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11.2.1 三角形内角和定理 同步分层作业
基础训练
1．（2024八年级·全国·竞赛）已知三角形3个内角的度数之比为，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．针角三角形 D．以上皆有可能
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于是解题的关键．根据三角形内角和定理求出最大的内角的度数即可．
【详解】解：三角形3个内角的度数之比为，
此三角形的最大内角的度数是，
此三角形是直角三角形。
故选：
2．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，处在处的南偏西的方向，处在处的南偏东方向，，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了与方向角有关的计算，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识点，正确的计算，是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，，
∴，
∴，
故选：．
3．（23-24八年级上·广东佛山·期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（ ）
A．如图①，过点作
B．如图②，延长到，过点作
C．如图③，过上一点作，
D．如图④，过点作
【答案】D
【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，故A选项不符合题意，
∵，
∴，
∵，
∴，故B选项不符合题意，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，故C选项不符合题意，
∵，
∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意，
故选：D
4．（23-24八年级上·重庆合川·期末）如图，在中，，将沿折叠，使点A落在边上处，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．无法判断与的大小关系
【答案】A
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．由折叠的性质得由折叠的性质得，，从而求出，由三角形内角和可求出，从而可得．
【详解】解：如图，
由折叠的性质得，，．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
5．（23-24八年级下·广东茂名·阶段练习）如图所示，将一副三角尺放置于两条平行线之间，已知，那么为（ ）
A．60° B．67.5° C．72.5° D．75°
【答案】D
【分析】本题考查了三角形内角和定理和平行直线的性质，熟记三角形内角和定理是解题的关键．先求出和的度数，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如下图所示，作
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
6．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，点是内一点，分别是和的平分线，则等于（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，根据即可求解.
【详解】解：∵分别是和的平分线，
∴，
∴
∵
∴
∴
故选：B
7．（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，将一张三角形纸片沿着折叠（点D、E分别在边、上），点A落在点的位置，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形内角定理，折叠的性质；根据折叠知，，，再结合三角形内角和定理求解．
【详解】如图，由折叠知，，，
，，
∴，
故答案为：．
8．（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习）在学行线和平面镜的相关知识后，老师要求同学们进行跨学科综合编题（注：射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．）如图1，是平面镜，，分别为入射光线与反射光线，则，小明设计如下：如图2，入射光线经镜面与反射后，在点处射出，若，，镜面与的夹角，可计算的度数为 度．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，垂线的定义，平行线的性质，先根据光的反射定律得到，再由三角形内角和定理得到，由垂线的定义得到，设，则，，根据平行线的性质得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
9．（23-24八年级上·安徽亳州·期中）如图，是的边上的高，是的平分线．
（1）若，，则的度数为 ；
（2）若，，用含、的代数式表示的度数为 ．
【答案】 /77度
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，再根据角平分定义求出，然后根据三角形内角和定理得出答案；
（2）先表示出，即可得出，再根据三角形内角和定理表示，最后根据得出答案．
【详解】（1）∵，，
∴.
∵是的平分线，
∴，
∴.
故答案为：；
（2）∵，，
∴.
∵平分，
∴.
在中，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，高线，三角形内角和定理，理解各角之间的数量关系是解题的关键．
10．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，点是上两点，点分别是上的点，将和分别沿着折叠，它们的对应三角形分别是和．若，则 ．
【答案】40
【分析】本题考查了折叠的性质以及三角形内角和定理．由折叠的性质得，，利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：由折叠的性质得，，
又∵，
∴
，
故答案为：40．
11．（23-24八年级上·湖北荆州·期末）小学我们通过度量或剪拼的方法可以验证三角形的内角和等于，但是，这种“验证”不是“数学证明”，又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法——验证，所以需要推理的方法去证明．从三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角的操作过程，小聪发现了证明的思路：为了证明三个角的和为，利用转化思想将三角形的三个内角转化为一个平角或同旁内角互补，这种方法也是数学中的常用方法，具体可按如下几种做法操作，如图（1）、（2）（3）、（4）．小聪的证明过程如下：
已知：．求证：．
证明：过点A作，
（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，内错角相等），
，．
(1)经历以上四种不同的方法的推理活动，我们可以获得以下那些基本的活动经验：__________（填序号）
①四种辅助线分别从三角形的顶点、边上的点和平面上的点构造平行线，遵循了我们研究问题从特殊到一般的规律；
②四种辅助线分别构造一条、两条、三条平行线，符合知识的形成规律和学生的认知规律；
③本题渗透了将三角形的三个内角转化为一个平角或同旁内角互补的转化思想；
④三角形的内角和为我们将来学习四边形和更多边形得内角和提供了依据．
(2)小明用了不同的方法，过D作，作，如图（2），请你写出证明过程．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】本题考查了三角内角和定理的证明方法，平行线的性质，也考查了一种转化的思想方法，是把三角形的三个内角转化为一个平角，借助平角定义和平行线的性质得到结论.
（1）根据题意即可得出结论；
（2）过D作，作，利用平行线的性质即可证明.
【详解】（1）解：根据题意，经历以上四种不同的方法的推理活动，我们可以获得基本的活动经验为：.
（2）证明：过D作，作，如图，
，，
，，（两直线平行，同位角相等）
，，（两直线平行，同旁内角相补）
，
，
.
12．（23-24八年级上·山东青岛·期末）已知：如图，点B、C在线段的异侧，点E、F分别是线段、上的点，，．
(1)求证：；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，则 度．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)60
【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚角之间的关系．
（1）由对顶角相等可得，从而可得，则可判定；
（2）由平角的定义可得，从而可求得，则可判定，则有，从而可求证；
（3）由（2）得，则有，从而可求的度数，利用三角形的内角和即可求的度数．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴．
故答案为：60．
能力提升
13．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）如图，，，点是边上一点，连接，延长、交于点．点是边上一点，连接，使得，作的平分线交于点．若，则的度数用含的式子表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形内角和定理、平行线的判定与性质、角平分线的定义，设，由平行线的性质得出，从而得出，推出，求出，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：设，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
故选：B．
14．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）如图，，，则、的关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键．
延长交于点G，延长交于点H，求出，，再根据平行线的性质得出，进而可得答案．
【详解】解：延长交于点G，延长交于点H，如图，
，
，
在中，，
，
，
，即，
，
，即．
故选：D．
15．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应（ ）度．
A．增加10 B．减少10 C．增加20 D．减少20
【答案】B
【分析】本题考查了三角形内角和的度数以及对顶角相等．连接，在中，求出，然后再中，求出，即可求解．
【详解】解：连接，如图所示，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴应减少10度．
故选：B．
16．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图．在中，，，分别平分和，且相交于F，，于点G，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键．根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；只需要证明，，即可判断③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断②④．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∵，，，
∴，，即，
∴，
又∵，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵，分别平分，∠ACB，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确；
∵，
∴，故②正确；
故选D
17．（23-24八年级上·浙江衢州·期中）已知中，，在图（1）中、的角平分线交于点，则计算可得；
（1）在图（2）中，设、的两条三等分角线分别对应交于、，得到则 ；
（2）在图（3）中请你猜想，当、同时n等分时，条等分角线分别对应交于、 ，则 （用含n的代数式表示）．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义及三等分线，n等分线的定义．
（1）根据三角形的内角和等于得出，再由、的两条三等分角线分别对应交于得出的度数，进而可得出结论；
（2）根据n等分的定义求出的度数，在中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解．
【详解】解：（1）在中，，
，
和分别是的三等分线，
；
．
故答案为：；
（2）∵和分别是的n等分线，
；
．
故答案为：．
18．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）如图，把的纸片沿着折叠．
(1)若点落在四边形的内部点的位置（如图1），且，请直接写出的度数；
(2)若点落在四边形的外部的上方点的位置（如图2），则与有怎样的关系？请说明你的理由；
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平角的定义：
（1）由折叠的定义得到，再由平角的定义求出，的度数，即可根据三角形内角和定理求出的度数；
（2）先由折叠的性质得到，，再由平角的定义得到，则由三角形内角和定理得到，则，进而得到，即．
【详解】（1）解：由折叠的性质可得，
∵，，
∴，
同理可得，
∴；
（2）解：，理由如下：
由折叠的性质可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
19．（23-24八年级上·河南焦作·期末）如图①，线段，相交于点．
(1)求证：；
(2)如图②，线段线段，相交于点，和的角平分线相交于点，，相交于点，，相交于点，若，，请结合（1）中的结论，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解题的关键．
（1）由三角形内角和定理可得：，，结合，即可证明；
（2）根据（1）中结论可得，，结合题意可得，即可求解．
【详解】（1）证明：在中，，在中，．
，
，
；
（2）解：，，
和的平分线与相交于点，
，，
由，得，
∴．
，，
，
．
20．（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）问题引入：
(1)如图1，在中，点是和平分线的交点，若，则 ，若，则 （用α表示）；
(2)如图2，，，若，则 （用α表示），填空并说明理由．
【答案】(1)，；
(2)，理由见解析
【分析】本题考查的是三角形内角和定理：
（1）求出的度数，根据平分线的定义得出，，求出的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论；同理可得时的度数；
（2）根据三角形内角和定理用α表示出的度数，进而可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵分别是的角的平分线，
∴，，
∴，
∴；
同理，当时，，
∴，
∴；
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：
拔高拓展
21．（2024八年级下·广东深圳·专题练习）阅读下面内容，并解答问题
在学行线的性质后，老师请学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．
已知：如图1，，直线分别交，于点E，F，的平分线与的平分线交于点G．
(1)直线，有何关系？请补充结论：求证：“__________”，并写出证明过程；
(2)如图3，，直线分别交，于点E，F．点O在直线，之间，且在直线 右侧，的平分线与的平分线交于点P，请猜想与满足的数量关系，并证明它．
【答案】(1)，证明见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．
（1）由平行线的性质得与互补，由角平分线的定义可得，由三角形内角和定理可得，则；
（2）设，，故=，再得到，根据角平分线的定义可得，则，再求出，即可比较得到结论．
【详解】（1）解：由题意可得，求证：“”，证明过程如下：
∵，
∴，
平分，平分，
，，
．
在中，，
，
．
故答案为：；
（2）解：猜想：．
证明：设，，
∴=，
∵，
∴，
则，
∵的平分线与的平分线交于点，
∴，，
∴，
∴，
∴=，
∵，
∴．
22．（23-24八年级上·山东青岛·期末）【基础探究】
（1）如图1，，点E是上的点，点P是和之间的一点，连接、.若，，则的度数为________；
（2）如图2，，的平分线与的平分线交于点G，当时，则的度数为________；
（3）如图3，，点A、点C分别是、上的点，点B和点F是和之间的点，连接、、、.若，，、分别平分、，则的度数为________；
【问题迁移】
（4）如图4，在中，、分别平分、.则与的数量关系为：________；
【拓展深化】
在中，D、E是、上的点，设，.
（5）如图5，、分别平分、.用含m、n的式子表示的度数为________；
（6）如图6，、分别平分、，射线与的平分线相交于点H，点H在内部，用含m、n的式子表示的度数为________.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
【分析】（1）过点P作，再根据平行线的性质即可得出答案；
（2）过G点作，再根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出答案；
（3）过B点作，过点F作，再根据平行线的性质和角的等量关系即可得出答案；
（4）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，即可求解；
（5）根据第（4）问建立模型，延长、交于点F，再根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，即可求解；
（6）根据三角形的内角和定理计算，，即可求解．
【详解】（1）过点P作，如图所示：
，，
，
，，
，，
；
（2）过G点作，如图所示：
，，
，，
，
，则，
的平分线与的平分线交于点G，
，，
，
，
，则，
；
（3）过B点作，过点F作，如图所示：
、分别平分、，
，，
，，，
，
，，，，
，，
，
，，
，
；
（4）、分别平分、，
，，
，
，
，
，
；
（5）根据第（4）问建立模型，延长、交于点F，可将图5补形成下图：
，，，
，
由题（4）问可知，
；
（6）设，交于点F，如图所示：
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定义与三角形的外角的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
11.2.1 三角形内角和定理 同步分层作业
基础训练
1．（2024八年级·全国·竞赛）已知三角形3个内角的度数之比为，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．针角三角形 D．以上皆有可能
2．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，处在处的南偏西的方向，处在处的南偏东方向，，的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级上·广东佛山·期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（ ）
A．如图①，过点作
B．如图②，延长到，过点作
C．如图③，过上一点作，
D．如图④，过点作
4．（23-24八年级上·重庆合川·期末）如图，在中，，将沿折叠，使点A落在边上处，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．无法判断与的大小关系
5．（23-24八年级下·广东茂名·阶段练习）如图所示，将一副三角尺放置于两条平行线之间，已知，那么为（ ）
A．60° B．67.5° C．72.5° D．75°
6．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，点是内一点，分别是和的平分线，则等于（ ）
A． B． C． D．无法确定
7．（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，将一张三角形纸片沿着折叠（点D、E分别在边、上），点A落在点的位置，若，则 ．
8．（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习）在学行线和平面镜的相关知识后，老师要求同学们进行跨学科综合编题（注：射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．）如图1，是平面镜，，分别为入射光线与反射光线，则，小明设计如下：如图2，入射光线经镜面与反射后，在点处射出，若，，镜面与的夹角，可计算的度数为 度．
9．（23-24八年级上·安徽亳州·期中）如图，是的边上的高，是的平分线．
（1）若，，则的度数为 ；
（2）若，，用含、的代数式表示的度数为 ．
10．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，点是上两点，点分别是上的点，将和分别沿着折叠，它们的对应三角形分别是和．若，则 ．
11．（23-24八年级上·湖北荆州·期末）小学我们通过度量或剪拼的方法可以验证三角形的内角和等于，但是，这种“验证”不是“数学证明”，又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法——验证，所以需要推理的方法去证明．从三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角的操作过程，小聪发现了证明的思路：为了证明三个角的和为，利用转化思想将三角形的三个内角转化为一个平角或同旁内角互补，这种方法也是数学中的常用方法，具体可按如下几种做法操作，如图（1）、（2）（3）、（4）．小聪的证明过程如下：
已知：．求证：．
证明：过点A作，
（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，内错角相等），
，．
(1)经历以上四种不同的方法的推理活动，我们可以获得以下那些基本的活动经验：__________（填序号）
①四种辅助线分别从三角形的顶点、边上的点和平面上的点构造平行线，遵循了我们研究问题从特殊到一般的规律；
②四种辅助线分别构造一条、两条、三条平行线，符合知识的形成规律和学生的认知规律；
③本题渗透了将三角形的三个内角转化为一个平角或同旁内角互补的转化思想；
④三角形的内角和为我们将来学习四边形和更多边形得内角和提供了依据．
小明用了不同的方法，过D作，作，如图（2），请你写出证明过程．
12．（23-24八年级上·山东青岛·期末）已知：如图，点B、C在线段的异侧，点E、F分别是线段、上的点，，．
(1)求证：；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，则 度．
能力提升
13．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）如图，，，点是边上一点，连接，延长、交于点．点是边上一点，连接，使得，作的平分线交于点．若，则的度数用含的式子表示为（ ）
A． B． C． D．
14．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）如图，，，则、的关系为（ ）
A． B．
C． D．
15．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应（ ）度．
A．增加10 B．减少10 C．增加20 D．减少20
16．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图．在中，，，分别平分和，且相交于F，，于点G，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
17．（23-24八年级上·浙江衢州·期中）已知中，，在图（1）中、的角平分线交于点，则计算可得；
（1）在图（2）中，设、的两条三等分角线分别对应交于、，得到则 ；
（2）在图（3）中请你猜想，当、同时n等分时，条等分角线分别对应交于、 ，则 （用含n的代数式表示）．
18．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）如图，把的纸片沿着折叠．
(1)若点落在四边形的内部点的位置（如图1），且，请直接写出的度数；
(2)若点落在四边形的外部的上方点的位置（如图2），则与有怎样的关系？请说明你的理由；
19．（23-24八年级上·河南焦作·期末）如图①，线段，相交于点．
(1)求证：；
(2)如图②，线段线段，相交于点，和的角平分线相交于点，，相交于点，，相交于点，若，，请结合（1）中的结论，求的度数．
20．（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）问题引入：
(1)如图1，在中，点是和平分线的交点，若，则 ，若，则_________（用α表示）；
(2)如图2，，，若，则 （用α表示），填空并说明理由．
拔高拓展
21．（2024八年级下·广东深圳·专题练习）阅读下面内容，并解答问题
在学行线的性质后，老师请学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．
已知：如图1，，直线分别交，于点E，F，的平分线与的平分线交于点G．
(1)直线，有何关系？请补充结论：求证：“__________”，并写出证明过程；
(2)如图3，，直线分别交，于点E，F．点O在直线，之间，且在直线 右侧，的平分线与的平分线交于点P，请猜想与满足的数量关系，并证明它．
22．（23-24八年级上·山东青岛·期末）【基础探究】
（1）如图1，，点E是上的点，点P是和之间的一点，连接、.若，，则的度数为________；
（2）如图2，，的平分线与的平分线交于点G，当时，则的度数为________；
（3）如图3，，点A、点C分别是、上的点，点B和点F是和之间的点，连接、、、.若，，、分别平分、，则的度数为________；
【问题迁移】
（4）如图4，在中，、分别平分、.则与的数量关系为：________；
【拓展深化】
在中，D、E是、上的点，设，.
（5）如图5，、分别平分、.用含m、n的式子表示的度数为________；
（6）如图6，、分别平分、，射线与的平分线相交于点H，点H在内部，用含m、n的式子表示的度数为________.
