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11.1.1 三角形的边 同步分层作业
基础训练
1．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）以下列长度的各组线段为边，不能组成三角形的是（ ）．
A．3，5，8 B．3，4，6 C．10，8，7 D．1，2，2
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】A．，不能组成三角形，符合题意；
B．，能组成三角形，不符合题意；
C．，能组成三角形，不符合题意；
D．，能组成三角形，不符合题意；
故选：A．
2．（23-24八年级上·天津宁河·期中）一个三角形的两边长为12和7，第三边长为整数，则第三边长的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】此题考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最大值．
【详解】设第三边为，
根据三角形的三边关系，得：，
即，
∵为整数，
∴的最小值为6．
故选：B．
3．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知n是正整数，若一个三角形的三边长分别是2、8、，则满足条件的n的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此列式计算，即可作答．
【详解】解：∵三角形的三边长分别是2、8、，
∴，
∴，
∴
∴满足条件的n的值是3，有1个．
故选：A．
4．（23-24八年级上·河北沧州·期中）若使用如图所示的①②两根直铁丝做成一个三角形框架，则需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段的是（ ）
A．①②都可以 B．①②都不可以
C．只有①可以 D．只有②可以
【答案】C
【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边求解即可．
【详解】解：∵，
∴根据三角形的任意两边之和大于第三边，需要将的直铁丝分为两段，
即只有①可以，②不可以，
故选：C．
5．（11-12七年级下·浙江台州·期中）如图所示，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A、B间的距离不可能是（ ）
A．5米 B．15米 C．10米 D．20米
【答案】A
【分析】本题考查三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边的关系是解题的关键．根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出范围，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
即5米米，
∴不可能等于5米，
故选：A．
6．（23-24八年级上·山东日照·期末）已知中，其中有两边长是2和5，且的第三边长是偶数，则此三角形的周长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．11或13
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，再由第三边长是偶数求出第三边的长，最后根据三角形周长计算公式求解即可．
【详解】解：∵中，其中有两边长是2和5，
∴第三边长，即第三边长，
又∵第三边唱为偶数，
∴第三边长为4或6，
∴该三角形的周长为或，
故选：D．
7．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）若a、b、c为的三边长，且满足，则c的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查根式的非负性，三角形三边关系，根据非负式子和为0，它们分别等于0求出两边，再根据三角形三边关系求解即可得到答案；
【详解】解：∵，，，
∴，，
解得：，，
∵a、b、c为的三边长，
∴，即，
故答案为：．
8．（23-24八年级上·新疆和田·期中）长分别为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形 种选法．
【答案】3
【分析】本题主要考查了三角形三边关系，判断三条线段是否能构成三角形的三边的判定方法是解题关键，根据三角形的三边关系判断即可得解。
【详解】解：从11，8，6，4的四根木条中选三根有4种选法，它们分别是①11，8，6；②11，8，4；③ 11，6，4；④8，6，4．
其中①②④符合三角形的三边关系，②不符合三角形的三边关系．
故有3种选法，
故答案为：3．
9．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）已知，为△ABC的三边长，且满足，则的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的三边关系的应用；根据非负数的性质求得的值，进而根据三角形的三边关系，确定三边长，再根据三角形的周长公式，即可求解．
【详解】解：∵，为△ABC的三边长，且满足，
∴，
∴
当三边分别为时，，不能构成三角形，
当三边为时，，能构成三角形，的周长为，
故答案为：．
10．（23-24八年级上·北京西城·期中）在校运动会举办前夕，李老师想设计一款等腰三角形彩旗幡悬挂于赛场上，为同学们加油助威．已知每面彩旗的腰长，若其底边长度为整数，则底边长度的最大值为 ．
【答案】11
【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系可得，进而可求解，熟记：“三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键．
【详解】解：依题意得：
，
底边长度为整数，
底边长度的最大值为11，
故答案为：11．
11．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）探究：如图，用钉子把木棒、和分别在端点、处连接起来，用橡皮筋把连接起来，设橡皮筋的长是．
(1)若，，，试求的最大值和最小值；
(2)在（1）的条件下要围成一个四边形，你能求出x的取值范围吗
【答案】(1)最大值为19，最小值为3
(2)
【分析】此题考查了三角形的三边关系，关键是确定取最值时木棒的位置及围成四边形时满足的条件．
（1）最大值应该是所有其他三条线段的和，最小值是用最大的线段的长减去其他两条相对较短的线段的长；
（2）当大于最小值，小于最大值时，可构造四边形，根据（1）中的最大值和最小值即可确定的取值范围．
【详解】（1）要求的最大值，即将绕点逆时针方向旋转，使其与在一条直线上；将绕点顺时针方向旋转，使其与在一条直线上，即四点从左到右依次为、、、．
，，，
，
要求的最小值，即将绕顺时针方向旋转，使其与共线；将绕点逆时针方向旋转，使其与共线，即四点从左到右依次为、、、．
，，，
．
综上，的最大值是19，最小值是3．
（2）要围成四边形，则的取值范围为：．
12．（23-24八年级上·湖北鄂州·期中）数学课本第29页复习题的第9题如下：
如图1，填空：
由三角形两边的和大于第三边，得________，________．将不等式左边、右边分别相加，得________，即________．
(1)补全上面步骤；
(2)仿照图1的方法，请你利用图2，过P作直线交，于M，N，证明：．
【答案】(1)，， ，
(2)见解析
【分析】本题主要考查了三角形三边关系；
（1）根据三角形三边关系进行解答即可；
（2）利用三角形三边关系进行证明即可．
解题的关键是熟练掌握三角形任意两边的和大于第三边．
【详解】（1）解：由三角形的两边之和大于第三边，得，，
将不等式两边相加得：，
即；
故答案为：；；；．
（2）解：在中，，
在中，
在中，，
将三个不等式相加得：，
即．
13．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）王强准备用一段长为30米的篱笆围成一个三角形形状的区域，用于饲养小动物，已知第一条边为a米，由于受地势的限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米．
(1)请用a表示第二条边长和第三条边长；
(2)第一条边长可以为7米吗？为什么？
【答案】(1)；
(2)不可以，理由见解析．
【分析】（1）根据“第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米”表示出第二条边长，然后再根据总长即可表示出第三条边长；
（2）若第一条边长为7米，分别求出第二条边长和第三条边长，判断是否能构成三角形即可．
【详解】（1）解：∵第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米，第一条边长为a米
∴第二条边长为米，
由题意可知：第三条边长为米；
（2）若，则第二条边长为米，第三条边长为米
∵
∴此时不能构成三角形，
∴第一条边长不可以为7米．
【点睛】此题考查的是用代数式表示实际意义和三角形的三边关系，掌握实际问题中各个量之间的关系和用三边关系判断三条线段是否能构成三角形是解决此题的关键．
能力提升
14．（23-24八年级上·辽宁营口·期中）如果依次用分别表示图3中（1）、（2）、（3）、（4）内三角形的个数，那么， ．
【答案】24
【分析】本题主要考查了图形类规律题，根据题意得到，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
．
故答案为：24
15．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）已知是三角形的三边长．
(1)化简：；
(2)满足，且三角形的周长是16，判断此三角形的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)此三角形是等腰三角形，详见解析
【分析】本题考查了三角形三边关系定理，化简绝对值及绝对值的非负性，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键．
（1）根据三角形三边关系定理可得，，再去绝对值符号即可；
（2）根据及三角形的周长是16求得a，b，c的值即可判断三角形的形状．
【详解】（1）解：是三角形的三边长，
．
，．
．
（2）此三角形是等腰三角形．
理由如下：
，
．
．
三角形的周长是16，
．
．
此三角形是等腰三角形．
16．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）已知，，是三边的长．
(1)若，，满足，试判断的形状；
(2)化简．
【答案】(1)等边三角形
(2)
【分析】本题考查化简绝对值、不等式的性质、三角形的三边关系和三角形分类；
（1）根据非负数的性质，可得出，进而得出结论；
（2）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可．
【详解】（1），
且，
，
为等边三角形；
（2），，是的三边长，
，，，
，，，
．
17．（22-23八年级·全国·课堂例题）已知a，b，c分别为的三边长，且满足，，c为偶数，求的周长．
【答案】12
【分析】此题考查三角形的三边关系，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题．根据三角形任意两边之和大于第三边得出，任意两边之差小于第三边得出，列不等式组并求得c的取值范围；结合限制性条件“c为偶数”求得c的值；最后由三角形周长公式解答．
【详解】解：由三角形三边关系，得，
解得．
∵c为偶数，
．
，
解得，
∴的周长为．
18．（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数．
(1)若a，b，c满足，试判断的形状；
(2)若，，且c是奇数，试判断的形状；
(3)化简：．
【答案】(1)是等边三角形；
(2)是等腰三角形；
(3)
【分析】（1）根据非负式子和为0它们分别等于0直接求解判断即可得到答案；
（2）根据三角形三边关系结合c是奇数直接求解即可得到答案；
（3）根据三角形三边关系直接求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
解得：，
∴是等边三角形；
（2）解：∵，，
∴，即，
∵c是奇数，
∴，
∴是等腰三角形；
（3）解：由三边关系得，
，，，
∴原式，
．
【点睛】本题考查三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，绝对值非负性的运用，解题的关键是熟练掌握非负式子和为0它们分别等于0．
拔高拓展
19．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）小明和小红在一本数学资料书上看到有这样一道竞赛题：“已知的三边长分别为a、b、c（），且满足求c的取值范围”
(1)小明说：“c的取值范围，我看不出如何求，但我能求出a的长度”你知道小明是如何计算的吗？你帮他写出求解的过程；
(2)小红说：“我也看不出如何求c的取值范围，但我能用含c的式子表示b”同学，你能吗？若能，帮小红写出过程；
(3)小明和小红一起去问数学老师，老师说：“根据你们二人的求解，利用书上三角形的三边关系，即可求出答案”你知道答案吗？请写出过程
【答案】(1)能，；
(2)能，；
(3)．过程见解析
【分析】（1）利用偶次方以及绝对值的性质化简求出即可；
（2）利用进而求出即可；
（3）利用三角形三边关系分别得出即可．
【详解】（1）解：由题意得：
，
则；
（2）解：由得：
；
（3）解：由三角形三边关系可得
，
解之得：，
又因为：，即，
∵，
∴，
故．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及偶次方以及绝对值的性质等知识，根据三角形三边关系得出是解题关键．
20．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知O为内的任一点，求证：．
【答案】见解析
【分析】对于证明线段之间不等关系的题目，常常把线段转化为一个或多个三角形的边，然后利用三角形三边关系证明．
【详解】证明：如图，延长交于点D．
∵三角形两边的和大于第三边，
∴，①
，②
①+②，得，
即．
同理可得，，
∴，
即．
∴，，，
∴，
即．
∴．
【点睛】本题考查三角形的三边关系．解题的关键是构造三角形，利用三角形的三边关系进行证明．中小学教育资源及组卷应用平台
11.1.1 三角形的边 同步分层作业
基础训练
1．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）以下列长度的各组线段为边，不能组成三角形的是（ ）．
A．3，5，8 B．3，4，6 C．10，8，7 D．1，2，2
2．（23-24八年级上·天津宁河·期中）一个三角形的两边长为12和7，第三边长为整数，则第三边长的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知n是正整数，若一个三角形的三边长分别是2、8、，则满足条件的n的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
4．（23-24八年级上·河北沧州·期中）若使用如图所示的①②两根直铁丝做成一个三角形框架，则需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段的是（ ）
A．①②都可以 B．①②都不可以
C．只有①可以 D．只有②可以
5．（11-12七年级下·浙江台州·期中）如图所示，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A、B间的距离不可能是（ ）
A．5米 B．15米 C．10米 D．20米
6．（23-24八年级上·山东日照·期末）已知中，其中有两边长是2和5，且的第三边长是偶数，则此三角形的周长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．11或13
7．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）若a、b、c为的三边长，且满足，则c的取值范围是 ．
8．（23-24八年级上·新疆和田·期中）长分别为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形 种选法．
9．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）已知，为△ABC的三边长，且满足，则的周长为 ．
10．（23-24八年级上·北京西城·期中）在校运动会举办前夕，李老师想设计一款等腰三角形彩旗幡悬挂于赛场上，为同学们加油助威．已知每面彩旗的腰长，若其底边长度为整数，则底边长度的最大值为 ．
11．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）探究：如图，用钉子把木棒、和分别在端点、处连接起来，用橡皮筋把连接起来，设橡皮筋的长是．
(1)若，，，试求的最大值和最小值；
(2)在（1）的条件下要围成一个四边形，你能求出x的取值范围吗
12．（23-24八年级上·湖北鄂州·期中）数学课本第29页复习题的第9题如下：
如图1，填空：
由三角形两边的和大于第三边，得________，________．将不等式左边、右边分别相加，得________，即________．
(1)补全上面步骤；
(2)仿照图1的方法，请你利用图2，过P作直线交，于M，N，证明：．
13．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）王强准备用一段长为30米的篱笆围成一个三角形形状的区域，用于饲养小动物，已知第一条边为a米，由于受地势的限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米．
(1)请用a表示第二条边长和第三条边长；
(2)第一条边长可以为7米吗？为什么？
能力提升
14．（23-24八年级上·辽宁营口·期中）如果依次用分别表示图3中（1）、（2）、（3）、（4）内三角形的个数，那么， ．
15．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）已知是三角形的三边长．
(1)化简：；
(2)满足，且三角形的周长是16，判断此三角形的形状，并说明理由．
16．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）已知，，是三边的长．
(1)若，，满足，试判断的形状；
(2)化简．
17．（22-23八年级·全国·课堂例题）已知a，b，c分别为的三边长，且满足，，c为偶数，求的周长．
18．（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数．
(1)若a，b，c满足，试判断的形状；
(2)若，，且c是奇数，试判断的形状；
(3)化简：．
拔高拓展
19．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）小明和小红在一本数学资料书上看到有这样一道竞赛题：“已知的三边长分别为a、b、c（），且满足求c的取值范围”
(1)小明说：“c的取值范围，我看不出如何求，但我能求出a的长度”你知道小明是如何计算的吗？你帮他写出求解的过程；
(2)小红说：“我也看不出如何求c的取值范围，但我能用含c的式子表示b”同学，你能吗？若能，帮小红写出过程；
(3)小明和小红一起去问数学老师，老师说：“根据你们二人的求解，利用书上三角形的三边关系，即可求出答案”你知道答案吗？请写出过程
20．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知O为内的任一点，求证：．
