北师大版八年级数学下册1.1第3课时 等腰三角形的判定与反证法 同步教学设计（表格式）

北师大版八年级数学下册 第一章《三角形的证明》
（同步教学设计）
1 等腰三角形
第3课时 等腰三角形的判定与反证法
课题 第3课时 等腰三角形的判定与反证法 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P8-10
教学目标 1．探索等腰三角形判定定理． 2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明． 3.了解反证法的基本证明思路，并能简单应用。 4.培养学生的逆向思维能力。
教学重难点 重点：等腰三角形的判定定理的证明，结合实例体会反证法的含义. 难点：运用“等边对等角”解决实际应用问题及相关证明.
教学准备 课件、三角尺、等腰三角形纸片
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
创设情景，导入新课 【情景1】 展示生活中的数学问题： 某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(A点)为目标，然后在这棵树的正南方南岸B点插一小旗作标志，沿南偏东60度方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30度，这时，地质专家测得BC的长度是50米，就可知河流宽度是50米． 师生活动： 同学们，你们想知道这样估测河流宽度的根据是什么吗？地质学家是怎么知道BC的长度是等于河流宽度的呢？今天我们就要学习等腰三角形的判定． 【情景2】 欣赏故事“道旁苦李”： 《世说新语》记载：王戎七岁，尝与诸小儿游.道边李树多子折枝，诸儿竞去取之，唯戎不动.人问之，答曰：“树在道边而多子，必苦李.”取之，信然. 师生活动：说说这个故事和数学知识间的联系. （板书课题：第3课时 等腰三角形的判定与反证法） 通过生活实际问题引入等腰三角形的判定，来激发学生学习数学的兴趣，使学生感受到学习等腰三角形的判定是实际需要，进而顺利引入新课。 通过生活中的“道旁苦李”的小故事引入反证法，激发学生学习数学的兴趣，使学生很自然地进入本节的学习，进而顺利引入新课。
2.实践探究，学习新知 【探究1】等腰三角形的判定 教师提问： 问题1：等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？ 问题2：我们是如何证明上述定理的？ 问题3：前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？你有几种证明方法？ 师生活动：学生自主探究等腰三角形的判定条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等腰三角形的判别条件. 已知：如右图，在△ABC中，∠B=∠C. 求证：AB=AC. 教师点拨：只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了. 证法一：证明：作∠BAC的平分线，交BC于点D. ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD = ∠CAD. ∵∠B = ∠C，AD = AD， ∴△ABD≌△ACD（AAS）. ∴AB = AC（全等三角形的对应边相等）. 证法二：证明：过点A作BC的垂线，垂足为点D. ∵AD⊥BC， ∴∠ADB = ∠ADC = 90°. ∵∠B = ∠C，AD = AD， ∴△ABD≌△ACD（AAS）. ∴AB = AC（全等三角形的对应边相等）. 【归纳总结】 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.（简述为：等角对等边） 【探究2】反证法 教师提问：我们类比归纳获得一个数学结论，“反过来”思考问题也获得了一个数学结论．如果否定命题的条件，是否也可获得一个数学结论呢 想一想： 小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗 如果成立，你能证明它吗 师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，自主证明上述结论.教师注意适时引导. 如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等． 假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC. 教师引导：这道题的证法有什么特点呢 引出反证法。 【归纳总结】 反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法. 用反证法证明的一般步骤是： （1）假设命题的结论不成立； （2）从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果； （3）由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 【教材例题】 例1 如图,已知AB=DC,BD=CA. 求证:△AED是等腰三角形. 师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主证明，教师注意适时引导. 证明:∵AB=DC,BD=CA,AD=DA, ∴△ABD≌△DCA. ∴∠ADB=∠DAC(全等三角形对应角相等), ∴AE=DE(等角对等边), ∴△AED是等腰三角形. 在解答过程中，教师应关注学生的思考过程，引导学生分析解决问题的方法. 例2 反证法证明:一个三角形中不能有两个角是直角. 已知:△ABC, 求证:∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角. 师生活动：在学生小组合作的基础上，经过讨论分析，学生自主证明一个三角形中不能有两个角是直角.教师注意适时引导. 证明:假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角, 不妨设∠A和∠B是直角, 即∠A=90°,∠B=90°, 于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°, 这与三角形内角和定理相矛盾, 因此“∠A和∠B都是直角”的假设不成立. 所以,一个三角形中不能有两个角是直角. 引导学生养成“反过来”思考问题的意识，即思考一个命题的逆命题的真假，因为这也是获得数学结论的一条重要途径.同时，这样设置问题也为学生下一节学习互逆命题做个铺垫. 让学生明确用综合法证明本结论是行不通的,从而产生要探究一种新方法的欲望,结合课本中小明的想法初步感受反证法，体会反证法在证明中出人意料的作用. 通过例题讲解，巩固“全等三角形的判定定理和等腰三角形的判定定理”.一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 以例题形式展示用反证法证明命题的过程.让学生感受反证法的证明思路与书写的过程，体会反证法的证明与作用.
3.学以致用，应用新知 考点1 等腰三角形的判定定理 例 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，AD平分∠BAC，则图中等腰三角形的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 答案：C 变式训练 如图，一只船从A处出发，以18海里/时的速度向正北航行，经过10小时到达B处．分别从A、B处望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°．求B处与灯塔C距离． 解：∵∠NBC是△ABC的外角 ∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝42° ∴∠C＝∠BAC ∴BC＝BA＝18×10＝180（海里） 因此B处与灯塔C距离是180海里． 考点2 反证法 例 如已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾 ②因此假设不成立．∴∠B＜90° ③假设在△ABC中，∠B≥90° ④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°． 这四个步骤正确的顺序应是（ ） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 答案：D 变式训练 用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角． 证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，则大于或等于90°． 根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或等于180°． 则该三角形的三个内角的和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾，故假设不成立． 所以等腰三角形的底角是锐角． 通过例题讲解，巩固理解等腰三角形的判定定理（等角对等边），一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过变式训练巩固所学知识，灵活运用等腰三角形的判定定理解决问题。 通过例题讲解，巩固理解反证法，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过变式训练巩固所学知识，灵活运用反证法进行证明。
4.随堂训练，巩固新知 1.选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C＝90°，求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设（ ） A．∠A≤45°，∠B≤45° B．∠A≥45°，∠B≥45° C．∠A＜45°，∠B＜45° D．∠A＞45°，∠B＞45° 答案：D 2. 已知五个正数的和为1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于. 证明：假设这五个正数a1，a2，a3，a4，a5中没有一个大于或等于，即都小于，那么a1+a2+a3+a4+a5<5×=1，这与已知a1+a2+a3+a4+a5=1矛盾.所以原命题得证. 3 已知：如图，在△ABC中，AD∥BC，AD平分外角EAC，求证：AB＝AC． 证明：∵AD∥BC， ∴∠B＝∠EAD，∠C＝∠DAC， ∵AD平分外角EAC， ∴∠EAD＝∠DAC， ∴∠B＝∠C． ∴AB＝AC． 4.已知：如图△ABC中AB＝6 cm，AC＝8 cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F． （1）求证：△DFC是等腰三角形； （2）求△AEF的周长． 解：（1）证明：∵EF∥BC， ∴∠FDC＝∠DCB， ∵CD平分∠ACB， ∴∠FCD＝∠BCD， ∴∠FCD＝∠FDC， ∴FD＝FC， ∴△DFC是等腰三角形； （2）∵EF∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝∠DBE， ∴∠EDB＝∠DBE， ∴DE＝BE， ∵DF＝FC， ∴△AEF的周长＝AE+AF+DE+DF＝AE+AF+BE+FC＝AB+AC， ∵AB＝8 cm，AC＝6 cm， ∴AB+AC＝8+6＝14（cm）， ∴△AEF的周长为14 cm． 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ 证明两个三角形全等的方法： 两边及其夹角分别相等（SAS）、两角及其夹边分别相等（ASA）、三边分别相等（SSS）、两角和其中一角的对边分别相等（AAS）. 根据全等三角形的定义，我们可以得到： 全等三角形的对应边相等、对应角相等. 等腰三角形的性质： 1.等腰三角形的两底角相等.（等边对等角） 2.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.（三线合一） 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P4习题1.2中的T1—T4. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第1课时 三角形全等与等腰三角形的性质一、全等三角形的判定二、等腰三角形的性质投影区1性质2.推论学生活动区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节课让学生在认识等腰三角形的基础上，进一步认识等边三角形．学习等边三角形的定义、性质和判定．让学生在探索图形特征以及相关结论的活动中，进一步发展空间观念，锻炼思维能力．让学生在学习活动中，进一步产生对数学的好奇心，增强动手能力和创新意识．在这节课中，要学生充分的自主探究，尝试提出问题和解决问题，发展学生的自主探究能力． 反思，更进一步提升。