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第十一章 三角形 单元测试（提升卷）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（20-21七年级下·全国·课后作业）一个八十二边形中，它的内角中的锐角最多可以有的个数是（ ）．
A．1 B．3 C．41 D．82
2．（2021·辽宁沈阳·一模）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则S△ABC的面积为（ ）
A． B．3 C． D．4
3．（17-18八年级上·湖南·阶段练习）四边形不具有稳定性，当四边形形状改变时，发生变化的是( )
A．四边形的边长 B．四边形的周长
C．四边形的某些角的大小 D．四边形的内角和
4．（18-19八年级上·安徽合肥·期中）一个三角形三条边长度的比为2：3：4，且其中一条边长是12cm，这个三角形周长不可能是（ ）
A．54cm B．36cm C．27cm D．24cm
5．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，已知点是射线上一点，过作交射线于点，交射线于点，下列结论正确的是（ ）
A．的余角只有 B．图中互余的角共有对
C．的补角只有 D．图中与互补的角共有个
6．（2024·北京石景山·二模）当多边形的边数每增加1时，它的内角和与外角和（ ）
A．都增加 B．都不变
C．内角和增加，外角和不变 D．内角和增加，外角和减少
7．（2024·安徽合肥·三模）两个直角三角板如图所示摆放，其中，，，，分别与交于点，，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，四边形中，，与，相邻的两外角的平分线交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）已知的面积等于18，，则与的面积和等于（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．9
10．（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题4分，共20分）
11．（2024·陕西榆林·二模）如图所示的地面由正五边形和正n边形两种地砖镶嵌而成，则的度数为 °．
12．（2024·广东广州·二模）如图，D、E分别是上两点，点A与点关于轴对称，，，，则 ．
13．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和，交射线于点，，当点运动到使时，的度数为 （用含有的代数式表示）
14．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）如图，在中，分别平分分别平分三角形的两个外角，则 ．
15．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图1为一种可折叠阅读书架，支架可以绕点O旋转，置书面可以绕点C转动调节．首先调节，使，如图2所示，此时；再将绕O点顺时针旋转至，使 ，且，此时比大，则 度．
三、解答题（16-18题每题4分，19题6分，20题7分，21、22题每题8分，23题9分，共50分）
16．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）已知三角形的三边长分别为，化简：．
17．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，
(1)画的高，，；
(2)若，，，求：：．
18．（2024·吉林长春·一模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图：
(1)在图①中，确定一个格点（不与重合），连结、，使得的面积和的面积相等；
(2)在图②中，确定一个格点，连结、，使得的面积是的面积的2倍；
(3)在图③中，确定两个格点和，连结、和，使得四边形的面积是的面积的3倍．
19．（2024·浙江杭州·一模）问题情境：在探索多边形的内角与外角关系的活动中，同学们经历了观察、猜想、实验、计算、推理、验证等过程，提出了问题，请解答．
（1）若四边形的一个内角的度数是α．
①求和它相邻的外角的度数（用含α的代数式表示）；
②求其它三个内角的和（用含α的代数式表示）．
（2）若一个n边形，除了一个内角，其余内角的和为，求n的值．
深入探究：
（3）探索n边形的一个外角与和它不相邻的个内角的和之间满足的等量关系，说明理由．
20．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在中，平分，平分，连接、，且．
(1)证明：；
(2)若，，求的度数；
(3)作与的角平分线交于点，探究、的数量关系，并证明你的结论．
21．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，⊥于点平分．
(1)若，则 °；
(2)与有何数量关系？证明你的结论；
(3)点G是线段上任一点（不与C、E重合），作，交的延长线于点H，点F在的延长线上．若，求（用含代数式表示）．
22．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，由线段，，，组成的图形像，称为“形”．
(1)如图1，形中，若，，则 ；
(2)如图2，连接形中，两点，若，，试猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，当点在线段的延长线上从上向下移动的过程中，请直接写出与所有可能的数量关系．
23．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）在苏科版义务教育教科书数学七下曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：
(1)【问题再现】如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则______；
(2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，若，求的度数．
(3)如图3，在中，、的角平分线交于点P，将沿DE折叠使得点A与点P重合，若，则______；
(4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，、的角平分线交于点Q，若，，求和，之间的数量关系．中小学教育资源及组卷应用平台
第十一章 三角形 单元测试（提升卷）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（20-21七年级下·全国·课后作业）一个八十二边形中，它的内角中的锐角最多可以有的个数是（ ）．
A．1 B．3 C．41 D．82
【答案】B
【分析】利用多边形的外角和是360度即可求出答案．
【详解】解：因为八十二边形的外角和是360度，在外角中最多有三个钝角，如果超过三个则和一定大于360度，
八十二边形的内角与其相邻外角互为邻补角，则外角中最多有三个钝角，内角中就最多有3个锐角．
故答案为：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，由于内角不是定值，不容易考虑，而外角和是360度不变，因而内角的问题可以转化为外角的问题进行考虑.
2．（2021·辽宁沈阳·一模）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则S△ABC的面积为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【分析】利用割补法求△ABC面积等于大正方形面积-三个三角形面积即可．
【详解】解：在网格中添加字母如图，
S△AEB=，
S△AFC=，
S△BGC=，
S正方形=，
∴S△ABC= S正方形- S△AEB- S△AFC- S△BGC=9-1-3 -．
故选择C．
【点睛】本题考查网格三角形面积，掌握用割补法求网格三角形面积的方法是解题关键．
3．（17-18八年级上·湖南·阶段练习）四边形不具有稳定性，当四边形形状改变时，发生变化的是( )
A．四边形的边长 B．四边形的周长
C．四边形的某些角的大小 D．四边形的内角和
【答案】C
【分析】四边形具有不稳定性，形状改变时，变的是内角的度数，边长不发生变化．
【详解】解：当四边形形状改变时，发生变化的是四边形的内角的度数，
故选C．
【点睛】此题主要考查了多边形，关键是掌握四边形的不稳定性．
4．（18-19八年级上·安徽合肥·期中）一个三角形三条边长度的比为2：3：4，且其中一条边长是12cm，这个三角形周长不可能是： （ ）
A．54cm B．36cm C．27cm D．24cm
【答案】D
【分析】根据三边的长度比可求出三边分别占三角形周长的几分之几，再根据是其中一条边，求出三角形的周长．
【详解】由三角形三条边长度的比为，可得
三边分别占三角形周长的
若是最短边，则三角形周长
若是较长边，则三角形周长
若是最长边，则三角形周长
所以三角形周长不可能是.
【点睛】解题的关键是根据三边长度比求出三边分别占周长的几分之几，再求出周长．
5．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，已知点是射线上一点，过作交射线于点，交射线于点，下列结论正确的是（ ）
A．的余角只有 B．图中互余的角共有对
C．的补角只有 D．图中与互补的角共有个
【答案】B
【分析】此题考查了余角和补角，根据垂直定义可得，然后再根据余角定义和补角定义进行分析即可求解，掌握互余和互补的定义是解题的关键．
【详解】解：、∵，，
∴，
∴，，
∴是的余角，也是的余角，故错误，不合题意；
、∵，，
∵，
∴，，，，
∴图中互余的角共有对，故正确，符合题意；
、∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴的补角有和，故错误，不合题意；
、∵，
∴图中与互补的角共有个，故错误，不合题意；
故选：
6．（2024·北京石景山·二模）当多边形的边数每增加1时，它的内角和与外角和（ ）
A．都增加 B．都不变
C．内角和增加，外角和不变 D．内角和增加，外角和减少
【答案】C
【分析】本题考查多边形内角和、外角和定理，利用内角和定理可知，边数增加1，内角和增加，外角和都是，推理即可．
【详解】解：当多边形边数增加1时，内角和增加，外角和是个固定值为，
故选：C．
7．（2024·安徽合肥·三模）两个直角三角板如图所示摆放，其中，，，，分别与交于点，，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质及三角形外角的性质，根据平行线的性质得，根据三角形内角和定理得，再根据三角形外角的性质得到．掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的大小为．
故选：B．
8．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，四边形中，，与，相邻的两外角的平分线交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用四边形的内角和等于，可求的度数，再利用角平分线的性质及三角形的外角性质可求的度数．
【详解】解：如图，连接并延长，
，，
，
、相邻的两外角平分线交于点，
，
，，
即
．
故选：．
【点睛】本题运用四边形的内角和、角平分线的性质及三角形的外角性质，解题关键是准确计算．
9．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）已知的面积等于18，，则与的面积和等于（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，连接，设，根据三角形中线的性质得出，，根据得出，最后根据的面积等于18即可求出的值，于是问题得解．
【详解】解：如图，连接，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的面积等于18，
∴，
∴，
即与的面积和等于8，
故选：C．
10．（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，直角三角形的性质，能够作出辅助线是解题的关键．
延长FG，交CH于I，构造出直角三角形，再结合平行线的性质，即可推出①②正确，借助平行线的性质推得，即可判断③④不一定正确．
【详解】解：延长，交于I．
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故① 正确；
∴，
故②正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
可见，的值未必为，未必为，只要和为即可，
故③④不一定正确．
故选：B．
二、填空题（每题4分，共20分）
11．（2024·陕西榆林·二模）如图所示的地面由正五边形和正n边形两种地砖镶嵌而成，则的度数为 °．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形的内角和公式，掌握正多边形的概念，数形结合是解题的关键．先计算出正五边形的内角，再根据平面镶嵌的条件计算求解．
【详解】正五边形的内角和为，
每个内角为，
∴，
故答案为：．
12．（2024·广东广州·二模）如图，D、E分别是上两点，点A与点关于轴对称，，，，则 ．
【答案】122°/122度
【分析】本题主要考查了轴对称的性质、平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键．
先说明和关于轴对称可得，再根据三角形外角的性质可得，进而得到，再根据三角形内角和定理可得，最后运用平行线的性质即可解答．
【详解】解：∵点A与点关于轴对称，
∴和关于轴对称，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴,
∴，
∵，
∴．
故答案为：122°．
13．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和，交射线于点，，当点运动到使时，的度数为 （用含有的代数式表示）
【答案】
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行线的性质可得，再结合角平分线的定义，三角形的外角的性质可证明，即可得到的度数．
【详解】解：∵，，
，
，
，分别平分和，
，，
，，，
，
，
，
∴，
，
故答案为：．
14．（23-24七年级下·辽宁大连·期中）如图，在中，分别平分分别平分三角形的两个外角，则 ．
【答案】132
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据角平分线和三角形的内角和定理，推出，，进而得到，即可得出结果．
【详解】解： 、分别平分、，
，
、分别平分三角形的两个外角、
，
∴；
故答案为：．
15．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图1为一种可折叠阅读书架，支架可以绕点O旋转，置书面可以绕点C转动调节．首先调节，使，如图2所示，此时；再将绕O点顺时针旋转至，使 ，且，此时比大，则 度．
【答案】69
【分析】本题考查三角形外角的性质，平行线的性质，关键是由三角形外角的性质列出关于、的方程组．
延长交于，延长交延长线于，由平行线的性质推出 ，由三角形外角的性质得到，求出的值，即可得到．
【详解】解：延长交于，延长交延长线于，
设，
∵，
∴，
∵比大，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴①，
∵，
∴，
∵，
∴②，
由①②解得：，
，
故答案为：69．
三、解答题（16-18题每题4分，19题6分，20题7分，21、22题每题8分，23题9分，共50分）
16．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）已知三角形的三边长分别为，化简：．
【答案】
【分析】本题考查整式的加减，三角形的三边关系，绝对值化简，根据三角形三边关系得到的不等式，再去绝对值后计算即可．
【详解】∵三角形的三边长分别为，
∴，，
∴，，
∴．
17．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，
(1)画的高，，；
(2)若，，，求：：．
【答案】(1)图见解析；
(2)
【分析】本题考查了三角形高的作法，三角形的面积公式，以及比例的问题，熟练掌握尺规作图法和三角形面积公式是解题的关键．
（1）利用尺规作图法作图即可；
（2）利用三角形的面积公式即可求三边之比；
【详解】（1）如图，，，即为所求：
尺规作图法：为画出边上的高，以A为圆心，选择一个适合的半径画出一个弧，这个弧与边或的延长线相交于两点，分别以这两点为圆心，选择一个大于两点距离一半的半径，再次画弧，这两个弧会相交于一点，连接这点与点A，延长交于，则就是中边上的高．其他边上的高同理可得．
（2） ，又，，，
，，，
：： ．
18．（2024·吉林长春·一模）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图：
(1)在图①中，确定一个格点（不与重合），连结、，使得的面积和的面积相等；
(2)在图②中，确定一个格点，连结、，使得的面积是的面积的2倍；
(3)在图③中，确定两个格点和，连结、和，使得四边形的面积是的面积的3倍．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握等高模型解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题．
（1）利用平行线构造等高模型解决问题；
（2）利用三角形中线的性质及等高模型解决问题．
（3）利用平行线及等高模型，构造四边形即可．
【详解】（1）如图，点即为所求；
（2）如图，点即为所求；
（3）如图，点，即为所求．
19．（2024·浙江杭州·一模）问题情境：在探索多边形的内角与外角关系的活动中，同学们经历了观察、猜想、实验、计算、推理、验证等过程，提出了问题，请解答．
（1）若四边形的一个内角的度数是α．
①求和它相邻的外角的度数（用含α的代数式表示）；
②求其它三个内角的和（用含α的代数式表示）．
（2）若一个n边形，除了一个内角，其余内角的和为，求n的值．
深入探究：
（3）探索n边形的一个外角与和它不相邻的个内角的和之间满足的等量关系，说明理由．
【答案】（1）①，②（2）；（3），理由见解析
【分析】（1）①根据一个内角与它相邻的外角的和是进行计算即可；②四边形的内角和是进行计算即可；
（2）根据多边形的内角和的计算方法进行计算即可；
（3）表示出和它不相邻的个内角的和即可．
【详解】解：（1）①四边形的一个内角的度数是，则与它相邻的外角的度数；
②由于四边形的内角和是其中一个内角为，则其它三个内角的和为；
（2）由题意得，
，
的正整数，，
，
即这个多边形为八边形；
（3）设边形的一个外角为，它不相邻的个内角的和为，
则有，
即．
20．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在中，平分，平分，连接、，且．
(1)证明：；
(2)若，，求的度数；
(3)作与的角平分线交于点，探究、的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
，证明过程见详解
【分析】（1）如图，过点作，根据平行线的性质和判定，平行公理可得结论；
（2）设，，根据三角形的内角和定理可得：，从而可得结论；
（3）如图2，设，，根据角平分线的定义可得，，根据8字形可得①，②，由①②可得结论．
本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，解题的关键是利用8字形和三角形的内角和定理解决问题．
【详解】（1）证明：如图1，过点作，
，
，
，
，
；
（2）解：设，，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
在和中，，
，，
，
，
，
；
（3）解：如图2，，理由如下：
设，，
平分，平分，
，，
，
，即①，
，
，即②，
由（1）知：，
由（2）知：，
得：，
．
21．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，⊥于点平分．
(1)若，则 °；
(2)与有何数量关系？证明你的结论；
(3)点G是线段上任一点（不与C、E重合），作，交的延长线于点H，点F在的延长线上．若，求（用含代数式表示）．
【答案】(1)11
(2)，见解析
(3)，
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定与性质，二元一次方程组的解法，角平分线的定义，垂线的定义等知识点．
（1）根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，在中求出的度数，即可求出的度数；
（2）根据三角形内角和定理用表示出，再根据角平分线的定义表示出，在中用表示出，即可求出与的关系
（3）根据三角形外角的性质得到，即，根据平行线的性质得到，根据（2）中的结论得到②，①与②组成方程组，求解即可．
【详解】（1）解：在中，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：11；
（2），
证明：在中，，
∴，
∵平分
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵是的一个外角，
∴，
∵，
∴①，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（2）知，
∴，
即②，
①、②组成方程组得，
解得．
22．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，由线段，，，组成的图形像，称为“形”．
(1)如图1，形中，若，，则 ；
(2)如图2，连接形中，两点，若，，试猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，当点在线段的延长线上从上向下移动的过程中，请直接写出与所有可能的数量关系．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)或
【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）过作，利用平行线的性质计算可求求解；
（2）过点作交于点，利用平行线的性质及三角形的内角和定理可求得，结合（1）的结论可求解；
（3）可分两种情况：当，位于两侧时，当，位于同侧时，利用平行线的性质及三角形外角的性质可分别计算求解．
【详解】（1）过作，
，
，
，，
，
故答案为：；
（2）．
理由：过点作交于点，
，
，，
，
由（1）可得，
，
，
；
（3）如图，当，位于两侧时，
，，
，
，，，
，
即；
当，，三点共线时，，
；
当，位于同侧时，
，，
，
，，，
，
即．
综上，或．
23．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）在苏科版义务教育教科书数学七下曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：
(1)【问题再现】如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则______；
(2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，若，求的度数．
(3)如图3，在中，、的角平分线交于点P，将沿DE折叠使得点A与点P重合，若，则______；
(4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，、的角平分线交于点Q，若，，求和，之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)F在E左侧；F在E，D中间；F在D右侧
【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；
（2）根据角平分线的定义可得，， 再根据三角形外角的性质可得，进一步推理得，最后再根据三角形外角性质，即可求得答案；
（3）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，再同（1）即可得到答案；
（4）分点F在点E左侧，点F在D，E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）；理由如下:
、的角平分线交于点P，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）的角平分线与的外角的角平分线交于点P，
，，
，
，
，
；
（3）；理由如下：
，，
，
，，
，
，
由（1）知，；
（4）理由如下：当点F在点E左侧时，如图4-1所示，
，
，
平分，平分，
，，
∵，
∴
，
当F在D、E之间时，如图4-2所示：
同理可得，，，
，
∴
；
当点F在D点右侧时，如图4-3所示：
同理可得，；
综上所述，F在E左侧；
F在中间；
F在D右侧．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，熟知相关知识是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
第十一章 三角形 单元测试（基础卷）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（23-24八年级上·四川德阳·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．（23-24八年级上·山东淄博·期末）下面的多边形中，内角和等于外角和的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级上·陕西安康·期中）作已知的高，中线，角平分线，三者中有可能落在外部的是（ ）
A． B． C． D．都有可能
4．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）下列图形中有稳定性的是（ ）
A．直角三角形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形
5．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）若一个多边形的每个内角均为，则这个多边形是( )
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
6．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为( )
A． B． C． D．
7．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）三角形的一个外角等于与它不相邻的一个内角的4倍，等于与它相邻的内角的2倍，则该三角形各角的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24八年级上·四川凉山·阶段练习）如图，机器人从点出发朝正东方向走了到达点，记为第1次行走；接着，在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达，记为第2次行走；再在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达点，记为第3次行走，…，以此类推，该机器人从出发到第一次回到出发点时所走过的路程为（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图所示，的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下列结论： ； ； ； ．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共20分）
11．（23-24八年级上·天津和平·期末）如果一个三角形的两边长分别是和，第三边长为偶数，则这个三角形周长的最大值是 ．
12．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）八边形从一个顶点出发可以画a条对角线，将这个八边形分成b个三角形，则 ．
13．（22-23七年级下·广东梅州·期中）中，，和的平分线相交于点，则 ．
14．（23-24八年级上·山东日照·期末）如图，中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，恰有，则的度数为 ．
15．（23-24八年级上·甘肃兰州·阶段练习）如图，在四边形中，，作、的平分线交于点称为第1次操作，作、的平分线交于点称为第2次操作，作、的平分线交于点称为第3次操作，……，则第4次操作后的度数是 ．
三、解答题（16-18题每题4分，19题6分，20题7分，21、22题每题8分，23题9分，共50分）
16．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，在中，，，，．
(1)画出中边上的高；
(2)求的长．
17．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，，是的三边长，满足，为奇数，求的值及的周长．
18．（23-24八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在 中，是 的平分线，是边 上的高．
(1)若 ，求 的度数．
(2)求证 ．
19．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考
下面是莉莉同学的数学学习笔记的部分内容，请仔细阅读并完成相应任务．
三角形内角和的妙用 应用一：可以利用三角形内角和证明三角形外角等于不相邻的两个内角的和． 如图1．∵，（依据1），∴． 应用二：可以利用三角形内角和求多边形的内角和． 方法一：如图2，连接，可将四边形分为两个三角形，易知四边形的内角和为______ 方法二：如图3，过点A作，利用三角形内角和以及平行线知识也可求得四边形内角和． 证明：∵，∴，． ……
(1)材料中的“依据1”是指______；
(2)方法一中横线处应填______；
(3)将方法二中的证明过程补充完整．
20．（23-24八年级上·湖北襄阳·开学考试）如图，相交于点O，分别平分，且交于点P．
(1)若，求的度数．
(2)试探索与间的数量关系．
21．（23-24八年级上·河南商丘·期末）已知一个边形的每一个外角都等于．
(1)该边形是否一定是正边形？______；（填“一定是”或“不一定是”）
(2)求这个边形的内角和；
(3)从这个边形的一个顶点出发，可以画出______条对角线．
22．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）在中，
(1)如图①，如果，和的平分线相交于点P，那么______；
(2)如图②，和的平分线相交于点P，试说明；
(3)如图③，和的平分线相交于点P．猜想与的关系并证明．
23．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，线段与相交于，点、分别是延长线、延长线上一点.线段在内部，线段在内部．四边形始终为凸四边形，且有，，、均为正数．
(1)若，，，，如图1，求度数；
(2)若，，，如图2，则当变化时，为何值时，为与、无关的定值？
(3)若为定值，如图3，则和满足关系式______时，为与、无关的定值.中小学教育资源及组卷应用平台
第十一章 三角形 单元测试（基础卷）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（23-24八年级上·四川德阳·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的三边关系，判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度即可，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：、∵，∴，，不能组成三角形；
、∵，∴，，不能组成三角形；
、∵，∴，，不能组成三角形；
、∵，∴，，能组成三角形；
故选：．
2．（23-24八年级上·山东淄博·期末）下面的多边形中，内角和等于外角和的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查多边形的内角和，外角和，三角形内角和，任意多边形的外角和都等于，所以当内角和等于外角和时，内角和等于，利用公式求出多边形内角和即可．
【详解】解：A、三角形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故三角形的内角和与外角和不相等，那么A不符合题意；
B、四边形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故四边形的内角和和外角和相等，那么B符合题意；
C、五边形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故五边形的内角和与外角和不相等，那么C不符合题意；
D、六边形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故六边形的内角和与外角和不相等，那么D不符合题意；
故选：B．
3．（23-24八年级上·陕西安康·期中）作已知的高，中线，角平分线，三者中有可能落在外部的是（ ）
A． B． C． D．都有可能
【答案】A
【分析】本题考查三角形的三条重要线段，高、中线和角平分线，掌握定义是解题的关键． 三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段；中线是三角形的顶点到对边中点的线段；三角形一角的平分线与对边的交点到该角顶点的线段．根据定义及三角形的中线，角平分线，高的位置可得答案．
【详解】解：三角形的中线和角平分线都在三角形的内部，高线可能在的外部．
故选：A．
4．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）下列图形中有稳定性的是（ ）
A．直角三角形 B．平行四边形 C．长方形 D．正方形
【答案】A
【分析】
本题考查了三角形的稳定性，直接由三角形具有稳定性进行作答即可．
【详解】解：∵三角形具有稳定性，
∴下列图形中有稳定性的是直角三角形
故选：A
5．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）若一个多边形的每个内角均为，则这个多边形是( )
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
【答案】C
【分析】本题考查了多边形的内角与外角，根据多边形的内角和公式，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．
【详解】解：设这个多边形为n边形，
根据题意得：，
解得，
故选：C．
6．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质，对顶角相等，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和．
根据三角板可得：，然后根据三角形内角和定理可得的度数，进而得到的度数，再根据三角形的外角性质可得的度数．
【详解】解：如图：
由题意得：，
含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，
，
，
，
故选：D．
7．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）三角形的一个外角等于与它不相邻的一个内角的4倍，等于与它相邻的内角的2倍，则该三角形各角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题考查了三角形的外角性质，以及三角形的内角和定理，解题的关键是根据互补关系求出外角． 设和外角相邻的内角为x，则外角为，得出方程，求出x，即可求出答案．
【详解】
解：设和外角相邻的内角为x，则外角为，
∴，
解得：，
∴外角为：，
∴与外角不相邻的一个内角为：，
另外一个内角：；
∴三角形的三个内角分别为：；
故选择：B．
8．（23-24八年级上·四川凉山·阶段练习）如图，机器人从点出发朝正东方向走了到达点，记为第1次行走；接着，在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达，记为第2次行走；再在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达点，记为第3次行走，…，以此类推，该机器人从出发到第一次回到出发点时所走过的路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形的边数的求法，多边形的外角和为；根据题意判断出机器人走过的图形是正多边形是解题的关键．根据题意，机器人走过的路程是正多边形，先用除以求出边数，进而即可求解．
【详解】解：∵机器人每次都是前进再逆时针旋转，
∴机器人走过的图形是正多边形，
∴边数，
∴机器人第1次回到出发点时，一共走了，
故选：C．
9．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图所示，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形内角和定理以及四边形内角和定理，根据三角形内和定理得是解题的关键．
【详解】解：由三角形内角和可知，
∵，
∴，
则
，
故选：B．
10．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下列结论： ； ； ； ．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了三角形的角平分线，中线和高等知识，根据三角形的角平分线，中线和高的性质逐项判断即可，解题的关键是熟练掌握三角形的角平分线，中线和高的性质．
【详解】∵是中线，
∴，
∴，故正确；
∵是角平分线，
∴，
∵为高，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，故正确；
根据已知条件不能推出，故错误；
∵为高，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，即，故正确，
综上可知：正确，
故选：．
二、填空题（每题4分，共20分）
11．（23-24八年级上·天津和平·期末）如果一个三角形的两边长分别是和，第三边长为偶数，则这个三角形周长的最大值是 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键．利用三角形三边关系，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长，从而求得三角形的周长．
【详解】解：设第三边长为，由题意得：，
，
第三边长是偶数，要使三角形周长最大，
，
该三角形周长的最大值为：，
故答案为：．
12．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）八边形从一个顶点出发可以画a条对角线，将这个八边形分成b个三角形，则 ．
【答案】11
【分析】本题考查了多边形的对角线的条数与边数的关系，代数式求值，根据多边形的边数与对角线的条数的关系求出a，b的值，代入求解即可．
【详解】解：由题意可知：，，
，
故答案为：11．
13．（22-23七年级下·广东梅州·期中）中，，和的平分线相交于点，则 ．
【答案】/120度
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和等于是解答本题的关键．
根据三角形的内角和等于求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和等于列式计算，由此得到答案．
【详解】解： ，
，
与的角平分线相交于，
，
在中，．
故答案为：．
14．（23-24八年级上·山东日照·期末）如图，中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，恰有，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，平行线的性质，根据三角形内角和定理得到，由折叠的性质可得，，则由平行线的性质得到，进而得到，则，再由三角形内角和定理可得．
【详解】解：∵，
∴
由折叠的性质可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．（23-24八年级上·甘肃兰州·阶段练习）如图，在四边形中，，作、的平分线交于点称为第1次操作，作、的平分线交于点称为第2次操作，作、的平分线交于点称为第3次操作，……，则第4次操作后的度数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是找出操作的变化规律，得到与之间的关系．先根据、的平分线交于点，得出，再根据、的平分线交于点，，得出，以此类推，得出
再进行计算即可，再进行计算即可．
【详解】解：∵在四边形中，，
∴，
∵、的平分线交于，
∴，，
∴，
∵、的平分线交于点，
∴，，
∴，
同理，
∴
∴，
故答案为：．
三、解答题（16-18题每题4分，19题6分，20题7分，21、22题每题8分，23题9分，共50分）
16．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，在中，，，，．
(1)画出中边上的高；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】根据三角形的高求三角形面积是解决本题关键．
（1）根据三角形的高定义作图即可．
（2）因为，所以是直角三角形，根据等面积法即可求出的长．
【详解】（1）
（2）解：，
，
．
17．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，，是的三边长，满足，为奇数，求的值及的周长．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值、平方的非负性，三角形的三边关系等知识点．解题的关键是确定边长c的取值范围．
根据非负数的性质列式求出、的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，再根据是奇数求出的值．
【详解】解：，满足，
，，
解得，，
，，
，
又是奇数，
，
的周长为．
故答案为．
18．（23-24八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在 中，是 的平分线，是边 上的高．
(1)若 ，求 的度数．
(2)求证 ．
【答案】(1)
(2)详见解析
【分析】本题考查了三角形的角平分线和高，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，垂线等知识，注意综合运用三角形的有关概念是解题关键．
（1）结合角平分线的定义，根据三角形的内角和为，求出的度数，从而求出的度数，度数，再由角平分线定义求出度数，然后由求解即可；
（2）先求得，再由，代入即可得出结论．
【详解】（1）
解：是边 上的高，
．
，
，
．
是 的平分线，
．
（2）
证明： 是 的平分线，
，
，
．
19．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考
下面是莉莉同学的数学学习笔记的部分内容，请仔细阅读并完成相应任务．
三角形内角和的妙用 应用一：可以利用三角形内角和证明三角形外角等于不相邻的两个内角的和． 如图1．∵，（依据1），∴． 应用二：可以利用三角形内角和求多边形的内角和． 方法一：如图2，连接，可将四边形分为两个三角形，易知四边形的内角和为______ 方法二：如图3，过点A作，利用三角形内角和以及平行线知识也可求得四边形内角和． 证明：∵，∴，． ……
(1)材料中的“依据1”是指______；
(2)方法一中横线处应填______；
(3)将方法二中的证明过程补充完整．
【答案】(1)三角形内角和为180度
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质：
（1）根据三角形内角和为180度即可得到答案；
（2）根据三角形内角和定理得到，，进而可得；
（3）由三角形内角和定理得到，进而得到，再由，即可得到．
【详解】（1）解：由题意得，材料中的“依据1”是指三角形内角和为180度，
故答案为：三角形内角和为180度；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴四边形的内角和为，
故答案为：；
（3）证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
20．（23-24八年级上·湖北襄阳·开学考试）如图，相交于点O，分别平分，且交于点P．
(1)若，求的度数．
(2)试探索与间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的意义，角的和差，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先根据外角的性质得出，再根据角的和差及角平分线的意义得出，代入求值即可；
（2）先根据外角的性质得出，再根据角的和差及角平分线的意义得出，求解即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∵分别平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵分别平分，
∴，
∴，
∴．
21．（23-24八年级上·河南商丘·期末）已知一个边形的每一个外角都等于．
(1)该边形是否一定是正边形？______；（填“一定是”或“不一定是”）
(2)求这个边形的内角和；
(3)从这个边形的一个顶点出发，可以画出______条对角线．
【答案】(1)不一定是
(2)
(3)
【分析】本题考查正多边形的定义，多边形的内角与外角，多边形的对角线，
（1）根据各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形判断即可；
（2）先求出这个多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可；
（3）根据从边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，据此列式解答即可；
熟记多边形的内角和、外角和以及对角线的条数的求法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵一个边形的每一个外角都等于，
∴该边形的每一个内角都等于：，
但该n边形的各边不一定都相等，
故该边形不一定是正边形，
故答案为：不一定是；
（2）∵多边形的外角和是，
∴，
∴内角和是：，
∴这个边形的内角和为；
（3）从边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，
∵，
∴，
∴从这个边形的一个顶点出发，可以画出条对角线．
故答案为：．
22．（23-24八年级上·山东潍坊·期末）在中，
(1)如图①，如果，和的平分线相交于点P，那么______；
(2)如图②，和的平分线相交于点P，试说明；
(3)如图③，和的平分线相交于点P．猜想与的关系并证明．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)，证明见解析
【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线定义，外角性质．
（1）根据角平分线定义可得，，再利用三角形内角和定理计算即可；
（2）根据角平分线定义可得，，再利用外角性质即可求出；
（3）根据角平分线定义及三角形内角和定理机器推论进行证明即可得出本题答案．
【详解】（1）解：∵和的平分线相交于点P，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵和的平分线相交于点P，
∴，，
∵，，
∴；
（3）解：猜想：，证明如下：
∵和的平分线相交于点P，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，线段与相交于，点、分别是延长线、延长线上一点.线段在内部，线段在内部．四边形始终为凸四边形，且有，，、均为正数．
(1)若，，，，如图1，求度数；
(2)若，，，如图2，则当变化时，为何值时，为与、无关的定值？
(3)若为定值，如图3，则和满足关系式______时，为与、无关的定值.
【答案】(1)
(2)时，为与、无关的定值
(3)
【分析】
本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，四边内角和，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的性质．
（1）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质，结合角度之间是关系，进行求解即可；
（2）根据三角形的外角得出，，从而得出，根据四边形内角和得出，即可得出答案；
（3）先求出，，再求出，得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∵，，
∴
，
∴，
∴，
∴
，
∴当，即时，为与、无关的定值．
（3）解：∵，，
∴，，
∵，
∴
，
∵，
∴
，
∴，
∴，
∴
，
∴当，即时，为定值．
故答案为：．
