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第三章 位置与坐标
回顾与思考
1. 如图，用方向和距离描述少年宫相对于小明家的位置，正确
的是（ D ）
A. 北偏东55°方向距离2km处
B. 东北方向
C. 东偏北35°方向距离2km处
D. 北偏东35°方向距离2km处
（第1题图）
D
2. 下列说法正确的是（ C ）
A. 已知点 M （2，－5），则点 M 到 x 轴的距离是2
B. 若点 A （ a －1， a ＋1）在 x 轴上，则 a ＝1
C. 点 A （－1，2）关于 x 轴对称的点的坐标为（－1，－2）
D. 点 C （－3，2）在第一象限内
C
3. 一所学校的平面示意图如图所示，若用（2，3）表示教学楼
的位置，（3，1）表示旗杆的位置，则实验楼的位置可表示为
（ D ）
A. （2，－3） B. （－3，2）
C. （－2，1） D. （1，－2）
（第3题图）
D
4. （1）已知点 A （ x ，2）在第二象限，则 x 的取值范围是
；
（2）已知｜ a －2｜＋（ b －1）2＝0，则点 A （ a ， b ）关于 y
轴对称的点的坐标为 .
x
＜0
（－2，1）
5. 如图，边长为3的等边三角形 BDC 的边 BD 在 y 轴上，顶点 C
在 x 轴上.若将△ BDC 沿 y 轴翻折得到△ BDA ，则点 A 的坐标
是 .
6. 甲、乙、丙三人所处的位置不同，甲说：“以我为坐标原
点，乙的位置是（2，3）.”丙说：“以我为坐标原点，乙的位
置是（－3，－2）”.若以乙为坐标原点，甲、丙的坐标分别是
（分别以三人为原点建立平面直角坐标系时， x 轴、 y 轴的正方
向相同） .
甲（－2，－3），丙（3，2）
7. 已知点 P （2 m ＋4， m －1）.分别根据下列条件，求出点 P
的坐标.
（1）点 P 在过点 A （－2，－3）且与 y 轴平行的直线上；
（2）点 P 在第四象限内，且到 x 轴的距离是到 y 轴的距离的
一半；
（3）点 P 在第二、四象限的角平分线上.
解：（1）由题意，得2 m ＋4＝－2，解得 m ＝－3.
所以 m －1＝－3－1＝－4.
所以点 P 的坐标为（－2，－4）.
（2）由题意，得－（ m －1）＝ （2 m ＋4），
解得 m ＝－ .
所以2 m ＋4＝2× ＋4＝3，
m －1＝－ －1＝－ .
所以点 P 的坐标为 .
（3）因为点 P 在第二、四象限的角平分线上，
所以2 m ＋4＋ m －1＝0，
解得 m ＝－1.
所以2 m ＋4＝2×（－1）＋4＝2，
m －1＝－1－1＝－2.
所以点 P 的坐标为（2，－2）.
8. 在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，已知点 A （0， a ）， B （ b ， b ）， C （ c ， a ），其中 a ， b 满足关系式｜ a －4｜＋（ b －2）2＝0，且 c ＝ a ＋ b .
（1）求 A ， B ， C 三点的坐标，在如图的平面直角坐标系中画
出△ ABC ，并求出其面积.
（2）在坐标轴上是否存在点 Q ，使△ COQ 的面积与△ ABC
的面积相等？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说
明理由.
解：（1）因为｜ a －4｜＋（ b －2）2＝0，
所以 a ＝4， b ＝2.
又因为 c ＝ a ＋ b ，所以 c ＝6.
所以 A （0，4）， B （2，2）， C （6，4）.
如图，△ ABC 即为所求作图形.
由图可知， S△ ABC ＝ ×6×2＝6.
（2）存在符合条件的点 Q .
①当点 Q 在 x 轴上时，设 Q （ m ，0）.
由题意，得 ×｜ m ｜×4＝6，解得 m ＝±3.
所以点 Q 的坐标为（3，0）或（－3，0）；
②当点 Q 在 y 轴上时，设 Q （0， n ）.
由题意，得 ×｜ n ｜×6＝6，解得 n ＝±2.
所以点 Q 的坐标为（0，2）或（0，－2）.
综上所述，点 Q 的坐标为（3，0），（－3，0），（0，2）或
（0，－2）.
9. 如图，一个粒子在第一象限内及 x 轴、 y 轴上运动，在第一分
钟，它从原点 O 运动到点（1，0）；第二分钟，它从点（1，
0）运动到点（1，1），而后它接着按图中箭头方向在与 x 轴、
y 轴平行的方向上来回运动，且每分移动1个单位长度.在第2
024分钟时，这个粒子所在位置的坐标是 .
（44，0）
【解析】由题知，（0，0）表示粒子运动了0分钟，（1，1）表
示粒子运动了1×2＝2（分钟），将向左运动；（2，2）表示粒
子运动了2×3＝6（分钟），将向下运动；（3，3）表示粒子运
动了3×4＝12（分钟），将向左运动；…；于是点（44，44）
表示粒子运动了44×45＝1980（分钟），此时粒子将会向下运
动.到第2024分钟，粒子又向下移动了2024－1980＝44（个）单
位长度，所以此时粒子的位置为（44，0）.故答案为（44，
0）.
10. 在平面直角坐标系中，已知 O 为坐标原点，点 A （1，1）.
在 x 轴上确定一点 P ，使△ AOP 为等腰三角形，则符合条件的
点 P 共有 个.
【解析】（1）当 OA 为腰时，有两种情况：①当点 A 是顶角顶
点时，在点 A 的左侧有一个点 P 符合要求；②当点 O 是顶角顶点
时，在点 O 的左、右侧各有一点 P 符合要求，共2个；（2）当
OA 是底边时，点 P 是 OA 的中垂线与 x 轴的交点，有1个.故符合
条件的点 P 共有4个.故答案为4.
4
11. 如图，在平面直角坐标系中，点 A ， B 的坐标分别为（－
1，0），（3，0）.现同时将点 A ， B 先向上平移2个单位长度，
再向右平移1个单位长度，得到 A ， B 的对应点 C ， D ，连接
AC ， BD ， CD .
（1）写出点 C ， D 的坐标，并求出四边形 ABDC 的面积.
（2）在 x 轴上是否存在一点 F ，使得△ DFC 的面积是△ DFB 面积的2倍？若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）由题意，得 C （0，2）， D （4，2）.
S四边形 ABDC ＝ AB · OC ＝4×2＝8.
（2）存在符合条件的点 F .
当 BF ＝ CD 时，△ DFC 的面积是△ DFB 面积的2倍.
因为 C （0，2）， D （4，2），
所以 CD ＝4.所以 BF ＝ CD ＝2.
因为 B （3，0），所以点 F 的坐标为（1，0）或（5，0）.
12. 请在如图所示的方格纸（每个小正方形的面积为1）中，作
△ ABC （顶点不与原点 O 重合），使它的三个顶点在格点
（横、纵坐标均为整数的点）处，三边长分别为 ， ，
，并根据所给平面直角坐标系写出点 A ， B ， C 的坐标.
解：根据题意，由勾股定理，得 ＝ ， ＝
， ＝ .据此画出图形如图所示，则 A （1，
3）， B （0，1）， C （3，0）.（答案不唯一）
13. （选做）如图1，已知四边形 OABC 为长方形，以点 O 为坐
标原点， OC 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，点 A 的坐
标为（0，5），点 C 的坐标为（9，0）.
图1
图2
（1）点 B 的坐标为 .
（2）如图2，有一动点 D 从原点 O 出发，以每秒1个单位长度的
速度沿线段 OA 向终点 A 运动.当直线 CD 将长方形 OABC 的周长
分为3∶4的两部分时，求点 D 的运动时间.
（9，5）
（3）在（2）的条件下，若点 E 为坐标轴上一点，且△ CDE 的
面积为18，求点 E 的坐标.
（1）【解析】因为四边形 OABC 为长方形，点 A 的坐标为（0，
5），点 C 的坐标为（9，0），所以点 B 的坐标为（9，5）.故
答案为（9，5）.
（2）解：设点 D 的运动时间为 t s.
由题意，得 OD ＝ t ， OC ＝9， BC ＝5， AB ＝9.
因为直线 CD 将长方形 OABC 的周长分为3∶4的两部分，
所以 OD ＋ OC 为长方形 OABC 周长的 ，
即（ OD ＋ OC ）∶（ OA ＋ AB ＋ BC ＋ CO ）＝3∶7，
即（ t ＋9）∶（5＋9＋5＋9）＝3∶7.
所以 t ＝3，即点 D 的运动时间为3s.
（3）解：由（2），得点 D 的坐标为（0，3）.
①当点 E 在 x 轴上时，设点 E 的坐标为（ a ，0）.
因为△ CDE 的面积是18，
所以 ×3×｜9－ a ｜＝18，
解得 a ＝－3或 a ＝21.
所以点 E 的坐标为（－3，0）或（21，0）.
②当点 E 在 y 轴上时，设点 E 的坐标为（0， b ）.
因为△ CDE 的面积是18，
所以 ×9×｜3－ b ｜＝18，
解得 b ＝－1或 b ＝7.
所以点 E 的坐标为（0，－1）或（0，7）.
综上所述，点 E 的坐标为（－3，0），（21，0），（0，7）或
（0，－1）.
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第三章 位置与坐标
2 平面直角坐标系（第二课时）
1. 下列说法错误的是（ D ）
A. 若一条直线平行于 x 轴，则这条直线上的所有点的纵坐标相
同
B. 若一条直线平行于 y 轴，则这条直线上的所有点的横坐标相
同
C. （3，4）与（4，3）表示两个不同的点
D. 点 P （0，3）在 x 轴上
D
2. 已知点 A （－2， n ）在 x 轴上，则点 B （ n ＋1， n －3）在
（ D ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知点 A （3 a ＋5， a －3）在第一、三象限的角平分线上，
则 a 的值为（ B ）
A. －5 B. －4 C. －3 D. －2
D
B
4. （1）已知点 M （3，3）， N （3，4），则 MN 平行
于 轴；
（2）在平面直角坐标系中，已知点 A （ a ，－1）， B （2，3－ b ）， C （－5，4）.若 AB ∥ x 轴， AC ∥ y 轴，则 a － b ＝
.
5. 在平面直角坐标系中，已知线段 AB ＝3，且 AB ∥ x 轴，点 A
的坐标是（1，2），则点 B 的坐标是
.
y
－
9
（－2，2）或（4，
2）
6. 已知点 P （ a －5，2 a ＋8），当 a ＝ 时，点 P 在 x 轴
上；当 a ＝ 时，点 P 在 y 轴上；当 a ＝ 时，
点 P 到坐标轴的距离相等.
－4
5
－1或－13
7. 如图，已知 AB ∥ CD ∥ x 轴，且 AB ＝ CD ＝3，点 A 的坐
标为（－1，1），点 C 的坐标为（1，－1）.请写出点 B ， D
的坐标.
解：因为 AB ∥ CD ∥ x 轴，点 A 的坐标为（－1，1），点 C 的坐
标为（1，－1），
所以点 B ， D 的纵坐标分别是1，－1.
因为 AB ＝ CD ＝3，
所以－1＋3＝2，1－3＝－2.
所以点 B 的坐标为（2，1），点 D 的坐标为（－2，－1）.
8. 已知点 P （－3 a －4，2＋ a ）.
（1）若点 P 在 x 轴上，求点 P 的坐标；
（2）若有一点 Q （5，8），且 PQ ∥ y 轴，求点 P 的坐标；
（3）若点 P 在第二、四象限的角平分线上，求 a2 024＋2 023
的值.
解：（1）由题意，得2＋ a ＝0，解得 a ＝－2.
所以－3 a －4＝6－4＝2.
所以点 P 的坐标为（2，0）.
（2）由题意，得－3 a －4＝5，解得 a ＝－3.
所以2＋ a ＝2－3＝－1.
所以点 P 的坐标为（5，－1）.
（3）由题意，得3 a ＋4＝2＋ a ，
解得 a ＝－1.
当 a ＝－1时，原式＝（－1）2 024＋2 023＝2 024.
9. 在平面直角坐标系中，已知点 A （ a ，－2）， B （1， b ），
线段 AB 平行于 x 轴，且 AB ＝3，则 a ＋ b ＝ .
【解析】因为 AB ∥ x 轴， AB ＝3，
所以 b ＝－2，｜ a －1｜＝3.所以 a ＝4或 a ＝－2.
当 a ＝4， b ＝－2时， a ＋ b ＝4＋（－2）＝2；
当 a ＝－2， b ＝－2时， a ＋ b ＝－2＋（－2）＝－4.
所以 a ＋ b ＝2或－4.
故答案为2或－4.
2或－4
10. 在平面直角坐标系中，已知点 P （ a ， b ），若点P'的坐标
为（ a ＋ kb ， ka ＋ b ）（其中 k 为常数，且 k ≠0），则称点P'为
点 P 的“ k 属派生点”.例如： P （1，4）的“2属派生点”为P'
（1＋2×4，2×1＋4），即P'（9，6）.若点 P 在 x 轴的正半轴
上，点 P 的“ k 属派生点”为点P'，且线段PP'的长度为线段 OP
长度的5倍，则 k 的值为 .
【解析】设 P （ m ，0）（ m ＞0）.由题意，得P'（ m ， mk ）.
因为PP'＝5 OP ，所以｜ mk ｜＝5 m .因为 m ＞0，所以｜ k ｜＝
5，所以 k ＝±5.故答案为±5.
±5
11. 在平面直角坐标系中，已知点 A （－3， m －1），点 B （ n
＋1，4），点 P （2 a －6， a ＋4），且点 P 在 y 轴上.
（1）求点 P 的坐标；
（2）若 AB ∥ x 轴，且点 B 在第一象限，求 m 的值，并确定 n 的
取值范围；
（3）在（2）的条件下，已知线段 AB 的长度是6，试判断以点
P ， A ， B 为顶点的三角形的形状，并说明理由.
解：（1）由题意，得2 a －6＝0，解得 a ＝3.
所以 a ＋4＝3＋4＝7.
所以点 P 的坐标为（0，7）.
（2）因为 AB ∥ x 轴，
所以 m －1＝4.所以 m ＝5.
因为点 B 在第一象限，
所以 n ＋1＞0.所以 n ＞－1.
（3）△ PAB 是等腰直角三角形.理由如下：
由（2）知，点 A （－3，4）.
因为 AB ＝6，且点 B 在第一象限，所以点 B （3，4）.
由点 P （0，7），得
PA2＝32＋（7－4）2＝18， PB2＝32＋（7－4）2＝18.
所以 PA ＝ PB .
又因为 AB2＝36，
所以 PA2＋ PB2＝ AB2.
所以△ PAB 是等腰直角三角形.
12. 在平面直角坐标系中，已知点 A （2 n －4， n ＋1）在 x 轴
上，点 B （3 m －6， m ＋2）在 y 轴上，点 C 在坐标轴上，且构
成的△ ABC 的面积是16，求点 C 的坐标.
解：因为点 A （2 n －4， n ＋1）在 x 轴上，点 B （3 m －6， m ＋
2）在 y 轴上，
所以 n ＋1＝0，3 m －6＝0.
所以 n ＝－1， m ＝2.
所以点 A 的坐标为（－6，0），点 B 的坐标为（0，4）.
①当点 C 在 x 轴上时，得 AC ·4＝16，
解得 AC ＝8.
若点 C 在点 A 的左边，则 xC ＝－6－8＝－14；
若点 C 在点 A 的右边，则 xC ＝－6＋8＝2.
此时，点 C 的坐标为（－14，0）或（2，0）.
②当点 C 在 y 轴上时，得 BC ·6＝16.解得 BC ＝ .
若点 C 在点 B 的上方，则 yC ＝4＋ ＝ ；
若点 C 在点 B 的下方，则 yC ＝4－ ＝－ .
此时，点 C 的坐标为 或 .
综上所述，点 C 的坐标为（－14，0）或（2，0）或 或
.
13. （选做）在国际象棋中，国王走一步能够移动到相邻的8个
方格中的任意一个，那么国王从格子（ x1， y1）走到格子（ x2，
y2）的最少步数就是数学的一种距离，叫“切比雪夫距离”.在
平面直角坐标系中，对于任意点 P1（ x1， y1）， P2（ x2， y2）的
“切比雪夫距离”，给出如下定义：若｜ x1－ x2｜≥｜ y1－
y2｜，则点 P1（ x1， y1）与点 P2（ x2， y2）的“切比雪夫距离”
为｜ x1－ x2｜；若｜ x1－ x2｜＜｜ y1－ y2｜，则点 P1（ x1， y1）
与点 P2（ x2， y2）的“切比雪夫距离”为｜ y1－ y2｜.
（1）已知点 A （0，2）.
①若点 B 的坐标为（3，1），则点 A 与点 B 的“切比雪夫距
离”为 ；
②若点 C 为 x 轴上的动点，则点 A 与点 C 的“切比雪夫距离”的
最小值为 .
3
2
（2）已知点 M ， N （1，－1），设点 M 与点 N 的
“切比雪夫距离”为 d ，若 a ≥0，求 d （用含 a 的式子表示）.
（1）【解析】①因为 A （0，2）， B （3，1），
且｜0－3｜＝3，｜2－1｜＝1，
所以｜0－3｜＞｜2－1｜.
所以根据“切比雪夫距离”的定义，点 A 与点 B 的“切比雪夫距
离”为3.故答案为3.
②若点 C 为 x 轴上的动点，则可设点 C （ m ，0）.
当｜ m ｜＞2时，｜0－ m ｜＝｜ m ｜＞2.
又因为｜2－0｜＝2，
所以｜0－ m ｜＞｜2－0｜.
所以此时点 A 与点 C 的“切比雪夫距离”的值为｜ m ｜＞2.
当｜ m ｜≤2时，｜0－ m ｜＝｜ m ｜≤2.
又因为｜2－0｜＝2，
所以｜0－ m ｜≤｜2－0｜.
所以此时点 A 与点 C 的“切比雪夫距离”的值为2.
综上所述，若点 C 为 x 轴上的动点，那么点 A 与点 C 的“切比雪
夫距离”的最小值为2.故答案为2.
（2）解：根据已知条件，得
M ， N （1，－1）.
①当0≤ a ≤1时，｜2－ a －1｜＝｜1－ a ｜＝1－ a ≤1，
＝ ＋1≥1，
所以此时点 M 与点 N 的“切比雪夫距离” d ＝ ＋1.
②当 a ＞1时，｜2－ a －1｜＝｜1－ a ｜＝ a －1， ＝
＋1.令 a －1≤ ＋1，解得 a ≤3，
即当1＜ a ≤3时， a －1≤ ＋1，
所以此时点 M 与点 N 的“切比雪夫距离” d ＝ ＋1；
当 a ＞3时， a －1＞ ＋1，
所以此时点 M 与点 N 的“切比雪夫距离” d ＝ a －1.
综上所述，点 M 与点 N 的“切比雪夫距离” d ＝
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第三章 位置与坐标
3 轴对称与坐标变化
1. 已知点 A 的坐标为（2，3），则点 A 关于 y 轴的对称点A'的坐
标为（ A ）
A. （－2，3） B. （2，－3）
C. （3，2） D. （－2，－3）
A
2. 已知图形 A 在 x 轴的上方，若将图形 A 上的所有点的纵坐标都
乘－1，横坐标不变得到图形 B ，则（ A ）
A. 两个图形关于 x 轴对称
B. 两个图形关于 y 轴对称
C. 两个图形重合
D. 两个图形不关于任何一条直线对称
A
3. 若点 P （3， a ＋1）关于 x 轴对称的点是点 Q （ b ，－2），
则点（ a ， b ）为（ B ）
A. （2，－3） B. （1，3）
C. （3，2） D. （3，－2）
B
4. （1）点 P （－2，3）关于原点对称的点的坐标为
；
（2）已知点 P 关于 x 轴对称的点的坐标是（1，－2），则它关
于 y 轴对称的点的坐标是 .
5. 如图，把△ ABC 经过变换得到△A'B'C'.若△ ABC 上的点 P 的
坐标为（ a ， b ），则点 P 的对应点P'的坐标为
.
（2，
－3）
（－1，2）
（－ a ，
－b ）
6. （1）已知点 M （－4， y ）与点 N （ x ，－3）关于 x 轴对
称，则（ x ＋ y ）2 024的值为 ；
（2）已知点 M （2，－ a ）与点 N （ a ＋ b ，3）关于 y 轴对称，
则 a － b 的值为 .
1
－4
7. 已知点 M （2 a － b ，5＋ a ）， N （2 b －1，－ a ＋ b ）.
（1）若点 M ， N 关于 x 轴对称，求 a ， b 的值；
（2）若点 M ， N 关于 y 轴对称，求（ b ＋2 a ）2024的值.
解：（1）因为点 M ， N 关于 x 轴对称，
所以2 a － b ＝2 b －1且5＋ a － a ＋ b ＝0.
所以 a ＝－8， b ＝－5.
（2）因为点 M ， N 关于 y 轴对称，
所以2 a － b ＋2 b －1＝0且5＋ a ＝－ a ＋ b .所以2 a ＋ b ＝1.
所以（ b ＋2 a ）2 024＝12 024＝1.
8. 如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△ ABC 的三个顶点的坐
标分别为 A （－3，0）， B （－3，－3）， C （－1，－3）.
（1）求△ ABC 的面积；
（2）在图中作出△ ABC 关于 x 轴对称的△ DEF （点 A ， B ， C
的对应点分别为点 D ， E ， F ），并写出点 D ， E ， F 的坐标.
解：（1） S△ ABC ＝ AB · BC ＝ ×3×2＝3.
（2）如图，△ DEF 即为所求作.
解：（1） S△ ABC ＝ AB · BC ＝ ×3×2＝3.
由图可得，点 D ， E ， F 的坐标分别为 D （－3，0）， E （－
3，3）， F （－1，3）.
9. 如图，将Rt△ ABC 放在平面直角坐标系内，其中∠ ABC ＝
90°， AC ＝5，点 A ， B 的坐标分别为（－4，0）（－1，0），点 C 关于 y 轴的对称点为点C'（ m ， n ），且 m ， n 满足 n ＝－2 m ＋ b ，则 b 的值是 .
（第9题图）
6
10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A （0， ）， B （－1，0），点 P 为线段 OB 上一动点，点 P 关于 AB ， AO 的对 称点分别为点 C ， D ，连接 CD ，分别交 AB ， AO 于点 M ， N ， 则 CD 的最大值是 ，∠ MPN 的度数是 .
2
120°
（第10题图）
【解析】如图，连接 CP ， AC ， AD ， AP ，
因为 A （0， ）， B （－1，0），∠ AOB ＝90°，
所以 AB ＝ ＝2，易得∠ BAO ＝30°.
由轴对称可知， AC ＝ AP ＝ AD ， AB ⊥ CP ，AO ⊥ PD ，
所以∠ CAB ＝∠ PAB ，∠ DAO ＝∠ PAO .
所以∠ CAD ＝2∠ BAO ＝60°.所以△ ACD 为等边三角形，
所以 CD ＝ AC ＝ AP .
因为 ≤ AP ≤2，所以 CD 的最大值是2.
因为 AB ⊥ CP ， AO ⊥ PD ，∠ BAO ＝30°.
所以∠ CPD ＝360°－90°－90°－30°＝150°，
所以∠ PCD ＋∠ CDB ＝30°.
所以∠ CPM ＋∠ NPD ＝30°.
所以∠ MPN ＝150°－30°＝120°.
故答案为2，120°.
11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标为（2，4），
过点（3，0）作 x 轴的垂线 l ，点 A 与点 B 关于直线 l 对称.
（1）点 B 的坐标为 ；
（2）点 C 的坐标为（6，0），在图中描出点 B ， C ，顺次连接
点 O ， A ， B ， C ，若在坐标系内存在点 P ，使得 S△ POA ＝ S△
PBC ，且 S△ PAB ＝ S△ POC ，求点 P 的坐标.
（4，4）
（1）【解析】如图.因为点 A （2，4）与点 B 关于直线 l 对称，
直线 l ⊥ x 轴，
所以点 B 的横坐标为3＋（3－2）＝4，纵坐标为4.所以 B （4，
4）.故答案为（4，4）.
（2）解：因为 S△ POA ＝ S△ PBC ，
易得点 P 在直线 l 上.
如图，设 P （3， m ）.
因为 S△ PAB ＝ S△ POC ，
所以 ×2×｜4－ m ｜＝ ×6×｜ m ｜，
解得 m ＝1或 m ＝－2.
所以点 P 的坐标为（3，1）或（3，－2）.
12. 在平面直角坐标系中，已知△ ABC 的三个顶点的坐标分别
是 A （－2，0）， B （－1，0）， C （－1，2），△ ABC 关于 y
轴对称的图形是△ A1 B1 C1，直线 l 过点 M （3，0），且平行于 y
轴，△ A1 B1 C1关于直线 l 对称的图形是△ A2 B2 C2.
（1）在图中画出△ ABC ，△ A1 B1 C1和△ A2 B2 C2，并写出△ A2
B2 C2的三个顶点的坐标；
（2）若点 P （ a ， b ）是△ ABC 内的一点，点 P 关于 y 轴对称的
点是 P1，点 P1关于直线 l 对称的点是 P2，求 PP2的长.
解：（1）如图即为所求作.
△ A2 B2 C2的三个顶点的坐标分别是 A2（4，0）， B2（5，0），
C2（5，2）.
（2）因为 P （ a ， b ），点 P 与点 P1关于 y 轴对称，
所以 P1（－ a ， b ）.
因为点 P1与点 P2关于直线 l ： x ＝3对称，
所以可设 P2（ x ， b ）.
所以 ＝3，即 x ＝6＋ a .
所以 P2（6＋ a ， b ），
则 PP2＝6＋ a － a ＝6.
13. （选做）如图，在平面直角坐标系中，直线 l 是第一、三象
限的角平分线.
（1）实验与探究：观察图可知，点 A （0，2）与点 A1（2，0）
关于直线 l 对称，请在图中标明点 B （3，5）， C （3，－5），
D （－3，－5）， E （－5，0）关于直线 l 对称的点 B1， C1，
D1， E1的位置，并写出它们的坐标；
（2）归纳与发现：结合图形并观察以上五组点的坐标，你会发
现：坐标平面内任意一点 P （ a ， b ）关于直线 l 的对称点 P1的
坐标为 ；
（3）拓展与应用：若点 M （4，2 x ＋5 y ）与点 N （2 x ＋5，3 x
－ y ）关于直线 l 对称，求 x ， y 的值.
（ b ， a ）
（1）解：点 B1， C1， D1， E1的位置如图所示.
由图观察可知， B1（5，3）， C1（－5，3）， D1（－5，－3）， E1（0，－5）.
（2）【解析】结合图形并观察以上五组点的坐标，发现：坐标
平面内任意一点 P （ a ， b ）关于第一、三象限的角平分线的对
称点 P1的坐标为（ b ， a ）.故答案为（ b ， a ）.
（3）解：由题意和（2）中的发现可得，
2 x ＋5 y ＝2 x ＋5，3 x － y ＝4.
所以 x ＝ ， y ＝1.
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第三章 位置与坐标
2 平面直角坐标系（第三课时）
1. 如图，把围棋棋盘放在平面直角坐标系中，已知黑棋（甲）
的坐标为（－2，2），黑棋（乙）的坐标为（－1，－2），则
白棋（甲）的坐标是（ D ）
A. （2，2） B. （0，1）
C. （2，－1） D. （2，1）
（第1题图）
D
2. 如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1.若用（2，1）表
示点 A 的位置，（2，5）表示点 B 的位置，则点 C 的位置可表示
为（ D ）
A. （3，5） B. （4，3）
C. （3，4） D. （5，3）
（第2题图）
D
3. 已知长方形 ABCD 的顶点 A （－4，1）， B （0，1）， C
（0，3），则点 D 的坐标是（ C ）
A. （－3，3） B. （－2，3）
C. （－4，3） D. （4，3）
C
4. 如图，在长方形 ABCD 中， AB ＝6， BC ＝4，以 AB 的中点为
原点， AB 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则 C ， D 两
点的坐标分别为 .
（第4题图）
C （3，4）， D （－3，4）
5. 如图，正方形网格 ABCD 是由25个边长相等的小正方形组成
的，将此网格放到一个平面直角坐标系中，使 BC ∥ x 轴.若点 E
的坐标为（－4，2），点 F 的纵坐标为4，则点 H 的坐标
为 .
（0，1）
（第5题图）
6. 在一次寻宝游戏中，寻宝人找到了点 A （2，3）和 B （4，
1）两个标志点（如图所示）.这两个标志点到“宝藏点”的距
离都是2，则“宝藏点”的坐标是 .
（2，1）或（4，3）
7. 在一次夏令营活动中，老师将一份行动计划藏在没有任何标
记的点 C 处，只告诉大家 A ， B 两点处各是一棵树，坐标分别为
（0，0），（30，10），点 C 的坐标为（20，20）（单位：m）.请确定点 C 的位置，尽快找到这份行动计划.
解：如图，点 C 即为所求作.
8. 如图，已知网格图中每个小正方形的边长为1.请完成下列
各题：
（1）任选一点作为原点 O （不与点 A ， B ， C 重合），建立
平面直角坐标系，写出 A ， B ， C 三点的坐标，并求△ ABC
的面积；
（2） 在（1）条件下，连接 OA ， OB ，求△ ABO 的面积.
解：（1）建立平面直角坐标系如图所示（坐标系不唯一），
A ， B ， C 三点的坐标分别为 A （－1，1）， B （3，4）， C
（3，8）.
S△ ABC ＝ ×（3＋1）×（8－4）＝8.
（2）如图，连接 OA ， OB ，则 S△ ABO ＝4×4－ ×3×4－ ×4×3－ ×1×1＝16－6－6－ ＝ .
9. 已知平面直角坐标系内的两点 P1（ a －1，4）与 P2（1， b －
1）关于 x 轴对称，则（ a ＋ b ）2025的值为 .
－1
10. 如图，小球起始时位于（3，0）处，沿标示的方向击球，
小球运动的轨迹如图所示.若小球起始时位于（1，0）处，仍按
原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是（0，
1），则小球第2024次碰到球桌边时，小球的位置为
.
（3，
4）
【解析】由图可得，从点（1，0）开始，第一次碰撞的点的坐
标为（0，1），第二次碰撞的点的坐标为（3，4），第三次碰
撞的点的坐标为（7，0），第四次碰撞的点的坐标为（8，1），第五次碰撞的点的坐标为（5，4），第六次碰撞的点的坐标为（1，0），….因为2024÷6＝337……2，所以小球第2024次碰 到球桌边时，小球的位置是（3，4）.故答案为（3，4）.
11. 如图，在平面直角坐标系中，有一个长方形 ABCD ，且 AD
∥ x 轴， AB ∥ y 轴.若长方形 ABCD 的长为3，宽为2，且点 A 的
坐标为（－1.5，2），求长方形的顶点 B ， C ， D 的坐标及长
方形 AEOM 的面积.
解：因为 AD ∥ x 轴， AB ∥ y 轴，点 A 的坐标为（－1.5，2），
所以 AM ＝1.5， AE ＝2.
因为长方形 ABCD 的长为3，宽为2，
所以 AB ＝ CD ＝3， AD ＝ BC ＝2.
所以 BE ＝ CF ＝1， MD ＝ CN ＝0.5.
所以点 B 的坐标为（－1.5，－1），点 C 的坐标为（0.5，－1），点 D 的坐标为（0.5，2）.
故长方形 AEOM 的面积＝1.5×2＝3.
12. 建立平面直角坐标系，并描出下列各点： A （1，1）， B
（5，1）， C （3，3）， D （－3，3）， E （1，－2）， F
（1，4）.连接 AB ， CD ， EF ，分别找出三条线段的中点坐
标，将上述中点的横坐标和纵坐标分别与对应线段的两个端点
的横坐标和纵坐标进行比较，你发现它们之间有什么关系？若
P ， Q 两点的坐标分别为 P （ x ， y ）， Q （ a ， b ），请用含
x ， y ， a ， b 的式子表示线段 PQ 的中点 N 的坐标.
解：如图即为所求作.
线段 AB 的中点 G 的坐标为（3，1），
线段 CD 的中点 H 的坐标为（0，3），
线段 EF 的中点 A 的坐标为（1，1）.
由上述中点的横坐标与纵坐标分别与对应线段的两个端点的横
坐标和纵坐标进行比较得到，线段中点的横坐标为线段两端点
的横坐标的和的一半，线段中点的纵坐标为线段两端点的纵坐
标的和的一半.
所以线段 PQ 的中点 N 的坐标用含 x ， y ， a ， b 的式子表示为 N
.
13. （选做）如图1，已知点 A （0， a ）， B （ b ，0），且 a ，
b 满足（ a －4）2＋ ＝0.
（1）求点 A ， B 的坐标.
（2）如图2，点 C （ m ， n ）在线段 AB 上，且满足 n － m ＝5，
点 D 在 y 轴负半轴上，连接 CD 交 x 轴负半轴于点 M ，且 S△ MBC
＝ S△ MOD ，求点 D 的坐标.
（3）平移直线 AB ，交 x 轴正半轴于点 E ，交 y 轴于点 F ， P 为
直线 EF 上且位于第三象限内的一个点，过点 P 作 PG ⊥ x 轴于点
G . 若 S△ PAB ＝20，且 GE ＝12，求点 P 的坐标.
图1
图2
解：（1）因为（ a －4）2≥0， ≥0，（ a －4）2＋
＝0，所以（ a －4）2＝0， ＝0.
所以 a ＝4， b ＝－6.所以 A （0，4）， B （－6，0）.
（2）由（1）知， AO ＝4， BO ＝6.
所以 S△ ABO ＝ AO · BO ＝ ×4×6＝12.
由 S△ MBC ＝ S△ MOD ，得 S△ ABO ＝ S△ ACD ＝12.
如图，连接 CO ，作 CE ⊥ y 轴于点 E ， CF ⊥ x 轴于点 F ，
则 S△ ABO ＝ S△ ACO ＋ S△ BCO .
即 ×4·｜ m ｜＋ ×6·｜ n ｜＝12，
所以－2 m ＋3 n ＝12.
因为 n － m ＝5，所以 m ＝－3， n ＝2.所以 C （－3，2）.
因为 S△ ACD ＝ CE · AD ＝ ×3×（4＋ OD ）＝12，
所以 OD ＝4.所以点 D 的坐标为（0，－4）.
（3）由平行线间的距离处处相等，可知 S△ EAB ＝ S△ PAB ＝20，
所以 AO · BE ＝20，即 ×4×（6＋ OE ）＝20.
所以 OE ＝4.所以点 E （4，0）.
因为 GE ＝12，所以 OG ＝8.所以点 G （－8，0）.
如图，连接 BF .
则 S△ ABF ＝ S△ PAB ＝20.
所以 S△ ABF ＝ OB · AF ＝ ×6×（4＋ OF ）＝20，
所以 OF ＝ .所以点 F .
因为 S△ PGE ＝ S梯形 GPFO ＋ S△ OEF ，
所以 ×12 PG ＝ × ×8＋ ×4× ，所以 PG ＝8.
所以点 P 的坐标为（－8，－8）.
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第三章 位置与坐标
1 确定位置
1. 下列描述能够确定位置的是（ A ）
A. 东经116°，北纬43°
B. 小亮的家在北偏东30°
C. 国家大剧院第一排
D. 距烟台火车站5km
A
2. 如图，这是小丽关于诗歌《望洞庭》的书法展示.若“湖”
的位置用（2，3）表示，则“山”的位置可以表示为（ D ）
A. （4，8） B. （7，4）
C. （8，4） D. （4，7）
D
3. 嘉淇乘坐一艘游艇出海游玩，游艇上的雷达扫描探测得到的
结果如图所示，每相邻两个圆之间的距离是1km（最小圆的半
径是1km）.下列关于小船A，B位置的描述，正确的是（ D ）
A. 小船A在游艇的北偏东60°方向上，且与游艇
的距离是3km
B. 游艇在小船A的南偏西60°方向上，且与小船
A的距离是3km
C. 小船B在游艇的北偏西30°方向上，且与游艇
的距离是2km
D. 游艇在小船B的南偏东60°方向上，且与小船
B的距离是2km
D
4. （1）若电影院里10排5号可以用（10，5）表示，则3排5号
用 表示；
（2）若（9，3）表示九年级三班，则八年级一班表示
为 .
（3，5）
（8，1）
5. 如图是雷达在一次探测中发现的三个目标，目标 A 的位置表
示为 A （4，60°），目标 C 的位置表示为 C （5，150°），按
照此方法可以将目标 B 的位置表示为 .
（2，210°）
6. 如图，在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到两个标记点
A （2，3）和 B （1，－1），并且知道藏宝地点的坐标是（4，
2），则藏宝地点应为图中的点 .
N
7. 某动物园的平面示意图如图所示，小正方形的边长为1个单
位长度.
（1）到水族馆距离相同的地方有哪些？
（2）如果用（5，3）表示图中水族馆的位置，那么猛兽区怎样
表示？（7，6）表示什么？
解：（1）利用勾股定理，得
水族馆到孔雀园的距离为 ＝2 ，
水族馆到鹿场的距离为 ＝2 ，
水族馆到猴园的距离为 ＝2 ，
水族馆到鸟类区的距离为 ＝ ，
水族馆到猛兽区的距离为 ＝ .
所以到水族馆距离相同的地方有孔雀园、鹿场、猴园.
（2）猛兽区表示为（9，8）；（7，6）表示鸟类区.
8. 将正整数按如图所示的规律排列下去，若用（ n ， m ）表示
第 n 排，从左到右第 m 个数，如（4，3）表示正整数9，则（7，
2）表示的正整数是 .
23
【解析】从图中可以发现，第 n 排的最后一个数为 n （ n ＋1），所以第6排最后一个数为 ×6×（6＋1）＝21.因为（7，
2）表示第7排，从左到右第2个数.所以第7排第2个数为21＋2＝
23.故答案为23.
9. 一组密码的一部分如图所示，请你运用所学知识找到破译的
“钥匙”.目前，已破译出“努力发挥”的真实意思是“今天考
试”.若“努”所处的位置为（ x ， y ），根据你找到的密码钥
匙，破译“祝你成功”的真实意思是 .
正做数学
10. 根据所给信息，回答下列问题：
（1）如图1， 的位置表示为（4，1），请用同样的方式表示
出棋盘上下列棋子的位置：
， ， ；
（4，9）
（0，7）
（5，0）
图1
（2）如图2，若把“0”移动到棋子 的位置时，请表示出下列
棋子的位置：
， ， ；
（0，7）
（5，0）
（3，2）
图2
（3）如图2，若 的位置是（4，5）， 的位置是（2，8），规
定列在前，行在后，请你在棋盘上确定点 A （0，0）的位置，
并确定棋子 的位置.
图2
（1）【解析】由图1可得， 的位置为（4，9）， 的位置为
（0，7）， 的位置为（5，0）.故答案为（4，9），（0，
7），（5，0）.
（2）【解析】由图2可得， 的位置为（0，7）， 的位置为
（5，0）， 的位置为（3，2）.故答案为（0，7），（5，
0），（3，2）.
（3）解：如图所示，点 A 即为所求，棋子 的位置为（4，3）.
11. 在下面的示意图中，已知点 O 表示学校的位置，点 A 表示游
泳馆的位置，且点 A 在点 O 的正北方向，距离5cm处.
（1）已知汽车站 B 在学校的北偏东30°方向，距离学校3cm
处，请在图中标出汽车站 B 的位置；
（2）若公园 C 与汽车站 B 关于直线 OA 对称，请在图中标出公
园 C 的位置，并描述对学校 O 而言，公园在它的什么位置.
答图
解：（1）如答图，点 B 即为所求作.
（2）如答图，点 C 即为所求作.公园 C 在学校的北偏西30°方
向，距离学校3cm处.
答图
12. （选做）如图1，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为
1）上沿着网格线运动.它从 A 处出发去看望 B ， C ， D 处的其他
甲虫，规定：向上或向右走为正，向下或向左走为负.从 A 到 B
记为： A → B （＋1，＋4），从 D 到 C 记为： D → C （－1，＋
2），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向.
（1）图中 A → C 可以记为 ， B → C 可以记
为 ， D → 可以记为（－3，＋2）；
（＋3，＋4）
（＋2，0）
B
（2）若这只甲虫的行走路线为 A → B → C → D ，请计算该甲虫
走过的路程长度和；
（3）若这只甲虫从 A 处去 Q 处的行走路线依次为 A → M （＋
2，＋2）， M → N （＋2，－1）， N → P （－2，＋3）， P → Q
（－1，－2），请依次在图2中标出点 M ， N ， P ， Q 的位置；
（4）若图中另有两个格点 E ， F ，且 E → A （ a ， b ）， E → F
（ a ＋2， b ＋3），则 F → A 应记为什么？
图1
图2
（1）【解析】由题意，得 A → C 可以记为（＋3，＋4）， B →
C 可以记为（＋2，0）， D → B 可以记为（－3，＋2）.故答案
为（＋3，＋4），（＋2，0）， B .
（2）解：由题意，得1＋4＋2＋1＋2＝10.
（3）解：如图，点 M ， N ， P ， Q 即为所求作.
（4）解：因为 E → A （ a ， b ）， E → F （ a ＋2， b ＋3），
所以 A → E （－ a ，－ b ）.
因为－ a ＋ a ＋2＝＋2，－ b ＋ b ＋3＝＋3，
所以 A → F （＋2，＋3）.
所以 F → A 应记为（－2，－3）.
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第三章 位置与坐标
2 平面直角坐标系（第一课时）
1. 在平面直角坐标系中，点 A （2，－3）位于（ D ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 在平面直角坐标系中，已知点 P （－3， a ）在 x 轴上，则点
Q （ a －3， a ＋1）所在的象限是（ B ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
D
B
3. 在平面直角坐标系中，已知点 A （ x ， y ）在第三象限，则点
B （ x ，－ y ）在（ B ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
B
4. 在平面直角坐标系中，点 P （ a2＋2，－4）在第 象限.
5. （1）已知点 A （5，－4），则点 A 到 x 轴的距离为 ，到
y 轴的距离为 ；
（2）已知点 P 在第二象限，且点 P 到 x 轴的距离为2，到 y 轴的
距离为1，则点 P 的坐标为 .
四
4
5
（－1，2）
6. 下列说法：①点（1，－3）在第二象限；②点 P （ m2＋1，
m2）一定在第一象限；③若点 A （6， a ）， B （ b ，－3）在第
四象限，则 ab ＜0.其中正确的有 （填序号）.
③
7. 如图，写出点 A ， B ， C ， D ， E ， F ， G 的坐标，并说明点
B 和点 F 有什么位置关系？（每格代表1个单位长度）
解：如图所示， A （－5，4）， B （－3，0）， C （－2，－2）， D （1，－4）， E （1，－1）， F （3，0）， G （2，3），
其中点 B 和点 F 关于 y 轴对称（都在 x 轴上）.
8. 多多和爸爸、妈妈周末到动物园游玩，回到家后，她利用平
面直角坐标系画出了该动物园的景区地图（如图所示），可是
她忘记了在图中标出原点、 x 轴和 y 轴，只知道东北虎所在位置
的坐标为（－3，－3）.请你帮她画出平面直角坐标系（每格代
表1个单位长度），并写出南门和其他各景点的坐标.
解：画出平面直角坐标系如图所示.
南门的坐标为（0，0），
非洲狮的坐标为（－4，5），
飞禽的坐标为（3，4），
两栖动物的坐标为（4，1）.
9. 在平面直角坐标系中，若有一点 M （ m －1，2 m ＋3），当 m
＝ 时，则点 M 到 x 轴的距离为3.
0或－3
10. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数
的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，
0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）……根据这个
规律，第25个点的坐标为 .
（5，0）
11. 小明在平面直角坐标系中画了一幅图案（如图），他怎样描
述这幅图案，可以使别人根据他的描述能画出同样的图案？
解：在平面直角坐标系中，将点（0，6），（1，5.5），（2，
4），（2，1），（2.5，0），（2.5，－1），（2，－0.5），
（2，－4），（－2，－4），（－2，－0.5），（－2.5， －1），（－2.5，0），（－2，1），（－2，4），（－1，
5.5），（0，6）依次连接，即可画出同样的图案.
12. 已知当 m ， n 都是实数，且满足2 m ＝6＋ n ，则称点 a 为“智慧点”.
（1）判断点 P （4，10）是否为“智慧点”，并说明理由；
（2）若点 M （ a ，1－2 a ）是“智慧点”，请判断点 M 在第几
象限，并说明理由.
解：（1）点 P 不是“智慧点”.理由如下：
由题意，得 m －1＝4， ＝10，
所以 m ＝5， n ＝20.
所以2 m ＝2×5＝10，6＋ n ＝6＋20＝26.
所以2 m ≠6＋ n .
所以点 P （4，10）不是“智慧点”.
（2）点 M 在第四象限.理由如下：
因为点 M （ a ，1－2 a ）是“智慧点”，
所以 m －1＝ a ， ＝1－2 a .
所以 m ＝ a ＋1， n ＝2－4 a .
因为2 m ＝6＋ n ，
所以2（ a ＋1）＝6＋2－4 a .解得 a ＝1.
所以点 M （1，－1）.
所以点 M 在第四象限.
13. （选做）如图，在平面直角坐标系中，第一次将△ OAB 变
换成△ OA1 B1，第二次将△ OA1 B1变换成△ OA2 B2，第三次将△
OA2 B2变换成△ OA3 B3.已知 A （1，5）， A1（2，5）， A2（4，
5）， A3（8，5）； B （2，0）， B1（4，0）， B2（8，0）， B3
（16，0）.
（1）观察每次变换前后三角形的变化，找出规律，按此规律将
△ OA3 B3变成△ OA4 B4，则点 A4的坐标是 ，点 B4
的坐标是 ；
（2）若按（1）中找到的规律将△ OAB 进行 n 次变换，得到 △ OAnBn ，则点 An 的坐标是 ，点 Bn 的坐标是
；
（16，5）
（32，0）
（2 n ，5）
（2 n ＋1， 0）
（3）判断△ OAnBn 的形状，并说明理由.
（1）【解析】因为 A （1，5）， A1（2，5）， A2（4，5）， A3
（8，5），…，
所以纵坐标不变，为5，同时横坐标为2 n ，
则 A4（16，5）.
因为 B （2，0）， B1（4，0）， B2（8，0）， B3（16，0），…，
所以纵坐标不变，为0，同时横坐标为2 n＋1，
则 B4（32，0）.
故答案为（16，5），（32，0）.
（2）【解析】由（1）可知，点 An 的纵坐标总为5，横坐标为 2 n ，点 Bn 的纵坐标总为0，横坐标为2 n＋1，所以点 An 的坐标是 （2 n ，5），点 Bn 的坐标是（2 n＋1，0）.故答案为（2 n ，5）， （2 n＋1，0）.
（3）解：△ OAnBn 是等腰三角形.理由如下：
如图，过点 An 作 AnC ⊥ OBn 于点 C .
因为点 An 的坐标是（2 n ，5），点 Bn 的坐标是（2 n＋1，0），
所以 OC ＝2 n .
又因为 OBn ＝2 n＋1＝2·2 n ，
所以 OBn ＝2 OC ，所以 OC ＝ BnC .
易证△ OAnC ≌△ BnAnC （SAS），
所以 OAn ＝ AnBn .
所以△ OAnBn 是等腰三角形.
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