北师大版八年级数学下册1.1 第1课时 三角形全等与等腰三角形的性质 同步教学设计

北师大版八年级数学下册 第一章《三角形的证明》
（同步教学设计）
1 等腰三角形
第1课时 三角形全等与等腰三角形的性质
课题 第1课时 三角形全等与等腰三角形的性质 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P2-5
教学目标 1．知识目标： 理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理； 在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理； 熟悉证明的基本步骤和书写格式。 2．能力目标： 经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力； 鼓励学生在交流探索中发现证明方法的多样性，提高逻辑思维水平； 3．情感与价值目标 启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系； 培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.
教学重难点 重点：探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法； 难点：明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。
教学准备 学生课前准备：一张等腰三角形纸片（供上课折叠实验用）； 教师课前准备：制作好的几何画板课件.
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 展示生活中的数学问题： 情景1：欣赏生活中各种建筑物的图片，体会等腰三角形在生活中随处可见。（课件播放） 情景2：建筑工人在盖房子的时候，要看房梁是否水平，通常用一块等腰三角板放在房梁上，从顶点悬挂一个铅垂，他们说：若悬挂铅垂的绳子（铅垂线）正好经过等腰三角板底边的中点，那么房梁就是水平的。 师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。 1.回顾所学的等腰三角形的有关概念，并在等腰三角形中指出腰、底边、顶角、底角。 2.建筑工人的说法、做法对吗？为什么？ 3.你们想知道这其中的道理吗？ 这就是我们今天所要研究的内容——等腰三角形的性质。（板书课题：第1课时 三角形全等与等腰三角形的性质） 从学生的生活实际和知识水平出发，设置悬念，激发学生思考，启动学习所必需的先前经验，唤起学生的学习需要，促使学生“愿闻其详”，为下面探究等腰三角形的性质拉开序幕。
2.实践探究，学习新知 【探究1】证明全等三角形的判别条件“AAS” 师生活动：教师引导学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条： 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行； 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等； 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）； 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）； 5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）； 在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）. 教师提问：已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗？ 师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，证明全等三角形的判别条件“AAS”.教师注意适时引导. 学生总结： 已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：在△ABC 和△DEF中， ∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）， ∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E). ∵∠A=∠D，∠B=∠E， ∴∠C =∠F（等量代换）. ∵BC=EF，∠B=∠E, ∴△ABC≌△DEF（ASA）.（学生板书） 【探究2】探索等腰三角形的性质 学生活动：同学们做实验：把各自准备的等腰三角形对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD，并认真观察，独立思考，解决以下问题。 教师提问： 问题1：等腰三角形是轴对称图形吗？ 问题2：其对称轴在哪里？沿着对称轴对折有哪些重合的线段和角？ 重合的线段重合的角AB,AC∠BAD,∠CADBD,CD∠ABD,∠ACDAD,AD∠ADB,∠ADC
问题3：从上表中你能猜想等腰三角形具有什么性质吗？ 师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主归纳总结等腰三角形的性质.教师注意适时引导. 【归纳总结】师生共同归纳，总结如下： 等腰三角形的性质： 1.等腰三角形是轴对称图形. 2.性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）. 推论：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 【探究3】证明等腰三角形的两底角相等 教师提问： 1.根据我们一直以来的方法，先观察，猜想性质，然后用几何知识论证性质，那么要证明一个命题的第一步是什么？（引导学生分析等腰三角形性质的条件和结论，画出图形，写出已知和求证） 2.证明两个角相等，我们有哪些方法？ 3.如图，通过折叠等腰三角形纸片，你认为用什么方法来证明∠B=∠C？（引导学生观察折纸，添加辅助线，构造两个全等三角形） 师生活动：在学生小组合作的基础上，根据折纸过程,经过讨论分析，学生自主证明等腰三角形的两底角相等.教师注意适时引导. 学生总结：学生可能会通过以下方法来证明（教师在学生充分讨论的基础上归纳证明方法）： 方法1：作顶角的平分线AD，证：△ABD≌△ACD（SAS） 已知：如图，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. 证明：作∠A的平分线AD，交BC于点D. 在△ABD和△ACD中， ∵AB=AC，∠BAD =∠CAD，AD=AD , ∴△ABD≌△ACD （ SAS ）. ∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）. 方法2：作△ABC的中线AD，证：△ABD≌ △ACD （SAS） 已知：如图，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. 证明：取BC的中点D，连接AD. ∵AB=AC，BD=CD，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD（SSS）. ∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）. 方法3：证△ABC≌△ACB（把一个三角形看成是两个三角形）. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. 证明：在△ABC和△ACB中， ∵AB=AC，∠A=∠A，AC=AB， ∴△ABC≌△ACB（SAS）. ∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）. 教师追问：你能用几何语言表示等腰三角形的性质吗？ 学生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主归纳总结.教师适时引导. 师生总结： 性质1:等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).（教师板书） 性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．（教师板书） 经过一个暑假，学生难免有所遗忘，因此，在第一课时，回顾有关内容，既是对前面学习内容的一个简单梳理，也为后续有关证明做了知识准备. 证明这个推论（AAS），可以让学生熟悉证明的基本要求和步骤，为后面的其他证明做好准备。 通过折纸活动过程，引导学生探索得到等腰三角形的性质.同时让学生思考得到的命题是否可以证明. 和学生一起完成性质定理的证明,可以让学生自主经历命题的证明过程;明晰证明过程,给学生一定的规范,起到一种引领作用,力图让学生形成拓广命题的意识.
3.学以致用，应用新知 考点1 全等三角形的性质定理与判定定理 例 如图，是两个全等的三角形，图中字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（ ） A. 70° B. 70°或60° C. 65° D. 60° 答案：B 变式训练 如图，点B，F，C，E在一条直线上， AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是( ) A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．BF＝EC 答案：C 考点2 等腰三角形的性质定理 例 等腰三角形的一个内角是110°，则它的底角的度数是( ) A. 35° B. 40° C. 70° D. 110° 答案：A 变式训练 【新定义—新概念问题】定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”，若一个等腰三角形恰好是“倍角三角形”，则它的顶角度数为 . 答案：36°或90° 考点3 等腰三角形的性质定理的推论 例 如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，如果∠B=50°，那么∠DAC的度数为( ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 答案：B 变式训练 若一个等腰三角形的周长为16cm，一边长为6cm，则该等腰三角形的面积为 cm2. 答案：或 通过例题讲解，巩固理解全等三角形的性质定理，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过变式训练巩固所学知识，灵活运用全等三角形的判定定理解决问题。 通过例题讲解，巩固理解“等腰三角形的两底角相等（等边对等角）”的性质。 通过变式训练巩固所学知识，体会分类讨论思想在利用等腰三角形的性质解决有关计算问题时的作用。 通过例题讲解，巩固理解等腰三角形“三线合一”的性质。 通过变式训练巩固所学知识，灵活运用“三线合一”解决问题。
4.随堂训练，巩固新知 1.如图，在等腰△EBC中，EB＝EC，AB＝BC，∠E＝40°，∠ACD的度数为( ) A．10° B．15° C．25° D．30° 答案：B 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D是BC边上的动点（不与B、C重合），连接AD，若△ACD为等腰三角形，则∠ADB的度数为( ) A．80° B．110° C．120° D．80°或110° 答案：D 3．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且AE＝DE，∠A＝∠D． （1）BE与CE相等吗？请说明理由； （2）若∠BEC＝130°，求∠EBC的度数． 解：（1）BE＝CE，理由如下： 在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（ASA）， ∴BE＝CE； （2）由（1）知，BE＝EC， ∴∠EBC＝∠ECB. ∵∠EBC+∠ECB+∠BEC＝180°，∠BEC＝130°， ∴∠EBC+∠ECB＝50°， ∴∠EBC＝25°． 4．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，若AB=5，CD=4.求：（1）△ABD的周长.（2）△ABC的面积 解：（1）∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴BD=CD=4,AD⊥BC. 在Rt△ABD中，AD==3， ∴△ABD的周长为AB+BD+AD=5+4+3=12. （2）∵BD=CD=4，∴BC=8， ∴△ABC的面积=BC·AD=×8×3=12. 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 证明两个三角形全等的方法： 两边及其夹角分别相等（SAS）、两角及其夹边分别相等（ASA）、三边分别相等（SSS）、两角和其中一角的对边分别相等（AAS）. 根据全等三角形的定义，我们可以得到： 全等三角形的对应边相等、对应角相等. 等腰三角形的性质： 1.等腰三角形的两底角相等.（等边对等角） 2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.（三线合一） 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P4习题1.1中的T1—T6。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第1课时 三角形全等与等腰三角形的性质一、全等三角形的判定二、等腰三角形的性质投影区1性质2.推论学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节课围绕着“等腰三角形”这条主线，让学生通过动手操作、动眼观察、动口表述、动脑思考来参与学习过程，既重视了知识的形成过程，又重视了学生思维的发展过程；既重视了能力培养，又重视了学生情感的产生和保持。 本节课关注了学生已有活动经验的回顾过程，关注了“探索－发现－猜想－证明”的活动过程，关注了学生自主探究过程，学生学习的主体性发挥较好，取得了较好的教学效果。不足之处是少数学生对等腰三角形的“三线合一”性质理解不透彻，还需要在今后的教学和作业中进一步巩固和提高． 当然，在具体活动中，如何在学生活动与规范表达之间形成一个恰当的平衡，具体各部分时间比例的分配可能还需要根据班级学生具体状况进行适度的调整。 反思，更进一步提升。