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11.2.2 直角三角形 同比分层作业
基础训练
1．（23-24八年级下·湖南郴州·期中）在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，一块直尺与一个直角三角形如图放置，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23七年级下·四川成都·期中）在下列条件：①；②；③；④中，不能确定为直角三角形的条件有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（23-24八年级上·河北张家口·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23七年级下·江苏无锡·期末）如图，在四边形中，，，平分．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八年级下·广东茂名·期中）如图，在中，，点D在上，于点交与点F．若，则 ．
7．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，分别是边上的高，若，则的度数是 ，的度数是 ．
8．（2023·湖南·中考真题）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则 度．
9．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，与的平分线交于点I，则的度数是 °．
10．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，的平分线交于点，小琪在写作业时，发现如下规律：
①当时，；
②当时，；
③当时，；
(1)根据上述规律，若，则________；
(2)请你用数学表达式归纳出与的关系：________；
(3)请证明你的结论．
11．（23-24八年级上·河南洛阳·阶段练习）（1）如图①，在中，，于点D，图中有与相等的角吗？为什么？
（2）如图②，把图①中的D点向右移动，作交于点E，图中还有与相等的角吗？为什么？
（3）如图③，把图①中的D点向左移动，作交的延长线于点E，图中还有与相等的角吗？为什么？
12．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，是的角平分线，点在是上，交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
13．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，是的边上的高，平分交于E，．
(1)若，求的度数；
(2)若，则______．
能力提升
14．（21-22八年级上·广东广州·开学考试）如图，，平分交于E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．以下结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．（22-23八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，分别平分和，且相交于F，，于点G，则下列结论①；②；③；④；⑤平分，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④
16．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，中，分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点，交于点．下列结论：①；②；③；其中正确的是 ．
17．（20-21七年级上·浙江宁波·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点 C 按如图方式叠放在一起，其中，，．当，且点 E 在直线 的上 方时，若这两块三角尺有两条边平行，则 ．
18．（22-23八年级下·安徽宿州·期中）如图1，将三角板与三角板摆放在一起．如图，其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角．
(1)若，则为 ；
(2)当时，连接，如图，则 ．
19．（20-21七年级下·山东青岛·期末）阅读并填空．将三角尺（，）放置在上（点P在内），如图①所示，三角尺的两边、恰好经过点B和点C．我们来探究：与是否存在某种数量关系．
(1)特例探索：若，则______度；______度；
(2)类比探索：求，，的关系，并说明理由；
(3)变式探索：如图②所示，改变三角尺的位置，使点P在外，三角尺的两边、仍恰好经过点B和点C，求，，的关系，并说明理由．
20．（23-24八年级上·重庆江津·期中）在中，是的角平分线，，
(1)如图1，是边上的高，，，求的度数；
(2)如图2，点在上，于，猜想与、的数量关系，并证明你的结论．
拔高拓展
21．（23-24八年级上·河南濮阳·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”
例如：在中，如果，为“开心三角形”
问题：如图，中，，，点是线段上一点（不与重合），连接
(1)如图1，若，则是“开心三角形”吗？为什么？
(2)若是“开心三角形”，直接写出的度数
22．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）【题目】如图①，在中，，平分，于点．试探究与，的数量关系．
【探究】小明尝试代入，的值求的值，得到下面几组对应值：
（单位：度） 70 75 80
（单位：度） 30 45 20
（单位：度） 20 15 a
（1）上表中________，猜想得到与，的数量关系为________；
（2）证明（1）中猜想得到的与，的数量关系；
【应用】如图②，在中，平分，是线段上一点，于点．若，，则的大小为________度；
【拓展】如图③，在中，，平分，点在的延长线上，于点，分别作和的平分线，交于点．设，，则的大小为__________（用含，的式子表示）．中小学教育资源及组卷应用平台
11.2.2 直角三角形 同步分层作业
基础训练
1．（23-24八年级下·湖南郴州·期中）在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角和等于90度是解题的关键．根据握直角三角形两锐角和等于90度求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴
∵
∴
解得：
故选：B．
2．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，一块直尺与一个直角三角形如图放置，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，根据平行线的性质求出，然后根据邻补角的定义求出，最后根据直角三角形两个锐角互余求出即可．准确识图是解题的关键．
【详解】解：如图，
直尺的两边互相平行，
，
，
故选：．
3．（22-23七年级下·四川成都·期中）在下列条件：①；②；③；④中，不能确定为直角三角形的条件有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键．根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案．
【详解】解：①当时，不能判定是直角三角形，
故本小题不符合题意；
②，
，，，
是直角三角形，故本小题符合题意；
③设，则，
，解得，
，故本小题不符合题意；
④设，，，
则，
解得，故，
是直角三角形，故本小题符合题意；
综上所述，是直角三角形的是②④共2个．
故选：C
4．（23-24八年级上·河北张家口·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，由折叠的性质可得， ，再根据三角形的内角和定理即可求解．明确折叠前后对应角相等是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵将三角形纸片沿BD折叠，
∴， ，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
5．（22-23七年级下·江苏无锡·期末）如图，在四边形中，，，平分．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义求得，，再利用三角形内角和定理求得的度数，然后利用角的和差即可求得答案．
【详解】解：，
，，
，
，
平分，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握相关知识是解题关键．
6．（23-24八年级下·广东茂名·期中）如图，在中，，点D在上，于点交与点F．若，则 ．
【答案】/42度
【分析】本题主要考查了余角的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余，等角的余角相等是解题的关键；利用等角的余角相等和已知角可求出∠EDB，从而可求得∠EDF；
【详解】 ，
，
故答案为：；
7．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，分别是边上的高，若，则的度数是 ，的度数是 ．
【答案】 /20度 /40度
【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，在和中，，求得和的度数，再由求得的度数，在中即可求得的度数．
【详解】解：∵在和中，分别是边上的高，
．
又，
∴在中，．
故答案为：；．
8．（2023·湖南·中考真题）《周礼考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）……”意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘……”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则 度．
【答案】//．
【分析】根据矩、宣、欘的概念计算即可．
【详解】解：由题意可知，
矩，
欘宣矩，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了新概念的理解，直角三角形锐角互余，角度的计算；解题的关键是新概念的理解，并正确计算．
9．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，与的平分线交于点I，则的度数是 °．
【答案】135
【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
由题意知，，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵是的平分线，
∴，
∴，
故答案为：135．
10．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，的平分线交于点，小琪在写作业时，发现如下规律：
①当时，；
②当时，；
③当时，；
(1)根据上述规律，若，则________；
(2)请你用数学表达式归纳出与的关系：________；
(3)请证明你的结论．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
（1）利用角平分线的定义得到，，然后利用三角形的内角和定理求出即可；
（2）根据所给数据归纳出与的关系即可；
（3）利用角平分线的定义得到，，然后利用三角形的内角和定理求出即可证明结论．
【详解】（1）解：在中，，
，
∵，的平分线交于点，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）数学表达式归纳出与的关系为，
故答案为：；
（3）证明：在中，
，
∵，的平分线交于点，
∴，，
∴，
∴．
11．（23-24八年级上·河南洛阳·阶段练习）（1）如图①，在中，，于点D，图中有与相等的角吗？为什么？
（2）如图②，把图①中的D点向右移动，作交于点E，图中还有与相等的角吗？为什么？
（3）如图③，把图①中的D点向左移动，作交的延长线于点E，图中还有与相等的角吗？为什么？
【答案】（1）有，见解析；（2）有，见解析；（3）有，见解析
【分析】（1）由可得，根据可得，然后根据等量代换即可解答；
（2）根据平移的性质得到，于是得到，在中，，再根据等量代换得到结论；
（3）根据平移的性质得到，于是得到，在中，，再根据等量代换得到结论．
【详解】解：（1）有．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）有．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
（3）有．理由如下：
理由：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了平移的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
12．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，是的角平分线，点在是上，交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查与角平分线的关的角的计算，直角三角形两锐角互余．
（1）先根据角平分线的定义得，再根据直角三角形两锐角互余求解；
（2）根据角平分线的定义和直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】（1）解：是的平分线，
．
，则．
在中，，
；
（2）解：是的平分线，
，
．
13．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，是的边上的高，平分交于E，．
(1)若，求的度数；
(2)若，则______．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义及三角形的内角和定理可知，再由直角三角形确定，然后结合图形计算即可解答．
（2）同（1）方法类似求解即可．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴，
∵是的边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∵是的边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
能力提升
14．（21-22八年级上·广东广州·开学考试）如图，，平分交于E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．以下结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，角平分线，平行线的判定与性质是解题的关键．
如图，由题意知，，，则，，，由，可知，则，由，可证，可判断①的正误；由，可知，由，可知，可判断②的正误；由平分，可得，由，可得，则，即平分，可判断③的正误；由题意知，，由和的平分线交于点F，可得，，则，可判断④的正误．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，①正确，故符合要求；
∵，
∴，
∵，
∴，②错误，故不符合要求；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，即平分，③正确，故符合要求；
由题意知，，
∵和的平分线交于点F，
∴，
∵，
∴，
∴，④正确，故符合要求；
故选：C．
15．（22-23八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，分别平分和，且相交于F，，于点G，则下列结论①；②；③；④；⑤平分，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．①②③④
【答案】B
【分析】根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；只需要证明，，即可判断④；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断②③；根据现有条件无法推出⑤．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∵，，，
∴，，即，
∴，
又∵，
∴，故④正确；
∵，
∴，
∵，分别平分，∠ACB，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，故②错误；
根据现有条件，无法推出平分，故⑤错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键．
16．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，中，分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点，交于点．下列结论：①；②；③；其中正确的是 ．
【答案】①②
【分析】由，为的高线，根据同角的余角相等可得①正确；根据三角形外角的性质和角平分线的性质变形得到，进而可得②正确；根据且，变形可得，故③错误．
【详解】解：①∵，
∴，
∵为的高，
∴，即，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∴ ，故②正确；
③∵，，
∴，即，
∵，，
∴，
即，
∴，
∴，故③错误，
∴正确的结论有①②，
故答案为：①②．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，三角形的高线、角平分线的概念以及三角形外角的性质等知识，灵活运用是解题的关键．
17．（20-21七年级上·浙江宁波·期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点 C 按如图方式叠放在一起，其中，，．当，且点 E 在直线 的上 方时，若这两块三角尺有两条边平行，则 ．
【答案】或
【分析】分，讨论结合平行线性质求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
∵，
∴或，
当时，
∵，，
，
当时，
∵，，
，
，，
故答案为：或．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，掌握分类讨论思想是解题的关键．
18．（22-23八年级下·安徽宿州·期中）如图1，将三角板与三角板摆放在一起．如图，其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角．
(1)若，则为 ；
(2)当时，连接，如图，则 ．
【答案】 /度 /度
【分析】（1）记与的交点为．根据三角形内角和定理得出，进而根据，即可求解；
（2）设分别交，于点，．在中，根据三角形内角和定理，根据，，可得，即可得出．
【详解】（1）如图，记与的交点为．
，
．
．
，
即．
故答案为：．
（2）如图，设分别交，于点，．在中，．
，，．
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂直的定义，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
19．（20-21七年级下·山东青岛·期末）阅读并填空．将三角尺（，）放置在上（点P在内），如图①所示，三角尺的两边、恰好经过点B和点C．我们来探究：与是否存在某种数量关系．
(1)特例探索：若，则______度；______度；
(2)类比探索：求，，的关系，并说明理由；
(3)变式探索：如图②所示，改变三角尺的位置，使点P在外，三角尺的两边、仍恰好经过点B和点C，求，，的关系，并说明理由．
【答案】(1)90；40
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】本题考查三角形内角和定理的应用．
（1）利用三角形内角和定理即可解决问题．
（2）结论：．利用三角形内角和定理即可证明．
（3）结论：．利用三角形内角和定理即可解决问题．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
故答案为：90，40；
（2）解：结论：，
证明：，
，
，
．
故答案为：；
（3）解：结论：，
理由是：设交于，如图
，
，即，
，
故答案为：．
20．（23-24八年级上·重庆江津·期中）在中，是的角平分线，，
(1)如图1，是边上的高，，，求的度数；
(2)如图2，点在上，于，猜想与、的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)，证明见详解
【分析】此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，解题时注意：三角形内角和是．
（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到，，进而得出，由此即可解决问题．
（2）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到．
【详解】（1）解：如图1
平分，
，
，
，
，
，，
．
（2）解：结论：．
理由：如图2，过作于，
，
，
，
由（1）可得，，
．
拔高拓展
21．（23-24八年级上·河南濮阳·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”
例如：在中，如果，为“开心三角形”
问题：如图，中，，，点是线段上一点（不与重合），连接
(1)如图1，若，则是“开心三角形”吗？为什么？
(2)若是“开心三角形”，直接写出的度数
【答案】(1)是“开心三角形”，理由见解析
(2)或或
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键．
（1）利用直角三角形的性质和三角形内角和定理求得，再利用“开心三角形”的定义解答即可；
（2）利用分类讨论的方法，根据“开心三角形”的定义解答即可．
【详解】（1）解：是“开心三角形”，
理由如下：
，
，
，
，
在中，，
，
为开心三角形”，
在中，，
，
为开心三角形”；
（2）解：若是“开心三角形”，由于点是线段上一点（不与，重合），
则或或，
当时，；
当时，；
当时，；
综上，的度数为或或．
22．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）【题目】如图①，在中，，平分，于点．试探究与，的数量关系．
【探究】小明尝试代入，的值求的值，得到下面几组对应值：
（单位：度） 70 75 80
（单位：度） 30 45 20
（单位：度） 20 15 a
（1）上表中________，猜想得到与，的数量关系为________；
（2）证明（1）中猜想得到的与，的数量关系；
【应用】如图②，在中，平分，是线段上一点，于点．若，，则的大小为________度；
【拓展】如图③，在中，，平分，点在的延长线上，于点，分别作和的平分线，交于点．设，，则的大小为__________（用含，的式子表示）．
【答案】探究：（1）30，；（2）见解析；应用：15；拓展：
【分析】探究：
（1）根据三角形内角和等于，求得，根据三角形的角平分线可求得，再根据直角三角形的两锐角互余可求得，由此即可得到答案；
根据表中三组数据即可猜想与，的数量关系；
（2）根据三角形内角和等于，求得，根据三角形的角平分线可求得，然后根据直角三角形的两锐角互余可求得，最后计算即可证得答案；
应用：
根据三角形的角平分线可求得，根据三角形内角和等于，求得，再根据直角三角形的两锐角互余即可得到答案；
拓展：
根据三角形内角和等于，求得，根据三角形的角平分线可求得，，再根据三角形的外角定理可求得，进一步计算即可求得答案．
【详解】探究：
（1）当，时，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：30．
根据表中三组数据可猜想与，的数量关系为：，
故答案为：．
（2）证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，；
应用：
平分，，
，
，
，
，
，
故答案为：15．
拓展：
当，时，如图④，记与交于点M，
，
平分，
，
平分，
，
，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角定理，直角三角形的性质，三角形的角平分线，熟知相关知识并能灵活运用是解答本题的关键．
