12.3 等腰三角形课时练（人教新课标八年级上）
文档属性
| 名称 | 12.3 等腰三角形课时练（人教新课标八年级上） |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 129.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2009-08-12 22:01:00 | ||
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文档简介
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数学：12.3 等腰三角形课时练（人教新课标八年级上）
第一课时
1. 如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的
距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
＆2. 在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于（ ）
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
＆3. 如图所示，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长是12 cm，AC=5cm，△ABC的周长是__________cm
4. 如图所示是一个风筝骨架.为使风筝平衡，须使∠AOP=∠BOP.我们已知PC⊥OA，PD⊥OB，那么PC和PD满足 条件，才能保证OP为∠AOB角平分线
＆5. 如图所示，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.
求证：AD平分∠BAC.
6.已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
且BC＝DC.你能说明BE与DF相等吗？
※7. 已知：如图，AB=AC=12 cm，AB的垂直平分线分别交
AC、AB于D、E，△ABD的周长等于29 cm，
求DC的长.
＃8. 如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，
M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到哪个
位置时，与村庄M，N的距离相等
第二课时
＃1.下列图形中，不一定是轴对称图形的是 （ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．直角三角形
＆2. 若等腰三角形的顶角的外角是80°，
那么它的底角是____________．
※3. 如图，B、D、F在AN上，C、E在AM上，
且AB=BC=CD，EC=ED=EF，∠A=20°，
则∠FEM度数是 ．
＆4. 在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
角平分线BE与CD相交于点F，
那么图中等腰三角形有 （ ）
A．6个 B．7个
C．8个 D．9个
＃5. 如图，已知AC=CD=DA=CB=DE，则此图中共有 ______ 个等腰三角形．
※6..如图所示，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，MN经过点O，若AB=12,AC=18,那么△AMN的周长是
＆7. 已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC（如图）．
求证：AB=AC．
8. 在△ABD中，C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD．
（1）求证：△ABD是等腰三角形．
（2）求∠BAD的度数．
＃9. 已知，如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF
相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，
且AC＝DF，BF＝CE。
求证：GF＝GC。
＆10. 墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平．他拿来一个如下图所示的测平仪，在这个测平仪中，AB=AC，BC边的中点D处挂了一个重锤．小明将BC边与木条重合，观察此时重锤是否通过A点．如果重锤过A点，那么这根木条就是水平的．你能说明其中的道理吗？
第三课时
※1. .如图所示，△ABC中，AB=AC，∠B=60°，D为AB的中点，
DE∥AC交BC于E，连接AE,则△BDE为 三角形，
△ADE为 三角形，△ABE为 三角形.
＃2. 若三角形是轴对称图形，且有一个角是60°，则这个三角形是 三角形.
＆3. 如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、
CE交于点M、N，有如下结论：△ACE≌△DCB； ② CM＝CN；③ AC＝DN。其中，
正确结论的个数是（ ）
A. 3个 B.2个 C.1个 D.0个
※4. △ABC中，若AC=10，则BC= .
※5. 如图，中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，
则CD= ＿＿＿ 。
＆6. 如图所示，C、D是两个村庄，分别位于一个湖的南、北两端A和
B的正东方向上，且D位于C的北偏东60°方向上，CD=6，
则AB= .
＃7. 一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30°，
AB=10cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分别是B1、C1，
那么BC的长是多少？
＃8. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB．
求证：∠BAC=30°．
9. 如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．
在图（1）中， 点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：．
在图（2）--（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．
（1）请探究：图（2）--（5）中， h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）
（2）证明图（2）所得结论；
（3）证明图（4）所得结论．
（4）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60o， RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h1、h2、h3、h4，桥形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为： ；图（4）与图（6）中的等式有何关系？
第一课时答案：
1. A，提示：过P 点作PF⊥AB交AB于F点，根据角平分线定理得PE=PF=3，故A；2.B；
3.17
4.PC=PD；
5. 证明：在△BDF和△CDE中
∴△BDF≌△CDE，∴DF=DE
∴D在∠A的平分线上，∴AD平分∠BAC.
6.相等：理由：
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴CF=CE，
在△CFD和△CEB中，，∴△CFD≌△CEB
∴BE=DF.
7.解：∵AB的垂直平分线分别交AC、AB于D、E，∴AD=BD，又∵AB+AD+BD=29 cm，AB=12 cm，∴AD=8 cm，又∵AC=12 cm，AC=AD+DC，∴DC=4 cm；
8. 作法：（1）连接MN；
（2）作线段MN的垂直平分线，
交直线AB于C点，则C点即为所求.
第二课时答案：
1.D；2.40°，提示：等腰三角形的顶角是100°，则底角为（180°-100°）=40°；3.100°，提示：根据等边对等角和三角形的外角定理得∠FEM=∠A+∠EFA=20°+80°=100°；4.C；5.4；6. .30；
7. 证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．又∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边）．
8. （1）证明：∵AC⊥BD，∴∠ACB=∠ACD=90°．
又∵AC=AC，BC=CD，∴△ACB≌△ACD（SAS）．
∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）． ∴△ABD是等腰三角形．
（2）解：由（1）可知AB=AD， ∴∠B=∠D．又∵AC=BC， ∴∠B=∠BAC，
AC=CD．∴∠D=∠DAC（等边对等角）．
在△ABD中，∠B+∠D+∠BAC+∠DAC=180°，
∴2（∠BAC+∠DAC）=180°． ∴∠BAC+∠DAC=90°，
即∠BAD=90°．
9. 证明：∵BF＝CE ∴BF＋FC＝CE＋FC，即BC＝EF
又∵AB⊥BE，DE⊥BE ∴∠B＝∠E＝900
又∵AC＝DF ∴△ABC≌△DEF,∴∠ACB＝∠DFE
∴GF＝GC
10.根据等腰三角形“三线合一”的性质，等腰三角形ABC底边BC上的中线DA应垂直于底边BC（即木条），如果重锤过点A，说明直线AD垂直于水平线，那么木条就是水平的．根据是平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
第三课时答案：
1. 等边，等腰，直角；2.等边；3.B；4.5，提示：根据在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半；5. 3；6.3，提示：过C点作垂线，转化到直角三角形和矩形解决；
7. 解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10cm． ∴BC=AB=5cm．
∵CB1⊥AB， ∴∠B+∠BCB1=90°． 又∵∠A+∠B=90°，∴∠BCB1=∠A=30°．
在Rt△ACB1中，BB1=BC=2.5cm． ∴AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5（cm）．
∴在Rt△AB1C1中，∠A=30°．
∴B1C1=AB1=×7.5=3.75（cm）．
8. 证明：延长BC到D，使CD=BC，连结AD．
∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．
又∵AC=AC，∴△ACB≌△ACD（SAS）．
∴AB=AD．∵CD=BC， ∴BC=BD． 又∵BC=AB，
∴AB=BD． ∴AB=AD=BD， 即△ABD为等边三角形．
∴∠B=60°．
在Rt△ABC中，∠BAC=30°．
9. 解：（1）图②—⑤ 中的关系依次是：
h1+h2+h3=h； h1-h2+h3=h； h1+h2+h3=h； h1+h2-h3=h．
（2）图②中，h1+h2+h3=h．
证明：连结AP， 则SΔAPB+SΔAPC=SΔABC．
∴ ．
又 h3=0，AB=AC=BC， ∴ h1+h2+h3==h．
（3）证明：图④中，h1+h2+h3=h．
过点P作RS∥BC与边AB、AC相交于R、S．
在△ARS中，由图②中结论知：h1+h2+0=h-h3．
∴ h1+h2+h3=h．
说明：（2）与（3）问，通过作辅助线，利用证全等三角形的方法类似给分．
（4）h1+h3+h4= ．
第2题图
第1题图
第3题图
第4题图
第5题图
A
B
C
D
E
F
1
2
第6题图
第7题图
第8题图
第4题图
第6题图
第5题图
第7题图
第8题图
第9题图
第10题图
第1题图
第3题图
第5题图
第6题图
第7题图
第8题图
F
A
B
C
D
E
P
M
(4)
A
B
C
D
E
P
M
(3)
A
B
C
D
E
P
M
(2)
A
B
C
D
E
M(P)
(1)
A
B
C
D
E
P
M
(5)
第9题图
F
A
B
C
D
E
P
M
(6)
R
S
第5题图
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数学：12.3 等腰三角形课时练（人教新课标八年级上）
第一课时
1. 如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的
距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
＆2. 在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于（ ）
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
＆3. 如图所示，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长是12 cm，AC=5cm，△ABC的周长是__________cm
4. 如图所示是一个风筝骨架.为使风筝平衡，须使∠AOP=∠BOP.我们已知PC⊥OA，PD⊥OB，那么PC和PD满足 条件，才能保证OP为∠AOB角平分线
＆5. 如图所示，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.
求证：AD平分∠BAC.
6.已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
且BC＝DC.你能说明BE与DF相等吗？
※7. 已知：如图，AB=AC=12 cm，AB的垂直平分线分别交
AC、AB于D、E，△ABD的周长等于29 cm，
求DC的长.
＃8. 如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，
M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到哪个
位置时，与村庄M，N的距离相等
第二课时
＃1.下列图形中，不一定是轴对称图形的是 （ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．直角三角形
＆2. 若等腰三角形的顶角的外角是80°，
那么它的底角是____________．
※3. 如图，B、D、F在AN上，C、E在AM上，
且AB=BC=CD，EC=ED=EF，∠A=20°，
则∠FEM度数是 ．
＆4. 在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
角平分线BE与CD相交于点F，
那么图中等腰三角形有 （ ）
A．6个 B．7个
C．8个 D．9个
＃5. 如图，已知AC=CD=DA=CB=DE，则此图中共有 ______ 个等腰三角形．
※6..如图所示，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，MN经过点O，若AB=12,AC=18,那么△AMN的周长是
＆7. 已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC（如图）．
求证：AB=AC．
8. 在△ABD中，C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD．
（1）求证：△ABD是等腰三角形．
（2）求∠BAD的度数．
＃9. 已知，如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF
相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，
且AC＝DF，BF＝CE。
求证：GF＝GC。
＆10. 墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平．他拿来一个如下图所示的测平仪，在这个测平仪中，AB=AC，BC边的中点D处挂了一个重锤．小明将BC边与木条重合，观察此时重锤是否通过A点．如果重锤过A点，那么这根木条就是水平的．你能说明其中的道理吗？
第三课时
※1. .如图所示，△ABC中，AB=AC，∠B=60°，D为AB的中点，
DE∥AC交BC于E，连接AE,则△BDE为 三角形，
△ADE为 三角形，△ABE为 三角形.
＃2. 若三角形是轴对称图形，且有一个角是60°，则这个三角形是 三角形.
＆3. 如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、
CE交于点M、N，有如下结论：△ACE≌△DCB； ② CM＝CN；③ AC＝DN。其中，
正确结论的个数是（ ）
A. 3个 B.2个 C.1个 D.0个
※4. △ABC中，若AC=10，则BC= .
※5. 如图，中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，
则CD= ＿＿＿ 。
＆6. 如图所示，C、D是两个村庄，分别位于一个湖的南、北两端A和
B的正东方向上，且D位于C的北偏东60°方向上，CD=6，
则AB= .
＃7. 一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30°，
AB=10cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分别是B1、C1，
那么BC的长是多少？
＃8. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB．
求证：∠BAC=30°．
9. 如图，已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．
在图（1）中， 点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：．
在图（2）--（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外．
（1）请探究：图（2）--（5）中， h1、h2、h3、h之间的关系；（直接写出结论）
（2）证明图（2）所得结论；
（3）证明图（4）所得结论．
（4）在图（6）中，若四边形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60o， RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h1、h2、h3、h4，桥形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为： ；图（4）与图（6）中的等式有何关系？
第一课时答案：
1. A，提示：过P 点作PF⊥AB交AB于F点，根据角平分线定理得PE=PF=3，故A；2.B；
3.17
4.PC=PD；
5. 证明：在△BDF和△CDE中
∴△BDF≌△CDE，∴DF=DE
∴D在∠A的平分线上，∴AD平分∠BAC.
6.相等：理由：
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴CF=CE，
在△CFD和△CEB中，，∴△CFD≌△CEB
∴BE=DF.
7.解：∵AB的垂直平分线分别交AC、AB于D、E，∴AD=BD，又∵AB+AD+BD=29 cm，AB=12 cm，∴AD=8 cm，又∵AC=12 cm，AC=AD+DC，∴DC=4 cm；
8. 作法：（1）连接MN；
（2）作线段MN的垂直平分线，
交直线AB于C点，则C点即为所求.
第二课时答案：
1.D；2.40°，提示：等腰三角形的顶角是100°，则底角为（180°-100°）=40°；3.100°，提示：根据等边对等角和三角形的外角定理得∠FEM=∠A+∠EFA=20°+80°=100°；4.C；5.4；6. .30；
7. 证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．又∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边）．
8. （1）证明：∵AC⊥BD，∴∠ACB=∠ACD=90°．
又∵AC=AC，BC=CD，∴△ACB≌△ACD（SAS）．
∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）． ∴△ABD是等腰三角形．
（2）解：由（1）可知AB=AD， ∴∠B=∠D．又∵AC=BC， ∴∠B=∠BAC，
AC=CD．∴∠D=∠DAC（等边对等角）．
在△ABD中，∠B+∠D+∠BAC+∠DAC=180°，
∴2（∠BAC+∠DAC）=180°． ∴∠BAC+∠DAC=90°，
即∠BAD=90°．
9. 证明：∵BF＝CE ∴BF＋FC＝CE＋FC，即BC＝EF
又∵AB⊥BE，DE⊥BE ∴∠B＝∠E＝900
又∵AC＝DF ∴△ABC≌△DEF,∴∠ACB＝∠DFE
∴GF＝GC
10.根据等腰三角形“三线合一”的性质，等腰三角形ABC底边BC上的中线DA应垂直于底边BC（即木条），如果重锤过点A，说明直线AD垂直于水平线，那么木条就是水平的．根据是平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
第三课时答案：
1. 等边，等腰，直角；2.等边；3.B；4.5，提示：根据在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半；5. 3；6.3，提示：过C点作垂线，转化到直角三角形和矩形解决；
7. 解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10cm． ∴BC=AB=5cm．
∵CB1⊥AB， ∴∠B+∠BCB1=90°． 又∵∠A+∠B=90°，∴∠BCB1=∠A=30°．
在Rt△ACB1中，BB1=BC=2.5cm． ∴AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5（cm）．
∴在Rt△AB1C1中，∠A=30°．
∴B1C1=AB1=×7.5=3.75（cm）．
8. 证明：延长BC到D，使CD=BC，连结AD．
∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．
又∵AC=AC，∴△ACB≌△ACD（SAS）．
∴AB=AD．∵CD=BC， ∴BC=BD． 又∵BC=AB，
∴AB=BD． ∴AB=AD=BD， 即△ABD为等边三角形．
∴∠B=60°．
在Rt△ABC中，∠BAC=30°．
9. 解：（1）图②—⑤ 中的关系依次是：
h1+h2+h3=h； h1-h2+h3=h； h1+h2+h3=h； h1+h2-h3=h．
（2）图②中，h1+h2+h3=h．
证明：连结AP， 则SΔAPB+SΔAPC=SΔABC．
∴ ．
又 h3=0，AB=AC=BC， ∴ h1+h2+h3==h．
（3）证明：图④中，h1+h2+h3=h．
过点P作RS∥BC与边AB、AC相交于R、S．
在△ARS中，由图②中结论知：h1+h2+0=h-h3．
∴ h1+h2+h3=h．
说明：（2）与（3）问，通过作辅助线，利用证全等三角形的方法类似给分．
（4）h1+h3+h4= ．
第2题图
第1题图
第3题图
第4题图
第5题图
A
B
C
D
E
F
1
2
第6题图
第7题图
第8题图
第4题图
第6题图
第5题图
第7题图
第8题图
第9题图
第10题图
第1题图
第3题图
第5题图
第6题图
第7题图
第8题图
F
A
B
C
D
E
P
M
(4)
A
B
C
D
E
P
M
(3)
A
B
C
D
E
P
M
(2)
A
B
C
D
E
M(P)
(1)
A
B
C
D
E
P
M
(5)
第9题图
F
A
B
C
D
E
P
M
(6)
R
S
第5题图
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