北师大版八年级数学下册1.4 角平分线第2课时角平分线的综合应用 同步教学设计（表格式）

北师大版八年级数学下册 第一章《三角形的证明》
（同步教学设计）
4 角平分线
第2课时 角平分线的综合应用
课题 第2课时 角平分线的综合应用 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P30-32
教学目标 1．知识目标： （1）证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论． （2）角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用． 2．能力目标： （1）进一步发展学生的推理证明意识和能力． （2）培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力． （3）提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力． 3．情感与价值观要求 ①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． ②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
教学重难点 重点：①三角形三个内角的平分线的性质． ②综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题． 难点：角平分线的性质定理和判定定理的综合应用．
教学准备 课件、三角尺、等腰三角形纸片
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
创设情景，导入新课 展示生活中的数学问题： 如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在什么地方？ 你能解决这个问题吗？ （板书课题：第1课时 角平分线的综合应用） 通过实际问题情景，引导学生思考角平分线的性质，进而使学生感受到学习三角形三条角平分线的性质是实际需要，为探究活动拉开序幕.
2.实践探究，学习新知 【探究1】探索角平分线的性质定理 师生活动：1.做一做：利用自己准备好的三角形纸片，通过折叠找出每个角的平分线，观察这三条角平分线，你发现了什么？与同伴交流。 2.画一画：作三角形三个内角的角平分线，你又发现了什么？ 学生发现：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 【归纳总结】 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 教师追问：你能证明这个结论吗？ 【探究2】证明三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 求证：三角形的三条角平分线交于一点．并且这一点到三条边的距离相等． 已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F. 求证：∠A的平分线经过点P，且PD=PE=PF. 师生活动：请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流．并规范书写格式. 证明：∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， 且PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别是点D，E. ∴PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 同理PE=PF.∴PD=PE=PF. ∴点P在∠A的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）， 即∠A的平分线经过点P. 【归纳总结】 三角形的三条角平分线交于一点．并且这一点到三条边的距离相等． 【教材例题】 如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E. （1）已知CD=4 cm，求AC的长； （2）求证：AB=AC+CD. 学生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主解答证明.教师注意适时引导. 解：（1）∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB， ∴DE =CD=4 cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. ∵AC=BC，∴∠B=∠BAC（等边对等角）. ∵∠C=90°，∴∠B=×90°=45°. ∴∠BDE=90°-45°=45°. ∴BE=DE（等角对等边）. 在等腰直角三角形BDE中， BD==4 cm（勾股定理）. ∴AC=BC=CD+BD=（4+4）cm. （2）证明：由（1）的求解过程可知 Rt△ACD≌Rt△AED（HL）. ∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）. ∵BE=DE=CD， ∴AB=AE+BE=AC+CD. 通过动手操作让学生探索角平分线的性质，提高学习兴趣，加深学生的直观印象. 在证明此结论时，引导学生类比三角形三条垂直平分线的位置关系的证明思路和方法进行思考，知道证明时该定理的已知条件、结论，并能够画出正确的图形. 本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。
3.学以致用，应用新知 考点1 三角形三条角平分线的性质 例 如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为30，40，50．其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝ . 答案：3∶4∶5 变式训练 如图，P为△ABC三条角平分线的交点，PH、PN、PM分别垂直于BC、AC、AB，垂足分别为H、N、M．已知△ABC的周长为15 cm，PH＝3 cm，则△ABC的面积为 cm2. 答案：22.5 考点2 角平分线的性质、判定定理的综合应用 例 已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：AP平分∠MAN． 证明：作PD⊥BC于点D， ∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC， ∴PM＝PD， 同理，PN＝PD， ∴PM＝PN，又PM⊥AB，PN⊥AC， ∴PA平分∠MAN． 变式训练 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点． （1）求∠B的度数． （2）若DE＝5，求BC的长． 解：（1）∵DE⊥AB于点E，E为AB的中点， ∴DE是线段AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴∠2＝∠B， ∵AD平分∠CAB， ∴∠1＝∠2， ∵∠C＝90°， ∴∠B＝∠1＝∠2＝30°； （2）∵DE⊥AB，∠B＝30°， ∴BD＝2DE＝10， ∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DC＝DE＝5， ∴BC＝CD+BD＝15． 通过例题讲解，巩固理解角平分线的综合应用，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过变式训练巩固所学知识，在学生掌握新知识的基础上，逐步灵活运用所学的知识解决问题，培养思维能力。
4.随堂训练，巩固新知 1.如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 答案：D 2.如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD． （1）求证：DE平分∠ADC； （2）求证：AB+CD＝AD． 证明：（1）如图，过点E作EF⊥AD于F， ∵∠B＝90°，AE平分∠DAB， ∴BE＝EF， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∴CE＝EF， 又∵∠C＝90°，EF⊥AD， ∴DE是∠ADC的平分线． （2）∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，EF⊥AD，∠B＝∠C＝90°， ∴AB＝AF，DC＝DF， ∴AB+CD＝AF+FD＝AD． 3.如图，在△ABC中，O为∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分别为D，E，F． （1）OD与OE是否相等，请说明理由； （2）若△ABC的周长是30，且OF＝4，求△ABC的面积． 解：（1）OD＝OE，理由如下. ∵BO平分∠ABC，OD⊥AB，OF⊥BC， ∴OD＝OF， ∵CO平分∠ACB，OE⊥AC，OF⊥BC， ∴OE＝OF， ∴OD＝OE； （2）连接OA， ∵△ABC的周长是30， ∴AB+BC+AC＝30， ∵OF＝4 ∴OD＝OE＝OF＝4， ∴△ABC的面积＝△AOB的面积+△BOC的面积+△AOC的面积 ＝AB OD+BC OF+AC OE ＝OD （AB+BC+AC） ＝×4×30 ＝60， ∴△ABC的面积为60． 4.如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论． 解：相等．证明如下. 连EB、EC， ∵AE是∠BAC的平分线， 且EF⊥AB于F，EG⊥AC于G， ∴EF＝EG． ∵ED⊥BC于D，D是BC的中点， ∴EB＝EC． ∴Rt△EFB≌Rt△EGC， ∴BF＝CG． 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题． 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P32习题1.10中的T1—T4. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第2课时 角平分线的综合应用三角形三条角平分线的性质投影区学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节课设计的教学思路是按“操作、猜想、验证、运用”的学习过程，遵循学生的认知规律，先学习新知：三角形中角平分线的性质定理，再结合第一课时角平分线性质定理和判定定理来进一步提高学生的思维水平和应用数学知识解决实际问题的能力。注意角平分线的判定定理应用题目设计较少，应在课后再加强训练。 反思，更进一步提升。