳法的特征及适用范围；
解答与数学归纳法相关问题时，为避免忽视数学归纳法的原理及运用的雷区，需要理解并掌握数学归纳法的原理，掌握数学归纳法原理运用的基本方法。
〔练习4〕解答下列问题：
1、某个命题与自然数n相关，若n=k(k）时该命题成立，那么可以推出n=k+1时该命题成立，现在验证当n=5时该命题不成立，那么可以推出（ ）
A 当n=6时该命题不成立 B 当n=6时该命题成立
C 当n=4时该命题不成立 D 当n=4时该命题成立
已知数列｛｝是等差数列，=1，+++------+=145。
求数列｛｝的图像公式；
设数列｛｝的通项=（1+）（其中b>0，b1），记是数列｛｝的前n项和，试比较与的大小，并证明你的结论。
【追踪考试】
【问题5】解答下列问题：
1、第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日在成都举行，比赛项目包括15个必选项目和武术，赛艇，射击3个自选项目，共18个大项，269个小项，小张，小王，小李三位大学生在谈论自己是否会武术，赛艇，射击3个自选项目时，小张说，我和小王都不会赛艇；小王说，我会的自选项目比小张多一个；小李说，三个自选项目中我们都会的自选项目只有一个，但我不会射击，假如他们三人都说的是真话，则由此可判断小张会的自选项目是 （填写具体项目名称）（成都市高2021级高三零诊）
2、已知数列{}满足=.（n），且=2，=16。
（1）求数列{}的通项公式；
（2）设=（2n-1），求数列{ }的前n项和为；
（3）设=，记数列{}的前n项和为，证明： <2（成都市高2020级2020-2021学年度下期期末名校联盟考试）
『思考问题5』
（1）【典例5】是近几年高考（或成都市高三诊断考试或成都市高一期末考试）试卷中涉及数学归纳法的问题，归结起来主要包括：①数学归纳法定义及运用；②数学归纳法原理及运用；③运用数学归纳法的推理方法解答数学问题等几种类型；
（2）解答问题的基本方法是：①根据问题结构特征，判断问题属于哪一种类型；②运用解答该种类型问题的解题思路和解答方法对问题实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、我国南北朝时代的数学家祖桓提出体积的计算原理（祖桓原理）：“幂势既同，则积不容异”，“势”即是高，“幂”是面积。意思是：如果两等高的几何体在同高出截得的两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖桓原理，（理）如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为1的梯形，且当实数t取［0，3］上任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为 （文）如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t取［0，4］上任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的线段长始终相等，则图1的面积为 （2017成都市高三一珍）
（理科图） （文科图）
2、已知数列{}的前n项和为，且满足2=3-3。
（1）证明：数列{}是等比数列；
（2）若数列{ }满足= ，记数列{ }的前n项和为，证明： <（成都市高2019级2019-2010学年度下期期末调研考试）
数学归纳法
【考纲解读】
理解数学归纳法的定义，理解并掌握数学归纳法的基本原理，能够运用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
【知识精讲】
一、数学归纳法的概念：
【问题】认真观察分析下列问题，然后回答如下的思考问题：
1、设等差数列｛｝的首项为，公差为d，推导数列｛｝的通项公式；
2、已知数列｛｝的前几项分别是：4，- ，2，- ，-------求数列｛｝的一个通项公式；
3、已知数列｛｝的前几项分别是：3，5，9，17，33，-------求数列｛｝的一个通项公式。
『思考问题』
【问题】中涉及的几个问题的共同特点是：①已知一个问题有限的几个特殊项的结果；
②需要得出该问题能够符合各项的一个表示式；
解答【问题】中问题时，为得到问题能够符合各项的一个表示式的基本方法是：①把已知有限的几个特殊项化成相同的结构；②认真观察分析它们的结构，寻找其共同的特征，推测出项的各部分与项数n的关系；③确定各项的符号特征；④注意运用“因数分解”和“”的技巧。
1、归纳法的定义：
（1）归纳法的定义：由一系列有限特殊事件得出一般结论的推理方法，叫做归纳法；
（2）归纳法的特征：运用归纳法得到的结论不一定正确。
2、数学归纳法的定义：
（1）数学归纳法的定义：为证明一个与自然数n相关的命题，先证明n取某一个值时命题成立，再假设n=k时命题成立，只要能够证明n=k+1时，命题也成立，就可得出结论命题对一切自然数n都成立的结论，这种推理的方法，叫做数学归纳法；
（2）数学归纳法的特征：运用数学归纳法得到的结论一定正确，但数学归纳法只适用于与自然数相关的命题的证明；同时数学归纳法证明命题的步骤和格式都是固定的规范模式。
二、数学归纳法的原理：
1、数学归纳法的基本方法：
数学归纳法的基本方法是：①证明当n取某一个值时命题成立（这一步是递推的基础）；
②假设n=k（kN，且k≥）时命题成立（具有已知条件的作用），证明n=k+1时，命题成立（这一步是关键，需要“一凑假设”，“二凑结论”）；③ 得出结论命题对一切自然数n（nN，且n≥）都成立；
2、数学归纳法第二步的基本方法：
（1）数学归纳法第二步采用“进”的基本方法是：①把假设n=k命题成立作为已知条件；②将n=k换成n=k+1，通过“一凑假设”，“二凑结论”的基本方法证明结论成立；
（2）数学归纳法第二步采用“退”的基本方法是：①把假设n=k命题成立作为已知条件；②将n=k换成n=k+1，再把命题式子中n=k的部分换成假设式，从而证明结论成立。
【探导考点】
考点1数学归纳法的定义：热点①给出命题的证明过程，判断证明方法是不是数学归纳法；
热点②给出用数学归纳法证明命题的过程，判断证明方法是否正确；
考点2数学归纳法的运用：热点①直接给出命题，运用数学归纳法证明命题；热点②给出问题的几个特殊项，从而得出一般的结论并用数学归纳法对结论的正确性进行证明。
【典例解析】
【问题1】解答下列问题：
用数学归纳法证明命题“（n）当n是3的倍数时为实数”时，在验证n=3时命题成立之后要判定命题成立，还需要（ ）
A 在假设n=k(k是3的倍数）成立后，证明n=k+1时命题也成立
B 在假设n=3k(k）成立后，证明n=3k+1时命题也成立
C 在假设n=3k(k）成立后，证明n=3k+2时命题也成立
D 在假设n=3k(k）成立后，证明n=3k+3时命题也成立
【解析】
【知识点】①数学归纳法定义与性质；②数学归纳法原理及运用。
【解题思路】根据数学归纳法的性质，运用数学归纳法的原理，结合问题条件确定出在验证n=3时命题成立之后要判定命题成立，还需要的步骤就可得出选项。
【详细解答】用数学归纳法证明命题“（n）当n是3的倍数时为实数”时，在验证n=3时命题成立之后要判定命题成立，还需要在假设n=3k(k）成立后，证明n=3（k+1）=3k+3时命题也成立，D正确，选D。
2、判断下面的证明过程是否正确，用数学归纳法证明：
3+7+11+-------+（4n-1）=n(2n+1)。
证明：①当n=1时，右边=1×（2×1+1）=1×3=3=左边，命题成立；②假设当n=k时，命题成立，即3+7+-----+(4k-1)=k(2k+1)，当n=k+1时，3+7+-----+(4k-1)+(4k+3)=(k+1)
(4k+3+3)=(k+1)(2k+3)，当n=k+1时，命题成立,根据①②得到，对一切自然数n，3+7+11+-------+（4n-1）=n(2n+1)成立。
【解析】
【知识点】①数学归纳法定义与性质；②数学归纳法原理及运用。
【解题思路】根据数学归纳法的性质，运用数学归纳法的原理，结合问题条件对证明过程的正确性进行判断，就可得出结果。
【详细解答】当假设当n=k时，命题成立，证明n=k+1时，命题成立的过程中，没有运用n=k时，命题成立的条件，用数学归纳法证明3+7+11+-------+（4n-1）=n(2n+1)的推理是错误的。
比较与的大小（n）。
【解析】
【知识点】①数学归纳法定义与性质；②数学归纳法原理及运用；③ 比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据数学归纳法的性质，运用实数比较大小的基本方法，结合问题条件可以验证n=1时，>，n=2或n=4时，=，n=3时，<，利用数学归纳法的原理，可以证明当n≥5时，>恒成立，从而就可得出与的大小关系。
【详细解答】当n=1时，=2，=1，2>1，>；当n=2或n=4时，=4，=4，或=16，=16，=；n=3时，=8，=9，<，当n=5时，=32，=25，32>25，>成立，假设n=k(k，且k>5）时，>成立，即>，当n=k+1(k，且k>5）时，=2=+>+，2-，=-2k-1
=-2>16-2>14，>成立，即对一切n≥5的自然数，都有>成立，综上所述，n=3时，<；当n=2或n=4时，=；当n=1或n≥5时，>。
『思考问题1』
【问题1】是与数学归纳法定义相关的问题，解答这类问题，需要理解数学归纳法的定义，掌握数学归纳法的原理；
理解数学归纳法定义，掌握数学归纳法原理时，一点注意数学归纳法的基本步骤和正确的推理过程。
某个命题与自然数n相关，若n=k(k）时该命题成立，那么可以推出n=k+1时该命题成立，现在验证当n=5时该命题不成立，那么可以推出（ ）（答案：C）
A 当n=6时该命题不成立 B 当n=6时该命题成立
C 当n=4时该命题不成立 D 当n=4时该命题成立
用数学归纳法证明不等式+++------+>的过程中，由k推到k+1时，不等式左边增加了（ ）（答案：B）
A B +- C + D -
用数学归纳法证明>+1，对n≥的正整数n都成立，则第一步证明中的起始值应取（ ）（答案：C）
A 1 B 3 C 5 D 6
【问题2】解答下列问题：
用数学归纳法证明：+++------+=。
【解析】
【知识点】①数学归纳法定义与性质；②数学归纳法原理及运用。
【解题思路】根据数学归纳法的性质，运用数学归纳法的原理，结合问题条件就可证明+++------+=。
【详细解答】当n=1时，=1，=1，结论成立；假设当n=k时，结论成立，即+++------+=，当n=k+1时，+++------
++=+=
=结论成立，对一切自然数n，都有+++------
+=成立。
用数学归纳法证明：1+3+5+------+（2n-1）=。
【解析】
【知识点】①数学归纳法定义与性质；②数学归纳法原理及运用。
【解题思路】根据数学归纳法的性质，运用数学归纳法的原理，结合问题条件就可证明1+3+5+------+（2n-1）=。
【详细解答】当n=1时，2n-1=2-1=1，=1，结论成立；假设当n=k时，结论成立，即1+3+5+------+（2,k-1）=，当n=k+1时，1+3+5+------+（2k-1）+[2（k+1）-1]=+（2k+1）]=+2k+1=结论成立，对一切自然数n，都有1+3+5+------+（2n-1）=成立。
证明命题：若a，b∈，n∈N,则≤。
【解析】
【知识点】①数学归纳法定义与性质；②数学归纳法原理及运用。
【解题思路】根据数学归纳法的性质，运用数学归纳法的原理，结合问题条件就可证明若a，b∈，n∈N,则≤。
【详细解答】当n=1时，=，=，结论成立；假设当n=k时，结论成立，即≤，当n=k+1时，=≤
（）≤≤结论成立，对一切自然数n，都有若a，b∈，n∈N,则≤。
用数学归纳法证明：1+++-------+＜2（n∈）。
【解析】
【知识点】①数学归纳法定义与性质；②数学归纳法原理及运用。
【解题思路】根据数学归纳法的性质，运用数学归纳法的原理，结合问题条件就可证明1+++-------+＜2（n∈）。
【详细解答】当n=1时，=1，2=2，1<2，结论成立；假设当n=k时，结论成立，即1+++-------+＜2（k∈），当n=k+1时，1+++-------++＜2+＜<<2
（k∈），对一切自然数n，都有1+++-------+＜2（n∈）。
用数学归纳法证明：当n∈时，f(n)= -8n-9能被64整除。
【解析】
【知识点】①数学归纳法定义与性质；②数学归纳法原理及运用。
【解题思路】根据数学归纳法的性质，运用数学归纳法的原理，结合问题条件就可证明当n∈时，f(n)= -8n-9能被64整除。
【详细解答】当n=1时，f(1)= 81-8-9=64能被64整除；假设当n=k时，结论成立，即f(k)=-8k-9=64m（k，m∈），当n=k+1时，f(k+1)=9-8k-8-9=9（-8k-9）+64k+64=9×64m+64(k+1）=64（9m+k+1）（k，m∈）能被64整除，对一切自然数n，都有f(n)= -8n-9能被64整除。
用数学归纳法证明：- 能被x+y整除。
【解析】
【知识点】①数学归纳法定义与性质；②数学归纳法原理及运用。
【解题思路】根据数学归纳法的性质，运用数学归纳法的原理，结合问题条件就可证明- 能被x+y整除。
【详细解答】当n=1时，- =-=（x+y）（x-y）能被x+y整除；假设当n=k时，结论成立，即-=m（x+y）（k，m∈），当n=k+1时，- =（-）+（-）=（x+y）（m+x-）能被x+y整除，对一切自然数n，都有- 能被x+y整除。
『思考问题2』
【问题2】是运用数学归纳法证明命题成立的问题，解答这类问题需要理解并掌握数学归纳法原理，掌握运用数学归纳法证明命题成立的基本方法；
运用数学归纳法证明命题成立的基本方法是：①验证当n取某一个值时命题成立；②假设n=k成立时，推证n=k+1时命题也成立；③ 得出结论命题对一切自然数n（nN，且n≥）都成立；
运用数学归纳法证明命题成立的过程中，假设n=k成立时，推证n=k+1时命题也成立是关键的一步，解决的主要方法有两种：①采用“进”的基本方法；②采用“退”的基本方法；有时还需要运用“一凑假设”，“二凑结论”的解题技巧。
〔练习2〕解答下列问题：
1、用数学归纳法证明：+++-------+=n(4-1)（提示：运用数学归纳法原理）
2、用数学归纳法证明：1×2+2×3+3×4+-------+n(n+1)= n(n+1)(n+2)（提示：运用数学归纳法原理）
3、用数学归纳法证明：1+≤1+++------+≤+n（提示：运用数学归纳法原理）
4、已知a，b为正实数，且+=1，试证明对每一个n∈，都有--≥
-（提示：运用数学归纳法原理）
5、用数学归纳法证明：两个连续正整数的积能被2整除（提示：运用数学归纳法原理）
6、用数学归纳法证明-（n∈）能被x-y整除（提示：运用数学归纳法原理）
【问题3】解答下列问题：
1、设数列｛｝满足：=-n+1，n=1，2，3-------。
（1）当=2，求，，并由此猜想出的一个通项公式；
（2）当≥3时，证明对所有的n≥1，有：① ≥n+2；
②++-------+≤。
【解析】
【知识点】①数列定义与性质；②数列通项公式定义与性质；③数学归纳法定义与性质；④数学归纳法原理及运用。
【解题思路】（1）根据数列和数列通项公式的性质，结合问题条件就可求出，，的值；（2）根据数学归纳法的性质，运用数学归纳法的原理，结合问题条件就可证明对所有的n≥1，有：① ≥n+2；②++-------+≤。
【详细解答】（1）=2，=-n+1，n=1，2，3------，=4-2+1=3，=9-6+1=4，=16-12+1=5，------由此猜想出的一个通项公式=n+1（n∈）；（2）①当n=1时，≥3≥1+2，结论成立；假设当n=k时，结论成立，即≥k+2成立，当n=k+1时，=（-k）+1≥(k+2)(k+2-k)+1≥2(k+1)+1≥2k+5≥k+1+2结论成立，对一切自然数n，都有 ≥n+2；②当n=1时，≥3,≤≤≤结论成立，假设当n=k时，结论成立，即++-------+≤成立，≥3，=（-k）+1≥（k+2-k）+1≥2+1，=≥-1，1+≥，++-------+≤（1++-----+）≤×（2-）≤×2≤结论成立，对一切自然数n，都有 ++-------+≤。
2、数列｛｝满足：=2n-（n∈）。
（1）计算，，，并由此猜想通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想。
【解析】
【知识点】①数列定义与性质；②数列通项公式定义与性质；③数学归纳法定义与性质；④数学归纳法原理及运用。
【解题思路】（1）根据数列和数列通项公式的性质，结合问题条件就可求出，，的值；（2）根据数学归纳法的性质，运用数学归纳法的原理，结合问题条件就可证明（1）中的猜想。
【详细解答】（1）①当n=1时，=2n-（n∈），=2-，=1，
+=4-，=，++=6-，=，+++=8-，=，
由此猜想通项公式=2-；（2）当n=1时，=2-=2-1=1，结论成立；假设当n=k时，结论成立，即=2-，当n=k+1时，+++----++=2（k+1）-，
2=2（k+1）-2k+（1+++------+）=2+2-=4-，=2-=2-结论成立，对一切自然数n，都有=2-。
3、是否存在常数a、b，使等式1×n+2(n-1)+3(n-2)+-------+(n-2)×3+(n-1)×2+n×1=n(n+a)(n+b)对一切自然数n都成立，并证明你的结论。
【解析】
【知识点】①解答探索性问题的基本方法；②数学归纳法定义与性质；③数学归纳法原理及运用。
【解题思路】根据解答探索性问题的基本方法，结合问题条件得到关于a，b的方程组，求解方程组就可求出a，b的值，运用数学归纳法的性质和原理就可证明结论。
【详细解答】假设存在常数a、b，等式1×n+2(n-1)+3(n-2)+-------+(n-2)×3+(n-1)×2+n×1=n(n+a)(n+b)对一切自然数n都成立，当n=1时，1×1=1=(1+a)(1+b)①，当n=2时，1×1+2×1+1×1=4=(2+a)(2+b)②，联立①②解得：a=1，b=2，用数学归纳法证明等式1×n+2(n-1)+3(n-2)+-------+(n-2)×3+(n-1)×2+n×1=n(n+1)(n+2)对一切自然数n都成立，当n=1时，左边=1×1=1，右边=(1+1)(1+2)=1，等式成立；假设当n=k时，结论成立，即1×k+2(k-1)+3(k-2)+-------+(k-2)×3+(k-1)×2+k×1=k(k+1)(k+2)成立，当n=k+1时，左边=1×（k+1）+2(k+1-1)+3(k+1-2)+-------+(k+1-2)×3+(k+1-1)×2+(k+1)×1=1×k+2(k-1)+3(k-2)+-------+(k-2)×3+(k-1)×2+k×1+（1+2+3+----+k+k+1）=
k(k+1)(k+2)+=(k+1)(k+2)(k+3)=右边，对一切自然数n，都有1×n+2(n-1)+3(n-2)+-------+(n-2)×3+(n-1)×2+n×1=n(n+1)(n+2)成立。
『思考问题3』
（1）【问题3】是通过猜想得出命题，运用数学归纳法证明命题成立的问题，解答这类问题需要理解归纳法的定义，理解并掌握数学归纳法原理，掌握运用数学归纳法证明命题成立的基本方法；
（2）归纳法是由一系列有限特殊事件得出一般结论的推理方法，在解答问题时，需要对已知的有限特殊事件，寻找出共同的特征与规律，从而得出一般的结论。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知首项是，公比是q的等比数列。
（1）猜想等比数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）的结论（答案：（1）猜想等比数列的通项公式=；（2）提示：运用数学归纳法原理。）
2、平面内有n(n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数f(n)等于（提示：运用数学归纳法原理）
3、已知x（0，+），观察下列各式：x+≥2，x+=++≥3，x+=+++
≥4，---类比得x+≥n+1（n∈），则a= （答案：a=）
【雷区警示】
【问题4】解答下列问题：
1、用数学归纳法证明命题“（n）当n是3的倍数时为实数”时，在验证n=3时命题成立之后要判定命题成立，还需要（ ）
A 在假设n=k(k是3的倍数）成立后，证明n=k+1时命题也成立
B 在假设n=3k(k）成立后，证明n=3k+1时命题也成立
C 在假设n=3k(k）成立后，证明n=3k+2时命题也成立
D 在假设n=3k(k）成立后，证明n=3k+3时命题也成立
【解析】
【知识点】①数学归纳法定义与性质；②数学归纳法原理及运用。
【解题思路】根据数学归纳法的性质，运用数学归纳法的原理，结合问题条件确定出在验证n=3时命题成立之后要判定命题成立，还需要的步骤就可得出选项。
【详细解答】用数学归纳法证明命题“（n）当n是3的倍数时为实数”时，在验证n=3时命题成立之后要判定命题成立，还需要在假设n=3k(k）成立后，证明n=3（k+1）=3k+3时命题也成立，D正确，选D。
2、已知｛｝是由非负整数组成的数列，满足=0，=3，.=（+2）（+2），n=3，4，5，------
（1）求；
（2）证明：=+2，n=3，4，5，------
（3）求｛｝的通项公式及其前n项和。
【解析】
【知识点】①数列定义与性质；②数列递推公式定义与性质；③数列通项公式定义与性质；④数列前n项和公式定义与性质；⑤数学归纳法定义与性质；⑥数学归纳法原理及运用。
【解题思路】（1）根据数列和数列递推公式的性质，结合问题条件就可求出的值；（2）根据数学归纳法的性质，运用数学归纳法的原理，结合问题条件就可证明=+2，n=3，4，5，------；（3）根据数列通项公式与前n项和公式的性质，结合问题条件就可求出数列｛｝的通项公式及其前n项和。
【详细解答】（1）=0，=3，.=（+3）（+2），.=（+2）（+2）
=5×2=10，数列｛｝是由非负整数组成的数列，可能的值为1，2，5，10，当
=1时，=10，==不是整数；当=2时，=5，==4是整数；当=5时，=2，==不是整数；当=10时，=1，=（10+2）（3+2）=60是整数，==不是整数，=2；（2）当n=3时，=+2=0+2=2，结论成立，假设n=k时，结论成立，即=+2，当n=k+1时，==+2=+2结论成立，
对一切自然数n，都有=+2n=3，4，5，------；（3）=+2=+2，=+2=+2，=0，=3，=2(k-1)，=2k+1，k=1，2，3，------，=n+，n=1，2，3，------，=n（n+1），n为偶数，
n（n+1）-1，n为奇数。
3、已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a，bR，都满足f(a.b)=af(b)+bf(a)。
（1）求f(0)，f(1)的值；
（2）判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若f(2)=2，=（nN），求数列｛｝的前n项和。
【解析】
【知识点】①抽象函数定义与性质；②函数奇偶性定义与性质；③求抽象函数值的基本方法；④判断函数奇偶性的基本方法；⑤数学归纳法定义与性质；⑥数学归纳法原理及运用；⑦数列前n项和公式及运用。
【解题思路】（1）根据抽象函数的性质，运用求抽象函数值的基本方法，结合问题条件就可求出f(0)，f(1)的值；（2）根据函数奇偶性的性质，运用判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件就可判断并证明函数f(x)的奇偶性；（3）根据数学归纳法的性质，运用数学归纳法的原理，结合问题条件得到f()=nf(a)，从而得到数列｛｝的通项公式，利用数列前n项和公式就可求出数列｛｝的前n项和。
【详细解答】（1）f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a，bR，都满足f(a.b)=af(b)+bf(a)，令a=b=0有f(0.0)=0f(0)+0f(0)，f(0)=0，令a=b=1有f(1×1)=1×f(1)+1×f(1)，f(1)=0；（2）令a=b=-1有f(-1×（-1）)=-1×f(-1)-1×f(-1)，f(-1)=0，令a=-1，b=x有f(-1×x)=-1×f(x)+xf(-1)，f(-x)=-f(x)，函数f(x)是奇函数；（3）f(a×a)=f()=af(a)
+af(a)=2af(a)，f(a×)=f()=f(a)++af()==3f(a)，----由此猜想f()=nf(a)，下面用数学归纳法证明结论是正确的：当n=1时，f(a)=1×1×f(a)=f(a)成立，，假设n=k时，结论成立，即f()=kf(a)，当n=k+1时，f()=f(a×)=f(a)+af()=f(a)
+akf(a)=(k+1)f(a)结论成立，对一切自然数n，都有f()=nf(a)成立，
==f()（nN），f(1)=f(2×)=×f(2)+2×f()=0，f()=-×f(2)
=-，=×(-）（nN），==-1（nN）
『思考问题4』
【问题4】是解答与数学归纳法相关问题时，容易触碰的雷区。该类问题的雷区主要包括：①忽视正确理解数学归纳法的定义，导致解答问题出现错误；②忽视数学归纳法的原理及运用，导致解答问题出现错误；
解答与数学归纳法相关问题时，为避免忽视正确理解数学归纳法定义的雷区，需要正确理解数学归纳法的定义，注意数学归纳法的特征及适用范围；
解答与数学归纳法相关问题时，为避免忽视数学归纳法的原理及运用的雷区，需要理解并掌握数学归纳法的原理，掌握数学归纳法原理运用的基本方法。
〔练习4〕解答下列问题：
1、某个命题与自然数n相关，若n=k(k）时该命题成立，那么可以推出n=k+1时该命题成立，现在验证当n=5时该命题不成立，那么可以推出（ ）（答案：C）
A 当n=6时该命题不成立 B 当n=6时该命题成立
C 当n=4时该命题不成立 D 当n=4时该命题成立
2、已知数列｛｝是等差数列，=1，+++------+=145。
（1）求数列｛｝的通项公式；
设数列｛｝的通项=（1+）（其中b>0，b1），记是数列｛｝的前n项和，试比较与的大小，并证明你的结论（答案：（1）数列｛｝的通项公式为=3n-2；（2）=（1+1）（1+）----（1+），运用数学归纳法原理可以证明（1+1）（1+）----（1+）>，当b>1时，>；当0
【问题5】解答下列问题：
第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日在成都举行，比赛项目包括15个必选项目和武术，赛艇，射击3个自选项目，共18个大项，269个小项，小张，小王，小李三位大学生在谈论自己是否会武术，赛艇，射击3个自选项目时，小张说，我和小王都不会赛艇；小王说，我会的自选项目比小张多一个；小李说，三个自选项目中我们都会的自选项目只有一个，但我不会射击，假如他们三人都说的是真话，则由此可判断小张会的自选项目是 （填写具体项目名称）（成都市高2021级高三零诊）
【解析】
【考点】①逻辑推理定义与性质；②逻辑推理的基本方法。
【解题思路】根据逻辑推理的性质，运用逻辑推理的基本方法，结合问题条件就可得出小张会的自选项目。
【详细解答】他们三人都说的是真话，小张和小王都不会赛艇，小李不会射击，三个自选项目中我们都会的自选项目只有一个，三个人都会的自选项目是武术，小王会的自选项目比小张多一个，小张会的自选项目只有武术。
2、已知数列{}满足=.（n），且=2，=16。
（1）求数列{}的通项公式；
（2）设=（2n-1），求数列{ }的前n项和为；
（3）设=，记数列{}的前n项和为，证明： <2（成都市高2020级2020-2021学年度下期期末名校联盟考试）
【解析】
【考点】①等比数列定义与性质；②等比数列通项及运用；③求数列前n项和的基本方法；④数学归纳法定义与性质；⑤数学归纳法原理及运用。
【解答思路】（1）根据等比数列的性质，运用等比数列的通项公式，结合问题条件就可求出数列{}的通项公式；（2）由（1）得到数列{}的通项公式，运用求数列前n项和的基本方法就可求出数列{ }前n项和的值；（3）根据数学归纳法的性质，运用数学归纳法原理，由（1）得到数列{}的通项公式，得到<，运用求数列前n项和的基本方法求出的表示式就可证明<2。
【详细解答】（1）数列{}满足=.（n），数列{}是等比数列，设数列{}的公比为q，=2，=16，2=16，q=2，数列{}的通项公式为
=2=；（2）=（2n-1）==（2n-1），=2+3+5+-----
+（2n-3）. +（2n-1）①，2=+3+5+-----+（2n-3）. +（2n-1）②，①-②得：-=2+2（++------+）-（2n-1）=2+2-（2n-1）
=2-8+2-（2n-1）=-6-（2n-3），=6+（2n-3）；（3）=
=<，当n=1时，-=-==<2成立，假设n=k时，结论成立，即=<+++----+<2-2<2成立，当n=k+1时，<，<+++-------++<2-（2-）<2-2<2结论成立，对一切自然数n，都有 <2。
『思考问题5』
（1）【典例5】是近几年高考（或成都市高三诊断考试或成都市高一期末考试）试卷中涉及
数学归纳法的问题，归结起来主要包括：①数学归纳法定义及运用；②数学归纳法原理及运
用；③运用数学归纳法的推理方法解答数学问题等几种类型；
（2）解答问题的基本方法是：①根据问题结构特征，判断问题属于哪一种类型；②运用解答该种类型问题的解题思路和解答方法对问题实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、我国南北朝时代的数学家祖桓提出体积的计算原理（祖桓原理）：“幂势既同，则积不容异”，“势”即是高，“幂”是面积。意思是：如果两等高的几何体在同高出截得的两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖桓原理，（理）如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为1的梯形，且当实数t取［0，3］上任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为 （文）如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t取［0，4］上任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的线段长始终相等，则图1的面积为 （2017成都市高三一珍）
（理科图） （文科图）（答案：理；文8。）
2、已知数列{}的前n项和为，且满足2=3-3。
（1）证明：数列{}是等比数列；
（2）若数列{ }满足= ，记数列{ }的前n项和为，证明： <（成都市高2019级2019-2010学年度下期期末调研考试）（答案：（1）=；（2）提示：先用错项相减法求出关于n的表示式，再运用数学归纳法原理证明）