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第二章 实 数
1 认识无理数（第二课时）
1. 下列说法中，正确的是（ D ）
A. 除不尽的分数是无理数
B. 无限小数都是无理数
C. 无理数是无限循环小数
D. 无限不循环小数是无理数
D
2. 下列实数中，属于无理数的是（ B ）
A. B. π－3
C. 1.010 010 001 D. 0
3. 下列正方形的边长是无理数的是（ C ）
A. 面积为9的正方形
B. 面积为49的正方形
C. 面积为8的正方形
D. 面积为121的正方形
B
C
4. 请写出一个小于－4的无理数： .
5. 已知 x2＝10且 x ＞0，则 x 是一个 数， x 的整数部分
是 .
6. 从－1， 0， ， ，π0中随机取一个数，取到无理数的概率
是 .
－2π（答案不唯一）
无理
3
解：有理数集合： ；
无理数集合：{π，－1.424 224 222 4…（相邻两个4之间2的个
数逐次加1），…}.
7. 将下列各数填入相应的集合内：－ ， π，5.3233， ， 0，
42， －1.424 224 222 4…（相邻两个4之间2的个数逐次加1）.
8. 如图，在由4个边长为1的正方形构成的“田字格”中，以格
点为顶点作等腰三角形 ABC .
（1）估算腰长 AB （精确到0.1）；
（2）求△ ABC 的面积.
解：（1）在等腰三角形 ABC 中， AB2＝12＋22＝5.
因为2.232＝4.972 9，2.242＝5.017 6，
所以2.23＜ AB ＜2.24.
所以 AB ≈2.2.
（2） S△ ABC ＝ ×2×2＝2.
9. 现有七个数：0. ，3.521 522 152 221…（相邻5，1之间2
的个数逐次加1）， ，3.1415，－2π，25.012 345 6…（小数
部分由相继正整数组成），（－1.2）3，其中无理数的个数为
x ，整数的个数为 y ，非负数的个数为 z ，则 x ＋ y ＋ z ＝ .
8
【解析】无理数有3.521 522 152 221…（相邻5，1之间2的个数
逐次加1），－2π，25.012 345 6…（小数部分由相继正整数组
成），共3个，则 x ＝3；没有整数，则 y ＝0；这七个数中，除
了－2π，（－1.2）3外，都是非负数，则 z ＝5.所以 x ＋ y ＋ z ＝
3＋0＋5＝8.故答案为8.
10. 求整式7 a3－3（2 a3 b － a2 b － a3）与（3 a2 b －6 a3 b ）
＋2（5 a3－ a ）的差，并说明当 a ， b 均为无理数时结果是
一个什么数.
解：由题意，得7 a3－3（2 a3 b － a2 b － a3）－（3 a2 b －6 a3 b ）
－2（5 a3－ a ）＝7 a3－6 a3 b ＋3 a2 b ＋3 a3－3 a2 b ＋6 a3 b －10 a3
＋2 a ＝2 a .
当 a 是无理数时，结果2 a 是无理数，与 b 无关.
所以当 a ， b 均为无理数时，结果是一个无理数.
11. 小明买了一盒饮料，盒子（长方体）的尺寸为5×4×3（单
位：cm），现在小明要将这盒饮料分别倒在两个同样大小的正
方体容器内，且恰好都倒满，则这两个正方体容器的棱长是有
理数还是无理数？请说说你的理由.若是无理数，请你利用计算
器探索这个正方体的棱长约为多少厘米（结果精确到十分位）.
解：设此正方体的棱长为 x cm，则2 x3＝5×4×3，所以 x3＝30.
因为33＝27，43＝64，所以3＜ x ＜4.
所以 x 不是整数.
因为三个相同的最简分数的乘积仍是分数，不会等于30，
所以 x 也不是分数.
所以 x 不是有理数，而是无理数.
因为3.13＝29.791＜30＜32.768＝3.23，所以3.1＜ x ＜3.2.
又因为3.153＝31.255875＞30，所以 x ≈3.1.
所以这个正方体的棱长约为3.1cm.
12. 如图，每个长方形都是由18个边长为1的小正方形拼成的.
图1
图2
图3
（1）如图1、图2、图3，如果把阴影部分分别剪拼成大正方
形，这些大正方形的面积相等吗？
（2）这些大正方形的边长是有理数吗？请说明理由.
解：（1）如题图1，阴影部分的面积为5，则剪拼成的正方形的
面积为5；
如题图2，阴影部分的面积为 ×（2＋4）×2＝6，则剪拼成的
正方形的面积为6；
如题图3，阴影部分的面积为 ×6×2＋1＝7，
则剪拼成的正方形的面积为7.
故这些大正方形的面积不相等.
（2）这些大正方形的边长不是有理数.理由如下：
因为22＜5＜32，22＜6＜32，22＜7＜32，
所以这三个大正方形的边长既不是整数，也不是分数.
故这些大正方形的边长都不是有理数.
13. （选做）如图，在等腰三角形 ABC 中， AB ＝ AC ＝5， BC
＝8，点 P 是边 BC 上的动点，过点 P 作 PD ⊥ AB 于点 D ， PE ⊥
AC 于点 E . 求 PD ＋ PE 的长，并判断 PD ＋ PE 的长是有理数还
是无理数.
答图
答图
解：如答图，过点 A 作 AF ⊥ BC 于点 F ，连接 AP .
因为 AB ＝ AC ， AF ⊥ BC . 根据等腰三角形的对称性，
可知 AF 垂直平分 BC . 所以 BF ＝ CF ＝ BC ＝4.
在Rt△ ABF 中， AB ＝5， BF ＝4，
所以 AF2＝ AB2－ BF2＝52－42＝9.
所以 AF ＝3（负值舍去）.
因为 S△ ABC ＝ S△ ABP ＋ S△ ACP ，
所以 BC · AF ＝ AB · PD ＋ AC · PE ，
即 ×8×3＝ ×5 PD ＋ ×5 PE .
所以 PD ＋ PE ＝4.8.所以 PD ＋ PE 的长是有理数.
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第二章 实 数
7 二次根式（第二课时）
1. 计算 ＋ 的结果是（ B ）
A. B. 3 C. 3 D. 4
2. 下列各式计算正确的是（ C ）
A. 8 －2 ＝6
B. 5 ＋5 ＝10
C. 4 ×2 ＝8
D. 4 ÷2 ＝2
B
C
3. 下列算式中，计算正确的有（ D ）
①3 ×2 ＝6 ； ② ÷ ＝ ；
③ ＝－7 ；④ ÷ ＝ .
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
D
4. 已知长方形的面积为12，其中一边的长为2 ，则与此边相
邻的另一边的长为 .
5. 已知最简二次根式 与 能够合并，则 a 的值
为 .
6. 我们规定，若 a ＋ b ＝－1，则称 a 与 b 是“关于1的平衡数”.
已知4＋2 与 m 是“关于1的平衡数”，则 m ＝
.
3
5
－5－2
（1） × ；
解：原式＝ ＝ ＝1.
（2） ；
解：原式＝ ＝1.
7. 计算：
（3） － ＋ ；
解：原式＝3 － ＋2 ＝ .
（4） × ÷ ；
解：原式＝ ÷ ＝ ＝ ＝ .
（5） × －21.
解：原式＝ －21＝20－21＝－1.
8. 先化简，再求值：6 x2＋2 xy －8 y2－2（3 xy －4 y2＋3 x2），其
中 x ＝ ， y ＝ .
解：原式＝6 x2＋2 xy －8 y2－6 xy ＋8 y2－6 x2
＝（6 x2－6 x2）＋（2 xy －6 xy ）＋（－8 y2＋8 y2）
＝－4 xy .
当 x ＝ ， y ＝ 时，
原式＝－4× × ＝－8 .
9. 若 ab ＞0， a ＋ b ＜0，则下面各式：① ＝ · ；②
· ＝1；③ ÷ ＝－ b ；④ · ＝ a .其中正确的
有 （填序号）.
②③
【解析】因为 ab ＞0，所以 a ， b 同号.又因为 a ＋ b ＜0，所以 a
＜0， b ＜0.①当 a ＜0， b ＜0时， ， 无意义，故①错误；
② · ＝ ＝ ＝1，故②正确；③ ÷ ＝
＝ ＝｜ b ｜＝－ b ，故③正确；④左边＞0，右边＜0，故④
错误.故答案为②③.
10. 计算：
（1） ÷ －3 ÷ ；
解：原式＝2 ÷3 － ÷4
＝ －
＝ －
＝ .
（2） － －8 －（ ＋6 ）.
解：原式＝6 －3 － － －4
＝ × －3
＝－2 －3 .
11. 已知 a ＝2＋ ， b ＝2－ ，求 a2－2 ab ＋ b2的值.
解：因为 a ＝2＋ ， b ＝2－ ，
所以 a － b ＝2＋ －（ － ）＝2 .
所以 a2－2 ab ＋ b2
＝（ a － b ）2＝（2 ）2
＝22×（ ）2＝12.
12. （选做）我们规定，用（ a ， b ）表示一对数对，给出如下
定义：记 m ＝ ， n ＝ （ a ＞0， b ＞0），将（ m ， n ）与
（ n ， m ）称为数对（ a ， b ）的一对“对称数对”.
例如：（4，1）的一对“对称数对”为 与 .
（1）数对（25，4）的一对“对称数对”是 ；
和
（2）若数对（3， y ）的一对“对称数对”的两个数对相同，求
y 的值；
（3）若数对（ x ，2）的一对“对称数对”的一个数对是
（ ，1），求 x 的值；
（4）若数对（ a ， b ）的一对“对称数对”的一个数对是
（ ，3 ），求 ab 的值.
（1）【解析】由题意，得 m ＝ ＝ ， n ＝ ＝2，所以数对
（25，4）的一对“对称数对”是 和 .故答案为
和 .
（2）解：因为数对（3， y ）的一对“对称数对”的两个数
对相同，所以 ＝ .所以 ＝ .
所以 y ＝ .
（3）解：因为数对（ x ，2）的一对“对称数对”是
和 ，
所以 ＝（ ，1）.
所以 ＝1.所以 x ＝1.
（4）解：因为数对（ a ， b ）的一对“对称数对”是
和 ，
＝ ， ＝3 或 ＝3 ， ＝ .
所以 a ＝ ， b ＝27或 a ＝ ， b ＝3.
所以 ab ＝9或 .
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第二章 实 数
2 平方根（第一课时）
1.9的算术平方根是（ A ）
A. 3 B. －3 C. ±3 D. ±
2. 下列各数中，算术平方根等于它本身的是（ A ）
A. 1 B. 4 C. 9 D. 16
3. 已知 ＝5，则 y 的值是（ D ）
A. 5 B. －5 C. 10 D. 25
4. 的算术平方根是 .
A
A
D
3
5. 已知某个自然数的算术平方根是 x ，则下一个自然数的算术
平方根是 .
6. 已知物体自由下落的高度 h （m）与下落时间 t （s）之间的关
系为 h ＝4.9 t2.若有一个物体从78.4m高的建筑物上自由下落，
则到达地面需要 s.
4
（1）225； （2） ； （3）0.49； （4）（－4）2.
解：（1）因为152＝225，所以225的算术平方根为15，
即 ＝15.
7. 求下列各数的算术平方根：
（2）因为 ＝ ， 所以 的算术平方根为 ，
即 ＝ .
（3）因为0.72＝0.49，所以0.49的算术平方根为0.7，
即 ＝0.7.
（4）因为（－4）2＝16， 42＝16，
所以（－4）2的算术平方根为4，
即 ＝4.
8. 计算：
（1） ；
解：原式＝ .
（2）－ ；
解：原式＝－｜－0.4｜＝－0.4.
（3） ；
解：原式＝ ＝ .
（4） ＋ ；
解：原式＝0.3＋0.6＝0.9.
（5） × .
解：原式＝0.8× ＝0.8× ＝1.
9. （1）已知数 x ， y 满足｜ x －4｜＋ ＝0，若以 x ， y 的
值为等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长
是 ；
【解析】因为｜ x －4｜＋ ＝0，且｜ x －4｜≥0，
≥0，所以｜ x －4｜＝0， ＝0.所以 x ＝4， y ＝8.
所以以4，8为边长的等腰三角形的三边的长只能是4，8，8，所
以它的周长是4＋8＋8＝20.故答案为20.
20
（2）已知 y ＝ ＋ ＋2，则2 x ＋3 y ＝ ；
【解析】因为 y ＝ ＋ ＋2，
所以 x －1≥0，1－ x ≥0.
所以 x ＝1.所以 y ＝2.
所以2 x ＋3 y ＝2×1＋3×2＝8.
故答案为8.
8
（3）代数式 ＋2的最小值是 .
【解析】因为 ≥0，
所以 ＋2≥2.
所以当 a ＝1时， ＋2取得最小值2.
故答案为2.
2
10. 观察下列各式并按规律填空：
＝2 ；
＝3 ；
＝4 ；
……
（1） ＝ 5 ；
（2）按此规律，第 n 个等式可以表示为
.
5
＝（ n ＋1）
11. 已知2 a －1的算术平方根是3，3 a ＋ b －1的算术平方根是
2，求 的值.
解：由题意，得2 a －1＝32，3 a ＋ b －1＝22，
即2 a －1＝9，3 a ＋ b －1＝4.
所以 a ＝5， b ＝－10.
故 ＝ ＝ ＝5.
12. （1）已知 a ， b 满足 ＋｜ b － ｜＝0，解关于 x
的方程：（ a ＋2） x ＋ b2＝ a －1；
解：因为 ＋｜ b － ｜＝0，且 ≥0，｜ b －
｜≥0，
所以2 a ＋6＝0， b － ＝0.
所以 a ＝－3， b ＝ .
所以原方程为（－3＋2） x ＋2＝－3－1，
即－ x ＋2＝－4，解得 x ＝6.
（2）已知 x ， y 两数满足 －（ y －1）· ＝
0，求 x2 024－ y2 023的值.
解：由题意，得1－ y ≥0， ＋（1－ y ）· ＝0.
又因为 ≥0，（1－ y ） ≥0，
所以1＋ x ＝0，1－ y ＝0.
所以 x ＝－1， y ＝1.
所以 x2 024－ y2 023＝（－1）2024－12023＝1－1＝0.
13. （选做）已知数 a 满足等式｜2024－ a ｜＋ ＝
a ，求 a －20242的值.
解：由题意，得 a －2025≥0，所以 a ≥2025.所以2024－ a ＜0.
又因为｜2024－ a ｜＋ ＝ a ，
所以 a －2024＋ ＝ a .
所以 ＝2024.
所以 a ＝2025＋20242.所以 a －20242＝2025.
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第二章 实 数
2 平方根（第二课时）
1. 的平方根是（ A ）
A. ±3 B. 3 C. ±9 D. 9
2. 下列各式中正确的是（ B ）
A. ＝－5 B. ＝5
C. ＝－5 D. － ＝5
A
B
3. 若一个数的相反数是最大的负整数，则这个数的平方根是
（ C ）
A. －1
B. 1
C. ±1
D. 0
【解析】最大的负整数是－1，－1的相反数是1，则这个数是
1，1的平方根是±1.故选C.
C
4. （1）已知 x2＝4，则 x ＝ ；
（2）已知 的平方根等于±2，则 a ＝ .
5. 已知一个数的算术平方根是6，则这个数是 ，它的另
一个平方根是 .
6. 已知两个不同的数3 a －22和2 a －3都是正数 m 的平方根，则
a ＝ ， m ＝ .
±2
16
36
－6
5
49
（1）｜－3｜； （2）－52；
（3）（－2.1）2； （4）－ .
解：（1）因为｜－3｜＝3＞0，
所以｜－3｜有平方根，
它的平方根是± .
（2）因为－52＝－25＜0，
所以－52没有平方根.
7. 下列各数有平方根吗？若有，写出它的平方根；若没有，请
说明理由.
（3）因为（－2.1）2＞0，
所以（－2.1）2有平方根，
它的平方根是±2.1.
（4）因为－ ＝ ＞0，
所以－ 有平方根，它的平方根是± .
8. （1）计算：
①（ ）2； ② ； ③± .
解：①原式＝6.
②原式＝3.
③原式＝± ＝± .
（2）已知3 x2＋4＝－20，求 x 的值.
解：因为3 x2＋4＝－20，
所以3 x2＝－24.
所以 x2＝－8.
所以原方程无解.
9. 已知 a2＝4， b2＝9，且 ab ＜0，则 a － b 的值为 .
【解析】因为 a2＝4， b2＝9，所以 a ＝±2， b ＝±3.因为 ab ＜
0，所以 a ＝2， b ＝－3或 a ＝－2， b ＝3.当 a ＝2， b ＝－3时，
a － b ＝2－（－3）＝2＋3＝5；当 a ＝－2， b ＝3时， a － b ＝
－2－3＝－5.综上所述， a － b 的值为±5.故答案为±5.
±5
10. （1）已知8 xmy 与6 x3 yn 的和是单项式，则（ m ＋ n ）3的平
方根为 ；
【解析】因为8 xmy 与6 x3 yn 的和是单项式，所以8 xmy 与6 x3 yn 是
同类项.所以 m ＝3， n ＝1.所以（ m ＋ n ）3＝（3＋1）3＝64.因
为（±8）2＝64，所以64的平方根是±8，即（ m ＋ n ）3的平方
根是±8.故答案为±8.
±8
（2）已知数 x ， y 满足（ x2＋ y2）2－9＝0，则 x2＋ y2的值
为 .
【解析】由题意，得（ x2＋ y2）2＝9.所以 x2＋ y2是9的平方根，
即 x2＋ y2＝±3.又因为 x2＋ y2≥0，所以 x2＋ y2＝3.故答案为3.
3
11. 求下列各式中 x 的值：
（1）（ x ＋1）2－4＝0；
解：因为（ x ＋1）2－4＝0，
所以（ x ＋1）2＝4.
所以 x ＋1＝± ＝±2，
即 x ＋1＝2，或 x ＋1＝－2.
所以 x ＝1，或 x ＝－3.
（2）9（3－ x ）2＝4.
解：因为9（3－ x ）2＝4，
所以（3－ x ）2＝ .
所以3－ x ＝± ＝± ，
即3－ x ＝ ，或3－ x ＝－ .
所以 x ＝ ，或 x ＝ .
12. （1）已知 a ＋3和2 a －15是 x 的平方根，求 a 的值和 x
的值；
解：因为 a ＋3和2 a －15是 x 的平方根，
所以有以下两种情况：①当 a ＋3和2 a －15不相等时，
（ a ＋3）＋（2 a －15）＝0，解得 a ＝4.
所以 x ＝（ a ＋3）2＝（4＋3）2＝49；
②当 a ＋3和2 a －15相等时，
（ a ＋3）－（2 a －15）＝0，解得 a ＝18.
所以 x ＝（ a ＋3）2＝（18＋3）2＝441.
综上所述，当 a ＝4时， x ＝49；当 a ＝18时， x ＝441.
解：因为3 m ＋6和2 n －7是 x 的平方根，
所以（3 m ＋6）2＝（2 n －7）2＝ x .
又因为（3 m ＋6）2 x ＋（2 n －7）2 x ＝4，
所以 x2＋ x2＝4，即 x2＝2.
所以 x ＝± .
因为 x 有平方根，所以 x ≥0.
所以 x ＝ .
（2）已知3 m ＋6和2 n －7是 x 的平方根，且（3 m ＋6）2 x ＋（2
n －7）2 x ＝4，求 x 的值.
13. （选做）大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小
数，因此 的小数部分我们不能全部写出来，于是小明用
－1来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是
1，用这个数减去其整数部分的差就是小数部分.
请解答：已知5＋ 的小数部分是 a ，5－ 的整数部分是 b ，
求 a ＋ b 的值.
解：因为4＜5＜9，所以2＜ ＜3.
所以7＜5＋ ＜8.
所以 a ＝5＋ －7＝ －2.
又因为－2＞－ ＞－3，
所以5－2＞5－ ＞5－3.
所以2＜5－ ＜3.所以 b ＝2.
所以 a ＋ b ＝（ －2）＋2＝ .
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第二章 实 数
1 认识无理数（第一课时）
1. 下列各数中，是无理数的是（ C ）
A. 3.141 592 626 B.
C. D. 2.7
2. 下列各数：3，π，－0.125， ， ，其中无理数有
（ C ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
C
C
3. 已知面积分别为1，2，3，4，7，8，9的正方形，其中边长
不是有理数的正方形有（ D ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 在Rt△ ABC 中，已知∠ C ＝90°，∠ A ，∠ B ，∠ C 的对边
分别为 a ， b ， c .
（1）计算：
①当 a ＝1， c ＝2时， b2＝ ；
②当 a ＝5， c ＝13时， b2＝ ；
③当 a ＝0.8， c ＝1时， b2＝ .
D
3
144
0.36
（2）通过（1）中计算出的 b2的值，可知 b 是整数的是 ；
b 是分数的是 ； b 既不是整数，也不是分数的是 .
（填序号）
②
③
①
5. 如图，每个小正方形的边长为1，在线段 AB ， AC ， AD ，
AE ， AF 中，其长度是有理数的有 条，不是有理数的
有 条.
6. 已知一个高为2m、宽为1m的长方形大门，对角线的长度
（m）在两个相邻的整数之间，则这两个整数是 和 .
2
3
2
3
7. 公元前500多年，数学各学派的学者都认为世界上的数只有
整数和分数，直到有一天，大数学家毕达哥拉斯的一个名叫希
帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若1∶ x ＝ x ∶2，则
x 叫做1和2的比例中项），他怎么也想不出这个比例中项的值.
后来，他画了一个边长为1的正方形，设对角线为 x ，由毕达哥
拉斯定理得 x2＝12＋12＝2，他想 x 代表对角线的长，而 x2＝2，
那么 x 必定是确定的数，这时他又为自己提出了几个问题，请你
试着回答：
（1） x 是整数吗？为什么？
（2） x 是分数吗？如果是，能找出来吗？如果不是，能说出理
由吗？
解：（1）不是.因为1＜2＜4，而 x2＝2，
所以1＜ x2＜4.若 x ＞0，则1＜ x ＜2.
因为在1和2之间不存在另外的整数，
所以 x 不是整数.
（2）不是.因为分数（除假分数1）的平方不可能是整数，所以
x 不是分数.
8. 一个由16个边长为1的小正方形拼成的网格图如图所示，任
意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别
画出一条长度是有理数的线段和一条长度不是有理数的线段.
（要求：所作线段不能与图中已有的线段重合）
答图
解：如答图，根据勾股定理，得 AB ＝5， CD2＝5，则线段 AB
是一条长度是有理数的线段，线段 CD 是一条长度不是有理数的
线段.（画法不唯一）
答图
9. 已知一个长方形的面积为10，且它的长是宽的2倍，则该长
方形的宽的整数部分为 .
10. 如图，在5×5的正方形网格中，以 AB 为边画直角三角形
ABC ，使点 C 在格点上，且另外两条边的长均不是有理数，则
满足这样条件的点 C 共有 个.
2
4
答图
【解析】如答图，满足这样条件的点 C 共有4个.故答案为4.
答图
11. 如图，已知等腰三角形 ABC 的腰长为3，底边 BC 的长为2，
高 AD 为 h ，则 h 是整数吗？是有理数吗？
解：因为 AB ＝ AC ，所以 BD ＝ CD .
因为 BC ＝2，所以 BD ＝ CD ＝1.
在Rt△ ABD 中，由勾股定理，得
h2＝ AB2－ BD2＝32－12＝8.
因为22＜8＜32，所以2＜ h ＜3.所以 h 不是整数.
因为分数（除假分数1）的平方仍然是分数，而 h2＝8，
所以 h 不是分数.所以 h 既不是整数，也不是分数.
所以 h 不是有理数.
12. 如图，在Rt△ ABC 中，已知∠ B ＝90°， AB ＝18， BC ＝
12.将△ ABC 折叠，使点 A 与 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN . 求
线段 BN 的长，并判断 BN 的长是否为有理数？
解：因为点 D 为 BC 的中点，所以 BD ＝ CD ＝ BC ＝6.
由题意，设 AN ＝ DN ＝ x ，则 BN ＝18－ x .
在Rt△ BDN 中，由勾股定理，得
x2＝（18－ x ）2＋62，解得 x ＝10.
所以 BN ＝18－10＝8.
故 BN 的长为8， BN 的长是有理数.
13. （选做）（1）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的图
形，我们可以把它剪开拼成一个正方形.所拼成的正方形的面积
是 ，它的边长 （填“是”或“不是”）有理数.
图1
5
不是
（3）如图3，你能把由10个小正方形所组成的图形纸剪拼成一
个正方形吗？若能，请在图3中画出图形.
图2
（2）如图2，试在3×3的网格图内画出面积为5的正方形.
图3
（1）【解析】所拼成的正方形的面积与原图形的面积相等，即
为5，边长不是有理数.故答案为5，不是.
（2）解：画出面积为5的正方形如图1所示（画法不唯一）.
图1
（3）解：能剪拼，如图2所示，正方形的面积为10.
图2
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第二章 实 数
回顾与思考（第二课时）
1. 在下列计算中，正确的是（ D ）
A. － ＝ B. 2＋ ＝2
C. ＝3 D. ÷ ＝2
2. 在 ， ， ， 中，化简后能与 合并的有
（ B ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
D
B
3. 要使代数式 有意义，则 x 的取值范围是（ C ）
A. x ≥0 B. x ≠
C. x ≥0且 x ≠ D. 全体实数
C
4. 已知 的小数部分为 m ，2 的倒数为 n ，则 n － m 的值
为 .
5. 已知最简二次根式 与 能够合并，则 ab
＝ .
6. 已知 y ＝ ＋ ＋1，则3 x ＋ y 的值是 .
1－
4
3
7. 计算：
（1） － × ；
解：原式＝ －
＝ －2
＝4－2
＝2.
（2） － ＋ －｜2－ ｜－ ；
解：原式＝2－2＋5－（ －2）＋3
＝10－ .
（3） －（ ＋1）（ －1）；
解：原式＝2＋2 ＋1－（3－1）
＝2＋2 ＋1－2
＝2 ＋1.
（4）（ －4 ）－（ 3 －2 ）；
解：原式＝4 － － ＋
＝3 .
解：原式＝ ÷ － ÷
＝ －
＝ －
＝2 －
＝ .
（5）（ － ）÷ .
8. 已知实数 a ， b ， c 在数轴上的位置如图所示.化简：｜ a ｜－
＋ － .
解：由数轴，得 c ＜ a ＜0＜ b ，
则 a ＋ c ＜0， c － a ＜0.
所以原式＝｜ a ｜－｜ a ＋ c ｜＋｜ c － a ｜－｜ b ｜
＝－ a ＋ a ＋ c －（ c － a ）－ b
＝－ a ＋ a ＋ c － c ＋ a － b
＝ a － b .
9. 已知 m ＝ ＋1， n ＝ －1，则代数式 的
值为 .
【解析】因为 m ＝ ＋1， n ＝ －1，所以 m ＋ n ＝
＋ ＝2 ， mn ＝ ＝1.所以 m2＋ n2＋
3 mn ＝（ m2＋ n2＋2 mn ）＋ mn ＝（ m ＋ n ）2＋ mn ＝ ＋
1＝8＋1＝9.所以原式＝ ＝3.故答案为3.
3
10. 若 ＝ －1， ＝ － ， ＝ － ，
＝ － ……以此类推，则（ ＋ ＋
＋…＋ ）×（ ＋1）的值为 .
2 023
【解析】由已知，得 ＝ － ，则原式＝（
－1＋ － ＋ － ＋…＋ － ）（
＋1）＝（ －1）（ ＋1）＝2 024－1＝2 023.故
答案为2 023.
11. 已知 x ＝ ， y ＝ .
（1）求 x2＋2 xy ＋ y2的值；
（2）求 － 的值.
解：（1）因为 x ＝ ＝ ＋3，
y ＝ ＝ －3，
所以 x ＋ y ＝2 .
所以 x2＋2 xy ＋ y2＝（ x ＋ y ）2＝ ＝40.
（2）由（1）知， x ＝ ＋3， y ＝ －3，
所以 x －2＞0， y ＋1＞0，
所以原式＝ － ＝ － ＝ －3－（ ＋
3）＝－6.
12. 已知 a ＋ b ＝－8， ab ＝8，求代数式 ab ·（ ＋ ）的值.
解：因为 a ＋ b ＝－8， ab ＝8，所以 a ＜0， b ＜0.
所以原式＝－ ab ＝－ ab · ＝－（ a ＋
b ） .当 a ＋ b ＝－8， ab ＝8时，原式＝8 ＝16 .
13. （选做）“分母有理化”是我们常见的一种化简方法.如：
＝ ＝3＋2 .
除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有
特点的无理数.如：
化简： － .
解：设 x ＝ － .
易知 ＞ ，故 x ＞0.
由于 x2＝（ － ）2＝2＋ ＋2－ －2
＝2，解得 x ＝± .
又因为 x ＞0，所以 x ＝ ，
即 － ＝ .
根据以上方法，化简： ＋ － .
解：设 x ＝ － .易知 ＜ ，故 x ＜0.由于 x2＝ ＝3－ ＋3＋ －2
＝2，解得 x ＝± .又因为 x ＜0，所以 x ＝－ ，即 － ＝－ .
所以原式＝ －
＝9－12 ＋8－
＝17－13 .
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第二章 实 数
6 实 数
1. 下列语句中，正确的是（ D ）
A. 正整数和负整数统称为整数
B. 正数、0和负数统称为有理数
C. 开方开不尽的数和π统称为无理数
D. 有理数和无理数统称为实数
D
2. 在实数 ，0，2π，3.1415，0.333…， ，
2.12112111211112…（相邻两个2之间1的个数逐次加1）中，有
理数有（ D ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
D
3. 如图，在数轴上表示实数2 －5的点可能是（ C ）
A. 点 A B. 点 B C. 点 C D. 点 D
4 .（1）实数 －2的绝对值是 2－ ；
（2）－ 的倒数是 － .
C
2－
－
5. 计算：｜ －3｜－ ＝ － .
6. 如图，面积为5的正方形 ABCD 的顶点 A 在数轴上，且点 A 表
示的数为1，若点 E 在数轴上（点 E 在点 A 左侧），且 AD ＝
AE ，则点 E 表示的数是 .
－
1－
7. 已知下列7个实数：
0，π，－ ，｜ －1｜， ， ， .
（1）将它们分别填入相应的集合内；
无理数集
整数集
解：（1）填写如下：
π，－ ，
｜ －1｜
0， ， ，
（2）将这7个实数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接.
解：（1）填写如下：
（2）－ ＜0＜ ＜｜ －1｜＜ ＜π＜ .
8. 计算：
（1）｜－3｜－ ＋1；
解：原式＝3－3＋1
＝1.
（2）（ ）2－ ＋4× ；
解：原式＝2－4＋4×
＝2－4＋2
＝0.
（3）｜1－ ｜＋ － ；
解：原式＝ －1＋ －
＝－ .
（4） ＋（π－ ）0－ ＋｜ －2｜.
解：原式＝4＋1－3＋2－
＝4－ .
9. 若规定新运算“ ”的运算法则为 a b ＝ ，则
（2 6） 8的值是 .
【解析】（2 6） 8＝ 8＝4 8＝ ＝
6.故答案为6.
6
10. 如图， m ， n ， p ， q 四个实数在数轴上对应的点分别为点
M ， N ， P ， Q . 若 n ＋ q ＝0，则 m ， n ， p ， q 中，绝对值最大
的一个数是 .
p
【解析】因为 n ＋ q ＝0，所以 n 和 q 互为相反数.所以原点 O 在
点 N 和点 Q 的中间位置，即 ON ＝ OQ ，如图所示.观察数轴可
知，点 P 到原点 O 的距离最远，所以 p 的绝对值最大.故答案为
p .
11. 已知 a ， b ， c 在数轴上的位置如图所示，化简： －｜ a
＋ b ｜＋ ＋｜ b ＋ c ｜＋ .
解：由数轴，得 a ＜0， a ＋ b ＜0， c － a ＋ b ＞0， b ＋ c ＞0.
则原式＝｜ a ｜－｜ a ＋ b ｜＋｜ c － a ＋ b ｜＋｜ b ＋ c ｜＋ b
＝－ a ＋ a ＋ b ＋ c － a ＋ b ＋ b ＋ c ＋ b
＝－ a ＋4 b ＋2 c .
（1）图中阴影正方形的面积是 ，边长是 ，在数
轴上准确地作出表示阴影正方形边长的点.
13
12. 如图，其中每个小正方形的边长都为1.
①求 x ， y 的值；
②求（ x ＋ y ）2的算术平方根.
解：（1）因为阴影正方形的面积为5×5－4× ×3×2＝13，
所以边长为 .
在图中数轴上作出表示阴影正方形边长的点如图所示，对应点
为点 A .
（2）已知 x 为阴影正方形边长的小数部分， y 为 的整数
部分.
（2）①因为9＜13＜16，9＜15＜16，
所以3＜ ＜4，3＜ ＜4.
因为 x 为阴影正方形边长的小数部分， y 为 的整数部分，
所以 x ＝ －3， y ＝3.
②由①，得 x ＝ －3， y ＝3.
所以（ x ＋ y ）2＝ ＝13.
所以（ x ＋ y ）2的算术平方根是 .
13. （选做）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理
数；任意一个不为0的有理数与一个无理数的积为无理数；而0
与无理数的积为0.由此可得：如果 ax ＋ b ＝0，其中 a ， b 为有
理数， x 为无理数，那么 a ＝0且 b ＝0.
（1）已知（ m ＋1） ＋（ n －2）＝0，其中 m ， n 为有理
数，则 m ＝ ， n ＝ ；
－1
2
（2）已知（3＋ ） m －2 n ＝18，其中 m ， n 为有理数，求
m ＋3 n 的值.
（1）【解析】因为（ m ＋1） ＋（ n －2）＝0，其中 m ， n
为有理数，所以 m ＋1＝0， n －2＝0.所以 m ＝－1， n ＝2.故答
案为－1，2.
（2）解：因为（3＋ ） m －2 n ＝18，即（ m －2 n ）·
＋（3 m －18）＝0，其中 m ， n 为有理数，
所以 m －2 n ＝0，3 m －18＝0，
解得 m ＝6， n ＝3.
所以 m ＋3 n ＝6＋9＝15.
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第二章 实 数
7 二次根式（第三课时）
1. 若 a 是有理数， b 是无理数，则下列说法正确的是（ A ）
A. ba 可能是有理数
B. ab 一定是无理数
C. a ÷ b 一定是无理数
D. a ＋ b 可能是有理数
A
2. 计算：（ －1）· ＝（ B ）
A. 0 B. 1 C. 2 D.
3. 已知 x ＝ ＋ ， y ＝ － ，则 x2＋2 xy ＋
y2＝（ A ）
A. 20 B. 2 C. 2 024 D.
4. 已知 a ＝2－ ， b ＝－ ，则 a b （填“＞”“＜”或“＝”）.
B
A
＝
5. 已知一个长方形的长和宽分别为 和 ，则其周长
为 .
6. 已知 a ， b 为有理数，且 ＋ ＋ ＝ a ＋ b .若以
a ， b 的值为一个直角三角形的两条直角边的长，则这个直角三
角形的斜边长 c ＝ .
14
7. 计算：
（1） ＋ － ；
解：（1）原式＝2 ＋4 －
＝5 .
（2）（ ＋ ）（ － ）；
解：原式＝（3 ＋3 ）（ － ）
＝3（ ＋ ）（ － ）
＝3[（ ）2－（ ）2]
＝3×（3－2）
＝3.
（3）（ －2 ）÷ －6 ；
解：原式＝（ －4 ）÷ －3
＝－3－3 .
（4）（ －3 ＋2 ）× ；
解：原式＝ －3 ＋2
＝4 －3 ＋
＝ －3 .
（5） ＋ .
解：原式＝ ＋4
＝ －1＋4
＝5 －1.
8. 已知 a ＝ ＋2， b ＝ －2，求下列代数式的值：
（1） a2－2 ab ＋ b2；
（2） a2－ b2.
解：因为 a ＝ ＋2， b ＝ －2，
所以 a ＋ b ＝ ＋2＋ －2＝2 ，
a － b ＝（ ＋2）－（ －2）＝4.
（1） a2－2 ab ＋ b2＝（ a － b ）2＝42＝16.
（2） a2－ b2＝（ a ＋ b ）（ a － b ）＝2 ×4＝8 .
9. 已知 a ＋2 ＋ ＝10，则 a 的值为 .
【解析】因为 a ＋2 ＋ ＝10，所以 ＋ ＋3
＝10.所以5 ＝10.所以 ＝2.所以2 a ＝4.所以 a ＝2.
故答案为2.
2
10. 令 a ＝ ＋ ＋ ，计算： × － ×
＝ .
【解析】由 a ＝ ＋ ＋ ，得原式＝（1－ a ）· －
· a ＝ a ＋ － a2－ － a ＋ a2＋ ＝ ＝ .故答
案为 .
11. 已知 a ＝ ， b ＝ ，求下列代数式的值：
（1） ab － a ＋ b ；
（2） a2＋ b2＋2.
解： a ＝ ＝ ＋ ，
b ＝ ＝ － .
则 ab ＝（ ＋ ）（ － ）＝（ ）2－（ ）2＝6－5
＝1， a － b ＝（ ＋ ）－（ － ）＝ ＋ － ＋
＝2 .
（1） ab － a ＋ b ＝ ab －（ a － b ）＝1－2 .
（2） a2＋ b2＋2＝（ a2＋ b2－2 ab ）＋2 ab ＋2＝（ a － b ）2＋2
ab ＋2＝ ＋2×1＋2＝20＋2＋2＝24.
12. 定义：若两个二次根式 a ， b 满足 a · b ＝ c ，且 c 是有理数，
则称 a 与 b 是关于 c 的“共轭二次根式”.
（1）若 a 与 是关于4的“共轭二次根式”，则 a ＝
；
（2）若2＋ 与4＋ m 是关于2的“共轭二次根式”，求
m 的值.
2
（2）解：因为2＋ 与4＋ m 是关于2的“共轭二次根
式”，
所以（2＋ ）（4＋ m ）＝2.
所以4＋ m ＝ ＝ ＝4－2 .
所以 m ＝－2.
（1）【解析】因为 a 与 是关于4的“共轭二次根式”，所以
a ＝4.所以 a ＝ ＝2 .故答案为2 .
13. （选做）【阅读材料】
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一
个式子的平方，如3＋2 ＝（1＋ ）2.善于思考的小明进行
了以下探索：若设 a ＋ b ＝（ m ＋ n ）2＝ m2＋2 n2＋2 mn
（其中 a ， b ， m ， n 均为整数），则有 a ＝ m2＋2 n2， b ＝2
mn .这样小明就找到了一种把类似 a ＋ b 的式子化为完全平方
式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
（1）已知 a ＋ b ＝（ m ＋ n ）2（其中 a ， b ， m ， n 均为
整数），则 a ＝ ， b ＝ ；（均用含 m ， n
的式子表示）
m2＋5 n2
2 mn
（2）已知 x ＋4 ＝（ m ＋ n ）2，且 x ， m ， n 均为正整
数，分别求出 x ， m ， n 的值.
【拓展延伸】
（3）化简： ＝ ＋ .
＋
（2）解：因为（ m ＋ n ）2＝ m2＋2 mn · ＋3 n2，又因为 x
＋4 ＝（ m ＋ n ）2，且 x ， m ， n 均为正整数，
所以2 mn ＝4， m2＋3 n2＝ x .
所以 m ＝1， n ＝2， x ＝13，或 m ＝2， n ＝1， x ＝7，
即 m ＝1， n ＝2， x ＝13，或 m ＝2， n ＝1， x ＝7.
（1）【解析】因为 a ＋ b ＝（ m ＋ n ）2＝ m2＋2 mn · ＋
5 n2，且 a ， b ， m ， n 均为整数，所以 a ＝ m2＋5 n2， b ＝2 mn .
故答案为 m2＋5 n2，2 mn .
（3）【解析】原式＝
＝
＝
＝ ＋ .
故答案为 ＋ .
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第二章 实 数
4 估 算
1. 与 最接近的整数是（ B ）
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
2. （2023·绵阳）在实数0， ，－π， 中，最小的数是
（ A ）
A. －π B. 0 C. D.
B
A
3. 已知正方形的面积为20，边长为 x ，则 x 的值介于下列哪两个
整数之间（ C ）
A. 2，3 B. 3，4 C. 4，5 D. 5，6
4. 比较大小： （填“＞”“＜”或“＝”）.
5. 满足－ ＜ x ＜ 的整数 x 是 .
6. 设 a 为正整数，且 ＜ a ＋1，则 a 的最小值为 .
C
＞
－1，0或1
6
（1） （结果精确到0.1）；
（2） （结果精确到0.1）；
（3） （结果精确到10）；
7. 估算下列各数的大小：
（4） （结果精确到1）.
解：（1）因为62＝36＜40＜49＝72，所以6＜ ＜7.
因为6.32＝39.69＜40＜40.96＝6.42，所以6.3＜ ＜6.4.
（方法一）又因为6.352＝40.322 5＞40，所以6.35＞ .
所以6.3＜ ＜6.35.
所以 ≈6.3.
（方法二）又因为40－39.69＝0.31，
40.96－40＝0.96，0.31＜0.96，所以 ≈6.3.
（2）因为0.92＝0.81＜0.9＜1＝12，
所以0.9＜ ＜1.
又因为0.952＝0.902 5＞0.9，
所以0.95＞ .
所以0.9＜ ＜0.95.
所以 ≈0.9.
（3）因为3002＝90 000＜100 000＜160 000＝4002，
所以300＜ ＜400.
因为3102＝96 100＜100 000＜102 400＝3202，
所以310＜ ＜320.
因为3162＝99 856＜100 000＜100 489＝3172，
所以316＜ ＜317.
所以 ≈320.
（4）因为73＝343＜500＜512＝83，
所以7＜ ＜8.
因为7.53＝421.875＜500，
所以7.5＜ .
所以7.5＜ ＜8.
所以 ≈8
8. 比较下列各组中两个数的大小：
（1）7 和6 ；
解：因为7 ＝ ＝ ，
6 ＝ ＝ ，且 ＞ ，
所以7 ＞6 .
（2）1－ 和1－ .
解：因为 －
＝1－ －1＋
＝ － ＜0，
所以1－ ＜1－ .
9. 已知 a ＝ ， b ＝ ， c ＝ ，则 a ， b ， c 的大小关系为
（用“＞”号连接）.
【解析】根据估算，得 ≈1.4， ≈1.7， ≈2.2，则 a
≈1.4÷2＝0.7， b ≈1.7÷3≈0.6， c ≈2.2÷5＝0.44.所以 a ＞
b ＞ c .故答案为 a ＞ b ＞ c .
a
＞ b ＞ c
10. 若 m 为 的整数部分， n 为 的小数部分，则（ ＋
m ） n ＝ .
【解析】因为4＜7＜9，所以2＜ ＜3.所以 m ＝2， n ＝ －
2.所以（ ＋ m ） n ＝ n ＋ mn ＝ ×（ －2）＋2×
（ －2）＝7－2 ＋2 －4＝3.故答案为3.
3
解：若围成正方形场地，设正方形的边长为 x m，则 x2＝50，所
以 x ＝± ，即 x ≈±7.因为 x 的值不能为负，所以 x ≈7.
则所用篱笆的长度约为7×4＝28（m）.
若围成圆形场地，设圆形场地的半径为 r m，则π r2＝50，
所以 r ＝± ≈± ，即 r ≈±4.因为 r 的值不能为负，所以 r ≈4.则所用篱笆的长度约为4×2×3＝24（m）.
因为24m＜28m，所以围成圆形场地所用篱笆较少.
11. 学校准备用篱笆在空地上围成一个绿化场地，要求面积为
50m2.现有两种设计方案，一种是围成正方形场地，另一种是围
成圆形场地.问：哪一种方案所用篱笆较少？（π取3，正方形的
边长、圆的半径精确到1m）
12. （1）比较大小（填“＞”“＜”或“＝”）：
， .
（2）由以上可知：
①｜1－ ｜＝ －1 ；
②｜ － ｜＝ － ；
③｜ － ｜＝ － （ n 为自然数）.
＜
＜
－1
－
－
（3）求下面算式的值，并估算出算式的值的整数部分.
｜1－ ｜＋｜ － ｜＋｜ － ｜＋…＋｜ －
｜.
（1）【解析】因为1＜2，2＜3，
所以 ＜ ， ＜ .
故答案为＜，＜.
（2）【解析】①因为1＜ ，所以1－ ＜0.
所以｜1－ ｜＝ －1.
②因为 ＜ ，所以 － ＜0.
所以｜ － ｜＝ － .
③因为 n ＜ n ＋1，所以 ＜ .
所以 － ＜0.
所以｜ － ｜＝ － .
故①，②，③的答案依次为 －1， － ， － .
（3）解：原式＝（ －1）＋（ － ）＋（ － ）
＋…＋（ － ）＝ －1.
因为442＝1 936＜2 024＜2 025＝452，
所以44＜ ＜45.
所以 －1的整数部分为44－1＝43.
13. （选做）已知 b 为正数， a 为 b 的小数部分，且 a2＋ b2＝
27，求 a ＋ b 的值.
解：因为 a 为正数 b 的小数部分，所以0＜ a ＜1.
因为 a2＋ b2＝27，所以 b2＝27－ a2.
所以25＜ b2＜36.所以5＜ b ＜6.所以 b － a ＝5.
所以（ b － a ）2＝25，即 a2＋ b2－2 ab ＝25.
又因为 a2＋ b2＝27，所以 ab ＝1.
所以 （ a ＋ b ）2＝（ b － a ）2＋4 ab ＝25＋4＝29.
所以 a ＋ b ＝ （负值舍去）.
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第二章 实 数
3 立方根
1. 下面说法中，正确的是（ B ）
A. －64的立方根是4
B. 的立方根是
C. 49的算术平方根是±7
D. 的平方根是±3
B
2. 下列运算不正确的是（ C ）
A. ＝－2 B. ＝－9
C. ＝－9 D. ＝3
3. 已知 ＝ a ，则 a 的值不可能是（ D ）
A. －1 B. 0 C. 1 D. 3
4. 已知数 x 的平方根是±8，则 x 的立方根是 .
5. 已知8 x3＋125＝0，则 x 的值为 .
C
D
4
－
6. 有一个正方体的集装箱，原体积为27m3，现准备将其扩容以
盛放更多的货物.若要使其成为体积是216m3的正方体，则它的
棱长需要增加 m.
3
①0；②－ ；③6；④0.001；⑤－ .
解：①0的立方根是0.
②因为 ＝－ ，
所以－ 的立方根是－ ，
即 ＝－ .
7. （1）求下列各数的立方根：
③6的立方根是 .
④因为0.13＝0.001，
所以0.001的立方根是0.1，即 ＝0.1.
⑤因为－ ＝－ ， ＝－ ，
所以－ 的立方根是－ ，
即 ＝－ .
（2）计算：
①－ ； ② ； ③ ＋ － .
解：①原式＝－（－3）＝3.
②原式＝ ＝4.
③原式＝4＋5－（－1）＝10.
解：因为3是 x －4的算术平方根，
所以 x －4＝32＝9.所以 x ＝13.
因为3是2 y ＋3的立方根，
所以2 y ＋3＝33＝27.所以 y ＝12.
所以 x2－ y2＝132－122＝25.
所以 x2－ y2的平方根为±5，
即± ＝±5.
8. 已知3既是 x －4的算术平方根，又是2 y ＋3的立方根，求 x2－
y2的平方根.
9. 已知 a ， b 在数轴上的位置如图所示，且满足｜ b ｜＞｜
a ｜，则化简 －｜ a ＋ b ｜＋ 的结果是 .
【解析】观察数轴，得 b ＜0＜ a .因为｜ b ｜＞｜ a ｜，所以 a ＋
b ＜0.所以原式＝｜ a ｜－｜ a ＋ b ｜＋（－ b ）＝ a －[－（ a ＋
b ）]－ b ＝ a ＋ a ＋ b － b ＝2 a .故答案为2 a .
2 a
10. 已知 ＝2，且｜ b －2 c ＋1｜＋ ＝0，则
的值为 .
【解析】因为 ＝2，所以 a ＝8.因为｜ b －2 c ＋1｜＋
＝0，所以 b －2 c ＋1＝0， b ＋3＝0.所以 b ＝－3， c ＝－1.所以
＝ ＝ .故答案为 .
11. 求下列各式中 x 的值：
（1）（2 x ＋3）3＝216；
解：因为（2 x ＋3）3＝216，
所以2 x ＋3＝ ，即2 x ＋3＝6.
所以 x ＝ .
（2）8（ x ＋5）3＋27＝0；
解：因为8（ x ＋5）3＋27＝0，
所以（ x ＋5）3＝－ .
所以 x ＋5＝ ，即 x ＋5＝－ .
所以 x ＝－ .
（3） ＝－2.
解：因为 ＝－2，
所以12－5 x ＝（－2）3，即12－5 x ＝－8.
所以 x ＝4.
12. 已知一个正方体木块的体积是125cm3，现将它锯成8块同样
大小的正方体小木块.
（1）求每个正方体小木块的棱长.
（2）现有一块面积为36cm2的长方形木板，已知长方形的长是
宽的4倍.若把以上正方体小木块摆放在这张长方形木板上，且
只摆放一层，最多可以放几个正方体小木块？请说明理由.
解：（1）根据题意，得 ＝ （cm），
故每个正方体小木块的棱长为 cm.
（2）最多可以放4个.理由如下：
设长方形的宽为 x cm， 则长为4 x cm.
可得4 x2＝36，即 x2＝9.
因为 x ＞0，所以 x ＝3.
由3×4÷ ＝ ，可知横排可放4个，竖排只能放1个，所以
4×1＝4（个）.
所以最多可以放4个正方体小木块.
13. （选做）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到邻座的
乘客阅读的杂志上有道智力题，求59 319的立方根，华罗庚脱
口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙.你知道
怎样迅速地计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试.
第一步：因为 ＝10，
＝100，
1 000＜59 319＜1 000 000，
所以10＜ ＜100，
所以能确定59319的立方根是一个两位数.
第二步：因为59 319的个位上是9，93＝729.
所以能确定59 319的立方根的个位上是9.
第三步：如果划去59 319后面的三位319得到数59，而 ＜
＜ ，那么3＜ ＜4，可得30＜ ＜40.
由此能确定59 319的立方根的十位上是3，所以59319的立方根
是39.
根据上面的材料，求110 592的立方根，并写出解答步骤.
解：第一步：因为 ＝10， ＝100，
1 000＜110 592＜1 000 000，所以10＜ ＜100，
所以能确定110 592的立方根是一个两位数.
第二步：因为110 592的个位上是2，83＝512，
所以能确定110 592的立方根的个位上是8.
第三步：如果划去110 592后面的三位592得到数110，而 ＜
＜ ，那么4＜ ＜5，可得40＜ ＜50.
由此能确定110 592的立方根的十位上是4.
所以110 592的立方根是48.
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第二章 实 数
回顾与思考（第一课时）
1. 在下列实数中，属于有理数的是（ B ）
A. B. C. D.
2. 在 ， －82， ， 中，最大的是（ C ）
A. B. －82 C. D.
B
C
3. 有一个数值转换器，程序原理如图所示.当输入 x ＝8时，输
出 y 的值是（ B ）
A. －2 B. C. D.
B
4. 已知 y ＝ ＋ ＋2，则 xy 的值是 .
5. 已知实数 的平方根是 x ，－27的立方根是 y ，则2 x － y 的
值为 .
6. 若 的整数部分为 a ， 的小数部分为 b ，则 ab ＝ 3
.
25
7或－1
3
－6
解：原式＝－1＋5－2＋ －2
＝ .
（2）求 x 的值：9（3 x ＋1）2－49＝0.
解：整理，得（3 x ＋1）2＝ .
所以3 x ＋1＝± ，
即3 x ＋1＝ 或3 x ＋1＝－ ，
解得 x ＝ 或 x ＝－ .
7. （1）计算：－12024＋ ＋ ＋｜2－ ｜；
8. 我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此无理数也可以
在数轴上表示出来.
（1）如图1，数轴上点 A 表示的数是 ；
（2）如图2，请在数轴上用尺规作图作出表示1－ 的点 C
（不写作法，保留作图痕迹），并说明理由.
图1
图2
（1）【解析】因为 OA ＝ OP ＝ ＝ ，所以点 A 表示
的数是 .故答案为 .
（2）解：如图，点 C 为所求作的点.理由如下：
在Rt△ DEF 中，由勾股定理，得
DE ＝ ＝ ＝ .
由尺规作图，得 DC ＝ DE ＝ .
所以点 C 到原点 O 的距离 OC ＝ DC － OD ＝ －1.
又因为点 C 在原点 O 的左侧，
所以点 C 表示的数为1－ .
9. 已知 m 是满足不等式－ ＜ a ＜ 的所有整数的和， n 是满
足不等式 x ≤ 的最大整数，则 m ＋ n 的平方根为 .
【解析】因为 m 是满足不等式－ ＜ a ＜ 的所有整数的和，
所以 m ＝－1＋0＋1＋2＝2.因为 n 是满足不等式 x ≤ 的最
大整数，所以 n ＝2.所以 m ＋ n 的平方根为± ＝±2.故答案
为±2.
±2
10. 对于实数 p ，我们规定：用{ }表示不小于 的最小整
数.例如：{ }＝2，{ }＝2.现在对72进行如下操作：72
{ }＝9 { }＝3 ＝2，即对72只需
进行3次操作后变为2.类比上述操作，对36只需进行 次操
作后变为2；如果一个数只需进行3次操作后变为2，则这个数最
大为 .
3
256
【解析】根据题意，现在对36进行如下操作：36 { }
＝6 { }＝3 ＝2，所以对36只需进行3次操作
后变为2.因为22＝4，42＝16，162＝256.现在对256进行如下操
作：256 { }＝16 { }＝4 { }＝
2，所以只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为
256.故答案为3，256.
11. 已知某正数的两个不同的平方根是3 a －14和 a ＋2； b ＋11
的立方根为－3； c 是 的整数部分.求：
（1） a ＋ b ＋ c 的值；
（2）3 a － b ＋ c 的平方根.
解：（1）因为某正数的两个不同的平方根分别是3 a －14和
a ＋2，
所以（3 a －14）＋（ a ＋2）＝0.所以 a ＝3.
因为 b ＋11的立方根为－3，
所以 b ＋11＝（－3）3＝－27.所以 b ＝－38.
因为4＜6＜9，所以2＜ ＜3.
又因为 c 是 的整数部分，所以 c ＝2.
所以 a ＋ b ＋ c ＝3＋（－38）＋2＝－33.
（2）因为 a ＝3， b ＝－38， c ＝2，
所以3 a － b ＋ c ＝3×3－（－38）＋2＝49.
所以3 a － b ＋ c 的平方根是±7.
12. （1）填空：
＝0.01， ＝ ， ＝1， ＝10，
＝ ……
（2）观察上述求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列
问题：
①已知 ≈3.16，则 ≈ ；
②已知 ≈1.918， ≈191.8，则 a ＝ .
0.1
100
31.6
36800
（3）根据上述探究过程，类比一个数的立方根：已知
≈1.26， ≈12.6，则 m ＝ .
【解析】（1） ＝ ＝10 ＝
10×0.01＝0.1， ＝ ＝ × ＝
10×10＝100.故答案为0.1，100.
（2）①因为 ≈3.16，所以 ＝ ＝ ×
＝10 ≈10×3.16＝31.6.故答案为31.6.
2000
②因为 ≈1.918， ≈191.8，1.918×100＝191.8，所
以 ×100＝ .所以 ＝ .所以 a ＝
36800.故答案为36800.
（3）因为 ≈1.26， ≈12.6，1.26×10＝12.6，所以
×10＝ .所以 × ＝ ＝ .所以 m ＝2000.
故答案为2000.
13. （选做）阅读：已知 ＝｜ a ｜.当 a ＞0时， ＝ a ；
当 a ＝0时， ＝0；当 a ＜0时， ＝－ a .
例：已知代数式 ＋ 的值为2，求 a
的值.
解：原式＝｜2－ a ｜＋｜ a －4｜，
当 a ＜2时，原式＝（2－ a ）＋（4－ a ）＝6－2 a ＝2，解得 a ＝
2（舍去）；
当2≤ a ＜4时，原式＝（ a －2）＋（4－ a ）＝2，等式恒成
立；
当 a ≥4时，原式＝（ a －2）＋（ a －4）＝2 a －6＝2，解
得 a ＝4.
所以 a 的取值范围是2≤ a ≤4.
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法.请你根据上述方法，
解答下列问题：
（1）当2≤ a ≤5时，化简： ＋
＝ ；
（2）若实数 a 满足 ＋ ＝7，求 a 的取
值范围；
3
（3）已知 ＋ ＝5，求 a 的值.
（1）【解析】因为2≤ a ≤5，所以 a －5≤0，2－ a ≤0.所以原
式＝｜ a －5｜＋｜2－ a ｜＝5－ a ＋ a －2＝3.故答案为3.
（2）解：由题意，得｜ a －3｜＋｜ a ＋4｜＝7.
当 a ＜－4时， a －3＜0， a ＋4＜0，
所以原式化为3－ a －（ a ＋4）＝7，解得 a ＝－4（舍去）；
当－4≤ a ≤3时， a －3≤0， a ＋4≥0，
所以原式化为3－ a ＋（ a ＋4）＝7，等式恒成立；
当 a ＞3时， a －3＞0， a ＋4＞0，
所以原式化为 a －3＋（ a ＋4）＝7，解得 a ＝3（舍去）.
综上所述， a 的取值范围是－4≤ a ≤3.
（3）解：原式可化为｜ a ＋1｜＋｜ a －2｜＝5.
当 a ＜－1时， a ＋1＜0， a －2＜0，
所以原式化为－（ a ＋1）＋（2－ a ）＝5，
解得 a ＝－2；
当－1≤ a ＜2时， a ＋1≥0， a －2＜0，
所以原式化为 a ＋1＋（2－ a ）＝5，无解；
当 a ≥2时， a ＋1＞0， a －2≥0，
所以原式化为 a ＋1＋（ a －2）＝5，解得 a ＝3.
综上所述， a ＝－2或 a ＝3.
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第二章 实 数
5 用计算器开方
1. 用计算器求2 024的算术平方根时，下列四个键中，必须按的
键是（ C ）
A. sin B. cos C. D. ^
2. 若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，依次按键
2ndF 3＝，对应的计算是（ C ）
A. 23 B. 32 C. D.
C
C
3. 用计算器比较2 ＋1与4.4的大小，正确的是（ B ）
A. 2 ＋1＝4.4 B. 2 ＋1＞4.4
C. 2 ＋1＜4.4 D. 不能确定
【解析】用计算器求出2 ＋1≈4.464.因为4.464＞4.4，所以
2 ＋1＞4.4.故选B.
B
4. 用科学计算器依次按键 2 5 － 6 4 ＝
S D后，屏幕上显示的结果是 .
5. 已知 ≈0.8136， ≈8.136，由此估计6 619的
算术平方根是 .
－3
81.36
（1） ＋ ＋ ；
（2） － － .
【解析】（1）因为 ＋ ≈3.97， ＋ ≈3.86，
所以 ＋ ＞ ＋ .
故答案为＞.
（2）因为 － ≈1.67， － ≈1.87，
所以 － ＜ － .
故答案为＜.
＞
＜
6. 用计算器比较下列各数的大小（填“＞”“＜”或“＝”）：
7. 用计算器求下列各式的值（结果精确到0.01）：
（1） ； （2）－ ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6） .
解：（1） ≈8.66.
（2）－ ≈－3.07.
（3） ＝ ≈2.16.
（4） ≈－1.46.
（5） ≈21.54.
（6） ≈13.86.
8. 已知某圆柱的体积 V ＝ π d3（ d 为圆柱的底面直径）.
（1）用 V 表示 d ；
（2）当 V ＝110cm3时，求 d 的值（结果保留两个有效数字）.
解：（1）由 V ＝ π d3，得 d3＝ .将 d 开立方，得 d ＝ .
（2）将 V ＝110cm3代入 d ＝ ，得d ＝ ≈5.9（cm）.
9. 借助计算器求值： ， ，
……仔细观察这几个算式的计算结果，试猜想：
＝ .
0
10. 某计算器中有 1/xx2三个按键，以下是这三个按键的
功能：
：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；
1/x：将屏幕显示的数变成它的倒数；
x2：将屏幕显示的数变成它的平方.
小明输入一个数据后，按照下面步骤操作，依次按照从第一步
到第三步循环按键.
输入 x
若一开始输入的数据为10，则第2 024步后，屏幕显示的结果
是 .
【解析】由题意，得第一步的结果为102＝100，第二步的结果
为 ＝0.01，第三步的结果为 ＝0.1；第四步的结果为
0.12＝0.01，第五步的结果为 ＝100，第六步的结果为
10……所以运算的结果以100，0.01，0.1，0.01，100，10这六
个数为周期循环.因为2 024÷6＝337……2，所以第2 024步后，
屏幕显示的结果是0.01.故答案为0.01.
0.01
11. 利用计算器计算（结果精确到0.01）：
（1） － ＋2π－ ；
解：原式≈0.866－3.142＋6.283－1.414
＝2.593
≈2.59.
（2） ＋ － .
解：原式≈2.236＋0.143－（4.375－0.75）
＝2.236＋0.143－3.625
＝2.379－3.625
＝－1.246
≈－1.25.
12. 当人造地球卫星的运行速度大于第一宇宙速度且小于第二
宇宙速度时，它能环绕地球运行.已知第一宇宙速度的公式是 v1
＝ （m/s），第二宇宙速度的公式是 v2＝ （m/s），
其中 g ＝9.8 m/s， R ＝6.4×106m.利用计算器求第一、第二宇
宙速度（结果保留到0.1km/s）.
解：由题意，得 v1＝ ＝ ≈7.9×103（m/s）＝7.9（km/s），
v2＝ ＝ ＝11.2×103（m/s）＝11.2
（km/s）.
所以第一宇宙速度约是7.9km/s，第二宇宙速度约是11.2km/s.
13. （选做）用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数1，
， ，…， ， ，如果从中选若干个数，使它们的和大
于3，那么至少要选几个数？
解：左边第一个数是1，第二个数是 ≈0.71，
第三个数是 ≈0.58，第四个数是 ＝0.5，
第五个数是 ≈0.45，第六个数是 ≈0.41，
……
由这组数据知，从左至右的数值依次减小，所以根据题意应选
最左边的数求和.
因为1＋ ＋ ＋ ≈1＋0.71＋0.58＋0.5＝2.79，
1＋ ＋ ＋ ＋ ≈1＋0.71＋0.58＋0.5＋0.45＝3.24，
所以把最左边的5个数求和就大于3，即至少要选5个数.
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第二章 实 数
7 二次根式（第一课时）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ D ）
A. B. C. D.
2. 已知 是二次根式，则 m 的值可能是（ D ）
A. －3 B. －2 C. －1 D. 0
D
D
3. 下列式子一定是二次根式的是（ C ）
A. B.
C. D.
4. 把 化成最简二次根式为 .
5. （1）若 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围
是 ；
（2）若 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是
.
C
x ≥－1
x
＞4
6. 已知二次根式 是最简二次根式，则最小的整数 a
＝ .
－1
7. 下列各二次根式是最简二次根式吗？若不是，请化成最简二
次根式.
（1） ；
解：不是最简二次根式. ＝ ＝ ＝ .
（2） ；
解： 是最简二次根式.
（3） ；
解： 是最简二次根式.
（4） .
解：不是最简二次根式.
＝ ＝4 .
8. 化简：
（1） ；
解：原式＝ ＝10 .
（2） ；
解：原式＝ ＝6 .
（3） ；
解：原式＝ ＝ ＝ .
（4） ；
解：原式＝ ＝ ＝ .
（5） .
解：原式＝ ＝ ＝ .
9. 对于任意不相等的两个正实数 a ， b ，定义运算“※”如下： a ※ b ＝ ，如3※2＝ ＝ .计算：8※12＝ .
－
【解析】因为 a ※ b ＝ ，
所以8※12＝ ＝－ ＝－ .
故答案为－ .
10. 已知 y ＝ － x ＋5，当 x 分别取1，2，3，…，
2024时，所对应 y 的值的总和是 .
【解析】 y ＝｜ x －4｜－ x ＋5.
当 x ≥4时， x －4≥0，所以 y ＝ x －4－ x ＋5＝1.
当 x ＜4时， x －4＜0，所以 y ＝4－ x － x ＋5＝9－2 x .
当 x ＝1时， y ＝9－2＝7；当 x ＝2时， y ＝9－4＝5；
当 x ＝3时， y ＝9－6＝3.所以当 x 分别取1，2，3，…，2024时，
所对应 y 的值的总和是7＋5＋3＋（2024－3）×1＝2036.
故答案为2036.
2036
11. 若 y ＝ ＋ －2有意义，求 yx 的值.
解：因为 y ＝ ＋ －2有意义，
所以 x2－4≥0，4－ x2≥0.
所以 x2＝4.解得 x ＝±2.故 y ＝－2.
则 yx ＝（－2）2＝4或 yx ＝（－2）－2＝ ，
即 yx 的值为 或4.
解：因为 y ＝ ＋ 有意义，
所以 x －1≥0，9－ x ≥0.解得1≤ x ≤9.
所以 x －1≥0， x －12＜0.
所以｜ x －1｜＋
＝｜ x －1｜＋｜ x －12｜
＝（ x －1）＋（12－ x ）
＝11.
12. 已知 y ＝ ＋ 有意义，求代数式｜ x －1｜＋
的值.
13. （选做）阅读材料：
x 为何值时， 有意义？
解：要使该二次根式有意义，需 x （ x －3）≥0.
由乘法法则，得或
解得 x ≥3或 x ≤0.
即当 x ≥3或 x ≤0时， 有意义.
请根据上面材料中的解题思想，解答下面的问题：
当 x 为何值时， 有意义？
解：要使该二次根式有意义，需 ≥0.
由乘法法则，得或
解得 x ≥2或 x ＜－1.
即当 x ≥2或 x ＜－1时， 有意义.
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