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第七章 平行线的证明
2 定义与命题（第一课时）
1. 下列语句中属于定义的是（ D ）
A. 两点确定一条直线
B. 两直线平行，同位角相等
C. 等角的补角相等
D. 线段是直线上的两点和它们之间的部分
D
2. “两条直线相交所成的四个角中，其中一个角为直角，就叫
做这两条直线互相垂直”，这个句子是（ A ）
A. 定义 B. 命题 C. 公理 D. 定理
3. 下列命题中正确的是（ C ）
A. 同位角相等
B. 不平行的两条直线有一个交点
C. 两点之间，线段最短
D. 若直角三角形的两边长分别是3，4，则第三边长一定是5
A
C
4. 把“一个锐角的补角大于这个锐角的余角”写成“如果……
那么……”的形式：
.
5. “三角形的三个内角中最多只能有一个直角”，这个命题
是 命题（填“真”或“假”）.
6. 根据给出的定义的特征，写出对应的定义：
（1）连接三角形的顶点和对边中点的线段：
；
（2）点到直线的垂线段的长度： .
如果一个角是锐角，那么这个锐角的补
角大于它的余角
真
三角形的中
线
点到直线的距离
7. 指出下列命题的条件和结论.
（1）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这
两条直线平行；
（2）如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3；
（3）锐角小于它的余角；
（4）三边分别相等的两个三角形全等.
解：（1）条件：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
结论：这两条直线平行.
（2）条件：∠1＝∠2，∠2＝∠3.结论：∠1＝∠3.
（3）条件：一个角是锐角.结论：这个角小于它的余角.
（4）条件：两个三角形的三条边分别相等.结论：这两个三角
形全等.
8. 下列各句子是命题吗？如果是，请把它改写成“如果……那
么……”的形式，并判断它是真命题还是假命题.
（1）垂线段最短，对吗？
（2）等角的补角相等.
（3）两条直线相交，只有一个交点.
（4）若两数和为正数，则这两个数中至少有一个数是正数.
（5）若 a ＞0， b ＜0，且｜ a ｜＞｜ b ｜，则 a ＋ b ＝｜ b ｜－｜
a ｜.
（2）是命题.如果两个角相等，那么它们的补角相等.真命题.
（3）是命题.如果两条直线相交，那么它们只有一个交点.
真命题.
（4）是命题.如果两数和为正数，那么这两个数中至少有一个
数是正数.真命题.
（5）是命题.如果 a ＞0， b ＜0，且｜ a ｜＞｜ b ｜，那么 a ＋ b
＝｜ b ｜－｜ a ｜.假命题.
解：（1）不是命题.
9. 如图，在△ ABD 和△ ACE 中，有下列四个论断：① AB ＝
AC ；② AD ＝ AE ；③∠ B ＝∠ C ；④ BD ＝ CE . 请以其中三个
论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个真命
题： （用序号 的形
式表示）.
①③④ ②（答案不唯一）
10. 下列四个命题：① 的算术平方根是 ；②A，B，C，
D，E，F六个足球队进行单循环赛，若A，B，C，D，E分别赛
了5，4，3，2，1场，则由此可知，还没有与B队比赛的球队可
能是D队；③若 AB ＝ BC ，则点 B 是线段 AC 的中点；④有13人
参加捐款，其中小王的捐款数比13人捐款的平均数多2元，则小
王的捐款数不可能最少，但可能只比最少的多，比其他的都少.
其中真命题有 （填序号）.
①④
11. 判断下列命题是真命题还是假命题.若是假命题，举出一个
反例加以说明.
（1）如果点 P 到两定点 A ， B 的距离之和等于 A ， B 之间的距
离，那么点 P 是 AB 的中点；
（2）如果∠ AOB ＝2∠ AOC ，那么 OC 是∠ AOB 的平分线；
（3）如果一个数能被4整除，那么这个数一定能被2整除.
（2）假命题.反例： OC 在∠ AOB 的外侧，且∠ AOB ＝2∠
AOC ，则 OC 不是∠ AOB 的平分线.
（3）真命题.
解：（1）假命题.反例：点 P 在线段 AB 上而不是 AB 的中点
时，满足点 P 到两定点 A ， B 的距离之和等于 A ， B 之间的
距离.
12. 在七年级下册《相交线与平行线》一章中，我们用测量的
方法得出了“两直线平行，同位角相等”这一性质.请大家阅读
下列证明过程并把它补充完整：
已知：如图1，直线 AB ∥ CD ，直线 EF 分别与 AB ， CD 交于点
O ，O'.
求证：∠1＝∠2.
图1
图2
（1）完成下面的证明过程（将答案填在相应横线上）：
证明：假设 .
如图2，过点 O 作直线A'B'，使∠EOB'＝∠2，
∴A'B'∥ CD （同位角相等，两直线平行）.
又∵ AB ∥ CD ，且直线 AB 经过点 O ，
∴过点 O 存在两条直线 AB ，A'B'与直线 CD 平行，
这与基本事实矛盾，假设不成立，
∴∠1＝∠2.
∠1≠∠2
（2）上述证明过程中提到的基本事实是 （填序号）.
①两点确定一条直线；②过已知直线外一点有且只有一条直线
与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行.
②
13. （选做）观察下列等式：
1× ＝1－ ，
2× ＝2－ ，
3× ＝3－ ，……
（1）探索这些等式中的规律，直接写出第 n 个等式（用含 n 的
式子表示）.
（2）试说明你的结论的正确性.
解：（1） n × ＝ n － .
（2）右边＝ n － ＝ － ＝ ＝ n × ＝左边，
∴结论成立.
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第七章 平行线的证明
5 三角形内角和定理（第二课时）
1. 如图，在△ ABC 中，已知点 D ， E 分别是边 AB ， BC 上的
点，连接 AE 和 DE ，则下列是△ BDE 的外角的是（ C ）
A. ∠ AED B. ∠ AEC
C. ∠ ADE D. ∠ BAE
（第1题图）
C
2. 如图，已知∠ A ＝40°，∠ CBD 是△ ABC 的外角，∠ CBD ＝
120°，则∠ C 的大小是（ B ）
A. 90° B. 80° C. 60° D. 40°
（第2题图）
B
3. 如图，若将一副三角板按此方法叠放，则∠1＝（ B ）
A. 120° B. 105°
C. 60° D. 45°
（第3题图）
B
4. 如图， CO 是△ ABC 的角平分线，过点 B 作 BD ∥ AC ，交 CO
的延长线于点 D . 若∠ A ＝45°，∠ AOD ＝80°，则∠ CBD 的
度数为 .
（第4题图）
110°
5. （1）已知等腰三角形的一个外角为110°，则它的底角
为 ；
（2）已知等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角
为 .
55°或70°
35°
6. 如图，在△ ABC 中，已知 BD 平分∠ ABC ， DE ∥ BC 交 AB 于
点 E ，∠ A ＝63°，∠ BDC ＝82°，则∠ BDE 的度数是 .
19°
7. 如图，在△ ABC 中，已知∠1＝100°，∠ C ＝80°，∠2＝
∠3， BE 平分∠ ABC . 求∠4的度数.
解：∵∠1＝∠3＋∠ C ，∠1＝100°，∠ C ＝80°，∴∠3＝
20°.
∵∠2＝ ∠3，
∴∠2＝10°.
∴∠ ABC ＝180°－100°－10°＝70°.
∵ BE 平分∠ ABC ，∴∠ ABE ＝35°.
∵∠4＝∠2＋∠ ABE ，∴∠4＝45°.
8. 如图，在△ ABC 中，已知 BD 是高， CE 是角平分线.
（1）若∠ A ∶∠ ABC ∶∠ ACB ＝3∶4∶5，求△ ABC 的最大内
角的度数；
（2）若∠ A ＝69°，∠ CBD ＝40°，求∠ BEC 的度数.
解：（1）∵∠ A ∶∠ ABC ∶∠ ACB ＝3∶4∶5，
∴可设∠ A ＝3α，
则∠ ABC ＝4α，∠ ACB ＝5α.
在△ ABC 中，∵∠ A ＋∠ ABC ＋∠ ACB ＝180°，
∴3α＋4α＋5α＝180°，解得α＝15°.
∴∠ A ＝3α＝45°，∠ ABC ＝4α＝60°，∠ ACB ＝5α＝75°.
∴△ ABC 的最大内角的度数是75°.
（2）∵ BD 是△ ABC 的高，∴∠ BDC ＝90°.
∵∠ CBD ＝40°，∴∠ BCD ＝90°－∠ CBD ＝50°.
∵ CE 是△ ABC 的角平分线，
∴∠ ACE ＝ ∠ BCD ＝25°.
∵∠ A ＝69°，
∴∠ BEC ＝∠ A ＋∠ ACE ＝69°＋25°＝94°.
9. 如图，在△ ABC 中，已知 AD ⊥ BE ，∠ DAC ＝6°， AE 是△
BAC 的外角∠ MAC 的平分线， BF 平分∠ ABC 交 AE 于点 F . 求
∠ AFB 的度数.
解：∵ AD ⊥ BE ，∴∠ ADB ＝90°.
∵∠ DAC ＝6°，∴∠ ACB ＝90°－∠ DAC ＝90°－6°＝84°.
∵ AE 是∠ MAC 的平分线， BF 平分∠ ABC ，
∴∠ MAE ＝ ∠ MAC ，∠ ABF ＝ ∠ ABC .
又∵∠ MAE ＝∠ ABF ＋∠ AFB ，
∠ MAC ＝∠ ABC ＋∠ ACB ，
∴∠ AFB ＝∠ MAE －∠ ABF
＝ ∠ MAC － ∠ ABC
＝ （∠ MAC －∠ ABC ）
＝ ∠ ACB ＝ ×84°＝42°.
10. 如图，已知△ ABE 和△ ADC 是△ ABC 分别沿 AB ， AC 边翻
折形成的.若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，则∠α的度数
为 .
（第10题图）
80°
【解析】由题意可知，∠α＝∠ EBC ＋∠ DCB . 由
∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，设∠1＝28 x ，∠2＝5 x ，∠3＝3
x ，则28 x ＋5 x ＋3 x ＝180°.解得 x ＝5°，∠2＝25°，∠3＝
15°.由翻折的性质，得∠ ABE ＝∠2，则∠ EBC ＝2∠2＝50°.
同理，得∠ DCB ＝2∠3＝30°.∴∠α＝∠ EBC ＋∠ DCB ＝50°
＋30°＝80°.故答案为80°.
11. 如图，在△ ABC 中，∠ ABC 和∠ ACB 的平分线交于点 O ，
延长 BO 与∠ ACB 的外角平分线交于点 D . 若∠ BOC ＝ x ，则∠
D ＝ （用含 x 的代数式表示）.
（第11题图）
x －90°
【解析】∵ OC 是∠ ACB 的平分线， CD 为∠ ACB 的外角平分
线，∴∠ ACO ＝∠ BCO ＝ ∠ ACB ，∠ ACD ＝∠ ECD ＝ ∠
ACE . ∴∠ OCD ＝∠ ACO ＋∠ ACD ＝ ∠ ACB ＋ ∠ ACE ＝
90°.∵∠ BOC ＝∠ D ＋∠ OCD ，∴ x ＝∠ D ＋90°，解得∠ D
＝ x －90°.故答案为 x －90°.
12. 如图，已知点 D ， E 分别在 AB ， AC 上， DE ∥ BC ，点 F 是
AD 上一点， FE 的延长线交 BC 的延长线 CH 于点 G . 求证：
（1）∠ EGH ＞∠ ADE ；
（2）∠ EGH ＝∠ ADE ＋∠ A ＋∠ AEF .
证明：（1）∵∠ EGH 是△ FBG 的外角，
∴∠ EGH ＞∠ B .
∵ DE ∥ BC ，
∴∠ B ＝∠ ADE .
∴∠ EGH ＞∠ ADE .
（2）∵∠ BFE 是△ AFE 的外角，
∴∠ BFE ＝∠ A ＋∠ AEF .
∵∠ EGH 是△ BFG 的外角，
∴∠ EGH ＝∠ B ＋∠ BFE .
∴∠ EGH ＝∠ B ＋∠ A ＋∠ AEF .
又∵ DE ∥ BC ，
∴∠ B ＝∠ ADE .
∴∠ EGH ＝∠ ADE ＋∠ A ＋∠ AEF .
13. 如图，已知∠ AOB ＝90°，点 C ， D 分别在射线 OA ， OB
上， CE 是∠ ACD 的平分线， CE 的反向延长线与∠ CDO 的平分
线交于点 F .
（1）当∠ OCD ＝50°时，试求∠ F 的度数.
（2）当点 C ， D 在射线 OA ， OB 上任意移动时（不与点 O 重
合），∠ F 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变
化，求出∠ F 的度数.
解：（1）∵∠ AOB ＝90°，∠ OCD ＝50°，
∴∠ CDO ＝90°－50°＝40°.
∴∠ ACD ＝90°＋40°＝130°.
∵ CE 是∠ ACD 的平分线， DF 是∠ CDO 的平分线，
∴∠ ECD ＝ ×130°＝65°，
∠ CDF ＝ ×40°＝20°.
∵∠ ECD ＝∠ F ＋∠ CDF ，
∴∠ F ＝∠ ECD －∠ CDF ＝65°－20°＝45°.
（2）不变化.理由如下：
∵∠ AOB ＝90°，
∴∠ CDO ＝90°－∠ OCD ，∠ ACD ＝180°－∠ OCD .
∵ CE 是∠ ACD 的平分线， DF 是∠ CDO 的平分线，
∴∠ ECD ＝90°－ ∠ OCD ，∠ CDF ＝45°－ ∠ OCD .
∵∠ ECD ＝∠ F ＋∠ CDF ，
∴∠ F ＝∠ ECD －∠ CDF ＝ － ＝45°.
14. （选做）将纸片△ ABC 沿 DE 折叠，使点 A 落在点A'处.
【感知】如图1，若点A'落在四边形 BCDE 的边 BE 上，则∠ A 与
∠1之间的数量关系是 .
【探究】如图2，若点A'落在四边形 BCDE 的内部，则∠ A 与∠1
＋∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由.
【拓展】如图3，若点A'落在四边形 BCDE 的外部，∠1＝80°，
∠2＝24°，则∠ A 的大小为 .
∠1＝2∠ A
28°
图1
图2
图3
【感知】【解析】由折叠的性质，知∠ EA ' D ＝∠ A . ∵∠1＝
∠ A ＋∠ EA ' D ，∴∠1＝2∠ A . 故答案为∠1＝∠2 A .
【探究】解：2∠ A ＝∠1＋∠2.理由如下：
∵∠1＋∠A'DA＋∠2＋∠A'EA＝360°，
∠ A ＋∠A'＋∠A'DA＋∠A'EA＝360°，
∴∠A'＋∠ A ＝∠1＋∠2.
由折叠的性质，知∠ A ＝∠A'，
∴2∠ A ＝∠1＋∠2.
【拓展】【解析】如图，设 A ' D 交 AB 于点 F .
∵∠1＝∠ DFA ＋∠ A ，∠ DFA ＝∠ A '＋∠2，
∴∠1＝∠ A ＋∠ A '＋∠2＝2∠ A ＋∠2，
∴2∠ A ＝∠1－∠2＝56°，解得∠ A ＝28°.
故答案为28°.
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第七章 平行线的证明
2 定义与命题（第二课时）
1. 下列语句中不是命题的是（ C ）
A. 两个锐角的和一定是直角
B. 自然数也是整数
C. 延长线段 AB
D. 同角的余角相等
C
2. 在证明过程中，可以用来作为推理依据的是（ B ）
A. 命题、定义 B. 定理、定义、公理
C. 公理、命题 D. 定理、命题
3. 某工程队在修建高速公路时，有时需要将弯曲的道路改直，
可以说明这样做的目的依据是（ D ）
A. 直线的公理
B. 直线的公理或线段最短的公理
C. 平行公理
D. 线段最短公理
B
D
4. 把命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”改
写成“如果……，那么……”的形式：
.
5. 如图，已知直线 AB ， CD 相交于点 O ，则∠ AOC 的度数
是 .
（第5题图）
如果一个点在线段的
垂直平分线上，那么这个点到线段两端的距离相等
60°
6. 如图，已知∠ AOC ＝∠ BOD ，则∠ AOB ＝ ，依
据是 .
（第6题图）
∠ COD
等式的性质
7. 求证：直角三角形的两个锐角互余.
解：如图，在△ ABC 中，已知∠ C ＝90.
求证：∠ A 与∠ B 互余.
证明：∵∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝180°（三角形内角和等于
180°），∠ C ＝90°（已知）.
∴∠ A ＋∠ B ＝180°－∠ C ＝90°（等式的性质）.
∴∠ A 与∠ B 互余（余角的定义）.
∵∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝180°（三角形内角和等于
180°），∠ C ＝90°（已知）.
∴∠ A ＋∠ B ＝180°－∠ C ＝90°（等式的性质）.
∴∠ A 与∠ B 互余（余角的定义）.
8. 如图，已知点 A ， D ， C ， F 在同一直线上，有下列关系
式：① AB ＝ DE ；② BC ＝ EF ；③ AD ＝ CF ；④∠ B ＝∠ E .
（1）请从这四个关系式中选择三个作为已知条件，余下一个作
为结论，写出一个真命题：
如果 ，那么 .（填序号）
①②④
③
（2）写出（1）中命题的已知与求证，并证明该命题的正确性.
（2）解：已知： AB ＝ DE ， BC ＝ EF ，∠ B ＝∠ E .
求证： AD ＝ CF .
证明：在△ ABC 和△ DEF 中，
∴△ ABC ≌△ DEF （SAS），
∴ AC ＝ DF ，
∴ AC － DC ＝ DF － DC ，即 AD ＝ CF .
9. 下列命题中可以作为定理的有 （填序号）.
①2与6的平均值是8；②能被3整除的数都能被6整除；③对顶角
相等；④ x ＝5是方程 x ＋7＝ x ＋ 的根；⑤等式两边加上同
一个数仍是等式；⑥三角形的内角和为180°.
③⑤⑥
10. 定义：对于任意实数 m ， n ，如果满足 m ＋ n ＝ mn ，那么称
m ， n 互为“好友数”，点 为“好友点”.
（1）若 为“好友点”，则 n ＝ .
（2）若点 为“好友点”，则点（ n ， m ） “好友
点”.（填“是”或“不是”）
是
（3）已知点 A 是平面直角坐标系内的一个点，且它的
横、纵坐标是关于 x ， y 的二元一次方程组
的解，请判断点 A 是否能成为
“好友点”.若能，请求出 a 的值和点 A 的坐标；若不能，请说
明理由.
（2）【解析】因为点（ m ， n ）为“好友点”，所以 m ＋ n ＝
mn ，即 n ＋ m ＝ nm .所以点（ n ， m ）也是“好友点”.故答案
为是.
（1）【解析】由题意，得5＋ n ＝5 n ，解得 n ＝ .故答案为 .
（3）解：能成为“好友点”.
∵3 x ＋ y ＝ a2＋31，∴6 x ＋2 y ＝2 a2＋62.③
由③－①，得5 x ＝50.解得 x ＝10.
所以 y ＝ a2＋1.
当点 A （ x ， y ）是“好友点”时，则有 x ＋ y ＝ xy ，
∴ a2＋11＝10 a2＋10.∴ a ＝± .
∴点 A 的坐标为 .
11. 如图，已知点 F ， B ， E ， C 在同一直线上，且 BF ＝ CE ，
∠ ABC ＝∠ DEF . 能否由上面的已知条件证明 AC ∥ DF ？如果
能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合
适的条件，添加到已知条件中，使 AC ∥ DF ，并给出证明.提供
的三个条件是：① AB ＝ DE ；② AC ＝ DF ；③∠ A ＝∠ D .
证明：∵ BF ＝ CE ，
∴ BF ＋ BE ＝ CE ＋ BE ，
即 EF ＝ BC .
在△ ABC 和△ DEF 中，
∴△ ABC ≌△ DEF （SAS）.
∴∠ C ＝∠ F . ∴ AC ∥ DF .
解：不能.添加的条件是①或③，以 AB ＝ DE 为例.
12. 命题“两个连续奇数的平方差是8的倍数”是真命题还是
假命题？如果是假命题，请说明理由；如果是真命题，请给
出证明.
解：“两个连续奇数的平方差是8的倍数”是真命题.
证明：设两个连续奇数为2 n ＋1，2 n －1（ n 为整数），
则它们的平方差是（2 n ＋1）2－（2 n －1）2＝（2 n ＋1＋2 n －
1）（2 n ＋1－2 n ＋1）＝4 n ·2＝8 n .
∴两个连续奇数的平方差是8的倍数.
13. （选做）【概念学习】
已知点 P 为△ ABC 内部一点，连接 PA ， PB ， PC . 在△ PAB ，
△ PBC ，△ PAC 中，如果存在一个三角形，其内角与△ ABC 的
三个内角分别相等，那么就称点 P 为△ ABC 的“等角点”.
【理解应用】
（1）判断以下两个命题是否为真命题.若为真命题，则在相应
横线上写“真命题”；反之，则写“假命题”.
①内角分别为30°，60°，90°的三角形存在“等角
点”： ；
②所有三角形都存在“等角点”： .
真命题
假命题
（2）如图1，点 P 是锐角三角形 ABC 的“等角点”.若∠ BAC ＝
∠ PBC ，探究∠ BPC ，∠ ABC ，∠ ACP 之间的数量关系，并给
出证明.
图1
图2
【解决问题】
如图2，在△ ABC 中，∠ BAC ＜∠ ABC ＜∠ ACB . 若△ ABC 的
三个内角的平分线的交点 P 是该三角形的“等角点”，求△
ABC 的三个内角的度数.
（1）【解析】①内角分别为30°，60°，90°的三角形存在
“等角点”是真命题.如图，∠ BAP ＝∠ ACB ＝30°.②所有三
角形都存在“等角点”是假命题，如等边三角形不存在等角点.
故答案为真命题，假命题.
【理解应用】
（2）解：∠ BPC ＝∠ ABC ＋∠ ACP . 证明如下：
∵在△ ABC 中，∠ BPC ＝360°－∠ APB －∠ APC ＝（180°－
∠ APB ）＋（180°－∠ APC ）＝∠ ABP ＋∠ BAP ＋∠ PAC ＋
∠ ACP ＝∠ ABP ＋∠ BAC ＋∠ ACP ，∠ BAC ＝∠ PBC ，
∴∠ BPC ＝∠ ABP ＋∠ PBC ＋∠ ACP ＝∠ ABC ＋∠ ACP .
解：∵点 P 为△ ABC 的角平分线的交点，
∴∠ PBC ＝ ∠ ABC ，∠ PCB ＝ ∠ ACB .
∵点 P 为△ ABC 的“等角点”，且∠ BAC ＜∠ ABC ＜ ACB ，
∴△ PBC 的内角与△ ABC 的内角分别相等.
∴∠ PBC ＝∠ BAC ，∠ BCP ＝∠ ABC ＝2∠ PBC ＝2∠ BAC ，
∠ ACB ＝∠ BPC ＝4∠ BAC .
又∵∠ BAC ＋∠ ABC ＋∠ ACB ＝180°，
∴2∠ BAC ＋∠ BAC ＋4∠ BAC ＝180°. ∴∠ BAC ＝ .
∴△ ABC 的三个内角的度数分别为 ， ， .
【解决问题】
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第七章 平行线的证明
5 三角形内角和定理（第一课时）
1. 如图，点 M ， N 分别是△ ABC 的边 AB ， AC 上的点， MN ∥
BC . 若∠ A ＝65°，∠ ANM ＝45°，则∠ B ＝（ D ）
A. 20° B. 45° C. 65° D. 70°
D
2. 已知一个三角形的三个内角的度数比是2∶3∶4，则它是
（ A ）
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 钝角或直角三角形
A
3. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的度数为
（ B ）
A. 85° B. 75° C. 65° D. 60°
（第3题图）
B
4. 如图，在△ ABC 中，∠ A ＝60°，∠ B ＝70°， CD 是∠ ACB
的平分线， CH ⊥ AB 于点 H ，则∠ DCH 的度数是 .
（第4题图）
5°
5. 如图，在△ ABC 中，已知∠ A ＝70°，∠ C ＝30°， BD 平分
∠ ABC 交 AC 于点 D ， DE ∥ AB ，交 BC 于点 E ，则∠ BDE 的度
数是 .
（第5题图）
40°
6. 如图，在△ ABC 中，点 D ， E 分别在边 AB ， AC 上.把△ ADE
沿 DE 折叠，点 A 恰好落在边 BC 上的点 F 处.若∠ A ＋∠ B ＝
106°， DE ∥ BC ，则∠ FEC 的度数是 .
（第6题图）
32°
7. 如图，在△ ABC 中，已知 AD 是∠ BAC 的平分线， AD 交 BC
于点 D ， CE 是边 AB 上的高，∠ B ＝30°，∠ BDA ＝130°，求
∠ ACE 与∠ ACB 的度数.
解：∵∠ B ＝30°，
∠ BDA ＝130°，
∴∠ BAD ＝180°－∠ B －∠ BDA ＝20°.
∵ AD 是∠ BAC 的平分线，
∴∠ BAC ＝2∠ BAD ＝40°.
∴∠ ACB ＝180°－∠ B －∠ BAC ＝180°－30°－40°＝
110°.
∵ CE 是边 AB 上的高，∴∠ AEC ＝90°.
∴∠ ACE ＝90°－∠ BAC ＝50°.
8. 如图，已知 AE 平分∠ BAC ，过 AE 延长线上一点 F 作 FD ⊥
BC 于点 D . 若∠ F ＝10°，∠ C ＝30°，求∠ B 的度数.
解：∵ FD ⊥ BC ，
∠ F ＝10°，
∴∠ DEF ＝90°－10°＝80°.
∴∠ CEA ＝180°－∠ DEF ＝180°－80°＝100°.
∴∠ CAE ＝180°－∠ CEA －∠ C ＝180°－100°－30°＝
50°.
∵ AE 平分∠ BAC ，
∴∠ BAC ＝2∠ CAE ＝100°.
∴∠ B ＝180°－∠ BAC －∠ C ＝180°－100°－30°＝50°.
9. 在△ ABC 中，将∠ B 和∠ C 按如图所示方式折叠，使点 B ，
C 均落在边 BC 上点 Q 处，线段 MN ， EF 为折痕.若∠ A ＝
82°，则∠ MQE 的度数为 .
（第9题图）
82°
【解析】在△ ABC 中，∠ A ＝82°，∴∠ B ＋∠ C ＝180°－∠ A ＝180°－82°＝98°.∵∠ B ，∠ C 按如图所示方式折叠，线段 MN ， EF 为折痕，∴∠ B ＝∠ MQN ，∠ C ＝∠EQF ，∴∠ MQN ＋∠ EQF ＝∠ B ＋∠ C ＝98°，∴∠ MQE ＝180°－（∠ MQN ＋∠ EQF ）＝180°－98°＝82°.故答案为82°.
10. 如图，在△ ABC 中，已知 AD ⊥ BC 于点 D ，∠ BAD ＝ ∠
CAD ， BE 平分∠ ABC 交 AC 于点 E ，∠ C ＝42°.若点 F 为线段
BC 上的一动点，当△ EFC 为直角三角形时，则∠ BEF 的度数
为 .
（第10题图）
15°或57°
【解析】∵ AD ⊥ BC ，∴∠ ADC ＝90°.∵∠ C ＝42°，∴∠ CAD ＝90°－42°＝48°.∵∠ BAD ＝ ∠ CAD ＝24°，∴∠ ABD ＝90°－24°＝66°.又∵ BE 平分∠ ABC ，∴∠ CBE ＝ ∠ ABC ＝33°.∴∠ CEB ＝180°－33°－42°＝105°.①当∠ CFE ＝90°时，∠ BEF ＝90°－33°＝57°；②当∠ CEF ＝90°，∠ BEF ＝∠ CEB －90°＝105°－90°＝15°.故答案为15°或57°.
11. 如图，在△ ABC 中，已知 AE ， BF 分别平分∠ BAC ，∠
ABC ，它们相交于点 O ， AD ⊥ BC 于点 D .
（1）求证：∠ BOA ＝90°＋ ∠ C ；
（2）若∠ BOA ＝115°，∠ BAC ＝60°，求∠ DAE 的度数.
（1）证明：∵ AE ， BF 分别平分∠ BAC ，∠ ABC ，∠ BAC ＋
∠ ABC ＝180°－∠ C ，
∴∠ EAB ＝ ∠ BAC ，
∠ FBA ＝ ∠ ABC .
∴∠ EAB ＋∠ FBA ＝ （∠ BAC ＋∠ ABC ）＝ （180°－∠
C ）＝90°－ ∠ C .
∴∠ AOB ＝180°－ ＝90°＋ ∠ C .
（2）解：∵∠ BAC ＝60°， AE 平分∠ ABC ，
∴∠ CAE ＝ ∠ BAC ＝30°.
∵∠ BOA ＝115°，∴115°＝90°＋ ∠ C .
∴∠ C ＝50°.
∵ AD ⊥ BC ，∴∠ ADC ＝90°.
∴∠ CAD ＝90°－50°＝40°.
∴∠ DAE ＝∠ CAD －∠ CAE ＝40°－30°＝10°.
12. 在△ ABC 中，已知∠ A ＝90°.
（1）如图1，若 BP 平分∠ ABC ， CP 平分∠ ACB ，则∠ P
＝ .
（2）如图2，若 BE 和 BF 三等分∠ ABC ， CE 和 CF 三等分∠
ACB .
①∠ BFC ＝ ；
②若去掉条件“∠ A ＝90°”，试猜想∠ BFC 与∠ A 之间的数
量关系，并证明你的猜想.
135°
150°
图1
图2
（1）【解析】∵ BP 平分∠ ABC ， CP 平分∠ ACB ，∴∠ PBC
＝ ∠ ABC ，∠ PCB ＝ ∠ ACB . ∵∠ A ＝90°，∴∠ ABC ＋∠
ACB ＝2（∠ PBC ＋∠ PCB ）＝90°.∴∠ PBC ＋∠ PCB ＝
45°.∴∠ P ＝180°－45°＝135°.故答案为135°.
（2）①【解析】∵ BE 和 BF 三等分∠ ABC ， CE 和 CF 三等分∠
ACB ，∴设∠ ABE ＝∠ EBF ＝∠ CBF ＝α，∠ ACE ＝∠ ECF ＝
∠ FCB ＝β.∵∠ A ＝90°，∴3α＋3β＝180°－90°＝90°，α
＋β＝30°.∴∠ BFC ＝180°－30°＝150°.
②解：∠ BFC ＝120°＋ ∠ A . 证明如下：
∵ BE 和 BF 三等分∠ ABC ， CE 和 CF 三等分∠ ACB ，
∴∠ FBC ＝ ∠ ABC ，∠ FCB ＝ ∠ ACB .
在△ FBC 中，∠ BFC ＝180°－（∠ FBC ＋∠ FCB ）.
∴∠ BFC ＝180°－ （∠ ABC ＋∠ ACB ）＝180°－ （180°
－∠ A ）＝120°＋ ∠ A .
13. （选做）在△ ABC 中，∠ BAC ＝90°，点 D 是 BC 上一点，
将△ ABD 沿 AD 翻折后得到△ AED ，边 AE 交射线 BC 于点 F .
（1）如图1，当 AE ⊥ BC 时，求证： DE ∥ AC .
（2）若∠ C ＝2∠ B ，∠ BAD ＝ x ° .
①如图2，当 DE ⊥ BC 时，求 x 的值.
②是否存在这样的 x 的值，使得△ DEF 中有两个角相等.若存
在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由.
图1
图2
备用图
（1）证明：∵∠ BAC ＝90°， AE ⊥ BC ，
∴∠ CAF ＋∠ BAF ＝90°，∠ B ＋∠ BAF ＝90°.
∴∠ CAF ＝∠ B .
由翻折可知，∠ B ＝∠ E .
∴∠ CAF ＝∠ E .
∴ DE ∥ AC .
（2）解：①∵∠ C ＝2∠ B ，∠ C ＋∠ B ＝90°，
∴∠ C ＝60°，∠ B ＝30°.
∵ DE ⊥ BC ，∠ E ＝∠ B ＝30°，
∴∠ BFE ＝60°.
∵∠ BFE ＝180°－∠ AFB ＝∠ B ＋∠ BAF ，
∴∠ BAF ＝30°.
由翻折可知，∠ BAD ＝ ∠ BAF ＝15°.
∴ x ＝15.
②存在.由①知，∠ C ＝60°，∠ B ＝∠ E ＝30°.
∵∠ BAD ＝ x °，
∴∠ FDE ＝180°－∠ E －∠ FAD －∠ ADF
＝180°－∠ E －∠ FAD －（180°－∠ ADB ）
＝180°－∠ E －∠ FAD －（∠ B ＋∠ BAD ）
＝180°－∠ E －∠ FAD －∠ B －∠ BAD
＝180°－30°－ x °－30°－ x °
＝120°－2 x °.
∠ DFE ＝180°－∠ AFB
＝180°－（180°－∠ B －∠ FAB ）
＝∠ B ＋∠ FAB
＝30°＋2 x °.
当∠ DFE ＝∠ FDE 时，则30°＋2 x °＝120°－2 x °，
解得 x ＝22.5；
当∠ DFE ＝∠ E 时，30°＋2 x °＝30°，
解得 x ＝0（不合题意，舍去）；
当∠ FDE ＝∠ E 时，则120°－2 x °＝30°，
解得 x ＝45.
综上所述，存在这样的 x 的值，使得△ DEF 中有两个角相等， x
的值为22.5或45.
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第七章 平行线的证明
4 平行线的性质
1. 如图，已知直线 a ⊥ c ， b ⊥ c ，∠1＝140°，则∠2的度数是
（ A ）
A. 40° B. 50°
C. 60° D. 140°
（第1题图）
A
2. 将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度
数为（ B ）
A. 70° B. 75° C. 80° D. 85°
（第2题图）
B
3. 某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段.若 AB ∥
CD ，∠ EAB ＝40°，则∠ FDC 的度数是（ B ）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 75°
（第3题图）
B
4. 如图，已知直线 l ∥ m ∥ n ，等边三角形 ABC 的顶点 B ， C 分
别在直线 n 和 m 上，边 BC 与直线 n 的夹角为20°，则∠α的度数
为 .
（第4题图）
40°
5. 将三角尺按如图所示放置在一张长方形纸片 ABCD 上.若∠
EGF ＝90°，∠ FEG ＝30°，∠1＝130°，则∠ BFG 的度数
为 .
（第5题图）
110°
6. 山上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均互相平行（ AM ∥ CN ），且每两个支撑架之间的索道均是直的.若∠ MAB ＝60°，∠ NCB ＝40°，则∠ ABC ＝ .
（第6题图）
100°
7. 如图，已知 BC ⊥ AE ， DE ⊥ AE ，∠2＋∠3＝180°.
（1）试判断∠1与∠ ABD 的数量关系，并说明理由；
（2）若∠1＝70°， BC 平分∠ ABD ，试求∠ ACF 的度数.
解：（1）∠1＝∠ ABD .
理由如下：
∵ BC ⊥ AE ， DE ⊥ AE ，
∴ BC ∥ DE .
∴∠3＋∠ CBD ＝180°.
又∵∠2＋∠3＝180°，
∴∠2＝∠ CBD .
∴ CF ∥ DB .
∴∠1＝∠ ABD .
（2）∵∠1＝70°， CF ∥ DB ，
∴∠ ABD ＝70°.
又∵ BC 平分∠ ABD ，
∴∠ DBC ＝ ∠ ABD ＝35°.
∴∠2＝∠ DBC ＝35°.
又∵ BC ⊥ AE ，
∴∠ ACF ＝90°－∠2＝90°－35°＝55°.
8. 如图，在△ ABC 中，已知点 D 在 AC 上，点 F ， G 分别在
AC ， BC 的延长线上， CE 平分∠ ACB ，分别交 AB ， BD 于点
E ， O ，且∠ EOD ＋∠ OBF ＝180°，∠ F ＝∠ G . 求证： DG
∥ CE .
证明：∵∠ EOD ＝∠ BOC ，∠ EOD ＋∠ OBF ＝180°，∴
∠ BOC ＋∠ OBF ＝180°.∴ EC ∥ BF .
∴∠ ECD ＝∠ F . 又∵ CE 平分∠ ACB ，
∴∠ ECD ＝∠ ECB ＝∠ F .
又∵∠ F ＝∠ G ，
∴∠ G ＝∠ ECB .
∴ DG ∥ CE .
9. 如图，∠ AOB 的两边 OA ， OB 均为平面反光镜，且∠ AOB
＝35°.若在 OB 上有一点 E ，从点 E 射出一束光线经 OA 上的点
D 反射后，反射光线 DC 恰好与 OB 平行，则∠ DEB 的度数
是 .
（第9题图）
70°
【解析】如图，过点 D 作 DF ⊥ AO 交 OB 于点 F .
∵入射角等于反射角，∴∠1＝∠3.∵ CD ∥ OB ，∴∠1＝
∠2.∴∠2＝∠3.在Rt△ DOF 中，∠ ODF ＝90°，∠ AOB ＝
35°，∴∠2＝55°.∴在△ DEF 中，∠ DEB ＝180°－∠2－
∠3＝180°－2∠2＝180°－2×55°＝70°.故答案为70°.
10. 如图，已知 CD 平分∠ ACB ，∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠
A ，∠4＝35°，则∠ CED 的度数是 .
（第10题图）
110°
【解析】∵∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠ BDC ＝180°，∴∠2＝
∠ BDC . ∴ EF ∥ AB . ∴∠3＝∠ BDE . ∵∠3＝∠ A ，∴∠ A ＝
∠ BDE . ∴ AC ∥ DE . ∴∠ ACB ＋∠ CED ＝180°.∵ CD 平分
∠ ACB ，∠4＝35°，∴∠ ACB ＝2∠4＝70°.∴∠ CED ＝
180°－∠ ACB ＝110°.故答案为110°.
11. 如图，已知 BC ∥ GE ， AF ∥ DE ，∠1＝45°.
（1）求∠ AFG 的度数；
（2）若 AQ 平分∠ FAC ，交 BC 于点 Q ，且∠ Q ＝20°，求∠
ACB 的度数.
解：（1）∵ BC ∥ EG ，
∴∠ E ＝∠1＝45°.
∵ AF ∥ DE ，
∴∠ AFG ＝∠ E ＝45°.
（2）如图，过点 A 作 AM ∥ BC .
∵ BC ∥ EG ，∴ AM ∥ EG .
∴∠ FAM ＝∠ AFG ＝45°.
∵ AM ∥ BC ，∴∠ QAM ＝∠ Q ＝20°.
∴∠ FAQ ＝∠ FAM ＋∠ QAM ＝65°.
∵ AQ 平分∠ FAC ，∴∠ QAC ＝∠ FAQ ＝65°.
∴∠ MAC ＝∠ QAC ＋∠ QAM ＝85°.
∵ AM ∥ BC ，
∴∠ ACB ＝∠ MAC ＝85°.
12. 如图，已知 AD 平分∠ BAC 交 BC 于点 D ，点 F 在 BA 的延长
线上，点 E 在线段 CD 上， EF 与 AC 相交于点 G ，且∠ BDA ＋
∠ CEG ＝180°.
（1） AD 与 EF 平行吗？请说明理由.
（2）若点 H 在 EF 的延长线上，且∠ EDH ＝∠ C ，则∠ F 与
∠ H 相等吗？请说明理由.
解：（1） AD ∥ EF . 理由如下.∵∠ BDA ＋∠ CEG ＝180°，∠
BDA ＋∠ ADE ＝180°，
∴∠ CEG ＝∠ ADE .
∴ AD ∥ EF .
（2）∠ F ＝∠ H . 理由如下：
∵ AD 平分∠ BAC ，∴∠ BAD ＝∠ CAD .
∵∠ EDH ＝∠ C ，∴ HD ∥ AC .
∴∠ H ＝∠ CGH .
∵ AD ∥ EF ，∴∠ BAD ＝∠ F ，∠ CAD ＝∠ CGH .
∴∠ F ＝∠ H .
13. （选做）如图，已知直线 AB ∥ CD ，点 M ， N 分别是直线
AB ， CD 上的点.
（1）如图1，判断∠ BME ，∠ MEN 和∠ DNE 之间的数量关
系，并证明你的结论；
（2）如图2，请你直接写出∠ BME ，∠ MEN 和∠ DNE 之间的
数量关系（不需要证明）；
（3）如图3，若 MB 平分∠ EMF ， NE 平分∠ DNF ，且∠ F ＋
2∠ E ＝180°，求∠ FME 的度数.
图1
图3
图2
（1）解：∠ BME ＋∠ DNE ＝∠ MEN . 证明如下：
如图1，过点 E 作直线 EF ∥ AB .
∵ EF ∥ AB ，∴∠ BME ＝∠ MEF .
又∵ AB ∥ CD ，∴ EF ∥ CD .
∴∠ FEN ＝∠ DNE .
∴∠ MEN ＝∠ MEF ＋∠ FEN ＝∠ BME ＋∠ DNE .
图1
图1
图2
（2）∠ MEN ＝∠ BME －∠ DNE .
图2
【解析】如图2，过点 E 作直线 EF ∥ AB .
∵ EF ∥ AB ，
∴∠ BME ＝∠ MEF .
又∵ AB ∥ CD ，
∴ EF ∥ CD .
∴∠ FEN ＝∠ DNE .
∴∠ MEN ＝∠ MEF －∠ FEN ＝∠ BME －∠ DNE .
（3）解：∵ MB 平分∠ EMF ，
∴∠ BMF ＝∠ BME .
由 NE 平分∠ DNF ，设∠ DNF ＝2∠ DNE ＝2∠α.
由（1），得∠ E ＝∠ BME ＋∠ DNE ＝∠ BME ＋∠α.
由（2），得∠ F ＝∠ BMF －∠ DNF ＝∠ BMF －2∠α.
又∵∠ F ＋2∠ E ＝180°，
∴∠ BMF －2∠α＋2（∠ BME ＋∠α）＝180°.
∴3∠ BMF ＝180°，即∠ BMF ＝60°.
∴∠ FME ＝2∠ BMF ＝120°.
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第七章 平行线的证明
回顾与思考
1. 下列选项中，可以用来说明命题“若 a2＞ b2，则 a ＞ b ”是假
命题的反例是（ B ）
A. a ＝2， b ＝－1 B. a ＝－2， b ＝1
C. a ＝3， b ＝－2 D. a ＝2， b ＝0
B
2. 下列语句是命题的是（ C ）
A. 对角线相等吗
B. 作线段 AB ＝10cm
C. 若 a ＝ b ，则－ a ＝－ b
D. 连接 A ， B 两点
C
3. 如图，下列四个条件中，能判定 DE ∥ AC 的是（ B ）
A. ∠2＝∠4
B. ∠3＝∠4
C. ∠ AFE ＝∠ ACB
D. ∠ BED ＝∠ C
B
4. 如图，把一张长方形纸片 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 C 落
在点 C '处， BC '交 AD 于点 F . 若∠ ABF ＝30°，则∠ ADB
＝ .
（第4题图）
30°
5. 如图，直线 a ∥ b ，一块含60°的直角三角尺如图放置.若
∠1＝135°，则∠2＝ .
（第5题图）
6. 将命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的
形式： .
105°
如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
7. 如图，已知∠ D ＝∠ B ， DF ⊥ AC 于点 F ， BE ⊥ AC 于点 E .
（1）求证： AD ∥ BC ；
（2）若 AE ＝ CF ，求证：△ AFD ≌△ CEB .
证明：（1）∵ DF ⊥ AC ， BE ⊥ AC .
∴∠ AFD ＝90°，∠ BEC ＝90°.
∴∠ A ＝90°－∠ D ，∠ C ＝90°－∠ B .
又∵∠ D ＝∠ B ，∴∠ A ＝∠ C .
∴ AD ∥ BC .
（2）∵ AE ＝ CF ，
∴ AE － EF ＝ CF － EF ，即 AF ＝ CE .
在△ AFD 和△ CEB 中，
∴△ AFD ≌△ CEB （AAS）.
8. 如图，∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＋∠ D ＋∠ E 的度数为 .
（第8题图）
180°
9. 如图，已知 AB ∥ DC ， ED ∥ BC ， AE ∥ BD ，则图中
有 个三角形与△ ABD 的面积相等.
（第9题图）
3
【解析】∵ AE ∥ BD ，∴ S△ ABD ＝ S△ BDE . ∵ DE ∥ BC ，∴ S△
BDE ＝ S△ EDC . ∵ AB ∥ CD ，∴ S△ ABD ＝ S△ ABC . ∴ S△ ABD ＝ S△ BDE
＝ S△ EDC ＝ S△ ABC ，则与△ ABD 面积相等的三角形有3个.故答案
为3.
10. 如图，已知直线 AB ∥ DF ，∠ D ＋∠ B ＝180°.
（1）求证： DE ∥ BC ；
（2）若∠ AMD ＝75°，求∠ AGC 的度数.
（1）证明：∵ AB ∥ DF ，
∴∠ D ＋∠ BHD ＝180°.
∵∠ D ＋∠ B ＝180°，
∴∠ B ＝∠ DHB .
∴ DE ∥ BC .
（2）解：∵ DE ∥ BC ，∠ AMD ＝75°，
∴∠ AGB ＝∠ AMD ＝75°.
∴∠ AGC ＝180°－∠ AGB ＝180°－75°＝105°.
11. 如图，在△ ABC 中， AD ⊥ BC 于点 D ， BE 平分∠ ABC ，∠
EBC ＝32°，∠ AEB ＝70°.
（1）求证：∠ BAD ∶∠ CAD ＝1∶2；
（2）若点 F 为线段 BC 上的任意一点，当△ EFC 为直角三角形
时，求∠ BEF 的度数.
（1）证明：∵ BE 平分∠ ABC ，
∴∠ ABC ＝2∠ EBC ＝64°.
∵ AD ⊥ BC ，
∴∠ ADB ＝∠ ADC ＝90°.
∴∠ BAD ＝90°－64°＝26°.
∵∠ C ＝∠ AEB －∠ EBC ＝70°－32°＝38°，
∴∠ CAD ＝90°－38°＝52°.
∴∠ BAD ∶∠ CAD ＝1∶2.
（2）解：分两种情况：①当∠ EFC ＝90°时，如图1，
则∠ BFE ＝90°，
∴∠ BEF ＝90°－∠ EBC ＝90°－32°＝58°.
图1
图1
图2
②当∠ FEC ＝90°时，如图2，
则∠ EFC ＝90°－38°＝52°.
∴∠ BEF ＝∠ EFC －∠ EBC ＝52°－32°＝20°.
综上所述，∠ BEF 的度数为58°或20°.
图2
12. （选做）已知点 D 为△ ABC 的边 BC 延长线上的一点.
（1）如图1，若∠ A ∶∠ ABC ＝3∶4，∠ ACD ＝140°，求∠ A
的度数；
（2）如图2，若∠ ABC 的平分线与∠ ACD 的平分线交于点 M ，
过点 C 作 CP ⊥ BM 于点 P ，求证：∠ MCP ＝90°－ ∠ A ；
（3）在（2）的条件下，将△ MBC 以直线 BC 为对称轴翻折得
到△ NBC ，∠ NBC 的平分线与∠ NCB 的平分线交于点 Q ，试探
究∠ BQC 与∠ A 有怎样的数量关系，请写出你的猜想并证明.
图1
图2
（1）解：∵∠ A ∶∠ ABC ＝3∶4，
∴可设∠ A ＝3 k ，则∠ ABC ＝4 k .
又∵∠ ACD ＝∠ A ＋∠ ABC ＝140°，
∴3 k ＋4 k ＝140°.解得 k ＝20°.
∴∠ A ＝60°.
（2）证明：∵∠ MCD 是△ MBC 的外角，
∴∠ M ＝∠ MCD －∠ MBC .
同理可得，∠ A ＝∠ ACD －∠ ABC .
∵ CM ， BM 分别平分∠ ACD ，∠ ABC ，
∴∠ MCD ＝ ∠ ACD ，∠ MBC ＝ ∠ ABC .
∴∠ M ＝ ∠ ACD － ∠ ABC ＝ ∠ A .
∵ CP ⊥ BM ，
∴∠ MCP ＝90°－∠ M ＝90°－ ∠ A .
（3）解：猜想：∠ BQC ＝90°＋ ∠ A . 证明如下：
∵ BQ 平分∠ NBC ， CQ 平分∠ NCB ，
∴∠ QBC ＝ ∠ NBC ，∠ QCB ＝ ∠ NCB .
∴∠ BQC ＝180°－∠ QBC －∠ QCB
＝180°－ ∠ NBC － ∠ NCB
＝180°－ （180°－∠ N ）
＝90°＋ ∠ N .
由（2）知，∠ M ＝ ∠ A .
由轴对称的性质，知∠ M ＝∠ N ，∴∠ BQC ＝90°＋ ∠ A .
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第七章 平行线的证明
1 为什么要证明
1. 用锯锯木，锯会发热；用锉锉物，锉会发热；在石头上磨
刀，刀会发热，所以物体摩擦会发热.得出此结论运用的方法是
（ C ）
A. 观察 B. 实验 C. 归纳 D. 类比
C
2. 下列结论正确的是（ A ）
A. 全等三角形的对应角相等
B. 对应角相等的两个三角形全等
C. 有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
D. 若两个角相等，则这两个角一定是对顶角
A
3. 春季，甲流来袭，某市疾控中心对三位有咳嗽症状的市民
甲、乙、丙进行调查，与三位市民有如下对话.
甲说：“我得甲流了，需要休息.”
乙说：“我肯定没有得甲流，请让我回去工作.”
丙说：“甲没有得甲流，不要被他骗了.”
若这三人中只有一人说的是真话且只有一位市民得甲流，则得
甲流的人是（ A ）
A. 乙 B. 丙
C. 甲 D. 无法判断
A
4. 小红下午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗
锅、盛水2min；②洗菜3min；③准备面条及佐料4min；④用锅
把水烧开8min；⑤用烧开的水煮面条和菜要3min.以上各工序除
④外，一次只能进行一道工序，小红要将面条煮好，最少
用 min.
13
5. 某校九年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛.甲、乙、
丙三名同学预测比赛的结果如下：
甲说：“902班得冠军，904班得第三.”
乙说：“901班得第四，903班得亚军.”
丙说：“903班得第三，904班得冠军.”
赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是 班.
902
6. A，B，C，D这4人进行游泳比赛，赛前4名选手进行了如下
预测.
A说：“我肯定得第一名.”
B说：“我绝对不会得最后一名.”
C说：“我不可能得第一名，也不会得最后一名.”
D说：“那只有我是最后一名！”
比赛揭晓后，发现他们之中只有一位预测错误，预测错误的人
是 .
A
7. 在学习中，小明发现：当 n ＝1，2，3时， n2－6 n 的值都是负
数.于是小明猜想：当 n 为任意正整数时， n2－6 n 的值都是负
数.小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由.
解：不正确.理由如下：
（方法一）利用反例证明：例如，当 n ＝7时， n2－6 n ＝7＞0.
（方法二） n2－6 n ＝ n （ n －6），当 n ≥6时， n2－6 n ≥0.
8. 如图，△ DEF 是将△ ABC 沿 BC 边平移而得到的，且 DE 经过
AC 边的中点 O . 问：点 O 一定是 DE 边的中点吗？如果是，请证
明；如果不是，请说明理由.
解：是.证明如下：
如答图，连接 AD ，易证△ AOD ≌△ COE ，
所以 DO ＝ OE ，即点 O 是 DE 边的中点.
答图
9. 天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳
历.有十天干与十二地支，如下表：
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3
算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数
查出地支.如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为
子，所以2008年就是戊子年，则2024年是 年（用天干
地支纪年法表示）.
【解析】2024年，尾数4为甲，2024除以12余数为8，8为辰，所
以2024年为甲辰年.故答案为甲辰.
甲辰
10. 已知 a ， b 是质数，其中 a ＜ b ， a ＋ b ＝99，则 ab ＝ .
194
11. 甲、乙、丙三名同学进行象棋比赛训练，两人先比，若分出
胜负，则由第三个人与胜者比赛；若是和棋，则这两个人继续
下一局比赛，直到分出胜负，如此进行……比赛若干局后，甲
胜4局，负2局；乙胜3局，负3局；丙负3局.那么丙胜了几局？
三名同学至少进行了几局比赛？
解：因为在比赛中一人胜一局，那么就必然有人负一局，
所以在整个比赛中，胜局总数总等于负局总数.
因为甲、乙、丙总的负局数为2＋3＋3＝8，甲、乙总的胜局
数为4＋3＝7，所以丙胜的局数为8－7＝1.
要使甲、乙、丙三名同学的比赛局数为最少，就不能出现和
局，
在没有出现和局的情况下，甲、乙、丙三名同学进行了8局
比赛，
所以三名同学至少进行了8局比赛.
12. （选做）如图，A，B，C是固定在桌面上的三根立柱，其
中A柱上穿有三个大小不同的圆片，下面的直径总比上面的大.
现想将这三个圆片移动到B柱上，要求每次只能移动一片（叫移
动一次），被移动的圆片只能放入A，B，C三个立柱之一且较
大的圆片不能叠在较小的圆片上面，那么完成这件事情至少要
移动圆片多少次？
解：需分两步完成：（设最大的圆片为3，较小的为2，最小的
为1）
①先将最小的圆片移动到B柱上：1 B，2 C，1 C，3 B. 此
时完成了第一步，移动了4次；
②再将剩下两个圆片移到B柱上：1 A，2 B，1 B. 此时完成
了第二步，移动了3次.
所以完成这件事情至少要移动圆片3＋4＝7（次）.
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第七章 平行线的证明
3 平行线的判定
1. 如图，木工用角尺画平行线的道理是（ A ）
A. 同位角相等，两直线平行
B. 内错角相等，两直线平行
C. 同旁内角相等，两直线平行
D. 同旁内角互补，两直线平行
A
2. 下列图形中，由∠1＝∠2能得到 AB ∥ CD 的是（ A ）
A
B
A
C
D
3. 如图，已知点 E 在 BC 的延长线上，下列条件：①∠1＝∠4；
②∠2＝∠3；③∠5＝∠ B ；④∠ DCB ＋∠ B ＝180°.其中能判
定 CD ∥ AB 的是（ C ）
A. ①②④ B. ①②③
C. ①③④ D. ①②
（第3题图）
C
4. 如图，请你填写一个适当的条件：
，使 AD ∥ BC .
（第4题图）
∠ FAD ＝∠ FBC （或∠
ADB ＝∠ DBC 或∠ DAB ＋∠ ABC ＝180°）
5. 一条街道的示意图如图所示.若∠ ABC ＝∠ BCD ＝146°，则
AB 与 CD 的位置关系是 .
（第5题图）
平行
6. 如图，要使 CF ∥ BG ，则可以添加的一个条件是
.
（第6题图）
∠ C ＝
∠GDE （答案不唯一）
7. 如图，已知 CB 平分∠ ACD ，交 AE 于点 B ，且 AB ＝ AC . 求
证： AE ∥ CD .
证明：∵ AB ＝ AC ，
∴∠ ABC ＝∠ ACB .
∵ CB 平分∠ ACD ，
∴∠ ACB ＝∠ BCD .
∴∠ ABC ＝∠ BCD .
∴ AE ∥ CD .
8. 如图，已知∠ A ＋∠ ACD ＋∠ D ＝360°，求证： AB ∥ DE .
答图
答图
证明：如答图，过点 C 作 CF ∥ AB .
∵ CF ∥ AB ，∴∠ A ＋∠ ACF ＝180°.
∵∠ A ＋∠ ACD ＋∠ D ＝360°，
即∠ A ＋∠ ACF ＋∠ DCF ＋∠ D ＝360°，
∴∠ D ＋∠ DCF ＝180°.
∴ CF ∥ DE . ∴ AB ∥ DE .
9. 如图，已知∠ EFC ＋∠ BDC ＝180°，∠ DEF ＝∠ B .
（1）试判断 DE 与 BC 的位置关系，并说明理由；
（2）若 DE 平分∠ ADC ，∠ BDC ＝3∠ B ，求∠ EFC 的度数.
解：（1） DE ∥ BC . 理由如下：
∵∠ EFC ＋∠ BDC ＝180°，∠ ADC ＋∠ BDC ＝180°，
∴∠ EFC ＝∠ ADC .
∴ AD ∥ EF .
∴∠ DEF ＝∠ ADE .
又∵∠ DEF ＝∠ B ，
∴∠ B ＝∠ ADE .
∴ DE ∥ BC .
（2）∵ DE 平分∠ ADC ，
∴∠ ADC ＝2∠ ADE .
∵∠ BDC ＝3∠ B ，∠ B ＝∠ ADE ，
∴∠ BDC ＝3∠ ADE .
又∵∠ BDC ＋∠ ADC ＝180°，
∴3∠ ADE ＋2∠ ADE ＝180°.
∴∠ ADE ＝36°.∴∠ ADC ＝72°.
∴∠ EFC ＝∠ ADC ＝72°.
10. 如图，把一张长方形纸条 ABCD 沿 AF 折叠，使点 B 落在点
B '处，连接 BD . 若∠ ADB ＝20°，则当∠ BAF ＝ 时，
AB '∥ BD .
（第10题图）
55°
11. 如图，将一块直角三角板 ABC （∠ BAC ＝90°，∠ ABC ＝
30°）按此方法放置，使 A ， B 两点分别落在直线 m ， n 上.对
于给出的四个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30'；②∠2＝
2∠1；③∠1＋∠2＝90°；④∠ ACB ＝∠1＋∠2；⑤∠ ABC ＝
∠2－∠1.其中能判断直线 m ∥ n 的有 （填序号）.
①⑤
（第11题图）
【解析】①∵∠ ABD ＝25.5°＋∠ ABC ＝55.5°＝55°30'＝
∠2，∴ m ∥ n .
②没有指明∠1的度数，当∠1≠30°时，∠2≠∠1＋30°，不
能判断直线 m ∥ n ，故∠2＝2∠1.不能判断直线 m ∥ n .
③∠1＋∠2＝90°，不能判断直线 m ∥ n .
④∠ ACB ＝∠1＋∠2，不能判断直线 m ∥ n .
⑤∠ ABC ＝∠2－∠1，能判断直线 m ∥ n .
故答案为①⑤.
12. 如图，某工程队从点 A 出发，沿北偏西67°方向铺设管道
AD . 由于某些原因， BD 段不适宜铺设，需改变方向，由点 B 沿
北偏东23°的方向继续铺设 BC 段，到达点 C 后又改变方向，从
点 C 继续铺设 CE 段.∠ ECB 应为多少度，可使所铺管道 CE ∥
AB ？试说明理由.此时 CE 与 BC 有怎样的位置关系？
解：∠ ECB ＝90°.理由如下：
∵分别过 A ， B 两点的指北的方向是平行的，
∴∠1＝∠ A ＝67°（两直线平行，同位角相等）.
∴∠ CBD ＝23°＋67°＝90°.
当∠ ECB ＋∠ CBD ＝180°时，可使 CE ∥ AB （同旁内角互
补，两直线平行）.
∴∠ ECB ＝90°.
此时 CE ⊥ BC （垂直的定义）.
13. 如图，已知∠ E ＝∠ C －∠ A ，求证： AB ∥ CD .
答图
证明：如答图，延长 DC ，与 AE 交于点 F .
在△ CEF 中，∠ E ＝180°－∠ ECF －∠ CFE .
∵∠ ECF ＝180°－∠ DCE ，
∴∠ E ＝180°－（180°－∠ DCE ）－∠ CFE ＝∠ DCE －∠ CFE ，
即∠ E ＝∠ DCE －∠ CFE .
∵∠ E ＝∠ DCE －∠ A ，
∴∠ A ＝∠ CFE .
∴ AB ∥ DF ，即 AB ∥ CD .
14. （选做）如图1，已知直线 AB ∥ CD ，直线 MN 与 CD ， AB
分别交于点 E ， F ，点 P 是 MN 上的一点.
（1）若∠ EFB ＝55°，∠ EDP ＝30°，求∠ MPD 的度数.
（2）当点 P 在线段 EF 上运动时，∠ CDP 与∠ ABP 的平分线交
于点 Q ，问： 是否为定值？若是定值，请求出定值；若不
是，请说明理由.
（3）当点 P 在线段 FE 的延长线上运动时，∠ CDP 与∠ ABP 的
平分线交于点 Q ，问 的值是否为定值，请在图2中将图形补
充完整并说明理由.
图1
图2
解：（1）∵ AB ∥ CD ，
∴∠ MED ＝∠ EFB ＝55°.
∴∠ MPD ＝∠ MED －∠ EDP ＝55°－30°＝25°.
∴∠ EDP ＝∠ DPH ，∠ FBP ＝∠ BPH ，∠ CDQ ＝∠ DQO ，
∠ ABQ ＝∠ BQO . ∵ DQ ， BQ 分别平分∠ CDP ，∠ ABP ，
∴∠ CDQ ＝ ∠ EDP ，∠ ABQ ＝ ∠ FBP ，
∴∠ DQB ＝∠ DQO ＋∠ BQO ＝∠ CDQ ＋
∠ ABQ ＝ （∠ DPH ＋∠ BPH ）＝ ∠ DPB ，
∴ ＝ ，即 ＝ .
（2）如图1，分别过点 P ， Q 作 PH ∥ AB ， QO ∥ AB .
∵ AB ∥ CD ，∴ AB ∥ CD ∥ PH ∥ QO .
图1
（3）如图2，分别过点 P ， Q 作 PH ∥ CD ，QO ∥ CD ，
∴ QO ∥ PH ∥ CD ∥ AB .
图2
∴∠ HPB ＝∠ ABP ，∠ HPD ＝∠ CDP ，∠ ABQ ＝∠ BQO ，
∠ DQO ＝∠ CDQ .
∴∠ DQB ＝∠ ABQ －∠ CDQ ，∠ DPB ＝∠ ABP －∠ CDP .
∵∠ CDP 和∠ ABP 的平分线交于点 Q ，
∴∠ ABQ ＝ ∠ ABP ，∠ CDQ ＝ ∠ CDP ，
∴∠ DQB ＝ （∠ ABP －∠ CDP ）＝ ∠ DPB ，
∴ ＝ ，即 ＝ .
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