北师大版八年级数学下册 第一章《三角形的证明》
(同步教学设计)
1 等腰三角形
第4课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形
课题 第4课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P10-13
教学目标 1.知识目标: 理解等边三角形的判别条件及其证明,理解含有30 角的直角三角形性质及其证明,并能利用这两个定理解决一些简单的问题。 2.能力目标: ①经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程,建立初步的符号感,发展抽象思维. ②经历实际操作,探索含有30 角的直角三角形性质及其推理证明过程,发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力; ③在具体问题的证明过程中,有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想,提高学生的能力。 3.情感与价值观目标 ①积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲. ②在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.
教学重难点 重点:①等边三角形判定定理的发现与证明. ②含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明. 难点:①含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明. ②引导学生全面、周到地思考问题.
教学准备 课件、三角尺、等腰三角形纸片
教与学互动设计(教学过程) 设计意图
创设情景,导入新课 展示生活中的数学问题: 欣赏几组图片(课件展示): 同学们这几幅图是我们生活中常见的交通安全警示标志. 教师提问: (1)图中的三角形有什么特点? (2)等边三角形与等腰三角形有什么关系? (3)等边三角形有哪些特点? (4)一个三角形满足什么条件时是等边三角形呢? 师生活动:先让学生观察,给学生1分钟思考的时间,然后找学生回答。教师可让同学代表充分发表自己的看法。 在老师的引导下,一般学生都能得出等边三角形的性质;对于等边三角形的判别,学生可能会出现多种情况,如直接从等边三角形性质出发,当然也可能有学生考虑分步进行,先确定它是等腰三角形,再增补条件,确定它是等边三角形。这时教师可以适时提出问题:如果在已知一个三角形是等腰三角形的基础上,如何确定它是等边三角形呢? (板书课题:第4课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形) 通过生活中的图片引入等边三角形,来激发学生学习数学的兴趣,并提出等边三角形的判定问题。在明确重点的同时,激发学生的求知欲,精美的图片非常吸引学生,使学生很自然地进入本节的学习,进而顺利引入新课。
2.实践探究,学习新知 【探究1】探究等边三角形的判定方法 师生活动:学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件,并交流汇报各自的结论,教师适时要求学生给出相对规范的证明,概括出等边三角形的判别条件. 教师提问: 问题1:除了三边相等的三角形是等边三角形,还有其他的判定方法吗?你能证明吗? 问题2:一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形 问题3:你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗 你能证明你的结论吗 把你的证明思路与同伴交流. 问题4:完成表格. 名称性质判定等边三角形
问题5:总结等边三角形的判定方法. 师生活动:学生积极思考,通过老师的点拨,学生多能探究出: 顶角是60°的等腰三角形是等边三角形; 底角是60°的等腰三角形是等边三角形; 三个角都相等的三角形是等边三角形; 三条边都相等的三角形是等边三角形. 教师追问:前两个定理的形式相近,能否用更简捷的语言描述这个结论吗 学生总结:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 【归纳总结】 名称性质判定等边三角形等边三角形三条边都相等三条边都相等的三角形是等边三角形等边三角形三个角都是60°三个角都相等的三角形是等边三角形有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
【探究2】探究含30°角的直角三角形的性质 教师提问:我们还学习过直角三角形,今天我们研究一个特殊的直角三角形:含30°角的直角三角形。拿出三角板,做一做: 用含30°角的两个三角尺,你能拼成一个怎样的三角形 能拼出一个等边三角形吗 在你所拼得的等边三角形中,有哪些线段存在相等关系,有哪些线段存在倍数关系,你能得到什么结论?说说你的理由. 师生活动:在学生小组合作的基础上,经过动手操作讨论分析,自主探究结论.教师注意适时引导. 学生一般可以得出下面两种图形: 其中图(1)是等边三角形,学生根据此图可以得出BD=AB,从而得出:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 教学过程中,教师应注意引导学生说明为什么所得到的三角形是等边三角形. 教师追问:如何用几何语言表示上述定理? 几何语言:如图,在Rt△ABC中, ∵∠C=90°,∠A=30°, ∴BC=. 你能证明这个定理吗? 定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°. 求证:BC=AB. 分析:从三角尺的拼摆过程中得到启发,延长BC至D,使CD=BC,连接AD. 证明:在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,∠B=60°. 延长BC至D,使CD=BC,连接AD(如图所示). ∵∠ACB=90°∴∠ACB=90° ∵AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SAS). ∴AB=AD(全等三角形的对应边相等). ∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形). ∴BC=BD=AB. 教师追问:该定理的作用是什么? 学生总结:该定理可以用来证明线段之间的倍数关系,也可以求线段的长度。 【教材例题】 求证:如果等腰三角形的底角为15°,那么腰上的高是腰长的一半. 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=15°,CD是腰AB上的高. 求证:CD=AB. 师生活动:在学生小组合作的基础上,经过讨论分析,学生自主证明.教师注意适时引导. 证明:在△ABC中,∵AB=AC ,∠B=15°, ∴∠ACB=∠B=15°(等边对等角). ∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°. ∵CD是腰AB上的高, ∴∠ADC=90°. ∴CD=AC(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半). ∴CD=AB. 等边三角形的判定方法是本节课的重点。通过对不同的三角形加“边”或“角”两方面不同的条件,使学生体会、融合等边三角形的性质和判定的有关知识。条件加在不同的位置也要分情况讨论,这样在探究过程中充分体现了分类的作用,这对学生提高对数学思想方法的认识起到了渗透作用。 让学生经历拼摆三角尺的活动,发现结论:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. “直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半”是本课的难点,在难点的突破上主要采取两种方法:(1)通过三角尺操作的实践活动,(2)对问题的分步引导的方法。这样在难点的突破更具有直观性和可操性。 通过例题讲解,巩固理解“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半”的性质,一方面加强学生对知识的掌握,从而提高知识的应用能力;另一方面可以差缺补漏。
3.学以致用,应用新知 考点1 等边三角形的判定 例 下列条件不能得到等边三角形的是( ) A.有一个内角是60°的锐角三角形 B.有一个内角是60°的等腰三角形 C.顶角和底角相等的等腰三角形 D.腰和底边相等的等腰三角形 答案:A 变式训练 如图,已知OA=a,P是射线ON上一动点,∠AON=60°,当OP= 时,△AOP为等边三角形. 答案:a 考点2 含30°角的直角三角形的性质 例 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,CD是高.若AD=2,则BD= . 答案:8 变式训练 已知:如图△ABC中,AB=AC,∠C=30°,AB⊥AD,AD=4 cm.求BC的长. 解:∵AB=AC, ∴∠B=∠C=30°. ∵AB⊥AD, ∴BD=2AD=2×4=8(cm), ∠B+∠ADB=90°, ∴∠ADB=60° ∵∠ADB=∠DAC+∠C=60°, ∴∠DAC=30°, ∴∠DAC=∠C, ∴DC=AD=4 cm ∴BC=BD+DC=8+4=12(cm). 通过例题讲解,巩固理解等边三角形的判定定理和含30°角的直角三角形的性质定理,一方面加强学生对知识的掌握,从而提高知识的应用能力;另一方面可以差缺补漏。 通过变式训练巩固所学知识,在学生掌握新知识的基础上,逐步灵活运用所学的知识解决问题,培养思维能力。
4.随堂训练,巩固新知 1.如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠A=30°,CD⊥AB,垂足为点D,则AD与BD之比为 A.2 :1 B.3 :1 C.4 :1 D.5 :1 答案:B 2.如图,△ABC是等边三角形,AB=10,点D是BC边上任意一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,则BE+CF的长是( ) A.5 B.6 C.8 D.10 答案:A 3.如图,AB=AC,AE=EC=CD,∠A=60°,若EF=2,则DF=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案:D 4.如图,在△ABC中,∠B=60°,D是BC延长线上一点,过D作DE⊥AB于E,交AC于F,若CD=CF. 求证:△ABC是等边三角形 证明:∵DE⊥AB,∴∠BED=∠AEF=90°, ∵∠B=60°,∴∠D=30°. ∵CD=CF,∴∠D=∠CFD=30°(等边对等角), ∴∠C=∠CFD+∠D=30°+30°=60°, ∴∠A=60°,∴△ABC是等边三角形. 为学生提供自我检测的机会,教师针对学生的学习情况,及时调整授课,查缺补漏。
5.课堂小结,自我完善 通过本节课的学习,你学到了哪些知识? 1.三角形的判定方法: 三边相等的三角形是等边三角形. 三个内角都等于60°的三角形是等边三角形. 有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 2.等腰三角形的底角为15°,那么腰上的高是腰长的一半. 3.直角三角形中,如果一个锐角等于30 那么它所对的直角边等于斜边的一半. 通过小结,使学生梳理本节课所学内容,掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P12习题1.4中的T1—T5. 课后练习巩固,让所学知识得以运用,提高计算能力和做题效率。
板书设计 第4课时 等边三角形的判定与含30°角的直角三角形一、等边三角形的判定定理二、含30°角的直角三角形的一个性质投影区学生活动区
提纲掣领,重点突出。
教后反思 本节课,难点在于探究两个定理:“在三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°”和“直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半”,由于设计了三角板操作的实践活动,有效地突破了难点,因而,课堂学生思维非常灵活,方法多样,取得较好的效果。 反思,更进一步提升。