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11.3.2 多边形的内角和 同步分层作业
基础训练
1．（20-21七年级下·江苏扬州·期中）一个多边形的每个外角均为，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．六边形 C．五边形 D．四边形
2．（23-24八年级上·广东惠州·期中）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，共产生金牌481枚，银牌480枚，铜牌631枚，奖牌取名“湖山”，以良渚文化中的礼器玉琮为表征，将八边形和圆形奖章融为一体，别具一格，具有很高的辨识度，请问该八边形的内角和是多少度？（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）多边形的内角和不可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级上·云南昭通·期中）如果一个正多边形的边数增加2，那么它的外角和增加（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24八年级上·河南信阳·期末）如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为，那么这个多边形的一个外角等于（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八年级上·山东东营·期末）如图是一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角，算出这个正多边形的边数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
7．（22-23八年级·全国·课堂例题）一个正多边形，它的每个内角都等于相邻外角的5倍，那么这个正多边形对角线的总条数为（ ）
A． B． C． D．
8．（22-23八年级上·北京西城·期末）如图1所示，是一把木工台锯时使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度．在图2的六角尺示意图中，x的值为（ ）
A．135 B．120 C．112.5 D．112
9．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图所示，小华从O点出发，沿直线前进15米后左转，再沿直线前进15米后又向左转，…，照这样走下去，他第一次回到出发地O点时，一共走的路程是（ ）
A．120米 B．150米 C．180米 D．240米
10．（22-23八年级下·四川成都·期末）足球有12个正五边形，20个正六边形，一共32个面．通常由黑白两种颜色组成．之所以如此设计，是因为用正六边形的两个内角和正工边形的一个内角加起来略微小于，这样由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙的大小为 ．
11．（23-24八年级上·海南海口·期末）一个多边形每个外角都是，这个多边形是 边形，它的内角和是 度，外角和是 度．
12．（22-23八年级·全国·课堂例题）一个正多边形的内角和大于或等于而小于，则这个正多边形的边数可以是 ．（填出一个即可）
13．（23-24八年级上·湖北黄冈·期中）阅读小明和小红的对话，解决下列问题．
(1)这个“多加的锐角”是__________度．
(2)小明求的是几边形内角和？
(3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？
14．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图所示，在四边形中，与的平分线相交P，且 ，，求的度数．
15．（23-24八年级上·重庆云阳·阶段练习）已知一个多边形的边数为．
(1)若，求这个多边形的内角和．
(2)若这个多边形的内角和的比一个四边形的外角和多，求的值．
能力提升
16．（23-24八年级上·山东泰安·期末）七边形中，、的延长线相交于点．若图中、、、的外角的角度和为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
17．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，原多边形的边数是（ ）．
A．8或9或10 B．7或8或9 C．6或7或8 D．5或6或7
18．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为，则这个多边形的边数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
19．（23-24八年级上·四川广安·期末）如图是被撕掉一块的正多边形纸片，若直线，则该多边形的每个内角的度数是（ ）
A． B． C． D．
20．（23-24八年级上·山东济宁·期中）生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种性质相同的图形拼接而成的．像这样的用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．如果选用两种儿何图形镶嵌整个地面，下列哪种组合能镶嵌成一个平面图形．（ ）
A．正三角形和正五边形 B．正方形和正六边形
C．正方形和正八边形 D．正五边形和正九边形
21．（23-24八年级上·全国·期末）在平面上给出七点，，，，，，，联结这些点形成七个角．在图（a）中，这七点固定，且令，在图（b），（c）中，，，，四点固定，，，变动，此时，令，则下述结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．α比β有时大有时小
E．无法确定
22．（23-24八年级上·湖北黄冈·阶段练习）一个正方形、一个正三角形和一个正五边形如图摆放，若，则 ．
23．（23-24八年级上·福建厦门·期末）在生活中经常看到一些拼合图案如图所示，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙. 从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌) 的问题．
(1)如果限用一种正多边形来覆盖平面的一部分，正六边形是否能镶嵌成一个平面图形 请说明理由；
(2)同时用正方形和正八边形是否能镶嵌成一个平面图形 请说明理由；
(3)请你探索，是否存在同时用三种不同的正多边形组合(至少包含一个正五边形) 镶嵌成的平面图形，写出验证过程．
拔高拓展
24．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）阅读材料：
我们知道：探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其它求角度的问题，如图，四边形是凸四边形，探索其内角和的方法是：连接对角线，则四边形的内角和就转化为和的内角和为．
解决问题：
（1）如图①，四边形是凹四边形，请探究与，，三个角之间的数量．小明得出的结论是．他的证明如下．请你将小明的证明过程补充完整．
证明：连接并延长到点．
联系拓广：
（2）下面图②的五角星和图③的六角星都是一笔画成的，即从图形的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分化成的．请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题：
①图②中，的度数为__________；
②图③中，的度数为__________．中小学教育资源及组卷应用平台
11.3.2 多边形的内角和 同步分层作业
基础训练
1．（20-21七年级下·江苏扬州·期中）一个多边形的每个外角均为，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．六边形 C．五边形 D．四边形
【答案】C
【分析】本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，然后根据外角和为360°即可求得多边形的边数．
【详解】∵多边形外角和为，
∴多边形的外角个数为：，
∴ 这个多边形是五边形．
故选：C．
2．（23-24八年级上·广东惠州·期中）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，共产生金牌481枚，银牌480枚，铜牌631枚，奖牌取名“湖山”，以良渚文化中的礼器玉琮为表征，将八边形和圆形奖章融为一体，别具一格，具有很高的辨识度，请问该八边形的内角和是多少度？（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查多边形的内角和，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．利用多边形的内角和公式计算即可．
【详解】解：，
即八边形的内角和为，
故选：C．
3．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）多边形的内角和不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，对于定理的理解是解决本题的关键．
n边形的内角和是，即多边形的内角和一定是180的正整数倍，依此即可解答．
【详解】解：不能被整除，一个多边形的内角和不可能是．
故选：B．
4．（23-24八年级上·云南昭通·期中）如果一个正多边形的边数增加2，那么它的外角和增加（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了多边形的内角和外角．正确理解多边形内角与外角的性质．
【详解】解：一个多边形，外角和始终是，不会随边数改变．
故选：A．
5．（23-24八年级上·河南信阳·期末）如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为，那么这个多边形的一个外角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了正多边形内角和和外角和定理，设这个多边形的边数为n，根据n边形的内角和为得到方程，解方程求出，再根据多边形外角和为360度即可求出答案．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得，，
解得，
∴这个多边形的一个外角等于，
故选：C．
6．（23-24八年级上·山东东营·期末）如图是一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角，算出这个正多边形的边数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【分析】本题考查了三角形内角和定理，正多边形的性质，正多边形的外角与边数的关系，熟练掌握正多边的外角和等于是解题的关键．根据三角形内角和定理以及正多边形的性质，得出，然后可得每一个外角为，进而即可求解．
【详解】解：依题意，，，
∴，
∴，
∴这个正多边形的一个外角为，
∴这个多边形的边数为，
故选：D．
7．（22-23八年级·全国·课堂例题）一个正多边形，它的每个内角都等于相邻外角的5倍，那么这个正多边形对角线的总条数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查多边形形的内外角关系及对角线条数，求出多边形的边数及对角线是条即可得到答案；
【详解】解析：设正多边形的每个外角为，则其每个内角为，
根据题意，得，解得，
，
对角线总条数为，
故选：D．
8．（22-23八年级上·北京西城·期末）如图1所示，是一把木工台锯时使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度．在图2的六角尺示意图中，x的值为（ ）
A．135 B．120 C．112.5 D．112
【答案】C
【分析】本题考查了多边形的内角和，一元一次方程的应用等知识．先求出六边形的内角和为，再列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：由题意得六边形的内角和为，
∴，
解得．
故选：C
9．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图所示，小华从O点出发，沿直线前进15米后左转，再沿直线前进15米后又向左转，…，照这样走下去，他第一次回到出发地O点时，一共走的路程是（ ）
A．120米 B．150米 C．180米 D．240米
【答案】C
【分析】本题主要考查了正多边形的性质，解题的关键是掌握正多边形每个外角相等，每条边相等．根据题意可知，小华所走路径是一个正多边形，先求出的边数，根据正多边形的性质，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
（米），
故选：C ．
10．（22-23八年级下·四川成都·期末）足球有12个正五边形，20个正六边形，一共32个面．通常由黑白两种颜色组成．之所以如此设计，是因为用正六边形的两个内角和正工边形的一个内角加起来略微小于，这样由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙的大小为 ．
【答案】/12度
【分析】
本题考查正多边形的性质，求出正六边形，正五边形的每个内角度数，即可求出的度数，关键是掌握正多边形的每个内角相等．
【详解】解：∵正六边形的每个内角，
正五边形的每个内角，
∴，
故答案为：．
11．（23-24八年级上·海南海口·期末）一个多边形每个外角都是，这个多边形是 边形，它的内角和是 度，外角和是 度．
【答案】 六 720 360
【分析】本题主要考查了利用外角求正多边形的边数的方法，多边形的内角和公式，根据正多边形的性质，边数等于除以每一个外角的度数；利用多边形的内角和公式计算，多边形外角和都是，即可解答．
【详解】解：∵一个多边形的每个外角都是，
∴，
这个多边形内角和为，
多边形外角和都是，
这个多边形外角和，
故答案为：六，720，360．
12．（22-23八年级·全国·课堂例题）一个正多边形的内角和大于或等于而小于，则这个正多边形的边数可以是 ．（填出一个即可）
【答案】5（或6或7）
【分析】本题考查了多边形，掌握多边形的内角和定理是解决本题的关键．设该正多边形的边数为，列出方程求解得结论．
【详解】设该正多边形的边数为，则
，
解得．
∵为正整数，
∴或或．
故答案为：5（或6或7）
13．（23-24八年级上·湖北黄冈·期中）阅读小明和小红的对话，解决下列问题．
(1)这个“多加的锐角”是__________度．
(2)小明求的是几边形内角和？
(3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？
【答案】(1)
(2)小明求的是边形内角和
(3)这个正多边形的一个内角是
【分析】本题考查了多边形的内角和，一元一次方程的应用．熟练掌握多边形的内角和，一元一次方程的应用是解题的关键．
（1）由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍，根据，计算求解即可；
（2）由题意知，，计算求解即可；
（3）根据这个正多边形的一个内角是，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍，
∴这个“多加的锐角”是 ，
故答案为：；
（2）解：由题意知，，
解得，，
∴小明求的是边形内角和；
（3）解：由题意知，这个正多边形的一个内角是，
∴这个正多边形的一个内角是．
14．（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图所示，在四边形中，与的平分线相交P，且 ，，求的度数．
【答案】
【分析】
本题考查了四边形的内角和，三角形的内角和定理，以及角平分线的性质，正确熟练掌握相关知识点进行角度的计算是解决本题的关键．
由四边形内角和知，结合角平分线的意义和三角形内角和定理得．
【详解】
解：∵在四边形中，，，，
∴，
∵与的平分线相交P，
∴，
∴，
∴在中，．
∴的度数为．
15．（23-24八年级上·重庆云阳·阶段练习）已知一个多边形的边数为．
(1)若，求这个多边形的内角和．
(2)若这个多边形的内角和的比一个四边形的外角和多，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查多边形内角和公式及外角和，读懂题意，利用多边形内角和公式求角度、按照题意列方程求解即可得到答案，熟记多边形内角和公式及四边形外角和为是解决问题的关键．
（1）根据多边形的内角和公式，代值求解即可得到答案；
（2）根据多边形内角和公式及四边形外角和为，由题意列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：多边形的内角和公式为，
，这个多边形的内角和；
（2）解：多边形的内角和公式为，四边形的外角和为，
由题意可得，解得．
能力提升
16．（23-24八年级上·山东泰安·期末）七边形中，、的延长线相交于点．若图中、、、的外角的角度和为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查的是多边形内角与外角的知识点，熟练掌握多边形内角与外角的关系是本题的解题关键．根据外角和内角的关系可求得、、、的和，由五边形内角和可求得五边形的内角和，则可求得．
【详解】解：∵、、、的外角的角度和为，
∴，
∴，
∵五边形内角和，
∴，
∴．
故选：．
17．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，原多边形的边数是（ ）．
A．8或9或10 B．7或8或9 C．6或7或8 D．5或6或7
【答案】B
【分析】根据切后的内角和可以求出切后的多边形边数，然后又知一个多边形切去一个角可得到的多边形有三种可能，分别是比原边数少1，相等，多1．所以可求得原多边形边数．
【详解】解：设切去一角后的多边形为n边形．根据题意得：
．
解得∶．
因为一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1，
所以原多边形的边数可能为7、8或9．
故选：B
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和问题，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键．
18．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为，则这个多边形的边数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】D
【分析】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可．
【详解】解：设这个内角度数为，边数为n，
则，
，
∴，
∵n为正整数，，
∴，
故选：D．
19．（23-24八年级上·四川广安·期末）如图是被撕掉一块的正多边形纸片，若直线，则该多边形的每个内角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形的内角问题，分别延长相交于点E，可正多边形定义可得，可得到，再由，可得，从而得出，最后求解即可．
【详解】如图，分别延长相交于点E，
∵此多边形是正多边形，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴该多边形的每个内角的度数是，
故选：B．
20．（23-24八年级上·山东济宁·期中）生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种性质相同的图形拼接而成的．像这样的用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．如果选用两种儿何图形镶嵌整个地面，下列哪种组合能镶嵌成一个平面图形．（ ）
A．正三角形和正五边形 B．正方形和正六边形
C．正方形和正八边形 D．正五边形和正九边形
【答案】C
【分析】本题考查了平面镶嵌，判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．由此逐项判断即可．
【详解】解：A选项，正三角形的内角为，正五边形内角为，的整数倍和的整数倍之和不能凑成，因此不能镶嵌成一个平面图形，不合题意；
B选项，正方形的内角为，正六边形内角为，的整数倍和的整数倍之和不能凑成，因此不能镶嵌成一个平面图形，不合题意；
C选项，正方形的内角为，正八边形内角为，，因此能镶嵌成一个平面图形，符合题意；
D选项，正五边形的内角为，正九边形内角为，的整数倍和的整数倍之和不能凑成，因此不能镶嵌成一个平面图形，不合题意；
故选C．
21．（23-24八年级上·全国·期末）在平面上给出七点，，，，，，，联结这些点形成七个角．在图（a）中，这七点固定，且令，在图（b），（c）中，，，，四点固定，，，变动，此时，令，则下述结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．α比β有时大有时小
E．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查多边形的内角和．根据多边形内角和的计算方法分别求出各个图形中的、，再比较大小即可．
【详解】解：如图，连接、，
四边形的内角和为，
，
又，而，
，
即，
如图，连接，
五边形的内角和为，
，
又，
，
即，
如图，连接，
由图可得，，
即，
，
故选：B．
．
22．（23-24八年级上·湖北黄冈·阶段练习）一个正方形、一个正三角形和一个正五边形如图摆放，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形的内角和定理；根据正多边形的内角以及三角形的外角和为度，即可求解．
【详解】解：正三角形的每一个内角为，正方形的每一个内角为，正五边形的每一个内角为，
∵，，
∴，
故答案为：．
23．（23-24八年级上·福建厦门·期末）在生活中经常看到一些拼合图案如图所示，它们或是用单独的正方形或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙. 从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌) 的问题．
(1)如果限用一种正多边形来覆盖平面的一部分，正六边形是否能镶嵌成一个平面图形 请说明理由；
(2)同时用正方形和正八边形是否能镶嵌成一个平面图形 请说明理由；
(3)请你探索，是否存在同时用三种不同的正多边形组合(至少包含一个正五边形) 镶嵌成的平面图形，写出验证过程．
【答案】(1)正六边形能镶嵌成一个平面图形，理由见解析
(2)同时用正方形和正八边形能镶嵌成一个平面图形，理由见解析
(3)存在同时用三种不同的正多边形组合(至少包含一个正五边形) 镶嵌成的平面图形，验证见解析
【分析】本题主要考查了正多边形的内角和，正多边形的外角和问题，熟练掌握正多边形的内角和为是解此题的关键．
（1）先求出正六边形的内角和，再求出每一个内角的度数，用除以内角的度数，看是否能够除尽，由此即可得出答案；
（2）正方形的每个内角为，求出正八边形的每一个内角为，再结合，即可得出答案；
（3）求出正方形的每个内角为，正五边形的每一个内角为，正二十变形的每一个内角为，由，即可得出答案．
【详解】（1）解：正六边形能镶嵌成一个平面图形，
理由如下：
正六边形的内角和为：，
正六边形的每一个内角为：，
，
正六边形能镶嵌成一个平面图形；
（2）解：同时用正方形和正八边形能镶嵌成一个平面图形，
理由如下：
正八边形的内角和为：，
正八边形的每一个内角为：，
，
同时用块正方形和块正八边形能镶嵌成一个平面图形；
（3）解：存在同时用三种不同的正多边形组合(至少包含一个正五边形) 镶嵌成的平面图形，
理由如下：
正方形的每个内角为，
正五边形的内角和为：，
正五边形的每一个内角为：，
正二十边形的内角和为：，
正二十边形的每一个内角为：，
，
存在同时用三种不同的正多边形组合(至少包含一个正五边形) 镶嵌成的平面图形，此时该平面图形由块正二十边形、块正五边形、块正方形构成．
拔高拓展
24．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）阅读材料：
我们知道：探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其它求角度的问题，如图，四边形是凸四边形，探索其内角和的方法是：连接对角线，则四边形的内角和就转化为和的内角和为．
解决问题：
（1）如图①，四边形是凹四边形，请探究与，，三个角之间的数量．小明得出的结论是．他的证明如下．请你将小明的证明过程补充完整．
证明：连接并延长到点．
联系拓广：
（2）下面图②的五角星和图③的六角星都是一笔画成的，即从图形的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分化成的．请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题：
①图②中，的度数为__________；
②图③中，的度数为__________．
【答案】（1）见解析；（2）①；②
【分析】本题考查了凹四边形的角的关系，熟知三角形外角定理，应用（1）结论，将图形转化三角形或四边形内角和知识是解题关键．
（1）先证明，，相加即可；
（2）①利用（1）结论，得到，再根据三角形内角和进行等量代换即可求解；②利用（1）结论，得到，再根据四边形内角和进行等量代换即可．
【详解】（1）连接并延长到点，则为的外角，是的外角，
，，
，
，
，
；
（2）①如图2，由（1）得：，
，
，
，
故答案为：
①如图3，由（1）得：，
，
，
，
故答案为：．
